因此，公理C3成立。因此，公理B1-B3相当于公理C1-C4，因此引理的结论来自定理3.1 inKou、Peng和Heyde（2013）。在表示法（18）中，每个重量w∈ W可被视为情景集合上的先验概率；更准确地说，wi可以被视为情景i发生的可能性。引理2.1和引理3.1导致了以下一类风险度量：ρ（X）=s·supw∈W（mXi=1wiZX d（hio Pi）。（19） 根据定理2，每种情况下对可引出性的要求导致了以下尾部风险度量ρ（X）=s·sup＠w∈W（mXi=1wiMSi，αi（X）），（20），其中MSi，αi（X）是在第i个情景（模型）下计算的置信水平αi下X的中值不足。（20）中的风险度量ρ从两个方面解决了模型不确定性和合并稳健性问题：（i）在每种情况下，MSi、αII可引出且具有统计稳健性（Kou、Peng和Heyde（2006、2013）以及Cont、Deguest和Scandolo（2010））；（ii）ρ包含多个场景和场景集上的多个先验。4《巴塞尔协议》资本规则在银行交易中的应用什么样的风险度量应该用于设定银行的资本金要求是自2007年金融危机以来一直存在争议的一个重要问题。巴塞尔协议II使用99.9%的VaR来设定金融机构银行账簿的资本要求（Gordy（20 03））。第三天交易账簿的新巴塞尔协议资本费用被指定为ρt（Xt，Xt-1.Xt-59）：=stmaxnstVaRt-1（Xt），Pi=1VaRt-i（Xt）-i+1）o，其中Xt-（t）的交易账面损失- i） 第天；圣≥ 3是监管机构根据机构VAR模型的回测结果指定的常数；瓦特-i（Xt）-i+1）是在99%置信水平下，在dayt计算的10天VaR- i、 对应于第i个模型，i=1，60

用概率1确定X=0的第61个月消光层。假设交易账簿的组成和持仓量在60天内保持不变。然后，Xt，Xt-1.Xt-59可被视为不同分布下相同随机损失的实现。在这种情况下，新巴塞尔协议风险度量是（20）中考虑的风险度量类别的特例；它包含了61个模型和两个先验：一个是w=（1/s，0，…，0，1）- 1/s），另一个w=（1/60，1/60，…，1/60，0）。TheGilboa and Schmeidler（1989）cons IDER infP∈PRu（X）dP无hi；见alsoXia（2013）。巴塞尔协议2.5风险度量（巴塞尔银行监管委员会（2009年20月））通过纳入在金融危机等压力市场条件下计算的“压力VaR”来缓解巴塞尔协议II风险度量的顺周期性。巴塞尔协议2.5风险度量也可以写成（20）的形式。在国际清算银行发布的一份咨询文件（巴塞尔银行监管委员会（2013年））中，巴塞尔委员会提议“从风险价值转向预期缺口”，该文件“通过考虑超过某个置信水平的损失规模和可能性来衡量头寸的风险”在tth日测量的交易账簿的拟议新巴塞尔协议（称为巴塞尔协议3.5）资本费用定义为ρt（Xt，Xt）-1.Xt-59）：=s ma x塞斯特-1（Xt），Pi=1ESt-i（Xt）-i+1）, ESt在哪里-i（Xt）-i+1）是在t天计算的97.5%置信水平的ES- i、 i=1，60.假设交易账簿组成和头寸规模在60天内相同。那么，拟议的巴塞尔3.5风险度量是（19）中考虑的o类风险度量的一个特例。从VaR变为ES的主要论点是ES比VaR更能捕获风险。

99%VaR为1亿美元的声明没有提供损失超过1亿美元时损失大小的信息；另一方面，鉴于损失超过99%VaR，99%的ES衡量的是损失规模的平均值。尽管这一论点听起来合理，但ES并不是唯一捕捉尾部风险的风险指标；特别是，捕获尾部风险的另一种风险度量是中间短缺（MS），它与预期短缺相反，测量的中间值大于尾部损失分布的平均值。例如，在前面的ionedexample中，如果我们想要捕获99%VaRlevel之外的损失大小和可能性，我们可以使用99%级别的ES，或者使用99%级别的MS。MS可能更适合于在银行监管中设定资本要求，因为（i）MS是可引出的，但ES不是；（ii）MS是稳健的，但ES不是（Kou、Peng和Heyde（2006年、2013年）和Cont、Deguest和Scandolo（2010年））。Kou、Peng和Heyde（2013）表明，稳健性对于用于法律执行的外部风险度量是不可或缺的，例如计算资本要求。巴塞尔协议II、Ba sel 2.5和新提出的交易账簿风险度量（巴塞尔协议3.5）也是库彭海德（2013）提出的自然风险统计风险度量的特例。自然风险统计由不同的公理集公理化，包括共单调次可加性公理。为了进一步比较MS和ES的稳健性，我们对标准普尔500日收益率尾部风险的度量进行了简单的实证研究。

我们考虑了两个类似于R isk度量模型的IgArch（1,1）模型：o模型1:IG ARCH（1,1），条件分布为高斯分布=u+σtt，σt=βσt-1+ (1 - β） rt-1，td~ N（0，1）。o模型2：与模型1相同，只是条件分布被指定为td~ tν，其中tν表示自由度为ν的t分布。我们分别将这两个模型与1980年1月2日至2012年11月26日期间标准普尔500指数日收益率的历史数据进行拟合，然后预测2012年11月26日价值1000000美元的标准普尔500股票投资组合的一天MS和ES。表1显示了两种模型下MS和ES预测的比较，其中ESα，i和MSα，i分别是第i种模型下计算的ESα和MSα，i=1,2。从表中可以清楚地看出，在两种模型下ES的变化（即ESα，2- ESα，1）比MS（即MSα，2）大得多- 表1：2012年11月26日，对价值1000000美元的标准普尔500指数股票组合的一天MS和ES预测的比较。ESα，Ian和MSα，Ire分别是在第i个模型下计算的α级ES和MS，i=1,2。很明显，在两种模型（即ESα，2）下ES的变化- ESα，1）比MS（即MSα，2）大得多- MSα，1）。αES-MSESα，2-ESα，1MSα，2-MSα，1- 1ESα，1ESα，2ESα，2- ESα，1MSα，1MSα，2MSα，2- MSα，197.0%19956 21699 1743 19070 19868 798 118.4%97.5%20586 22690 2104 19715 20826 1111 89.3%98.0%21337 23918 2581 20483 22011 1529 68.8%98.5%22275 25530 3254 21441 23564 2123 53.3%99.0%23546 27863 4317 22738 25807 40.6%99.5%25595 32049 6454 24827 29823 4929.2%5评论5。1.对风险价值的批评正如奥曼和塞拉诺（2008）所指出的，“与任何指数或汇总统计数据一样，……风险指数用一个数字概括了一个复杂的高维对象。

毋庸置疑，没有一个指数能够概括当前形势的所有相关方面。”以下是文献中对VaR的一些流行批评。（i） α级的VaR没有提供关于VaRα以外尾损失分布大小的信息。然而，通过测量VaRα以外尾部损失分布的中值大小，α级的中值缺口确实解决了这个问题。（ii）有一个病态的反例，即对于某些水平的α，完全集中投资组合的VaRα可能小于完全分散投资组合的VaRα，这与分散投资降低风险的经济直觉相反；参见例6。7 inMcNeil等人（2005年，第241页）。然而，如果α>98%，这个反例就会消失。（iii）VaR不满足次可加性的数学公理（Huber（1981），Artzner等人（1999））。然而，次可加性公理有点争议：（1）次可加性公理基于一种直觉，即“合并不会产生额外风险”（Artzner等人（1999），第209页），这可能不是真的，从2008年美国银行和美林的合并中可以看出。（2） 次可加性与多元化有益的理念有关；然而，多元化并非总是有益的。Fama和Miller（1972年，第271-272页）表明，多元化对于具有重尾（尾指数小于1）的资产回报是有效的；这些结果被推广到了inIbragimov和Walden（2007）和Ibragimov（2009）。更多讨论请参见Kou、Peng和Heyde（2013年，第6.1节）。（3） 虽然次可加性确保ρ（X）+ρ（X）是ρ（X+X）的上界，但面对模型的不确定性，该上界可能无效。（4） 实际上，ρ（X）+ρ（X）可能不是有用的上界f或ρ（X+X），因为前者可能比Artzner等人的表示定理大得多。

bas ed o n Huber（1981）也使用了同样的公理。Gilboa和Schmeidler（1989）在不同的公理基础上得到了更一般的表示。在fact中，假设我们关心的是获得ESα（X+X）的上界。实际上，由于模型的不确定性，我们只能计算α（X）和cesα（X），它们分别估计o fESα（X）和ESα（X）。cESα（X）+cESα（X）c不能用作上界forESα（X+X），因为cESα（X）+cESα（X）<ESα（X）+ESα（X）是可能的。后者。（5） 资本配置或资产配置不一定需要次可加性。（6） 人们经常认为，如果使用非次加性风险度量来确定金融机构的监管资本，那么为了减少其监管资本，该机构有动机合法地拆分为多个子公司。然而，将一家机构拆分为子公司可能并不坏，因为它可以防止单个业务部门的损失导致整个机构破产。相反，如果使用次加性风险度量，则该机构有与其他金融机构合并的动机，这可能导致金融机构太大而不能倒闭。因此，仅使用这种类型的论证并不清楚风险度量是否应该是次加性的。即使人们相信次可加性，VaR（和中值短缺）在大多数相关情况下也能满足次可加性。事实上，Danielsson、Jorgensen、Samorodnitsky、Sarma和de Vries（2013）表明，如果资产回报率有规律地变化，并且可能是依赖的，尽管VaR不满足全球次加性，但VaR（和中值短缺）在相关尾部区域是次加性的。Ibragimov和Walden（2007）和Bragimov（2009）表明，对于具有有限均值的有限方差稳定分布，VaR是次可加的。

“从这个意义上说，他们表明，只要尾部不是超脂肪（例如高加索分布），VaR对所有脂肪分布的尾部都是次加性的”（Gaglianone、Lima、Linton和Smith（2011））。Garcia、Renault和Tsafack（2007）强调，“VaR违反次加性所需的尾部厚度，即使是很小的概率，仍然是一种极端情况，因为它对应的条件信息非常差，预期损失似乎是有限的。”（iv）Embrechts等人（2014年）认为，“就聚合中的依赖性不确定性而言，VaR不如预期短缺稳健”，因为VaR不是聚合稳健，而是预期短缺稳健。然而，他们的反例（即示例2.1）仅表明VaR可能不是聚合——r必须在α水平上，这样F-1（·）在α处不连续。举个例子，最多只有一个可数的数字，让Xbe表示s股票（其价格为100美元）上看涨期权的多头头寸损失为100美元，让Xbe表示该股票上看涨期权的空头头寸损失为95美元。那么X+X的保证金要求ρ（X+X）不应大于5美元，因为X+X≤ 5.然而，ρ（X）=0和ρ（X）≈ 20（保证金约为基础股价的20%）。在这种情况下，没有人会使用次可加性来计算上限ρ（X）+ρ（X）≈ 2.0作为投资组合X+X的主要目标；相反，人们将直接计算ρ（X+X）。Kou、Peng和Heyde（2013年，第7节）为一类风险度量（包括情景分析的VaR和巴塞尔协议风险度量）制定了Euler资本分配规则。 这样的α；在fa-ct中，如果F是连续分布，则不存在这样的α。

相反，对于任何其他α，α级的VaR是聚集鲁棒的，因为α级的VaR是汉佩尔鲁棒的，而Ha-mpel鲁棒性意味着聚集鲁棒性；值得注意的是，根据康特、德盖斯特和斯堪的诺（2010）的推论，3.7%的预期缺口是不稳定的。（iv）预期缺口比VaR更保守，因为ESα>VaRα。这种说法具有误导性，因为α级的ES应与（1+α）/2级的VaR（即α级的MS）进行比较。ESα可能比MSα小（即不太保守），因为平均值可能比中位数小。例如，如果尾部损失分布是形状参数大于3.44的威布尔分布，则ESα比MSα小（参见，例如，Von Hippel（2005））。5.2其他评论值得注意的是，风险度量对尾部风险过于敏感是不可取的。例如，让L表示在街上行走的人可能会遭受的损失。有一个非常小但积极的可能性，这个人可能会被汽车撞倒并失去生命；如果不幸的话，我可能就要完蛋了。因此，L的ES可能等于in fi finity，这表明该人不应该在街上行走，这显然是不合理的。相比之下，L的MS是一个数字。理论2。1推广了Ziegel（2013）的主要结果，该结果表明，唯一可确定的光谱风险度量是平均函数；请注意，VaR不是一种光谱风险度量。韦伯（2006）在N上的两个拓扑条件下，导出了凸接受集N和凸拒绝集N的风险测度的一个刻画定理（定理3.1）：（1）t这里存在x∈ 带δx的R∈ N这样对y来说∈ 兰德δy∈ 北卡罗来纳州（1）- α） δx+αδy∈ N足够小的α>0；（2） 对于某些规范函数ψ：R，N是ψ-弱循环的→ [1, ∞).

特征化定理cannotAggregation鲁棒性是一个比Hampel鲁棒性弱的鲁棒性概念。根据Uber和Ronchetti（2009）的定理2.21，风险度量（统计函数）ρ在分布F上是鲁棒的，本质上等价于ρ在分布F上是弱连续的。更确切地说，如果ρ在F处是汉佩尔稳健的，那么对于任何>0，存在δ>0，使得G∈ Nδ（F）：={H | d（F，H）<δ}，它认为|ρ（F）-ρ（G）|<。相比之下，ρ在F处是聚集稳健的，这意味着对于任何>0，存在δ>0，因此对于G∈ Nδ（F）∩ AF，它保持t |ρ（F）- ρ（G）|<，其中f:={H |存在整数m>0和随机变量X，…，Xm，X′，…，X′m，这样xid~ X′i，i=1，m、 Pmi=1Xid~ F、 andPmi=1X′id~ H.}。自Nδ（F）∩ AFNδ（F），聚合鲁棒性弱于汉佩尔鲁棒性。因为我们在可引出性的定义中没有对预测目标函数S（·，·）做出任何假设，因此拓扑条件可能不成立，所以我们在本文中使用了。例如，Bellini和Bignozzi（2013）中的结果依赖于Weber（2006）中的特征化定理，使得对预测目标函数S（·，·）进行了严格假设，要求对可诱导性的定义比Gneiting（2011）更严格；在他们的定义下，中位数或分位数可能是不可引出的，而它们在Neiting（2011）的意义上总是可引出的。风险度量的合理性也与概率预测评估的统计理论有关（Lai、Shen和Gross（2011））。本文的目的是基于经济考虑。

其他基于数学考虑的公理包括凸性（F–o llmer and Schied（2002），Frittelli and Gianin（2002，2005）），共单调次可加性（Song and Yan（2006，2009），Kou，Peng and Heyde（200，2013）），共单调凸性（Song and Yan（2006，2009））。Dhaene、Vandu ff el、Goova erts、Kaas、Tang和Vyncke（2006）提供了一项关于共名性和风险度量的调查。引理2的证明。1屋顶。在不丧失一般性的情况下，我们只需要证明s=1的情况，因为ρ满足公理A1-A5，当且仅当sρ满足公理A1-A5（s=1 inAxiom A3）。“仅当”部分。首先，我们证明（2）适用于任何X∈ L∞(Ohm, F、 P）。定义集合函数ν（E）：=ρ（1E），E∈ F.然后，根据公理A2和A3，tν是单调的，ν() = 0和ν(Ohm) = 1.对我来说≥ 1，定义膜：={X | | X |≤ M} 。对于任何X∈ L∞(Ohm, F、 P），设Mbe为| X |的本质上确界，并表示xm:=min（M，max（X，-M） ）。然后是XM∈ lm和X=XMa。s、 ，这意味着ρ（X）=ρ（XM）（根据公理A4）和ν（X>X）=ν（XM>X），x、 因为ρ满足L上的公理A1-A3∞(Ohm, F、 P），因此ρ满足Schmeidler（1986）第3节推论的条件（i）（iii）（其中B（K））这些假设包括定义3.1中的三个条件和理论4中的两个条件。2：（1）S（x，y）在y中是连续的；（2） 对于任何x∈ [-，]且>0，S（x，y）≤ 一些规范函数ψ的ψ（y）。定义为L1+M）。因此，根据推论，ρ（X）=ρ（XM）=Z∞ν（XM>x）dx+Z-∞（ν（XM>x）- 1） dx=Z∞ν（X>X）dx+Z-∞（ν（X>X）- 1） dx。（21）设U为均匀U（0，1）随机变量。定义函数h，使h（0）=0，h（1）=1，h（p）：=ρ（1{U≤p} ），P∈ (0, 1). 根据公理A4，对于所有A，h（·）满足ν（A）=h（P（A））。因此，通过（21），（2）适用于X。此外，对于任何0<q<P<1，h（P）=ρ（1{U）≤p} )≥ ρ（1{U）≤q} ）=h（q）。

因此，h是一个递增函数。其次，我们证明了（2）对任何（可能无界的）X都成立∈ 十、对于M>0，因为xml属于L∞(Ohm, F、 P），因此（2）适用于XM，这意味着ρ（XM）=Z∞h（P（XM>x））dx+Z-∞（h（P（XM>x））- 1） dx=ZMh（P（X>X））dx+Z-M（h（P（X>X））- 1） dx。让我→ ∞ 在上述等式的两边，利用公理A5，我们得出（2）适用于X的结论，“如果”部分。假设h是畸变函数，ρ由（2）定义。定义集合函数ν（A）：=h（P（A）），A.∈ F.那么ρ（X）是X相对于ν的Choquet积分。通过定义ρ和简单验证，ρ满足了A2-A5公理。Denneberg（1994，命题5.1）认为ρ满足正同质性和共单调可加性，这意味着ρ满足公理A1。B理论证明2.1首先，我们给出以下定义：定义B.1。单值统计泛函ρ被称为关于P的凸水平集，如果对于任意两个分布F∈ P和F∈ P、 ρ（F）=ρ（F）意味着ρ（λF+（1- λ） F）=ρ（F），λ ∈ (0, 1).下面的引理B.1给出了单值统计泛函可导出的必要条件。引理是OsbandA命题2.5的一个变量，Os band（1985）和Gneiting（2011）给出了集值（非单值）统计函数的类似定义。Lambert、Pennock和Shoham（2008）的引理1，以及Gneiting（2011）的定理6，它们涉及集值统计泛函。引理B.1。如果单值统计泛函ρ对P是可解的，那么ρ对P有凸水平集。假设ρ是可导出的。然后存在一个预测目标函数（x，y），使得（6）成立。对于任意两个分布Fand和任意λ∈ （0,1），表示Fλ：=λF+（1）- λ） 如果t=ρ（F）=ρ（F），那么t=min{x |x∈arg minxRS（x，y）dFi（y）}，i=1，2。

SinceRS（x，y）dFλ（y）=λRS（x，y）dF（y）+（1- λ） RS（x，y）dF（y），它遵循t∈ arg minxRS（x，y）dFλ（y）。对于任何t\'∈arg minxRS（x，y）dFλ（y），它持有thatRS（t′，y）dFλ（y）≤RS（t，y）dFλ（y），这意味着λRS（t′，y）dF（y）+（1- λ） RS（t′，y）dF（y）≤ λRS（t，y）dF（y）+（1）-λ） RS（t，y）dF（y）。然而，根据t的定义，RS（t，y）dFi（y）≤RS（t′，y）dFi（y），i=1,2。因此，RS（t，y）dFi（y）=RS（t′，y）dFi（y），i=1,2，这意味着t′∈arg minxRS（x，y）dFi（y），i=1，2。因为t=min{x | x∈ arg minxRS（x，y）dFi（y）}，它遵循t′≥ t、 因此，t=min{x | x∈ arg minxRS（x，y）dFλ（y）}=ρ（Fλ）。引理B.2。让c∈ [0，1]是一个常数。如果ρ在n（2）中定义为h（u）=1-CU∈ （0,1），h（0）=0，h（1）=1，然后ρ=cVaR+（1- c） VaR，其中VaR（F）：=inf{x|F（x）>0}和VaR（F）：=inf{x|F（x）=1}。此外，ρ具有凸水平集，且P={F |ρ（F）定义良好}。证据如果VaR（F）≥ 那么ρ（F）=Z（0，VaR（F））h（1- F（x））dx+Z（VaR（F），VaR（F））h（1- F（x））dx+Z（VaR（F），∞)h（1- F（x））dx=VaR（F）+（1- c） （VaR（F）- VaR（F））=cVaR（F）+（1- c） VaR（F）。如果VaR（F）<0，类似的计算也会导致ρ（F）=cVaR（F）+（1- c） VaR（F）。假设t=ρ（F）=ρ（F）。表示Fλ：=λF+（1）- λ） F，λ∈ (0, 1). 有三种情况：（i）c=0。然后，t=VaR（F）=VaR（F）。根据VaR的定义，Fi（x）<1forx<t，Fi（x）=1forx≥ t、 因此，对于任何λ∈ （0，1），它认为Fλ（x）<1forx<t，Fλ（x）=1代表x≥ t、 因此，ρ（Fλ）=VaR（Fλ）=t.（ii）c∈ (0, 1). 在不丧失一般性的情况下，假设VaR（F）≤ VaR（F）。Sincet=cVaR（F）+（1- c） VaR（F）=cVaR（F）+（1）- c） VaR（F），VaR（F）≥VaR（F）。因此，对于nyλ∈ （0,1），VaR（Fλ）=VaR（F）和VaR（Fλ）=VaR（F）。因此，ρ（Fλ）=t.（iii）c=1。然后，t=VaR（F）=VaR（F）。通过定义VaR，对于x<t，Fi（x）=0，对于x>t，Fi（x）>0。因此，对于任何λ∈ （0，1），它认为Fλ（x）=0forx<t，Fλ（x）>0表示x>t。

因此，ρ（Fλ）=VaR（Fλ）=t引理B.3。让α∈ （0,1）和c∈ [0, 1]. 让ρ在（2）中定义为h（x）：=（1）- c） ·1{x=1-α} +1{x>1-α}. 那么ρ（F）=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F），F∈ P、 （22）其中q-α（F）：=inf{x|F（x）≥ α} q+α（F）：=inf{x | F（x）>α}。此外，ρ具有凸水平集，且P={FX | X是一个适当的随机变量}。证据定义g（x）：=1- h（1- x） ，x∈ [0, 1]. 那么，g（x）=c·1{x=α}+1{x>α}，ρ可以表示为ρ（F）=-Z-∞g（F（x））dx+Z∞(1 - g（F（x）））dx。注意F（x）=x的α∈ [q]-α（F），q+α（F））。考虑三种情况：（i）q-α（F）≥ 0.在这种情况下，ρ（F）=Z∞(1 - g（F（x）））dx=Z[0，q-α（F））（1- g（F（x）））dx+Z[q-α（F），q+α（F））（1- g（F（x）））dx+Z（q+α（F），∞)(1 - g（F（x）））dx=q-α（F）+（1）- c） （q+α（F）- Q-α（F））=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F）。（二）q-α（F）<0<q+α（F）。在这种情况下，ρ（F）=-Z（q）-α（F），0）g（F（x））dx+Z（0，q+α（F））（1- g（F（x）））dx=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F）。（iii）q+α（F）≤ 0.在这种情况下，ρ（F）=-Z(-∞,Q-α（F）g（F（x））dx-Z（q）-α（F），q+α（F））g（F（x））dx-Z（q+α（F），0）g（F（x））dx=-c（q+α（F）- Q-α（F））+q+α（F）=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F），完成了（22）的证明。然后我们证明了ρ相对于P有凸水平集。假设ρ（F）=ρ（F）。然后-α（F）+（1）- c） q+α（F）=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F）。（23）对于λ∈ （0,1），定义Fλ：=λF+（1）- λ） F.有三种情况：（i）c=0。那么，ρ=q+α。表示t=q+α（F）=q+α（F），然后Fi（x）>αF或x>和Fi（x）≤ 对于x<t，i=1,2。因此，Fλ（x）>αF或x>t和Fλ（x）≤ αforx<t，这意味着t=q+α（Fλ），即q+α相对于P.（ii）c具有凸水平集∈ ( 0, 1). 在不丧失一般性的情况下，假设q-α（F）≥ Q-α（F）。然后从（23）得出q+α（F）≤ q+α（F）。因此，[q-α（F），q+α（F）] [q]-α（F），q+α（F）]。有两个子类：（ii.i）q-α（F）<q+α（F）。

在这种情况下，对于x<q，Fλ（x）<α-α（F）；Fλ（x）=x的α∈ [q]-α（F），q+α（F））；对于x>q+α（F），Fλ（x）>α。因此，q-α（Fλ）=q-α（F）和q+α（Fλ）=q+α（F），这意味着ρ（Fλ）=ρ（F）。（二）q-α（F）=q+α（F）。在这种情况下，对于x<q，Fλ（x）<α-α（F）和Fλ（x）>αforx>q+α（F）。因此，q-α（Fλ）=q-α（F）和q+α（Fλ）=q+α（F），这意味着ρ（Fλ）=ρ（F）。因此，ρ具有凸水平集。（iii）c=1。那么，ρ=q-α=VaRα。表示t=q-α（F）=q-α（F），然后Fi（x）<α表示x<t和Fi（x）≥ x的α≥ t、 i=1,2。因此，对于x<t和Fλ（x），Fλ（x）<α≥ x的α≥ t、 这意味着q-α（Fλ）=t，即q-其次，我们证明了定理B.1，它表明在基于Choquet期望效用理论的一类风险测度中，只有四类风险测度满足可导的必要条件。定理B.1。让Pbe为分布集提供有限的支持。设h为[0,1]上定义的一个存储函数，ρ（·）如（2）中所定义。然后，ρ（·）有关于Pif的凸水平集，并且仅当以下四种情况之一成立时：（i）存在c∈ [0,1]，使得ρ=cVaR+（1- c） VaR，其中VaR（F）：=inf{x|F（x）>0}a和VaR（F）：=inf{x|F（x）=1}。（ii）存在α∈ （0，1）使得ρ（F）=VaRα（F），F（iii）存在α∈ （0,1）和c∈ [0,1]使得ρ（F）=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F），F、 （24）其中q-α（F）：=inf{x|F（x）≥ α} q+α（F）：=inf{x | F（x）>α}。（iv）ρ（F）=RxdF（x），F此外，上述列出的风险措施与理论2中定义的Pde有关。1.理论证明。1.定义g（u）：=1- h（1- u） ，u∈ [0, 1]. 然后g（0）=0，g（1）=1，g在[0,1]上增加。然后，ρ可以表示为ρ（F）=-Z-∞g（F（x））dx+Z∞(1 - g（F（x）））dx。 ≤ x<x<xn，pi>0，i=1。

. . , n、 Pni=1pi=1，通过简单的计算可以看出ρ（F）=g（p）x+Pni=2（g（Pij=1pj）- g（π）-1j=1pj）xi。g有三种情况：情况（i）：任何q∈ （0，q=1。然后g（u）=1{u=1}。由莱玛写的。2（c=0），ρ=0，ρ关于P有凸水平集。情况（ii）：存在q∈ （0，1）使得g（q）=1和g（q）∈ {0，1}表示allq∈ (0 , 1). 设α=inf{q | g（q）=1}。有三个子类：（ii.i）α=0。那么，g（u）=1{u>0}。由莱玛写的。2（c=1时），ρ=Var，ρ具有关于t o P.（ii.ii）α的凸水平集∈ （0,1）和g（α）=1。那么，g（u）=1{u≥α}. 由莱玛写的。3（c=1），ρ=q-α=VaRα，ρ关于P.（ii.iii）α有凸水平集∈ （0,1）和g（α）=0。那么，g（u）=1{u>α}。由莱玛写的。3（c=0），ρ=q+α，ρ有关于P的凸水平集。情况（iii）：存在q∈ （0，1）使得g（q）∈ (0, 1). 假设ρ对于任何0<x<x和q有关于P的凸集∈ （0，1）满足1=ρ（δ）=ρ（qδx+（1- q） δx）=xg（q）+x（1）- g（q）），（25）因为ρ有凸水平集，所以1=ρ（v（qδx+）（1- q） δx）+（1- v） δ），五、∈ (0 , 1). （26）对于任何q∈ （0，1）使得g（q）∈ （0，1），（25）对任何（x，x）=（1）保持不变-C-g（q）1-g（q）（1）- c） +1-g（q）），C∈ (0, 1). 注意到x<1<x，（26）意味着1=ρ（v）（qδx+（1- q） δx）+（1- v） δ）=xg（vq）+g（vq+1- v）- g（vq）+x（1）- g（vq+1）- v） ）=（1- c） g（vq）+g（vq+1- v）- g（vq）+-g（q）1- g（q）（1）- c） +1- g（q）(1 - g（vq+1）- v） ）=1+c-g（vq）+g（q）1- g（q）（1）- g（vq+1）- v） ), 五、∈ (0, 1), C∈ (0 , 1).因此-g（vq）+g（q）1- g（q）（1）-g（vq+1）-v） ）=0，五、∈ (0, 1), q使得g（q）∈ (0, 1). （27）设α=sup{q | g（q）=0，q∈ [0,1]}和β=inf{q | g（q）=1，q∈ [0, 1]}. 既然有q∈ （0，1）使得g（q）∈ （0，1），它遵循α≤ q<1，g（α）≤ g（q）<1，β≥ q> 0和g（β）≥ g（q）>0。有四个子类别：案例（iii.i）α=β和g（α）=c∈ (0, 1).

在这种情况下，α=β∈ (0, 1). 根据α和β的定义，对于x<α，g（x）=0，对于x>α，g（x）=1。由莱玛写的。3，ρ=cq-α+ (1 - c） q+α和ρ具有关于P的凸水平集。情形（iii.ii）α<β和g（α）∈ (0, 1). 在这种情况下，α∈ (0, 1). 根据β的定义，g（（α+β）/2）<1。设=β- α. 根据β的定义，g（α+）<1表示所有∈ (0 , ). 此外，g（α+）≥ g（α）>0f或全部∈ (0, ). 因此，g（α+）∈ （0,1）所有∈ (0, ). 对于任何η∈ （0，α）和∈ （0，），设q=α+，v=α-ηα+. 然后由αthatg（vq）=g（α）的定义得出-η） =0，这意味着从m（27）到1=g（vq+1）-v） =g（α）-η++ηα+），对于任何∈ (0, ), η ∈ (0, α). 那么，g（α+）=lim↓0,η↓0g（α）- η++ηα+）=1，这与g（α+）相矛盾≤ g（（α+β）/2）<1。因此，本案不成立。案例（iii.iii）α<β，g（α）=0，和g（β）∈ (0, 1). 自g（β）∈ （0,1），它遵循β∈ (0, 1). 通过β的定义，对于任何η∈ (0, 1 - β） ，g（β+η）=1。根据α的定义，g（（β+α）/2）>0。因此，g（β-) ≥ g（（β+α）/2）>0。因此，存在>0使得g（β- ）>0表示任何∈ (0, ). 另一方面，g（β- ) ≤ g（β）<1表示任何∈ (0, ). 因此，g（β- ) ∈ （0,1）对于任何∈ (0, ). 那么，对于任何η∈ (0, 1 - β） ∈ （0，），设q=β- andv=1-β-η1-β+. 然后，我们有g（vq+1）- v） =g（β+η）=1。自g（β）- ) ∈ （0,1）代表∈ （0，），由（27）可知，0=g（vq）=g（1）-β-η1-β+(β - ），这意味着g（β-) = limη↓0,↓0g（1-β-η1-β+(β - )) = 0. 这与g（β）相矛盾-) > 0 . 因此，本案不成立。案例（iii.iv）α<β，g（α）=0，g（β）=1。让q∈ （0，1）使得g（q）∈ (0, 1).然后，α<q<β。我们将证明，要么存在常数c∈ （0，1）例如g（u）=c，U∈ （0,1）或g（u）=u，U∈ (0 , 1).首先，我们将展示α=0和β=1。为了矛盾起见，假设α>0。

因为α<q，所以g（α+）对所有都<1∈ （0，），其中=q-α. 此外，通过定义α，g（α+）>0表示所有∈ (0, ). 因此，g（α+）∈ （0,1）所有∈ (0, ). 对于任何η∈ （0，α）和∈ （0，），设q=α+，v=α-ηα+. 然后根据α的定义得出g（vq）=g（α- η） =0，从（27）t开始，1=g（vq+1-v） =g（α）-η++ηα+），对于任何∈ (0, ), η ∈ (0 , α).那么，g（α+）=lim↓0,η↓0g（α）- η++ηα+）=1，这与g（α+）相矛盾≤ g（q）<1。因此，α=0。此外，为了矛盾起见，假设β<1。然后，通过β的定义，对于任何η∈ (0, 1 - β） ，g（β+η）=1。设=β- q、 因为β>q，g（β- ) ≥ g（q）>0f或任何∈ (0, ). 通过定义β，g（β- ）<1表示任何∈ (0, ). 因此，g（β-) ∈ （0,1）对于任何∈ (0, ). 那么，对于任何η∈ (0, 1-β） ∈ （0，），设q=β- 和v=1-β-η1-β+. 然后，我们有g（vq+1）- v） =g（β+η）=1。自g（β）- ) ∈ （0,1）对于任何∈ （0，），由（27）可知，0=g（vq）=g（1）-β-η1-β+(β - ），这意味着g（β-) = limη↓0,↓0g（1-β-η1-β+(β - )) = 0. 这与g（β）相矛盾-) ≥ g（q）>0。因此，β=1。然后，由α=0和β=1得出thatg（q）∈ (0, 1), Q∈ (0, 1). （28）因此，从（27）和（28）可以得出：-g（vq）+g（q）1- g（q）（1）- g（vq+1）- v） ）=0，五、∈ (0, 1), Q∈ (0, 1). （29）对于任何q∈ （0,1）和v∈ （0,1），vq+1- v>q和limv↑1（vq+1）- v） =q。然后从（29）thatg（q）开始-) = limv↑1g（vq）=limv↑1g（q）1- g（q）（1）- g（vq+1）- v） ）=g（q）1- g（q）（1）- g（q+），Q∈ (0, 1).（30）其次，我们考虑两种情况：情况（iii.iv.i）存在0<u<u<1这样的情况，即g（u）=g（u）。设w=inf{u|g（u）=g（u）}和w=sup{u|g（u）=g（u）}。考虑另外三种情况：（a）w>0。自从limq↓w1-u1-q=1-u1-w<1=limq↓wwq，有q∈ 例如：-u1-q<wq。选择v∈ （0，1）使-u1-q<v<wq。因为vq<w，g（vq）<g（u）。

既然w<q<vq+1- v<u，g（q）=g（vq+1- v） =g（u）。因此-g（vq）+g（q）1-g（q）（1）- g（vq+1）- v） ）>0，这与（29）相矛盾。因此，本案不能成立。（b） w<1。自从limq↑w1-w1-q=1>uw=limq↑wuq，有q∈ （u，w）这样-w1-q> uq。选择v∈ （0，1）如此-w1-q> v>uq。因为w>q>vq>u，g（q）=g（vq）=g（u）。从Vq+1开始-v> w，g（vq+1）-v） >g（u）。因此-g（vq）+g（q）1-g（q）（1）-g（vq+1）- v） ）<0，这与（29）相矛盾。因此，本案不能成立。（c） w=0，w=1。在这种情况下，g（u）=c，U∈ （0，1），对于某些常数c∈ (0, 1). 由莱玛写的。（cVaR=1，ρ+- c） VaR，ρ关于P有凸水平集。在（iii.iv.ii）情况下，g在（0,1）上严格递增。然后，g（p）- 对于任意的P6=p，g（p）6=0。我们将证明g（1）-) = 1和g（0+）=0。考虑0<x<x<x和p，p∈ （0，1）使得ρ（pδx+（1- p） δx）=ρ（pδx+（1- p） δx），相当于toxg（p）+x（1）- g（p））=xg（p）+（1- g（p））x（31）Letxx=candxx=c∈ （0,1），c>1，和（31）相当于toc=1- g（p）g（p）- g（p）c-1.- g（p）g（p）- g（p）。（32）对于任何固定的0<p<p<1和1<c<1-g（p）1-g（p），在（32）中定义cas。然后，c∈ (0, 1). 对于任何这样的p，p，c和c，它都来自ρthatxg（p）+x（1）的水平集的凸性- g（p））=ρ（pδx+（1）- p） δx）=ρ（v（pδx+（1- p） δx）+（1- v） （pδx+（1）- p） δx））=ρ（（vp+（1）- v） p）δx+v（1）- p） δx+（1）- v） （1）- p） δx）=xg（vp+（1）- v） p）+x（g（v+）（1- v） p）- g（vp+（1）- v） p））+x（1- g（v+（1）- v） p）），五、∈ （0，1），相当于总有机碳[g（p）- g（vp+（1）- v） p）]+1- g（p）- g（v+（1）- v） p）+g（vp+（1）- v） p）=c[1- g（v+（1）- v） p）]，五、∈ (0 , 1).将（32）代入上述方程，我们得到，对于任何0<p<p<1，任何1<c<1-g（p）1-g（p）和任何v∈ （0，1），它认为0=c1.- g（p）g（p）- g（p）（g（p）- g（vp+（1）- v） （p））- 1+g（v+）（1- v） p）-1.- g（p）g（p）- g（p）[g（p）- g（vp+（1）- v） p）]+1- g（p）- g（v+（1）- v） p）+g（vp+（1）- v） p）。

（33）因此，0=-1.- g（p）g（p）- g（p）[g（p）- g（vp+（1）- v） p）]+1- g（p）- g（v+（1）- v） p）+g（vp+（1）- v） p），五、∈ (0 , 1), p<p，相当于0=g（vp+（1- v） （p）（1）- g（p））+g（v+（1）- v） p）（g（p）- g（p））+g（p）g（p）- g（p），五、∈ (0 , 1), p<p.（34）让v↑ 1在（34）中，我们得到0=g（p+）（1- g（p））+g（1）-)（g（p）- g（p））+g（p）g（p）- g（p），p<p.（35）由于g在（0,1）上增加，因此存在p*∈ （0，1），使得g在p处是连续的*.选择任意一个p*> P*. 让p=p*p=p*in（35）导致（g（p*) - g（p*))(1 -g（1）-)) = 0.由于g严格递增，它遵循t hatg（1）-) = 1.（36）让q=in（29）引导至（v）1- g（1）-v） =g（）1- g（），五、∈ (0, 1). （37）由（37）和（36）得出，thatg（0+）=limv↓0g（v）=limv↓0g（）1- g（）（1）- g（1）-v） ）=g（）1- g（）（1）- g（1）-)) = 然后我们将证明g在（0，1）上是连续的。到（29），我们有了g（v）-) = 林克↑1g（vq）=limq↑1g（q）1- g（q）（1）- g（vq+1）- v） ）=limq↑1g（q）limq↑11- g（vq+1）- v） 一,- g（q）=g（1）-) 林克↑11- g（vq+1）- v） g（（1）- q） v）g（（1）- q） v）g（1）- q） g（1）- q） 一,- g（q）=limq↑11- g（）g（）g（（1）- q） v）g（1）- q） g（）1- g（）（由（36）和（37））=limq↑1g（（1）- q） v）g（1）- q） =limq↓0g（qv）g（q），五、∈ (0, 1). （39）现在考虑0=x<x<x<x和p，p∈ （0，1）使得ρ（pδx+（1- p） δx）=ρ（pδx+（1- p） δx），相当于toxg（p）+x（1）- g（p））=xg（p）+x（1- g（p））。（40）因为ρ有凸水平集，所以对于任何v，它都跟随t∈ （0，1），它可以容纳X（1）- g（p））=xg（p）+x（1- g（p））=ρ（pδx+（1）- p） δx）=ρ（v（pδx+（1- p） δx）+（1- v） （pδx+（1）- p） δx））=ρ（vpδx+（1）- v） pδx+v（1）- p） δx+（1）- v） （1）- p） δx）=x（g（vp+（1- v） p）- g（vp））+x（g（v+（1- v） p）- g（vp+（1）- v） p））+x（1- g（v+（1）- v） p））。（41）Letxx=1+candxx=1+c+c。然后，c>0，c>0，（40）变成c=1- g（p）g（p）- g（p）c+g（p）g（p）- g（p）。

（42）此外，（41）相当于0=g（vp+（1- v） p）- g（vp）+（1+c+c）（1）- g（v+（1）- v） p++（1+c）（g（v++（1）- v） p）- g（vp+（1）- v） p）- 1+g（p）），五、∈ (0, 1). （43）对于任何0<p<p<1和c>0，让cbe定义在（42）中。然后，c>0。因此，（43）对任何这样的p，p，c和c都成立。在o（43）中，我们得到，对于任何0<p<p<1和任何c>0，它都成立0=g（vp+（1）- v） p）- g（vp）+g（p）g（p）- g（p）[g（p）- g（vp+（1）- v） p）]+c1- g（p）g（p）- g（p）[g（v+（1- v） p）- g（vp+（1）- v） p）- 1+g（p）]+c1- g（p）g（p）- g（p）[1- g（v+（1）- v） p）]，五、∈ （0，1），（44），这意味着0=g（vp+（1）- v） p）- g（vp）+g（p）g（p）- g（p）[g（p）- g（vp+（1）- v） p）]，0<p<p<1，五、∈ （0,1），可以简化为b e-g（vp+（1）- v） p）- （g（p）- g（p）g（vp）g（p）+g（p）=0，p<p，五、∈ (0, 1). （45）让p↑ 1在（45）和（36）中，我们获得-g（（vp+1）- v）-) - (1 - g（p）g（vp）g（p）+1=0，0<p<1，五、∈ (0, 1). （46）然后，从（29）和（46）that（（vp+1- v）-) = g（vp+1）- v） ,，0<p<1，五、∈ （0，1），这意味着-) = g（v），五、∈ (0, 1). （47）由（30）和（47）可知，g在（0，1）上是连续的，即g（v）-) = g（v）=g（v+，五、∈ (0, 1). （48）最后，我们将证明g（u）=u对于任何u∈ (0, 1). 让p↓ 0英寸（45英寸），我们获得-g（（（1）- v） p）+）- （g（p）- g（0+）跛行↓0g（vp）g（p）+g（p）=0，0<p<1，五、∈ (0, 1) .（49）应用（38）、（39）和（48）到（49），我们得到（1）- v） p）=g（p）（1）- g（v）），0<p<1，五、∈ (0, 1). （50）让p↑ 1在（50）中，使用（36）和（48），我们得到（1）- v） =g（1-)(1 - g（v））=1- g（v），五、∈ （0，1），（51）与（50）组合表示g（vp）=g（v）g（p），0<p<1，五、∈ (0, 1). （52）在下面，我们将通过归纳法证明G（kn）=kn，k=1，2，2n- 1.N∈ 让v=in（51），我们得到g（）。因此，（53）适用于n=1。假设（53）保持f或n，我们将证明它也保持n+1。

事实上，对于任何0≤ K≤ 2n-1.-1，自1起≤ 2k+1≤ 2n- 1，由（52）可知，g（2k+1n+1）=g（）g（2k+1n）=2k+1n+1，0≤ K≤ 2n-1.- 1.（54）对于任何2n-1.≤ K≤ 2n- 1.它认为≤ 2n+1- （2k+1）≤ 2n- 因此，它由（51）得出，即g（2k+1n+1）=1- g（n+1）- （2k+1）n+1）=1-n+1- （2k+1）n+1（by（54））=2k+1n+1，2n-1.≤ K≤ 2n- 1.（55）此外，对于任何≤ K≤ 2n- 1，g（2kn+1）=g（kn）=kn，这与（54）和（55）结合意味着（53）适用于n+1，因此适用于任何n。因为{k/2n，k=1，…，2n- 1，n∈ N} 在（0，1）上是稠密的，而在（0，1）上是连续的，从（53）可以看出，对于所有的u，g（u）=u∈ （0，1），这就完成了证明。最后，定理2.1的证明如下。理论证明2。1.根据引理B.1和定理B.1，只有那些风险度量列在定理B的情况（i）-（iv）中。1.满足成为合理风险措施的必要条件。因此，我们只需要研究这些风险度量的可引出性。首先，我们将展示c∈ （0,1]，ρ=cVa R+（1- c） 这是不可能的。假设为了矛盾，ρ是可导出的，那么存在一个函数，使得（6）成立。对于任何u，设F=δuin（6），并注意ρ（δu）=u屈服强度（u，u）≤ S（x，u），十、u、 只有当你≤ x、 （56）对于任何u<v和p∈ （0,1），设F=pδu+（1- p） δvin（6）产生pS（cu+）（1-c） v，u）+（1- p） S（cu+）（1- c） v，v）≤ pS（x，u）+（1）- p） S（x，v），x、 让p→ 0导联至（铜+（1- c） v，v）≤ S（x，v），u<v，x、 （57）设x=v在（57）中，我们得到（cu+（1）- c） v，v）≤ S（v，v），u<v.（58）乘（56），S（v，v）≤ S（cu+）（1-c） v，v），u<v，与（58）结合意味着S（v，v）=S（cu+（1- c） v，v），u<v；然而，通过（56），S（v，v）=S（cu+（1- c） v，v）意味着v≤ cu+（1）- c） v与u<v相矛盾。

因此，ρ是不可导出的。其次，我们将证明，对于c=0，ρ=cVaR+（1- c） VaR=相对于P的可引出变量。设a>0为常数，并定义预测目标函数（x，y）=（0，如果x≥ y、 a，还有别的。那么对于任何F∈ P和任意x≥ ρ（F），ZRS（x，y）dF（y）=Zy≤F（y）ρ=0。另一方面，对于任何F∈ P和任意x<ρ（F），ZRS（x，y）dF（y）=Zx<y≤ρ（F）S（x，y）dF（y）=aZx<y≤ρ（F）dF（y）=a（1）- F（x））>0。因此，对于任何F∈ P、 ρ（F）=min{x |x∈ a rg minxRS（x，y）dF（y）}。第三，我们将证明对于任何α∈ （0，1），VaRα对于P是可导出的。设g（·）是定义在R.定义（x，y）=（1{x）上的严格递增函数≥y}- α） （g（x）- g（y））。（59）定义P={FX | E | g（X）|<∞}.根据Gneiting（2011）中的定理9，[q-α（F），q+α（F）]=arg minxZS（x，y）dF（y），其中q-α（F）：=inf{y|F（y）≥ α} q+α（F）：=inf{y|F（y）>α}。因此，VaRα（F）=q-α（F）满足（6）和（59）中定义的要求。第四，我们将证明（24）中定义的ρ相对于P是不可导出的。为了矛盾的目的，假设ρ是可导出的。修正任何a>0并表示i:=(-a、 a）。设PI为区间I上具有严格正概率密度且其支持度为I的概率测度集 P和ρ对于P是可导的，ρ对于PI也是可导的。因此，存在一个预测目标函数S（x，y），使得ρ（F）=min{x | x∈ arg minxZS（x，y）dF（y）}，F∈ 圆周率。对于任何F∈ 方程F（x）=α有唯一的解qα（F）和q-α（F）=qα（F）=q+α（F）。因此，ρ（F）=qα（F），F∈ 圆周率。因此，我们有qα（F）∈ arg minxZS（x，y）dF（y），F∈ 圆周率。然后，它来自于inThomson（1979年，p。

例如，如果g（x）：=x，那么P={FX |x∈ L(Ohm, F、 P）}；如果g（x）：=x2n+1（n≥ 1） ，然后用有限的平均值（如柯西分布）来计算重尾分布。Thomson（1979）o B得出区间I=(- ∞, ∞); 在我们的例子中，我=(-a、 a）。可以证明，霍姆森（1979）命题的证明可以适用于I=(-a、 a）。详细信息可向作者索取。为了使这篇论文能够自圆其说，这里引用了托姆森（1979年，第372页）的建议：方案H到合法x的必要条件和充分条件*, 所以“F（x）=r”的解，最好的答案是H满足：H（x，y）=（A（x）+B（y）A.e.如果y≤ xA（x）+B（y）a.e.如果y>x（60）与（a（x）- A（x））r+（A（x）- A（x））（1- r） =0，x、 x，（61）和B（·）- B（·）是非递增的a.e.（62）B（·）- B（·）+A（·）- A（·）=0a.e.（63）可测函数A，A，B和B，如（x，y）=（A（x）+B（y）A.e.如果y≤ x、 A（x）+B（y）A.e.如果y>x，（64）和（A（x）- A（x））α+（A（x）- A（x））（1- α) = 0, x、 x∈ I.（65）选择一个分布F∈ P使得q-α（F）<q+α（F），作为密度F，满足F（x）=0表示x∈ （q）-α（F）、q+α（F）和F（q-α（F））=F（q+α（F））=α。然后，从（64）可以得出，对于任何x∈ [q]-α（F），q+α（F）]，ZS（x，y）dF（y）=Zy≤xS（x，y）f（y）dy+Zy>xS（x，y）f（y）dy=Zy≤x（A（x）+B（y））f（y）dy+Zy>x（A（x）+B（y））f（y）dy=A（x）Zy≤xf（y）dy+Zy≤xB（y）f（y）dy+A（x）Zy>xf（y）dy+Zy>xB（y）f（y）dy=A（x）α+Zy≤xB（y）f（y）dy+A（x）（1）- α） +Zy>xB（y）f（y）dy.（66），因为x的f（x）=0∈ （q）-α（F），q+α（F）），它紧随其后≤xB（y）f（y）dy=Zy≤xB（y）f（y）dy，x、 x∈ [q]-α（F），q+α（F）]，（67）Zy>xB（y）F（y）dy=Zy>xB（y）F（y）dy，x、 x∈ [q]-α（F），q+α（F）]。（68）自c∈ [0,1]，ρ（F）=cq-α（F）+（1）- c） q+α（F）∈ （q）-α（F），q+α（F）]。

然后从（65）、（66）、（67）和（68）中得出，对于任何x∈ [q]-α（F），q+α（F）]，ZS（x，y）dF（y）-ZS（ρ（F），y）dF（y）=（A（x）- A（ρ（F）））α+（A（x）- A（ρ（F））（1）- α） =0，与ρ（F）结合使用∈ arg minxRS（x，y）dF（y）表示[q-α（F），q+α（F）] arg minxZS（x，y）dF（y）。因此，ρ（F）=min{x |x∈ arg minxZS（x，y）dF（y）}≤ Q-α（F），与ρ（F）>q相矛盾-α（F）。因此，无法得出（24）中定义的ρ。第五，根据Ingneting（2011）的定理7，ρ（F）：=RxdF（x）对于P是合理的。这样就完成了证明。参考Acerbi（2002年）。风险的光谱度量：主观风险规避的一致表示，《银行与金融杂志》26（7）：1505–1518。Acerbi，C.和Sz\'ekly，B.（2014年）。回测预计短缺，风险Magazi nepp。76–81.Adrian，T.和Shin，H.S.（2014）。顺周期杠杆和风险价值，金融研究综述27（2）：373-403。Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.-M.和Heath，D.（1999年）。一致的风险度量，数学财务9（3）：203–228。Aumann，R.J.和Serrano，R.（2008）。《风险的经济指数》，政治经济学杂志116（5）：810–836。巴塞尔银行监管委员会（1996年）。根据瑞士巴塞尔国际清算银行《公司市场风险》文件对资本进行的修订。巴塞尔银行监管委员会（2006年）。资本计量和资本标准的国际趋同：修订框架，文件，国际清算银行，巴塞尔，瑞士。巴塞尔银行监管委员会（2009年9月20日）。巴塞尔II市场风险框架的修订，文件，国际清算银行，巴塞尔，瑞士。巴塞尔银行监管委员会（2013年）。《tradingbook基本面回顾：经修订的市场风险框架》，咨询文件，国际清算银行，瑞士巴塞尔。贝利尼，F。

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