状态价格的多维Breeden-Litzenberger表示

nandehutu2022

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收藏 2022-05-05

英文标题：
《Multidimensional Breeden-Litzenberger representation for state price
densities and static hedging》
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作者：
Jarno Talponen and Lauri Viitasaari
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
In this article, we consider European options of type $h(X^1_T, X^2_T,\\ldots, X^n_T)$ depending on several underlying assets. We study how such options can be valued in terms of simple vanilla options in non-specified market models. We consider different approaches related to static hedging and derive several pricing formulas for a wide class of payoff functions $h:\\R_+^n\\rightarrow \\R$. We also give new relations between prices of different options both in one dimensional and multidimensional case.
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中文摘要：
在本文中，我们考虑了$h（X^1_T，X^2_T，ldots，X^n_T）$类型的欧式期权，这取决于几个基础资产。我们研究了在非特定市场模型中，如何根据简单的普通期权对此类期权进行估值。我们考虑了与静态套期保值相关的不同方法，并推导出了一类广泛的支付函数$h:\\R_+^n\\rightarrow\\R$的几种定价公式。我们还给出了一维和多维情况下不同期权价格之间的新关系。
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分类信息：

一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Pricing of Securities 证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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Multidimensional_Breeden-Litzenberger_representation_for_state_price_densities_a.pdf
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nandehutu2022

2022-5-5 11:48:15

州价格密度和静态享乐的多维BREEDEN-Litzenbergerre呈现Jarno TALPONEN和LAURI VIITA SAARIAbstract。在本文中，我们考虑H型（XT，XT，…，XnT）的欧式期权，这取决于几个基础资产。我们研究如何根据非特定市场模型中的简单普通期权对此类期权进行估值。我们考虑了与静态h边相关的不同方法，并推导出了一类广泛的支付函数h:IRn的几个定价公式+→ IR。我们还给出了一维和多维情况下不同期权价格之间的新关系。1.简介期权估值是金融数学中最核心的问题之一。在许多感兴趣的模型中，期权估值不能以封闭形式进行，因此开发了不同的方法。例如，可以使用偏微分方程（PDE）或偏积分微分（PIDE）方法、蒙特卡罗方法或树方法（参见[10]、[11]和[9]）。对复杂结构性产品进行估值的一种方法是，根据标的资产的简单衍生工具的价值来确定其价值，如看涨期权、数字期权，以及更理论上的Arrow Debreu证券。我们将研究证券的连续投资组合，这本质上是静态对冲。Breeden and Litzenberger[2]的工作表明，如果认购期权价格VC（K）关于行使的二阶导数存在且是连续的，那么带payoff f（XT）的欧式期权的价格由（1.1）Vf=Z给出∞f（a）ddaVC（a）daw为了简单起见，我们将确定性短期利率视为0。因此，看涨期权价格相对于履约价格的二阶导数是标的资产XT的状态p赖斯密度。

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能者818

2022-5-5 11:48:21

这一结果有着重要的应用，尤其是在静态套期保值这一活跃研究领域。如需了解更多细节和讨论，请参阅Carr[5]、[4]和其中的参考文献。Bick[1]将Breeden和Litzenberger的结果推广到一种情况，即支付函数或看涨期权价格相对于其执行价格具有连续的二阶导数，但在有限点集（sk）Nk=02010数学科目分类中除外。91G20，45Q05。JEL代码：G13，C02。关键词：期权估值、多维资产期权、国家定价密度、彩虹期权、篮子期权、布里登·利岑伯格表示法。2 TALPONEN和Viitasaari，其中存在左和右导数，并且是有限的。特别是，Bick sh欠vf=B-1Tf（0）+Z∞f′′（a）VC（a）da+B-1TNXk=0-f（sk）Q（XT）≥ sk）+B-1TNXk=0+f（sk）Q（XT>sk）+NXk=0（f′（sk+）- f′（sk-))VC（sk），（1.2），其中bt表示bon d f函数，Q是给定的定价度量，并且-和+表示支付函数f的跳跃。关于欧式看涨期权和欧式衍生工具之间关系的后续研究，以及更一般的支付方式，请参见Jarrow[14]，他对下垫气体的分布函数进行了特征化描述，Brown和Ross[3]，他们考虑了一个具有有限状态空间的模型，并证明了一大类期权是一个具有不同行使价格的看涨期权组合。本着类似的精神，Cox和Rubinstein[6]介绍了用分段线性函数逼近连续函数的方法，这是一种具有不同行使方式的看涨期权组合。他们还考虑了这种近似的定价误差，并建议人们应该找到最大绝对差异意义上的最佳近似。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:48:24

然而，在考虑单元房空间时，这可能会导致问题。最近，在[2]和[1]中的结果被第二个名字Dautor[16]扩展，以涵盖f仅一次分段可微的情况。特别是在[16]中，vf=B-1TIEQ[f（XT）]=B-1Tf（0）-Z∞f′（a）VC（da）+B-1TNXk=0-f（sk）Q（XT）≥ sk）+B-1TNXk=0+f（sk）Q（XT>sk），（1.3），其中由于VC（a）在走向中是递减函数，所以测度VC（da）始终存在。在此背景下，还考虑了屏障类型选项。虽然这个结果可能并不总是定价的最佳选择，但它可以用来获得新的理论结果。例如，第二名作者在[17]中应用了该公式来研究模型近似下的价格收敛速度。作为特例，考虑了Black-Scholes模型中二项式逼近收敛速度的新证明和结果。多资产上的欧式期权定价3综上所述，根据公式（1.2）的精神，对赎回权和数字期权价值与更一般期权价值之间的关系进行了大量研究。然而，所有提到的研究都考虑了债券和一只股票的市场模型，而多维案例中类似的结果并不那么广为人知。在本文中，我们在一些自然假设下，给出了一个类似于（1.3）的定价公式，适用于欧洲期权h（XT）=f（XT，XT，…，XnT），适用于一类广泛的支付函数f，包括彩虹期权和篮子期权。特别是，我们的结果涵盖了所有连续函数h，其中部分导数σ(1). . . σ（m）h存在于everym=1，n和整数{1，…，n}的每个置换σ。对于不是这种形式的选项，我们考虑与勒贝格测量有关的标准缓和技术。

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可人4

2022-5-5 11:48:27

这样做的好处是，在这种情况下，产生的平滑函数不取决于基础资产X或度量值Q的特定选择。虽然结果仍然是理论上的，并且可能不是在实践中为衍生品定价的最佳方式，但它们提供了对定价机制的深刻见解（一维情况参见[17]）。在假设标的资产的分布与Lebesgue测度绝对连续的情况下，我们还推导了一维和多维情况下不同期权价格之间的不同关系。方法学与作者之前的工作[15]相似，在这项工作中，Breeden-Litzenberger公式（1.1）的多维版本得到了证明。我们的结果的好处是，它们不是特定于模型的。特别是，我们只假设X至少存在一个定价指标。我们并不认为它是独一无二的。此外，我们还考虑了基本资产。因此，我们的结果在时间或状态空间上可能是完全或不完全、离散或连续的模型中是有效的。从衍生品的观测价格推断状态价格密度的问题也可以看作是一个反问题。一种可能的方法是将定价函数解释为一个相当普遍的积分算子Φ（f，Q）=Zf dq，如果包含足够广泛的支付函数f，它在后一个坐标上可能是可逆的。我们将应用所讨论的Payoff functionclass的一些微妙性质，而不是强制反转运算符，例如通过离散运算符，然后以数值方式反转得到的矩阵。论文的其余部分组织如下。在第1.1节中，我们将介绍Duceur符号和假设。第2节讨论了路径依赖期权和Breeden和Litzenberger结果的多维版本，以获得绝对连续的定价方法。

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何人来此

2022-5-5 11:48:32

在第3节中，我们展示了我们的结果，讨论了一般度量的多维Breeden-Litzenberger表示。在第3.2小节中，我们考虑了更一般的支付函数与摩尔函数的近似。在第4节中，我们给出了与定价测度Q.4 TALPONEN和VIITASAARI1的部分唯一性相关的结果。1.预备阶段。在一般模型中，测度Q不一定是关于Lebesgue测度的绝对连续的（更精确地说，是X的律）。然而，如果Payoff函数在许多实际情况下具有很高的平滑度，则可以应用heorem 3.1（见下文）。然而，通常状态价格密度对于Lebesgue是绝对连续的，然后我们有n个ice表示。Breeden和Litzenberger[2]表明，在一维情况下，风险中性密度可以通过在调用的价格函数中取击价的二阶导数来获得。在本节中，我们将推导多维情况下的模拟结果。首先观察一下数字选项的定价可能很有启发性，因为它只需要很少的机械和考虑因素。也就是说，Lebesgue的Montone收敛定理结合（4.2）（见下文）立即给出了一个事实，即数字期权的价格是看涨期权价格相对于履约的第一个导数。为了简单起见，我们省略了利率，也就是说，我们假设它是不确定的，为0。

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能者818

2022-5-5 11:48:36

表示Rn+=Qni=1（0，∞).让我们考虑以下路径相关的支付：fB（{St}0≤T≤T、 T，H，K）=1max0≤T≤TSt≥H（圣- K） +（势垒）和f（T，K）=fB（{St}0≤T≤T、 T，0，K）常规的欧式通话选择文件。fA（{St}0≤T≤T、（T，K）=TZTStdt- K+（亚洲）fLB（{St}0≤T≤T、 T，K）=（max0≤T≤TSt- K） +（lo ok- 返回），fCP（{St}0≤T≤T、 T，L，H，K）1RTSt≤H（t）dt≥L（圣-K） +（累积巴黎语），fML（{St}T≤T≤T、 T，T，K）=最大≤T≤T、 i（Si（T）-Ki）+（多个）- 资产外观- 返回），fAB（{St}0≤T≤T、 T，K）=ZTXi（Si（T）- Ki）+dt（亚洲篮）。与上述类似，设n为标的股票数量（在单一资产中n=1）。我们假设存在一个由条件dudmn+1（T，K，…，Kn）定义的度量u<<mn+1on[0，T]×IRn+=ndK。dKnQ^iS（i）t≤ 基！。当然，Q的σ-代数可能比其“localpush-forward”μ更精确。请注意，路径可能仍有跳跃。事实上，我们只需要分布是绝对连续的。特别是，如果过程是连续部分和跳跃部分的总和，通常情况下就是这样。我们假设存在这样一个定价测度Q，而不是一般定价测度的唯一性。上述u可被视为控制测量。在下文中，我们将假设maxtS（i）texist a.s.具有QE预期价值。2.多维和路径依赖导数。关于Lebesgue测度的绝对连续性我们从一个BL/Bick型公式开始，该公式连接了Barrier和回望期权的价格：定理2.1。假设maxtStunder Q定律是绝对连续的。德林K→0+KVfB（H，K）K=K=KVfLB（K）K=哈。e、 K>0，其中a.e.的右侧导数K>0。证据

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mingdashike22

2022-5-5 11:48:39

证据基于以下事实：KfB（{St}t，H，K）K=K-1maxtSt≥HK→ 0+和KfLBKfLB=-1maxtSt≥KK→ 0+.更准确地说，导数仅定义为右边的一个atmaxtSt=K，但这并不影响预期，因为Maxtstunder Q定律是绝对连续的。上面的单调收敛参数本质上提供了求导的途径KVf（K）在极限K=0+时，即使每K>0不需要存在导数。通过滥用符号，我们有时会用K=0+KVf（K）上述类型的限制。定理2.2。我们有vflb（{St}0≤T≤T、 T，K）=-Z∞KKVfB（T，H，K）| K=0+dh，其中，对于所有H和K，右边的导数存在，对于所有H，极限存在。首先要注意KVfB（T，H，K）| K=0+=基克马克斯街≥Hmax（圣-K） +=-IEQmax街≥通过研究Payoff函数，应用期望线性和应用单调收敛定理。这里我们应用事实Q（ST=0）=0。然后我们注意到∞基克马克斯街≥HdH=IEQZ∞Kmax街≥H（ω）dH=IEQ（max St- K） +。6 TALPONEN和VIITASAARITheorem 2.3。假设Q下的（ST，maxtSt）定律相对于m是绝对连续的。考虑f=h（ST，max0）形式的连续支付函数≤T≤TSt）。然后vf=Z∞Z∞-HKVfB（H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy.证明。证明的策略如下。-(+)HKfB（{St}t，H，K）=1maxtSt=HST=K。因此，在涉及Q的适当条件下，给出了支配收敛定理∞Z∞-HKVfB（H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy=Z∞Z∞-HKIEQfB（{St}t，H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy=Z∞Z∞- 林HK→0HKIEQfB（{St}t，H，K）H=x，K=yh（x，y）dx-dy=Z∞Z∞Q（x）≤ maxtSt<x+dx∧ Y≤ ST<y+dy）dx-dyh（x，y）dx-dy=IEQh（maxtSt，ST）。以上我们只要求Q下的（ST，maxtSt）定律对于m是绝对连续的。

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nandehutu2022

2022-5-5 11:48:44

事实上，在前面的证明中类似的考虑会产生所需的可微性和可积性条件。目前尚不清楚是否有一个干净的条件保证（ST，maxtSt）是绝对连续的。我们怀疑以下条件对此有帮助，即绝对连续的控制度量u存在，且实现持续地盯着t=t a.s。我们用vf | C=IEQ（f | C）表示条件价格。提议2.1。我们有KVfA=-Q（fA>0）。假设我们有正确的连续轨迹KT（圣- （K）+TVfA=-Q（fA>0）。安德特+TVfA | fA>0=VST | fA>0- K.对多种资产的欧式期权定价7此处考虑条件预期的动机如下：如果亚式期权恰好深藏在资金中，那么条件风险中性预期与现金条件下的条件风险中性预期似乎与期权的实际价值非常接近。证据第一种说法是对通常的比克公式的简单改编。要检查第二个，请注意+TfA=1fA>0（ST- K）对于每一个正确的连续轨迹，索赔很容易遵循。最后一个结论是通过对等式两边的条件期望得到的。下一个定理大致表明，在一个包含所有累积巴黎人的完整市场模型中，亚洲人也包括在内（可以对冲）。定理2.4。我们有vfa（1，K）=limn→∞十、lK≥0Pklk=1N-1Xk=0knlK- K+Q^klk+θ≤串岭沟组≤圣≤k+1n（t）dm（t）≤ lk+θ！！式中θ=-1kn<Knandθ=1K≤knn。另外，VfA | fA>0（1，K）=ZH，L>0（H- K） L dF（H，L），其中二维g广义Riemann-Stieltjes积分相对于积分器F（H，L）=-K=0+KVfCP | fA>0（H，L，K）。此外，fA（T，K）是σ（fCP（H，L，K）：H，L，K）-可测的。证据

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能者818

2022-5-5 11:48:48

要查看第一个声明，请遵守thatXlK≥0Pklk=1N-1Xk=0klK- K+Yklk+θ≤Rk≤圣≤k+1（t）dm（t）≤lk+θ≤ fA（1，K）对于每个可积实现，左项趋向于fA（1，K），因此a.s.通过应用于风险中性期望的单调收敛定理，我们得到了这个结论。为了验证最后一部分，我们需要证明（2.1）类型的事件≤Zc≤圣≤d（t）dm（t）≤ 裸Q-可测量。观察thatQ（ZSt≤H（t）dm（t）≥ L）=K=0++KVfCP。8 TALPONEN和VIITASAARIBy不同的H和L以及我们可以计算的互补项A.≤Zc≤圣≤d（t）dm（t）≤ B对于任何大于0的a、b、c、d。语句的第二部分也是这样看的，Stieltjes积分近似于形式（H）的求和项-K） L QL≤ZH≤圣≤H（t）dm（t）≤ L, H∈ [H，H]，L∈ 网格{[Hi，Hi+1]×[Li，Li+1]：i上的[L，L]∈ 在}。误差非常大≤ （L·H+L·H）Q（[H，H+H] ×[L，L+五十] ）可在广义Stieltjes积分中轻松控制。通过研究上述证据，我们注意到，我们可以从累积的巴黎价格数据中“几乎”给亚洲人定价（无条件）。这里的障碍是我们不知道事件交叉点的Q-p概率（2.1）。如果我们有一篮子期权的价格数据，包括n个累积巴黎人的所有n个和其他相关参数，这个问题就可以避免。以下结果是[15]中多资产结果的连续时间版本。定理2.5。假设如上所述。然后vfab=XiZTZ∞. . .Z∞（十一）- （Ki）+N十、xnXixiVfML（t，t+s，（xi））s=0+Yidxidt。其中存在偏导数，即定理2.5的证明。声明简化为检查TVfAB=XiZ。Zdudmn+1（T，x，…，xn）（xi）- Ki）+Yidxi=XiZ∞. . .Z∞（十一）- （Ki）+N十、xnXixiVfML（T，T+s，（xi））s=0+yidxif或a.e.T。事实上，我们可能会区分FAB相对于a.e.的价值。

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能者818

2022-5-5 11:48:52

通过Lebesgue对eorem的微分，因为我们假设Maxts（i）thave Q期望。请注意，这里我们没有使用u的属性。接下来，我们使用u| t=t<mn这一事实来表示a.e.t。我们观察到xiVfML（T，T+s，（xi））s=0+=谢克马克西（S（i）T- xi）+利用Lebesgue单调收敛定理和经典BreedenLitzenberger在绝对连续情况下对多资产上的欧式期权进行定价，以验证偏导数的存在性。我们将应用以下公式，包括固定时间T，dudmn+1（T，K（1），K（n））=NK（1）。K（n）XiK（i）ieqmax（S（i）T- K（i））+，见[15]。通过收集上述观察结果，我们得出结论，测量u的theRadon-Nikodym衍生物可以如下回收：dudmn+1（T，K（1），K（n））=NK（1）。K（n）XiK（i）VfML（T，T+s，（K（i）））s=0+表示a.e.（T，K（1），K（n））。我们注意到，在上一个结果中s=0+n+1sK（1）。K（n）XiK（i）VfML（t，t+s，（K（i）））可以被视为一个时间相关的多资产状态价格密度。原则上，这可以应用于为不同类型的路径相关衍生品定价。3.使用jumpsLet Sktdenote对股票价格过程和期权的未折旧资产进行静态套期保值。例如，Xkt可以是Skt:s的函数，比如代表亚式期权的averageXkt=tRtSkudu，Xkt=maxu≤tSkurepresentingLookback选项，Xjt=max1≤K≤DSKT代表彩虹期权或Xjt=Pdk=1αKSKT代表篮子期权。在整篇文章中，Bt表示由B=1的非递减确定性函数给出的债券（所有结果都可以扩展到随机利率模型，结果中的明显变化涉及Xt=Rt）。向量（x，…，xn）是d enotedbyx。类似地，Xt表示向量Xt=（Xt。

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大多数88

2022-5-5 11:48:55

，Xnt）。我们假设我们的模型在某种程度上没有套利，这意味着至少存在一个定价度量Q，对于每个索赔，时间t的贴现值由IEQ[B]给出-1立方英尺。有关套利数学的更多详细信息，请参见[7]和[8]以及其中的参考文献。在符号中，我们通常省略对Q的依赖，IE代表对Q的预期。我们还假设对于给定的成熟度，我们有XkT∈ L（Q）和XkT≥ 几乎可以肯定。此外，欧洲期权的价格与支付文件h（XT，…，XnT）由Vh确定。我们仅给出价格结果，即t=0时的值。然而，我们的结果可以扩展到包括任意时间t的值，明显是10 TALPONEN和VIITASAARIchanges。还要注意，我们假设到期日为T，但在旋转时忽略它。定义3.1。对于函数f:IR+→ IR，我们表示f∈ πQ（XT）如果满足下列条件：（1）f是连续可微的，除了在最多可数点集0上≤ s<s<…<sα<。（α<γ可数序数），其中f和f′具有跳跃不连续性，（2）f（XT）∈ L（Q），（3）f满足（3.1）极限→∞|f（x）-)|Q（XT）≥ x） =0和（4）积分z∞f′（a）Q（XT>a）雏菊。定义3.2。我们用uc表示，-和uc，+加权计数度量，因此对于给定函数f:IR+→ IR，我们有（1）（3.2）Zxf（y）duc，-（y） =Xy≤x~-f（y），其中-f（y）=f（y）- f（y）-),（2）（3.3）Zxf（y）duc，+（y）=Xy<x+f（y），其中+f（y）=f（y+）- f（y）。在0处从左侧跳转定义为√-f（0）=0。我们还需要以下计数方法。定义3.3。我们用|u| c表示，-和|u| c，+对于给定函数f:IR的计数度量+→ IR，我们有（1）（3.4）Zxf（y）d |u| c，-（y） =Xy≤x |-f（y）|，（2）（3.5）Zxf（y）d |u| c，+（y）=Xy<x |+f（y）|。对于给定的测度eq和under-lieng过程x，我们考虑以下一类支付函数。定义3.4。

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能者818

2022-5-5 11:48:59

对于函数h:IRn+→ 我们写h∈ 如果满足以下条件，则∏nQ（XT）：对多个资产的欧式期权定价11（1）（3.6）h（x）=mXk=1nYj=1fk，j（xj），其中fk，j∈ πQ（XjT），k=1，m和j=1，n、（2）对于每k=1，m、每个i=1，n、和EVERY排列σ=（σ（1），整数1，…，的σ（n），n我们有j=1fk，σ（j）（Xσ（j）T）∈ L（Q）。特别是h（XT）∈ Q（L）。（3）每k=1，m和eve ry i=1，n（3.7）肢→∞|fk，i（b）-)|IE退出≥毕-1Yj=1 | fk，j（XjT）|= 我们注意到所有多项式的形式都是（3.6）。我们还需要一些运营商，以便进一步使用。接下来的文章K表示关于变量xk的一般偏导数。我们发现使用多个指数来表述主要结果很方便。回想一下，amulti索引是一个向量a∈ {0, 1, 2, . . .}n将每个纯多重偏导数的阶数编码为混合高阶偏导数。在下面的所有多指标中，a满足kak:=maxiai≤ 1是二进制序列，这意味着它们也可以被视为{1，…，n}的su BSET。重新调用以下标准符号：|a |：：=a+…+一定义3.5。对于函数h:IRn+→ IR we定义运算符0kby（3.8）0kh（x）=h（x，…，xk-1，0，xk+1，xn）。我们也将对运算器应用多索引符号。例如，0abh（x，x，x，x）=h（0，0，x，x）表示n=4，a=（1，1，0，0）和b=（0，0，1，1）。也可以考虑e，e∈ A.e、 e∈ Be、 e，e，e∈a+b.定义3.6。让h∈ πnQ（XT）并设z、d、r和l（分别是“zero”、“导数”、“右跳”和“左跳”的缩写）为多个指数，如| z+d+r+l |=n和kz+d+r+lk=1。

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大多数88

2022-5-5 11:49:04

我们考虑一个函数laz，d，r，l:nQ（XT）→ IR（隐式地取决于Q和XT）gi ven byAz，d，r，l（h）=ZIRn-|z |+zdh（y）Q^σ∈d+r（XσT>yσ）^^σ∈l（XσT）≥ yσ）！！Yσ∈ddyσYσ∈rduc，+（yσ）yσ∈lduc，-（yσ）。12 TALPONEN和VIITASAARIWe也需要一个类似的正函数：|a | z，d，r，l=ZIRn-|z |+| 0zdh（y）| Q^σ∈d+r（XσT>yσ）^^σ∈l（XσT）≥ yσ）！！Yσ∈ddyσYσ∈rd |u| c，+（yσ）yσ∈ld |u| c，-（yσ）。为了进一步使用，我们还考虑了算子Az、d、r、land | A | z、d、r、lto的限制-|z| 伊恩-|z |+即AKz，d，r，l（h）=ZKn-|z | zdh（y）Q^σ∈d+r（XσT>yσ）^^σ∈l（XσT）≥ yσ）！！Yσ∈ddyσYσ∈rduc，+（yσ）yσ∈lduc，-（yσ）和| A | z，d，r，lis的定义类似。诚然，运营商的定义乍一看似乎很复杂。然而，这很自然，我们只是从一个函数h开始，然后选择| z |变量，我们将其设置为零。接下来，我们选择| d |变量并计算这些变量的偏导数。接下来，我们选择| r |变量，考虑与这些变量相关的右跳，对于剩余的g | l |变量，我们考虑左跳。最后，我们用概率加权结果函数，对于偏导数和右跳，我们考虑严格尾，对于左跳，我们考虑形式为Q（XmT）的尾概率≥ ym），并对这些变量进行积分。函数Az，d，r，L计算这个，然后我们可以对所有可能的排列求和。此外，如果| A | z，d，r，lis fifine，那么也可以定义Az，d，r，lis fifine和well fifined。下面的结果可以看作是比克表示法（1.2）的多维版本。定理3.1。让h∈ πnQ（XT）。

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mingdashike22

2022-5-5 11:49:08

如果（3.9）|A | z，d，r，l（h）<∞对于上述多个指数z、d、r和l的每一个组合，则支付h（XT）的欧式期权的价格为By（3.10）Vh=b-1TX | z+d+r+l |=nkz+d+r+lk=1Az，d，r，l（h）。我们注意到，根据上述结果，我们可能会对giventype的选项进行如下定价：对于每个变量，我们要么将其设置为零，进行部分求导，要么考虑从右或左跳，然后根据相应的度量进行积分。价格是通过对所有可能的组合求和得到的。因此，我们获得了4个百分点。然而，通常对多个资产的欧式期权定价，至少就某些变量而言，支付函数是连续的。因此，许多术语都是van-ish。例3.1。例如，设置n=2，并考虑向上和向内的Barriercall选项，其中strike K和barrier H giv en byf（ST，XT）=（ST- K） +XT≥H、其中XT=max0≤U≤苏。请注意，现在我们只有一个底层，但我们可以将XT视为另一个底层。该选项的价格为gi ven byVf=B-1TZ∞KQ（ST>y）∧ XT≥ H） dy.这个结果已经在[16]中建立。例3.2。作为n=2的连续示例，考虑带payoff hp（x，y，K，K，K）的彩虹选项=（（x）- K） +）p+（（y）- K） +）p1/p- K+,其中0<p<∞. 对于p=1，该选项的价格为XT，YTis g由VH=B确定-1TZ∞K+KQ（XT>z）dz+B-1TZ∞K+KQ（YT>z）dz+B-1TZK+KKQ（YT>z∧ XT>K+K+K- z） dz。通过不同的价格，Vhpone可以获得多维Breeden-Litzenbergerformula（详见[15]）。定理3.1的证明基于以下引理，它是[16]中结果的延伸。证据见附录。引理3.1。

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何人来此

2022-5-5 11:49:13

让f∈ πQ（XT）和Y∈ L（Q）使得（3.11）Z∞|f′（a）|即[1XT>a|Y|da]∞,（3.12）Z∞|f（a）|即[1XT>a | Y |]d |u| c，+（a）<∞,（3.13）Z∞|f（a）| IE[1XT≥a | Y |]d |u| c，-（a） <∞,和（3.14）肢→∞|f（b）-)|IE[1XT≥b | Y |]=0。ThenIE[f（XT）Y]=f（0）IE[Y]+Z∞f′（a）即[1XT>aY]da+Z∞f（a）即[1XT>aY]duc，+（a）+Z∞f（a）IE[1XT≥aY]duc，-（a）。（3.15）14 TALPONEN和Viitasaa证明了定理3.1。通过线性，可以充分考虑函数h（x）=nYk=1fk（xk）。我们把Y=Qn-1k=1fk（XkT）并应用引理3.1来表示payoff fn（XnT）yToActainvft=B-1Tfn（0）即[Y]- B-1TZ∞f′n（a）即[1XnT>aY]da+B-1TZ∞fn（a）即[1XnT>aY]duc，+（a）+B-1TZ∞fn（a）IE[1XnT≥aY]duc，-（a）。现在我们可以计算IE[1XnT>aY]（术语IE[1XnT≥通过设置Y=1XnT>aQn，aY]的处理方式类似）-2k=1fk（XkT）并对fn应用引理3.1-1（Xn-1T）Y。事实上，假设（3.7）意味着（3.14）已被满足。此外，（3.9）意味着假设（3.11）-（3.13）满足每一个Yi。因此，通过类似地进行并重复应用引理3.1，我们得到了结果。在许多实际情况下，支付函数是连续的，而不是形式的（3.6）。通过获取一系列函数∈ 对于具有足够光滑性的极限函数，我们得到了类似的结果。对于不连续功能，跳跃部分可能会导致问题。然而，我们可以用连续函数来近似连续函数。这是下一节的主题。还请注意，本节提供的结果与静态套期密切相关，在考虑交易成本和规格误差时，静态套期尤其重要。特别是，如果数字多资产期权在市场上交易，那么更多的普通期权可以（近似地）用数字期权对冲。这一点在一种资产的市场中尤为明显，在这种资产上，更多的普通期权可以用该特定资产的数字期权进行对冲。

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可人4

2022-5-5 11:49:16

此外，如果支付几乎在所有地方都具有额外的平滑性（通常是二阶导数），则可以使用看涨期权对冲支付（有关一维的详细信息，请参见[5]）。3.1。分配定价。回想一下，对于每个连续函数h:IRn+→ IR所有的混合偏导数βh以分布的形式存在，讨论见[13]。因此，对于每一个具有紧支撑的连续函数g，都存在一个光滑（测试）函数Hn序列，它是通过在紧集上应用Stone Weierstrass定理得到的，例如Zirn+g（y）βh（dy）=limnZIRn+g（y）βhn（y）dy。在上面的公式中，由于可以用多项式近似，所以取分部的顺序无关紧要。所以每个函数Az，d，r，l都是∏nQ（XT）→ 在所有连续函数h的范围内，IR可以无限地扩展到Az，d，r，l。实际上，如果h是连续的，当R6=0或L6=0时，我们设置Az，d，r，l=0。由于存在h的偏导数，因此函数Az，d，0,0是为多资产上的欧式期权定价而定义的。显然，同样的条件适用于|A | z，d，r，l。定理3.2。让h:IRn+→ IR是一个连续的支付函数，使得（3.16）|a | z，d，0,0（h）<∞对于所有多指标| z+d |=n，kz+dk=1。然后，欧式期权h（XT）的价格为By（3.17）Vh=b-1TX | z+d |=nkz+dk=1Az，d，0,0（h）。证据首先假设h∈ C∞（IRn+）并设N是一个supp（h）的数 [0，N]N.从实分析中我们知道，在紧致集合[0，N+δ]中，我们可以用多项式序列Tn（x）统一逼近h，因此Tn的偏导数也收敛于h的偏导数。现在，在[0，N+δ]N之外设置Tn（x）=0，通过使用合适的坐标系卷积，我们得到了Tn（x）∈ πnQ（XT）每n.h.的索赔∈ C∞（IRn+）如下。接下来假设h仅仅是连续的。

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大多数88

2022-5-5 11:49:21

假设（3.16）存在一个紧集K 伊恩-i+，一个合适的较小紧凑集合kz，d的有限并集，使得x | z+d |=nkz+dk=1~z，d，0,0（h）< 式中，z，d，0,0（h）=ZIRn-|z |+\\Kzdzdh（y）Q^σ∈d（XσT>yσ）！Yσ∈ddyσ。因为h是连续的，所以我们可以取一个序列hk∈ C∞使得hk在紧集上一致收敛于h，所有的部分导数在分布空间D′（IRn+）上相应地收敛。ThusAKz，dz，d，0,0（香港）→ AKz，dz，d，0,0（h）作为k→ ∞ 对于所有多指标| z+d |=1，kz+dk=1。因此，以下>0的主张是任意的。例3.3。考虑一个排列选项f（XT，XT）=（XT- XT）+。Nowf（x，y）是连续的，f（0，0）=fy（0，y）=0，fx（x，0）=1。除此之外，fxy（x，y）存在于分布和相等的意义上-δx（y），其中δx（y）是x处的狄拉克δ函数。因此我们得到vf=B-1TZ∞Q（XT>y）dy- B-1TZIR+Q（XT>x）∧ XT>y）dxδx（dy）=B-1TIE[XT]- B-1TZ∞Q（XT>y）∧ XT>y）dy.Example 3.4。考虑一个支付函数f（x，y）=1x≥y、现在f既不是连续的，也不是形式的（3.6）。然而，我们有f（x，y）=lim→0+（x- y+）+- （十）- y） +.16 TALPONEN和Viitasaari因此，根据前面的例子和支配收敛定理，我们可以正式计算如下[f（XT，XT）]=- 林→0+Z∞Q（XT>y）∧ XT>y+）- Q（XT>y）∧ XT>y）dy=-x=0+xZ∞Q（XT>y）∧ XT>y+x）dy。另一种为此类期权定价的方法是使用下一小节中的molli fiers。3.2. 用光滑函数逼近。我们的主要定理解释了如何对具有充分平滑度的期权进行定价。在本节中，我们考虑一般可积函数h，并考虑如何将我们的结果应用于此类期权的定价。我们在Lebesguemeasure中使用molli fiers。

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何人来此

2022-5-5 11:49:24

好处在于，该模型不依赖于x，也不依赖于Q的特定选择。我们使用（3.18）ρ（x）=c1 | x |<1e给出的标准模型-1.-|x |，其中|·|表示标准欧几里德范数，c是一个常数，例如hatzirnρ（x）dx=1。现在我们有ρ∈ C∞. 设h为任意函数。形式上我们设置（3.19）h（x）=ZIRnρ（y）h（x）- y）dy.实分析的标准结果表明，对于足够小的，h在紧子集上是完全可微的。此外，如果h是连续的，那么h→ h在紧子集上一致。我们还回顾了真实分析中的以下事实（参见[18]）。引理3.2。设u为IRn上的正氡测量值。不管怎样∈L（IRn，u）和任何>0的函数都存在∈ C（IRn）使| | h- |L（u）<。我们现在开始考虑我们的情况。定理3.3。一个关于h（XT）的假设∈ L（Q）。那么以下是等价的：（1）（3.20）Vh→ Vh，（2）（3.21）IE|h（XT）- h（XT）|→ 0，（3）对于e very，存在一个紧的set K和一个常数η>0，例如（3.22）sup0<<η|即[h（XT）]1XT∈IRn+\\K |<。对多种资产的欧洲期权定价。在不丧失普遍性的情况下，我们可以省略键。(3) => （2）：假设我们有（3.22）和。到（3.22）时，我们可以取K IRn+例如| h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn\\K<。此外，根据L emma 3.2，我们可以取连续的| h（XT）- |（XT）|<。我们得到了|h（XT）- h（XT）|=IE |h（XT）- h（XT）|1XT∈K+IE|h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn\\K≤IE|h（XT）- ~n（XT）|1XT∈K+IE||（XT）- |（XT）|1XT∈K+IE||||（XT）- h（XT）|1XT∈K+IE|h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn\\K.由于是连续的，因此对于足够小的，第二项以为界。为了完成我们通过连续性φ、紧致性K和假设（3.23）即| h（XT）得到的pro- ~n（XT）|1XT∈K<。(2) => （1）：这是显而易见的。(1) => （3）：假设我们有（1）和（3.22）不成立。固定>0。

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可人4

2022-5-5 11:49:27

因为h是可积的，所以我们可以找到紧致集K，即| h（XT）| 1XT∈此外，通过（1）我们有| h（XT）- h（XT）|1XT∈IRn+\\K<表示非常小。因此我们也有| h（XT）|1XT∈IRn+\\K<，我们有一个矛盾。这就完成了证明。注意，条件（3）与关于p air（B，h）的一致可积性的概念密切相关，这一概念是在[17]的一维情形中引入的。在许多实际情况下，条件（3.22）是满足的。下一个结果给出了一个易于验证的有效条件，在此条件下，我们得到了（3.22）。推论3.1。如果对于每一个>0，存在一个紧集K∈ IRn+和常数η使得（3.23）sup0<<ηess sup|y|≤1 | IE[h（XT- y）]1XT∈IRn+\\K |<那么我们还有（3.22）。18 TALPONEN和Viitasaarim任何感兴趣的期权都有多项式有界的支付函数，即存在一个多项式p（x），使得| h（x）|≤ p（x），x、例如，标准彩虹选项就是这样。诺维[p（XT）]<∞这意味着我们还有（3.23）。关于无套利价格的唯一性本文的主题是从多个标的资产的欧式期权的观察价格中推导出定价核心。如果定价度量有明确的公式，那么，当然，度量必须是唯一的。人们可能会问，关于某类衍生品的价格信息是否能有效地确定衡量标准，尽管可能没有明确的公式（参见[3]）。以下事实对该领域的专家来说可能是显而易见的，可以从上一节的考虑中立即获得。提议4.1。n资产金字塔选项值C（K。

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何人来此

2022-5-5 11:49:32

，Kn，0）如果Q对于状态空间上的勒贝格测度是绝对连续的，且是独立的，且利率是确定性的，则唯一确定联合定价律Q。在这里，n资产金字塔支付的形式是H（S，K，K）=X（Si）- （Ki）+- K+.证据这一事实基于类似于[15]中所述的分解措施。接下来，我们将试图看到从一类衍生品的价格中获得的部分信息如何转化为定价测度的一种部分唯一性。按照概率论的惯例，信息积累可以方便地用次σ-代数进行编码。下面的结果大致表明，通过乘以欧洲看涨期权获得的衍生品决定了次级σ代数上的定价度量。定理4.1。设F是状态空间IRn+上的一组非负Borel函数，被认为是欧式支付函数。设Q是同一状态空间上的一组Borelprobability测度。假设ieqni=1（fi-Ki）+存在，并不取决于Q的特定选择∈ Q forK，千牛∈ IR+和f，fn∈ F.假设g是σ（F）-可测量的payoff函数。那么g有Q-期望当且仅当它对族中的所有度量有期望。此外，确定的IEQg值并不取决于Q的具体选择∈ Q.回想一下，σ（F）是包含s和F的最小σ-代数-1（U）forf∈ F和U IR open和g是∑-可测的这句话意味着g-1（U）∈ ∑对于每个开放的U IR。收益率FIA和g可以为多个资产的欧洲期权定价，这些资产被视为与不同度量Q有关的随机变量∈ Q.例如，pu-Titing g=IEQ（h |σ（F））给出了一个典型的σ（F）-可测量的随机变量。我们将应用Dynkin引理，它非常适合分析测度的唯一性，见[12]。证据

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可人4

2022-5-5 11:49:35

我们用D表示所有Borel集合A的集合，这样Q（A）不依赖于Q的特定选择。注意，D对于补码是封闭的，因为Q是概率测度。通过测度的σ-可加性，我们观察到D对于不相交集的可数并是封闭的。因此，D是Dynkin系统。我们注意到σ（F）是由集合F生成的≥ K加f∈ F、 K≥ 0.在下文中，我们将注意力限制在σ（F）上，也就是说，测度和可测函数是用σ-代数来考虑的。我们的目的是证明σ（F） D.为了得到σ（F）-简单函数g的陈述，这一点是必要的。实际上，那么，Q中的测量值被限制为σ（F）是一致的。如果g s对于度量Q是可积的∈ Q、然后IEQ（g）可以通过简单函数IEQ（gn）的期望值来近似，其中gng Q-a.s.为n→ ∞. 在不同的Q选择中，IEQ（gn）值一致。注意，gng Q-a.s.作为n→ ∞ 通过测量的等效性。因此，IEQ（g）=IEQ（g）由单调收敛定理确定。接下来我们调用Dynkin定理，它得出如果形式（4.1）n^i=1Mi的集合≤ fi<Kiare包含在D中，然后也是σ（F） D.事实上，（4.1）中的集合在求有限交点方面是封闭的，它们也σ-生成集M<fi<K，因此σ-代数σ（F）也是封闭的。回想一下，指示器的功能是1Mi≤fi<kii可以写成1Mi≤菲-1Ki≤F和（4.2）1Mi≤fi=lim→0+（fi）- 米+）+- （菲）- Mi）+。这意味着qni=1Mi≤fi<kik可以写成lim→0+g，其中g=nYi=1（fi- 米+）+- （菲）- （密歇根州）+- （菲）- Ki+）++（fi- Ki）+。请注意，根据假设和期望值的线性度，定义时，d的值IEQ（g）不依赖于Q。

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大多数88

2022-5-5 11:49:40

因为qni=1Mi≤fi<Ki=lim→0+g我们分别应用每个测度Q的单调收敛定理得到（4.3）Q（n^i=1Mi）≤ fi<Ki）=lim→0+IEQ（g）不依赖于Q。根据假设，g的乐趣有预期。因此，集合（4.1）包含在D中。20 TALPONEN和VIITASAARI5。结论本文证明了与期权价格有关的几个新的理论结果。首先，我们研究了差异价格之间的联系。这种联系的重要性在于，如果能找到后一种选择的价格，就可以为更复杂的选择与更简单的选择定价。其次，我们提供了基于多个资产的期权定价公式，这些资产具有一般的收益。虽然我们的结果是纯理论的，但它们可以应用于数学金融的不同领域。例如，可以使用我们的结果来研究多维情况下的近似结果。此外，依赖于多维资产的选择并非是正确的，因此在文献中斯图死了很多。在本文和前一篇文章[15]中，我们提供了研究许多资产期权的一般工作。致谢。Lauri Viitasaari感谢芬兰随机和统计领域的部门计划提供的财政支持。附录A.引理3.1的证明基于以下引理。引理A.1。假设myk=1Xσ（k）T∈ L（Q）对于e非常m=1，n和每个置换σ。那么期望值h（XT；y）=nYk=1（XkT- yk）+对于勒贝格测度是绝对连续的。证据这一说法直接源于|（XkT）的观察结果- yk）+- （XT）- yk- h） +|≤ H引理A.2。让α≥ 0, α < β < ∞ 考虑一个函数g，形式为g（x）=f（x）1α≤十、≤β、其中f在[α，β]上是连续的，在（α，β）上是连续可微的。如果∈ 五十、 thenIE[g（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+Zβαf′（a）IE[1XT>aY]da。（A.1）证据。

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大多数88

2022-5-5 11:49:43

对于Y=1的情况，证明基本上与[16]中给出的相同。实际上，由于g在[α，β]上是连续的，我们可以用gn（x）=f（α）1x=α+nXk=1（ckx+bk）1ak<x来近似它≤ak+1=f（α）1x=α+nXk=1（ckx+bk）（1ak<x- 1ak+1<x，（A.2）对多个资产的欧式期权定价，其中α=A<A<…<an+1=β是区间[α，β]的一个分区，系数由ck=f（ak+1）给出- f（ak）ak+1- ak和BK=f（ak+1）- ckak+1=f（ak）- 克卡。简单计算并取期望值[gn（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+nXk=1ckIE[（XT）- ak）+Y]- IE[（XT）- ak+1）+Y].现在应用中值定理，f′的连续性，以及IE[（XT- a） +Y]是一个单调函数，对于a，我们得到nxk=1ckIE[（XT）- ak）+Y]- IE[（XT）- ak+1）+Y]→Zβαf′（a）模具[（XT-a） +Y]。此外，通过L emma A.1，我们得到了zβαf′（A）dIE[（XT- a） +Y]=Zβαf′（a）即[1XT>aY]da。需要注意的是，GNG在点方向上收敛到g。因此，结果遵循支配收敛定理。引理A.3。让α≥ 0, α < β < ∞ 考虑一个函数g（x）=f（x）1α<x<β，其中f在[α，β]上是连续的，在（α，β）上是连续可微的。如果∈ 五十、 thenIE[g（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+Zβαf′（a）IE[1XT>aY]da。（A.3）证据。定义一个新函数g byg（x）=f（α+），x=αf（x），x∈ （α，β）f（β）-), x=β。通过引理A.2，我们得到了[g（XT）Y]=f（α）IE[1XT≥αY]- f（β）IE[1XT>βY]+Zβαf′（a）IE[1XT>aY]da。注意到g（x）=g（x）- g（α）1x=α- g（β）1x=β我们得到了结果。引理3.1的证明。P ut gb（x）=f（x）10≤x<b，并设置sn+1=b。

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kedemingshi

2022-5-5 11:49:46

根据假设，我们可以写出b（x）=nXk=0f（x）1sk<x<sk+1+nXk=0f（x）1x=sk。22 TALPONEN和Viitasaaria将引理A.3应用于第一和和和直接计算中的术语ieldsie[f（XT）Y]=f（0）IE[Y]+Zbf′（A）IE[1XT>aY]da+Zbf（A）IE[1XT>aY]duc，+（A）+Zbf（A）IE[1XT≥aY]duc，-（a）- f（b）-)IE[1XT≥由]。让b趋于一致，并将支配收敛结果与假设一起应用，得出结果。参考文献[1]比克，A.（1982）。《衍生资产估值评论》，金融经济学杂志，10:331-345。[2] 布里登，D.T.，里岑伯格，R.H.（1978）。期权价格中的国家或有权益价格，《商业杂志》，51:621-651。[3] 布朗，D.J.，罗斯，S.A.（1991年）。跨越，估值与期权，经济理论，1:3-12。[4] 卡尔，P.，劳伦斯，P.，多资产局部随机方差。数学《金融》，2010年第21期，第21-52页。[5] 卡尔，P.，皮克伦，J.（1999）。时间风险的静态对冲，衍生工具杂志，3:57-70。[6] Cox，J.，R ubinstein，M.（1985）。期权市场，普伦蒂斯大厅。[7] F.Delbaen和W.Schachermayer，资产定价基本定理的一般版本，数学。安。300 (1994) 463–520.[8] F.Delbaen和W.Schachermayer，《无约束随机过程的资产定价基本定理》，数学。安。312 (1998) 215–250.[9] M.Fen gler，《隐含波动率的半参数建模》，斯普林格2005年。[10] Jeanblanc M.，Yor M.，Chesney，M.，金融市场的数学方法，斯普林格金融教科书，2009年。[11] Di Nunno G.，Oksendal，B.《金融中的高级数学方法》，2011年春季。[12] P.Halmos，1950年。测量理论。Van Nostrand and Co.[13]L.H¨ormander，1983，《部分微分算子的分析I，D分布理论和傅里叶分析》，数学综合研究系列，256，Springer Verlag。[14] 贾罗，R.（1986）。

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kedemingshi

2022-5-5 11:49:49

唯一风险中性概率测度的特征化定理，经济通讯，22:61-65。[15] Talponen J.，Viitasaari L.，关于州价格密度的多维Breeden-Litzenberger表示的注释。数学鳍经济部。（已提交）。[16] Viitasaari，L.（2012年）。期权价格与买入价格，ArXiv:1207.6205。[17] Viitasaari，L.（2012年）。期权价格离散近似的收敛速度，ArXiv:1207.6756。[18] 鲁丁，W.（1987）。《真实与复杂分析》，第3版。，麦格劳·希尔。东芬兰大学物理和数学系，邮政信箱111，约恩苏80101，talponen@iki.fiDepartment赫尔辛基理工大学数学与系统分析系，邮政信箱11100，芬兰阿尔托FIN-00076

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