力矩变化的概率和统计特性及其应用

2022-5-5 05:24:14

矩变化的概率和统计特性及其在基于高频返回数据的推断和估计中的应用*2018年8月22日摘要我们讨论了基于变异的第三和第四时刻财务收益的概率特性，作为收益分布实际时刻的估计值。力矩变化是在非参数假设下用二次变量法定义的，但对于计算的可处理性，我们使用平方根随机波动模型来描述力矩条件，以进行估计。利用标准普尔500指数高频数据，矩变化的实现版本用于随机波动率模型的估计。我们提出了一种简单的估计随机波动率模型的方法，使用变量的样本平均值和ARMA估计。此外，我们还利用基于已实现矩与其滞后值之间的连续关系的广义矩估计方法对结果进行了比较。关键词。高阶矩、二次变差、随机变量、广义矩方法1简介本文讨论了三阶矩和四阶矩变化的性质及其金融资产收益率的实现形式。已实现的三阶矩和四阶矩是基于二次变异法定义的，作为已实现方差定义的扩展，已实现方差是一种基于高频数据的资产回报方差估计器。在收益过程的鞅假设下，实现的三阶矩和四阶矩分别是收益的三阶矩和四阶矩的无偏估计量。资产回报的三阶和四阶矩很难用基于s充分平均值的传统衡量方法精确测量。

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2022-5-5 05:24:17

尽管困难重重，但高潮时刻*klee@unist.ac.kr在资产定价、投资组合和风险管理方面发挥了重要作用。文献包括德克劳斯和利岑伯格（1976年）、哈维和西迪克（1999年）、哈维和西迪克（2000年）、巴克希等人（2003年）、金和怀特（2004年）、布鲁克斯等人（2005年）、克里斯托·弗尔森等人（2006年）、勒昂等人（2005年）、纽伯格（2012年）、马拉贝尔·罗莫（2014年）和崔和李（2014年）。Choe和L ee（2014）介绍了本文中使用的回归过程的已实现三阶矩和四阶矩的基于变量的定义。三阶矩变量定义为固定时间段内收益及其平方过程之间的二次协变量，四阶矩变量定义为平方收益过程的二次变量。基于变化的实现矩是这些（co）变化的有限和近似值乘以1.5。类似的基于二次方差的方法在估计收益方差方面是众所周知的，在过去二十年中，相关文献越来越多，这里只引用了其中的一些，见安德森等人（2003年）、巴恩多夫-尼尔森和谢普-哈德（2002年）、巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2004年）、汉森和伦德（2006年）以及米克兰和张（2009年）。Choe和Lee（2014）通过推导高阶矩的操作隐含期望，重点研究了高阶矩的风险中性特性。相比之下，在本文中，我们重点讨论了返回过程的已实现高阶矩的性质。经验和模拟表明，基于变化的已实现矩是在鞅条件下对收益过程收益分布的实际第三和第四矩的相对有效测量。

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2022-5-5 05:24:20

基于立方体样本平均值和收益四次方的高阶矩的传统测量值受到异常值的严重影响（Kim and White，2004；Neuberger，2012），基于二次变异法的相对有效测量值在估计和统计推断方面具有更好的性能。事实上，我们有一个强有力的证据表明，在实现的第三个时刻，日收益率出现负偏差，在基于三次日收益率样本平均值的测试中，这一点可以被拒绝。接下来，我们解释了利用二阶和三阶矩估计随机波动率模型的方法。Bollerslev和Zhou（2002）提出了一种基于综合波动率的随机波动率扩散模型的估计方法，该方法相当于模型下收益的二次变化。他们表明，尽管波动过程是潜在的，但通过综合波动的可观测性，我们能够基于广义矩法（GMM）估计波动参数的均值回归、长期方差和波动性。最近，Bollerslev et al.（2011）和dGarcia et al.（2011）对随机波动模型以及Da Fonseca和Zaatour（2014）对价格变动的微观结构进行了类似的估计方法研究。与现有的随机波动率模型估计相比，我们有一个额外的高频量，即已实现的三阶矩，这对于估计随机波动率模型中的杠杆参数特别有用，因为第三阶矩变化的预期是封闭式公式，它决定了偏差。结合这些结果，我们采用了随机波动模型的GMM估计。

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2022-5-5 05:24:24

此外，我们还提出了一种简单的随机波动率模型估计方法，即样本平均法和自回归移动平均模型估计法。尽管简单，但仿真研究表明，与复杂的GMM相比，简单估计的结果值接近原始参数设置。关于已实现矩的一个有趣性质是关于矩变量交换。例如，Choe和Lee（2014）引入的第三时刻变动掉期是一种工具，允许投资者对一个低风险的资产进行押注或对冲。关于通过互换合同交易倾斜风险的先前类似工作，请参见Schoutens（2005）、Neuberger（2012）、Kozhan等人（2013）和Zhao等人（2013）。Choe和Lee（2014）证明，由三阶矩Swapas套期保值的投资组合回报率分布具有更细的尾部，这意味着潜在资产的回报率分布，因此可以减少厚尾和倾斜风险。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们讨论了鞅条件下矩变分的基本性质，并计算了收益率不是鞅时的偏差。第三节介绍了具有已实现二阶矩和三阶矩的随机波动率模型的估计方法和结果。第四部分是论文的结论。2矩变量我们回顾了Choe和Lee（2014）提出的随机过程三阶和四阶矩变量的定义，并讨论了它们的基本性质。考虑一个半鞅返回过程Rt=log St- 记录相应的资产价格过程。时间范围[0，t]可以是一天、一个月或要观察的任何时间间隔。

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2022-5-5 05:24:27

第三和第四时刻变化过程分别由[R，R]和[R]定义，其中括号用于表示q值（co）变化过程。从现在起，我们将从高频数据中讨论它们实现的力矩变化值，以测量转角分布的高阶力矩。首先，我们证明了在鞅假设下高阶矩变化的无偏性，作为收益分布的实际矩的度量。注意，Rt=RtRt=ZtRudRu+ZtRudRu+[R，R]t=ZtRudRu+ZtRu（2RudRu+d[R]u）+[R，R]t=3ZtRudRu+ZtRud[R]u+[R，R]t.（1）此外，Rt=2ZtRudRu+[R]t和[R]之间的协变量为零，因此R和Ris之间的协变量过程由[R，R，R]t=2ZtRud[R]u表示。上述方程也可以通过将其应用于R，Rt=3ZtRudRu+3ZtRud[R]ua并将其与等式（1）进行比较。最后，用eq中的[R，R]t/2替换rtrud[R]uw。（1）同样地，通过进一步假设R是一个鞅和随机积分ztrudru，ztrudru是鞅，我们也得到了。（2）（3）我们有E[Rt]=E[R，R]t,E[Rt]=E[R] t.因此，在鞅条件下，三阶和四阶矩变化乘以1.5可以用作收益率的三阶和四阶矩的无偏估计。注意，在Choe和Lee（2014）中，Heston（1993）的随机波动率模型中的三阶和四阶矩变化的无偏性得到了证明，但在上文中，无偏性扩展到了任何鞅模型。我们从一般鞅模型开始，但为了计算性，考虑赫斯顿平方根随机波动率模型：dRt=pVtdWst（4）dVt=κ（θ）- Vt）dt+γpVtdWvt，d[Ws，Wv]t=ρdt。

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2022-5-5 05:24:30

（5）当Feller条件为2κθ>γ时。众所周知-κt+θ（1）- E-通过一些计算，我们得到了E[[R]t]=EZtVsds=1.- E-κtκ（V- θ） +θt（7）和[Vt]=e-2κtV+2κθ+γκ（e-κt- E-2κt）V+θ（2κθ+γ）κ- E-κt+e-2κt. （8）此外，本文还使用了以下计算结果。提议1。在Eqs假设下。（4）和（5），我们有VtZtVudu= （五）- θ)θ +γκte-κt+（五）- θ）（五）- 2θ)κ-γVκE-κt+-（五）- θ)κ+γκ五、-θE-2κt+θt+（V- θ)θκ+γθ2κ.（ii）E[R] t=2(θ - 五） κθ +γκte-κt+2γθκ-（五）- θ)κE-κt+κ（V）- θ)-γκ五、-θE-2κt+θt+2（V）- θ)θκ+γθκt+κ（V- θ)+γκ五、-θ, （9） =κ（e）-κt- 1）五+-κθ +γκte-κt+4θκe-κt-2θκ+γκE-2κt+2θκt-2θκ+γκV+2θκθ +γκte-κt+2γθκ-θκE-κt+θκ+γθ2κE-2κt+θt+γθκ-2θκt+θκ-5γθ2κ. （10）证据。Letz（t）=E“ZtVsds#= 2EZTVZsVududs= 2Ztp（s）ds（11），其中p（s）=EVsZsVudu= EV+κZs（θ）- Vu）du+γZspVudWvuZsVudu= （V+κθs）EZsVudu- κE“ZsVudu#+ γEZsVuduZspVudWvu= （V+κθs）ZsE[Vu]du- κz（s）+γZsw（u）duw（u）=EVuZupVkdWvk= -κEZuVkdkZupVkdWvk+ γE“ZupVkdWvk#= -κE祖夫克ZupVkdWvkdk+ γZu（（V）- θ） e-κk+θ）dk=-κZuw（k）dk+γZu（（V- θ） e-κk+θ）dk。通过求解上述积分方程，我们得到w（u）=γ（V）- θ） ue-κu+γθκ（1）- E-κu）并通过solvingz（t）=2Zt（V+κθs）ZsE[Vu]du- κz（s）+γZsw（u）duds，我们有积分方差平方的期望公式。此外，usingEVtZtVudu=dz（t）dt，我们得到了期望的结果。提议2。在Eqs假设下。（4）（5）对于三阶矩的变化，我们有下面的动量条件。（i） E[RuVu]=γρκ{（V）- θ） κue-κu+θ（1）- E-κu）}（ii）E[[R，R]t]=2ZtE[RuVu]du=2γρκ（五）- θ)1.- E-κt（κt+1）κ+ θE-κt- 1κ+t.证据

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可人4

2022-5-5 05:24:33

注意E[RuVu]=EZupvsdwsV+Zuκ（θ）- Vs）ds+ZuγpVsdWvs= Eκθuzupvsdws- κZuVsdsZupVsdWss+ZupVsdWssZuγpVsdWvs= E-κZuVsdsZupVsdWss+ZupVsdWssZuγpVsdWvs.对于期望值内的第二项，通过它的等距，我们有x（t）：=eZTPVSDWSZTγpVsdWvs= γρ中兴[Vs]ds=γρ（五）- θ)κ1.- E-κt+ θt（12）对于第一项，使用部分积分，y（t）：=EZTVSDSZTPVSDS= EZtZsVudupVsdWss+ EZtZspVudWsuVSD= EZTVZspVudWsuds.此外，EVsZspVudWsu= EV+ZsdVuZspVudWsu= EZsκ（θ）- Vu）duZspVudWsu+ EZsγpVudWvuZspVudWsu= -κEZsVuduZspVudWsu+ EZsγpVudWvuZspVudWsu= -κy（s）+x（s）。因此，y（t）=Zt{-κy（s）+x（s）}d通过求解积分方程，我们得到y（t）=γρκ（五）- θ)(1 - E-κt- κte-κt）+θ(-1+e-κt+κt）. （13） ApplyingE[RuVu]=-κy（u）+x（u），（14）我们完成了证明。E[[R]t]和E[[R，R]t]的公式似乎很复杂，但如果我们假设方差过程在时间0时处于平稳状态，即V=θ，则公式更简单。我们将在下一节讨论它们的用途。四阶矩变分E[[R]t]的矩条件相当复杂，本文没有在其他地方使用，因此我们在附录ix A中讨论推导。备注3。C在Heston型平方根随机波动率模型下，当收益过程中的漂移为正常数时，估计器的偏差：dRt=udt+pVtdWst，dVt=κ（θ- Vt）dt+γpVtdWvt，d[Ws，Wv]t=ρdt。请注意，三阶矩与1.5[R，R]isE[Rt]的期望值之间的偏差-E[[R，R]t]=3E兹特鲁德鲁.此外，E[Ru]=EZuRsdRs+[R]u= EZuuRsds+ZUVSD= uu+θu（15），其中我们假设VS的长期预期为θ，并假设方差过程从负整数开始，处于其平稳状态。

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何人来此

2022-5-5 05:24:36

因此，我们有3e兹特鲁德鲁= 3EZtuRudu= ut+uθt，它是三阶矩和基于变化的三阶矩之间的偏差。同样，对于第四时刻的偏差，我们有[Rt]-E[[Rt]]=E兹特鲁德鲁andE[Ru]=3EZuRsdRs+ 3E祖尔斯德[R]s= 3EZuuRsds+ 3EZuRsVsds= uu+μθu+3γρθκE-κu- 1κ+u其中我们使用公式f或P位置2中推导的RSVS的长期预期。因此，在返回过程中具有恒定漂移的偏置isE[Rt]-E[[Rt]]=ut+2μθt+12γρθκ1.- E-κtκ+t-tκ.在图2中，我们绘制了在返回过程中具有零d裂谷（实心）和恒定漂移（虚线）的预期三阶矩的项结构。参数设置为θ=0.0233，κ=18.05，γ=1.2305，ρ=-0.6191和u=0.05。这些设置来自第3.2节，在该节中，我们对2001年至2007年的标准普尔500指数系列进行了估算（u除外，这只是假设）。此外，公式（24）将推导出第三时刻长期预期的理论公式。图中显示，偏差随着时间范围的增加而增加，但这一点非常不明显，尤其是对于短期范围。其次，当r eturn过程是具有独立增量的时间h齐次鞅时，矩变化的样本均值乘以1.5是实际矩的一致估计。在这种情况下，样本平均值意味着子区间[tj，tj+1]中力矩变化的M个数的平均值，其中t=tj+1- tjis固定值j=0，·M- 1.对于三阶矩变化，我们写出[R，R]tj，tj+1=Rtj，tj+1- 3Ztj+1tjRtj，udRtj，u其中时间下标表示每个过程的起点是tjan，终点是tj+1。

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能者818

2022-5-5 05:24:39

例如，Rtj，u=log（Ru/Rtj）.0 100 200 300 500 600 800 900 1000-2.-1.5-1.-0.500.51x10-3样本大小1.5[R2，R]r3图1：基于[R，R]（虚线曲线）的矩估计量收敛到理论第三矩（虚线）的速度比样本第三矩（虚线）的速度快，因为在赫斯顿型随机波动率模型中，通过将样本平均数取到上述等式，样本大小增加，r.h.s.的第一项是第三阶矩的s-均值，因此收敛于回归分布的实际第三阶矩。由随机积分表示的r.h.s.第二项的样本平均值收敛到零，因为返回过程积分器是具有独立增量的时间齐次鞅。（我们还使用了另外一个假设，即stochastic积分也是鞅。）因此，随着样本量的增加，矩变量乘以1.5的样本均值收敛到实际的第三个矩。对于四阶矩的变化，同样的论点被用来表示一致性。第三，在上述段落中的相同假设下，根据中心极限定理，力矩变化的样本均值具有渐近正态分布，即[R，R]tj，tj+1是i.i.d.随机变量。渐近分布方差的推导复杂且依赖于模型，我们在附录B中讨论了第三个矩变量方差的推导。第四，下一节中的实证研究，并证明与传统的矩量测量相比，矩变量是相对有效的估计量，即。，力矩变化的方差小于Rt和Rt的方差。我们还进行了模拟研究，以证明三阶矩变化（乘以1.5）收敛于实际三阶矩的理论值。

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大多数88

2022-5-5 05:24:42

图1显示[R，R]t的样本均值比s-tochastic波动率模型下的s均值更快地收敛到第三时刻的理论预期。在模拟中，参数和初始值设置为κ=3，θ=0.04，γ=2，ρ=-0.5和V=0.05.03 6 9 12-3.-2.5-2.-1.5-1.-0.50 x 10-3个月图2：偏差的期限结构：随机波动率模型下零漂移（实心）和恒定裂缝（虚线）的预期三阶矩3实现的矩变化和经验研究y3。1定义和基本性质由于无法直接观察到力矩变化，我们使用变化的实际版本进行实证研究。R的已实现三阶和四阶矩是分区0=t<·t<·tN=t乘以，即\\[R，R]t=NXi=1（Ri）表示的有限和近似值- 里-1）（Ri）- 里-1），（16）d[R]t=NXi=1（Ri- 里-1）分别为（17）。为简单起见，Ri=Rti在上述等式中。根据半鞅理论，我们有\\[R，R]t→ [R，R]t，Eh\\[R，R]ti=E[[R，R]t]=E[Rt]，d[R]t→ [R] t，Ehd[R]ti=E[[R]t]=E[Rt]，随着分区大小变为零，概率受到限制。与已实现方差和积分方差之间的关系类似，已实现的矩变化是1.5[R，R]和1.5[R]t的无偏一致估计。此外，在R eturn过程的鞅条件下，已实现的第三和第四矩变化分别是返回Rt的第三和第四矩的无偏估计。研究表明，与传统的矩估计相比，矩的变化是相对有效的。利用2001年至2007年的标准普尔500指数系列，我们绘制了图3和图4中等式S（16）和（17）所定义的每日实现力矩的动态。

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2022-5-5 05:24:45

有限总和按一天内的五分钟间隔h orizon计算。更准确地说，每日实现的三阶矩变化是2001-2005-2007-4.-20246x10-5时间间隔=1天年实现的第三时刻图3:2001年至20072001年2003年2007012345x 10年间标准普尔500指数每日实现的第三时刻变化动态-6年实现的四阶矩时间间隔=1天图4:2001年至2007年标准普尔500指数每日实现的四阶矩变化的动态71.5\\[R，R]ti，ti+1，下标表示从时间tit到ti+1每ti+1观察到的数量- ti=1天，类似地，f为每日实现的第四时刻变化1.5d[R]ti，ti+1。此外，图5和图6绘制了t=1天时实现的RTA和RTA的动态。让我们比较图3和图5。实现的三阶矩变化因环境而异-6×10-5到6×10-5.相比之下，样本分布在世界各地-1 × 10-4到2倍-5，意味着RTM中的标准偏差比实现的三阶矩变化大得多。类似地，图E6中的样本RTI的标准偏差比图4中实现的四动量变化大得多。这些观察结果表明，已实现的力矩变化1。5\\[R，R]和1.5d[R]分别是相对有效的相关矩估计量，而不是随机数R的样本均值。表1中给出了Rt、RTA和已实现m变化的汇总统计数据。表中显示，已实现力矩变化的样本标准偏差约为RTA和Rt标准偏差的一半。RTI的样本平均值为正，而已实现第三个力矩的样本平均值为负。RTC的正样本平均值与财务资产回报分布通常呈负偏态这一事实相矛盾。

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2022-5-5 05:24:48

众所周知，否定的证据是2001年、2003年、2005年和2007年-1012x 10-4年3时间间隔=1天图5:2001年至20072001年2003年2005年标准普尔500指数的已实现RTO动态200700.20.40.60.811.21.4x 10-5年4时间间隔=1天图6:2001年至2007年标准普尔500指数的已实现RTO动态表1:2001年至2007年标准普尔500指数的已实现力矩变化的样本平均值和标准偏差[R，R]tRt[R]tRtmean-4.1626 × 10-71.1697 × 10-75.7238 × 10-86.8150 × 10-8std。偏差4.9957×10-69.7989×10-62.3661 × 10-74.5106 × 10-7与较长时间范围内的回报相比，每日回报的偏态性相当弱。然而，已实现的三阶矩变化的样本均值仍然为负，这可能支持日收益率的负偏态。我们进行了假设检验，以检验标准普尔500指数日收益率分布的负偏态。显然，与E[Rt]<0的替代假设相比，E[Rt]=0的无效假设的t检验结果可能不会以显著p值=0.6958的确切水平拒绝无效假设。相比之下，完全假设E[\\[R，R]t]=0与E[\\[R，R]t]<0的t检验的p值为1.7823×10-4我们在显著性水平0.01甚至更高水平上拒绝完全假设。由于实际三阶矩的分布不正态，在t检验中可能会出现错误。我们进行了Wilcoxon（1945）符号秩检验，假设实现的三阶矩中位数为零，而不是假设分布中位数为零。无效假设也被拒绝，报告的p值=0.0026，这是支持日收益率负偏态的证据。

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2022-5-5 05:24:51

这是一个例子，基于已实现的三阶矩变化的推理比使用日收益率立方的情况有更好的结果。3.2 SV模型的GMM估计在本节中，我们展示了基于实现的二阶和三阶矩变化的随机波动率模型的估计方法。我们的方法是Bollerslev和Zhou（2002年）、Bollerslev等人（2011年）和Garcia等人（2011年）的扩展，其中采用了随机波动率模型的综合方差基础。这些应用程序基于这样一个事实：尽管瞬时方差过程V是潜在的，但积分方差是可观测的，因此我们能够使用积分方差估计属于方差过程的参数。在本文中，我们有一个额外的可观测高频量，即实现的三阶矩变化。再考虑一下等式中的赫斯顿型随机波动率模型。（4）和（5）。假设观测到实现的第二和第三个矩的总数为N，并且在[ti，ti+1]，i=0，M- 1.每一笔款项平均分配给 = ti+1- ti。对于后面的实证研究，我们设置 = 1天=1/252年。考虑以下力矩条件。首先，returnE[[R]t]=E的二次变化的期望值ZtVsds=1.- E-κtκ（V- θ） +θt.（18）秒，三阶矩变量e[[R，R]t]=3γρκ的1.5倍的期望值五、1.- E-κt（κt+1）κ+ θE-κt（κt+2）- 2κ+t. （19）第三，命题1中综合方差平方的期望值。用等式中导出的动量条件。（18），（19）和（10），我们能够进行广义矩量法（GMM）估计。

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2022-5-5 05:24:55

然而，在进行GMM之前，我们展示了一种基于实现的二阶和三阶矩的随机波动率模型的简单估计方法。该方法可能有助于找到进一步GMM的起点。此外，我们将证明简单估计本身是好的，甚至比复杂的GMM更好。对于估计，有必要了解s-tochastic波动率模型中每个参数的特征。首先，参数θ是自E[Vs]以来的长r非平均值，或u条件变化→ θ为s→ ∞. 参数θ由标准化实现二阶矩的样本平均值^θ=MM估计-1Xi=0c[R]ti，ti+1其中c[R]ti，ti+1表示在[ti，ti+1]上观察到的已实现方差。其次，参数κ解释了即期方差或积分方差与其滞后值之间的关系。κ的估计比其他参数更困难，这些参数可以通过观察到的特定量（如已实现的二阶或三阶矩）的样本来估计。方差过程V遵循均值回复过程，其离散化版本遵循自回归滑动平均（ARMA）方案，积分方差也是如此。根据Etion（6）和Heste（18）模型-1[[R]ti，ti+1]=e-κEti-1[[R]ti-1，ti]+（1- E-κ)θ. （20）更准确地说，注意d（eκuVu）=eκudVu+κeκuVudu=κθeκudu+γeκupvudvu，通过积分tito s的两侧，Vs=e-κ（s）-ti）（Vti）- θ） +θ+Zstiγe-κ（s）-u） pVudWvu。如果s=ti+1，那么上述方程是V的离散级数的AR表示，我们有Vti+1- θ=（Vti）- θ） e-κ+Zti+1tiγe-κ（ti+1）-u） pVudWvu。（21）通过积分从tito到ti+1的VS，Zti+1tiVsds=[R]ti，ti+1=1- E-κκ（Vti）- θ) + θ +Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds（22）=1- E-κκ（Vti）-1.- θ） e-κ+ θ+1.- E-κκZtiti-1γe-κ（ti）-u） pVudWvu+Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds（23），其中我们使用。

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2022-5-5 05:24:59

（21）第二次平等。使用等式（22）的滞后版本，我们得到1- E-κκ（Vti）-1.- θ） =[R]ti-1，ti- θ -Ztiti-1Zsti-1γe-κ（s）-u） pVudWvuds，并将上述等式代入式（23），[R]ti，ti+1=e-κ[R] 钛-1，ti+（1- E-κ)θ +1.- E-κκZtiti-1γe-κ（ti）-u） pVudWvu+Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds- E-κZtiti-1Zsti-1γe-κ（s）-u） pVudWvuds=e-κ[R] 钛-1，ti+（1- E-κ)θ+Zti+1tiZstiγe-κ（s）-u） pVudWvuds+e-κZtiti-1Ztisγe-κ（s）-u） PVUDWVUD上述公式最后两次积分表示的误差项近似为anMA（1）过程。有关综合方差和已实现方差的ARMA表示的详细信息，请参阅Meddahi（2003）。我们利用这个事实来估计斜率参数e-κ[R]ti，ti+1-[R] =e-κ（[R]ti-1，ti- [R] ）+ni+bni-其中[R]表示综合方差的样本平均值，我们使用n表示MA（1）误差项。目前，ARMA模型的估计过程是由几个统计包提供的。让^κ表示通过该方法获得的κ的估计量。第三，参数γ表示方差的波动性。作为t→ ∞, E[Vt]- E[Vt]→γθ2κ由等式（8）确定。利用这个事实和等式（9），我们得到[R] t→ θt+γθκE-κtκ+t-κ.换言之，这是通过假设V开始为负（或至少很久以前）并在t处处于静止状态，对s q二阶矩的预期。因此，γ的估计值为^γ=Vuutmpm-1i=0d[R]ti，ti+1-^θ^θ^κE- ^κ^κ+ -^κ.第四，为了估计杠杆参数ρ（考虑回报的偏度），我们使用上一节推导的三阶矩变化预期公式。

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2022-5-5 05:25:02

因为三阶矩变化的长期预期是由[R，R]t= 2ZtE[RuVu]du→2γρθκE-κtκ+t-κ（24）因此，杠杆参数ρ由^ρ=MPM估计-1i=0\\[R，R]ti，ti+12^γ^θ^κE- ^κ-1^κ+ .现在，我们开始一个GMM程序，已知为一致和渐近正态估值器，根据动量与其滞后值之间的精确关系来估计赫斯顿模型。这种方法与之前基于长期近似的简单估计略有不同。为了简单起见，我们重写[Vti+1 | Fti]=e-κVti+θ（1）- E-κ) = : aVti+b.（25）考虑式（19），我们将α=2γρκ1.- E-κ(κ + 1),β=2γρκE-κ(κ + 2) - 2κ+ θ、然后，通过将结果组合在等式中。（19）和（25），E[[R，R]ti，ti+1 | Fti]=a[R，R]ti-1，ti- aβ+αb+β（26）同样，通过考虑等式（10），putC=κ（e-κ- 1） D=-κθ +γκE-κ+4θκe-κ-2θκ+γκE-2κ+2θκ -2θκ+γκE=2θκθ +γκE-κ+ 2.γθκ-θκE-κ+θκ+γθ2κE-2κ+ θ+γθκ-2θκ +θκ-5γθ2κ和等式（8），putc=e-2κd=2κθ+γκ（e-κ- E-2κ)f=θ（2κθ+γ）κ- E-κ+E-2κ.然后我们有[R]ti+1，ti+2 | Fti+1i=c[R]ti，ti+1+Cd+（a- c） Dα[R]ti，ti+1-βα（Cd+）（a- c） D）+Cf+bD+（1）- c） E=：c[R]ti，ti+1+F[R]ti，ti+1+G（27），其中α=（1）- E-κ)/κ和β=（1）- α)θ.现在我们在等式中有三个精确的关系。（20）（26）和（27）之间的变化及其滞后值。

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2022-5-5 05:25:06

注意，这取决于变量的连续关系，与s IMPLE方法相比，s IMPLE方法在很大程度上取决于表2的样本平均值：赫斯顿模型的估计结果和s&P 500返回赫斯顿模型s&P 500模型I简单GMM模型II简单GMMSPLE GMMθ0.05 0.0493 0.0475 0.02 0.0202 0.0196 0.0194（0.0076）（0.0022）（0.0056）κ5 6.14667.2500 15 14.320 13.40410.047 9.28（1.7295）（2.6344）（13.909）γ0.8 0.7708 0.5792 0.7 0.6571 0.50750.8483 0.4168（0.0065）（0.0422）（0.2216）ρ-0.5-0.6719-0.7937 0.3 0.3957 0.5551-0.6189-0.9891（4.9118）1.5832）（5.6924）变化。根据这些关系，我们考虑η={κ，θ，γ，ρ}的客观函数来执行矩估计的广义方法：g（η）=[R] ti+1，ti+2- E-κ[R] ti，ti+1- (1 - E-κ)θ{[R]ti+1，ti+2- E-κ[R] ti，ti+1- (1 - E-κ)θ}[R] 钛-1，ti{[R]ti+1，ti+2- E-κ[R] ti，ti+1- (1 - E-κ)θ}[R] 钛-2，ti-1[R，R]ti+1，ti+2- a[R，R]ti，ti+1+aβ- αb- β（[R，R]ti+1，ti+2）- a[R，R]ti，ti+1+aβ- αb- β） [R，R]ti-1，ti[R]ti+1，ti+2- c[R]ti，ti+1- F[R]ti，ti+1- G[R]和[R，R]的滞后值用作工具变量，如ARMA（1,1）模型的GMM估计。表2给出了2003年至2007年赫斯顿随机波动率模型和标准普尔500指数收益率序列的估计结果。在表格的第二列和第五列中，我们假设了模型的参数值，第三列和第六列通过简单方法报告了相应的估计值，第四列和第七列通过GMM报告了估计值。在标准普尔500指数收益率序列遵循随机波动模型的假设下，最后两列用简单方法和GMM方法给出了参数估计。括号表示标准误差，f或γ除外，其中报告了γ的标准误差。

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2022-5-5 05:25:09

对于标准普尔500指数数据的GMM，我们使用简单估计的结果作为起点。简单方法的结果与仿真研究中的原始参数设置非常接近。GMM的估计结果与简单方法的结果相比没有太大改善，参数γ和ρ的GMM估计更差。这是因为参数θ、γ和ρ考虑了过程的长期特性。与GMM方法中的连续关系相比，简单方法中的样本平均具有更好的性能，因为连续关系的信息量不足以解释长期预期。因此，当基于连续关系（如等式）进行估计时，很难提高估计性能。（26）和（27）。此外，GMM的估计结果对工具变量的选择非常敏感。我们得出结论，基于变量长期预期的简单估计方法足以估计参数θ、γ和ρ。对于κ的估计，我们需要一个二阶矩的连续关系，而传统的ARMA估计是足够的。用我们的简单方法估算的标准普尔500指数的ρ在量级上大于Bollerslev和Zhou（2002）中估算的ρ，后者是-0.0243. 然而，本文中的数据是1986年至1996年的德国马克-美元即期汇率，这与我们的不同。我们的结果与Ait-Sahalia等人（2013）的结果非常相似，他们使用了2004年至2007年的标准普尔500指数数据，ρ的估计值为-0.77.在Bollerslev和Zhou（2002）中，κ的估计值约为0.14，但本文中模型的单位为每日，但我们的模型为每年。

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2022-5-5 05:25:12

比较经验是有用的(-κ) 这解释了[R]ti，ti+1和[R]ti之间的关系-1，式（20）中的TIA。通过匹配比例，在我们的简单方法中，-κ = 0.0399和d exp(-κ) = 0.9609 andin Bollerslev和Z hou（2002），经验值(-κ) = 0.8637. 这意味着在我们的实证分析中，方差过程中存在较弱的均值回复特性（即更强的持续性）。4结论和未来工作推导了三阶和四阶矩变化的基本性质。我们提出了两种基于已实现的二阶和三阶矩的随机波动率模型估计方法。一种是基于长期矩样本平均和ARMA型估计的简单方法。另一种是基于GMM和二阶和三阶矩之间的精确关系。与复杂的GMM相比，简单的估计方法表现出良好的性能。我们的策略可以应用于其他有效模型，有趣的扩展将是一个多资产的多维金融和经济模型。参考文献Ait-Sahalia，Y.，Fan，J.，和Li，Y.（2013）。杠杆效应之谜：在高频率下解开债务的来源。《金融经济学杂志》，109:224–249。安徒生，T.G.，博勒斯列夫，T.，迪博尔德，F.X.，和拉布斯，P.（2003）。建模和预测灰色波动。《计量经济学》，71:579-625。Bakshi，G.，Kapadia，N.，和Madan，D.（2003年）。股票收益率特征、倾斜定律和个人股票期权的差异定价。金融研究回顾，16:101-143。巴恩多夫-尼尔森，O.E.和谢泼德，N.（2002）。已实现波动的计量经济学分析及其在估计随机波动模型中的应用。英国皇家统计学会期刊：B辑（统计方法），64:253-280。巴恩多夫-尼尔森，O.E.和谢泼德，N.（2004）。随机波动和跳跃的功率和双功率变化。

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2022-5-5 05:25:15

《金融计量经济学杂志》，2:1-37。Bollerslev，T.，Gib son，M.，和Zhou，H.（2011）。从期权隐含和已实现的波动率动态估计波动率风险溢价和投资者风险规避。经济计量学杂志，160:235–245。Bollerslev，T.和Zhou，H.（2002）。利用综合波动率的条件矩估计随机波动率差异。《计量经济学杂志》，109:33–65。布鲁克斯，C.，伯克，S。P.，Heravi，S.和Persand，G.（2005年）。自回归条件峰度。金融计量经济学杂志，3:399-421。Choe，G.H.和Lee，K.（2014）。高力矩变化及其应用。《未来市场杂志》，34:1040-1061。克里斯托·弗尔森，P.，赫斯顿，S.，和雅各布斯，K.（2006）。具有条件偏度的期权估值。《计量经济学杂志》，131:253–284。Da Fonseca，J.和Zaatour，R.（2014年）。Hawkes过程：快速校准、应用于聚类和区分限制。期货市场杂志，34:548–579。R.加西亚、M.-A.刘易斯、S.帕斯托雷洛和雷诺，E.（2011）。基于综合波动矩的客观和风险中性分布估计。《计量经济学杂志》，160:22-32。P.R.汉森和A.伦德（2006）。已实现的差异和市场微观结构噪音。商业和经济统计杂志，24:127–161。Harvey，C.R.和Siddique，A.（1999年）。自回归条件偏度。《金融与定量分析杂志》，34:465–487。Harvey，C.R.和Siddique，A.（2000年）。资产定价测试中的条件偏斜。《金融杂志》，55:1263-1295。赫斯顿，S.（1993）。具有随机波动性的期权的闭式解，适用于债券和货币期权。金融研究回顾，6:327–343。Kim，T-H.和White，H.（2004）。关于偏斜度和峰度的更稳健估计。

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2022-5-5 05:25:19

《金融研究信》，1:56-73。科詹，R.，纽伯格，A.，和施奈德，P.（2013）。股票指数市场的扭曲风险溢价。《金融研究回顾》，26:2174-2203。Kraus，A.和Litzenberger，R.H.（1976）。偏态偏好与风险资产估值。《金融杂志》，31:1085-1100。Le\'on，A.，Rubio，G.，和Serna，G.（2005）。自回归条件波动率、偏度和峰度。《经济与金融季刊》，45:599-618。Marabel Romo，J.（2014）。远期倾斜相关衍生品的定价。多因素对单因素的随机波动模型。期货市场杂志，34:124–144。梅达希，N.（2003）。综合方差和实际方差的ARMA表示。《计量经济学杂志》，6:335–356。Mykland，P.A.和Zhang，L.（2009）。高频率观测到的连续半鞅的推论。《计量经济学》，77:1403-1445。Neuberger，A.（2012年）。意识到的偏斜。《金融研究回顾》，25:3423–3455。肖滕斯，W.（2005）。瞬间交换。定量金融，5:525–530。威尔科克森，F.（1945）。Ind-ividual Comparison by ranking method s.生物特征公告，1:80–83。赵，H.，张，J.E.，和张，E.C.（2013）。物理和风险中性肿瘤之间的关系。《国际金融评论》，13:345-381。四阶矩变量的矩条件我们考虑E[[r]t]的矩条件。注意E[RuVu]=E似曾相识ZuRsdRs+Zud[R]s= EV+Zuκ（θ）- Vs）ds+ZupVsdWvsZurspvsdws+ EVuZuVsds= -κEZuvSdZurSpvSdWss+ EZuRsVsds+ EVuZuVsds.对于第二项和第三项，我们已经在命题1和命题2中推导了。

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2022-5-5 05:25:22

对于r.h.s.的第一个任期，我们有M（u）：=EZuvSdZurSpvSdWss= E祖夫人ZsRkpVkdWskds安第斯山脉VsZsRkpVkdWsk= EV+ZsdVkZsRkpVkdWsk= EZsκ（θ）- Vk）dkZsRkpVkdWsk+ EZsγpVkdWvkZsRkpVkdWsk= -κEZsVkdkZsRkpVkdWsk+ EγρZsRkVkdk= -κm（s）+γρκ（五）- θ)1.- E-κs（κs+1）κ+ θE-κs- 1κ+s亨塞姆（u）=祖-κm（s）+γρκ（五）- θ)1.- E-κs（κs+1）κ+ θE-κs- 1κ+s通过求解积分方程，我们得到m（u）=γρκ（五）- θ)1.- E-κu-κu+κuE-κu+ θ2（e）-κu- 1） +κu（1+e）-κu）.因此，通过使用命题1和命题2，我们导出了[RuVu]=γρκ（五）- θ)1.- E-κu-κu+κuE-κu+ θ2（e）-κu- 1） +κu（1+e）-κu）+ （五）- θ)θ +γκue-uκ+（五）- θ）（五）- 2θ)κ-γVκE-κu+-（五）- θ)κ+γκ五、-θE-2κu+θu+（V- θ)θκ+γθ2κ+γρκ（五）- θ)1.- E-κu（κu+1）κ+ θE-κt- 1κ+u.此外，通过将E[RuVu]与u积分，导出了四动量变化的矩条件。B三阶矩变量的方差假设EQ的随机波动率模型。（4）和（5）。波动率中的漂移项通常会导致推导三阶矩方差的非常复杂的计算。[0，t]上的第三个矩的变化是[R，R]t=2ztruvuduan，第三个矩的变化是var（[R，R]t）=4E“ZtRuVudu#- 4.EZtRuVudu.r.h.s.中的第二个术语定义在命题2中。让我们∨ u表示沙u的最小值。要计算r.h.s.的第一项，我们有“ZtRuVudu#= EZtruvursvsduds=中兴[RuVuRsVs]duds=中兴[Ru]∨sVu∨s（Ru）∨s+R）（似曾相识）∨s+V）]duds=ZTE[Ru∨sVu∨s+Ru∨sVu∨sV+Ru∨sVu∨sR+Ru∨sVu∨sRV]duds。对于被积函数中每个项的期望，我们有[Ru]∨sVu∨sV]=E[Ru∨sVu∨sE[V | Fs∨u] ]=E[Ru∨sVu∨s（Vu）∨s- θ）（e）-κs-u型|- 1） ]=E[[Ru]∨sVu∨s] （e）-κs-u|- 1) - E[[Ru]∨sVu∨s] θ（e）-κs-u|- 1）我们使用Eq。

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