路径相关风险下的最优衍生品清算时机

2022-5-7 10:25:29

路径依赖下的最优导数清算时机*Shirai Yoshihiro+2018年7月27日摘要本文研究了按现行市场价格清算期权的ris k调整最佳时机。除了最大化期权销售的预期贴现回报外，我们还加入了基于期权价格短缺或二次变化直至清算时间的路径依赖风险惩罚。我们确定了立即清算或持有期权直至到期的最佳条件。此外，我们还研究了与最优停止问题有关的变分不等式，并证明了强解的存在唯一性。本文给出了一系列分析和数值结果，以说明几何布朗运动（GBM）和指数或nstein-Uhlenbeck模型下的非平凡最优清算策略。我们研究了价格动态和风险惩罚对各种期权的卖出和延迟区域的综合影响。此外，我们还得到了GBM模型下二次惩罚股票清算的显式闭式解。内容1引言22问题概述32.1最优清算溢价分析。62.2对GBM和指数OU基础的应用。83 GBM基础的最佳清算94指数OU基础的最佳清算135二次罚款165.1出售股票的最佳时机。165.2期权清算。186包含注释207非齐次变分不等式的强解21A Novikov条件24*通讯作者。

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2022-5-7 10:25:32

工业工程师ing&运营研究部，哥伦比亚大学，纽约州纽约市，邮编10027。电话：（212）854-2942。电邮：leung@ieor。哥伦比亚。教育+纽约哥伦比亚大学工业工程与操作工程研究系，纽约10027。电话：（212）854-2942。电子邮件：yoshihiroshirai@gmail.com.1简介几十年来，期权被广泛用作投资和风险管理的工具。自2012年起，标准普尔500指数期权的日均市场名义价值约为900亿美元，日均成交量从2002年的119808份快速增长至2013年1月的839108份。关于期权收益的实证研究通常假设期权持有至到期（见Broadie et al.（2009）及其参考文献）。对于每一个流动交易期权，都有一个内在的时间灵活性，可以在到期前通过市场清算头寸。因此，有效风险管理的一个重要问题是：何时是出售期权的最佳时机？在本文中，我们提出了一个风险调整的最优止损框架来解决不同基础价格动态下的各种期权的这个问题。除了最大限度地提高期权销售的预期贴现市场价值外，我们还纳入了一项风险罚款，该罚款考虑了在清算时间之前不利的价格变动。对于每一种候选策略，我们都会通过整合期权头寸随时间的变化而实现的短缺，或者更普遍地说，根据损失函数来衡量相关风险。因此，我们的综合s hortfall风险罚金取决于路径，并引入了每个清算时机策略的风险和回报之间的权衡。在标的股票价格的一般微分模型下，我们建立了一个包含积分惩罚项的最优停止问题。

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2022-5-7 10:25:35

为此，我们定义并应用了最优清算溢价的概念，它代表了最优等待出售的附加价值，而不是立即清算。事实证明，一旦溢价消失，期权持有人就可以卖出期权。这一观察结果为各种头寸的最佳清算策略提供了许多有用的数学描述和财务解释。我们首先确定在何种情况下，立即清算或持有期权头寸直至到期是最佳的。非平凡清算策略的研究涉及与最优s topping问题相关的非齐次变分不等式的分析和数值研究。在一项相关工作中，Sur ya（2012）研究了具有运行成本和其他特征的L’evy过程下的有限成熟度最优停止问题的解结构，并且相关的部分积分微分自由边界问题也产生了非齐次变分不等式。在资产管理的背景下，Dayanik和Egami（2012）研究了一个永久最优停止问题，该问题由股息支付和息票支付产生流动现金流，并解决了一个与时间无关的非齐次变分不等式。对于清算问题中的变分不等式，我们证明了在适用于基本动力学的几何布朗运动（GBM）（见默顿（1973））和指数或nstein-Uhlenbeck（OU）（见Ornstein和Uhlenbeck（1930））模型的一般条件下，la Bensou-ssan和Lions（1978）（见下文第7节）强解的存在性和唯一性。

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2022-5-7 10:25:38

我们还提供了股票、看涨期权、看跌期权和跨售期权的最优清算策略的一些数学特征和数字样本。风险罚款的纳入产生了与未授权案件明显不同的最佳清算策略。例如，如果期权的Delta（期权价格相对于标的价格的导数）与标的超额收益具有相同的常数符号，那么在没有风险惩罚的情况下，持有期权直到到期是最佳的（见第2.2款）。这适用于看涨（或看跌）股票的看涨期权（或看跌期权）。然而，在风险惩罚下，投资者可能会发现，即使在看涨（或看跌）情况下（参见第3.1款），也可以提前变现看涨（或看跌）期权。看见http://www.cboe.com/micro/spx/introduction.aspxFurthermore，最佳液化区域的形状在很大程度上取决于风险惩罚。我们发现，较高的风险惩罚系数总是会减少延迟区域，这直观地表明投资者更有可能提前卖出。此外，在某些情况下，最佳延迟和销售区域可能会表现出一些有趣的结构，例如不连通性（见图3和图6）。这些分析结果在很大程度上得益于最优清算溢价的性质（见定理2.1和2.4）。与效用最大化/差异定价方法相比，我们的路径依赖风险惩罚模型也可以被视为将投资者的风险敏感性纳入期权清算/行权时间问题的另一种方法（亨德森和霍布森，2011；梁和卢德科夫斯基，2012；梁等人，2012）。

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kedemingshi

2022-5-7 10:25:41

另一方面，Leung和Ludkovski（2011）研究了在不完全市场条件下购买欧洲和美国股票期权而不受风险惩罚的最佳时机，假设投资者选择不同于市场的风险中性定价措施。Leung和Liu（2013）还讨论了在GBM模型下出售期权而不受任何风险惩罚的时机，wh ich是我们模型的一个特殊例子。众所周知，基于短缺风险的风险度量概念已经应用于许多投资组合优化问题；见Artzner等人（1999年）；Rockafellar和Uryasev（2000年）；F–ollmer和Schied（2002）；F–ollmer和Schied（2004）；˙Ilhan等人（2005），以及其中的参考文献。我们的模型将这一思想应用于期权交易，作为与每一种清算策略相关联的路径。作为差额的一种变化，我们还引入了基于期权价格过程二次变化的风险惩罚。特别地，我们得到了GBM模型下具有二次惩罚的股票流动的显式闭式解（见定理5.1）。通过挖掘最优清算溢价，我们还比较了基于差额和二次风险惩罚的看涨期权和看跌期权的清算策略。Forsyth等人（2012年）也采用了平均二次方差作为标准，以确定存在价格影响时的最优库存交易策略。麦克莱恩等人（2013）最近的一篇论文考虑了一个离散时间投资组合优化问题，该问题具有凸损失函数，该函数解释了基准财富轨迹的不足。当我们考虑股票和期权的最优清算问题时，他们的研究集中在最优资本增长或凯利策略上。另一方面，Frei和Westray（2013）研究了受临时价格影响的股票头寸的最优清算。

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2022-5-7 10:25:45

特别是，它们将订单S lippage相对于VWAP（卷加权平均价格）的均值和方差最小化，作为基准。这些论文采用随机控制方法来解决随时间变化的最优位置问题，因为我们的问题只涉及最优的液化时间。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们为一个分散市场中的一般欧洲索赔制定了最优清算问题。在接下来的章节中，我们将重点讨论GBM和指数OU模型下的股票或期权清算。在第3节和第4节中，我们研究了具有短缺风险罚金的最优清算时机。在第5节中，我们使用二次变化风险惩罚进行分析。第6节总结全文。在第7节中，我们讨论了变分不等式强解的存在性以及最优清算溢价满足的概率表示。2问题概述在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 P），其中P是历史概率度量。该市场由一个风险资产S和一个利率r为常数的货币市场账户组成。风险资产价格由一个正扩散过程建模，该过程遵循随机微分方程DST=u（t，St）Stdt+σ（t，St）StdWt，S=S，（2.1），其中W是度量P和S>0下的标准布朗运动。这里，假设确定性系数u（t，s）和σ（t，s）满足标准的Lipschitz和生长条件（Karatzas和Shreve，1991，§5.2），以确保（2.1）的唯一强解。我们设F=（Ft）t≥0是布朗运动产生的过滤。让我们考虑一种市场交易的欧洲期权，其到期日T为标的资产S的付息额（ST）。

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2022-5-7 10:25:49

如果S哈珀比λ（t，S）：=u（t，S）-rσ（t，s）满足Novikov条件：E{exp（RTλ（u，Su）du）}∞, 密度处理dqdpFt=exp-Ztλ（u，Su）du+Ztλ（u，Su）dWu, 0≤ T≤ T、（2.2）是a（P，F）-鞅（见Karatzas and Shreve（1991），第。3.5.12). 这定义了一个单等价鞅（风险中性）测度Q，期权的市场价格由v（t，s）=eEt，sne给出-r（T）-t） h（ST）o（t，s）∈ [0，T]×R+。（2.3）简写符号eet，s{·}≡eE{·| St=s}表示Q下的条件期望。注意，市场价格函数V（t，s）不依赖于漂移函数u（t，s）。观察股票和期权价格随时间的变化，投资者有在实验前出售期权的时机。在寻求期权的预期贴现市场价值最大化的同时，我们加入了一个风险惩罚，该惩罚将考虑到当前的下行风险。具体而言，我们通过以下方式确定时间t的缺口：l（t，St）=（m）- V（t，St））+，（2.4），其中m>0是投资者设定的一个常数。然后，将风险罚金建模为短缺的aloss函数，用ψ表示(l（t，St））。这里是损失函数ψ：R+→ 假设R是递增的、凸的、连续可微的，ψ（0）=0（参见F¨ollmer and Schied，2004，第4.9章）。因此，投资者面临惩罚最优停止p问题jα（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） V（τ，Sτ）- αZτte-r（u）-t） ψ（m）- V（t，St））+杜, （2.5）其中α≥ 0是一个惩罚系数，Tt是一组F-停止时间，取[t，t]中的值。除非另有说明，我们的分析适用于满足条件Bove的一般损失函数ψ。在这里，让我们举一个例子来形象化惩罚机制。例如，可以将基准设定为初始期权价格，并取ψ(l) = l.

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2022-5-7 10:25:53

然后，当期权低于其初始成本时，违约金期限累计（贴现）面积。我们在图1中说明了这一点。请注意，当期权价格高于基准时，已实现的差额保持不变，并且只要期权处于水底，已实现的差额就会继续增加。其他可行的规范包括功率惩罚ψ(l) = lp、 p≥ 1和指数惩罚ψ(l) = exp（γ）l) - 1，γ>0，等等。为了量化最优等待的价值，我们通过价值函数Jα与期权当前市场价格之间的差异来确定最优清算溢价，即Lα（t，s）：=Jα（t，s）- V（t，s）。（2.6）0 0.2 0.4 0.6 0.8 102468101214161820时间买入价格0时累计空头买入价格图1：基于GBM模型下欧洲买入期权的模拟价格路径（实数）实现的空头（虚线），参数S=100，r=0.03，u=-0.05，σ=0.3，K=100，T=1，α=1。基准m是初始看涨期权价格。或者，最优清算溢价Lα可以解释为一个简单的先买后卖策略的风险调整预期回报。用Yu=e表示贴现惩罚清算价值过程-鲁夫（u，苏）- αZue-rtψ（（m）- V（t，St））+）dt。为了保证问题（2.5）的最优停止时间的存在性，我们要求E{sup0≤U≤TYu}<∞. 对于欧式看涨期权，期权价值V（t，St）由股票价格St决定，而看跌期权价格受执行价格的限制。因此，对于调用和put的任何线性组合，必须施加E{sup0≤U≤TSu}<∞. 我们还要求P{min0≤T≤^tSt>0}=1，这意味着资产价格在任何固定时间^t a.s.之前保持严格的正值。

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2022-5-7 10:25:56

然后根据标准最优停止理论（Karatzas and Shreve，1998，TheoremD.12），与L（t，s）相关的最优清算时间由τ给出*= inf{u∈ [t，t]：Lα（u，Su）=0}。（2.7）换句话说，投资者在最优清算溢价Lα消失后出售期权是最优的，这意味着时间灵活性没有价值。因此，投资者的临时清算策略可以用卖出区S和延迟区D来描述，即S={（t，S）∈ [0，T]×R+：Lα（T，s）=0}，（2.8）D={（T，s）∈ [0，T]×R+：Lα（T，s）>0}。（2.9）我们的框架可以很容易地应用于购买期权的最佳时机的反向问题。这相当于在Lα中将sup改为inf。在本文中，我们将重点讨论液体问题。2.1最优清算溢价分析2.1。考虑到（2.1）中的基础价格动态，最优清算溢价决定了概率表示α（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） Gα（u，Su）du, （2.10）其中我们表示α（t，s）：=u（t，s）- RsVs（t，s）- αψ（m）- V（t，s））+. （2.11）证据。将伊藤公式应用于（2.3）中的市场价格，我们得到了sne-r（τ）-t） V（τ，Sτ）o- V（t，s）=Et，sZτte-r（u）-（t）u（u，Su）- RSUV（u，Su）du.将其代入（2.6）中的最优清算溢价，给定slα（t，s）=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-（t）u（u，Su）- RSUV（u，Su）- αψ（（m）- V（u，Su））+）|{z}=Gα（u，Su）in（2.11）du.我们在（2.11）中称Gα（t，s）为驱动函数。我们观察到这取决于三角洲≡五、sof选项和惩罚系数α减少了每个（t，s）的驱动函数。通过研究驱动函数，可以推导出最优清算溢价Lα的许多性质。提议2.2。让我们∈ [0，T]是当前时间。如果驱动函数Gα（u，s）为正，（美国）∈ [t，t]×R+，则在到期时出售是最优的，即τ*= T

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kedemingshi

2022-5-7 10:26:01

如果驱动函数gα（u，s）为负，（美国）∈ [t，t]×R+，则最好立即出售，即τ*= t、证据。我们从（2.10）中的积分观察到，如果驱动函数Gα为正（分别为负），（美国）∈ [t，t]×R+，然后我们可以通过选择最大（或最小）的停止时间，即τ来最大化期望*= T（分别为τ）*= t）。特别是，如果Vs（t，s）和（u（t，s）- r）有不同的迹象（t，s），那么驱动函数gα总是负的，所以最好立即卖出。如果我们设置T=∞. 一般来说，延迟区域s总是包含驱动函数为正的区域，即{Gα>0} {Lα>0}，（2.12）参见例如（Oksendal and Sulem，2005年，公关作品2.3）。直观地说，这意味着如果G（t，s）>0，投资者不应该立即卖出，因为可以通过等待极小的时间来获得增量正的极小溢价。此外，我们还可以从（2.10）中推断出基于提取函数的最优清算溢价的排序。推论2.3。考虑两个选项A和B，以及两个惩罚系数αA和αB。如果A的驱动函数支配B的驱动函数，即GαAA（t，s）≥ GαBB（t，s），（t，s）∈[0，T]×R+，则A，LαAA的最优清算溢价支配B，LαBB（T，s），即LαAA（T，s）≥ LαBB（t，s），（t，s）∈ [0，T]×R+。由此推论，我们可以比较不同处罚的清算时间。例如，对于0≤ α≤ α、我们有Gα（t，s）≥ Gα（t，s）表示相同的选项。由（2.7）和推论2.3可知，惩罚α的最优清算时间晚于惩罚α的最优清算时间。一般来说，根据潜在的动态和期权支付，可能会出现各种延迟和卖出区域。

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2022-5-7 10:26:04

接下来，我们给出了延迟区域有界的充分条件。定理2.4。让T<∞ 时间是同质的。然后，延迟区域是有界的，前提是（i）c>0 s.t.Gα（t，s）<c每（t，s）∈ [0，T]×R+；存在常数b，k>0，使得Gα（t，s）<-[0，T]×k中的b，∞).证据Ste P1。我们发现了一个主导Lα（t，s）的函数BL（t，s），并且在两个方向上都在下降。为此，我们定义了Gα（s）：=max{Gα（t，ξ）：（t，ξ）∈ [0，T]×s，∞)},bL（t，s）：=supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） bGα（Su）du，.通过构造bgα：[0，T]×R+→ R在t中是常数，在s中是递减的。它也满足条件（i）和（ii）。因此，利用S的时间均匀性，我们得到，对于t>t′，bL（t，S）=supτ∈T0，T-tE0，sZτe-rubGα（Su）du≤ supτ∈T0，T-t\'E0，sZτe-rubGα（Su）du=bL（t′，s）。因此，bL（t，s）在t中减少。此外，由于bgα在s中减少，我们有，对于s′>s，bL（t，s′）=supτ∈Tt，TEt，s′Zτte-r（u）-t） bGα（Su）du= supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） bGα（Su+s′）- s）杜≤ supτ∈Tt，TEt，sZτte-r（u）-t） bGα（Su）du=bL（t，s）。因此，bL（t，s）在s中也在减少。由于定义BGα支配Gα，推论2.3 imp表明，只要bL（t，s）有界支撑，Lα（t，s）就有界支撑。从今以后，我们可以在不失去普遍性的情况下，假设Lα在变量t和s中都是递减的，并且Gα是时间齐次的，在s中是递减的。特别地，我们表示Gα（s）≡ Gα（t，s）。第二步。我们证明，对于每t>0，就有e xi sts^s<∞ 因此，对于所有>^s的情况，Lα（t，s）=0。由于Lα（t，s）在减少，因此可以证明不存在^t∈ （0，T]s.T.Lα（T，s）>0表示0≤ T≤^t和s∈ R+。为此，让我们假设这样一个时间并不存在。换句话说，τ*= inf{t≤ U≤ T:L（u，Su）=0}>。修正t∈ [0，^t）.条件（ii）表示存在k s.t.Gα（s）<-b<0英寸[k，∞).

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能者818

2022-5-7 10:26:07

对于s>k，我们让τk:=inf{u≥ t:苏≤ k} 。由于S有连续路径，我们有τk>t.definek（t，S）：=crEt，sne-r（τk）-t） {τk≤τ*}o- Et，s（bZτ）*∧τkte-r（u）-t）杜克瑞-r（τk）-t） {τk≤τ*}o- B1.- Et，sne-r（τ）*∧τk-t） o, （2.13）其中c是条件（i）中Gα的上界。下一步，采取行动↑ ∞ 得到Pt，s（τk≤ （T）↓ 0，而Et，sE-r（τ）*∧τk-（t）< E-r（^t）-t）自τ*>因此，我们得到β（t，s）：=c Pt，s（τk）≤ τ*)r（1）- Et，sE-r（τ）*∧τk-（t）)→ 0.因此，对于足够大的s>k，我们得到b≥ β（t，s），这意味着K（t，s）≤ 0（见（2.13））。接下来我们考虑差异α（t，s）- K（t，s）≤ Et，s（Zτ）*τ*∧τke-r（u）-t） Gα（Su）du-cre-r（τk）-t） {τk≤τ*})≤ ertEt，sncr（e）-rτ*∧τk- E-rτ*) -cre-rτk{τ*≤τk}o=-塞特雷特，斯内-rτ*{τk≤τ*}o≤ 这意味着Lα（t，s）≤ K（t，s）≤ 这与假设Lα（t，s）>0相矛盾。第三步。它仍然需要在时间0时显示^s>0，使得Lα（0，s）=0，对于每一个s>^s∈ [0，T]并考虑每个T∈ [0，T+^T]最优停止问题lα（T，s）：=supτ∈Tt，T+^tEt，sZτte-r（u）-t） Gα（Su）du.S的时间均匀性产生Lα（^t，S）=Lα（0，S）。现在我们应用步骤2，并得出结论，存在^s>0，使得对于每一个s>^s，lα（^t，s）=0。因此，延迟区域是有界的。我们注意到定理2.4的陈述和证明不涉及损失函数的性质。换句话说，只要得到的驱动函数满足条件（i）和（ii），延迟区域是有界的。我们注意到，如果延迟区域是有界的，那么存在一个常数，使得{Lα>0} [0，T]×（0，\'s）。

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2022-5-7 10:26:17

在接下来的章节中讨论清算策略时，我们将重复使用定理2.4。2.2 GBM和指数OU的应用今后，我们将从分析和数值上研究以下情况下的最佳清算时间：（i）u（t，s）=u和σ（t，s）=σ>0的几何布朗运动（GBM）模型，以及（ii）u（t，s）=β（θ）的指数OU模型- log（s））和σ（t，s）=σ>0。我们将研究股票、欧洲看跌期权和看涨期权的清算时机。对于GBM和指数OU情况，风险中性度量Q由（2.2）唯一定义，且满足诺维科夫条件（见附录A）。此外，S的Q动态是一个带漂移r的GBM，而一个执行K和到期时间T的看涨期权和看跌期权的无套利价格（见2.3）由C（T，S）=SΦ（d）给出- 柯-r（T）-t） Φ（d）和P（t，s）=Ke-r（T）-t） Φ(-d）- sΦ(-d），（2.14），其中Φ是标准的正常c.d.f。and d=log（sK）+（r+σ）（T- t） σ√T- t、 d=d- σ√T- t、为了数值计算非平凡清算策略，我们求解了formmin的变量不等式（VI）- Lαt- u（t，s）s Lαs-σ（t，s）sLαss+rLα- Gα，Lα= 0，（2.15），终端条件Lα（T，s）=0，其中（T，s）∈ [0，T）×R+。在第7节中，我们展示了上述VI在包括GBM和指数OU情况（见定理7.2）的条件下，在Bensoussan和Lions（1978）的术语中允许一个唯一的强解。为了实现，我们对有限（离散化）网格D=[smin，smax]×[0，T]上的VI（2.15）采用C秩Nicholson方案。我们参考Glowinski（Glowinski，1984年，第3章）的书，了解求解抛物线型非均匀VIs的数值方法。3以GBM为基础的最佳清算我们从GBM模型下的第一个示例开始。

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2022-5-7 10:26:20

考虑到P位置2。2.我们观察到，如果≤ r、无论我们是否引入风险惩罚，持有股票或看涨期权（或通常任何正三角洲头寸）都是最佳选择。另一方面，命题2.2也意味着，如果u>r且α=0，则延迟总是最佳的。然而，对于非零风险惩罚（α>0），解决方案可以是非平凡的。为了了解这一点，我们注意到与调用相关的驱动函数由GαCal l（t，s）=（u）给出- r） sCs- αψ（（m）-C（t，s））+），其中C（t，s）是（2.14）中的买入价。特别是，惩罚项是严格正的，当s=0且在减小时，它会消失。另一方面，第一项（u- r） s=0时，sCsis严格从零开始增加。这意味着存在一个价格水平^s，使得gαCal l（t，s）在[0，t]×[^s]中为正，∞). 反过来，从（2.12）可以看出，销售区域必须是有界的（可能是空的），延迟区域是无界的。同样的论点也适用于有股票的案例。图2说明了这一点。接下来，我们考虑看跌期权的清算。回想一下（2.14）中给出的put p rice p（t，s）。它的负增量意味着≥ r驱动函数GαP ut（t，s）≤ 0, （t，s），这意味着根据提案2.2立即出售是最佳选择。相比之下，当u<r时，如果α=0，则销售区域为空，但在风险惩罚下，最优策略可能并非微不足道。提议3.1。考虑在u<r且α>0的GBM模型下看跌期权的最优清算。然后，延迟区域是有界的。

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2022-5-7 10:26:24

此外，如果m<K且^t∈ [0，T]使得αψ′（m- P（^t，0））+<r- u.0.1 0.2 0.3 0.4 0.5101520253035404550timestock价格清算边界G=0卖出区域<0延迟区域>00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.510203040506070时间股价清算边界G=0卖出区域<0延迟区域>0图2：股票（左面板）和看涨期权（右面板）的最佳清算边界（实线）和Gα（虚线）的z ero轮廓。我们取T=0.5，r=0.03，u=0.08，σ=0.3，K=50，α=0.1。T heloss函数由ψ给出(l) = l, 股票的基准为m=50，调用的基准为m=C（0，K）。证据p ut Gα的驱动函数≡ GαP ut（t，s）=（r- u）sΦ(-d）- αψ（（m）- P（t，s））+）满意度→0Gα（t，s）=-αψ（（m）- K） +）≤ 0，（3.1）lims→∞Gα（t，s）=-αψ（m）<0，（3.2）Gαs（t，s）=[r- u - αψ′（m）- P（t，s））+）11{m>P（t，s）}]Φ(-d）- （r）- u）sΓ，（3.3）其中=Ps≥ 0.反过来，我们将任何^b∈ （0，αψ（m））和定义ψ(l) := min{ψ(l),^b}。这意味着不等式gα（t，s）：=（r- u）sΦ(-d）- αψ（（m）- P（t，s））+）≥ Gα（t，s）。然后通过推论2.3，我们只需要证明gα满足定理2.4的假设。我们观察到gα在上面是有界的，从（3.2）可以看出lims→∞Gα（t，s）→ -每t的α^b<0∈ [0，T]。此外，存在^s>0，使得对于每一个s>^s，ψ（（m- 因此，我们有Gαt=（u）- r） sφ（d）对数（sK）- （r+σ）（T）- t） 2σ（t）- （t）≤ 0，对于s>max{^s，kexp（（r+σ/2）T）}和T∈ [0，T]。SinceGα（0，s）→ -α^b as s→ -∞, 我们可以选择b∈ （0，α^b）使k>max{^s，kexp（（r+σ/2）T）}和-[0，t]×[k]中的b>G（0，s）>G（t，s），∞). 因此，G满足定理2.4的假设。最后，假设^t∈ [0，T]使得αψ′（m- P（^t，0））+<r- u，其中m<K。

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2022-5-7 10:26:27

由（3.1）和（3.3）可知，Gα（^t，0）=0和Gαs（^t，0）>0，因此集合{Gα>0}是非空的。反过来，包含（2.12）意味着延迟区域也是非空的。备注3.2。例如，如果αψ′（m- P（t，0））+）≥ R- u > 0, T∈[0，T]。事实上，因为我们有Gα（t，0）≤ 0和Gαs（t，0）≤ 0, T∈ [0，T]，Gα不能严格为正。根据提议2.2，立即出售是最佳选择。命题3.1如图3所示。在这些例子中，延迟区域是非空的，而s区是无界的，但可以断开连接（图3（右））。例如，当每t的Gα（t，0）<0时，就会出现这种情况∈ [0，T]，但mintmax Gα（T，s）>0。对于连接的s ell区域的直觉如下。如果看跌期权深入到货币中（即当STI接近于零时），其市场价格的上涨空间非常有限，因为它在Ke之上-r（T）-t）。同时，进一步推迟销售将招致罚款。因此，当惩罚系数α较高时，最好以较低的股价水平出售。另一方面，如果资金的投入很深（即当STI非常高时），市场价格和投入的增量接近于零，这意味着DRIVE函数变得更负，并且立即等时卖出。0.1 0.2 0.3 0.4 0.5304050607080901000时间库存价格清算边界G=0延迟区域>0销售区域<0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1001020304050607080timestock价格清算边界G=0Delay RegionG>0Sell RegionG<0Sell RegionG<0图3：具有服务水平s函数ψ的GBM动态下看跌期权的最佳清算边界（实心）和Gα的零轮廓（虚线）(l) = l. 我们取m=2K，α=0.001（左图），m=P（0，K），α=0.01（右图）。

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2022-5-7 10:26:30

参数：T=0.5，r=0.03，u=0.02，σ=0.3，K=50。对于看涨期权和看跌期权中的多头头寸，Delta CST会发出恒量信号。作为具有非常数符号的三角形的导数的一个例子，我们考虑一个长跨距。这是一个结合了看涨期权和看跌期权的履约价格≤ 分别地和同样的成熟。跨骑的力量由hST D（ST）：=（ST）给出- K） ++（K）- ST）+。用CST D表示的长股票的市场价格只是相应的Black Scholescall和卖出价格之和，即CST D（t，s）=C（t，s）+P（t，s）。为了简单起见，我们设置了K=K=K。命题3.3。对于GBM模型下的长跨仓位的最佳清算，可以得出以下结论：（i）如果u=r，延迟区域必须为空；（ii）如果u>r，则延迟区域是无界的；（iii）如果u<r，则延迟区域有界。证据跨骑的重心是Gαstd（t，s）=（u- r） sCST Ds（t，s）- αψ（（m）-CST D（t，s））+）。对于u=r，结论紧接着是P位置2.2。如果μ>r，我们只注意到gαstd（t，s）→ ∞ 作为s→ ∞ 每一个t∈ [0，T]，该断言源自包含（2.12）。现在假设u<r。我们将证明Gα满足定理2.4的假设。显然，GαST在上面显示。自CST D（t，s）以来→ ∞ 作为s→ ∞ 每一个t∈ [0，T]，则存在^s>0，对于每个s>^s和T∈ [0，T]，ψ（（m）- CST D（t，s））+）=0。此外，fors>max{^s，K exp（r+σ/2）T}, 我们有Φ（d）t=φ（d）对数（sK）- （r+σ）（T）- t） 2σ（t）- t） >0，因此Gαstdt（t，s）=2（u- r） sΦ（d）T≤ 这意味着Gαstd（0，s）≥ 每t的Gαstd（t，s）∈ [0，T]。自Gαstd（0，s）→ -∞ 作为s→ ∞, 对于固定的b>0，存在kb>0，使得GαST D（0，s）<-b每一个s≥ kb。

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2022-5-7 10:26:34

因此，s ettingk=max{^s，K exp（r+σ/2）T, kb}，我们有Gαstd（t，s）≤ Gαstd（0，s）<-[0，T]×k中的b，∞).因此，定理2.4的假设是满足的，我们得出结论。特别是，命题3.3表明，当u<r时，销售区域是无约束的，即使α=0。在图4中，我们举例说明了案例（ii）和（iii）的最佳清算边界。当投资者看涨（左面板：u=0.08>0.03=r）时，清算边界增加，延迟区域位于卖出区域的顶部。有趣的是，当投资者看跌时（右图：u=0.02<0.03=r）。0.1 0.2 0.3 0.4 0.52530354045505566570timestock价格清算边界G=0G<0卖出区域>0延迟区域0.1 0.2 0.3 0.4 0.5253035404550566570timestock价格清算边界G=0延迟区域>0卖出区域<0图4：最佳清算边界和Gα的零轮廓在损失函数为ψ的GBM模型下(l) = l. 我们设置K=50，m=CST D（0，K），α=0.1，r=0.03，u=0.08（左面板）和u=0.02（右面板）。本节结束时，我们将讨论具有有限层位（T=∞). 这导致了以下静态最优停止问题l（s）=s upτ∈TEsZτe-ruGα（Su）du. （3.4）式中Gα=-r） s-αψ（（m）-s） +）T是F停止时间的集合，取[0，∞].什么时候≤ r、根据命题2.2，立即销售是最优的，对于不成熟的情况也是如此。事实证明，当u>r时，清算问题有相反的平凡解，也就是说，永远持有是最优的。提议3.4。如果u>r，则（3.4）中的值函数L（s）是有限的，并且是出售股票的最佳选择。证据考虑一个候选停止时间τ=∞.

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2022-5-7 10:26:38

然后，通过应用托内利的定理，我们得到了Z∞E-ruGα（Su）du= 锿Z∞E-ru（u）- r）宿都- αZ∞E-ruψ（（m）- 苏）+）杜=Z∞e（u）-r） u（u）- r） sdu- αZ∞E-后悔ψ（（m）- Su）+）杜≥Z∞e（u）-r） u（u）- r） sdu- αZ∞E-ruψ（m）du=∞,因为u>r和ψ在增加。因此，L（s）=∞ 而且，销售从来都不是最佳选择。4指数OU下的最优清算在指数OU模型中，股票价格满足SDEdSt=β（θ- log St）Stdt+σStdWt，（4.1）带θ∈ R和β，σ>0。因此，最优清算溢价L（t，s）由方程（2.10）给出，驱动函数gα（t，s）=[β（θ- 日志（s））- r] sVs（t，s）- αψ（（m）- V（t，s））+，（4.2），其中V（t，s）是（2.3）中的一般期权价格。与GBM的情况相比，在没有惩罚的情况下，最优清算策略现在对于股票或期权而言是非常重要的。更一般地说，我们可以证明延迟区域实际上是有界的。直觉应该是明确的：当STI非常高时，预计它将恢复到其长期平均值，以便以适当的方式销售imm成为最佳选择。提议4.1。在指数OU模型下，呼叫的延迟区域是有界的。证据调用的驱动函数GαCal lf由（4.2）给出，其中V（t，s）=C（t，s）（调用价格见（2.14））。它在上面有界，因此它满足定理（2.4）的条件（i）。众所周知，p rice是一种令人满意的产品C（t，s）T≤ 0.此外，β（θ-日志（s））-R≤ 0 i fffs≥ exp（θ）-rβ），以及Φ（d）T≥ 0代表s≥ K exp（r+σ/2）T. 反过来，我们有GαCal lt（t，s）=[β（θ）- 日志（s））- r] sΦ（d）t+αC（t，s）tψ′（m）- C（t，s））+）11{m>C（t，s）}≤ 0，对于s>max{exp（θ-rβ），K exp（r+σ/2）T} 和t∈ [0，T]。这意味着GαCal l（0，s）≥ GαCal l（t，s）。修正b>0。自GαCal l（0，s）→ -∞, kb>0标准温度。，s>kb，GαCal l（0，s）<-B

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能者818

2022-5-7 10:26:43

因此，如果我们设置k=max{exp（θ-rβ），K exp（r+σ/2）T, kb}，我们保证GαCal l（t，s）≤ GαCal l（0，s）<-bin[0，T]×k，∞), 从而满足定理2.4的条件（ii）。因此，T heorem 2.4应用并给出了呼叫延迟区域的有界性。由于股票可以被视为罢工K=0的看涨期权，因此命题6也适用于股票在特定时间范围内的最优清算。此外，我们注意到延迟区域可能为空，我们可以通过找到驱动函数的最大值来确定这种情况。作为一个例子，我们考虑具有惩罚函数ψ（（m）的股票的情况-St）+=（m-我们得到了不同场景下Gα的最大值=exp（θ）- 1.-R-αβ）如果exp（θ- 1.-R-αβ）<m，exp（θ）- 1.-rβ）如果exp（θ- 1.-rβ）>m，否则为m，以及相应的最大值max Gα=(β - α） ^s- α（m）- s*) 如果^s<m，β^sif^s>m，（β（θ）- 对数（m））- r） m否则，式中^s=exp（θ- 1.-R- αβ），^s=exp（θ）- 1.-rβ）。因此，当且仅当max Gα>0时，延迟区域是非空的。图5显示了α=0（左图）和dα>0（右图）时，库存的最佳液化界限ary。我们注意到，在这两种情况下，最佳策略都是在价格足够高的情况下立即出售。直觉上，如果STI很高，预计将恢复到长期平均水平，因此销售立即成为最佳。然而，如果STI较低，最佳行为取决于参数α。一方面，STI预计会增加，因此投资者应该等待以更好的价格出售（图5，右面板）。另一方面，持有该头寸所产生的风险抵消了该收益（如果使能系数足够高），这促使投资者立即卖出。

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2022-5-7 10:26:47

因此，销售区域断开连接（图5，右面板）。0.1 0.2 0.3 0.4 0.540455056657075808590时间库存价格清算边界G=0延迟区域>0销售区域<0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-20020406080timestock价格清算边界G=0延迟区域>0卖出区域<0卖出区域<0图5：指数动态下股票的清算边界（实心）和Gα的零轮廓（虚线）。参数：T=0.5，r=0.03，θ=log（60），β=4，σ=0.3，ψ(l) = l, α=0（左），α=1.5（右）。图6显示了带有惩罚的看涨期权的延迟区域。在右边的面板中，我们观察到了一些有趣的现象，其中sell区域是连通的，并且包含了nonemptydelay区域。如果参数β（衡量均值回归速度的参数）不够高，期权价格可能没有时间恢复到到期前的长期均值，因此在接近到期时，卖出立即成为最佳。0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-10010203040506070809010Timestock价格清算边界G=0Delay RegionG>0Sell RegionG<0Sell RegionG<00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51520503354045505560 Timestock价格清算边界G=0Delay RegionG>0Sell RegionG<0图6：指数OU动态下通话的清算边界（红色实线）和Gα（虚线）的z e ro轮廓。我们取左面板中的α=0.2，θ=log（60），β=4，右面板中的α=0.001，θ=log（50）和β=0.2，公共参数T=0.5，r=0.03，σ=0.3，ψ(l) = l.提议4.2。对于指数OU模型下的看跌期权的清算，当且仅当ifα>0时，延迟区域是有界的。证据驱动函数由gαP ut（t，s）=[r]给出- β(θ - 对数]sΦ(- d）- αψ（（m）- P（t，s））+，（4.3）如果α=0，那么我们有{GαP ut>0}={s>exp（rβ）- θ)}.

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2022-5-7 10:26:50

根据（2.12），延迟区域包含这个集合，因此它是无界的。现在让α>0，我们有极限→∞GαP ut（t，s）=-αψ（m）<0。（4.4）接下来，我们将∈ （0，αψ（m））和定义ψ(l) := min{ψ(l),^b}。由此，我们得到了gα（t，s）：=[r- β(θ - 对数]sΦ(-d）- αψ（m）- P（t，s））+≥ GαP ut（t，s）。我们观察到gα在（4.4）lims之上和之下有界→∞Gα（t，s）→ -每t的α^b<0∈ [0，T]。此外，存在^s>0，使得对于每一个s>^s，ψ（（m-P（t，s））+）=b。因此，我们有Gαt=（β（θ）- 日志（s））- r） sφ（d）对数（sK）- （r+σ）（T）- t） 2σ（t）- （t）≤ 对于s>max{^s，exp（rβ-θ），kexp（（r+σ/2）T）和T∈ [0，T]。同时，我们注意到gα（0，s）→ - α^bas s→ -∞. 这让我们可以选择一个b∈ （0，α^b），则存在k>max{^s，kexp（（r+σ/2）T）}-b>G（0，s）>G（t，s）in for（t，s）∈ [0，T]×[k，∞). 因此，G满足定理2.4的假设。通过推论2.3，我们得出了延迟区域的有界性。命题4.2如图7所示。当STI较低时，预计将恢复到（较高的）长期均值，卖出价格将下降。这就产生了在较低的股价水平上出售股票的动机。如果α=0，当STI较高时，没有理由卖出，因为看跌期权价格非常低，预计会上升。接着，延迟区域位于销售区域的顶部（图7，左面板）。然而当我们纳入非零风险处罚0.1 0.2 0.3 0.4 0.5404550556657075080TimeStock价格清算边界G=0卖出区域<0延迟区域>00 0.1 0.2 0.3 0.4 0.530354045505560657075808590 TimeStock价格清算边界G=0延迟区域>0卖出区域<0图7：下看跌期权的清算边界（实线）和Gα（虚线）指数OU模型。我们在左面板中取α=0和K=50，在右面板中取α=0.01和K=40。

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2022-5-7 10:26:54

常用参数：T=0.5，r=0.03，σ=0.3，β=4，θ=log（60），ψ(l) = l.这降低了等待的价值。因此，持有人可能会以高股价和低股价出售看跌期权。事实上，如果惩罚系数很大和/或到期时间很短，则在所有股价水平上，最优清算溢价可能为零，从而形成一个空置区域（图7，右图）。5二次惩罚是基于短缺的惩罚的一种变化，我们考虑基于期权价格过程从开始时间到清算时间的实现方差的风险惩罚。准确地说，投资者现在面临着惩罚最优停止问题Jα（t，s）：=supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） V（τ，Sτ）- αZτte-r（u）-t） d[V，V]u= supτ∈Tt，TEt，sE-r（τ）-t） V（τ，Sτ）- αZτte-r（u）-t） σ（u，Su）SUV（u，Su）du,其中[V，V]表示（2.3）中定义的期权价格过程V的二次变化。图8展示了与模拟看涨期权价格路径相关的已实现二次惩罚。与图2.4中的短缺罚金相比，实现的二次罚金始终在增加，即使期权价格高于其初始价格。在（2.6）之后，我们将最优清算溢价定义为Lα（t，s）：=Jα（t，s）- V（t，s）。再次，我们将讨论GBM和d指数模型下的股票或期权清算问题。5.1出售股票的最佳时机我们首先考虑根据永久最优停止问题用GBM动态清算股票：~Lα（s）：=supτ∈TEsZτe-ru~Gα（Su）du, （5.1）0.2 0.4 0.6 0.8 102468101214161820时间通话价格累计二次惩罚图8：基于GBM模型下通话的模拟价格（实数）实现的二次惩罚（虚线），α=0.05。价格路径和其他参数与图1相同。驱动函数为Gα（s）：=（u- r） s- ασs。

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2022-5-7 10:26:59

如果u≤ r、那么，立即出售通常是暂时的，因为Gα总是负值。相反，如果u>r，则我们得到一个非平凡的闭式解。定理5.1。设u>r。式Lα（s）=（s）给出了（5.1）中的值函数Lα（s）*)1.-λ2 - λsλ- s+bs）{s≤ s*}, （5.2）式中B=ασ2u+σ- r、 λ=σσ- u+sσ- u+ 2rσ, （5.3）s*=1.- λ(2 - λ） B，（5.4）和停止时间τ*= inf{t≥ 0:St≥ s*} 最适合（5.1）。证据我们首先证明（5.2）是min的解r∧（s）- us∧′s-σs∧′（s）-~Gα（s）∧（s）= 0，s>0，其中∧（0）=0。为此，我们将R+分成两个区域：D=（0，s）*) D=[s]*, ∞) 和s*> 0待定。我们猜想∧（s）=0在D中，对于s∈ D∧（s）解算sr∧（s）- us∧′s-σs∧′（s）-~Gα（s）=0。（5.5）通过直接替换，方程（5.5）的通解的形式为∧（s）=Csλ+Csλ- s+Bs，其中c-Care常数待定，B在（5.3）中有规定，λk=σσ- u + (-1） ksu -σ+ 2rσ, K∈ {1, 2}.我们在s=0和s=s时应用连续性和平滑粘贴条件*去getlims↓0∧（s）=0=> C=0，lims↑s*∧（s）=0=> C（s）*)λ- s*+ B（s）*)= 0，（5.6）lims↑s*∧′（s）=0=> λC（s）*)λ-1.- 1+2Bs*= 0.（5.7）解方程组（5.6）-（5.7）得到C*如（5.3）-（5.4）所示。我们可以通过替换来验证∧（s）确实是（5.5）的经典解。根据伊藤公式和（5.5），∧（St））t≥0是（P，F）-超鞅，所以对于每个F-停止时间τ和n∈ N、我们有∧（s）≥ E0，sZτ∧氖-ru~Gα（Su）du. （5.8）在τ和n上最大化（5.8）得到∧（s）≥对于s，Lα（s）≥ 0.从概率表示∧（s）=E0，snRτ推导出逆不等式*E-ru~Gα（Su）duo，候选者停止时间τ*:= inf{t≥ 0:St≥ s*}. 因此，我们得出结论∧（s）=Lα（s）和τ*这是最优的。最优清算方法*in（5.4）是非负的当且仅当λ<1，这相当于定理5.1中的条件u>r。

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kedemingshi

2022-5-7 10:27:02

否则，Lα=0，最佳策略是立即出售。在图9中，我们展示了不同u和σ值的最佳清算溢价Lα。随着u的增加，最佳阈值和最佳液化溢价（在所有股价水平下）都会增加（左图）。另一方面，较高的波动性会降低每个初始股价的最优清算溢价。我们还观察到，~Lα（s）sm ooth将0级粘贴在最佳阈值s*, 正如（5.6）和（5.7）所预期的那样。如果S遵循指数OU动力学，则清算stock的驱动函数为Gα（S）=[β（θ- 日志（s））- R- αs]s.（5.9）在这种情况下，我们没有封闭形式的解。然而，我们从fr（5.9）观察到延迟区是非空的，即{Lα>0} {s<~s}，其中s由方程β（θ）唯一确定- 日志（秒）- R- α~s=0。另一方面，由于Gα→ - ∞ 作为s→ ∞, 我们凭直觉预计，投资者会在股价高企时抛售股票。5.2期权的清算我们现在讨论一些数值示例，以演示欧式看涨期权和看跌期权的清算策略。在走向K和成熟度T的情况下，驱动函数分别由GαCal l（T，s）=sΦ（d）给出u - R- ασsΦ（d）, （5.10）~GαP ut（t，s）=sΦ(-d）R- u - ασsΦ(-d）. （5.11）0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1000.20.40.60.811.2股票价格最优清算溢价u=0.09u=0.08u=0.070 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1200.20.40.60.811.21.4股票价格最优清算溢价σ=0.25σ=0.30σ=0.35图9:GB M模型下不同u和σ值的股票的最优清算溢价。在左面板中，我们取r=0.03，σ=0.3和α=0.2，以及清算阈值s*= 对于u=0.09、0.08和0.07，分别为9.37、7.97和6.52。

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2022-5-7 10:27:05

在右面板中，我们取r=0.03、u=0.08和α=0.1，以及液体阈值s*= 对于σ=0.25,0.30,0.35，分别为10.63,7.97,6.26。什么时候≤ 当r和α>0时，驱动函数GαCal l（t，s）对所有（t，s）都是负的，因此最好立即拨打电话。然而，当u>r和α>0时，我们从（5.10）中注意到，当股票价格足够大（或小）时，调用的驱动函数为负（或正）。因此，如图10所示，当股票价格较高时，卖出看涨期权是最佳选择，并且随着惩罚系数的增加，最优清算边界较低。与短球惩罚不同，当股票价格在二次惩罚下较高时，投资者现在会受到更高的惩罚。因此，销售区域现在高于延迟区域，而不是图2（右面板）中短缺情况下的底部。在看跌期权的情况下，我们观察到（5.11）thatlims→0r- u - ασsΦ(-d） =林→∞R- u - ασsΦ(-d） =r- u.因此，当u<r且股价足够大或足够小时，驱动函数是严格正的，最好持有该头寸。相比之下，随着s的增加，短缺收敛到ψ（m）>0（参见（3.2）），这意味着在股价较高时出售是最佳选择（参见图3）。我们在图10（右图）中说明了二次惩罚下的时序策略。正如预期的那样，有一个低延迟区和一个高延迟区，中间由一个卖出区隔开。

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2022-5-7 10:27:09

我们还注意到，随着惩罚系数α的增加，销售区域扩大。在指数OU模型下，卖出看涨期权和看跌期权的驱动函数分别为GαCal l（t，s）=sΦ（d）θ - R- β对数s- ασsΦ（d）,~GαP ut（t，s）=sΦ(-d）R- θ+β对数s- ασsΦ(-d）.在图11中，我们可以看到一个调用（右面板）和一个put（左面板）的最优清算溢价Lα（t，s）。在呼叫情况下，延迟区域是有界的，该区域对应于Lα>0的区域。当s足够高时，~Lα消失，最好卖出。这是直观的sincelims→∞~GαCal l（t，s）=-∞ 对于足够小的s，GαCal lis为正。相比之下，当s<expθ -rβ, 每一个α≥ 0.如图11所示，在此之前，人们预计最佳清算价格将为0.1 0.2 0.3 0.4 0.54045505560657075时间库存价格α=0.01α=0.02α=0.03延迟区域销售区域0.1 0.2 0.3 0.4 0.5-1001020304050607080timestock价格α=0.01α=0.02α=0.03卖出区域卖出区域卖出区域卖出区域图10：GBM模式下不同α值的看涨期权（左面板）和看跌期权（右面板）的清算边界。参数：T=0.5，r=0.03，σ=0.3，K=50，u=0.08（调用）和u=0.02（put）。因此，投资者会在看跌期权价格高的时候卖出。与图7中的空头违约相比，当标的股票价格非常高时，投资者不会卖出。这是因为驱动函数GαP ut（t，s）在大s时保持正值（回忆（2.12））。随着时间接近到期，延迟清算溢价d逐渐变为其价值为零的终止条件。图11：具有指数动力学的看涨期权（左）和看跌期权（右）的最优清算溢价。

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