比例交易成本下的市场生存性研究

nandehutu2022

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《On the Market Viability under Proportional Transaction Costs》
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作者：
Erhan Bayraktar and Xiang Yu
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
This paper studies the market viability with proportional transaction costs. Instead of requiring the existence of strictly consistent price systems (SCPS) as in the literature, we show that strictly consistent local martingale systems (SCLMS) can successfully serve as the dual elements such that the market viability can be verified. We introduce two weaker notions of no arbitrage conditions on market models named no unbounded profit with bounded risk (NUPBR) and no local arbitrage with bounded portfolios (NLABP). In particular, we show that the NUPBR and NLABP conditions in the robust sense for the smaller bid-ask spreads is the equivalent characterization of the existence of SCLMS for general market models. We also discuss the implications for the utility maximization problem.
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中文摘要：
本文研究了具有比例交易成本的市场生存能力。我们证明了严格一致的局部鞅系统（SCLM）可以成功地充当对偶元素，从而验证市场的生存能力，而不是像文献中那样要求存在严格一致的价格系统（SCPS）。我们在市场模型中引入了两个较弱的无套利条件的概念，即无无限利润有界风险（NUPBR）和无局部套利有界投资组合（NLABP）。特别是，我们证明了对于较小的买卖价差，鲁棒意义下的NUPBR和NLABP条件是一般市场模型SCLM存在的等价表征。我们还讨论了效用最大化问题的含义。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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On_the_Market_Viability_under_Proportional_Transaction_Costs.pdf
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能者818

2022-5-5 07:12:17

比例交易成本下的市场生存能力。本文研究了具有比例交易成本的市场生存能力。而不是像文献中那样要求存在严格一致的价格体系（SCP），我们证明了严格一致的局部鞅系统（SCLM）可以成功地充当对偶元素，从而验证市场的生存能力。我们在市场模型中引入了两个较弱的无套利条件概念，分别是无无无界有界风险的无界利润（NU PBR）和无界投资组合的局部套利（NLABP）。特别是，我们证明了对于较小的买卖价差，鲁棒意义上的NUPBR和NLA BPR条件是一般市场模型存在SCLM的等价表征。我们还讨论了效用最大化问题的含义。1.引言在具有比例交易成本的资产定价基本定理中，由[16]和[9]引入的一致价格系统（consistentprice systems，CPS）发挥了对偶元素的作用，而不是等效（局部）鞅测度。CPS（~S，Q）定义如下：定义1.1。考虑到股价（St）t∈[0，T]具有交易成本（λT）T∈[0，T]使得所有T的0<λT<1 a.s∈ [0，T]，如果（1），我们称这对（S，Q）为CPS- λt）St≤~St≤ （1+λt）St，P-a.s。T∈ [0，T]，其中（~St）T∈[0，T]是Q和Q下的局部鞅~ 此外，如果我们∈[0，T]λtSt- |圣-~St|> 0，P-a.s.，这对（~s，Q）被认为是一个严格一致的价格体系（SCPS）。我们需要注意的是，在上述定义中，s是否需要是一个局部鞅或一个真正的鞅取决于自融资投资组合的数量和基于数量的可接受性；详见[23]和[26]第5节。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:12:20

文献中广泛研究了具有严格正连续路径的股票价格过程存在CPS的充分条件。一个众所周知的例子是[14]提出的条件完全支持条件。其他相关日期：2018年8月12日。关键词和短语。比例交易成本，（稳健）无无界利润有界风险，严格一致的局部鞅系统，（稳健）无局部套利有界投资组合，效用最大化，市场生存能力，投资组合数。E.Bayraktar由国家科学基金会在DMS-1613170和Su sanM的资助下提供部分支持。史密斯教授职位。十、 Yu获得香港理工大学创业基金拨款1-ZE5A的支持。[2]、[20]和[25]中讨论了二汉-贝拉克塔尔和项玉素的有效条件。最近，对于连续价格过程，[23]建立了对于任何小的恒定交易成本λ>0，无套利与一般策略之间的等价关系，以及对于任何小的交易成本λ>0，存在CPS之间的等价关系。后来，[13]研究了一般的c`adl`ag过程，并将两个等价的断言联系起来，即robustno free午餐与简单策略的r isk消失和SCP的存在。另一方面，在没有交易成本的市场中，现有文献分析的市场模型不能满足资产定价基本定理的所有严格要求。与[10]最初定义的终端财富上没有带消失风险的免费午餐（NFLVR）条件相比，一个较弱的条件，即[18]中称为带有界风险的无界午餐（NUPBR）条件，可以作为一个合理的替代品，使用它仍然可以解决经典的期权套期保值和效用最大化问题。

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2022-5-5 07:12:23

[18] [4]、[8]、[15]和[7]证明了NUPBR条件、严格正局部鞅扩散过程的存在性、效用最大化问题最优解的存在性和数量投资组合的存在性之间的等价性。基于这些在无摩擦市场中得到的结果，我们的目标是确定一个类似的最小条件，在这个条件下，效用最大化问题仍然是非最优解。然而，由于交易成本的特殊性，工作组合的自我融资和可容许性的定义不同于半鞅的通常随机被积函数。本文揭示，对于某些严格较小的买卖价差，我们需要股票价格过程S满足两个较弱的假设，即在清算价值过程中同时满足无无界有界风险利润（NUPBR）和无局部有界投资组合套利（NLABP）条件。值得注意的是，我们的NUPBR和NLABP条件仍然弱于[13]中的NFLVR要求，即使满足了NUPBR和NLABP条件，市场上仍可能存在套利机会。本文的主要贡献是在鲁棒意义下NUPBR和NLABP条件之间的等价性，以及SCLM（~S，Z）的存在性，定义如下。定义1.2。考虑到股价（St）t∈[0，T]交易成本λT∈ （0.1）allt的a.s∈ [0，T]，我们称一对（~S，Z）为相容的局部鞅系统（CLMS）IF~S是满足（1）的半鞅系统- λt）St≤~St≤ （1+λt）St，P-a.s。，T∈ [0，T]，并且存在一个严格正的局部鞅ztz=1，使得stzt是一个局部鞅。我们将用交易成本（λt）t表示所有CLM的集合Zloc（λ）∈[0，T]。

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2022-5-5 07:12:26

此外，如果∈[0，T]λtSt- |圣-~St|> 0，P-a.s.，我们将这对（~s，Z）称为SCLM，并用Zsloc（λ）表示所有SCLM的集合。很明显，CLMS的定义是经典CPS的推广，即任何一对CPS都是CLMS，但事实并非如此，因为Z可以是严格的局部鞅。在第4节中，给出了一些市场模型的例子，这些例子表明，即使我们不存在CPS，SCL MS也可能存在。本文的第二个贡献是，结果表明，鲁棒系统中的NUPBR和NLABP条件保证了基于终端清算值定义的效用最大化问题的解的存在性。我们还讨论了作为推论的投资组合的存在性。因此，rob ust意义上的NUPBR和NLABP条件在最优投资组合问题允许解的意义上为市场生存能力提供了充分条件。同时，本文还指出，这种市场生存能力意味着相应的S满足NUPBR条件，尽管不是在稳健的sens中，这说明我们的市场假设在一定程度上是最小条件。为了强调我们的设置和文献中无摩擦市场模型之间的数学差异，我们讨论了不同类型的套利机会和交易成本。特别是，我们应该指出，主定理中的NLABP条件是首次出现的一个新特征。在我们的交易成本环境中，套利机会的构造是独特的，因为无摩擦市场模型中的财富过程实际上有两个对应过程，即清算价值过程（见（2.2））和成本价值过程（见（3.11））。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:12:29

这种差异导致了关于不存在套利的不同论点和证据。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们介绍了具有交易成本的市场模型，并定义了期末结算价值的NUPBR条件和NLABP条件。我们在本节末尾陈述了在严格意义上NUPBR和NLABP条件之间的等价性以及SCLM的存在。第三节给出了主要理论的证明。在第4节中，我们讨论了连续过程和跳跃过程的市场模型的具体示例，在这两个过程中，CPS不存在，但我们可以找到SCLM。第五节讨论了机器意义下NUPBR和NLABP条件下的效用最大化问题。第6节第一部分对各种类型的套利机会进行了讨论，并与无摩擦市场模型进行了比较。在本节的第二部分，我们将讨论我们的受理标准。2.设置和主要结果金融市场由一个无风险债券B（标准化为1）和一个风险资产S组成。我们将使用概率空间(Ohm, F、（Ft）t∈[0，T]，P）满足右连续性和完整性的一般条件。金融机构被认为是微不足道的。以下是一个持续的假设，将在本文的其余部分得到证实：假设2.1。（St）t∈[0，T]适用于（Ft）T∈[0，T]具有严格正且局部有界的c`adl`ag路径。交易成本过程（λt）t∈[0，T]适用于（Ft）T∈[0，T]具有λT这样的c`adl`ag路径∈ （0,1）a.s.适用于所有t∈ [0，T]。我们采用[26]：定义2.1中定义的自我融资可接受策略的概念。

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能者818

2022-5-5 07:12:32

从零开始的自我融资交易策略是一对可预测的细分过程（φt，φt）t∈[0，T]使得（1）φ=φ=0,4二汉贝拉克塔尔和项羽（2）表示φT=φ0，↑T- φ0,↓tandφt=φ1，↑T- φ1,↓t、 φ和φ的正则分解为两个递增过程的差，从φ0开始，↑= φ0,↓= φ1,↑= φ1,↓= 0，这些过程满足φ0，↑T≤Zt（1）- λu）Sudφ1，↓u、 φ0，↓T≥Zt（1+λu）Sudφ1，↑u、 0分a.s≤ T≤ T、（2.1）其中（2.1）中的两个积分定义为可预测的Stieltjes积分和Zts（1）- λu）Sudφ1，↓u、 Zts（1）- λu）Sudφ1，↓,cu+Xs<u≤t（1）- λu-)苏-△φ1,↓u+X≤u<t（1）- λu）Su△+φ1,↓u、 andZts（1+λu）Sudφ1，↑u、 Zts（1+λu）Sudφ1，↑,cu+Xs<u≤t（1+λu）-)苏-△φ1,↑u+X≤u<t（1+λu）Su△+φ1,↑u、这里我们指△φt，φt-φt-和△+φt，φt+-φt.如[26]所述，由于S是c`adl`ag，我们需要考虑投资组合过程φ的左跳和右跳。一般来说，三个v值φτ-, φτ和φτ+可以不同。如果停止时间τ完全不可接近，φ的可预测性意味着△φτ几乎可以确定为0。但如果停止时间τ是可预测的，则两者都可能发生△φτ6=0和△+φτ6= 0.一般来说，对于任何c`adl`ag过程X和可预测有限变分过程φ，上述可预测Stieltjes积分可以重写为ZtXudφu=ZtXudφu--Xs≤t（φs）- φs-)△Xs。（有关可预测Stieltjes积分的详细讨论，请参见[13]的附录A。）在初始时间，我们假设投资者从给定n常数x的债券和股票资产头寸（x，0）开始≥ 0.交易策略φ=（φ，φ）称为x-容许，如果流动值Vliq，xtsatis fies Vliq，xt（φ，φ），x+φt+（φt）+（1- λt）St- （φt）-（1+λt）St≥ 0，（2.2）t的P-a.s∈ [0，T]。我们将把Ax（λ）（简称Ax）表示为交易成本为（λt）t的所有x-容许组合的集合∈[0，T]并设A=Sx≥0Ax。

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大多数88

2022-5-5 07:12:35

此外，我们还将Vx（λ）表示为可容许投资组合（φ，φ）下的最终清算值vliqtun的集合∈ Ax（λ）。与无摩擦市场类似，弱无套利条件可以通过L的某些目标子集概率性质的有界性来定义。以下NUPBR的定义与[18]的定义平行。定义2.2。我们说，如果存在一系列可容许的投资组合（φ0，n，φ1，n）n，则S允许交易成本λ为有界风险（UPBR）的无界收益∈nina（λ）和相应的终端清算值（Vliq，1T（φ0，n，φ1，n））n∈Nis在概率上是无界的，即limm→∞苏普∈NPVliq，1T（φ0，n，φ1，n）≥ M> 0.（2.3）如果不存在这样的序列，我们说股票价格过程满足交易成本λ下的NUPBR条件。为了给出SCLM存在的充分必要条件，我们还引入了另一个弱无套利条件。为此，让Abdx（λ）（简称Abdx）表示x-可容许有界投资组合，使得股票中的头寸一致有界于某个常数M>0，意义如下：Abdx（λ），{（φ，φ）：|φt |≤ M、 P-a.s.，t∈ [0，T]对于一些M>0w的情况（φ，φ）∈ Ax（λ）}。（2.4）此外，我们表示Abd=Sx≥0Abdx。定义2.3。我们认为，如果存在一系列停止时间τnT为n，则交易成本λ为有界投资组合的局部套利（NLABP）不满足→ ∞ 每n∈ N、我们无法找到（φ0，N，φ1，N）∈ Abd（λ）满足以下条件：Vliq，0τn（φ0，n，φ1，n）≥ 0= 1和PVliq，0τn（φ0，n，φ1，n）>0> 0.（2.5）值得注意的是，对于固定的x>0，对于实例x=1，NUPBR条件是在集合轴上定义的，这与效用最大化问题的定义是一致的，初始位置是固定的。NLABP条件定义为集合A上所有可接受的投资组合。

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能者818

2022-5-5 07:12:39

然而，这两个定义是一致的，因为如果我们有一系列导致toUPBR的投资组合，通过重新缩放，我们也可以获得任何Ax的UPBR，x>0。为了论文的完整性以及不同概念之间的比较，我们还将介绍清算价值的标准无套利条件。定义2.4。我们说，如果存在允许的投资组合（φ，φ），S允许交易成本λ的套利∈ A（λ）使得Vliq，0（φ，φ）=0，P（Vliq，0T（φ，φ）≥ 0）=1和P（Vliq，0T（φ，φ）>0）。如果不存在这样的投资组合，我们说股票价格过程满足交易成本λ下的NA条件。备注2.1。比较定义2.3和定义2.4，我们的NLABP显然与局部序列{τn}n有界投资组合的NA条件等价∈注意（不适用）=> 然而，（NLABP）一般并不意味着（NA）。在无摩擦市场中，参见[7]第3节中的讨论和示例3.1，NA可以在本地持有，但在全球持有。此外，NUPBR条件和NLABP条件可能并不相互暗示。假设满足NUPBR和NLABP条件，我们在时间T使用一些u边界x-容许投资组合（φ，φ）时仍可能有任意地理机会∈ 斧头。[13]中的NFLVR条件清楚地暗示了我们环境中的NUPBR和NLABP条件，因此，我们声称我们的条件比现有文献中的通常条件更弱于市场模型的假设。6二汉·贝拉克塔尔和项羽为本文的主要结果需要一些稍强的条件。定义2.5。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:12:44

我们认为，如果存在另一个股票价格过程（S’t）t，则S满足NUPBR和NLABP条件，交易成本λ为稳健意义上的∈[0，T]和交易成本过程（λ′T）T∈[0，T]满足假设2.1∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t> 0 a.s.和inft∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 - λt）St> 0、a.s.和股票价格过程s’在交易成本λ′的同时满足NUPBR条件和NLABP条件。特别是，如果我们只考虑股票价格过程S’以交易成本λ′满足NUPBR条件的情况，我们说S’以交易成本λ满足RobustNo无界有界风险（RNUPBR）条件。作为本文的主要结果，以下定理提供了鲁棒意义下的NUPBRand NLABP条件与SCLM存在性之间的等价性。其证据将在下一节中提供。定理2.1。以下两个断言是等价的。（1） S满足NUPBR和NLABP条件，交易成本λ在定义2.5的稳健意义上。（2）对于交易成本为λ的市场，存在一个SCLMS（~S，Z），即Zsloc（λ）6=.备注2.2。与无摩擦市场相比，我们在终端财富的UPBR条件和局部鞅的存在之间具有等价性，参见[18]，我们在有交易成本的市场中的等价性描述涉及两个条件，即：。，NUPBR和NLABP。与无摩擦市场相比，我们框架中的自我融资和可接受性条件更具限制性，在两种不同的环境中，分别需要不同类型的趋同。

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何人来此

2022-5-5 07:12:47

例如，可预测Stieltjes积分（文献[13]的定理A.9]和分部积分公式（文献[13]的命题A.16]）的一些收敛结果在我们的证明中起着重要作用，然而，无摩擦市场中的文献依赖于随机积分w.r.t.半鞅的收敛结果。实际上，在无摩擦市场中，财富过程的NLABP条件可能总是成立的，因为财富过程（H·S）不存在局部套利，或者存在局部套利，但投资组合过程H不一定有界，通常只要求是可预测和可整合的。另一方面，我们的股价过程S不一定是半鞅，而流动价值过程缺乏超鞅性质，这是无摩擦市场中由局部鞅函数贴现的每个财富过程自然拥有的。对于N UPBR条件与无交易成本模型中局部鞅函数的存在性之间的等价性，[27]中的证明依赖于一个事实，即num’eraire投资组合过程是一个超鞅，num’eraire的变化幅度，而[18]中的证明基于半鞅价格过程的一些概率特征，这些结果不再适用于我们的环境。正如第5节所讨论的，我们不认为num’eraire投资组合流程是一种超级艺术。需要一些新的想法来支持定理2.1中等价性的证明。特别是，需要NUPBR和NLABP条件来保证我们的主要结果。3.定理2.1的证明分为几个步骤。我们首先介绍（2）=> （1）在下一个重要命题中。3.1. 证明（2）=> (1).提议3.1。

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kedemingshi

2022-5-5 07:12:50

如果存在SCLMS（~S，Zt）∈ Zsloc（λ），则股票价格过程满足稳健意义下交易成本λ的NUPBR和NLABP条件。证据由于存在一个SCLM（~S，Z），因此∈[0，T]λtSt- |圣-~St|> 0 a.s.，我们可以确定ξt=infs∈[0，t]λsSs- |党卫军-~Ss|得到ξt>0a.s.表示所有t∈ [0，T]。此外，我们还得到了（1）- λt）St+ξtλt1+λt<~St<（1+λt）St- ξtλt1+λta。sT∈ [0，T]，因为0<λt1+λT<1。因此，我们可以为所有t选择S′t=stt∈ [0，T]和λ′T=λT- ξtλt（1+λt）St.首先，很容易验证∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 - λt）St> 0、a.s.和inft∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t> 0，a.s.以及inft∈[0，T]λ′tS′t- |不是-~St|> 上午0点。。此外，我们还可以检查t的0<λ′t<1∈ [0，T]。为了看到这一点，我们可以证明0<ξt（1+λt）St<1a.s。T∈ [0，T]，这是（ξT）T定义的直接结果∈[0，T]。因此，较小的价差就足够了- λ′t）S′t，（1+λ′t）S′t]S用交易成本λ′满足NUPBR条件和NLABP条件。表示V（λ′；S′）1-容许自融资组合下的最终清算值集。我们首先证明了V（λ′；S′）在概率上是有界的。为此，我们首先验证Supvliq，1T∈V（λ′；S′）E[Vliq，1TZT]<∞. （3.1）根据SCLMS（~S，Z）的定义，我们得到~SZ是一个局部鞅。我们声称对任何人来说∈ A（λ′；S′），我们有vliq，1t（φ，φ）≤ 1+ZtφudSua。sT∈ [0，T]，（3.2），其中rtφudsui被解释为随机积分。为了看到这一点，我们重写了vliq，1t（φ，φ）=1+φt+φtS′t- λ′t |φt | S′t.8二汉·贝拉克塔尔和项羽利用分部积分（见[13]的命题A.16），我们得到了VLIQ，1t-1+ZtφudSu= φt+φtS′t- φt~St+Zt~Sudφu- λ′t |φt | S′t=φt+ZtSudφu+φt（S′t-~St）- λ′t |φt | S′t，（3.3），其中，t | Sudφuis是可预测的Stieltjes积分。通过（2.1）和事实（1- λ′t）S′t<St<（1+λ′t）S′ta。s

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何人来此

2022-5-5 07:12:53

尽管如此，t∈ [0，T]，我们有φT+RtSudφu≤ 0和φt（S′t）-~St）- λ′t|φt|S′t≤ 0，a.s。T∈ [0，T]，这意味着Vliq，1t（φ，φ）≤ 1+RtφudSua。s、对于t∈ [0，T]。设Xt=1+Rtφud~Su。因为（~StZt）t∈[0，T]是一个局部鞅，应用分部积分，我们推导出ztxt=1+Zt（Xu-- φu~Su-)dZu+Ztφud（~SuZu）。由于Ansel-Stricker定理（见[1]），我们得到了ZtXtis是一个局部martin gale，和d sinceXt≥ Vliq，1t（φ，φ）≥ 0，我们推断ZTXT是一个超鞅。因此，它遵循[Vliq，1TZT]≤ E[XTZT]≤ XZ=1。由于右边的ide独立于Vliq 1T的选择，我们得到（3.1）是正确的。由（3.1）得出，zt对于所有t都是严格正的∈ [0，T]因此ZT>0，P-a.s.，引理3。[15]中的2表示集合V（λ′；S′）的概率有界。因此，我们可以得出这样的结论，即满足NUPBR条件。另一方面，要证明满足NLABP条件很简单。由于Z和Z是局部鞅，存在一个局部化序列{τn}n∈确认一下∧τnZt∧τ与Zt∧τ是真鞅。对于同一序列{τn}n∈N、假设有人∈ N、存在一类有界容许投资组合（φ，φ）∈ Abd（λ），使得（2.5）适用于停止时间τn。定义概率测度Q~ P bydQdP=Zτn。由此得出∧τ是Q下的鞅。此外，由于|φt |≤ M.a.s.对于某些M>0，stoch积分∧τnφudsui是Q下的真鞅。因此，我们可以推导出等式[Vliq，0τn（φ，φ）]≤ EQhZτnφudSui=0。然而，这与Q（Vliq，0τn（φ，φ）是矛盾的≥ 0）=1和Q（Vliq，0τn（φ，φ）>0）>0~ P以及（2.5）。因此，我们获得了满足定义2.3和满足NLABP条件的s打顶时间τnT序列。3.2. 证明（1）=> (2).证明这一方向需要更多的准备。

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可人4

2022-5-5 07:12:56

首先，需要注意的是setVx（λ）本身不是凸的。因此，我们将考虑由C（1）定义的实心外壳，{V∈ L+：V≤ Vliq，1T∈ V（λ）}。（3.4）C（x）={V∈ L+：V≤ Vliq，xT∈ Vx（λ）}=xC（1）和C（x）是凸的三维实体。引理3.1。如果股价过程（St）没有∈[0，T]满足交易成本（λT）T∈[0，T]，集合{kφkT:（φ，φ）∈ A（λ；S）}，其中我们用kφkT表示φ在[0，T]上的总变量，在概率上是有界的。证据设（λ′，S′）如定义2.5所示。对于任意φ=（φ，φ）∈ A（λ；S） A（λ′；S′），我们有0≤Vliq，1；S、 λt（φ，φ）≤ 1+Zt（1- λu）Sudφ1，↓U-Zt（1+λu）Sudφ1，↑u+φtSt- λt |φt | St=1+Zt（1- λ′u）S′udφ1，↓U-Zt（1+λ′u）S′udφ1，↑u+φtS′t- λ′t|φt|S′t-Zt(1 - λ′u）S′u- (1 - λu）Sudφ1，↓U-Zt（1+λu）Su- （1+λ′u）S′udφ1，↑u+φt（St- （S\'t）- |φt |（λtSt）- λ′tS′t）a.s。T∈ [0，T]。（3.5）让我们定义ξt=infs≤t（（1）- λ′s）s′s- (1 - λs）Ss）和ηt=infs≤t（（1+λs）Ss- （1+λ′s）s）。观察到φt（St- （S\'t）- |φt |（λtSt）- λ′tS′t）<0表示所有t∈ [0，T]，由（3.5）可知（ξT∧ ηT）kφkT≤ZT(1 - λ′u）S′u- (1 - λu）Sudφ1，↓u+ZT（1+λu）Su- （1+λ′u）S′udφ1，↑U≤1+ZT（1- λ′u）S′udφ1，↓U-ZT（1+λ′u）S′udφ1，↑u+φTS′T- λ′T|φT|S′T=Vliq，1；S′，λ′Ta。s由于[0，T]上的S满足RNUPBR条件，我们知道V（λ′；S′）的概率有界。通过假设ξT>0和ηT>0a.s。。现在使用[12]中的引理3.1，我们得到了集合{kφkT，φ∈ A（λ；S）}的概率有界。在第5节中，下列结果的证明对于确定效用最大化问题的最优解的存在性以及数量投资组合的存在性也是至关重要的。提议3.2。如果（St）t∈[0，T]满足交易成本（λT）T∈[0，T]，集合C（1）在概率收敛下闭。证据

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能者818

2022-5-5 07:12:59

进行序列VnT∈ C（1）使VnT→^VTin概率，通过传递到su序列，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设VnT→^VTa。s我们需要核实一下∈ C（1）。现在考虑序列Xn∈ 满意的VnT≤ 新塔。s根据V的定义，存在一个序列（φ0，n，φ1，n）∈ A和Xnt=1+φ0，nt+φ1，ntSt- λt |φ1，nt |所有t∈ [0，T]。引理3.1指出集合{kφkT:（φ，φ）∈ A} 概率是有限的。多亏了[13]中的toLemma B.4，我们可以推断出存在一系列正凸组合θn∈ conv（φ1，n，φ1，n+1，…）这样θn点向收敛到一个可预测且有限的变量过程^φ，这样序列kθnk也点向收敛到k^φk。后一种收敛性意味着序列（kθnkt）n∈n每t收敛到k^φktin概率∈ [0，T]这导致了集合{kθnkt}n∈每个t的概率有界∈ [0，T]。与[12]中的艾玛4.3的职业选手二汉·贝拉克塔尔和项羽相似，我们可以为他提供指导→∞kθnkt>Mo=nlim infn→∞kθnkt>Mo=[k\\n≥k{kθnkt>M}它给出了p林尚→∞nkt>kθ= P[k\\n≥k{kθnkt>M}≤ supnP（kθnkt>M）。每个t∈ [0，T]，因为集合{kθnkt}n∈如果概率有界，我们就可以得到它→∞P林尚→∞kθnkt>M= 0，这意味着lim supn→∞kθnkt<∞ a、因此supn≥1kθnkt<∞ a、 s代表t∈ [0，T]。因此，我们可以应用[13]中定理A.9的断言（iii），得到可预测Stieltjes积分的点态收敛性→∞ZtSudθnu=ZtSud^φu，（3.6），适用于任何c`adl`ag过程。在定义θn时使用相同的凸组合序列，在不丧失通用性的情况下，我们可以考虑在前凸组合之后的结果过程。类似地，wede fineθ0，n=conv（φ0，n，φ0，n+1，…）遵循相同的凸组合。接下来就是XNT≤ 1+θ0，nt+θntSt- λt |θnt | St，a.s。

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kedemingshi

2022-5-5 07:13:02

T∈ [0，T]。因此，我们得到了thatXnt≤ 1+Zt（1- λu）Sudθn，↓U-Zt（1+λu）Sudθn，↑u+θntSt- λt |θnt | St=1+ZtSudθnu-ZtλuSudkθnku+θntSt- λt |θnt | St，a.s。T∈ [0，T]。（3.7）我们有以下下半连续性质yztsudk^φku≤ 林恩芬→∞ZtSudkθnku，a.s。T∈ [0，T]，（3.8）多亏了[13]中第A.9条第（iv）款。让n→ ∞ 在（3.7）中，使用（3.6）和（3.8），我们可以→∞Xnt≤ 1+ZtSud^φu-ZtλuSudk^φku+^φtSt- λt |φt | St=1+Zt（1- λu）Sud^φ1，↓U-Zt（1+λu）Sud^φ1，↑u+^φtSt- λt|^φt|St=1+^φt+^φtSt- λt |φt | St，a.s.代表t∈ [0，T]，其中我们定义φT，Rt（1- λs）Ssd^φ1，↓s-Rt（1+λs）Ssd^φ1，↑稳定部队∈ [0，T]。Bydefinition（^φ，^φ）是一种自我融资的投资组合。此外，自Xnt以来≥ 0 a.s.f或所有t∈ [0，T]与n∈ N、我们可以看到（φ，φ）∈ A.自VnT以来→^VTa。s、这就是≤^XT∈ 五、 a.s.式中，^Xt，1+^φt+^φtSt- λt |φt | St，T∈ [0，T]。因此^V∈ C（1），这就完成了证明。为了证明接下来的几个结果，我们将考虑从零初始头寸和x可容许投资组合开始的停止清算值，x≥ 0.对于任何停止时间τ，让我们定义凸集和实集τ（x），{V∈ L:V≤ Vliq，0τ（φ，φ）f或（φ，φ）∈ Ax}，（3.9）和cτ=[x≥0Cτ（x）。（3.10）此外，给定初始位置（x，0），对于每个自融资投资组合（φ，φ），我们将过程成本x（φ，φ）称为成本值，以进入投资组合位置（φ，φ），其中我们定义了成本，xt（φ，φ），x+φt+（φt）+（1+λt）St- （φt）-(1 - λt）St，t∈ [0，T]。（3.11）对于同一对自融资投资组合过程（φ，φ），vcost，xt（φ，φ）=Vliq，xt（φ，φ）+2λtSt |φt |，t∈ [0，T]。（3.12）备注3.1。为了理解成本-价值过程Vcost，x的财务解释，让我们考虑两个投资者A和B。

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何人来此

2022-5-5 07:13:05

从初始时间开始，投资者A持有两个账户的初始头寸（x，0），并在时间范围内开始跟踪投资组合选择（φ，φ）。另一方面，投资者B直到中间时间才跟随市场。在时间t时，投资者B希望A在两个账户中持有相同的头寸（φt，φt）。过程Vcost，Xt代表B在时间t进入该头寸对所需的总现金量。值得注意的是，不仅B需要现金来填充银行账户和股票账户中的面值，还需要考虑交易成本，以便用半鞅股价过程S复制无摩擦市场中的头寸φt，可以放宽自融资投资组合的条件，使其具有可预测性和S-可积性。在这种情况下，清算价值过程（Vliq，xt）的定义∈[0，T]和成本价值过程的定义（Vcost，xt）T∈[0，T]重合，它们都相当于投资组合财富过程（Xt）T的定义∈[0，T]=（x+（φ·S）T）T∈[0，T]。对于固定水平M>0和停止时间τ≤ T，让我们考虑由CτM（x）定义的setCτ（x）的子集CτM（x），{V:V≤ Vliq，0τ（φ，φ），其中（φ，φ）∈ Axand |φt |≤ M、关于J0，τK}.12的P-a.s.二汉贝拉克塔尔和项玉伟也定义了CτM，Sx≥0CτM（x）。很明显，集合CτMis不是空的，因为constantzero是一个元素。对于足够大的M，[13]中给出（φ，φ）局部有界的命题A.11意味着集合CτM包含一些非零元素。引理3.2。假设股票价格过程（St）t∈[0，T]用交易成本（λT）T满足NLABP条件∈[0，T]。在定义2.3中，给出足够大的n固定水平M>0，并且每个n的稳定时间τnT序列相同∈ N、对于任意x>0和任意x可容许投资组合（φ，φ）∈ 带|φt |≤ M、 P-a.s。

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何人来此

2022-5-5 07:13:08

关于J0，τnK，我们有vliq，0τn（φ，φ）≥ -a.s。=> Vcost，0t（φ，φ）≥ -a、 a.s。T≤ τn，（3.13）对于任何0<a<x证明。假设不是，也就是说，对于一些n∈ N和相应的s打顶时间τN，存在一个>0和一对固定的x-容许组合（φ，φ）∈ ax使得|φt |≤ M代表0≤ T≤ τnandVliq，0τn（φ，φ）∈ CτnM（x）和vliq，0τn（φ，φ）≥ -a、 a.s.，但对于一些停止时间s.t.P（s<τn）=1，我们有P（Vliq，0s（φ，φ）+2λsSs |φs |<-a） >0。表示集合D，{Vliq，0s（φ，φ）+2λsSs |φs |<-a} 。在固定有界对（φ，φ）的基础上，我们将构造一对新的自融资投资组合（φ，φ）∈ 对于某些x′>0的情况，初始位置为（x′，0）的Ax′。为此，鉴于之前的τ与s，新的一对投资组合（‘φ，’φ）由‘φt、φtKs、τnKD和‘φt’定义，（φt）- Vcost，0s（φ，φ））1Ks，τnK+（Vliq，0τn（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ））1Kτn，tkD.为了检查（‘φ，’φ）是否为自我融资，我们观察到：△\'\'φt=△φ1,↑t=△φ1,↓t=0，0≤ T≤ 沙△+\'\'φt=△+φ1,↑t=△+φ1,↓t=0，0≤ 在时间s时，我们已经△+φ1,↑s=（φs）+d△+φ1,↓s=（φs）-D.至于φ，我们可以推导出△+\'\'φs=φs- φs- （1+λs）Ss（φs）+（1）- λs）Ss（φs）-D=-（1+λs）Ss（φs）+（1）- λs）Ss（φs）-D=- （1+λs）Ss△+φ1,↑s+（1）- λs）Ss△+φ1,↓s、对于随机区间Ks，τnJ，很明显d′φt=dφt，d′φt=dφt。因此（\'φ，\'φ）在Ks，τnJ上是自融资的，因为我们知道（φ，φ）在Ks，τnJ上是自融资的。最后，在停止时间τn处，很明显△+φ1,↑τn=（φτn）-丹德△+φ1,↓τn=（φτn）+D，因此我们也有△+φτn=Vliq，0τn（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ）- （φτn）- Vcost，0s（φ，φ））D=Vliq，0τn（φ，φ）- φτnD=(1 - λτn）Sτn（φτn）+- （1+λτn）Sτn（φτn）-D=（1）- λτn）Sτn△+φ1,↓s- （1+λτn）Sτn△+φ1,↑对于随机区间Kτn，tk，我们清楚地知道d′φT=d′φT=0。把所有部分放在一起，我们得出结论，这对投资组合（\'φ，\'φ）是自我融资的。

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kedemingshi

2022-5-5 07:13:11

而且|φ|≤ M在Ks，τnK上，可以得出（\'φ，\'φ）在意义上也是有界的，th在|φt |≤ M，P-a.s.，t∈ [0，T]对于某些M>0。为了证明（‘φ，’φ）也是允许的，我们首先定义常数x′=x- 注意，对于随机区间J0，sK，Vliq，x′t（\'φ，\'φ）=x′>0，a.s。。现在，在随机区间Ks，τnJ上，我们有vliq，x′t（\'φ，\'φ）=x′+\'φt+（1）- λt）St（°φt）+- （1+λt）St（°φt）-= x′+Vliq，0t（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ）D≥ x′+(-x+a）1D≥ x′- x+a=0，a.s.我们记得（φ，φ）∈ 阿卜杜勒。类似地，在随机区间Jτn，tk上，我们有vliq，x′T（\'φ，\'φ）=x′+\'φT+（1）- λt）St（°φt）+- （1+λt）St（°φt）-= x′+Vliq，0τn（φ，φ）- Vcost，0s（φ，φ）D> x′+(-a+a）1D=x′，a.s。。特别地，我们有Vliq，x′τn（‘φ，’φ）>x′a.s.，由此得出有界投资组合（‘φ，’φ）∈ Abdx′在停止时间τn处为清算价值过程带来了局部套利机会。我们在定义2.3中得到了与NLABP条件相矛盾的结果。因此，这个暗示（3.13）成立。引理3.3。假设股票价格过程（St）t∈[0，T]用交易成本（λT）T满足NLABP条件∈[0，T]。在定义2.3中，给出足够大的n固定水平M>0和相同的停止时间序列τnT，每个n∈ N、我们有CτnM∩ L∞+= {0}.证据根据CτnM的定义，等价于证明CτnM（x）∩ L∞+= {0}表示anyx>0。假设上述主张不成立。那么对于一些人来说∈ N和相应的14二汉BAYRAKTAR和项羽停止时间τN，存在一对投资组合（φ，φ）∈ ax对于某些x>0，使得|φt |≤ Mfor 0≤ T≤ τnandP（Vliq，0τn（φ，φ）≥ 0）=1，P（Vliq，0τn（φ，φ）>0）>0。显然，这与完成证明的NLABP定义相矛盾。

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kedemingshi

2022-5-5 07:13:14

因为股价（St）t∈[0，T]是局部有界的，常数α（n）的序列是递增的+∞ 停止时间ρnT的增加顺序使得≤ α（n）在绝热区间J0上，ρnK。给定停止时间序列{τn}n∈在定义2.3时，让我们考虑新的停止时间序列‘τ，0，’τn，τn∧ ρn，表示n∈ N.（3.14）备注3.2。很容易验证引理3.2和3.3中的陈述是否适用于停止时间序列（¨τn）n∈由（3.14）定义，股票价格过程的范围为‘τnfon∈ 引理3.4。假设股票价格过程满足RNUPR条件和LABP条件，交易成本λ。给定足够大的固定水平M>0和停止时间序列{τn}n∈未定义在（3.14）中，每n∈ N、我们有一个C′τnM是封闭的，也就是说，如果存在一个序列（Vm）m∈Nin C′τnM使Vm≥ -a对于一些a>0和vm收敛到一些F′τn-可测的随机变量V，P-a.s，那么我们就得到了V∈ C′τnM。证据考虑到序列ce（Vm）m∈N C′τnM，对于每m，存在一个投资组合（φ0，m，φ1，m）∈ 对于某些x（m）>0（我们写x（m）是为了强调x对m的依赖性）和|φ1，mt |≤ M表示固定的界水平M和停止时间τ≤ Vliq，0′τn（φ0，m，φ1，m）。引理3.2和备注3.2保证Vliq，0′τn（φ0，m，φ1，m）≥ -a表示Vcost，0t（φ0，m，φ1，m）≥ -0的a≤ T≤ 特别是，对于每一个m>0，我们得到Vliq，0t（φ0，m，φ1，m）≥ -2λtSt |φ1，mt |- A.≥ -2α（n）M- a、 0分a.s≤ T≤ 因此，我们可以将引理3.1应用于初始位置x=2α（n）M+a，并得到集合{kφk』τn:（φ，φ）∈ A2α（n）M+a（λ；S）}在概率上也是有界的。

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大多数88

2022-5-5 07:13:17

此外，通过选择初始位置x=2α（n）M+a和时间间隔0≤ T≤ “τn，命题3.2导致C”τn（2α（n）M+a；S，λ）在概率收敛下是封闭的。因为我们现在假设vm收敛到V，P-a.s.，通过采用前凸组合和集合{kφk′τn:（φ，φ）∈ A2α（n）M+a（λ；S）}是概率有界的，在证明命题3.2的第一部分中使用了一个类似的参数，该参数使用有限变化过程的紧引理（参见[13]中的引理B.4），我们可以假设（最多选择一个前凸组合序列）序列（φ0，M，φ1，M）逐点收敛到一个可预测的有限变化过程（φ0，*, φ1,*) ∈ A2α（n）M+a.自C′τn（2α（n）M+a；S、 λ）在概率收敛下是闭合的，因此，Vliq，0′τn（φ0，m，φ1，m）收敛于P-a.S.到随机变量Vliq，0′τn（φ0，*, φ1,*). 而且|φ1，mt |≤ M表示固定水平M>0和0≤ T≤ τn，我们得到|φ1，*t|≤ M代表0≤ T≤ 因此，我们可以得出以下结论：≤ Vliq，0′τn（φ0，*, φ1,*), i、 e，V∈ C′τnM（2α（n）M+a；λ、（S） C¨τNM完成了证明。引理3.5。如果交易成本为λ的股票价格过程S在稳健意义上满足NUPBR和NLABP条件，且买卖价差对较小（S′，λ′），则存在另一个满足假设2.1的买卖价差对（S，λ），该价差严格位于两个价差之间∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t> 0，通知∈[0，T]（1+λt）St- （1+λt）St> 0，然后输入∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 -λt）St> 0，通知∈[0，T](1 -λt）St- (1 - λt）St> 0，a.s。。（3.15）此外，股票价格过程∈[0，T]用交易成本（λT）T满足RNUPR条件和NLA B P条件∈[0，T]。证据假设该对（S，λ）满足NUPBR和NLABP条件，且具有较小的扩展对（S′，λ′）。

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nandehutu2022

2022-5-5 07:13:20

让我们定义过程的辅助对St，St+S′t，λt，λtSt+λ′tS′tSt+S′t∈ (0, 1), T∈ [0，T]。（3.16）很明显，新的一对（S，λ）满足假设2.1。我们认为，具有交易成本的股价过程满足了不平等性（3.15）。事实上，只要注意到这一点就足够了∈[0，T]（1+λt）St- （1+λ′t）S′t= 输入∈[0，T]（1+λt）St- （1+λt）St= 输入∈[0，T]（1+λt）St-（1+λ′t）S′t> 0，a.s。。同样，我们也有∈[0，T](1 - λ′t）S′t- (1 -λt）St= 输入∈[0，T](1 -λt）St- (1 - λt）St= 输入∈[0，T](1 - λ′t）S′t-(1 - λt）St> 0，a.s。。因此，验证了（3.15）中的不确定性。回想一下，交易成本λ′的股票价格过程s′满足NUPBR条件和NLABP条件。我们的目的是验证交易成本为λ的股票价格过程满足RNUPBR条件和NLABP条件。首先，很容易看出S满足R NUPBR条件，因为这对（S′，λ′）满足R NUPBR条件。另一方面，如果（φ，φ）是对该对（S，λ）的自补偿，使得（2.1）满足，那么（φ，φ）也是对该对（S′，λ′）的自补偿，因为（1）-λt）St<（1- λ′t）林分（1+λt）St>（1+λ′t）Sta。s、，t∈ [0，T]。此外，我们还得到了Vliq，x；S，λt（φ，φ）<Vliq，x；S′，λ′t（φ，φ）a.S.，t∈ [0，T]用于同一对自融资投资组合（φ，φ）。因此，Ax（λ；S） Ax（λ′；S′）。如果存在一个止损时间τ为P（τ<T）>0的套利机会和一个无止损的投资组合（φ，φ）∈ Abdx（λ；S），很明显，（φ，φ）也为这对组合（S′，λ′）带来了一个本地套利机会。换句话说，我们可以推断，如果股价过程满足交易成本λ′的NLABP条件，那么股价过程也满足交易成本λ的NLABP条件。

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mingdashike22

2022-5-5 07:13:23

下面的结果是证明蕴涵的最后一个重要准备（1）=> （2）在定理2.1中；参见[13]中的Lemm a 6.3及其证明。引理3.6。让（Xt）t∈[0，T]和（Yt）T∈[0，T]是两个c`adl`ag有界过程。下列条件是等价的：（i）存在一个c`adl`ag鞅（Mt）t∈[0，T]如此≤ M≤ Y、 a.s。。（ii）对于所有停止时间σ，τ，使得0≤ σ ≤ τ ≤ 我们有[Xτ| Fσ]≤ Yσ和E[Yτ| Fσ]≥ Xσa.s。。现在我们开始完成定理2.1的证明。证明（1）=> （2）定理2.1。如果股票价格过程在交易成本λ的稳健意义上满足NUPBR和NLABP条件，引理3.5保证了辅助过程对（S，λ）的存在，使得S在交易成本λ的情况下满足RNUPR条件和NLABP条件。在接下来的几个步骤中，让我们考虑股票价格过程和交易成本λ的市场模型。如果我们用辅助对（S，λ）替换过程对（S，λ），那么从引理3.1到引理3.4的所有结论仍然适用（S，λ）。对于某些固定的大能级M>0，考虑设置CτnM（S，λ）。结合CτnM（S，λ）∩ L∞Fatou是封闭的（由于引理3.4）和cτnM（S，λ）∩L∞+= {0}（感谢引理3.3），其中stoppin g乘以{τn}n∈如（3.14）所述，存在一个与P等价的概率测度qn，使得对于任何V∈ C′τnM（S，λ）∩ L∞, 我们有EQn[V]≤ 0，其中我们使用了[17]中的引理5.5.2（它将Fatou闭度与弱恒星闭度联系起来）和Kreps-Yan分离定理（参见。

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kedemingshi

2022-5-5 07:13:27

[13]中的定理B.3。特别是，对于每个n∈ N、让我们只考虑子集“C”τnM（s，λ）的情况，即投资组合过程φ是J0上的非正过程或非负过程，即“τnK”和“φ”τN=0，即在最终时间“τN”在股票中的位置将被清算，\'C\'τnM（s，λ），nV:V≤ Vliq，0′τn（φ，φ）∈ 其中φ是非正或非负过程φ′τn=0和|φt|≤ M、 P-a.s.在J0上，\'\'τnKowith M足够大，我们有方程[V]≤ 0代表所有V∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞ C′τnM（S，λ）∩ L∞.让我们回顾一下St≤ t的2α（n）≤ \'\'τn初始股价过程St≤ α（n）堡≤ τn.我们考虑由S驱动的市场中投资组合的以下p air，交易成本为λ，φ，h（1-λη）SηKη，σJ（t）+(1 -λη）Sη- （1+λσ）SσJσ，τnKiA，φ，-1Kη，σJ（t）1A，（3.17）对于任何停止时间η≤ σ ≤ τ与α∈ Fη。与引理3.2的证明类似，不难检查（＠φ，＠φ）是否是自融资的。类似地，我们考虑投资组合^φ，h-（1+λη）SηKη，σJ（t）+- （1+λη）Sη+（1）-λσ）SσJσ，τnKiA，^φ，1Kη，σJ（t）1A，对于任何停止时间η≤ σ ≤ τ与α∈ Fη。同样地，我们也可以判断（φ，φ）是否也是自筹资金。也很容易证明Vliq，0′τn（～φ，～φ）∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞和Vliq，0′τn（φ，φ）∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞因为φ是非正的，φ是非负的，而φ、φ和S都一致有界于J0，τnK。特别是，我们有vliq，0′τn（＠φ，＠φ）=＠φ′τn+（＠φ′τn）+（1-λ′τn）S′τn- φτ-（1+λ′τn）S′τn=(1 -λη）Sη- （1+λσ）SσAandVliq，0′τn（^φ，^φ）=710φ′τn+（^φ′τn）+（1-λ′τn）S′τn- （φ′τn）-（1+λ′τn）S′τn=-（1+λη）Sη+（1）-λσ）SσABy不等式EQn[Vliq，0′τn（～φ，～φ）]≤ 0和EQn[Vliq，0′τn（^φ，^φ）]≤ 0，很容易得到等式n[Sσ（1+λσ）|Fη]≥Sη（1-λη）和[Sσ（1-λσ）|Fη]≤Sη（1+λη）。根据引理3.6，存在一个c\'adl\'ag鞅Snunder Qnsuch，它St（1-λt）≤■Snt≤St（1+λt），a.s.代表0≤ T≤ τn。

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mingdashike22

2022-5-5 07:13:30

（3.18）到目前为止，每n∈ N、我们得到了J0上的（Qn，~Sn）对，τnK使得＠Sn在Qn和＠Sn下是一个martin gales，在排列[（1-λ）S，（1+λ）S]。然而，一般来说，我们可能没有两个测度Qn和Qn的级联性质-1因此Qn | F |τn-1=Qn-1 | F|τn-1.因此，我们不能简单地粘贴进程{Sn}n∈计算整个间隔[0，T]以获得所需的过程。为了验证，我们需要使用我们已经掌握的元素（Qn，~Sn）进行进一步的步骤。对于每个Qn，让我们考虑密度过程和相应的随机指数表示znt，EdQndP英尺, T∈ [0，T]，Et（Yn），Znt∧τn，t∈ [0，T]，其中yn是一个局部鞅。18 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG Yu类似于[7]中引理3.5的证明，我们使用随机积分定义随机过程，∞Xn=1K′τn-1，τnK·Yn。很容易看出（Yt）t∈[0，T]是一个局部鞅，初始值Y=0，因为∧τn=nXk=1Kτk-1，τkK·Yk！这是一个真正的鞅。因此，随机指数E（Y）是局部鞅。表示{νn}n∈对于局部鞅E（Y）的局部化序列，我们将考虑新的局部化序列{νn∧ τn}n∈n收敛于T。为了模拟这个符号，让usstill用{τn}n表示停止时间的顺序∈N.注意所有N的E（Yn）>0∈ N，因为这是QNDP的密度过程。因此，E（Y）>0，因为1+△Y=1+△K′τK上的Yn>0-1，τkK，n∈ N.我们将关注正局部鞅，E（Y）（3.19），并考虑由d^QndP，Z′τN=E（Y）′τN=E（Y′τN）引起的概率序列。显然，新的概率测度序列{^Qn}n∈Nsatis定义了所需的连接属性。

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kedemingshi

2022-5-5 07:13:33

我们现在宣称，对于任何V∈\'C\'τnM（S，λ）∩ L∞, 不等式E^Qn[V]≤ 0仍然有效。为了证明这个说法，我们回顾了（φ，φ）的存在∈ AXX≥ φ1240和φ1240是非正过程≤ M，P-a.s.在J0上，τnK等V≤ Vliq，0′τn（φ，φ）。案例1：投资组合过程φ是J0上的非正过程，τnK。对于每个固定的n选项∈ N、我们首先考虑1的有效股价过程≤ K≤ N首先是0≤ T≤ τ，让我们定义股票过程St，~St，它是qan下的鞅，并且保持在价差中[（1-λ）S，（1+λ）S]。下一步，为所有‘τ≤ T≤ τ，我们考虑两个辅助过程x′t，ess supτ∈OtEQ“Sτ1+”Sτ-SτSτλτλτ！Ft#，Y′t，ess infτ∈OtEQhSτ（1+λτ）Fti，其中ott表示所有停止时间τ的集合，其值为≤ τ ≤ τ. 为了0≤ T≤ “τ，我们将定义过程xt，EQ[X′τ| Ft]，Yt，EQ[Y′τ| Ft]。接下来，对于‘τ≤ T≤ 我们定义了Xt，X′和Yt，Y′t。类似于[13]中引理6.3的证明，我们得到（X）t∧τ是一个超鞅和（Y）t∧τ是Q下的子鞅。此外，因为我们有（1-λ′τ）S′τ≤\'S\'τ=~S\'τ≤ （1+λ′τ）S′τ，我们可以得出以下结论：-λt）St≤St1+\'S\'τ-SτSτλτλt！≤ （1+λt）Stfor allτ≤ T≤ τ. 在此之前，根据[13]中的引理6.2，存在一个m artin gale-Munder qsuchxt≤ Mt≤ YT0≤ T≤ τ. 特别是，我们有（1）-λt）St≤ Mt≤ （1+λt）Stforτ≤ T≤ τ和alsoMτ≥S’τ1+‘S’τ-SτSτλτλτ=\'S\'τ，Q-a.S。。我们现在可以定义0的股价过程≤ T≤ τ乘以St，（~St，表示0≤ t<τ，max（~St，Mt），对于τ≤ T≤ τ.很容易证明（\'S）t∧τ是Qsince-Sand-Mare鞅在qfor0下的子鞅≤ T≤ τ.

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大多数88

2022-5-5 07:13:36

此外，通过它的构造，我们得到了差价之间的稳定，即（1）-λt）St≤圣≤ （1+λt）st0≤ T≤ “τ”以及比较“S”τ≥\'S\'τQ-a.S。。通过重复这个结构，2≤ K≤ n、我们首先可以得到0的qkf下鞅mk的存在性≤ T≤ “τkwhich satifies（1-λt）St≤ Mkt≤ （1+λt）Stforτk-1.≤ T≤ τkandMkτk-1.≥“Sk-1′τk-1Qk-a.s。。然后让我们为0定义“Skt”（“Skt”）≤ t<τk-1，对于τk，最大值（~Skt，Mkt）-1.≤ T≤ τk.我们得到了一个过程序列{Sk}1≤K≤确保在QK和满足差价限制（1-λt）St≤“Skt≤ （1+λt）st0≤ T≤ τk，在每个停止时间，我们有不等式Skτk-1.≥“Sk-1′τk-1，Qk-a.s。。（3.20）为了将来的目的，我们在≥ \'τkby设置\'Skt=\'Sk\'τk，t≥ τk，对于k=1，N让我们考虑定义为的有效半鞅股价过程t、（\'Skt，代表\'τk-1.≤ t<τk，k=1，n\'Sn\'τn，对于t≥ τn.很明显（1- λt）St≤ sT≤ （1+λt）st0≤ T≤ 与命题3的证明类似。1，我们可以推断出Vliq，0t∧τn（φ，φ）≤ （φ·S）)T∧τn=nXk=1φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）T∧\'τn.20 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG YUWe旨在证明E^Qn“nXk=1φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）τn#=nXk=1EE（Y′τn）φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）\'τn≤ 0.（3.21）为1≤ K≤ n、利用分部积分，我们可以推断φ·（1J′τk）-1，\'τkJ\'Sk）τn=φK′τK-1，\'τkK·\'Skτn+φ′τk-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk.因此，证明（3.21）等同于证明以下等式：E（Y′τn）nXk=1φK′τK-1，\'τkK·\'Skτn+E（Yτn）nXk=1φ′τk-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk#≤ 0.（3.22）对于（3.22）中的第一部分，我们声称E（Y）t∧τnφK′τK-1，\'τkK·\'SkT∧“τ”是一个本地超级艺术家P。

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可人4

2022-5-5 07:13:39

类似于[7]中引理3.5的证明，It^o引理得出它等价于provethatK′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Y]T∧τ是P下的局部上鞅，初始值为0。然而，Ythat的定义清楚地表明了这一点K′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Y]t=K′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Yk]t、注意，在Qk下，Skis是一个ubs鞅。因此E（Yk）t∧“τn”Skt∧“τ”是次鞅底。我们声称（\'Sk+[\'Sk，Yk]）t∧τ也是P下的子鞅。要查看索赔，我们可以使用乘积规则并获得d（E（Yk）t¨Skt）=SkdE（Yk）t+E（Yk）d\'Sk+[\'Sk，Yk]t、右边的第一项是[0，\'τn]上的真马丁盖尔，因为（\'Sk）t∧τ为统一边界。因此，我们得到了E（Yk）·\'Sk+[\'Sk，Yk]T∧τ是次鞅。让我们考虑过程的半鞅分解（\'Sk+[\'Sk，Yk]）∧τn=Mt+At，其中Mtisa局部鞅和Atis是一个局部变化过程。通过子鞅分解E（Yk）·\'Sk+[\'Sk，Yk]T∧τn，我们得出结论，有限的变化过程∧“τnE（Yk）udaue是t≤ τn.让我们写出它的乔丹分解at=A的项↑T- A.↓tand kAkt=A↑t+A↓t、那么很容易看出∧τnE（Yk）udA↑乌安德特∧τnE（Yk）udA↓uare递增过程与KZT∧τnE（Yk）udAuk=Zt∧τnE（Yk）udkAku=Zt∧τnE（Yk）udA↑u+Zt∧τnE（Yk）udA↓u、因此，积分∧τnE（Yk）udauzt有一个Jordan分解∧τnE（Yk）udAu=Zt∧τnE（Yk）udA↑U-Zt∧τnE（Yk）udA↓u、另一方面，Rt∧τnE（Yk）udau是从Jordan分解的唯一性（直到恒定差异）开始的一个增长过程，我们有∧τnE（Yk）udA↓u=0。自那时起（Yk）t∧τn>0p-a.s.对于所有t，我们得到a↓t=0表示所有t。因此，有限变量过程是一个递增过程。

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何人来此

2022-5-5 07:13:42

因此，我们得到（\'Sk+[\'Sk，Yk]）t∧τn=Mt+Atis是一个子鞅。回顾φ是一个非正过程，我们得出随机积分K′τK-1，\'τkKφ·\'Sk+1K\'τk-1，\'τkKφ·[\'Sk，Yk]T∧τ是P下的一个局部超鞅。因此，我们得到了E（Yt）∧τn）K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧“‘τnisa local supermaningale在P.中回顾了以下事实：K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧如果τ小于某个常数，我们可以得出E（Yt∧τn）K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧τn在鞅（Yt）下有界∧τn）。法图引理得到了E（Yt∧τn）K′τK-1，\'τkKφ·\'SkT∧“τ”是p下的一个超鞅，它意味着E“E（Y”τn）nXk=1φK′τK-1，\'τkK·\'Skτn#≤ 0.对于（3.22）中的第二部分，我们可以求和并写入xk=1（φ′τk）-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk）=nXk=1φ′τk-1（\'Sk\'τk）-1.-“Sk-1′τk-1），由于φ′τn=0的条件以及φ′τ=φ=0的长期假设。从“Sk”的构造中，我们已经知道了“Sk”τk-1.-“Sk-1′τk-1.≥ 0，Qk-a.s.，因此^Qk-a.s.fr om（3.20）。再次使用φ为非正的假设，我们立即得到E（Y′τn）nXk=1φ′τk-1“Sk”τk-1.- φ′τk′Sk′τk#≤ 0，这意味着（3.22）成立，因此（3.21）得到验证。案例2：投资组合过程φ是J0上的非负过程，τnK。该证明遵循案例1中的类似论点，进行了一些小的修改。我们之前只在本案中引用了简明的证据。我们将模仿案例1中的想法来构建有效的股价过程。首先是0≤ T≤ τ，我们可以定义τ≤ T≤ τ，我们首先考虑两个辅助过程x′t，ess supτ∈OtEQhSτ（1）-λτ)Fti，Y′t，ess-infτ∈OtEQ“Sτ1+¨S”τ-SτSτλτλτ！Ft#，其中ott表示所有停车时间τ的集合，其值为t≤ τ ≤ τ. 我们可以进一步定义，等式[X′\'τ| Ft]，Yt，等式[Y′\'τ| Ft]。对于τ≤ T≤ τ，我们定义Xt，X′和Yt，Y′t。

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何人来此

2022-5-5 07:13:46

然后我们得到（X）t∧τ是一个超artin和（Y）t∧τ是Q下的次鞅。此外，与情形1类似，存在一个鞅22 ERHAN BAYRAKTAR和XIANG YU–Munder Qand Xt≤¨Mt≤ YT0≤ T≤ τ和（1）-λt）St≤¨Mt≤ （1+λt）Stforτ≤ T≤ “τ”和“M”τ≤¨S¨τ，Q-a.S。。让我们定义0的辅助股价过程≤ T≤ \'τas¨表示0≤ t<τ，min（~St，¨Mt），表示τ≤ T≤ τ.很容易检查–是Qfor 0下的s超鞅≤ T≤ τ和（1）-λt）St≤¨St≤ （1+λt）st0≤ T≤ \'τ和¨S\'τ≤¨S¨τ。通过重复这个过程，我们得到了一系列au x伊利亚过程{Sk}1≤K≤在Qkand（1）下跳过一个上乘的滑雪道-λt）St≤¨Skt≤ （1+λt）st0≤ T≤ τk。此外，我们还有不等式-Skτk-1.≤¨Sk-1′τk-1，Qk-a.s。。我们将考虑有效半鞅股价过程t、（¨Skt，用于¨τk-1.≤ t<τk，k=1，n¨Sn¨τn，代表t≥ 最后，类似于案例1中的证明，我们需要证明e^Qnh（φ·S）)τni=E“E（Yτn）nXk=1φK′τK-1、‘τkK·¨Skτn+E（Yτn）nXk=1φ′τk-1¨Sk¨τk-1.- φ′τk¨Sk′τk#≤ 0.（3.23）但（3.23）中的不等式可以用（3.22）的相同证明来验证，方法是用上鞅

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