为此，我们在第3.2节的具体案例中计算套期保值策略和价值函数。在不损失一般性的情况下，假设∧=1。回想一下，我们得到了在时间t初始化的P-鞅pt，P，α的显式表达式≥ T和任意s的函数v∈ [t，t]*],v（s，Xt，xs，Pt，p，αs，1）=C（s，Xt，xs，1）- (-kPt，p，αs）1/kexpnθ2（k-1） （T）*- s） oPt，p，αs=pXt，xsx-kk-1μσexpnk（θ）-u）2（k）-1） （s）- t） 哦。（61）观察Pt、p、α扫描可表示为Xt、xsi的函数。e、 Pt，p，αs=p（t，s，Xt，xs）。因此，我们通过观察算法逼近一维实值函数uss thatus（x）=V（s，x，p（t，s，x））的能力来分析算法的性能。（62）在我们的模拟中，我们考虑了以下参数。1.模型参数使用值（μ，σ）=（0.1,0.28）进行轻微修改。初始资产价格值固定为x=50.89.2。损失函数的凸度参数为k=2，p级取0.1Euro。3.该期权是一种行使权为K的看涨期权，到期日为20个交易日，即T=20/250.4。我们已经用M=10个粒子执行了我们的算法，以在时间的每一步估计条件期望和时间离散网格t=0、··ti、··tN=t，以及时间步长t=1/250。在我们的测试中，定点算法仅限于三次迭代。我们在图2中表示了us（x）相对于x的值，该值由显式公式和数值算法计算得出。我们还提供了初始日期控制ν的值，以说明导数的收敛性。6.4看涨期权的表现我们现在比较看涨期权的损失法（以下简称短缺风险，或SR）和基准策略（以下简称Black-Scholes，或BS）。对于每种方法，我们在i.i.d.Mhedge=10000模拟价格路径上实施相关的套期保值策略。

对于每条路径，我们计算两个对冲误差。然后，我们通过蒙特卡罗近似（在这些i.i.d.Mhedge=10000模拟上）计算与Black-Scholes方法和短期风险对冲相关的预期损失。回顾第6.2节，交易策略没有持续实施，由此产生的对冲误差可能与理论时间连续设置不同。1.朴素的Black-Scholes策略用λ=E[λ]=1.0012的值来解决。根据模型第114.2节给出的∧和β。对于期权，我们比较了看涨期权的几种行权可能性：K=γλx与集合{0.85；0.9；0.95；1；1.05，1.1；1.15；1.2}中的γ取值。损失函数是第5节k=2的部分力矩损失函数，阈值p变化足以评估其影响。在下面的比较中，我们考虑得到的误差的平方根，以便用欧元表示。这正好弥补了终端短缺，这是一个货币同质量。4.每天重新平衡策略，T=128天，T*= 184天，一年相当于250天，X=50.89。图3总结了模拟结果，并将K的不同值与p的函数值函数进行了比较。图4提供了另一个标准的两种方法之间的比较：条件风险值或预期短缺。这两个图引导我们得出以下两个结论。第一个是，与BS策略相比，部分对冲程序SR可以更有效地对冲二次损失函数，并且初始金额更少。

第二个图表说明了这样一个事实，即与特定控制问题中使用的标准相比，这种新策略对另一个风险标准更感兴趣，这也提供了我们模型中考虑塑造因子∧的可能性。附录：几何动力学原理和HJB方程在下文中，我们将自己置于[21]和[5]的布朗过滤环境中，这包含了我们的框架。通过假设P[λ=1]=1，我们忽略了∧的存在，并将我们自己置于区间[0，T]上*]. 我们提供了用于推导上解性质的GDP的一面。定理1（Th 3.1，[21]）。固定（t，x，p，y）∈ S×[-κ, ∞) 这样y>V（t，x，p）和一系列的稳定时间{θν，α：（ν，α）∈ Ut，y×At，p}。然后存在（ν，α）∈ Ut，y×At，psuch thatYt，x，y，νθν，α≥ V（θ，α，Xt，xθ，α，Pt，p，αθ，α）p- a、 s和Yt，x，y，νs∧θν,α≥ -κ∈ [t，t]*] P- a、 让我们*由V定义*（t，x，p）：=lim inf{V（t，x，p）：b3（t，x，p）→ （t，x，p）}其中注意到[0，t]的一个开子集*] ×R*+×R*-带（t，x，p）∈ cl（B）。我们假设V在S上是局部有界的，所以*现在是最后一天。在下面的内容中，我们只介绍V的上解性质*, 由定理1导出，在动力学（1）、（3）和（11）给出的特殊情况下。对于ε≥ 0，我们引入了松弛算子Θ7→变量Θ=（t，x，p，d，dx，dp，dxx，dpp，dxp）的Fε（Θ）∈ S×Rgiven乘以‘Fε（Θ）：=sup（u，a）∈εN（Θ）（u）- dx）u（t，x）-σ（t，x）dxx+apdpp+2apσ（t，x）dxp（63）带nε（Θ）：=（u，a）∈ R:|σ（t，x）（u）- dx）- apdp|≤ ε. （64）最终引入“F”*（Θ）：=lim sup\'Fε（Θ）：ε&0，Θ→ Θ.

我们通过了公约 = -∞ 和“F”*~n=F*图1：套期保值误差的标准偏差，作为套期保值策略λ和实际成形因子λ之间的比率的函数*影响历史场景。（a） 值函数x7→ 美国（x），p=0.1欧元，时间步长i=∈{1, 5, 10, 15, 19}.（b） 最优策略x7→ ν（t，x，p）对于p=0.1欧元和时间步长i∈{1, 5, 10, 15, 19}.图2：数值解和显式公式之间的比较。（a） K=0，85X（t）（b）K=0，90X（t）（c）K=0，95X（t）（d）K=X（t）（e）K=105X（t）（f）K=1，10X（t）（g）K=1，15X（t）（h）K=1，15X（t）图3：初始资本w.r.t.具有95%置信区间（虚线）的布莱克-斯科尔斯策略（蓝色）和短球策略（红色）的相关短缺风险。（a） K=0，85X（t）（b）K=0，90X（t）（c）K=0，95X（t）（d）K=X（t）（e）K=105X（t）（f）K=1，10X（t）（g）K=1，15X（t）（h）K=1，15X（t）图4:CVaR值w.r.t.策略的分位数BS（蓝色）和SR（红色）。为了实现平滑的功能。因此我们建立了V的上解性质*. 关于粘度溶液的定义和使用，我们参考[11]。[5]中的定理2.1和推论3.1给出了域内的上解性质。t=t时的边界条件*由[5]中的定理2.2给出。在我们的例子中，通过假设y中ψ的凹性，我们得到了ψ的凸性-1在p变量中。我们还有N（Θ）6= 无论如何。根据这两个性质，终结条件的形式要简单得多。总之，我们得到了以下结果。定理2（第2.1-2.2[5]）。函数V*是粘度的上解-νt（t，x，p）+F*ν（t，x，p）=0在[0，t]上*) ×R*+×R*-五、*（T，x，p）≥ Ψ-R上的1（x，p）*+×R*-.

（65）对于p=0，我们在这里避开了一个特殊的柯西边界问题。在我们的例子中，由于ψ（0）=0，随机目标问题简化为超边缘问题。目标必须达到P-几乎肯定，我们直接得到[21]的HJB方程。在我们的completemarket框架中，它直接提供了Black-Scholes方程（24），V*（，，0）也是粘度溶液。参考文献[1]Becherr，D.《基于效用偏好的理性套期保值和估值——柏林大学技术学院，2001年》。[2] Benth，F.和Koekebakker，S.金融电力合同的随机建模。《能源经济学杂志》，301116-1157，2007年。[3] Bouchard，B.和Dang，N.损失约束下定价和部分套期保值的广义随机目标问题——在最优账面清算中的应用。《金融与随机》，第17（1）页，第31-72页，2011年。[4] Bouchard，B.和Dang，N.最优控制与随机目标问题：一个等价结果。《系统与控制通讯》，第61（2）页，第343-346页，2012年。[5] Bouchard，B.，Elie，R和Touzi，N.控制损失的随机目标问题。《控制与优化》杂志，483123-31502009。[6] Bouchard，B.，Moreau，L.和Nutz，M.控制损失的随机目标博弈。arXiv预印本arXiv:1206.6325。2012年[7]Bouchard，B.，Moreau，L.，和Soner，M.H.在预期损失约束下进行套期保值，交易成本很低。arXiv预印本arXiv:1309.4916。2013。[8]Bouchard，B.和Nutz，M.广义状态约束的弱动态规划。暹罗控制与优化杂志，50（6），3344-33732012。[9] 几何动态规划原理的障碍版本：约束条件下美式期权定价的应用。应用数学与优化，61235–265，斯普林格，2010年。[10] 布罗迪，M.和格拉斯曼，P。

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