对冲电力期货市场衍生品的预期损失

2022-5-5 12:34:29

对冲电力期货市场衍生品的预期损失Dadrien Nguyen Huu*1和Nadia OudjaneIMPA，里约热内卢，巴西研发部，Clamart，Franceober 21，20181简介在本文中，我们提出了一种涉及数值实施的方法，用于对电力期货合同的金融衍生品进行部分对冲。电力期货市场呈现出特殊的特征。作为一种不可储存的商品，电能在一段时间内以电力的形式传递。类似地，期货合同将固定未来期间的当前电力价格与该期间的未来报价进行交换：它们明确指的是掉期合同，见[2]。由于电力是不可储存的，套利论据并不成立，因此任何人都无法通过常用工具构建aterm结构。由于流动性限制和未来的不确定性，报价的合同数量有限，其交付期随到期时间延长而延长。我们称之为期限结构粒度的这种现象意味着，最理想、最灵活的合同（周期或月期合同）只在到期前很短时间内报价。如果一个人希望在未来某个特定月份交付固定价格的电力，她应获得涵盖更广泛期限的合同，例如季度或一年合同。然而，如果一个人在这样一个短期合同中，甚至在该合同被报价之前，就被赋予了衍生工具，那么风险仍然存在。这就是我们所探索的情况：我们在这里考虑的是一个代理人，他被赋予了对一项尚未上市的资产的衍生品。在实践中，这种头寸的不可对冲风险是通过部署与相关上市资产的交叉对冲策略来管理的，见[22]、[13]和[18]。

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2022-5-5 12:34:33

如果没有令人望而却步的成本，就无法完全消除风险：市场是不完整的，方法学需要一个定价标准，如上述参考文献所述。在下文中，我们开发了部分套期保值程序，以满足预期中的损失约束。我们的目标是提供一种现成的方法来实现这些目标。这就需要最新的随机控制工具[5]和耦合前后向SDE的数值近似。然而，我们不断地将所得结果与著名的公式和概念联系起来，因此该方法易于吸收。我们还提供了强有力的假设，以避免在困难的案件中涉及证据。我们相信，下文提出的具体方法可以理解和应用，而无需太多努力，并适用于各种对冲问题。我们采用的方法是由F"ollmer和Leucert[14,15]提出的，但我们是在控制理论的框架内发展这个问题的。满足损失预期约束所需的最小初始投资组合值可以表示为随机变量的值函数*通讯作者：阿德里安。nguyenhuu@gmail.comtarget问题Soner和Touzi[20,21]引入了随机目标方法，以控制方式模拟定价问题。Bouchard、Elie和Touzi[5]将其扩展到了预期标准，并将其应用于分位数对冲[5]、清算问题中的损失约束[3]或具有小交易成本的损失约束[7]。

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2022-5-5 12:34:36

然而，当一个人首先证明了一个比较定理来解决价值函数的唯一性问题时，一般方法相当技术化，需要解决非线性偏微分方程（PDE）。在这里，我们使用了[5]的应用程序，在这个应用程序中，可以在完整的市场中提供很好的结果，而无需使用比较参数。然而，我们的初始问题不能用[5]或[19]的随机目标公式直接解决。期望资产价格的幻影所带来的不可防范的风险，对通常的框架产生了一个不可忽视的扩展。相反，我们以倒退的方式分三步进行：1。我们首先在第3节中利用[5]中应用的一个简单扩展，提出了完全市场中的随机目标问题。我们的方法强烈依赖于损失函数的凸性。通过凸对偶参数，期望损失目标可以表示为，以便提供一个非常接近于通常的风险中性定价公式的公式。这允许在missing contract出现的精确时刻表达价值函数V。2.为了处理未交易资产的随机幻影，我们使用了一个整容程序，为基础资产报价前的时期提供了一个新的（中间）目标。这在第4节中完成，与初始套期保值标准一致，并允许我们检索完整的市场设置，其中可以部分使用步骤1的结果。3.当完整的市场环境无法提供分析公式时，如第2步后发生的情况，我们将使用数值近似。我们在第5节中提出了这样一种算法，并在第6节中说明了该方法的有效性。可以理解的是，通过沿着步骤3中提供的数值算法重复进行步骤1和2，可以递归地应用该方法。

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2022-5-5 12:34:39

剩余的贡献遵循上述顺序，由第2节中的问题介绍开始，在该节中，我们发展了金融代理人在市场上遇到的主要情况。2控制问题的描述0<T<T*< ∞. 我们考虑被赋予到期日为T的金融期权的代理人*, 支付一个月期的期货。然而，该资产在初始时间t=0时尚未报价，并在时间t时出现在市场上。该月包含一个在更大期限内交割的期货，例如一个季度期货。我们用X表示：=（Xt）t∈[0，T*]该工具的贴现价格，避免以后引入利率。Weassume在整个利息期内可用[0，T*], 然而，代理人有一个职位的月期未来仅在区间[T，T]上可用*].我们方法的核心是假设两种工具之间存在结构性关系，即两种资产的回报是完全相关的。更准确地说，每月的期货价格应该是季度期货价格X和给定的成形因子∧>0的乘积∧Xt，假设是一个有界的随机变量，完全独立于资产价格X。有界条件来自两个期货合约之间的结构关系，假设隐含的现货价格是非负的。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、 P）支持布朗运动W和变量∧。过滤F由Ft:=σ（Ws，0）给出≤ s≤ t）对于w=0，σt:≤ s≤ （t）∧t的σ（λ）≥ T假设1。

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2022-5-5 12:34:42

我们用L表示∧的支持度，它被认为是R+的一个有界子集，ρ是它在L上的概率测度。在[0，T]期间，代理与资产Xt，x进行交易，x被认为是SDE的解：dXt，xs=u（s，Xt，xs）ds+σ（s，Xt，xs）dWs，对于s≥ t、和Xt，Xt=x。（1）我们假设Xt、Xt的定义如下。假设2。函数（u，σ）：[0，T*] ×R+→ R×R*+假设以下属性得到验证：1。u和σ是统一的Lipschitz，并验证|u（t，x）|+|σ（t，x）|≤ K（1+| x |）表示任意（t，x）∈[0，T*] ×R+0.2。对于任何x>0，我们有Xt，xs>0p- a、为了所有的人∈ [0，T*]3.任何（t，x）的σ（t，x）>0∈ [0，T*] ×R*+;4.如果x=0，则所有t的σ（t，x）=0∈ [0，T*];5.σ在[0，T]的时间变量中是连续的*] ×R+；6.u和σ是θ（t，x）：=u（t，x）σ（t，x）<∞ 在（t，x）中均匀分布∈ [0，T*] ×R*+. （2）式（2）暗示了所谓的诺维科夫条件。子市场仅由（Xt）t组成∈[0，T*]然后是一个与布朗亚过滤相关的完整市场。过滤F与一个完整的市场有关，因为∧在区间[0，T]上未知，并且不能由如下定义的自融资可接受投资组合对冲。这样，市场可以被标记为Becher[1]意义上的半完整。定义1。

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2022-5-5 12:34:46

一个可接受的自融资投资组合是一个F适应过程Yt，x，y，由Yt，x，y，νt=y定义≥ -κandYt，x，y，νs:=y+ZstνudXt，xu，s∈ [t，t]*] , （3）在哪里∈ Ut，yde注意到一个策略，Ut，Yt时间t的一组可容许策略，这是R值F-逐步可测的平方可积过程的集合，例如Yt，x，y，νs≥ -κP-a、为了所有的人∈ [t，t]*] 还有一些κ≥ 0代表代理人的有限信用额度。根据资产模型（1），考虑一个套期保值投资组合时，严格等价于xt，xon[0，T]*] 或者随时切换r∈ [T，T]*] 对于新出现的资产∧Xt，x:Yt，x，y，νs=y+Zs∧rtνudXt，xu+Zts∧rνud（λXt，xu），r≥ T和T≥ 0，如果u的ν=ν/λ≥ r、因此，我们假设代理在[0，T]上与X进行交易*].假设3。期权的最终收益由g（λXT）给出*), 其中函数g假设为Lipschitz连续。正如文献中所知，这种期权的超边际价格可能会令人望而却步，即使在假设1中∧是有界的。为了避免这个问题，我们建议控制部分对冲的预期损失。这意味着代理给自己一个阈值p<0和一个损失函数`来评估其终端位置g（λXt，Xt）上的损失*) - Yt，x，y，νT*.定义2。损失函数`:R+→ 假设R+是连续的，严格凸的，并且在R+上严格增长，且具有多项式增长。我们规范化函数，使`（0）=0。代理人在时间t的目标是找到最小值y和投资组合策略∈ 哦，我就是这样-`G∧Xt，Xt*- Yt，x，y，νT*+≥ P（4）更一般地说，通过一个通用映射ψ：R+×R来测量支付和享乐投资组合之间的偏差是有用的→ R-. 前面的例子对应于ψ（x，y）=-`（（g（x）-y） +）。

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2022-5-5 12:34:49

（5）假设3和定义2意味着上述定义的ψ满足以下假设：假设4。函数ψ：R+×R→ R-假设为连续且在（x，y）中多项式增长cl{y上y的凹性与增性∈ [-κ, ∞) : ψ（x，y）<0}对于任何x∈ R+。注意，对于任何y，ψ（x，y）=0 in（5）≥ g（x），这使得ψ在任何固定x的域上都不可逆。在假设4下，我们可以定义y逆ψ-R+×R上的1（x，p）-作为p的凸增函数，其中ψ-1（x，0）=inf{y≥ -κ：ψ（x，y）=0}。（6）如上所述，[15,16]中引入了（4）的估值方法。它可以在马尔可夫框架（1）-（3）允许的随机控制形式[5]下编写。定义3。Let（t，x，p）∈ S:=[0，T*] ×R*+×R*-被给予。然后我们定义了S asV（t，x，p）上的值函数v:=infny≥ -κ：Ehψ∧Xt，Xt*, Yt，x，y，νT*)我≥ p代表ν∈ 嗯，哟。（7）在[5]和[19]中可以找到关于受控损失随机目标问题的一般设置的高级技术细节和细节。特别是，我们只在（x，p）的开域上引入了值函数，并避免处理特定情况x=0或p=0。此外，函数V隐式地受到g（λXt，Xt）的超边际价格的限制*) 我们将在下一节中看到。注意，（7）中的期望涉及到一个积分w.r.t.∧fort定律∈ [0，T），在成形因子∧被揭示之前。因此，由于∧的存在，目前的问题不是标准的：过滤F不仅是由于布朗运动，而且[5]的动态编程参数不直接适用。我们采取的方法是在一个分段问题中分离完整和不完整的市场区间。例1。我们将在第5节和第6节中使用的损失函数的一个特殊例子是下偏矩`（x）：=xk{x的特殊情况≥0}/k，k>1。

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2022-5-5 12:34:52

（8）在k=1的情况下（此处未考虑），我们获得了一个接近预期短缺的标准，在[12]中进行了独立研究，而允许k=0允许准确地检索分位数套期保值问题[5]，尽管在这种情况下“不是定义2中的损失函数”。假设k=2更接近二次套期保值（或均值-方差套期保值）的目标，但其优点是只考虑损失，而不考虑收益。请注意，与方程（8）中k>1的定义2相同，如果假设3成立，则假设4成立，假设5成立。我们用额外的符号来完成本节。在续集中，我们将表示S:=S∪ S:=[0，T]×R*+×R*-和S:=[T，T*]×R*+×R*-是值函数的两个域。对于定义在S上的任何实值函数，我们用相对于t或x的偏导数表示。其他变量的偏导数，或二阶偏导数以相同的方式表示。3完整市场中的解决方案3。1区间[T，T]上的一般解和风险中性预期*], 变量∧已知，资产∧X可交易。我们假设∧取λ的值∈ L.在这个区间，λ可以被视为影响损失函数ψ的系数，问题（7）遵循[5]的标准公式：过滤是由布朗运动路径产生的。在第4节中，我们将[0，T]周期的不完全市场设置简化为[T，T]上形式（7）的完整市场问题*], 在一个类似的布朗框架中，函数ψ不再来自（5）中的损失函数，这促使引入了一般函数ψ。因此，在不丧失一般性的情况下，我们暂时假定L={1}，并在符号中省略λ。在[0，T]上*] 然后，我们可以研究布朗过滤中的问题（7），并应用[5]的大多数结果。

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2022-5-5 12:34:56

F对t的过滤≥ 在这种情况下，T由Ft:=σ（Ws:T）给出≤ s≤ t）关于完全概率空间(Ohm, F、 P）与P[λ=1]=1。提议1。在假设2和4下，函数V在S byV（t，x，p）=EQthψ上给出-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，Qt*i（9）式中J（x，q）：=argsuppq- Ψ-1（x，p）：p≤ 0andXt，xs=x+Zstσ（u，Xt，xu）dWQtu和Qt，qs=q+ZstQt，quθ（u，Xt，xu）dWQtu，（10）其中wqt是概率Qt下的布朗运动，后者由dPt/dQt=Qt定义，1用于期望（9）。最后给出q，使得EhJXt，Xt*, Qt，Qt*i=p。为了得到这样的结果，我们分几个步骤进行。我们首先使用[5]中的命题3.1以[20]的标准形式表达问题（7），见下面的引理1。然后，我们应用[20]中的几何动态规划原理（GDP）原理，以获得粘度意义下V的PDE特征。这些结果见附录。然后，我们利用V的凸共轭性质得到V作为命题1的风险中性期望（9）。引理1。设Pt，p，α是由Pt，p，αs=p+ZstαuPt，p，αudWu，0定义的F-适应随机过程≤ T≤ s≤ T*, （11）其中α是一个F-逐步可测过程，取R中的值。让我们表示At，p这类过程的集合，使得Pt，p，α和αPt，p，α是平方可积过程。假设2和假设4成立。然后在SV（t，x，p）=infny上≥ -κ：Yt，x，y，νT*≥ Ψ-1（Xt，Xt*, Pt，p，αT*) 对于（ν，α）∈ Ut，y×At，po。（12）此外，对于给定的三重态（t，y，p），如果存在∈ 和一个F-逐步可测量的过程α，取R中的值，使得y，x，y，νT*≥ Ψ-1（Xt，Xt*, Pt，p，αT*) P- a、然后存在α∈ 在，psuch，Yt，x，y，νT*≥ Ψ-1（Xt，Xt*, Pt，p，αT*) P- a、美国证据。在假设4下，ψ-1（x，p）与（6）有很好的对应关系。根据ψ的多项式增长，结合假设2，可以应用随机积分表示定理。

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2022-5-5 12:35:00

第一个结果（12）是[5]中命题3.1的重新表述。第二个结果与[3]中的假设4和备注6相呼应，因为[5]中缺少该陈述。根据（11），对于p<0，过程Pt，p，α是负局部鞅，因此是有界子鞅。因此，Ehψ（Xt，Xt*, Yt，x，y，νT*)我≥ p、根据ψ的增长条件，鞅表示定理暗示了一个平方可积鞅Pt，p，α的存在性，其中Pt，p，αt=p，根据（13），Ehψ（Xt，Xt）*, Yt，x，y，νT*) - Pt，p，αT*i=Ehψ（Xt，Xt）*, Yt，x，y，νT*)我- P≥ 0 .自ψ（x，y）∈ R-对于任何（x，y）∈ R+×R，我们可以选择Pt，p，α来跟随动力学（11）。这意味着α是一个实值（Ft）-逐步可测量的过程，因此（αPt，p，α）∈L（[0，T*] × Ohm), 和α∈ 在第页，我们现在可以使用附录中回顾的GDP来证明命题1。本节的内容与[5]中第4节的发展密切相关，为了清晰起见，本节也对第4.3节的重要内容进行了介绍。证据（命题1）我们把证明分为三步。我们引入共轭和局部测试函数。让V*是V的下半连续版本，如附录所述。根据假设4、动力学（3）和定义（7），Vand V*是p对R的增函数吗-. V的有界性也意味着V的完整性*. 对于（t，x，q）∈ [0，T*] ×R*+×R*+, 我们引入V的凸共轭*在p<0时，也就是说，V（t，x，q）：=sup{pq- 五、*（t，x，p）：p≤ 0} .地图q 7→~V（，q）在R上是凸的和上半连续的*+.设▽是一个有界导数的光滑函数，这样（t，x，q）∈ [0，T*)×R*+×R*+是V的局部最大化子- 带（√V）- ：/~n）（t，x，q）=0。地图q 7→ ~n~n（，q）是凸的。

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2022-5-5 12:35:03

在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设在q中是严格凸的二次增长，参见[5]第4节中的证明。关于q的凸共轭是p的严格凸函数，由φ（t，x，p）：=sup{qp定义- ~n~n（t，x，q）：q≥ 0}. 然后我们可以正确地定义地图（t，x，q）7→（νp）-[0，t]上的1（t，x，q）*] ×R*+×R*+, 在p变量中取反。根据V的定义和V的二次增长，存在p≤ 0，因此对于已执行的Q，pq- 五、*（t，x，p）=V（t，x，q）=≤0{pq- ψ（t，x，p）}这意味着（t，x，p）是V的局部极小值*- 和（V）*- ν）（t，x，p）=0。定义φ的一阶条件意味着p=（φp）-1（t，x，q）。我们证明了V是线性偏微分方程的次解。在这种情况下，dx和dx的假设意味着，dx和dx的值是无限的：=（u，a）∈ R:|σ（t，x）（u）- dx）- apdp |=06= （14）对于任何（t，x，p，dx，dp）∈ [0，T*] ×R+×R-×R.这尤其适用于setN（t，x，p，~nx（t，x，p），魟p（t，x，p）），它由以下形式的元素组成（（魟x+ap魟p/σ）（t，x，p），a）表示a∈ R.根据附录中的定理2，并将ν更改为其新表达式，在（t，x，p）中验证- ~nt-σ（t，x）~nxx- 英法∈R（ap）~npp- ap（θ（t，x）~np- ∑~nxp）≥ 0 . （15）由于φpp（t，x，p）>0，上述方程中的最大值为：-∑~nxp- θ洎pp洎pp（t，x，p）∈ R，（16）可以插回（15）中，得到（t，x，p）处的一个新不等式：- ~nt-σ（t，x）φxx+（φpp）-1.θ（t，x）~np- σ（t，x）~nxp≥ 0 . （17）回想一下，p=（φp）-1（t，x，q）。根据Fenchel-Moreau定理，是它自己的双共轭，（t，x，q）=sup{pq- ~n（t，x，p）：p≤ 0}，和~n（t，x，q）=pq- ~n（t，x，p）。通过对p的微分，我们得到φp（t，x，p）=q。

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2022-5-5 12:35:07

通过再次区分，在点（t，x，p）处，我们有以下对应关系：（Фt，Фx，Фxx，Фpp，Фxp）=-~n~nt，-k x，-~nxx+xqqq，qq，-~nxq~nqq！。（18）将（18）插入（17），我们在（t，x，q）处得到满足- ~n~nt-σ∧|xx+|θ| q |qq+2u|qq（t，x，q）≤ 0 . （19）通过（t，x，q）的任意性∈ [0，T*) ×R*+×R*+, 这意味着V是[0，T]上（19）的一个子解*) ×R*+×R*+. 终端条件由附录中的定义和定理2给出：~V（T*, x、 q）=补充≤0{pq- 五、*（T）*, x、 p）}=supp≤0pq- Ψ-1（x，p）. (20)3. 我们将V与条件期望进行比较。设V为V（t，x，q）=EQth＠V（t）定义的函数*, Xt，Xt*, Qt，Qt*)执行部队（t，x，q）∈ [0，T*] × (0, ∞), 为s提供动力∈ [0，T*] 给定byXt，xs=x+Zstσ（u，Xt，xu）dWQtu和Qt，qs=q+ZstQt，quθ（u，Xt，xu）dWQtu，其中Qt是P-等价度量，使得dP/dQt=Qt，1。根据费曼-卡福公式，“V”是方程（19）的上解，因此“V”≥五。根据假设4，第7页→ Ψ-1（，p）在R上凸增-. 因此，对于足够大的q值，J（x，q）：=arg suppq- Ψ-1（x，p）：p≤ 0定义明确，可以在R中获得任何价值-.

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2022-5-5 12:35:12

根据隐函数定理，存在一个（t，x，p）的函数q，使得EQthQt，1T*JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*因此，V（t，x，p）≥ 五、*（t，x，p）≥ 啜饮qp-V（t，x，q）：q≥ 0≥ pq（t，x，p）- EQthVT*, Xt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我≥ q（t，x，p）P- EQthQt，1T*JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我+EQxhψ-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我≥ EQthψ-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*i=：y（t，x，p）。根据鞅表示定理，存在ν∈ Ut，ysuch thatYt，y（t，x，p），νt*= Ψ-1.Xt，Xt*, JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*这意味着p≤ 0EhψXt，Xt*, Yt，y（t，x，p），νt*我≥ EhJXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*i=EQthQt，1T*JXt，Xt*, Qt，q（t，x，p）t*我≥ 因此，通过定义值函数y（t，x，p）≥ V（t，x，p）为（t，x，p）提供等式和（9）∈ S.3.2间隔[T，T]的应用*]现在我们回到[T，T]*], 其中，假设成形因子∧在时间T处取已知值λ。强调λ作为t的给定状态参数的影响≥ T，我们表示byV（T，x，p，λ），值函数定义类似于（7），其中ψ由（5）给出。定义4。Let（t，x，p，λ）∈ S×L。我们可以定义S×L asV（t，x，p，λ）：=inf{y上的值函数≥ -κ：E`GλXt，Xt*- Yt，x，y，νT*+≤ -p代表ν∈ 注意，如果X是指数过程，那么我们可以明确地改变V（t，X，p，λ）为V（t，λX，p，1），回顾上一节的假设p[∧=1]=1。让我们回顾一下完整市场中的标准定价概念。在假设2下，我们可以定义由dqdp定义的p等价鞅测度Ft=exp-ZtTθ（s，Xs）dWs-ZtT |θ（s，Xs）|ds, T≥ T（22）在当前设置下，Q是唯一的风险中性度量，其漂移布朗运动wqt=Wt+RtTθ（s，Xs）ds，我们可以为g（λXT）提供唯一的无套利价格*).定义5。

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2022-5-5 12:35:15

我们定义了（t，x，λ）∈ [T，T]*] ×R*+函数c（t，x，λ）：=EQ[g（λXt，Xt*)] 对于t≥ T（23）根据假设2和假设3，我们可以应用[17]中的命题6.2，即对于任何λ∈ 五十、（t，x）7→ C（t，x，λ）在空间变量中是Lipschitz连续的，Lipschitz常数K与g相同。此外，C（·，·，λ）是Black-Scholes方程多项式增长的唯一经典解- 计算机断层扫描-[t，t]上的σ（t，x）Cxx=0*) × (0, +∞) （24）终端条件C（T*, x、 λ=g（λx）。现在，当我们使用定义2中的损失函数时，命题1适用于提供以下内容。推论1。假设2和假设3成立。然后，V在S×L上由V（t，x，p，λ）=EQ[g（λXt，Xt）给出*) - `-1(-Pt，Pt*)] （25）其中Pt，Pt*这是英国《金融时报》*-由pT定义的可测量随机变量，pT*= jq expZT*tθ（s，Xt，xs）dWQs-ZT*tθ（s，Xt，xs）ds！！（26）带j（q）：=-((`-1))-1（q）和（26）中的q，使得EQhPt，pT*i=p。此外，V在p中是凸的，并且在[t，t]上是C1,2in（t，x）*] ×R*+.解（25）-（26）可在简单情况下显式计算，见下文第5节。注意V在[T，T]上有界*] ×R*+×R*-因为`在R+上凸增，-`-1.投资。看一下（25）-（26），然后确信V在R上的p中是连续的*-, 但是[5]中的命题3.3in可以在我们的设置中用来断言V在p中也是凸的。根据函数C所说的，V在[t，t]上是C1,2in（t，x）*] ×R*+.备注1。值得注意的是，值函数（25）由权利要求g（λXt，Xt）的Black-Scholes-Price组成*) 减去一个与接受集双重表达式中的惩罚相对应的项，如果`是一个风险度量，请参见[16]。

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2022-5-5 12:35:18

因此，对冲策略将被修改。首先注意，（25）是两个马尔可夫过程（Xt，x，Qt，q）函数的条件期望，对于q，我们可以写出Yt，V（t，x，p），νs:=y（Xt，xs，Qt，qs）：=V（s，Xt，xs，Pt，ps）。根据推论1，y是正则函数，Xt，x，Qt，qare鞅在概率Q下，以及Yt，V（t，x，p），ν下。因此，它提供了dyt，V（t，x，p），νs=yx（Xt，xs，Qt，qs）dXt，xs+yq（Xt，xs，Qt，qs）dQt，qs。现在我们用dXt，xs来表示dwqs，我们得到了dyt，V（t，x，p），νs=yx（Xt，xs，Qt，qs）+u（s，Xt，xs）Qt，qsyq（Xt，xs，Qt，qs）dXt，xs（27），可以推导出最佳动态策略。推论1检索[15]的解。后者的原始问题是在给定初始投资组合价值的情况下最小化预期损失，但作者证明了我们的问题是等价的。定义3的随机目标问题实际上以类似的方式与最优控制问题联系在一起，正如在[5]的介绍中所注意到的，并在[4]中发展。我们可以引入一个值函数，给出在T时刻可以达到的最小损失*, 对于时间t，初始大写字母y，Xt，Xt=x和成形因子∧=λ。定义6。对于（t，x，y，λ）∈ [T，T]*] ×R*+x R×L我们定义（t，x，y，λ）：=supE-`GλXt，Xt*- Yt，y，νT*+: ν ∈ Ut，y. （28）如果初始portfoliovalue在时间t由y给出，则这对应于找到最佳可达阈值p的问题。该结果对于通过以下与V的联系来解决t之前的问题非常有用。引理2。对于（t，x，y，λ）∈ [T，T]*] ×R*+× [-κ, ∞) *L我们定义了-1（t，x，y，λ）：=sup{p≤ 0:V（t，x，p，λ）≤ y} 。那么我们有u（t，x，y，λ）=V-1（t，x，y，λ）。

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2022-5-5 12:35:22

（29）此外，函数U是y的凹增函数，从上方以0为界。等式（29）是引理2.1在[4]中的直接应用，而U的性质是从V的性质和定义6.4解的性质中得出的。在不完全市场中，我们现在转向T之前问题的解，即∧未知时。我们首先提供整容程序，将新情况简化为第3节中处理的情况。这个过程可以根据两个模型范例来完成：1。λ的ρ定律应该是已知的；2.只有∧定律的支撑L是已知的。第一种方法是具有先验分布的概率方法，而第二种方法是稳健方法，关于参数不确定性的稳健金融，参见[6]中的控制理论版本。最后，整容过程的数值复杂性迫使我们放弃显式的数值计算公式。因此，我们修改了第3节的结果，为第5.4.1节中数值近似的问题提供了一个方便的公式，前提是形状因子。当t<t时，问题（7）不能用[5]中开发的方法来处理。为了解决这个问题，我们遵循以下论点。考虑（t，y）∈ [0，T）×[-κ, ∞) 安达策略∈ 我们在时间T到达财富Yt，x，y，νT≥ -κ、当外源性风险因子∧出现时。假设代理人希望通过使用投资组合Yt，x，y，νT在时间T控制预期风险水平p<0。如果∧取λ值，使Yt，y，νT<V（T，Xt，Xt，p，λ），显然不可能确定。然而，T之后的最佳策略包括通过尝试达到定义6给出的最佳预期损失水平U（T，Xt，Xt，Yt，y，νT，λ）来优化投资组合。

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2022-5-5 12:35:26

在完整的市场环境下，这一成就是可能的。引理3。在假设2和4下，存在一个映射（x，y，λ）7→ ν（x，y，λ）∈ 呃，那边*+× [-κ, ∞) ×L这样的话，呃ψλXT，XT*, YT，y，ν（x，y，λ）T*我≥ U（T，x，y，λ）。（30）证据。固定（x，y，λ）∈ R*+× [-κ, ∞) 设p:=U（T，x，y，λ）。根据引理2，y≥V（T，x，p，λ）。根据推论1和备注1，由于ψ在y中增加，所以存在ν，使得EhψλXT，XT*, YT，y，νT*我≥ p表示（x，y，λ）任意固定。然后，在固定的Xt、Xt和Yt、y、νT的∧实现中，对该策略在T处产生的预期损失进行平均。因此，也对T之前的∧进行了预期。定义7。我们定义了Ξ：R+×[-κ, ∞) → R-byΞ（x，y）：=ZLU（T，x，y，r）ρ（dr）。（31）上述函数Ξ表示如果代理人在时间T以状态XT，XT=x获得财富y，代理人可以达到的预期最佳损失水平。引理4。函数Ξ取非正值，即Cin x∈ R*+凹面逐渐增大。这是引理2和推论1的直接结果。这个性质确保假设4的部分适用于下面的新问题，以便应用附录中的定理2。特别是引理4允许用广义逆Ξ定义一个终端条件-1.定义8。对于（t，x，p）∈ S、我们定义V（t，x，p）：=infny≥ -κ：EhΞ（Xt，Xt，Yt，x，y，νT）i≥ p代表ν∈ 嗯，哟。（32）我们现在证明，这个新问题与S.命题2的定义3一致。假设2和4成立。然后，在S证明上，V（t，x，p）=V（t，x，p）。1.固定（t，x，p）∈ 沙取y>V（t，x，p）。那么，根据定义，就存在ν∈ Ut，y如此，呃ψXt，Xt*, Yt，x，y，νT*我≥ P

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2022-5-5 12:35:29

因为t<t，所以可以将控件写入νt=νt{t∈[0，T）}+νT（∧）1{T∈[T，T]*]}其中νt（.）遵循F的正则构造：它是从L到[T，T]上平方可积控制过程集的可测映射*] 符合布朗过滤σ（Ws，T≤ s≤ .). 根据马尔可夫过程Xt，xandYt，x，y，ν（见[20]）的流动性质和期望的塔性质，EhψXt，Xt*, Yt，x，y，νT*i=E兹尔ΨXT，XT，xTT*, YT，Xt，Xt，YT，x，y，νT，ν（λ）T*Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λρ（dλ）.（33）通过取所有可能映射的上确界ν（λ）并定义6，我们得到≤ EΨXT，XT，xTT*, YT，YT，x，y，νT，ν（λ）T*Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λ≤ UT、 Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λ. （34）通过积分λ除以L，然后取期望值，我们立即得到y≥V（t，x，p）。通过y，V（t，x，p）的任意性≥V（t，x，p）。以y>V（t，x，p）为例。存在一个控制ν∈ 但是，你就是这样兹鲁T、 Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λρ（dλ）≥ P现在引理3允许断言控制ν的存在*（λ）在[T，T]上*] 对于任何λ∈ 乐ΨXT，XT，xTT*, YT，YT，x，y，νT，ν*（λ） T*= UT、 Xt，Xt，Yt，x，y，νT，λ.通过选择新的容许控制ν∈ Ut，由级联νt=νt{t定义∈[0，T）}+ν*t（λ）1{t∈[T，T]*]}, 我们得到了y≥ V（t，x，p）表示任意y>V（t，x，p）。因此，我们在S上有V和V的等式。在目前的情况下，当∧定律已知时，（31）的整容过程允许在区间[0，T]上检索[5]的随机目标问题。然而，对于非平凡模型，终端条件（31）可能是明确的。4.2稳健方法的变化由于缺乏数据或问题的某些不稳定性，如果代理人希望控制预期损失水平，而不假设L上的ρ定律，那么采用稳健方法可能会很有趣。在假设1下，稳健方法很容易实现，如下所示。

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2022-5-5 12:35:33

由于∧定律未知，我们必须考虑最坏情况，即定义9上一组概率测度的（31）的上确界。设P（L）是L上所有概率测度的集合，包括奇异测度。然后我们定义任何（x，y）∈ R*+× [-κ, ∞) 函数ξ（x，y）：=supρ∈P（L）Ξ（x，y）。（35）很简单，通过考虑P（L）中的奇异测度，我们将得到ξ（x，y）=maxλ∈LU（T，x，y，λ），（36）这是所有（x，y）的定义∈ R*+× [-κ, ∞) 遵循引理2。上一节的推理可以应用于新的中间条件Ehξ（Xt，Xt，Yt，x，y，νT）i≥ p、如果t<t:\'VR（t，x，p）：=infny>-κ：Ehξ（Xt，Xt，Yt，x，y，νT）i≥ p代表ν∈ 嗯，哟。（37）由g的一些附加假设提供的U相对于λ的单调性，导致等式（36）的直接解。一般来说，问题（37）的解决方法与问题（32）的解决方法类似，其基本条件更易于处理。因此，在续集中，我们将重点放在问题（32）上。4.3从控制问题到期望公式。在本节中，我们想正式强调非线性方程（15）的解（在命题1的证明中）与简单条件期望之间的联系，在有效的规则设置下。这个想法将被用来提出一个数值方案来近似解决我们的部分套期保值问题。假设非线性偏微分方程（15）有一个经典解，假设它也可以验证\'Vt+σ（t，x）\'Vxx+a*Pσ（t，x）`Vxp- θ（t，x）\'Vp+（a）*p） \'Vpp=0，对于t<t\'V（t，x，p）=Ξ-1（x，p），（38），其中我们回顾了控制的具体形式（16）：a*:=p-Vpp-1.θ（t，x）\'Vp- σ（t，x）`Vxp, （39）终端条件为Ξ-1（x，p）：=inf{y≥ -κ：Ξ（x，y）≥ p} 。

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2022-5-5 12:35:36

（40）特别是如果*在（39）中定义良好（通过p中V的严格凸性），并对应于（15）中的最佳值，那么公式（15）和（38）是等价的。现在我们假设函数^V（t，x，p）=EQ[Ξ-1（Xt，Xt，Pt，p，α*T） ]，0≤ T≤ T，（41）定义良好，Q下的动力学由Xt给出，xs=x+Zstσ（u，Xt，xu）dWQu；Pt，p，α*s=p+ZstPt，p，α*uα*UdWQu- θ（u，Xt，xu）du（42），其中反馈控制α*是为s定义的∈ [t，t]byα*s=Pt，p，α*s’Vpp-1.θ（s，Xt，xs）\'Vp- σ（s，Xt，xs）`Vxps、 Xt，xs，Pt，p，α*s. （43）此外，假设^V是充分正则的，是相关线性方程组的经典解~nt+σ（t，x）~nxx+a*p（σ（t，x）~nxp- θ（t，x）νp）+（a）*p） ηpp=0，对于t<tΞ（t，x，p）=-1（x，p），（44），其中我们回顾了作为V及其衍生物的函数给出的控制（39）的特定形式。现在，请注意，V也是线性偏微分方程的经典解。因此，如果（44）的经典解是唯一的，那么我们可以得出^V=\'V的结论。在下一节中，我们提出了一个求解（38）的数值方案，在某种意义上，它依赖于非线性模型（38）和动态（42）-（43）条件期望（41）之间的关系。5数值近似方案在本节中，我们提出了一个专用于具体问题（41）（42）-（43）的数值算法。这个问题有两个原因。首先，T处的终端条件由Ξ给出-这可能是未知的，必须进行数值研究。其次，最优控制由（43）给出，这样非线性算子就可以用适当的期望近似代替。在这一阶段，算法是作为一系列标准近似的结果提出的。然而，我们没有提供任何关于该算法引起的近似误差的分析，因此它只能被视为一种启发式算法。

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2022-5-5 12:35:40

然而，下一节将提供一些数值模拟，并强调这种数值模式的实际意义。5.1完全市场中的规范和套期保值在本节中，我们将通过指定模型来检索所有规律性假设。本文没有讨论所提出程序的一般化问题。我们假设X由几何布朗运动描述：u（t，X）=uX，σ（t，X）=σX，（45）与（u，σ）∈ R×R*+. 损失函数如例1所示，k>1。对于partialower矩函数`（x）=xk{x≥0}/k对于k>1，推论1有一个显式解，给定t≥ T byV（T，x，p，λ）=C（T，x，λ）- (-kp）1/kEQ“exp（2（k- 1） ZT*t |θ（u，Xt，xu）| du）#=C（t，x，λ）- (-kp）1/kexpθ2（k）- 1）（T）*- （t）, 其中θ=μσ，（46），在这种精确的情况下，C（t，x，λ）由期权的Black-Scholes价格给出，其支付为x 7→ g（λx），如定义5所示。第3节之后，（t，x）7→ C（t，x，λ）∈ C1,2（[T，T*) ×R*+) 对于任何λ∈ 五十、所以根据（46），V的所有必要偏导数都存在。还请注意，由于k>1，p中的Vis是严格凸的。因此，我们可以明确对冲预期损失约束的策略。如果*是吉文比（39），那么*（t，x，p）=Vx+a*pVpxσ（t，x，p）。（47）所有要求的衍生工具如下所示：Vt（t，x，p，λ）=Ct（t，x，λ）+θ2（k-1） expnθ2（k）-1）（T）-t） oVx（t，x，p，λ）=Cx（t，x，λ）Vxx（t，x，p，λ）=Cxx（t，x，λ）Vp（t，x，p，λ）=expn1-kklog(-kp）+θ2（k）-1）（T）-t） o.如备注1所述，该策略包括对索赔g（λXt，Xt）进行套期保值*) 加上一个对应于约束Pt，p，α的修正项*T*.5.2中间目标命令启动0的数值程序≤ T≤ T，我们需要计算中间条件及其在（38）中的偏导数。

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2022-5-5 12:35:43

根据（29）和（46），U（t，x，y，λ）=-1k（C（t，x，λ）- y） kexp-kθ2（k- 1）（T）*- （t）{C（t，x，λ）≥y} ，（48）根据∧：Ξ（x，y）的ρ定律，通过积分提供Ξ（x，y）的值=-1kexp-kθ2（k- 1）（T）*- （T）ZL（C（T，x，λ）- y） k{C（T，x，λ）≥y} ρ（dλ）。（49）可以通过数值积分或蒙特卡罗期望w.r.t.定律ρ对（49）中的积分进行数值计算。这反过来又允许获得所需的功能Ξ-1，因为后者在p中是单调的。对于固定的（x，p）∈ R*+×R*-, 定义：=λ ∈ L:C（T，x，λ）- Ξ-1（x，p）≥ 0.让我们介绍四个实值函数（fk）-1、~fk-1，fk-2、~fk-2） of（x，p）∈ R*+×R*-定义为fn（x，p）=RMC（T，x，λ）- Ξ-1（x，p）nρ（dλ）~fn（x，p）=RMλCx（T，x，λ）C（T，x，λ）- Ξ-1（x，p）nρ（dλ），（50）表示n=k- 1，k- 2，回顾k表示确定损失函数（8）的指数参数。然后通过一个简单的演算，我们推导出Ξ的偏导数-1如下Ξ-1x（x，p）=fk-1fk-1（x，p）Ξ-1p（x，p）=expnθk2（k）-1）（T）*- T）ofk-1（x，p）Ξ-1pp（x，p）=h（k- 1） fk-2fk-1.Ξ-1pi（x，p）Ξ-1xp（x，p）=（k- 1)Ξ-1p~fk-1fk-2.-~fk-2fk-1.fk-1.#（x，p）。（51）功能（fk-1、~fk-1，fk-2、~fk-2）可以用与Ξ相同的方法进行数值计算-1.有了这些导数，就有可能获得时间T（ν）的控制值*（T，x，p），a*（T，x，p）），由（47）和（39）给出。5.3离散时间近似和回归模式本文提出的近似模式首先基于由系统（41）-（42）-（43）确定的前后向动态的时间离散。5.3.1时间离散让我们用规则网格| ti+1定义确定性时间网格π：={0=T<<tN tN:=T}-ti |=T/N=：t、在本段中，我们考虑过程（X0，x，P0，p，α）的离散时间近似*) 初始条件为0时（X0，x，P0，p，α）的（42）解*) = （x，p）。

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2022-5-5 12:35:47

过程X0，xp在时间（ti）i=0时进行精确离散。。n表示为（Xi）i=0。。N、布朗运动的增量由WTI+1给出- Wti：=√Ti、（52）(i） i=0，··，N-1是以i.i.d.为中心的标准高斯随机变量序列。我们引入随机变量序列（Pa*i） i=0···n取对数的欧拉近似指数（P0，p，α*) 在网格π上。然后，我们可以用马尔可夫链（Xi，Pa）来近似（42）在网格时刻π的解*i） i=0，··，n满足i=0的以下动态，N- 1:Xi+1=Xiexpnσ√T我- (σt） /2oPa*i+1=Pa*iexpn-A.*我（Xi，Pa）*（一）θ+a*我（Xi，Pa）*（一）t+√T我o（53）在初始条件下，X=X和Pa*= pand，在每个时间步i，a*iis实际上是（39）当时给出的函数*i（x，p）：=a*（ti，x，p）=θp’Vp（ti，x，p）- σxp'Vxp（ti，x，p）pp'Vpp（ti，x，p）（54）在续集中，我们将表示Xi，Xi+1和Pi，x，p，aii+1满足等式（53）的随机变量，其中Xi=x，Pa*i=p和函数a*i=ai。5.3.2 a的分段常数近似*i和切线过程公式假设在离散时间ti，对于i∈ {0，··，N-1} ，一个分段常数近似值*iis可用，因此对于任何正实x和p，我们有如下近似值^aid（x，p）=RXr=1ai，rCi，r（x，p），（55），其中（Ci，r）r=1，·Ris是r的一个分区*+×R*-（ai，r）r=1，·Ris是一个实数序列。通过期望公式（41），我们得到问题（32）和等价（7）的解满足i的后向动力学∈ {0，··，N-1} ^V（ti，x，p）=E[^V（ti+1，Xti，Xti+1，Pti，p，α*（x，p）的[ti+1]∈ R*+×R*-.然后，通过在上述公式中注入两个近似值，可以在网格π的离散瞬间近似^V，包括：1。

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2022-5-5 12:35:51

替换（Xti，Xti+1，Pti，p，x，α*通过马尔可夫链近似（Xi，Xi+1，Pi，p，x，a*ii+1），由Euler格式（53）获得；2.更换功能a*Ib是分段常数近似^ai（55）；因为我∈ {0，··，N- 1} 我们定义了满足以下后向近似方案^Vi（x，p）=E[^Vi+1（Xi，Xi+1，Pi，p，x，^aii+1）]的^V（ti，·，·，·，·）的最终近似。（56）在这个阶段，让我们假设^Vi+1是^V（ti+1，·，·，·，·）的给定近似值，它是两个连续可微的w.r.t.变量。现在回想一下，对于任何r，^aii都应该是常数∈ {1，··，R}。然后，对于任何（x，p）∈ Int（Ci，r），（Xi，Xi+1，Pi，x，p，^aii+1）遵循对数正态分布（53），我们可以在（56）上应用切线过程方法[10]，以获得^vii是两次连续可微分的，以及导数的向后公式Vip（x，p，p，p，aii+1）Vi（x，Xi+1，Pi，x，p，p，aii+1）i（x，p，p，p，p，aii+1）i（x，p，p，p，aii+1）Vi（x，Xi+1，x，p，p，p，p，p，p，Ai+1）i（x，Vip（x，p，p）Vip（x，p）Vip（x，p，p，p），p）p（x，p），p）p（p，p），p），p（p，p），p）=（p），p），p），p（p），p），p），p（p），p），p），p），p（p），p），p），p）p（p（p），p），p），p），p）p（x，p），p）p（p），p），p（p），p），p（p），p），p），p），p（p），p）是那是*根据方程式（54），iis定义为“Vp（ti，·，·，·，·），”Vpx（ti，·，·，·）和“Vpp（ti，·，·，·）”的函数。同样，我们想在^aian和^Vip、^vipx和^Vipp之间施加相同的关系。为此，让我们定义地图f 7→ Ti（f）使得对于任何实值函数f定义在R上*+×R*-,Ti（f）（x，p）：=θE[Pi，x，p，fi+1^Vi+1p（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]- σE[Xi，Xi+1Pi，x，p，fi+1^Vi+1xp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]E[（Pi，x，p，fi+1）^Vi+1pp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]，（58）表示所有（x，p）∈ R*+×R*-. 请注意，上面定义的映射Ti隐含地取决于之前的近似值^Vi+1p、^Vi+1px和^Vi+1pp。

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2022-5-5 12:35:55

然后将^a作为Ti定点的分段恒常逼近得到。实现这一点的一种方法是，用回归算子^Ei代替（58）中的条件期望，对一组分段恒定的回归函数逼近Tiby^Ti。例如，考虑以下一组回归函数（1Ci，r）r=1，··，r。我们引入^Ti（f）（x，p）：=θ^Ei[Pi，x，p，fi+1^Vi+1p（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]- σ^Ei[Xi，Xi+1Pi，x，p，fi+1^Vi+1xp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]^Ei[（Pi，x，p，fi+1）^Vi+1pp（Xi，Xi+1，Pi，x，p，fi+1）]（59）这样710ti（f）在分区（Ci，r）r=1，···，r上自动分段恒定。加上所有这些近似值，我们最终在网格的每一点上获得Ti，π，ip，i，i，i，i，i，i，i，bVi，i，bVi，i，bVi，i，bVi，bVi，iV（ti，·，·，·），\'Vp（ti，·，·，·），\'Vpx（ti，·，·），\'Vpp（ti，·，·），a*（ti，·，·）通过以下算法应用固定公差参数ε>0：初始化bVN（x，p）=Ξ-1（x，p）bVNp（x，p）=Ξ-1p（x，p）bVNpx（x，p）=Ξ-1px（x，p）bVNpp（x，p）=Ξ-1pp（x，p）^aN（x，p）=θpbVNp（x，p）-σxpbVNxp（x，p）ppbVNpp（x，p）。（60）来自步骤A（N- 1）到A（0）：A（i）：设置A:=^ai+1；转到B（i，a）；B（i，a）：1。集合a:=^Ti（a）（回想一下，^Tidepends on bVi+1p、bVi+1pxandbVi+1p）；2.如果| a- a|≤ ε–然后设置（Xi，Xi，x，x，p，p，以及（aii+1）bVip（x，p，p，p）bVip（x，p）=p（p）p=p（p）他们他们的公共卫生项目，x，p，p，p，以及aii+1biHPI，x，p，p，aii+1bibii+1bivi（Xi，西安+1，西安+1，1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，p，Pi，1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，Pi+1，Pi，Pi+1，1，Pi，Pi，1，Pi，Pi，1，p，p，p，p，p，1）IIIIIIIIIIIIIi+1bii+1bii+1bii+1B+1+1+1B+1+1B+1+1+1+1B（x，1+1+1）xp（x，1）π，x，p，^aii+1）i。* 如果i=0，则停止；* 否则就去A（i）- 1);– 否则转到B（i，a）；请注意，将之前的算法限制为一个定点迭代（在B（i，a）中）将简化为一个明确的方案，其中^ai作为下一时间步ti+1（bVi+1，bVi+1p，bVi+1px，bVi+1pp）和控制^ai+1的导数的函数给出。

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2022-5-5 12:35:58

然而，在实践中，最多三次迭代就足以获得到固定点的合理收敛。从理论上讲，^t的收缩应该在非常小的时间步长内得到证明t、但这是留给未来的工作。如果我们不进行N格式的收敛性分析，对于一般扩散和一般函数，我们仍然可以提供该方法相关性的数值确认。为了验证该算法，我们在第6节继续比较了COLLARY 1的显式公式和该算法提供的值。6数值测试本节致力于对真实和模拟数据进行测试，旨在说明本文开发的部分对冲策略的兴趣，并验证前一节介绍的数值模式。我们分为四个步骤。首先，我们在真实数据上拟合指数模型（1）的参数。然后，我们通过评估真实数据中隐含的套期保值误差，指出随机成形因子所引发的风险的重要性，基于成形因子预测的朴素Black-Scholes套期保值策略（不考虑其随机性）。这种天真的对冲方法将构成我们的基准。为了验证第5节中介绍的数值近似格式，我们分析了它在第3节的例子中的性能。最后，我们将模拟的部分套期保值程序与即将引入的基准进行比较。6.1 Black-Scholes基准我们认为以下Black-Scholes策略适用于天真的代理人。naive agent假定集合L减少为一个单态{λ}。例如，这种信念被接受为∧期望值的原始近似值。

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2022-5-5 12:36:01

在这种情况下，前面的设置将简化为第3节的情况。然而，由于市场是完整的，天真的代理人希望实施布莱克-斯科尔斯框架允许的完整的享乐策略。因此，朴素的基准由1给出。或有索赔g（λXt，Xt）的Black-Scholes价格提供的初始值*), 吉文比方程（23）：C（t，x，λ）。与该信念相关的对冲策略，由[0，T]上的增量对冲程序νs=Cx（s，Xt，xs，λ）给出。在资产∧X的T出现后，期权价格立即受到∧的实际价值的影响，与∧不同，但投资组合是自我融资且持续的。我们在这里假设，天真的代理继续使用德尔塔对冲策略，直到T*.3.从时间T开始扩散的终端对冲误差，其值εT:=C（T，x，λ）-C（T，x，λ）。在Black-Scholes环境中，通过一个简单的无套利论证和wero利率，这个误差在T之前保持不变*.这种策略的动机是通过∧对可能的价值进行平均来平均损失。然而，这是错误的，因为衍生产品的价格主要是基础价格的非线性函数。在下面研究的看涨期权示例中，如果λ是固定的，我们得到了一个罢工的非线性函数：CBS（t，λx，K）：=EQ[（λXt，Xt*- K） +]=λEQ[（Xt，Xt*- K/λ）+]=λCBS（t，x，K/λ）。6.2真实数据分析为了提供一个现实的框架，我们参考历史数据。这允许我们提出一个L和∧的模型，以及指数动力学（1）的参数（u，σ）的值。可用数据指定EEX提供的法国电力市场期货价格的每日报价。

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2022-5-5 12:36:05

我们考虑2004年10月至2011年3月的交割期，即整个报价期内78个月的交割期货，以及涵盖这些期货的各季度交割期货合约。由此得出两个估计。1.这为随机变量∧的重复实现提供了78个观察值。平均值为∧=1.0012，其方差V（λ）=0.081。然后我们假设∧遵循具有以下特征的比例β定律：∧~ 3β(114, 227). 这是因为∧应有一个有界支撑，这里假设为区间[0,3]。指数动力学（1）中的参数u和σ是根据月份期货和季度期货的累计回报计算的。这里，u包含贴现率（因为Weasured通过省略它来假设利率为空）。获得的漂移^u为零，且获得的（年度）波动率^σ=28%。量化忽略不确定性对成形因子∧=λ的影响*, 在套期保值策略的执行方面，我们在真实数据上实施了朴素的Black-Scholesh套期保值策略，假设不同的给定参数λ围绕真实观察值λ变化*误差幅度为50%。在我们的测试中，我们考虑了78个月交割期货的看涨期权，如图1所示。由此产生的套期保值误差可分解为四个来源：1。离散时间套期保值（Delta套期保值策略确实每天都在实施）；2.动态模型或参数错误（套期保值工具可能没有对数正态分布的i.i.d.对数回报，^u和^σ仅为估计）；3.导致统计错误的套期保值情景数量有限；4.形状因子值错误。本文的范围特别关注后一种错误来源。

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