由于系统的阶数为n=5，图16中的奇怪吸引子是相位图在2D子空间上的投影。真实股票价格的一个重要类型化事实是它们的尾部分布[11]，即大回报（正或负）出现的频率远高于高斯分布模型预测的频率。因此，有趣的是，看看我们的混沌价格模型产生的回报是否是厚尾分布的。图17显示了价格动态模型（1）生成的收益分布，其中0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.4距离-不相关为a1的函数（m，n）=（1,5），固定WA1距离-不相关DU（a1）w=0.01w=0.02w=0.01 0.02 0.03 0.04 0.05-0.06-0.4-0.10-0.10-0.30距离-不相关为w的函数（m，n）=（1,5）且与不相关DU（w）a1的固定距离a1=0.1a1=0.2a1=0.30 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20-2024x 10-4 a1的收益自相关=0.1<r（t）r（t+i）>i0 2 4 6 8 10 12 14 18 20-20246x 10-4 a1的收益自相关=0.14<r（t）r（t+i）>i0 2 6 8 10 12 14 16 18 20-20246x 10-3 a1的收益自相关<r（t+i）>。关于模糊系统23（4）：787-8012015。（m，n）=（1,5）， 和, 价格轨迹点被用来构造分布曲线，图中还显示了高斯分布（虚线），其方差与模型（1）价格收益相同。比较图17中的两条曲线，我们可以清楚地看到模型（1）的收益分布是厚尾的。图16：奇怪吸引子：2D上模型（1）返回的相位图-vs-（m，n）=（1,5）的子空间， 和.无花果

17：价格动态模型（1）在（m，n）=（1,5）的半对数标度下的收益分布， 和;  虚线是具有相同方差的高斯分布。九、 总结性评论本文开发的基于技术交易规则的确定性价格动态模型为我们提供了一个有用的框架来分析股票价格的一些关键特性，并从不同的角度来看待金融经济学中的一些重要问题：，为自然系统开发的经典平衡和稳定性概念（在theLyapunov意义上）可能不适用于社会系统（参见[36]了解经济学如何从物理学中借用平衡概念的历史）。具体来说，如图18所示，孤立平衡在自然系统中很常见，经典的平衡和稳定性概念是针对这些场景开发的；然而，对于价格系统来说，如果不进行购买或出售行为，价格将永远保持在任何价值。事实上，图18所示的价格体系是定理1和定理2的示意性解释，第三节中的讨论：（i）任何价格都是          供给等于需求；（ii）所有的均衡都是不稳定的，因为一个暂时的小的供需不平衡将力会自动将其推回（与自然系统的稳定平衡相反）；（iii）总体而言，价格体系相当稳定从一个点到另一个点（有规律地或无序地），以克服供需不平衡[8]。

对于社会系统（尤其是金融系统），      鉴于 [4], [23],[37]. 因此，我们需要一些关于社会系统稳定性的新概念[25]；第三节中提出的集合稳定的概念是这方面的一个尝试。图18：自然和社会（价格）系统需要不同的稳定性概念。第二，波动率是模型参数的固定函数，这些参数具有明确的物理意义，例如交易对手的实力(), 价格上涨（下跌）的幅度，反对者开始采取行动(),  或者技术交易规则中使用的价格移动平均线的长度().因此，关于波动性的程式化事实（如波动性聚集和过度波动）的起源可以清楚地确定：波动性聚集是由于交易者使用其预先确定的策略在一个时间间隔内购买或出售股票，直到其目标实现；此外，过度波动是由于交易者在很短的时间内采取了强有力的行动，如操纵者的泵送和卸载操作，或止损单的连锁反应[26]。如图所示，洞察模型（1）的（m，n）=（1,5），w=0.01和a1=0.14r（t-1）r（t）-0.06-0.06-0.06-0.04-0.020.040.06阶段图（1）返回（m，n）=（1,5），w=0.01和a1=0.14r（t-1）r（t）-0.06-0.04-0.04-0.02-0.0610-210-1模型（1）返回（m，n）=（1,5），w=0.01和a1=0.14r（t-1）的分布参考IEEE系统供求关系（自然）报价，请购买。关于模糊系统23（4）：787-8012015。无花果。

19，波动率和价格动态模型处于更高的确定性水平，是慢时变的[30]（与价格变化相比，模型结构和参数的变化通常是缓慢的），而价格和回报处于较低的混沌或随机水平，是快时变的；也就是说，波动率应该被视为一个决定性的变量，并以与模型参数相同的方式对待。图19：波动率是一个确定性变量，与模型参数有固定关系。第三，短期预测是可能的，因为价格动力学模型是纯粹的   模型参数的固定函数（20）。对于参数在典型混沌范围内的价格动力学模型（1）（见图3和11），波动率大约需要两到六个步骤才能增加十倍（见图9）；也就是说，假设在某个时间点强度参数突然增加10倍（例如，一个大买家在这个时间点开始行动），然后波动率会有两到六个时间步的延迟，以完全跟上交易活动的变化。最后，不相关的收益（即漂移（26）等于随机游动漂移）)  出现在混沌区中心的某些特定参数值处。对于混沌区其他部分的参数，漂移要么小于随机游动漂移（次扩散）或大于 （超级扩散）。无花果中的曲线。13和14让我们清楚地了解到，随着模型参数的变化，结果如何从正相关（超扩散）到非相关（扩散），再到负相关（次扩散）。

在本文中，我们的确定性价格动态模型提供了一个比随机游走模型更多的框架来揭示收益相关性的起源。这与ARCH[18]、GARCH[7]和许多其他[2]等流行模型形成对比，这些模型将波动视为一个随机过程，由相同的价格来源驱动。引理1的附录证明：我们考虑m=1和n，w和你可以自由改变。让初始条件为和,  i、 例如，价格保持在某种任意的均衡价格在时间零点之前和 有一点小麻烦造成. 证明的基本思想是计算,  ,  r2  这是对雅普诺夫指数的一个很好的估计。从（2）和使用对于我们在 那个小的以至于,  我们从（1）、（4）和（A1）中得到：我们得到了第一个李雅普诺夫指数：对于, , 和小的以至于. 从（A5）开始，我们有在（A3）和（A6）中设置n=5和w=0.01 和. 对于一些典型的参考请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。在混乱地带， 和 彼此之间并不紧密（例如,  和, 因此，我们继续讨论.

从…起, 和    小的以至于, 我们有将n=5和w=0.01放入（A9）产量中.  图A1曲线图,  和 对于在混乱地带。我们从图中看到。A1那个和它们彼此非常接近，因此我们可以使用它们中的任何一个,  作为theLyapunov指数；这就给出了（19）。对于一般情况，我们从（A6）和（A9）中得出：这是按照,  虽然 是按照. 因为n是这给出了相对差异 在订单中大约1%，这是很小的，因此我们可以使用（A6）作为李雅普诺夫指数；这证明了（20）。图A1：李亚普诺夫指数候选图,   和 作为强度参数的函数.感谢作者要感谢匿名AE和thereviewers，感谢他们富有洞察力的评论，帮助改进了论文。推荐人   《经济方法学杂志》9.2:119-1392002。[2] 安徒生，T.G.，T。

          -Sahalia和L.P.Hansen（编辑），《金融计量经济学手册：工具和技术》，第一卷，第67-138页，爱思唯尔：北荷兰，2010年。[3] 阿罗、K.J.和G       《计量经济学》22.3:265-2901954。         《经济展望杂志》3:77-1051989。[5] 伯恩斯坦，P.L.，反对众神：风险的非凡故事，约翰威利父子公司，新泽西州，1998年。[6] 伯恩斯坦，P.L.，资本理念演进，约翰·威利父子公司，新泽西州，2007年。[7]      -327, 1986.                    -Hoppe编辑，金融市场手册：动力学和进化，爱思唯尔：学术出版社：57-1602008。[9] Bouchaud，J.P.和M.Potters，《金融风险理论：从统计物理学到风险管理》（第二版），剑桥大学出版社，剑桥，2003年。[10] 布莱恩特，W.D.A.，基因平衡：理论与证据，世界科学出版公司，2010.0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35-1-0.500.511.5L1L2L3A1YAPUNOV指数候选值作为A1的函数参考请引用：IEEE Trans。关于模糊系统23（4）：787-8012015。    《定量金融》，2011年第11卷，第7991-1012号。[12] 科莱，P.和J.P。

埃克曼，《混沌动力学中的概念和结果：阿肖特课程》，柏林海德堡斯普林格·维拉格出版社，2006年。[13          《定量金融》，第一卷，第223-236页，2001年。[14] 丁，J.和A.周，确定性系统的统计性质，柏林海德堡Springer Verlag GmbH，2009。[15] Elaydi，S.，差分方程导论（第三版），SpringerScience+Business Media，Inc.，2005年。[16] Elliott，G.和A.Timmermann（编辑）。，《经济预测手册》第2A卷，爱思唯尔出版社，2013年。[17] Elton，E.J.，M.J.Gruber，S.J.Brown和W.N.Goetzmann，《现代投资组合理论与投资分析》（第七版），约翰·威利父子公司，2007年。[18     条件异方差计量经济学50:987-10081982。[19复杂性14:11-382009。[20] 格雷克，J.，混沌：创造新的科学，企鹅图书，纽约，2008年。[21           《金融研究回顾》，21:1455-15081008。[22]霍姆斯，C在L.Tesfatsion和K.L.Judd编辑的《计算经济学手册》第二卷：基于代理的计算经济学中，Elsevier B.V.：1109-1186，2006年。[23 《金融杂志》46:1839-18771991。[24]赫尔，J.C.，期权、期货和其他衍生品（第七版），培生教育公司，2009年。[25]基里连科，A.A.和A.W。

瞧          《经济展望杂志》，第27卷，第2期，第51-72页，2013年春季。[26]Kirkpatrick，C.D.和J.Dahlquist，《技术分析：金融市场技术人员的综合资源》（第二版），PearsonEducation，新泽西州，2011年。[27          《经济日报》，99:126-139，1989年。[28]拉索塔，A.和M.麦基，《混沌、分形和噪声：动力学的随机性研究》，斯普林格·维拉格，纽约，1994年。[29           -基于《东方经济日报》34:550-5652008。[30]  《投资组合管理杂志》，第30卷，第5期，第15-29页，2004年。[31  J.大气科学。，20:130-141, 1963.[32]Malevergne，Y.和D。

索内特，《极端金融风险：从依赖到风险管理》，柏林海德堡斯普林格·维拉格出版社，2006年。[33]Malkiel，B.G.，华尔街随机漫步（第10版），W.W.诺顿公司，纽约，2012年。[34]曼德布洛        《商业杂志》36:394-4191963。[35]Mehrling，P.，Fischer Black and the Revolutional Idea of finance，JohnWiley&Sons，Inc.，新泽西州，2012年。[36]米洛夫斯基，P.，更多的热量比光：经济学作为社会物理学，, 剑桥大学出版社，1989年。[37]彼得斯，E.E.《资本市场的混乱与秩序：周期、价格和市场波动的新观点》（第二版），约翰·威利父子出版社，纽约，1996年。[38Timmermann主编，《经济预测手册》第2A卷，爱思唯尔银行。V.，第327-384页，2013年。[39]R.C.罗宾逊，《动力系统导论：连续与离散》，普伦蒂斯·霍尔，2004年。[40]Schlefer，J.，经济学家的假设，哈佛大学出版社贝尔纳普出版社，2012年。[41]Shiryaev，A.N.，随机金融的基本要素：事实、模型、理论，世界科学出版社，1999年。[42]斯特罗加茨，S.H.，非线性动力学和混沌：在物理学、生物学、化学和工程中的应用，珀尔修斯图书出版有限责任公司，1994年。[43]Tesfatsion，T.和K.L.Judd主编，《计算经济学手册》第二卷：基于代理的计算经济学，爱思唯尔出版社，2006年。[44         IEEE Trans。网络3:807-8141992。[45]曾、X.J.和M.G.辛格，模糊系统的分解性质及其应用， IEEE Trans。

关于模糊系统4:149-1651996。王立新于1992年获得美国加利福尼亚州洛杉矶南加州大学电气工程系博士学位。1992年至1993年，他在加州大学伯克利分校电气工程和计算机科学系担任博士后。1993年至2007年，他任职于香港科技大学电子与计算机工程系。2007年，他辞去了科大的职位，成为香港和中国股市和房地产市场的独立研究员和投资者。2013年11月，他加入了中国西安西安交通大学自动化科学与技术系，完成了一次卓有成效的狩猎之旅，穿越了投资的荒原，实现了财务自由。他的研究兴趣是资产价格的动态模型、市场微观结构、交易策略、模糊系统和意见网络。王博士接受了南加州大学的教育s Phi Kappa Phi最高学生认可奖。