这些技术也可以适用于有限时间horizo-n-Merton问题，不同于期权和其他效用函数的定价，具体视情况而定。比较定理在本附录中，我们将给出一个比较定理的证明，该证明特别适用于我们的情况，表明t | bV |≤ C | V |。我们注意到，粘度的标准比较定理可以很容易地适用于0<γ<1的情况，例如Bichuch和Shreve[2 013]中的情况。然而，就我们所知，这个证明仅限于情况0<γ<1，因为它需要0的边界上的有限值。030.040.050.06Μl0l0+Εl1u0u0+Εu10。030.040.050.06Μ0.0050.0100.0150.0200.02500+ Ε 10.240.260.280.30∑l0l0+Εl1u0u0+Εu10。240.260.280.30Σ0.0150.0200.0250.03000+ Ε 12.42.62.83.0Γl0l0+Εl1u0u0+Εu12。42.62.83.0Γ0.0220.0240.0260.02800+ Ε 1图2：三张边界图l, uandl+√εl, u+√εu（左列）和长期增长率δ和δ+√快速随机波动率中的εδ（右列）和θ±情况下的εδ是复杂的，作为以下函数的函数：上排右：σ，下排：γ。偿付能力区域从（2.1）开始。为了避免这些问题并为所有案例提供证据，我们改编了Janecek和Shreve[200 4]的观点。为了简化证明，我们将假设以下参数中的所有局部鞅都是真鞅。我们提醒读者，我们假设^V，V都是s光滑函数，即bV，V∈ C1,2,2（[0，T）×S×R）。此外，我们还假设存在最优策略bζl，bζr和ζl，ζr分别为forbV和V。

所以我们有（（1）-λ) 十、- y） bV（t，x，y，z）=0t、 yx，z∈ [0，T）×[bζr（z），∞) ×R(t+Dε）bV=0，t、 yx，z∈ [0，T）×[bζl（z），bζr（z）]×r(Y- x） bV=0，t、 yx，z∈ [0，T）×(-∞,bζl（z）×R。换句话说，当财富比率在[bζl（Zt），bζR（Zt）]范围内时，bv的非贸易区。类似地，在[ζl（Zt），ζr（Zt）]给出的无贸易区的情况下，方程适用于V。证明的草图：我们想知道| bV（t，x，y，z）|≤ C | V（t，x，y，z）|，对于某些固定的（t，x，y，z）∈[0，T]-S×R。如果T=T，则根据终端条件得出，如果（x，y）∈ S可以通过修改Shreve和Soner[1994]中的证明来证明，最优策略是清算股票头寸，导致总财富为零，在这种情况下，bV=U和| V |≤ C | U |。因此，我们继续假设。0700.0710.0720.0730.0740.075Μl0l0+Εl1u0u0+Εu10。0700.0710.0720.0730.0740.075Μ0.0300.0310.0320.0330.0340.03500+ Ε 10.1920.1940.1960.1980.200zl0l0+Εl1u0u0+Εu10。1980.1920。03100.03150.03200.03250.03300.03350.034000+ Ε 11.851.901.952.00Γl0l0+Εl1u0u0+Εu11。851.901.952.00Γ0.03100.03150.03200.03250.03300.03350.034000+ Ε 1图3：三张边界图l, uandl+√εl, u+√εu（左列）和长期增长率δ和δ+√εδ（右列）在慢标度随机波动率中，如果θ±是实数，则为：上排右：’σ，下排：γ的函数。那不是∈ [0，T），a和（x，y）∈ 然后考虑从时间t的（x，y，z）开始的策略^Xt，^Yt，^zt- 这让我一直都很内敛。我们有blt=RtIn^Ys^Xs=cζrodbLs，cMt=RtIn^Ys^Xs=bζlodcMs。

因此bV（t，x，y，z）=bV（t，^XT，^YT，^ZT）-ZTt(t+Dε）bV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dt（A.1）-ZTtf（^Zt）ybV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dBt-ZTt√εβ^ZtzbV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dBt-ZTt(Y- x） bV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dbLt-ZTt(Y- x） bV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dcMt。利用（A.1）中的dt、dbLt、dcMtterms通过策略的最优性为零的事实，我们得出bV（t，x，y，z）=bV（t，^XT，^YT，^ZT）-ZTf（^Zt）ybV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dBt-ZT√εβ^ZtzbV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dBt，0.030.040.050.06Μl0l0+Εl1u0u0+Εu10。030.040.050.06Μ0.0050.0100.0150.02000+ Ε 10.240.260.280.30z1。01.52.02.53.03.5l0l0+Εl1u0u0+Εu10。240.260.280.30z0。0140.0160.0180.0200.0220.02400+ Ε 12.42.52.62.72.82.93.0Γ1.52.02.53.03.54.0l0l0+Εl1u0u0+Εu12。42.52.62.72.82.93.0Γ0.0200.0220.0240.02600+ Ε 1图4：三张边界图l, uandl+√εl, u+√εu（左列）和长期增长率δ和δ+√εδ（右列）在慢尺度随机波动中，以及θ±的情况下，都是复杂的函数：上排右：σ，下排：γ。根据期望，我们得出结论bv（t，x，y，z）=Ex，y，zthbV（t，^XT，^YT，^ZT）i.为V编写一个类似于（A.1）的方程，并使用相同的策略^XT，^YT，^ZT，我们得出V（t，x，y，z）≥ V（T，^XT，^YT，^ZT）-ZTf（^Zt）yV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dBt-ZT√εβ^ZtzV（t，^Xt，^Yt，^Zt）dBt，其中我们使用了V也同样适用于HJB方程（2.3）的事实。再一次，通过预测，并调用最终时间条件（2.5），我们得出结论V（t，x，y，z）≥ V（T，^XT，^YT，^ZT）≥CbV（T，^XT，^YT，^ZT）=CbV（T，x，y，z）。另一个不等式也可以通过改变V和BV的作用得到类似的证明。B命题4.3的证明为了找到vλ，1，我们使用参数变分法求解非齐次方程（3.10），其源（右侧）项除以二阶导数的系数isF（ζ）：=-VDDvλ，0+（1- γ） δvλ，0′σζ。

（B.1）具体来说，我们写λ，1（ζ）=A+（ζ）v+（ζ）+A-（ζ） 五-(ζ). （B.2）那么我们需要A±解方程组A′+v++A′-五、-= 0，（B.3）A′+v′++A′-v′-= F（ζ）。（B.4）实际上，使用（B.3），（B.4），以及LNTv±（ζ）=0这一事实，我们看到了tLNT（A+v++A）-五、-) =σζA′+v′++A′-v′-= -VDDvλ，0+（1- γ） δvλ，0。系统的解（B.3）-（B.4）isA±（ζ）=Zvv′-五+- v′+v-F（ζ）dζ+C±，（B.5），其中常数C±将由边界条件（3.15）和（3.17）确定。我们将证明分为两种情况：当θ±方程（4.3）的根为实数时的情况，以及当它们为复数时的情况。这些分别在B.1和B.2节中介绍。B.1实θ±当（4.3）中波动率σ=？σ且在特征值δ处的二次方程的根θ±为实时，我们得到w（ζ）=c+ζθ++k-2+c-ζθ-+K-2，其中c±在（4.20）中给出。我们计算DDvλ，0=L+c+ζθ++L-C-ζθ-, re L±定义在第4.3节中，因此公式（3.25）至（4.24）中δ的计算非常简单。接下来，我们计算vv′-五+- v′+v-= -ζ1-θ±θ、 还有索夫v′-五+-v′+v-F=~c±ζ-1摄氏度ζθ-1，式中，~c±在（4.26）中给出。

然后，从（B.5）中，我们有一个±=~c±对数ζ+~cθζθ+C±，从（B.2）中，我们有vλ，1=C+ζθ++C-ζθ-- ~c+ζθ+对数ζ+~c-ζθ-logζ，（B.6），其中我们已将一些常数吸收到C±中，并保留了与它们尚未确定的相同标签。在边界条件（3.15）和（3.17）中插入（B.6），并除以1- γ、 我们得到：MC+C-= b、 （b.7）其中（4.18）中的矩阵M在本例中计算toM=Klθ+lθ+-1.- lθ+klθ-lθ--1.- lθ-kuθ+uθ+-1.- uθ+kuθ-uθ--1.- uθ-, （B.8）和向量B isb=~c-lθ--1(l日志l- Kl(1 + θ-日志l))~c-uθ--1（乌洛古）- ku（1+θ）-日志（u）-~c+lθ+-1(l日志l- Kl（1+θ+对数）l))~c+uθ+-1（乌洛古）- ku（1+θ+对数u））和（k）l, ku）在（4.5）中定义，我们插入替代品（L，U）=(l, u） 。我们记得M是一个奇异矩阵，因为我们在（4.19）中选择δ，要求它的判定为零。b的Fredholm可选可解性条件由（3.25）中的δ选择o满足。因此，我们通过取C得到一个特殊的解-= 0和C+由（4.27）给出。这决定了（4.25）中给出的vλ，1a等于vλ，0的倍数。B.2复θ±当（4.3）a的特征值δ的二次方根θ±是复的，我们有vλ，0=c+v+（ζ）+c-五、-（ζ） =ζθr（c+cos（θilogζ）+c-sin（θilogζ），其中θr=-（k）- 1） 使用（3.23）中定义的k=u′σ表示法，在（4.20）中选择c±表示法。我们首先计算δ。从（3.25）中，我们得到δ=V1-γ（I/I），其中I1,2分别是要计算的数值和分母中的积分。利用变量η=logζ的变化，我们得到i=ZulwDDvλ，0dζ=Zlog ulogle（（k）-2） +θr+1）ηcTT（η）η-ηeθrηcTT（η）dη，其中我们定义T（η）：=cos（θiη）sin（θiη）, c=c+c-如（4.22）所述。区别（4.8）中的公式等于将cos和sin项的系数乘以矩阵Θ。

然后我导出toI=Zlog-uloglcTT（η）qTT（η）dη=2θi（^cTq）sin（2θiη）+（cTq）θiη-（cTˇq）cos（2θiη）圆木l,式中，^c，ˇq在（4.23）中给出。同样地，我们有i=Zulwvλ，0dζ=2θi（^cTc）sin（2θiη）+（cTc）θiη-（cTˇc）cos（2θiη）圆木l,其中（4.23）中也给出了ˇc。这些导致δ的表达式（4.28）。接下来，我们计算（B.5）中的A±in，其中F在（B.1）中定义。同样，在变量η=logζ中，我们得到了A±（η）=Z~v（η） e-ηW（η）~F（η）eηdη+C±，其中v±表示η坐标中的v±和Wronskian简化为W（η）=θie2θrη。我们发现F（η）=e-2η+θrηqTT（η），其中q在（4.23）中定义。然后我们得到∧A+（η）=-~q-2θiη+~q-4θisin（2θiη）+q+4θicos（2θiη）+C++A-（η） =+~q+2θiη+~q+4θisin（2θiη）-~q-4θicos（2θiη）+C-.常数C±由边界条件（3.15）和（3.17）确定。和以前一样，我们可以-= 0.因此，从（B.2）中，我们有vλ，1由（4.29）给出，使用（4.30）-（4.31）中的C+和A±的定义。C织女星的显式计算在实际情况下，我们将使用（4.20）从方程（D.1）中计算˙C°。首先，使用（4.15）和（4.16），我们发现σπ±=0,σ+ γσπ±u - γσπ±，在哪里0,σ:= σ在引理5.1中计算。此外，从同样的方程式我们也得到了σL=（1+L）σπ-= （1+1）0,σ+ γσπ-u - γσπ-,σU=1.-λ+Uσπ+=1.-λ+U0,σ+ γσπ+u - γσπ+.从（4.5）我们得到σku=σU1-γ, σkl=σL1-γ、 从（4.3）我们得到了˙θ±=σθ±（1）-θ±) + (1 - γ)0,σσθ±+u -σ ,由（4.20）可知˙c±=±v′（L）σL±v（五十） ˙θ对数LσL1-γv′（L）Kl˙θ五、（五十） L+v′\'（L）σL+v′（五十） ˙θ对数L.这些用于计算σV=˙c+V+（ζ）+˙θ+c+V+（ζ）对数ζ+˙c-五、-(ζ) +˙θ-C-五、-（ζ） 对数ζ。（C.1）D命题5.2的证明在ro otsθ±为真的情况下，我们有σV=˙c+ζθ++c+˙θ+ζθ+对数ζ+˙c-ζθ-+ C-˙θ-ζθ-对数ζ。

（D.1）它紧随其后σV=Q+ζθ++c+θ+˙θ+ζθ+对数ζ+Q-ζθ-+ C-θ-˙θ-ζθ-对数ζ，F（z，ζ）=θ~c+（z）ζθ+-2+~d+（z）ζθ+-2logζ+c-（z） ζθ--2+~d-（z） ζθ--2logζ,五、Fv′-五+- v′+v-=~c±（z）+~d±（z）对数ζ+c（z） ζθ-θ±+d（z） ζθ-θ±logζζ，这里我们使用了v′-五+-v′+v-=ζ1-θ±θ、 加上（5.13）中的c±和d±的定义。计算表明A±=§c±对数ζ+d±对数ζ~cθζθ~dθ对数ζ±θζθ!+ C±。因此，从（B.2）中，我们有vλ，1=-~c+-~d+θ!ζθ+logζ+c-+~d-θ!ζθ-对数ζ-~d+ζθ+对数ζ+d-ζθ-对数ζ+C+ζθ+C-ζθ-,我们已经将一些常数吸收到C±中，并保留了与它们尚未确定的相同标签。因此，对于C±，我们得到了一个类似于（B.7）的方程组，其矩阵与（B.8）中之前定义的相同，但右侧向量B不同=bb, 交给byb=日志l-Kll(1 + θ-日志l)“~c-+~d-θ!lθ--~c+-~d+θ!lθ+#- （h）+(l) -H-(l)) 日志l, （D.2）其中h±(l) =~d±lθ±日志l-Kll（2+θ±对数）l). 第二组分由同一公式给出l替换为u。我们记得M是一个奇异矩阵，因为我们在（4.19）中选择δ，要求它的行列式为零。b的Fre-dholm-alter本机可解性条件通过选择δin（3.25）来满足。因此，我们通过取C得到一个特殊的解-= （5.14）中定义的0和C+决定了vλ，1up加上（5.12）中任何ξ的vλ，0as的倍数∈ 参考主义。比丘奇。具有交易费用的有限时间最优投资的渐近分析。暹罗金融时报。，3:433–458, 2012.比丘奇先生和史莱夫先生。效用最大化以交易成本交易两个期货。暹罗金融时报。，4(1):26–85, 2013.R.E.Ca flisch、G.Gambino、M.S ammartino和C.Sgarra。具有交易成本和随机波动性的欧式期权定价：渐近分析。2012年，预印本。J.Choi、M.Sirbu和d G.Zitkovic。

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