让我们比较两个单独的BSM模型，它们具有相同的风险市价：（7.2）ua- raσa=ub- rbσb=λ。所需的变换K:S（a）T7→ S（b）由LOG（S（a）T）定义- 日志（S（a））- （ua）- σa/2）Tσa=log（S（b）T）- 日志（S（b））- （ub）- σb/2）Tσb超过一些不重要的术语。事实上，这显然是递增的、连续的，而且正态分布的基本性质也是保测度的。注意log（S（b）T）=σbσalog（S（a）T）+d，因为所有BSM模型参数和S（a），S（b）都是确定性的。这意味着（7.3）S（b）T=K（S（a）T）=ed（S（a）T）σbσa.22 JARNO Talponennen指出，直接计算涉及风险中性和物理BSM模型密度YieldQidpi（S（i）T）=e（ri-ui）ln（S（i）T/S（i））σi+（ui）-ri）T2σi，i=a，b。接下来，我们将采用通过匹配均衡一阶效用条件和定价核来隐含效用函数的方法。ThusdQadPa（S（a）T）=ua（S（a）T），dQbdPb（S（b）T）=ub（S（b）T，其中我们有等弹性效用函数sua（S（a）T）=c（S（a）T）1-ua-raσa，ub（S（b）T）=c（S（b）T）1-ub-rbσb，sodQadPa（S（a）T）=c1-ua-raσa（S（a）T）-ua-raσa，dQbdPb（S（b）T）=c1-ub-rbσb（S（b）T）-ub-rbσb.根据（7.2）和（7.3）我们得到（S（b）T）-ub-rbσb=（K（S（a）T））-ub-rbσb=（（S（a）T）σbσa）-ub-rbσb=（S（a）T）-λσa=（S（a）T）-ua-raσa，直到乘法常数，我们将继续直截了当地证明这一点。再次声明，我们是在风险中性的价格体系下工作的，这意味着最终多重因素被适当地标准化。

Putν（α）=（Φ）-1a（α））1-ua-raσa.Thenua（x）=ν（Φa（x））=（Φ-1a（Φa（x））1-ua-raσa=x1-ua-raσa，ua（x）=x-ua-raσa=x-λσaandub（K（x））=x-ub-rbσbσa=x-λσa=ua（x）。然后我们得到，给定一个欧洲衍生品支付函数f，即eqa（f（S（a）T））=EPadQadPa（S（a）T）f（S（a）T）= 环保署ua（S（a）T）f（S（a）T）=Zua（S（a）T）f（S（a）T）dPadS（a）TdS（a）T=Zub（K（S（a）T）f（S（a）T）dPadS（a）TdS（a）T=ZdQbdPb（K（S（a）T）f（S（a）T）dPadS（a）TdS（a）T=Zqb（K（x））f（x）φa（x）φb（K（x））dx。这意味着，在我们的设置中，两个单独的BSM模型具有相同的风险市场价格，SPD估计技术（见（4.5））在风险中性价格的模型之间正确执行。模型a和模型b中的短期利率当然可能不同，因此必须调整折扣条款。接下来，我们将把这些想法扩展到动态环境中。匹配分布237.3。完全同构的定价模型。到目前为止，我们已经研究了资产的行为，基本上只有一个时间步，下一步将考虑价格的持续演变。我们将一起研究与证券（Sand Sabove）动力学相关的条件，以确保我们的定价方法确实将模型正确地连接在一起，参见（7.4）。本节中的结果大致说明，如果一个人的证券模型有误，那么在适当的条件下，他仍然可以恢复该证券的欧式或有权益的真实价值。为了管理这一点，我们显然需要有一些额外的信息，并在模型上假设一些东西。也就是说，假设该类别中的随机资产价格模型“充分同构”，我们使用分布匹配，从而将有偏SPD和物理密度与真实物理密度耦合在一起。然后我们恢复真正的SPD。我们分析了两个资产动态依赖于一个公共的潜在随机状态变量的情况。

假设S（t）和S（t）由一个公共过程驱动，几乎可以肯定是连续实现的，dsisi（t）=ui（t）dt+σi（t，Si（t））dXt。我们用上述随机过程产生的Fta过滤表示，并假设其是连续的。这里我们假设函数σi>0和ui是连续的。假设价格过程可以用二项式模型M（n）i来近似，对应于2n个偶数离散增量M t=t，其中上述随机微分方程替换为简短描述的离散型微分方程。我们考虑2值随机变量Θ（n）kMt（ups（Θ+）和Downs（Θ）-) 在二项模型中）这样X（n）t→ Xtin概率为n→ ∞对于每个t，其中X（n）由值X（n）kMt=X+Xl的分段线性插值确定≤kΘ（n）lMt。这意味着{X（n）国民党}k，n∈ N、 都是二项式过程。直观地说，X（n）皮重渐近地适应于Xt。确定相应资产S（n）i（0）=Si（0），S（n）i，（k+1）Mt- S（n）i，国民党=S（n）i，国民党ui（kMt）Mt+σi（kMt，S（n）i，kMt）Θ（n）（k+1）Mt.在文献中，通常使用缩放√我在binomialmodels的创新方面很在行。然而，我们可以使用上述定义，因为创新术语Θ（n）的规模在这里不是先验的。这为我们提供了二项模型M（n）i的状态和相应的概率。

让我们考虑独立的短期利率ri（t，Si（t）），在二项式模型M（n）中，考虑步骤kMt（k+1）mt be ri（kMt，S（n）i，kMt）中使用的短期利率。以上似乎暗示了通过二项过程的分段线性插值获得的近似股票价格S（n）：dS（n）i（t）=S（n）i，kMtui（kMt）+σi（kMt，S（n）i，kMt）Θ（n）（k+1）MtM tdt，24 JARNO TALPONENk mt<t<（k+1）mt，因此d)S（n）i)S（n）i（t）≈ ui（t）dt+σi（t，~S（n）i）dX（n）t，kmt<t<（k+1）Mt其中dX（n）t=Θ（n）（k+1）MtM t dt。相反，我们直接用S（n）i（0）=Si（0）来定义S（n），dS（n）是（n）i（t）=ui（t）dt+σi（t，S（n）i）dX（n）t，kmt<t<（k+1）mt，其中轨迹几乎肯定是绝对连续的。动力学似乎非常接近Si（注意上标（n）），但这里的定义实际上是通过经典分析运行的，因为X（n）皮重的实现是分段线性的。定理7.2。让我们考虑一下上述设置。

我们还假设了以下稳定性条件：（1）Si（T）的物理分布和风险中性分布，φi和qi=dQidSi（T），是（0，∞).（2） S（n）i，T→ Si（T），S（n）i（T）→ 概率为n的Si（t）→ ∞ 对于所有t.（3）状态S（n）i，Tin模型M（n）i的唯一风险中性概率在分布上收敛于qi，即xs（n）i，t≤KqM（n）i（S（n）i，T）→ 齐（Si（T）≤ K） 作为n→ ∞ 每K>0。（4） Si（t）是每t x的递增函数。我们假设模型中的“本地市场风险价格”几乎肯定是一致的：u（t）- r（t，S（t））σ（t，S（t））=u（t）- r（t，S（t））σ（t，S（t）），0≤ T≤ T.如果将风险中性密度qon S（T）与分布匹配法中的物理定律φiof Si（T）和相应的变换K（见（4.4）），则风险中性密度qof可以表示为：（7.4）q（x）=K（x）q（K（x））特别是恢复衍生品的正确风险中性价格：EQ（f（S（T））=Zf（x）q（x））φ（x）φ（K（x））dx。由于模型中的短期利率可能有所不同，这些模型中的AD证券可能会有不同的比例，这就是为什么我们有一个风险中性价格公式，而不是国家价格。匹配分布258。讨论我们引入了一种新的“分布匹配”资产定价技术，它根据基准模型对衍生品价格进行自然修正。修正后的RND（估计值）可以简洁地表示为：bqDM（x）=φ（x）φ（K（x））q（K（x））。这是可行的，因为密度φ、φ、qc可以根据给定的模型进行估计或假设，K可以很容易地用数值方法求解。在分销匹配中，人们基本上在流动代理证券上构建了一个欧式衍生工具。根据静态套期保值原则，该衍生工具本身将在给定框架内正确定价。

当然，衍生工具的价值一般不需要接近未来价格分布相同的资产的价值。然而，如果衍生工具收益与资产价格存在额外的高度相关性，那么有各种各样的财务论据表明价值也应该接近。事实上，这一原则似乎已经在金融文献中大量应用于这一点，尽管通常有点含蓄。除了Grahm Charlier方法和上述参考文献外，有关一些相关作品，请参见Jackwerth和Rubinstein（1996）以及Madan、Carr和Chang（1998）。虽然主要是作为一种近似估计，但给出了一些示例框架，其中该技术的性能完全正确。该技术得出的RND估计值本身就很有趣，可作为进一步分析衍生品价格的基础。也就是说，将分布匹配技术与估计的状态价格反向用作输入，可以得到“隐含的物理分布”，从而概括隐含的波动率。回想一下罗斯（2015）著名的恢复定理。如果要定价的资产本质上是代表性代理模型中市场指数的衍生产品，那么原则上可以应用Lucas（1978）的一阶条件对资产进行定价。然而，这需要了解代表效用函数的确切形式。在实践中，这种方法存在一些问题。例如，Mehra和Prescott（1985）提出的股权溢价问题涉及CRRA效用函数中的风险规避常数，该常数高于行为实证研究的预期。更糟糕的是，Bakshi等人。

（2010）观察到，一些经验观察到的定价核，应该与均衡状态下各自的边际效用一致，这意味着相应的效用函数应该强烈地不凹。因此，需要灵活的校准技术。在均衡框架之外，简单地使用Lucas一阶条件，使用模型2定价kerneldQdP，比如BSMmodel。也就是说，在均衡价格下的一些框架中，人们可以将基本效用u（S（T））=dQdP（S（T））等同于规模，参见AiT-Sahalia和Lo（2003），Breeden和Litzenberger（1978）。因此，分析预期EP（u（S（T））f（S（T））？=EPdQdP（S（T））f（S（T））.26 JARNO Talponenhower，这不会导致选项的正确BSM模型1风险中性值EQ（f（S（T）），即使状态形式上一致，S（T）=S（T）。参见示例7.1。关键是DQDPP6=DQ，改变市场的物理分布也会影响均衡，即使风险偏好保持不变。相反，必须更仔细地协调风险中性措施。该理论为本文研究的状态空间变换K提供了一种解释。这种转变可能反映了风险中性过程之间的基尔萨诺夫式动态变化。我们讨论了SPD和RND的分布匹配。前者更简单。后者更灵活，因为比较后的定价模型可能会有不同的短期利率或贴现条款。如果必须调整模型中的空头利率，使风险的市场价格一致，这可能是一个有用的特性。在这里，我们基本上只研究一个市场指数。根据一个类比，这里研究的技术版本对应于CAPM，根据APT的精神，人们可能会询问一个多因素案例。

因此，未来的工作可能包括将定价技术扩展到多维状态价格密度，其中的维度可能对应于宏观经济指标。未来的其他工作可能包括更普遍的差异性资产定价，其中存在一个基准状态价格密度。这些可能包括与股票和政府债券相关的公司债券、与其他高度相关的指数期权（例如SP100与SP500）相关的指数期权，以及与相关商品衍生品相关的商品衍生品。参考文献[1]Andersen，T.G.，Fusari，N.和Todorov，V.：期权面板的参数推断和动态状态恢复，经济计量学831081–1145（2015）[2]Airoldi，M.：期权定价的矩展开，定量金融，5，89–104（2005）[3]AiT-Sahalia，Y.，Lo，A.：金融资产价格中隐含的状态价格密度的非参数估计，《金融杂志》，53499-547（1998）[4]Ait-Sahalia，Y.，Lo，A.，非参数风险管理和隐含风险规避，经济计量学杂志94，第9-51页（2000）[5]Ait-Sahalia，Y.，Duarte，J.：形状限制下的非参数期权定价，经济计量学杂志，116，9-47（2003）[6]Arrow，K.J.，Debreu，G.：竞争经济均衡的存在，《计量经济学》，22265–290（1954）[7]阿特兰·M.，格曼·H.，马丹·D.B.，约尔·M.：《相关性与风险定价》，金融年鉴，3411–453（2007）[8]巴克希，G.，曹，C.和陈，Z.：替代期权定价模型的经验表现。《金融杂志》，522003–2049（1997）[9]Bakshi，G.，Kapadia，N.，Madan，D.B.：股票回报特征，倾斜定律和个人股权期权的差异定价，金融研究回顾，16101–143（2003）[10]Bakshi，G.，Madan，D.，Panayotov，G。

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这意味着（A.1）limn→∞supmax（x（n）k，x（i））≤十、≤最小（x（n）k+1，x（i）i-1)K（x）-x（n）k+1- x（n）ky（n）k+1- y（n）k= 对我来说∈ N.匹配分布29注意，通过q的可积性，我们得到y（N）k+1- y（n）kZx（n）k+1x（n）k（x（n）k+1- x（n）k）q（k（x））dx→ 0as n→ ∞ 对于每k（包括情况k=1，n- 1).由于q是可积的且supp（φ）有界的，我们有（A.1）thatlimn→∞N-2Xk=2x（n）k+1+x（n）kZy（n）k+1y（n）kq（k）dK-Zx（n）k+1x（n）kx（n）k+1- x（n）ky（n）k+1- y（n）kq（K（x））dx= 0andlimn→∞N-2Xk=2x（n）k+1+x（n）kZx（n）k+1x（n）kx（n）k+1- x（n）ky（n）k+1- y（n）kq（K（x））dx=Zxφ（x）φ（K（x））q（K（x））dx。从中可以得出如下结论。命题5.2的证明。观察到K必然是一个相同的映射，对于P-a.e.x，φ（x）φ（K（x））=1。通过使用（没有）套利的定义，我们得到∏ρ=Zx q（K（x））dx=Zx q（x）dx=S（t）。命题5.3的证明。我们将遵循以下Portfoliosa的有限近似值。让（xk）k，（yk）kand（zk）kbe增加R的序列，使得每k的fa（xk）=Fb（yk）。然后xk≤ 这是假设。因此（A.2）Xk∈Zxk+1+xkZzk+1zkq（K）dK≤Xk∈Zyk+1+ykZzk+1zkq（K）dK。命题5.4的证明。事实上，让supKq（K）=C。我们将应用（4.4）。我们将比较zx bqDM（x）dx和zx bqDM1（n）（x）dx的值。由于我们处理的是定价措施，我们可能只分析[ε，∞) 式中ε>0。固定N>ε。通过使用φ的单峰和选择C，可以得出在30 JARNO-TALPONEN[ε，N]区间上q（y）φ（y）的上界C>0，这样Limn→∞ZNεx bqDMdx-ZNεx bqDM1，（n）dx= 画→∞ZNεxq（K（x））φ（K（x））φdx-ZNεxq（K1，（n）（x））φ（K1，（n）（x））φ1，（n）dx= 画→∞ZNεxq（K（x））φ（K（x））dF（x）-ZNεxq（K（x））φ（K（x））dF1（n）（x）≤ 画→∞CZNεx dF（x）-ZNεx dF1，（n）（x）= 画→∞C | EP（1ε）≤s≤NS- 1ε≤S1，（n）≤NS1，（n））|=0，因为S1，（n）（T）→ P-均值的Sin。

使用φ（thaty）参数→ 0为y→ ∞. 命题5.5的证明。它来自于我们可以考虑的假设k:fS（S（T））7→ S（T）。然后Vs=Zxφ（x）φ（K（x））q（K（x））dx=Zx K（x）dQdK（K（x））dx=ZxdQdx（K（x））dx=ZfS（S（T））dQ（S（T））。这是带支付的或有权益的风险中性价格。定理7.2的证明。根据前面的引理，我们看到状态（n）（T）=a，a，A和S（n）（T）=b，b，bk，以递增的顺序和k书写≤ 2n，具有相等的概率：P（S（n）（T）=aj）=P（S（n）（T）=bj），1≤ J≤ k、 因此，关于Siyeld的离散化版本收敛的假设有一个简单的近似参数P（S（T）≤ x） =P（S（T）≤ K（x）），其中K是∏ρ定义中出现的S-态到S-态的结合图。有待验证的是，以下各项适用于所有x=S（T）>0的情况：（A.3）dQ（x）dP（S（T）=x）=dQ（K（x））dP（S（T）=K（x）。注意，thenEQ（f（S（T））=Z∞f（x）q（K（x））dP（S（T）=x）dP（S（T）=K（x））dx。回想一下单步模型中贴现风险中性概率的简单已知等式（见F¨ollmer and Schied（2011））：q（u）=e-rMterMt- 杜- d、 q（d）=e-rMtu- 厄姆图- d、 匹配分布31考虑证券方的贴现价格过程i=σi（Si（t））dXt+（ui（t）- ri（t））及其二项式对应项。表示tk=k Mt。然后在i=1，2的二项式离散模型中，单步子树具有相同的风险中性概率。事实上，在贴现世界中，风险中性项对应于u-r=eu-0，r- d=0-埃德和你- d变成（ui（tk）- ri（tk，S（n）i，tk）+σi（S（n）i，tk）Θ（n）↑tk），0- （ui（tk）- ri（tk，S（n）i，tk）+σi（S（n）i，tk）Θ（n）↓和（ui（tk）+σi（S（n）i，tk）Θ（n）↑（tk）- （ui（tk）+σi（S（n）i，tk）Θ（n）↓tk），分别。我们用箭头表示状态的变化。

ThusQn，i（S（n）i，tk↑ | Ftk）=-（ui（tk）- ri（tk，S（n）i，tk）+σi（S（n）i，tk）Θ（n）↓tk）σi（S（n）i，tk）（Θ（n）↑tk- Θ（n）↓tk），Qn，i（S（n）i，tk↓ | Ftk）=ui（tk）- ri（tk，S（n）i，tk）+σi（S（n）i，tk）Θ（n）↑tkσi（S（n）i，tk）（Θ（n）↑tk- Θ（n）↓tk）。因此，在假设当地市场风险价格一致的情况下，我们得到了qn，1（S（n）1，tk↑ | Ftk=Qn，2（S（n）2，tk↑ | Ftk），Qn，1（S（n）1，tk↓ | Ftk=Qn，2（S（n）2，tk↓ | Ftk）。我们得出结论，与资产i=1，2对应的二项式树与X（n）的二项式树同构，因为顺序保持不变，而且，相应节点的物理概率和状态价格都一致。这意味着P（S（n）（T）=aj）Qn，1（S（n）（T）=aj）=P（S（n）（T）=bj）Qn，2（S（n）（T）=bj）对于每个j的相互对应的终端节点状态值aj和bj（在各自模型的树中）。然后，一个直接的近似论证得出（A.3）成立的主张，并完成证明。