特别地，我们设定iλ（t，u，v）=ZRa（t，x）λU十、五、x+a（t，x）λ十、U十五dx+ZRR-A.十、-2λaλ十、λuvdx。和你，v∈ H0，λ（R）。根据Evans（1998）第5.9.2章和Bensoussan and Lions（1978）第2.6章，我们定义了由所有强可测函数χ：[0，T]→ X与| |χ| Lp（0，T；X）=ZT | |χ（t）| | pXdt1/p，1≤ p<∞,对于p=∞,||χ| | L∞（0，T；X）=ess sup0≤T≤T | |χ（T）| | X，表示χ∈ L（0，T；X），我们可以∈ L（0，T；X）是χ的弱导数，用ν表示=χt、 ifZTWtχ（t）dt=-ZTw（t）ν（t）dt，W∈ C∞c（[0，T]）。Sobolev空间H（0，T；X）由所有函数χ组成∈ L（0，T；X）使得弱导数存在并属于L（0，T；X）。此外，我们还设置了| |χ| H（0，T；X）=ZT|χ（t）|X+||tχ（t）| | Xdt1/2，（7.4），使H（0，T；X）成为希尔伯特空间（见Evans（1998）中的第5.9.2章）。主要结果。定义7.1。函数u:D→ R是问题（7.3）的强解，如果， 五、∈ Hλ（R），v≥ 0a。e、 ，满足以下条件：U∈ L（0，T；H0，λ（R）），UT∈ L（0，T；Lλ（R）），-U电视- U- Iλ（t；u，v）- u）≤ （g，v）- u） ，u≥ D中的0 a.e.，u（T，x）=0，x∈ R.（7.5）我们将对a、a、g.假设a.a.施加以下条件：，A.坦然A.十、∈ L∞（D） )；而且A.T∈ C（D）；G∈ H（0，T；Lλ（R））。定理7.2。在假设A下，（7.5）中的变分不等式有唯一的强解。证据假设A等同于（Bensoussan and Lions，1978，第3章）的假设（2.223），（2.224），（2.238），（2.239），（2.240），我们也遵循他们的备注2.24使用λ（x）=e-n | x |对于我们定义的Hilbert空间中任意固定的n>0。反过来，我们可以应用他们的Theorem 2.21，我们的声明如下。我们的主要目标是验证我们的应用满足假设A，因此atTheorem 7.2适用于确保VI（2.15）存在唯一的强解。

为了了解这一点，我们首先记录了GBMand指数OU模型下与原木价格Xt=原木（St）相关的操作因素，即A[v]=σ五、x+u五、x、 A[v]=σ五、x+（^θ）- βx）五、x、 因此，a=σ/2是常数，在这两种情况下都是x中的一个函数，因此这些系数满足假设a中的要求。仍需验证驱动函数g（t，x）=g（t，ex）∈ H（0，T；Lλ（R））。鉴于（7.4），我们想证明存在n>0，使得zt | | g（t，x）| | Lλ（R）dt=ZTZRg（t，x）e-n | x|dx-dt和zt||Gt（t，x）|Lλ（R）dt=ZTZRGt（t，x）e-n | x|dx dtare fine，其中g（t，x）=（r- u（t，ex））exVs（t，ex）- αψ（（m）- V（t，ex））+），Gt（t，x）=（r）- u（t，ex））exVts（t，ex）+αψ′（m- V（t，ex））+）Vt（t，ex）11{m>V（t，ex）}。这里，V的下标表示t和s中的偏导数。回忆一下GBM下的漂移函数u（t，ex）=u和u（t，ex）=β（θ）-x） 在指数模型下。我们注意到，在这两种情况下，漂移不依赖于t，所以我们只写u（ex）。此外，我们还观察到ψ和ψ′在增加，而ψ′(l) 是有界的l. 对于看涨期权和看跌期权，都存在正态h，q，h，qsuch | Vs（t，ex）|≤ 1.| Vt（t，ex）|≤ 十六进制+q，|Vst（t，ex）|≤ hex+q。加在一起，这意味着两个模型的时间无关界限：|g（t，x）|≤ |R- u（ex）|ex+αψ（m）=o（e2 | x |）|Gt（t，x）|≤ |R- u（ex）|（hex+q）ex+αψ′（m）（hex+q）=o（e2 | x |）。这意味着通过选择n>4，我们有zt | | g（t，x）| | Lλ（R）dt≤ZT|R- u（ex）|ex+αψ（m）Lλ（R）dt<∞,ZT||Gt（t，x）|Lλ（R）dt≤ZT|R- u（ex）|（hex+q）ex+αψ′（m）（hex+q）Lλ（R）dt<∞.因此，我们得出结论，g∈ GBM和指数OU模型下的看跌期权和看涨期权的H（0，T；Lλ（R）），假设A是满足的。作为最后一点，第。

Bensoussan和Lions（1978）的3.4也提供了VI（7.3）的g解u（t，x）上str的概率表示，给出了u（t，x）=supτ∈Tt，TEt，xZτte-r（u）-t） g（u，徐）杜, （7.6）其中dXu=η（u，Xu）du+κ（u，Xu）dwuan和Xt=x。通过定义L（t，ex）=u（t，x），在（7.6）中的最优停止问题类似于（2.10）中的最优清算溢价。在GBM模型下，夏普比λ=u-rσ是常数，所以Novikov条件是clearlymet。让我们考虑一下典型的OU案例。根据Karatzas和Sh reve（1991）的推论3.5.14，可以证明∈ [0，T]，ε>0 s.t.E经验Zt+εtλ（u，Su）du< ∞. （A.1）利用Jensen不等式和Tonelli定理，我们得到，对于每一个ε>0，E经验Zt+εtλ（u，Su）du≤εZt+εtEneελ（u，Su）odu=εZt+εtEneε{K[θ-对数（Su）]+K+K[θ-log（Su）}odu。对于一些实常数K，K。此外，C au-chy-Schwarz不等式意味着ε{K[θ-对数（Su）]+K+K[θ-log（Su）}o≤量化宽松eε{K[θ-log（Su）]+K}EeεK（θ）-日志（Su））. （A.2）由于log（Su）具有正态分布，因此存在ε>0 s.t.E经验εK[θ- 日志（Su）]+K和E{exp（εK[θ- （A.2）中的log（Su）]）是有限的。因此，条件（A.1）成立。参考文献Almgren，R.F.（2003）。具有非线性影响函数和交易增强风险的最优执行。应用数学金融，10:1-18。Artzner，P.，Delbaen，F.，Eber，J.，和Heath，D.（1999）。一致的风险度量。数学金融，9（3）：203-228。Bensoussan，A.和Lions，J.-L.（1978年）。不等式在控制中的应用。巴黎杜诺德。布罗迪，M.，切尔诺夫，M.，和乔·汉内斯，M.（2009）。了解索引选项检索。金融研究综述，22（11）：4493-4529。Dayanik，S.和Egami，M.（2012）。资产管理的最优停止问题。应用概率的进展，44（3）：655-677。埃文斯，L.C.（1998）。偏微分方程。

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