此外，用S1和S2表示的两种订单调度策略被认为部分反映了最优交易方案的多样性：oS1：用于VWAP基准的线性调度（ni=ntotal/M）S2：指数调度ni=ntotal（e-（一）-1)/4- E-i/4），用于基准S。最后，请注意，假设3和4对订单取消流程有效。3.2.1战术性能分析执行算法的性能通常通过滑动来衡量，滑动由Lippage=Pbenchmark定义（对于abuy订单）- PexecPbenchmark。为了了解下单策略对执行延误的影响，我们通过以下方式定义了理论调度延误：Ptheoexec=MXi=1NivwapislipageTheo=Pbenchmark- PtheoexecPbenchmark，其中vwapi表示i的成交量加权平均交易价格-第四片。实际上，当关注调度算法时，VWAPI通常被认为是切片中执行价格的简单代理。因此，sliptage本质上衡量了排程策略的质量，而忽略了由于下单策略而导致的执行价格的随机性。请注意，这里的市场影响因素包括在理论调度延误的计算中。这是因为每个切片中VWAPI的值明显受到我们执行的影响。我们为每一对（S1/S2、T1/T2）进行了2000次模拟。这些模拟中使用了为stock France Telecom估算的强度函数，以及第3.1节中校准的两个参数θ=0.7和θreinit=0.85。此外，在估计滑移和滑移的概率密度函数时，我们使用了标准的核平滑方法。

结果如图11所示。在执行服务中，客户通常希望执行算法以特定价格为目标（到达价格、预定期间的平均市场价格等）。然后，根据已实现执行价格与该目标基准价格之间的差异来评估执行质量-6-4-2 0 2 4 600.10.20.30.40.50.60.70.80.9滑移密度函数线性调度，VWAP s1+t1，模拟滑移1+t1，理论滑移1+t2，模拟滑移1+t2，理论滑移80-60-40-20 20 40 6000.0050.010.0150.020.0250.03滑移密度函数指数调度，到达价格s2+t1，模拟滑移2+t1，理论滑移2+t2，模拟滑移2+t2，理论滑移图11：策略的模拟结果图11表明，使用两种不同策略的同一调度策略的滑移分布可能非常不同：当与带有VWAP基准的线性调度策略结合时，T2（“盯住最佳”）的性能优于T1（“开火并忘记”），而在考虑到达价格基准的指数调度策略时，T1的性能略优于T2。在我们的设置中，限制订单会改变队列大小，从而修改订单流的行为。因此，它们会产生市场影响。通过持续跟踪最佳队列，直到总容量被填满，T2平均实现了更高的被动执行率（定义为被动执行的容量除以总执行量）。因此，在每一部分中，它通常比基于市场订单的策略获得更好的价格。然而，同时，由于订单在队列中停留的时间更长，它产生的影响比T1更大。

这就解释了为什么对于使用指数调度策略的到达价格基准执行，T2的理论调度Lippage比T1的差。3.2.2市场影响报告我们现在研究这两种策略的市场影响报告。回想一下，下单策略有两个参数：切片持续时间T和执行数量n。在以下实验中，T设置为10分钟，n的值从1到60 AES不等。MIi（t，n）在策略i的时间t对市场的影响，目标数量n，定义为：MIi（t，n）=E[St-我们在1-60秒和1-600秒的范围内，对n，t的每个值进行了2000次模拟。图12给出了影响曲线。与著名的“平方根定律”一致，见Gathereal（2010）；托斯、莱姆佩里埃、德兰贝尔、德拉泰莱德、科克尔科伦和布乔德（2011a）；Farmer、Gerig、Lillo和Waelbroeck（2013），市场影响曲线在时间和数量上都是凹的。人们还可以看到，T1的影响是非常瞬时的，基本上取决于目标数量n，而T2的影响是一个渐进的过程，既取决于目标数量，也取决于时间t。请注意，T2在处理小订单时似乎是合适的，因为它的市场影响很小，被动执行率高于T1。

如果一个人需要交易largerA buy，那么如果它发生在LOB的出价端，那么执行是被动的，如果它发生在LOB的风险端，那么执行是积极的。0 100 200 300 400 500 6000123456时间（秒）影响（bp）市场影响概况策略1 n=1n=10n=20n=30n=40n=50n=600 100 200 300 400 500 600051015225时间（秒）影响（bp）市场影响概况策略2 n=1n=10n=20n=30n=40n=50n=60图12：市场影响预测订单，T1可能变得更具相关性，因为市场影响的成本可能超过T2被动执行的好处。最后，请注意，在我们的马尔可夫框架中，可以观察到明显的价格放松（即平均而言，在完成购买订单执行后，价格可能会下降到低于执行结束时的水平）。4结论与展望在这项工作中，我们通过市场参与者对LOB不同状态的平均行为来模拟他们的智力。这使我们能够分析不同的订单流，并为从业者设计合适的市场模拟器，尤其是调查复杂交易策略的交易成本。据我们所知，我们的模型是第一个能够以简单有效的方式进行交易前成本分析的模型。另一个重要的公共信息，即历史顺序流，在这种方法中不被考虑。一些实证研究表明，市场订单流量是自相关的，例如Toth、Palit、Lillo和Farmer（2011b）。因此，在我们的框架中添加这样的功能可能是相关的。未来研究的另一个可能方向是以更复杂的方式解释估计强度函数的形状。

例如，设计一些基于代理的模型，在其中复制LOB动力学的这些重复模式，从而更好地理解这些强度曲线的性质，这将是一件有趣的事情。5附录5。定理2.1的证明。对于某些z>1，setV（q）=KXj=-K、 j6=0z | qj-Cbound |+。任何问题∈ Ohm, 我们有：QV（q）=Xp6=qQq，p[V（p）- V（q）]=KXi=-K、 i6=0[fi（q）（z | qi+1-Cbound|+- 齐-Cbound |+）+gi（q）（z|qi）-1.-Cbound|+- 齐-Cbound |+）]=KXi=-K、 i6=0[fi（q）1qi≥Cboundz|qi-Cbound |+（z）- 1） +gi（q）1qi≥Cbound+1z|qi-Cbound |+（z）- 1） ]=（z）- 1） KXi=-K、 i6=0[fi（q）1qi≥Cbound-gi（q）1qi≥Cbound+1z]z|qi-Cbound |+=（z）- 1） Xi:qi=Cboundfi（q）+（z）- 1） Xi:qi>Cbound[fi（q）-gi（q）z]zqi-Cbound。（1） 在假设1和2下，我们可以找到一个非常接近1的z，如果qi>Cbound，fi（q）-gi（q）z<z-1(-r+H（z）- 1)) = -r<0。从方程（1）中，我们得到了qv（q）≤ （z）- 1） H类- （z）- 1） Xi:qi>Cboundrzqi-Cbound≤ -（z）- 1） rXiz|qi-Cbound |++（z- 1） H+2（z）- 1） rK≤ -（z）- 1） rV（q）+（z）- 1） [H+2rKz]。因此X（t）是V-一致遍历的。然后使用Meyn和Tweedie（1993）中的定理4.2，X（t）是Harris正递归的，具有有限不变测度。此外，根据Norris（1998）中的定理3.6.2，过程X（t）收敛到其平衡，因此是遍历的。5.2置信区间的计算当队列是独立的，根据中心极限定理，我们有，渐近概率95%（我们注意^piL（n）=#T（ω）∈E+，qi（ω）=n}{qi（ω）=n}）：λi（n）∈ [^∧i（n）-1.96^∧i（n）p#{qi（ω）=n}，^∧i（n）+1.96^∧i（n）p#{qi（ω）=n}]λLi（n）i（n）∈ [^piL（n）-1.96q^piL（n）（1）- ^piL（n））p#{qi（ω）=n}，^piL（n）+1.96q^piL（n）（1）- ^piL（n））p#{qi（ω）=n}]。所以，至少概率为90%：λLi（n）∈ [（^∧i（n）-1.96^∧i（n）p#{qi（ω）=n}）（^piL（n）-1.96q^piL（n）（1）- ^piL（n）p#{qi（ω）=n}）（^∧i（n）+1.96^∧i（n）p#{qi（ω）=n}）（^piL（n）+1.96q^piL（n）（1）- ^piL（n））p#{qi（ω）=n}]。对于λcian和λMi，可以计算出类似的结果。

用于计算模型II的密度区间的方法非常相似。在模型IIb中，置信区间更难计算，我们通过忽略两个集合之间可能的交点来使用近似：{q（ω）=n，Sm，l（q-1(ω)) ∈ s） }和{q-1（ω）=n，Sm，l（q（ω））∈ s） 5.3准出生和死亡过程定义5.1。（准生灭过程，来自Latouche和Ramaswami（1999））：Aquasi生灭（QBD）过程是一个具有可数状态空间={（i，j）：i的二元马尔可夫过程≥ 0，j=0，1。。。，m} 其中第一个元素i称为过程的水平，第二个元素j称为过程的阶段。参数m可以是有限的或有限的。该过程仅限于水平跳转到其最近的邻居，这意味着从i级直接跳转到l级的可能性≥ i+2或l≤ 我- 2等于零。我们可以很容易地看到，模型IIA中的马尔可夫过程（q，q）确实是一个具有可数相位的QBD过程。其最小生成矩阵的形式如下：=A（0）A（0）0。。。A（1）A（1）A（1）0。。。0A（2）A（2）A（2）。。。,其中矩阵A（`）编码从级别q=`到级别q=`+1的转换，矩阵A（`）编码从级别q=`到级别q=`的转换- 1，矩阵A（`）对级别q=`内的转换进行编码。更具体地说，A（`）的元素（i，j）是从状态（q=`，q=i）到状态（q=`+1，q=j）的转换率，A（`）的元素（i，j）是从状态（q=`，q=i）到状态（q=`）的转换率- A（`）的元素（i，j）是从状态（q=`，q=i）到状态（q=`，q=j）的转换率。当q=0时，我们在qq处写强度函数。

对于矩阵A（`）i，i=0，1，2，我们有：A（k）=λL（k）i，A（k）=（λC（k）+λMbuy（k））i，A（0）=-λL（0）-~λL（0）~λL（0）0。。。λC（1）+λMbuy（1）-λL（0）-λL（1）-λC（1）-~λMbuy（1）~λL（1）。。。∧λC（2）+∧Mbuy（2）-λL（0）-λL（2）-λC（2）-λMbuy（2）。。。,对k来说呢≥ 1:A（k）=-λC（k）- λMbuy（k）- λL（k）- λL（0）λL（0）0。。。λC（1）-λC（k）- λMbuy（k）- λL（k）- λL（1）- λC（1）λL（1）。。。.我们定义了πi，j=P[q=i，q=j]这个QBD过程的平稳分布，并且：πn=[πn，0，πn，1，…]π = [π, π, ...].我们将得到：πQ=0π1=1。两个队列系统（q，q）的动力学是水平相关的，这意味着其转移核取决于q的值。这使得其渐近行为的计算或近似相当困难。因此，我们考虑一个额外的假设，以便将（q，q）转化为所谓的与能级无关的QBD过程。这一点特别有趣，因为它使我们能够轻松地用矩阵几何形式表示不变测度，并进行数值计算。水平独立性属性由以下事实定义：≥ 1，A（i），A（i）和A（i）不依赖于i和A（0）=A（i），见拉图什和拉马斯瓦米（1999）。在以下假设下，该性质满足模型IIa中的（q，q）。假设5。（第一个极限处的独立泊松流）有两个正常数λ和u，λ<u，因此对于k≥ 1：λC（k）+λMbuy（k）=λL（k）=λL（0）=λ。在实践中，λ和u被视为第一极限估计强度函数的平均值。在这个假设下，不变量分布的一个非常简单的数值计算是可能的。一般来说，具有有限阶段的QBD过程（在我们的例子中，意味着第二维度的值集是有限的）可以很容易地处理，例如Latouche和Ramaswami（1999）。

在有限的情况下，必须应用截断方法来获得近似结果。由于我们模型中生成器的特殊结构，可以应用一种简单的截断方法，称为“按块增加第一列”。这种截断方法的详细信息可以在Bean and Latouche（2010）中找到。