但是我们的calloption扩展中的错误是-φ（y）*)/to（t）（t）→ 0) .因此，我们发现[LPP15]的结果只给出了比我们在OREM 4.6 ifN中的渐近看涨期权估计更严格的误差界≥ O洛格特φ（y）*) -x2σ（t）→ 0），这将需要计算O（t logt）！[LPP15]扩展中的术语（rec all THAT logt）→ ∞ 作为t→ 0，但增长速度慢于t）（还请注意φ（y*) -x2σ为正，因为σ是通过[LPP15]中假设4.1i中的椭圆度条件得出的扩散矩阵的上界。7数值示例：SABR模型考虑众所周知的SABR模型，β=1，单位为vol：dXt=-Ytdt+YtdWt，dYt=YtdWt，（36）初始值（X，Y）=（X，Y）∈ R×R+和独立的标准布朗运动Wand W。与该模型相关的度量是上半平面H上的双曲度量ds=y（dx+dy），g（x，y）=g（x，y）=yand g（x，y）=g（x，y）=0，sop | g（x，y）|=y。对于双曲度量，已知（参见[HL08]第170页和Paulot[Pau10]）td（x，y；x，y）=cosh-1[1+（x- x） +（y）- y） 2yy]，y*=q（x）- x） +y，d:=d（x，y；x，y）*) = 科什-1[p（x- x） +yy]，Eyy（x，y；x，y*) = φ′′（y）*) =d（x，y；x，y）*)yy*sinh d（x，y；x，y）*).我们也有 =Yx+Y, A=-Yx、 u（x，y；x，y）=sinh d（x，y；x，y）d（x，y；x，y）-,A（x，y；x，y）=ZhA，˙γidt=Zxxy·-ydx=-（十）- x） 。在不丧失普遍性的情况下，我们可以设置x=0，得到asv（x）=Kψ（y）*)pφ′（y）*)2φ（y）*)=柯-（十）-x） （新罕布什尔州）-pd/（yy）*信德。-0.10-0.050.050.100.2020.2040.2060.2080.210图1：这里我们考虑了不相关的SABR模型dSt=StYtdWt，dYt=αYtdWtwith S=1，y=0.2，α=1和成熟度t=0.1——我们使用（27）绘制了领先顺序微笑（下曲线，实线灰色细线）和修正的隐含波动率微笑（浅灰色）。

我们还绘制了精确的微笑（使用[AS12]中的公式通过数值积分计算），用红色虚线表示（从我们用浅灰色表示的修正微笑中几乎看不出来），用N=3表示的L orig、Pagliarani和Pascucci截断的表达式（深蓝色），使用快速蒙特卡罗方案表示微笑（使用菱形标记表示，使用600万个模拟和1000个时间步），使用著名的Ha-gan等人[HKLW02]公式（黑色虚线，位于红色虚线曲线上方和THLPP微笑下方）和Durreman[Dur04]近似值（黑色圆点）（参见[Dur04]中的定理3.1.1，这也是[FJ1 1]中的greeswith定理4.1]）（Mathematica代码可根据要求从MF获得）-0.2-0.10.00.10.20.0010.0020.0030.0040.0050.0060.007图2：这里我们绘制了我们的修正项a（x）（蓝色）与[AS12]所暗示的a（x）和蒙特卡罗买入价格所暗示的a（x），即（σMC（x）- σ（x））/t（菱形标记）。我们对a（x）的计算公式与Paulot[Pau10]第4.3节和Busca等人[BBF04]的方程（6.10）中给出的展开式完全一致（即机器精度）。在下面的第一个表格中，我们显示了领先顺序微笑、第一顺序修正微笑和蒙特卡罗σMC的隐含波动率，作为对数货币的函数。

在第二个表中，我们展示了a（x）与a（x）的对比，a（x）由（σMC（x）给出的蒙特卡罗隐含波动率暗示-σ（x））/t以及[AS12]中公式所暗示的a（x）。零次或一阶修正蒙特卡罗相对误差0。0001 0.2 0.201668 0.201664-0.0021272 6%0.04 0.201319 0.202961 0.20295-0.005 42944%0.08 0.20511 0.206705 0.206709 0.00220052%0.12 0.210961 0.212489 0.212503 0.00685656%0.16 0.21838 0.21983 0.219846 0.00760195%0.2 0.226919 0.2280.22828-0.003244%x（MC）[σx]- σ（x）]/ta（x）安东诺夫&a（x）与MC0的谱相对误差。0001 0.00670034 0.00668307 0.00662428-0.257743%0.04 0.00664065 0.00659592 0.00659901-0.673579%0.08 0.00656944 0.00658825 0.00653502 0.286241%0.12 0.00646856 0.00653048 0.00643458 0.957229%0.16 0.00635304 0.00642651 0.00632072 1.15654%0.00623259 0.1980.0065446-我们现在将随机波动率模型扩展为单跳随机模型（12） 通过将单个（独立）泊松跳跃合并到常数密度λ>0的默认值，并设置ρ=0，σ（x）≡ 1为简单起见，因此St=eXtτ>twhere X satifiesdXt=（λ）-Yt）dt+YtdWt，dYt=u（Yt）dt+α（Yt）dWt，（37）和τ~ Exp（λ）是S的默认时间（与W无关，W），X=0，Y=Y∈ R+。然后，在时间为零的情况下，按K>Sis e的顺序计算出无本金看涨期权的价格-λtE（eXt）- K） +。但是e-λt=1+O（t），因此实际违约对看涨期权的影响不会在我们感兴趣的订单上看到。然而，补偿器漂移项λdt的影响将在前导阶被感受到，并将增加第4节中定义的P（x，y）。3（以及领先顺序的看涨期权价格）乘以以下系数：eλRy（x（t））dxdtdtt（38），其中x（t）是（0，y）到垂直线{x=x}的最短测地线的x坐标。根据geode sics的标准属性（例如。

[doC92]以及[FJ11]中的方程式（16），我们知道测地线的速度是被观测的，即L=ydxdt+α（y）戴特= E（39）对于一些能量常数E>0，其中L是拉格朗日量。但从第二个Euler-Lagrange方程，我们也知道L ˙x=滴滴涕ydxdt= 0 . （40）因此K=ydxd也是一个守恒量，所以我们可以重写（39）asyK+α（y）戴特= E（41）根据测地线的标准性质，我们知道从（0，y）到{x=x}线的最短距离是d（x）=√从（0，y）到{x=x}的最短测地线fr om（0，y）垂直于（x，y）处的y轴*（x） 在这一点上，sodydt=0，因此从（41）我们得到了（y）*（x） ）=E/K.图斯克=√嗯*（x） =d（x）y*（x） ，（42）so（38）简化为eλd（x）/y*（x） 从（28）中，我们发现修正（即跳变调整）的校正项是给定的：yaj（x）=a（x）+2λ^σ（x）xd（x）y*（x） 。然后，使用（29），我们可以看到，跳转到-de故障的存在增加了隐含波动率的数量：^σJ（x）：=λ^σ（x）xd（x）y*（x） t+o（t）=λ^σ（x）| x | y*（x） t+o（t）。对于行权K<S的无本金看跌期权，小时间行为在质量上完全不同，我们看到e（K- St）+=K（1）- E-λt）+e-λtconst。×e-φ（y）*)/tt[1+o（1）]（t→ 0）=K∞Xn=1(-1） n+1（λt）nn！+o（tq）（t）→ 0）（43）对于任何q>0。从这些观察结果中，我们注意到以下几点：o对于x>0，新的修正项aJ（x）趋向于与x一致→ 0，这意味着limx0t^σt（x）|t=0=∞;这可能不公平t^σt（0）（本文中未计算），但对于具有非零布朗余元的一般经验L’evy模型，Figuer oa-L’opez等人[FGH14]中的方程（1.14）表明^σt（0）=σ+常数。

×t1-Y+o（t1-Y） ，（44）Y在哪里∈ （0,2）表示跳跃活动的程度，（44）表示t^σt（0）|t=0=∞.o 对我们来说，K<Scase在数学上并不那么有趣；我们看到（43）中的小时间看跌期权价格扩张是p-owers t中的泰勒序列（其系数均不受随机波动性的影响）。在这种情况下，可以证明隐含波动率倾向于∞ 作为t→ 0（详见[FFL2]等），类似于纯本质L’evy模型；我们向[FGH12]等人咨询这方面的更多结果。参考文献[AP07]Andersen，L.B.G.，V.V.Piterberg，“随机波动模型中的瞬间爆炸”，金融与随机，11（1），29-502007。[AS12]Antonov，A.和M.Spector，“SABR模型的高级分析”，http://ssrn.com/abstract=2026350, 2012.[Bel81]Bellaiche，C.，“pt（x，y）的无症状行为”，阿斯特埃里克，84-85151-1871981年。[BA88]Ben Arous，G.“维纳空间的拉普拉斯和相位统计方法”，随机，25:125-1531988。[BBF02]Berestycki，H.，J.Busca和I.Florent，“局部波动模型的渐近性和校准”，量化金融，2，61-692002。[BS13]Brunick，G.和S.Shreve，“通过随机微分方程的解匹配It^o过程”，应用概率年鉴，231584-162813。[BBF04]Berestycki，H.，J.Busca和I.Flo rent，“计算随机波动率模型中的隐含波动率”，纯数学和应用数学通讯，57（10），1352-1373，2004年。[Chav84]Chavel，I.，“黎曼几何中的特征值”，纯数学与应用数学，第卷。

1984年，佛罗里达州奥兰多，AcademicPress Inc.115号。[Dav88]Davies，E.B.，“黎曼流形上某些二阶或德尔算子的热核的高斯上界”，泛函分析杂志，80,16-321988。[DFJV11]Deuschel，J.D.，P.K.Friz，A.Jacquier，S.Violante，“差异和随机波动的边际密度扩展，第二部分：理论基础”，纯数学和应用数学通讯，67（2）：321-3502014。[DFJV11b]Deuschel，J.D.，P.K.Friz，A.Jacquier，S.Violante，“差异和随机波动的边际密度扩展，第一部分：应用”，纯数学和应用数学交流，67（1）：40-822014。[dW65]DeWitt，B.S.《群与场的动力学理论》，戈登和弗雷奇，1965年。[doC92]do Carmo，M.，“黎曼几何”，Birkh–auser，1992年。[Don11]Donaldson，S.，“黎曼曲面”，牛津大学出版社，2011年。[Dur04]Durreman，V.，“从隐含到现场波动”，P hD论文，普林斯顿大学，2004年。[FFL12]Figueroa-L\'opez，J.E.和M.Forde，“E xp单一L\'evy模型的小成熟微笑”，暹罗金融数学杂志，2012年3月33-65日。[FGH14]Figueroa-L\'opez，J.E.，R.Gong和C.Houdr\'E，“指数L\'evy模型ATM期权价格的高阶短期扩展”，数学金融，26（3），516-557，2016年。[FGH12]Figueroa-L\'opez，J.E.，R.Gong和C.Houdr\'E，“具有L\'evy跳跃的随机波动率模型的分布、密度和期权价格的小时间扩展”，随机过程及其应用，1221808-18392012。[FJ11]Forde，M.a和a.Jacquier，“一般局部随机波动率模型下隐含波动率的小时间渐近性”，应用数学金融，18517-5352011。[FJL12]福特，M.，A.杰奎尔和R。

Lee，“赫斯顿模式l下隐含波动率的小时间微笑和期限结构”，暹罗金融数学杂志，3690-7082012年。[FdM13]Friz，P.和S.DeMarco，“Varadhan公式、条件性差异和局部波动性”，http://arxiv.org/pdf/1311.1545.pdf, 2013.[GHLOW12]Gathereal，G.Hsu，E.P.Laurence，C.Ouyang和T.-H.Wang，“局部波动模型中隐含波动的渐近性”，（2012），数学金融，22（4），591-620，2012。[Gy–o86]Gy–ongy，I.“模拟具有It^o微分的过程的一维边际分布”，概率论和相关领域，71（4），5 01-516，1986。[HKLW02]Hagan，P.，D.Kumar，A.S.Lesniewski和D.E.Woodward，“管理微笑风险”，威尔莫特杂志，2002年。[HL08]Henry Labord`ere，P.，“金融中的分析、几何和建模：期权定价的高级方法”，查普曼和霍尔，2008年。[Hsu]Hsu，E.P.，“黎曼流形上布朗运动简介”，未发表的课堂讲稿。[Hsu02]许旭，E.P.，“流形上的随机分析”，数学研究生课程，第38卷，美国数学学会，普罗维登斯，国际扶轮，2002年2月20日。[Jost09]Jost，J.，“黎曼几何和几何分析”，第五版，斯普林格，2008年。[Jour04]Jourda in，B，“具有对数正态随机波动率的资产价格模型中的马丁尼性损失”，预印本Cermics，267，2004年。[KS91]Karatzas，I.和S.Shre-ve，“布朗运动与随机微积分”，Springer Verlag，1991年。[Laur08]Laurence，P.，“隐含波动率，基本解，渐近分析和对称方法”，加州理工学院，2008年4月。[Laur10]Laurence，P.，“局部波动和SABR模型的渐近性”，全球衍生品，法国巴黎，2010年。[Lew07]Lewis，A.，“一类随机波动率模型的几何和微笑渐近”，www.optioncity。net，2007年。[LM07]狮子，P-L.和M。

Musiela，“随机容量模型的相关性和界限”，《庞加莱研究所年鉴》（C）非线性分析》，2007年第24（1），1-16页。[LPP15]Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci，“多变量局部随机波动模型的显式隐含波动率”，发表于《数学金融》，2015年。[LPP14]Lorig，M.，S.Pagliarani和A.Pascucci，“抛物型方程的解析展开”，SI AM应用数学杂志，75（2），468-4 912014。[MA73]Misne r，C.W.和J.Archibald，“引力”，W.H.Freeman and Company，1973年。[McKean，H.P.，“光谱的上限 关于负曲率的流形”，微分几何杂志，4359-36620。[MO91]McActivity，D.M.和H.Osborn，“带边界流形热核的DeWitt展开”，经典量子引力，8603-6381991。[MP49]Minakshisundaram，S.和A.Pleijel，“黎曼流形上拉普拉斯算子本征函数的一些性质”，加拿大数学杂志，1242-2561949。[Mol75]Molchanov，S.，“扩散过程和黎曼几何”，俄罗斯数学调查30:1，1-631975。[MY05]Matsumoto，H.和Yor，M.，“布朗运动的指数泛函II：一些相关的扩散过程”，概率调查，2348-3842005。[Neel07]Neel，R.，“切轨迹处热核的小时间渐近性”，《分析与几何通讯》15（4），845-890，2007。[NS91]Norris，J.a.和D.W.Stroock，“具有统一椭圆系数的热流基本解的估计”，《伦敦数学学会学报》，62,37 5-402,1 991[Olv74]Olver，F.W.，“渐近性和特殊函数”，学术出版社，1974年。[Pau10]Paulot，L.“二阶渐近隐含波动率及其在SABR模型中的应用”，工作论文，2010年。[PP14]帕利亚拉尼，S.和A。

Pascucci，“退化抛物方程的渐近展开”，Comptes RendusMathematique，352（12），1011-10162014。[SS03]Stein，E.M.和R.Sharkarchi，“复杂分析”，普林斯顿大学出版社，2003年。[Vass03]Vassilevich，D.V.，“热内核扩展：用户手册”，物理报告388279-360，hep-th/03061382003。定理5.1的一个证明选择了φBS（x，^σ）=φ（y）给出的^σ和A的公式*) 和^ABS（x，σ，a）=ASV（x），其中φBS（x，σ）：=x2σ和^ABS（x，σ，a）：=ABS（x，σ）eaxσ。给定δ>0，选择ε<xδσ。从命题4.8和定理4.6中，存在一个t*> 0，使所有t<t*CBS（S，K，t，p^σ+t（a+δ））- （S）- （K）+≥√2π^ABS（x，^σ，a+δ）e-φBS（x，^σ）/tte-ε、 E（圣- （K）+- （S）- （K）+≤√2πASVe-φ（y）*)/tε=√2π^ABS（x，^σ，a）e-φBS（x，^σ）/tteε。我们现在观察到ε的选择使得^ABS（x，^σ，a+δ）^ABS（x，^σ，a）=exδσ>e2ε。（A-1）国有企业（St- （K）+- （S）- （K）+<√2π^ABS（x，^σ，a+δ）e-φBS（x，^σ）/tte-ε≤ CBS（S，K，t，p^σ+t（a+δ））- （S）- K） +。通过CBS作为波动率函数的单调性，我们推导出^σt（x）≤ ^σ（x）+a（x）t+δt.（a-2）我们继续类似地证明一个下界。B计算A（x，y）明确地称为A=-Y-yσ′（x）σ（x）x+u（y）-（α′（y）α（y）-α（y）y）y、 我们计算a（x，y；x，y*) =ZhA，˙γidt=Zσ（x）yAdγdt+α（y）Adγdtdt=Zσ（x）y(-Y-yσ′（x）σ（x））dγdt+α（y）Adγdtdt=Iγ-2σ（x）[1+σ′（x）σ（x）]dx+α（y）u（y）-（α′（y）α（y）-α（y）y）dy.这是精确1-形式的积分，因此其值不依赖于γ的端点。我们推导出a（x，y；x，y*) = -Zxxσ（x）[1+σ′（x）σ（x）]dx+Zy*yα（y）u（y）-（α′（y）α（y）-α（y）y）阿迪。C命题4.7的证明表示^p（x，y，t）=^pt（x，y；x，y），qt（x，y，t）=qt（x，y，x，y），并将^p（x，y，t）=h（x，y）q（x，y，t）代入原始PDE（17），我们需要找到h（x，y），以使xq和yq是yσ′（x）σ（x）和α（y）2y[yα′（y）- α（y）]，即。

含银 对于ρ6=0的情况，在与（14）等价的表达式中。进行这种替换，我们得到tq=-yσ（x）xhhq+xq+yσ（x）xhhq+2xhhxq+xq+ u（y）yhhq+yq+α（y）yhhq+2嗯yq+yq！+ρyσ（x）α（y）十、yhhq+xhhyq+嗯xq+十、yq.收集q及其导数的系数，我们得到tq=yσ（x）xhh-+ρα（y）σ（x）y嗯xq+α（uy）+yyhh+ρyσ（x）α（y）xhhyq+yσ（x）xq+α（y）yq+ρyσ（x）α（y）十、yq+V（x，y）q，其中V（x，y）=（A）+)啊。（C-1）因此，为了确定函数h，我们施加yσ（x）xhh-+ρα（y）σ（x）y嗯=yσ′（x）σ（x），（C-2）u（y）+α（y）yhh+ρσ（x）yα（y）xhh=α（y）2y[yα′（y）- α（y）]。（C-3）从（C-2）我们得到xh/h=（1+σ′（x）σ（x））-ρα（y）σ（x）yyh/h.将其插入（C-3），我们有yhh=1- ρα′（y）2α（y）-2y-u（y）α（y）-ρy2α（y）（σ（x）+σ′（x））= g（x，y），soh（x，y）=h（x，1）expZyg（x，u）du.现在支持h（·，·）确实存在，并且对于某些（x，y）h（x，y）6=0∈ R×R+，则函数B（x，y）：=log | h（x，y）|是一个两次连续可微函数，局部定义在（x，y）的小范围内。很容易看出，在这个社区，我们yB（x，y）=g（x，y），xB（x，y）=1+σ′（x）σ（x）-ρα（y）σ（x）yg（x，y）。（C-4）然而，对于B（x，y）是局部两次连续可微的，必然，十、yB（x，y）=YxB（x，y），这导致-ρ1 - ρy2α（y）（σ′（x）+σ′′（x））=Y1+σ′（x）σ（x）-ρα（y）σ（x）yg（x，y）（C-5）=-ρ1 - ρσ（x）Yα（y）yα′（y）2α（y）-2y-u（y）α（y）-ρy2α（y）（σ（x）+σ′（x））= -ρ1 - ρσ（x）Yα（y）yα′（y）2α（y）-2y-u（y）α（y）.当ρ=0时，上述等式自动成立。如果ρ6=0，±1，则上述等式等价于（σ′（x）+σ′（x））σ（x）=2α（y）yYα（y）yα′（y）2α（y）-2y-u（y）α（y）, （C-6）除非两边都等于常数b，否则不能成立。假设情况是这样，且b<0，则bσ<σ′（x）+σ′（x）<b′σ<0。将两边乘以exwe得到bσex<ex（σ′（x）+σ′（x））=（exσ′（x））≤b′σex<0。

（C-7）如果我们现在将这两个不等式从0积分到x>0，我们得到bσ（ex- 1） <exσ′（x）- σ′（0）<b′σ（ex- 1) < 0 . （C-8）根据上述不等式求解σ′（x），我们得到-xσ′（0）+bσ（1）- E-x） <σ′（x）<e-xσ′（0）+b′σ（1）- E-x） 。（C-9）让x→ ∞, 我们看到σ′（x）<b′σ<0，这与σ光滑且一致有界的假设相矛盾。类似地，我们可以证明b不能严格为正。因此，唯一的可能性是当σ′（x）+σ′（x）≡ 在这种情况下，唯一的正有界解是σ（x）≡ 对于某些正常数σ。总之，h（x，y）存在的一个必要条件是σ（x）是常数，α（y）y（α′（y）2α（y）-2y-u（y）α（y））≡ c（c-10）对于某些常数c。相反，如果这一点成立，那么，根据一个检验差异的标准（例如，见Donaldson[Don11]第61页），我们可以找到一个B假设（c-4）。因此，如果我们取h:=息税前利润将满足（C-2）和（C-3）。重新排列（C-10），我们得到u（y）=α（y）2y[yα′（y）- α（y）]- cyα（y）。但将α（y）的渐近行为替换为y→ ∞ 根据假设3.1，我们发现u（y）→ ∞ 不幸的≥ 0（yα（y）为主导项）。另一方面，通过将均值定理m应用于α′（y），我们得到α′（y）=a+α′（ζy）y，其中ζy∈ （0，y）是依赖于y的某个点。因此，作为y→ 0，我们有u（y）=A（1+o（1））α′′（ζy）y- cAy（1+o（1））。因为α′（y）→ 0为y→ 0，我们知道-Cay是u（y）作为y的前导项→ 0.为了获得u（y）≥ 对于所有的s mall y>0，我们必须有c≤ 总的来说，c的唯一合适选择是0。因此，我们有yhh=g（x，y）≡ g（y）：=-ρσ2(1 - ρ） yα（y），xhh=-ρα（y）σyyhh=2（1- ρ） ：=C，因此xh=Ch和yh=hg′+g嗯。利用这些关系式和（C-1），我们发现v（x，y）=（σyx+ρσyα（y）十、y+α（y）Y-σyx+u（y）y） hh=σyC（C）- 1） +ρσyα（y）Cg（y）+α（y）（g（y）+g′（y））+u（y）g（y）=:V（y）。

（C-11）使用该α（y）~ 是的→ 0和α（y）~ 拜帕斯→ ∞ 我们发现v（y）~ -σy8（1）- ρ） （如图所示）→ ∞ 而作为一名年轻人→ 0）和V（x，y）<∞ 对于所有的x，y，所以V是根据需要从一个上边开始的。-0.2-0.10.00.10.20.0010.0020.0030.0040.0050.0060.007