可存储商品的最优动态采购策略

2022-5-6 19:36:16

具有L’evy价格和凸持有成本的可存储商品的最优动态采购策略*+M.B.Chiarolla*、G.Ferrari**和G.Stabile**Dipartmento di Metodi e Modelli per l\'Economia，il Territorio e e la Fina nza，意大利罗马萨皮恩扎大学**德国比勒菲尔德大学数学经济中心。本文研究了在现货市场交易的商品，其供应购买受价格和需求确定性影响的连续时间随机库存模型。企业的目标是通过最大化总预期利润，在随机时间满足商品的随机需求。我们将企业的最优采购问题建模为一个奇异的随机控制问题，其中控制是不可减损的过程，并表示企业在现货市场的累计投资（所谓的随机“单调幂问题”）。我们假设商品的现货价格是一般的指数L’evy过程，而不是常用的几何布朗运动和一般的凸持有成本。我们获得了实现最优的必要且充分的一阶条件，并根据基本库存流程提供了最优采购政策；也就是说，企业经理在任何时候都必须达到的最低库存水平取决于时间。特别是，在线性持有成本和指数分布需求的情况下，我们还能够得到最优策略的经验解析形式和最优收益的概率表示。本文用计算机绘制了当现货价格由几何布朗运动和指数跳跃微分过程给出时的最优库存图。

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2022-5-6 19:36:19

在第一种情况下，我们还对价值函数和与经典静态“报童”策略相关的收入进行了数值比较。关键词：连续时间库存，列维价格过程，单调跟随问题，最优一阶条件，基本库存水平。MSC2010子项目分类：93E20、60G51、49J40、91B26。*地址：通过德尔卡斯特罗·劳伦齐亚诺（del Castro Laurenziano）与加布里埃尔·斯塔比尔（Gabriele Stabile）通信，地址：意大利罗马萨皮恩萨大学金融区经济研究所，地址：90161 R oma。电子邮件：加布里埃尔。stabile@uniroma1.it.+第一和第三作者感谢萨皮恩扎大学（Sapienza Universit `a di Roma）资助的研究项目“Modelli，Valutazione Gestionel Rischio per i Mercati delle Commodities”。第二作者感谢德国研究基金会（DFG）通过RI1128-4-1赠款提供的财务支持。JEL分类：C02、C61、D92。1导言本文对价格和需求不确定情况下的库存管理政策的相关文献做出了贡献。通常，两种主要的采购机制是现货市场，其特点是交付周期可以忽略不计，以及长期合同，这有助于采购货物以备将来使用，并且在交付前不支付任何款项。近年来，现货市场在采购决策中的作用已变得突出。这也归因于在线现货市场的兴起，如存储芯片、化学品、能源等（见Seifert、Thonemann和Hausman，2004）。因此，相关文献对现货市场的数学模型及其在采购决策中的作用越来越感兴趣（见Bencherouf，2007；Guo，Kaminsky，Tomecek和Yuen，2011；Sato和Sawaki，2010等）。

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2022-5-6 19:36:23

例如，在小李（2009）和辛加（Xinga）、王波（Wangb）和刘（2012）中，企业对企业（B2B）市场获得了最佳采购策略。Bencherouf（2007年）、Sato和Sawaki（2010年）在脉冲控制的设置下研究了库存模型的最优补充策略，该库存模型在有限的计划期内使总预期贴现成本最小化。在Bench er ou f（2007）中，需求是由带漂移的布朗运动驱动的，而在Sato和Sawaki（2010）中，需求是确定的，商品的市场价格遵循几何布朗运动。inGuo等人（2011年）发现了一个属于奇异随机控制问题类的模型（即，控制是购买/出售商品的累积量，并且对于Lebesgue测度，它们可能是时间函数的奇异）。在那里，作者研究了在随机时间间隔结束时面临随机需求的企业的库存问题。公司可以在需求时间之前的任何时刻在现货市场购买或出售商品。在现货市场上交易商品可以以几何布朗运动的价格立即交货。该公司的目标是在线性持有和短缺成本下最大化总净预期利润。持有成本是由于库存储存，而短缺成本是在需求超过可用库存时产生的。事实上，在这种情况下，公司因无法满足需求而损失收入，并因声誉下降而损失未来业务。另一方面，在终端时间可能会有过剩的库存。可以通过打折出售等方式，以可能低于购买价格的价格打捞。

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2022-5-6 19:36:26

研究表明，现货市场可以用来对冲供应成本和需求价格的不确定性，尽管在经典文献中，当需求超过库存水平时，企业通常会进入现货市场。在本文中，我们基本上采用了郭等人（2011）的设置，但我们采用指数价格和凸持有成本，并且我们假设商品以指数速率随时间恶化。然而，我们不允许销售，也没有inventorylevel的限制。我们的控制问题是一个所谓的“单调跟随者问题”，因为销售是不允许的，控制过程代表了企业购买商品的累计数量。我们通过指数L’evy过程对商品现货价格P进行建模，以考虑到这样一个事实：从经验来看，市场是非高斯的，但它表现出显著的偏度和峰度。因此，我们放弃了正态分布增量的假设，同时保持了方便的马尔可夫结构。我们的设置还包括ju-mp过程（如泊松过程）或跳跃扩散过程，当然还有文献中通常假设的布朗过程。正如郭等人（2011年）所述，我们将随机需求D完全描述为具有有限平均值的一般绝对连续分布函数FD，随机需求时间呈指数分布，我们假设e D和Θ均不依赖于价格过程。这种独立性允许将企业的问题改写为具有有限时间范围的等价单调跟随者问题（关于单音跟随者问题的一些经典参考文献有Karatzas，1981；Karatzas，1983；Karatzas，&Shreve，1984；ElKaroui&Karatzas，1991）。我们利用问题的凹性和Koml\'os定理的适当版本（参见。

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2022-5-6 19:36:29

卡巴诺夫，1999年）。因此，我们通过一系列必要且有效的一阶条件来描述它，这些条件类似于班坎德·里德尔（2001）、班坎德·里德尔（2005）、奇亚罗拉、法拉利和里德尔（2013）、法拉利（2015）、里德兰·苏（2011）和斯特格（2012）等。这种条件可以被认为是经典库恩-塔克条件的有限维随机推广。它们代表了替代汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方法的avalid替代方案，尤其是在非马尔可夫环境中。我们证明了最优策略要求库存保持在基本库存水平以上l*t、每次都是t.这个过程l*表示无法将商品购买延迟到未来任何时间的最大库存水平，因此它是一系列最优停止问题的特征（参见Bank&F¨ollmer，2002，了解与Gittins指数在连续时间内的关系）。当公司的库存水平严格高于l*t、等待是最好的时机，因为此时企业面临库存过剩。另一方面，当库存低于l*t、然后，企业应该立即进行投资，以达到这一水平l*t、因此，正如在单调跟随问题中所预期的那样，最优库存策略表现为（随机）移动边界上Skorohod反射问题的解l*. 从库存理论的角度来看，这种最优策略的结构是非常自然的（例如，见Porteus，1990），在其他情况下也是众所周知的。例如，参见耐用品模型（参见银行和里德尔，2003年）、不可逆投资模型（参见Chiarolla和Hausman n，2009年；里德尔和苏，2011年）和记忆消费模型（参见银行和里德尔，2001年）。

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2022-5-6 19:36:32

我们指出，我们模型中的p参数有一个特定条件，根据该条件，最优采购政策包括完全不投资，无论选择什么随机需求和凸持有成本函数（见下面的命题5.3）。第6节给出了线性持有成本和指数分布需求下最优投资政策的显式形式。根据Bank和El Karoui（2004）的精神，通过求解一个倒向随机方程来确定基本库存水平，如预期的那样，它与价格有关。此外，在这种情况下，我们提供了值函数的概率表示。如果现货价格由几何涨落或指数跳跃扩散过程给出，我们用计算机绘制最优库存水平。最后，我们对经典的“NewsVendor”模型的修正版本相关的收入进行了数值比较，在该模型中，商品仅在初始时间购买一次，在几何布朗运动价格的情况下，我们的模型的价值函数也进行了比较。结果表明，我们的最优库存策略，在整个给定的时间间隔内动态行动，提供了比最优静态报童策略更高的收入。此外，价格波动性的增加使得两种收入之间的差异增加。因此，虽然当商品价格波动较大时，企业可能更喜欢长期合同，但我们的结果表明，为了增加收入，商品必须在现货市场上动态采购。这篇论文的结构如下。在第2节中，我们设定了企业的最优采购问题，在第3节中，我们导出了一个等价的凹奇异随机控制问题。

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2022-5-6 19:36:36

在第4节中，我们证明了最优采购策略的存在性，在第5节中，我们得到了最优采购策略的一个特征。最后，第6节包含一些明确的例子和计算机绘图。2问题公式考虑企业选择单一商品的动态采购政策，以在规定的未来随机时间满足随机需求。每满足一个单位的需求就会产生利润，这取决于时间Θ，PΘ的现货价格。随时∈ [0，Θ）企业可以不断增加库存，但不能在终端时间Θ购买库存以满足需求。如果时间Θ的库存低于需求，则企业将产生与PΘ成比例的运输成本。另一方面，当时间Θ的库存超过需求时，过剩的库存将通过在现货市场以αsPΘ的价格出售来回收一些0<αs≤ 1.与采购政策相关的成本是在现货市场购买商品所产生的订购成本，以及及时储存商品的持有成本。将模型引入一个完全概率空间(Ohm, G、 Q）并将需求时间Θ设为正G-可测随机变量。考虑一个s pot市场，商品可以随时交易∈ [0，Θ）在这里{Pt，t≥ 0}是一个关于(Ohm, G、 Q）和{Ft，t≥ 0}是Pt生成的过滤。我们假设了通常的完整性和右连续性假设。定义2.1。价格过程Pt具有以下指数L′evy结构Pt=eδt-ζXt-π(-ζ） t，t≥ 0，（2.1）式中δ，ζ∈ R、 X是一个马尔可夫过程，X=0，右连续样本路径，平稳、独立增量，且所有ζ的有限拉普拉斯指数π（·）由[eζXt]=eπ（ζ）t给定∈ R和t>0。常数δ可以被视为利率，而ζ可以被视为风险的市场价格。备注2.2.1。

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2022-5-6 19:36:39

在考虑结构（2.1）时，没有失去一般性，因为常用的价格动力学可以通过X的拉普拉斯变换调整δ，以形式（2.1）进行转换。这种结构（2.1）通常出现在受马尔可夫不确定性过程X影响的金融市场中（见杜菲，1992年，第6章，关于布朗环境的讨论）。不确定性过程X比文献中通常假设的布朗过程更一般。实际上，我们放弃了正态分布增量的假设，同时保持了方便的马尔可夫结构。我们的设置还包括跳跃过程的情况，如泊松过程，或ju mp Diff u si on过程（见第6节），以及通过设置ζ=0获得的确定性情况。对于正的、G-可测量的随机变量Θ和D，我们做出以下假设（另请参见Guo等人，2011年，第3.1节）。Θ独立于过滤{Ft}和D.2。Θ呈指数分布，速率λ>0.3。D独立于Θ和{Ft}，其分布FD（y）=Q（D≤ y）与密度fD（y）=F′D（y）绝对连续。此外，E[D]<∞.特别是假设2.3，第2点意味着平均需求时间为1/λ。我们用r>0表示公司的经理折扣系数，并假设公司的存货yy，ν为以下动态dYy，νt=-εYy，νtdt+dνt，t>0，Yy，ν=y，（2.2），其中ε≥ 0是商品劣化率，y≥ 0是初始库存量，ν是截至时间t的累计商品购买量。事实上，我们取ν∈ A，其中A:=nν：Ohm ×R+→ R+不减损，左连续，{Ft}s。t、那么（2.2）的显式解是yy，νt=e-εt[y+νt]，t≥ 0，（2.3）带νt:=Z[0，t）eεsdνs，t≥ 0.（2.4）映射A ν 7→ν ∈ 由（2.4）定义的定义是一对一的。

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2022-5-6 19:36:43

ν的左连续性捕获了在时间Θ时不能购买任何商品的限制。ν是{Ft}自适应的这一事实保证了任何投资决策都是在时间t之前的p-rice过程的所有信息的基础上做出的。需求时间Θ的净收益函数由pΘG（Yy，νΘ，D）给出，其中“收益乘数”G由G（y，D）定义：=αmin{y，D}- αp[D- y] ++αs[y- D] +，（2.5）对于任何库存水平y≥ 0.注意[D]- Yy，νΘ]+表示时间Θ和αp时的不满足需求量≥ 0是一个惩罚因子。类似地[Yy，νΘ- D] +是指根据系数αs，现货市场以可能低于PΘ的价格结算时的库存过剩量∈ （0，1）。最后，α≥ 1代表满足需求量的溢价系数。请注意α+αp- αs≥ 0.在时间t增加库存的成本∈ [0，Θ）按数量dνtis Ptdνt，其中在最小时间间隔（t，t+dt）内持有存货的成本 [0，Θ）是c（Yy，νt）dt。因此，对于任何可接受的采购政策，企业的总预期贴现收益为j（y，ν）=需求时的净预期贴现收益Θ- 预期贴现持有成本总额- 总预期订购成本；也就是说，J（y，ν）=EE-rΘPΘG（Yy，ν，D）-ZΘe-rtc（Yy，νt）dt-Z[0，Θ）e-rtPtdνt. （2.6）以下长期假设应贯穿于假设2.4。持有成本函数c:R+→ R+是凸的，严格递增，与c（0）=0和Z连续可微分∞E-rtc′（ye）-εt）dt<∞, 对任何人来说≥ 0.（2.7）备注2.5.1。请注意，要求c（0）=0没有失去一般性，因为如果c（0）=K>0，则可以始终设置^c（y）：=c（y）- c（0）并写入c（y）=^c（y）+K，这样企业的优化问题（参见下面的（2.13））在加性常数之前保持不变。2.

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2022-5-6 19:36:47

c（·）与c（0）=0的凸性意味着c（y）≤ yc′（y）表示任何y≥ 0，因此∞E-rtc（ye）-εt）dt≤ yZ∞E-（r+ε）tc′（ye-εt）dt<∞, （2.8）其中（2.8）中最后一项的完整性是由于（2.7）。满足假设2.4的成本函数的自然例子是c（x）=βx或c（x）=βx，对于β，β>0.4。在适当的进一步条件下，One还可以允许现货市场的比例交易成本，即每购买一单位商品的成本K>0。该公司的目标是选择采购政策，以最大限度地提高预期总折扣回报率（2.6）。对于问题的适定性，需要一些可积条件。事实上，我们定义了可接受的采购策略集：=nν∈ A:嗯∞E-βtPtνtdti<∞o（2.9），β：=r+ε+λ。（2.10）现在根据ν（参见（2.4）和（2.3）），我们可以重写（2.6）asJ（y，ν）=eJ（y，ν）=EE-rΘPΘG（e）-εΘ（y+νΘ），D）-Z[0，Θ）e-（r+ε）tPtdνt-ZΘe-rtc（e）-εt（dt+νy）, （2.11）通过计算D，Θ和P的独立性（参见假设2.3），我们得到了ej（y，ν）=EZ∞λe-（r+λ）tPtZ∞G（e）-εt（y+νt），z）fD（z）dzdt-Z[0，∞)E-（r+λ+ε）tPtdνt-Z∞E-（r+λ）tc（e）-εt（y+νt））dt. （2.12）因此，企业的优化问题是v（y）=supν∈SeJ（y，ν），y≥ 0.（2.13）从数学角度来看，问题（2.13）属于mon-otone-follower类型的奇异随机控制问题（参见一些经典参考文献的介绍），这允许控制可能是奇异的（作为时间的函数），特别是勒贝格测度。如果性能标准是凹（或凸）的，则众所周知，最优控制策略包括将状态过程保持在或高于某个阈值。在mathematicalterms中，最优控制是移动边界上斯科罗霍德反射问题的解决方案（见El Karoui&Karatzas，1991；Karatzas，1981；Karatzas，1983；Karatzas&Shreve，1984）。

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2022-5-6 19:36:51

问题（2.13）可以用一个新的函数来描述，这个函数很容易检查凹度。这是在下一节中完成的（见下文第3.9条）。3一个等效的集中优化问题由于“收入乘数”G有一个奇点（即一个不可微分的点），我们倾向于切换到一个更规则的函数。事实上，我们借用了郭等人（2011）的一些观点和论点，重写了（2.12）中的函数。定义随机字段Γ：Ohm ×R+×R+→ RΓ（ω，t，y）：=e-（r+λ）thλPt（ω）H（e）-εty）- c（e）-εty）i，（3.1）与函数H:R+→ 由h（y）给出的R:=αsy- （αp- αs）Z∞yzfD（z）dz+（α+αp- αs）y（1）- FD（y））+αZyzfD（z）dz，（3.2）或等效的yh（y）=αsy+αE[D]- （α+αp）- αs）Z∞y（z）- y） fD（z）dz。（3.3）以下引理表明，在y.引理3.1中，Γ是连续可微且凹的。以下性质保持不变：（i）H是连续可微分的，严格递增的，并且在R+中与H（y）呈凹形≤ αsy+αE[D]，H（y）≥ -（αp- αs）E[D]；（3.4）（ii）y 7→ Γ（ω，t，y）对于任何（ω，t）都是连续可微且凹的∈ Ohm ×R+；（iii）（ω，t）7→ Γ（ω，t，y）对于任何y都是{Ft}可逐步测量的≥ 0.证明。从（3.2）中可以看出h′（y）=αs+（α+αp）- αs）（1- FD（y）），（3.5），这表明y7→ H（y）随着α+αp的增加而不断变化和增加-αs≥0.MoreoverH′（y）=-（α+αp）- αs）fD（y），（3.6），这意味着H（·）的凹度。（3.4）中的第一项来自（3.3）回顾α+αp-αs≥ 0;而第二个原因是H（·）在增加，H（0）=-（αp-αs）E[D]。至于ii）显然是y 7→ Γ（ω，t，y）对于任何（ω，t）都是连续可微且凹的∈ Ohm因为H（·）和-c（·）（参见假设2.4）。

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nandehutu2022

2022-5-6 19:36:55

最后，为了说明iii）必须注意（ω，t）7的渐进可测性→ Γ（ω，t，y），对于任何y≥ 0，由P是{Ft}的f行为所影响——逐渐可测量的是{Ft}——与正确的连续路径相适应（参见定义2.1）。正如郭等人（2011）定理4所述，我们根据一个新的优化问题的值函数和需求E的期望值[D]，得到了最优总预期贴现收益V（y）的分解。为了得到这样的分解，我们需要以下假设3.2。r+λ- δ > 0.请注意，假设3.2相当于要求E[E-rΘPΘ∞, i、 e.单位商品在需求时的预期价格是确定的。提议3.3。在假设3.2下，最优总预期收益i sV（y）=W（y）-λαsr+λ- δE[D]，（3.7），其中w（y）：=supν∈S^J（y，ν）（3.8）和^J（y，ν）：=EZ∞Γ（t，y+νt）dt-Z[0，∞)E-βtPtdνt. （3.9）证据。从那时起Z∞λe-（r+λ）tPtZ∞G（e）-εt（y+νt），z）fD（z）dzdt= EZ∞E-（r+λ）tλPtH（e）-εt（dt+νy）-λαsr+λ- δE[D]根据假设3.2，然后根据（3.1）进行证明。为了证明（3.8）的新值函数W是凹的和适当的，我们需要进一步的假设和一些初步的引理。假设3.4。β - δ - λαs>0。这种假设可能会被改写-rΘe-εαsPΘi=λαsr+ε- δ+λ=λαsβ- δ<1及其经济解释如下。在时间Θ时，在时间0购买的存货的一个超额单位等于e-εΘ（由于变质），且该金额以净价αsPΘ出售（由于处罚），因此其在时间0时的预期贴现价值为-rΘe-εΘαsPΘi我们要求该值小于1，即小于时间0时的单位价格。回想一下β=r+ε+λ（参见（2.10））并注意到β>δ。引理3.5。

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nandehutu2022

2022-5-6 19:37:00

在假设3.2下，折扣价格过程e-βt是一个正的{Ft}上鞅，具有右连续样本路径，如limt→∞E-βtPt=0 Q- a、美国证据。马尔可夫过程X的性质（参见定义2.1）与β>δ一起，意味着e的右连续超鞅性质-βtptTsincee[e]-βtPt | Fs]=e-(β-δ）（t）-s） e-β-sPs，t≥ s≥ 0.（3.10）然后是法头引理，（3.10）和β>δ≤ 限制→∞E-β-tPt]≤ lim inft→∞E[E]-βtPt]=极限→∞E[E]-βtPt]=0。这个加上limt→∞E-β-tPt≥ 0 Q-a.s.（参见Karatzas&Shreve，1988年，第1章，问题3.16）给出限制→∞E-βtPt=0 Q-a.s.从现在起，我们将用τ表示任何{Ft}停止时间，其值为[0，∞] 根据引理3.5，我们将采用以下定义3.6。E-βτPτ：=limt→∞E-在{τ=∞}.引理3.7。假设3.2一个阶段Z∞E-βtPtdt=β - δ（3.11）和，对于任何停止时间τ∈ [0, ∞],EZ∞τe-βtPtdtFτ= E-βτPτβ- δ. （3.12）证据。应用Tonelli定理，并使用P的定义（参见定义（2.1））暗示（3.11）。至于（3.12），请注意，对于任何停止时间τ∈ [0, ∞]EZ∞τe-β-sPsdsFτ= E-βτZ∞E-βtE[Pt+τ| Fτ]dt=e-βτPτZ∞E-βtEhPt+τPτFτidt=e-βτPτZ∞E-βtE[Pt]dt=e-βτPτβ- δ、其中，第三个等式后面是价格过程的指数形式和马尔可夫过程X的性质（参见定义2.1），而最后一个等式后面是（3.11）。引理3.8。根据假设3.2，对于任何可接受的采购政策∈ 是霍尔兹Z∞E-βtPtνtdt=β - δEZ[0，∞)E-βtPtdνt. （3.13）证据。修正ν∈ S、然后根据Tonelli定理1 hasZ∞E-βtPtνtdt=Z∞E-β-tPtZ[0，t）dνsdt=Z[0，∞)Z∞东南方-tdtptβdνs.接受一个人获得的期望Z∞E-βtPtνtdt= EZ[0，∞)EZ∞东南方-βtPtdt财政司司长dνs=β - δEZ[0，∞)E-βtPtdνt,其中，第一个等式来自Dellacherie和Meyer（1982），第六章，定理57，而最后一个等式来自（3.12），τ=s。命题3.9。

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2022-5-6 19:37:04

在假设3.2和3.4下，新的值函数W（·）是凹的且正确的。莫雷沃夫（y）≤λαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]。（3.14）证据。回想一下，通过引理3.1，Γ是凹的。然后，使用控制变量（参见（2.3））中Yy，ν的一个有效性质，对于任何λ∈ （0,1），y，y∈ R+和ν，ν∈ 我们有w（λy+（1- λ） y）≥^J（λy+（1）- λ） y，λν+（1）- λ)ν) ≥ λ^J（y，ν）+（1）- λ） ^J（y，ν）和W（·）的凹度如下。我们现在证明了W是正确的，即| W（y）|<∞ 对任何人来说≥ 0.事实（y）≥^J（y，0）=EZ∞λe-（r+λ）tPtH（ye）-εt）dt-Z∞E-（r+λ）tc（ye）-εt）dt(3.15)≥ -Eλ（αp）- αs）E[D]Z∞E-（r+λ）tPtdt+Z∞E-（r+λ）tc（ye）-εt）dt> -∞,我们首先使用（3.4）中的第二个不等式，然后应用（2.8），假设2。3和假设3.2得到最后一个不等式。另一方面，表示W（y）<∞ 为了你≥ 0，我们定义了一个任意的ν∈ 我们使用（3.4）中的第一个不等式和c为正的事实来获得^J（y，ν）≤ EZ∞λe-（r+λ）tPthαse-εt（y+νt）+αE[D]idt-Z[0，∞)E-βtPtdνt= EZ∞λαse-βtPt（y+νt）dt-Z[0，∞)E-βtPtdνt+λαr+λ- δE[D]（3.16）=λαsyβ- δ- (β - δ - λαs）EZ∞E-βtPtνtdt+λαr+λ- δE[D]，其中最后一步来自引理3.8。然后通过ν传递给上确界∈ （3.16）中的S表示（3.14）自β- δ - λαs>0，假设3.4.4最优采购策略的存在性解的存在性*凹（凸）奇异随机控制问题的解可以通过Koml’os定理的适当版本获得（例如，见Karatzas&Wang，2005；Riedel&Su，2011）。Koml\'os定理（参见Koml\'os，1967）在其经典公式中指出，如果随机变量序列{Zn，n∈ N} 如果期望值从上有界，则存在子序列{Znk，k∈ N} 它在Ces\'aro意义上把a.e.收敛到某个随机变量Z。

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kedemingshi

2022-5-6 19:37:08

因此，如果容许控制的最大化（最小化）序列是Koml’os紧的，那么由于凹性（凸性），Koml’os定理提供的极限证明是一个最优控制策略。由于我们的假设，这些论点也适用于我们的环境。此外，如果c是严格凸的，那么（3.9）中的^J（y，·）对于y是严格凹的≥ 0固定，因此如果存在（3.8）的解决方案，那么它也是唯一的。定理4.1。假设3.2和3.4成立。然后，对于每个固定的y≥ 0，存在最优采购策略ν*对于问题（3.8），即^J（y，ν）*) = W（y）。此外，如果c（·）是严格凸的，那么最优策略是唯一的（直到不可区分）。证据取一个最大化序列{ν（n）}n∈N si、 e.使limn→∞^J（y，ν（n））=W（y）。在不丧失一般性的情况下，我们可以取^J（y，ν（n））≥ W（y）-n、回忆β- δ：=r+λ+ε- δ>0，并使用类似于（3.16）中的参数来获得，对于任何n∈ N、 W（y）-N≤^J（y，ν（n））≤λαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- (β - δ - λαs）EZ∞E-βtPtν（n）tdt,因此也是（β- δ - λαs）EZ∞E-βtPtν（n）tdt≤λαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+nandsupn∈氖Z∞E-βtPtν（n）tdt≤β - δ - λαsλαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+1（4.1）由于W的适当性，右手侧是有限的（参见命题3.9）。然后是外稃3。我们得到了∈氖Z[0，∞)E-βtPtdν（n）t≤β - δβ - δ - λαsλαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+1. （4.2）现在我们改变概率。事实上，我们通过设置DEQDQ来定义等效的概率测量值Ft=e-δtPt，t≥ 0，（4.3），我们用byeE[·]表示eq下的期望。然后，根据新的概率测度，（4.2）变得正确∈原姓的Z[0，∞)E-(β-δ） tdν（n）t≤β - δβ - δ - λαsλαsyβ- δ+λαr+λ- δE[D]- W（y）+1. （4.4）然后是非减量、左连续、自适应过程的顺序Z（n）t:=R[0，t）e-(β-δ） sdν（n）ssatis fiessupn∈尼兹（北）∞我∞.

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2022-5-6 19:37:13

（4.5）映射ν（n）7→ Z（n）是一对一和on，其逆式给出了ν（n）t:=R[0，t）e（β）-δ） sdZ（n）s.通过对可选随机测度的Koml′os定理的修正（见Kabanov，1999年的引理3.5），存在一个子序列{Z（nk）}k∈N {Z（n）}n∈Nand是可选的随机测量值Z*使得Z（nk）在Ces`aro意义上弱收敛于Z*a、 s。；就是limj→∞jjXk=1Z[0，∞)fsdZ（nk）s=Z[0，∞)fsdZ*s、情商- a、 s.（4.6）对于任意边界函数f:R+7→ R+是连续的dZ*-a、 e.在R+中。然后我们可以设定*t:=R[0，t）e（β）-δ） sdZ*s=R[0，∞)[0，t）（s）e（β）-δ） sdZ*沙重写（4.6）aslimj→∞ξ（j）t=ν*t、情商- a、 s.（4.7）让vt表示[0，T]上正有限测度的空间∈ (0, ∞], 具有弱收敛的拓扑结构。回想一下，一个可选的随机度量只是一个VT值的随机变量Z，这样过程Zt（ω）：=Z（ω；[0，t]）就可以通过ξ（j）t:=jPjk=1ν（nk）t进行调整。因为每个ξ（j）都是{ν（n）}n子序列的第一个j元素的凸组合∈N、我们有infj→∞eEZ∞E-(β-δ） tξ（j）tdt< ∞ （4.8）通过（4.1）。此外，t 7→ν*这是不减损的，因此它的不连续点集是零勒贝格测度；因此，Girsanov定理（参见（4.3））、Fatou引理和（4.7）以及（4.8）yieldEZ∞E-βtPtν*tdt=eEZ∞E-(β-δ） tν*tdt< ∞.有可能表明*允许左连续修改，我们仍然用ν表示*.我们得出结论，ν是可容许的，即∈ 为了证明这一点*是最优的，必须证明^J（y，ν）*) ≥ W（y）。（4.9）我们从^J（y，ξ（J））=E开始Z∞Γ（t，y+ξ（j）t）- (β - δ） e-βtPtξ（j）tdt（4.10）我们使用引理3.8。在新的概率测度eq（cf.（4.3））下，我们有^J（y，ξ（J））=eEhZ∞Φ（ξ（j）t）dti（4.11），其中Φ（ξ（j）t）：=eδtPtΓ（t，y+ξ（j）t）- (β - δ） e-(β-δ） tξ（j）t.同样，对于每个j∈ N、 Φ（ξ（j）t）≤ λαsye-(β-δ） t+λαe-（r+λ）-δ） tE[D]eQ- a、根据（3.1），第一个不平等性出现在（3.4），c（·）≥ 0（参见。

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nandehutu2022

2022-5-6 19:37:17

假设（2.4）和假设3.4。因此，通过应用反法图引理（4.6）、^J（y，·）的凹性和Ces`aro平均定理，我们得到了^J（y，ν）*) ≥ 林苏普→∞^J（y，ξ（J））≥ lim supj公司→∞jjXk=1^J（y，ν（nk））=W（y），（4.12）因此ν*这是最优的。作为子管道，我们还有{ξ（j）}j∈Nis本身就是一系列政策。如果c（·）是严格凸的，则最优策略是唯一的（直到不可区分）。让我们*,1和ν*,2.两个最优策略，并确定可接受的过程策略*,1+ν*,2.然后我们就有了0≥^J（y，^ν）- W（y）=^J（y，^ν）-^J（y，ν）*,1) -^J（y，ν）*,2） =EZ∞Γ（t，y+^νt）-Γ（t，y+ν）*,1t）-Γ（t，y+ν）*,2t）dt≥ 0，其中最后一个不等式在s之后是Γ（t，·）的凹性（参见引理（3.1））。因此，上面的不等式必须是等式，并且再次由Γ（t，·）的凹性决定，它必须是b eΓ（t，y+^νt）=Γ（t，y+ν）*,1t）+Γ（t，y+ν）*,2t），Q- a、 a.e.t.的s≥ 0.因此ν*,1t=ν*,2t，a.e.t.的Q-a.s≥ 注意到c（·）的严格凸性假设意味着Γ（t，·）的严格凹性。在此之前，由ν的左连续性*,i、 i=1，2，我们得出如下结论：*,1和ν*,2难以区分。备注4.2。请注意，只要风险率Ht满足条件Ht<r+ε，就可以获得随机需求时间Θ的最优采购策略，其连续密度比指数密度更一般- Δαs，需要证明值函数W（y）的正确性。这种情况对危险率ht有很强的要求，它通常是无界的，尽管对于合适的参数，对数正态分布或对数逻辑分布等一些众所周知的分布可以满足这一要求。5最优采购政策的特征Theorem 4.1提供了最优策略的存在性*∈ 在没有提供任何有关采购问题性质的信息的情况下，对采购问题进行了调查。

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能者818

2022-5-6 19:37:20

在本节中，我们通过广义随机一阶条件对最优采购政策进行了完整描述。这种方法不需要价值函数的先验光滑性，也不需要投资区域和非投资区域之间的边界来确定最优策略。因此，它可以克服HJB准变量不等式方法中处理的规律性问题，该方法产生于我们的二维状态过程设置（Yt，Pt）。通过Bertola（1998）在Cobb-Douglas运营利润函数和几何布朗运动给出的不确定性下实现利润最大化的一阶条件来描述最优控制。然后，在Bank&Riedel（2001）中，在静态预算约束的情况下，在Bank（2005）中，在随机动态有限燃料约束的情况下，在Steg（2012）中，在顺序不可逆投资的资本积累博弈中，以及在Chiarola等人（2013）中，在涉及N家企业的优化问题中，发展了这种概念。在Riedel和Su（2011）中，采用随机顺序条件方法，通过求解向后s-tochastic方程获得最优策略。对于任何可容许的超梯度过程^J（y，ν）被定义为唯一的可选过程^J（y，ν）（τ）：=EZ∞τΓy（t，y+νt）dtFτ- E-βτPτ，（5.1）对于任何{Ft}-停止时间τ∈ [0, ∞], β：=r+λ+ε（参见（2.10））和Γy:=Γ/y、超梯度（5.1）可解释为在时间τ购买额外单位商品产生的边际预期净利润。定理5.1。让假设3.2和3.4保持不变，并确定y≥ 0.那么，对于一个可容许的策略*, 以下是一阶条件^J（y，ν）*)(τ) ≤ 0 a.s。

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2022-5-6 19:37:23

对于所有停止时间τ∈ [0, ∞],Z∞^J（y，ν）*)（t） dν*t=0 a.s.（5.2）是必要的，并且对于ν的最优性是有效的*问题（3.8）。证据集合kt:=e-βtPtand apply Steg（2012年），主张3.2，其中要求假设3.1的三个条件。我们的引理3.1和命题3.9保证了前两个；至于第三个，它要求y 7→ Γy（ω，t，y）严格递减，但很容易通过Γ（ω，t，·）的凹性来检验，以证明一阶条件的最优性。一阶条件的直觉是，当某个停止时间的梯度为正时，可以进行少量额外投资。备注5.2。一阶条件（5.2）可以被认为是经典库恩-塔克条件的随机有限维代数化。在实际分析中，如果一个人处理一个形式为maxx的优化问题≥0f（x），对于一些光滑凹实函数f，众所周知，Kuhn-Tucker条件是x的最优性*aref′（x）*) ≤ 0，x*f′（x）*) = 0.（5.3）粗略地说，在我们设置非负性约束x时≥ 0被不可逆性约束dνt替换≥ 0代表所有t≥ 0，Q-a、一阶导数f′（·）的作用是通过超梯度过程来实现的^J（y，ν）。然后（5.2）是（5.3）的推广。下面的命题借助定理5.1证明了，如果β- δ非常大。提议5.3。在假设3.2和3.4下，如果β- δ ≥ 对于任意α（p）λ≥ 0，投资商品永远不是最佳选择，即ν*≡ 任何t都是0≥ 0 Q-a、 s.HenceW（y）=EZ∞Γ（t，y）dt=Z∞E-（r+λ）δtλH（e）-εty）- c（e）-εty）idt。一个随机过程是可选的，如果它相对于可选的西格玛代数O是可测量的Ohm ×[0，T]。

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2022-5-6 19:37:27

可选的西格玛代数O由正确的连续和适应过程生成（参见Dellacherie&Meyer，1982）。证据对于任何可接受的采购政策ν和任何停止时间τ≥ 我们有^J（y，ν）=EZ∞τΓy（t，y+νt）dtFτ- E-βτPτ=λ（αP+α）EZ∞τe-βtPtdtFτ- λ（α+αp）- αs）EZ∞τe-βtPtFD（e-εt（dt+νy）Fτ-EZ∞τe-βtc′（e）-εt（dt+νy）Fτ- E-βτPτ（5.4）<λ（αP+α）EZ∞τe-βtPtdtFτ- E-βτPτ=e-βτPτλ（αp+α）- (β - δ)β - δ,β：=r+ε+λ，其中第三步中的不等式来自于α+αp的非负性- FD（·）和c′（·）的αs（参见假设2.4），而最后一个等式来自（3.12）。因此，如果λ（αp+α）≤ β - δ、那么，对于任何可容许的采购策略ν和任何停止时间τ，超梯度都是严格负的≥ 0，因此购买商品从来都不是最优的（参见定理5.1）。定理4.1保证了对任意y的最优投资策略的存在性≥ 0，一阶条件（5.2）完全表征了它。然而，这些条件不一定具有约束力，因此它们并不总是明确地决定最优策略。为此，我们遵循Riedel和Su（2011）的第3节或Steg（2012）的第3.3条，并在流程方面获得了最佳采购政策*, 我们称之为基本库存流程，代表企业每次都要达到的理想库存价值。回想一下β：=r+λ+ε。定理5.4。假设假设3.2和3.4成立。然后存在一个可选的过程l*取[0]中的值，∞) 对t来说，这是令人满意的≥ 0,l*t=supnz∈ R+ess infτ≥tEhZτtΓy（s，ze-s）ds+e-βτPτFti=e-βtPto∨ 0，Q-a.s.（5.5），这样，对于任何y≥ 0，采购政策ν*t:=su p0≤u<teεul*U- Y∨ 0，t≥ 如果允许，0，（5.6）对于（3.8）是最佳的。证据

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2022-5-6 19:37:30

因为定理4.1提供了最优采购策略的存在性*对任何人来说≥ 0，有必要应用Steg（2012）提案3.3（该提案可能很容易适用于我们的折旧率ε情况）≥ 0).基本库存流程l*指最大库存水平，在该水平下，商品的边际购买不能延迟到未来的任何停止时间。此外，对于任何t≥ 0, l*这是唯一定义的，如果y 7→ Γy（t，y）是严格递减的，即如果持有成本函数c（·）是三次凸的（参见（3.1））。（5.6）提供的最佳采购政策包括：请注意，在Riedel and Su（2011）第3节或Steg（2012）第3.2节中，此类过程称为基本能力过程。库存水平Yy，ν*总是在或以上l*t、如果时间t的库存水平为yy，ν*t>l*t、然后，该公司面临库存过剩，应该等待购买更多商品。如果投资级别低于l*t、那么企业应该投资*t=l*T- Yy，ν*为了达到这个水平l*t、最优策略的这种性质在库存理论中是很自然的（例如，见Porteus，1990）。信号处理l*t可以被描述为与（5.2）相关的反向随机方程的唯一可选正解（参见Bank El Karoui的表示，lemin Bank&El Karoui，2004，定理1和定理3）。在随机不可逆容量展开问题的背景下，Riedel和Su（2011）、Chiarolla和Ferrari（2014）、Ferrari（2015）（这里的反向方程实际上是一个积分方程）在对应的Γ（参见Inada，1963）的INDA条件下得到了这样的反向方程，即limy↓0Γy（t，y）=∞ 还有limy↑∞Γy（t，y）=0表示t≥ 0.在目前的情况下，尽管我们的Γ（参见。

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2022-5-6 19:37:33

（3.1））不满足Inada条件，我们采用他们的一些论点来描述l*t通过一个倒向随机方程，我们实际上能够在线性持有成本和指数分布需求的情况下求解该方程（参见下文第6.1节）。提议5.5。如果存在一个逐步可测量的过程l*求解倒向随机方程Z∞τΓy（t，supτ）≤u<t（eεu）l*u））dtFτ= E-βτPτ，a.s.对于任何停止时间τ∈ [0, ∞], （5.7）然后是采购政策*t:=su p0≤u<t（eεu）l*U- y）∨ 0, ν*= 对于问题（3.8），如果允许的话，0，（5.8）是最优的。证据我们借用了Bank和Riedel（2001）的观点（或Riedel&Su，2011）。它必须表明过程*t:=Yy，ν*t=e-εt[y+ν*t] =耶-εt∨ sup0≤u<t（e）-ε（t）-u）l*u）（5.9）满足最优性的一阶条件（5.2）。对于任何停止时间τ，（5.1）连同Γ（t，·）的凹度^J（y，ν）*)（τ） =EZ∞τΓy（t，y）∨ sup0≤u<t（eεu）l*u））dtFτ- E-βτPτ（5.10）≤ EZ∞τΓy（t，supτ）≤u<t（eεu）l*u） )Fτ- E-βτPτ=0，因为l*解决（5.7）。为了证明（5.2）中的第二个条件，注意f或任何τ≥ 0，商品的采购发生的时间（即dν*τ:=ν*τ +ε-ν*τ> 0，每ε>0）我们就有*t=e-εtsupτ≤u<t（eεu）l*u）对于t>τ，乘以（5.9）。因此y+ν*t=supτ≤u<t（eεu）l*u）对于t>τ，因此有时τ带有随机Borel测度dν*我们有^J（y，ν）*)（τ） =0乘以（5.7）。备注5.6。很明显*of（5.8）是非减量且左连续的；因为它是可进行的*是这样的，参见Dellacherie&Meyer，1982，定理IV.33），因此也适用于{Ft}。因此ν*当且仅当可积条件ER∞E-βtPtν*tdt<∞ 持有。

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2022-5-6 19:37:37

这种情况必须逐个检查，但如果β足够大，则通常可以满足。请注意，如Riedel和Su（2011）第3节所述，（5.7）与一阶条件（5.2）有明显的相似性。事实上，通过考虑在时间τ开始投资的公司的一阶条件，我们可以从时间τ开始在库存中取上确界，然后再减去基本库存l*（参见（5.6）），然后将其插入超梯度（5.1）。然后，一阶条件对企业具有约束力，因此我们得到（5.7）中的等式。在应用中，命题5.5非常有用，因为它提供了一种建设性的查找方法l*从而解决了问题（3.8）。事实上，（5.7）至少可以通过对p问题（5.7）的离散化版本的反向归纳在数值上找到（见Bank&F¨ollmer，2002年，第4节）。在下一节中，我们将在需求呈指数分布的情况下（参见Lariviere&Porteus，1990年；Zhang，Nagarajan，&Soˇsi\'c，2009年）和线性持有成本（参见郭等人，2011年；Tarima&Kingsman，2004年；Zhang，2010年等）显式求解倒向随机方程（5.7）。6显式结果：本节中的线性持有成本假设2.3、2.4、3.2和3.4仍然成立。我们还假设asin Guo等人（2011年）的线性持有成本，即c（x）=cx（对于某些c>0）和零劣化率，即ε=0。此外，我们假设D是指数分布的，参数γ>0；也就是说，fD（z）=γe-γz。在该设置中，β=r+λ和（cf.（3.2））H（y）=αsy+αγ-（αp+α）- αs）γe-γy，（6.1）和（cf（3.1））Γ（t，y）=e-βtλPthαsy+αγ-（αp+α）- αs）γe-伽玛伊- E-βtcy。（6.2）那么，Γy（t，y）=e-βthλPtαs+（α+αp- αs）e-γy- ci。

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2022-5-6 19:37:41

（6.3）6.1最优采购政策我们现在发现，在我们的一般指数L’evy设置中，最优采购政策的显式形式是有界的。据我们所知，这种明确的结果第一次出现在这里。提议6.1。当β=r+λ时，设τβ为指数分布的随机时间，与P无关，参数为β，且设置κ：=Ehinf0≤U≤τβPτβPui、（6.4）a:=（β- δ - λαs）λ（α+αp）- αs），b:=cλκ（α+αp- αs），（6.5）l*t=-γlna+bPt. （6.6）那么l*t解随机倒向方程Z∞τΓy（t，supτ）≤U≤Tl*u） dtFτ= E-βτPτ，任意τ的a.s≥ 0，（6.7），因此问题（3.8）的最佳采购策略为*t:=sup0≤s<t(l*s- y）∨ 0, ν*= 0.（6.8）证据。在（6.7）中替换（6.3），在积分中改变变量，并使用（3.12）toobtainEZ∞τΓy（t，supτ）≤U≤Tl*u） dtFτ= E-βτEZ∞E-βsλαsPs+τ- CdsFτ（6.9）+λ（αp+α- αs）e-βτEZ∞E-βsPs+τe-γsup0≤U≤s(l*u+τ）dsFτ= E-βτλαsβ- δPτ-cβ+ λ（α+αp）- αs）e-βτEZ∞E-βsPs+τeinf0≤U≤s(-γl*u+τ）dsFτ.因此，我们可以改写（6.7）的等效形式Z∞E-βsPs+τeinf0≤U≤s(-γl*u+τ）dsFτ=λ（α+αp）- αs）hPτ1.-λαsβ- δ+cβi.（6.10）现在我们猜测答案，并尝试使用l*t=-γlna+bPt, （6.11）（6.6）中的对数定义得很好，因为a:=（β-δ-λαs）λ（α+αp）-根据假设3.4和α+αp的非负性，αs）>0- αs和b>0，因为κ∈ [0, 1].对于某些正的a和b，事实上（6.10）的左边变成了Z∞E-βsPs+τeinf0≤U≤sln公司a+bPu+τdsFτ= EZ∞E-βsPs+τelninf0≤U≤s（a+bPu+τ）dsFτ= EZ∞E-βsPs+τinf0≤U≤sa+bPu+τdsFτ（6.12）=a EZ∞E-βsPs+τdsFτ+ b EZ∞E-βsinf0≤U≤sPs+τPu+τdsFτ=aPτβ- δ+bβEZ∞βe-βsinf0≤U≤sPsPuds=aPτβ- δ+bβκ，因此（6.10）成立（参见（6.5））。现在（6.8）的最优性来自命题5.5，如果我们证明*是可以接受的。很明显*是{Ft}自适应且左连续的。

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2022-5-6 19:37:45

也ν*T≤ (-γln（a）- y）∨ ln的单调性为0，b>0。因此ER∞E-βtPtν*tdt≤(-γln（a）-y）∨0β-δ< ∞ 由（3.11），因此*∈ 6.1号提案本身的结果是显著的。事实上，就我们所知，这是（5.7）类倒向随机方程显式解的罕见例子之一，涉及函数Γy（t，·）（cf.（6.3））不满足经典INDA条件。备注6.2。注意，如果β- δ ≥ λ（αp+α），然后a≥ 1（参见（6.5））因此l*对于任何t，t<0≥ 0（参见（6.6））。因此，从（6.8）可以得出*t=0表示所有t≥ 这与命题5.3是一致的。为了明确地获得（6.4）的常数κ，我们现在将价格P动态限制为一类无正跳的L’evy过程。提议6.3。假设X是一个L′evy过程，如果ζ>0，则没有正跳，如果ζ<0，则没有负跳。塞特苏：=-δu+π(-ζ） u+ζXu，（6.13），因此Pt=e-~Xt（参见（2.1）），并用eπ（·）表示x的拉普拉斯指数。那么（6.4）的常数κ是κ=ξ1+ξ，（6.14），其中ξ由方程eπ（ξ）=β唯一确定。证据从（6.4）开始，我们有κ=Eheinf0≤U≤τβ（eXu）-eXτβ）i=Ehe-eXτβ-sup0≤U≤τβ(-eXu）i=Eheinf0≤U≤τβ(-eXu）i=Ehe- sup0≤U≤τβ（eXu）i=ξ1+ξ，因为-eXτβ- sup0≤U≤τβ(-eXu）~ inf0≤U≤τβ(-根据L'evy过程的对偶定理，以及su p0≤U≤τβ（eXu）与参数ξ呈指数分布，其中ξ如上所述（参见Bertoin，1996年，第七章），这是由于没有正跳跃外汇的假设。备注6.4。利用Kou和Wang（2003）关于双指数j-ump扩散过程的结果，可以获得正跳跃和负跳跃情况下的类似结果。6.2值函数的概率表示在第6节的特殊设置中，我们能够提供值函数的概率表示（3.8）。提案6.5。

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kedemingshi

2022-5-6 19:37:49

让我们来看看β-δ和τβ是两个独立的指数分布随机时间，参数为β- δ和β。然后，值函数（3.8）允许表示w（y）=y+λαγ（β- δ)-λ（αp+α）- αs）γ（β- δ）咦-γ（y+ν）*τβ-δ）我+λαsβ- δ- 1.eEhy+ν*τβ-δi-cβEhy+ν*τβi，（6.15）关于最优控制*在（6.8）和（4.3）的等效比例下的经验E[·]、andeE[·]。证据回想一下（6.1），（6.2）和β=r+λ。然后w（y）=^J（y，ν）*) = EZ∞E-βtλPthαs（y+ν）*t） +αγ-（αp+α）- αs）γe-γ（y+ν）*t） idt-cZ∞E-βt（y+ν）*t） dt-Z∞E-βtPtdν*T. （6.16）通过Lemm a 3.8和引入τβ和τβ-δ、两个独立的指数分布随机时间，参数为β和β- δ、分别地，与命题6.1的证明中使用的论点类似的论点允许我们将（6.16）右侧的术语改写如下，λαsEZ∞E-βtPt（y+ν）*t） dt=λαsβ- δeEhy+ν*τβ-δi；λαγEZ∞E-βtPtdt=λαγ(β - δ);λ（αp+α）- αs）γEZ∞E-β-tPte-γ（y+ν）*t） dt=λ（αp+α）- αs）γ（β- δ）咦-γ（y+ν）*τβ-δ）我；c EZ∞E-βt（y+ν）*t） dt=cβEhy+ν*τβi；EZ∞E-βtPtdν*T= (β - δ） EZ∞E-βtPtν*tdt=eEhν*τβ-δi.因此（6.15）遵循一些简单的代数。备注6.6。请注意，如果（6.13）中的processeX没有负跳跃，则可以评估（6.15）中的预期（至少是数字）。事实上，回顾（6.8）、（6.6）和Pt=e-~Xt（cf.（2.1）），假设τρ是一个独立的指数分布随机时间，具有任意（正）参数ρ，我们有y+ν*τρ=y∨ sup0≤U≤τρ-γlna+bPu= Y∨H-γlninf0≤U≤τρa+bPui（6.17）=y∨H-γlna+b einf0≤U≤τρeXui=y∨H-γlna+b e- sup0≤U≤τρ(-eXu）i=：y∨-γlna+b e-调频-τρ, （6.18）其中：-t:=sup0≤U≤t(-eXu）。现在，自从-eX没有积极的跳跃，然后是Fm-τρ呈指数分布（cf。

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kedemingshi

2022-5-6 19:37:54

Bertoin，1996）的第七章），其中参数ξ由方程eπ唯一确定-（ξ） =ρ，其中eπ-（ξ）是的拉普拉斯指数-6.3数值搜索。我们提供了由年龄计量布朗运动或指数跳跃微分过程驱动的现货价格的最佳库存水平的计算机图。为了做到这一点，我们找到了获得基本库存所需的κ（参见（6.14））的显式形式l*（参见第（6.5）、（6.6）节），从而得出最佳采购策略（6.8）。然后，我们将我们模型的最佳预期回报与经典报童模型的修正版本进行比较。在下面的计算机绘图中，我们假设以下参数：公司的管理层成本系数r=0.05，初始库存水平y=0（与报童模型的初始条件一致），指数分布的需求时间参数λ=5，单一持有成本c=1，收入乘数G中的溢价系数（见（2.5））α=1.2，αp=0.8，αs=0.7，指数分布需求的参数γ=0.05.6.3.1几何布朗运动价格：郭等人（2011）的最优策略，我们采用dPt=Pt（udt+σdBt）P=1，（6.19），其中u∈ R和σ>0是常数和{Bt，t≥ 0}是一种外生的一维标准布朗运动。ThenPt=expn（u-σ） t+σBto，为（2.1）型，X:=-B、 δ：=u，ζ：=σ和π(-ζ) =σ. 在这种情况下，exu=（σ- u）u- σBu，因此（参见命题6.3，（6.14））κ=Ehe- sup0≤U≤τβeXui=θ+1+θ+，（6.20）0 1 2 3 4 5242628303234363840t l*tY*t图1：几何布朗运动价格下的最优采购，u=0.7，σ=0.2。式中，θ+是σx+（σ）的正根- u）x- β=0（这是一个众所周知的关于带漂移的aBrow nian运动的结果）。

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能者818

2022-5-6 19:37:57

如图1所示，在当前库存低于基本库存时购买商品l*（6.6）。6.3.2几何跳跃差异价格：最佳策略由于大多数现货价格表现出显著的偏度和峰度，因此它们不能用纯粹的差异过程很好地描述。在这里，我们假设现货价格根据跳跃-扩散过程演变dPt=Pt-（udt+σdBt+dMt）P-= 1，（6.21）带u和σ实常数，{Bt，t≥ 0}一个外生的一维标准布朗运动，dmt:=NtXj=1Uj，其中{Nt，t≥ 0}是一个具有恒定强度ψ的泊松过程≥ 0，{Uj}j≥0是i.i.d.和om跳跃的序列，其值在[0，∞) 这样U=1a.s.此外，B，N，U是独立的。显然，该模型包括确定性增长模型（对于σ=0）和纯跳跃模型（对于σ=0和dψ>0）。（6.21）isPt=expn（u）的显式解-σ） t+σb ontyj=1（Uj+1）=expnu -σt+σBt+NtXj=1zjo，其中Zj:=ln（Uj+1）是i.i.d.因此Pt=exp{-eXt}其中eXt:=-(u-σT-σBt-PNtj=1Zjis a L′evy过程，无正跳，Lap-lace指数π（u）=σu+σ- uu+ψE（E）-（uZ）- 1.,对于任何u，E（eueXt）<∞. 如果我们取Zj的指数分布，参数l>1，那么我们得到∧π（u）=σu+uσ- u -ψl+u,通过求解方程eπ（ξ）=β，我们可以得到κ（cf.（6.14）），从而得到ν*（参见（6.6））.01 2 3 4 5253035404550吨lt*Yt*图2：几何跳跃差异价格下的最优库存，u=0.7，σ=0.2，ψ=2，l=9。如图2所示，最优库存保持等于或高于基本库存（6.6），只有当当前库存低于基本库存时，才会进行采购。6.3.3与报童模型的价值函数比较报童模型是库存管理文献中的经典模型（见Porteus，1990）。

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