远期效用与市场调整

2022-4-24 18:39:17

许多玩家Goncalo dos Reis的相对投资-消费博弈中的远期效用和市场调整*MathematicsEdinburgh爱丁堡大学，EH9 3FD，Ukand Cordo de MaMataCa ApICA CousOES（CMA），FCT，UNL，PortugalG。dosReis@ed.ac.ukVadim英国爱丁堡大学爱丁堡数学学院，EH9 3FD。Dplatonov@sms.ed.ac.uk02h24，2022年3月7日（文件：ForwardU MFG PerfConcerns.tex）摘要我们研究了一个投资组合管理问题，该问题在前瞻绩效流程（FPP）框架下具有多参与者和平均场竞争、投资和消费以及相对绩效关注。我们主要研究在公共噪声默顿市场模型下，使用power（CRRA）型FPP解决投资消耗优化问题的代理。我们解决了多人博弈和平均场博弈，为解决方案提供了封闭形式的表达式，其中前者的限制使后者受挫。在我们的案例中，FPP框架为消费成分提供了一系列解决方案，作为我们创造的“市场风险相对消费偏好”市场参数的指标。该参数允许代理设定未来消费的偏好，在竞争情况下，这反映了常见的市场行为。我们展示了FPP框架，在竞争和非竞争两种情况下，允许代理分离其风险容忍度和跨期替代弹性（EIS），就像递归效用框架下的Epstein Zin偏好一样，不同于经典效用理论框架。这反过来又允许对代理人的消费“收入”和“替代”制度进行更深入的分析，并在独立利益的基础上，激发了FPP框架下对EIS的新一轮经济学研究。我们发现，竞争以一种非同寻常的方式重新审视了代理人的消费观念。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:39:23

我们为我们的结果提供了数字说明。关键词：最优投资和消费、远期绩效标准、平均场博弈、相对绩效、常见噪音默顿问题、跨期替代弹性2020 AMS主题分类：主要：91G10、91A30、91G80、49N80。中学：60G60、91A06、35Q93JEL科目类别：G11、C73、P46、C68*G.dos Reis感谢基金会的支持eNCIA E TeNeLogic（葡萄牙科学基金会）通过UIDB／00297／2020项目（Cordo de MataaTICA APLICA CousOES CMA/FCT/UNL）1引言，我们在Myton市场模型中研究了具有共同噪声的前向性能框架下的投资损坏优化的许多玩家游戏。在每一场博弈中，代理人只交易受共同市场信号影响的特定股票，并寻求优化其财富和消费过程，同时相对关注其他代理人的平均财富和消费。我们模型的核心特征是（a）相对消费担忧，（b）相对财富担忧，（c）资产专业化，（d）游戏竞争（有限玩家和平均场游戏）和（e）前瞻绩效过程（FPP）视图。前者（a）-（d）已在[39]中通过经典效用框架的视角进行了分析。在这项工作中，我们赞同[2]的FPPparadigm（并得到了经验证据的支持），并通过它的光来看待[39]。我们使用FPP、竞争和消费的存在提出的论点，使分析涉及到并揭示了[39]中不存在的元素（尽管与（a）-（d）或[37]类似）。在整个过程中，我们考虑基金经理之间的交易，他们的个人股票和共同的无风险资产，所谓的问题，资产专门化。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:39:29

这个问题最初由[10,44]提出，并在[52]、[35]、[39,40]、[2]中进一步发展。这些研究报告了资产专业化的各种原因：资产亲和力、交易成本和约束、学习成本的降低或行业专业化。最近，资产专业化背景下的有限参与者或平均场类型的竞争受到了广泛关注，我们将参考[2,20,39,40]中与我们背景相关的概述。关于平均场博弈理论及其应用的长期观点，我们参考了专著[13]。关于绩效关注下具有效用偏好的代理人的投资组合管理的文献越来越多。基准管理是人性的一个特征，对于需要保持基金竞争力的基金经理来说至关重要。我们指的是[2]和[8,39,40]中发现的出色的经济和财务动机。在这项工作中，我们以[27]和[28]以及[8,18,39,40]中提出的结构为基础。此外，我们还向读者介绍了[39,40]的精彩介绍，他们将这些概念引入了平均场游戏的框架。此外，这些工作也为默顿问题背景下的平均场游戏提供了极好的回顾。性能问题下的投资在许多变体中都有所增加，最近：[18]分析了一个部分信息有限的玩家CARA效用游戏，该游戏采用了向前向后的SDE（FBSDE）机制（具有随机系数的市场模型），见[18，表1]。[29]在相同的背景下工作，但使用平均场FBSDE在完整的非马尔可夫框架中解决平均场博弈，另见[29，表1]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:39:36

相对消费下的投资方面的探索要少得多，只有[39]。我们工作的核心是支持Musiela和Zariphopoulou[45]和[33]提出的前瞻性投资绩效标准的思想，这是一种解决投资组合优化问题的方法，没有经典效用理论的特殊缺陷。在经典效用理论中，投资者在进入市场时会在水平时间内规定其风险收益，因此无法适应市场条件的变化或更新风险偏好；此外，投资时间范围是固定的，投资组合是根据这个时间参考点衍生的。相反，远期标准（投资组合）优化问题是某个随机效用函数的条件期望的最大化。在这里，投资者只需说明其进入市场时的风险比例t = 因此，时间范围是任意的，这对实践者来说更现实。本质上，正向动态性能图是以动态一致性属性为起点构建的。正如Musiela和Zariphopoulou[46]所定义的，前向性能过程（FPP）捕捉了此类随机效用函数的时间演化，从那时起，在各种设置下[7]、[23]、[54]、[24]、[25]、[15]、[36]、[42]的表征方面取得了很大进展。关于FPP发展的优秀文献综述，请参考[14]、[3]、[43]和[36]。后者提供了有关其行为的前瞻性标准文献的近分类学细分，以及所使用的方法。在这里，正如[36]或[3]中所述，我们关注的是远期投资消费标准的类别，其具体属性是它们在时间上是可区分的（一种没有波动性的动态）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:39:43

在[3]中，作者研究了不完全市场中FPPof幂形式下的最优投资组合选择问题（无消费，无竞争）。他们的论点使用了HJB机械，就像在本修井机[15]中一样，对FPP提出了“可分离功率因数形式”的假设（假设4.3）。[7,15,24]中考虑了FPP（或远期效用）的消费研究；有趣的是[15]通过假设代理人将波动性假设为市场感知，管理与具有波动性成分的FPP动态相关的困难。他们的FPP消费优化问题产生了非唯一性。FPPs框架内的竞争还处于初级阶段。这个概念起源于[31]在CRRA环境下的两人博弈，采用默顿市场模型。其愿景在[2]中得到了扩展，仍然是在两人博弈中，但考虑到了不完全市场模型中的随机系数。受[31]和[40]的启发，[20]提出了平均场远期绩效博弈和平均场远期均衡的概念。从竞争的角度来看，FPP方法反映了代理人不必都有相同的时间范围，因为在资产专业化下，不同的行业有不同的时间框架（尽管季度报告是共同的参考点），请参见[2]以了解完整的讨论。FPP框架并不是唯一一个试图克服经典效用理论局限性的理论。90年代的另一种选择是递归效用框架[26,53]中的所谓Epstein-Zin偏好，并扩展了Kreps-Porteus[38]的理论框架。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-4-24 18:39:49

对于消费问题，经典的CRRA效用优化产生了代理人风险承受能力之间的严格关系δ 跨期替代的弹性（EIS），即EIS经典[39]=δ （例如，见[39]）和解开两者都是爱泼斯坦-辛偏好的核心。正如[51]中关于EIS的讨论，由于未来时期现金流的增加，更高的利率会增加消费者的整体财富。如今，消费者将未来更高收入的一部分用于消费的影响被称为“收入效应”。另一方面，随着利率的提高，人们需要将今天消费的一小部分储蓄起来，才能在明天拥有一个额外的消费单位。这种在今天增加储蓄、推迟消费的动机被称为“替代效应”。随着时间的推移，EIS较高的消费者更愿意替代消费，这直接影响了“替代效应”。现在，经典理论产生了经典[39]=δ. 然而，风险容忍度是暂时的，关系到消费者如何在世界不同的州替代消费。相反，《环境影响报告书》是跨期的，讲述了消费者如何在现在和以后替代消费[17]。因此，经典的效用框架无法捕捉到代理人竞争（无论是否考虑表现优异）如何改变EIS。捕获Hindy Huang Kreps[34]跨期替代的时间连续随机偏好已被用于理解消费优化[6]和Arrow-Debreu均衡[5]。最近，[1]使用[22]针对Kreps Porteus[38]家族的连续时间随机递归效用，重新讨论了EIS讨论。即将到来的是[9]，他在Epstein Zin/KrepsPorteus递归实用程序框架下重铸了[40]的MFG。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:39:55

尽管如此，查看这一参考资料时，人们会再次看到一些针对标准效用框架的批评（见[2]）：[11]强调了对投资范围的依赖（“投资者的范围在最优政策中也起着关键作用”），并且基础模型在整个投资时间范围内都是固定的。简言之，FPP从投资的角度出发（风险文件在t = 0）而递归实用程序仍在后向实用程序内工作（在水平时间内规定了风险文件）T > 0.通过这项工作，我们调查了n-资产专业代理的玩家和平均场博弈，他们通过FPP框架的视角，在相对财富消费担忧下优化他们的投资消费。我们环境的可处理性产生了经典效用理论中所没有的发现。也就是说，我们的贡献是：（I）我们将CRRA FPP的概念扩展到了一个博弈理论框架，在公共噪声默顿市场模型中，针对有限玩家博弈和平均场博弈。MFG方法基于CARA FPP（仅限财富优化）的简单概念工作[20]，以及经典的CRR投资-消费效用问题[39]。对于这两个游戏，我们都提供了感兴趣的数量的显式表达式。从方法论的角度出发，我们将凸对偶与HJB型参数相结合来解决控制问题。（二）考虑到消费，CRRA FPP财富消费问题没有唯一的解决方案，而是一类由特定参数索引的解决方案κ ∈ R被解释为市场风险相对消费偏好。此参数出现在游戏设置和单代理优化问题中（无竞争/性能问题）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:02

在竞争中，κ 这是所有参与者的共同点，反映了环境对消费效用和财富效用的权重。我们环境的易处理性暴露了κ 参数，以明确启用额外的可解释市场建模层（见第5节），关键是κ = 0我们也恢复了经典效用理论的结果[39][37]。（三）我们表明，即使没有竞争，CRRA FPP框架也封装了爱泼斯坦递归实用程序的相同关键功能。它打破了风险承受能力之间的严格关系δ 和经典效用理论的跨期替代弹性（EIS），同时保持其独立于投资时间范围和灵活更新风险偏好的核心特征。也就是说，艾斯诺竞赛（θ=0)= κδ, 具有κ 跨越代理人风险偏好的另一个维度。（四）我们证明了性能问题(θ ∈ （0,1]）重新衡量代理人对消费的感知。也就是说t > 与竞争（θ≠0)t= Pt×艾斯诺竞赛（θ=0），其中EISno竞争（θ=0)= κδ,哪里Pt是一个随机过程，取决于风险竞争偏好、市场风险相对消费偏好κ （这对所有竞争对手来说都是一样的）和均衡消费。时间依赖性P 与FPP框架在竞争中的使用密切相关，并在第5节中详细讨论（见等式（5.2））。使用Epstein Zin的递归实用程序也有类似的结果[9]。论文的组织。在第2节中，我们介绍了金融市场和符号。在第3节和第4节中，我们分别研究了最终玩家和平均场游戏。平衡、参数关系和模型的解释留待最后第5节。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-4-24 18:40:08

许多证据被省略，可以在补充材料中找到。2资产专业化和相对绩效关注我们模仿[20,39,40]的陈述，制定我们的工作市场模型。市场。市场环境有一种无风险资产和n 作为两种不同资产类别代理的高风险证券。我们假设它们的价格是对数正态的，每个价格都由两个独立的布朗运动驱动。确切地说，是价格(Sit)t>库存不足i 该公司独家交易i-特务解决了这个问题dSitSit= μidt + νidWit+ σidBt, Si= si> 0，（2.1）具有常数参数μi∈ Rσi> 0和νi> 0与σi+ νi> 0.我们建议读者参考[39,40]以深入了解模型的动机。一维标准布朗运动B, W, . . . , Wn他们是独立的。什么时候σi> 0，过程B 导致股票之间存在相关性，因此我们称之为B 常见的噪音和噪音Wi一种特殊的噪音。独立布朗运动B, W, . . . , Wn定义在一个概率空间（Ω，F，F，P）上，该概率空间具有自然过滤F=（Ft)t>0由它们生成并满足通常条件。我们回顾了单一普通股的情况，其中i = 1.n, ( μi, σi) = ( μ, σ), νi= 0，对某些人来说μ ∈ Rσ > 0且独立于i.我们还提供了一个明确可解的例子，为关于平均场游戏和FPP的文献做出了贡献。如[39]所述，在线性二次结构之外，这种情况非常罕见，这是我们在这里介绍的罕见现象之一。我们使用非常容易处理的模型（2.1），包括公共噪声、异构代理、通过控制的平均场交互，以及状态过程和FPP。特工的财富。每个代理人i = 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:15

, n 采用自我融资策略的交易(πit)t>0，代表投资于该项目的财富比例i-股票和消费政策(cit)t>0，表示单位财富的即时消费率。这个i-经纪人的财富动态(Xit)t>0是由dXit= r Xitdt + πitXitμidt + νidWit+ σidBt- citXitdt, 具有Xi= xi> 0, μi= μi- r .我们解释μi作为超额回报。如果组合投资消费策略属于容许集A，则认为该策略是可容许的i,A.i=(πi, ci) : F-逐步可测R×（0，∞) - 有价值的过程(πit, cit)t>0，这样Et(|πis|+ |cis|)ds< ∞, 无论如何t > 0.如[39]所述，我们不允许消费率为零。同样明显的是，对于任何可接受的策略，我们都有Xit> 全部为0t > 0.代理的交互和相对性能问题。每个管理者都会在考虑其他人的政策的情况下衡量自己战略的绩效。每个代理人都参与某种形式的社会互动（在[8,27]的意义上），影响代理人对财富的感知，所有这些都以乘法的方式通过所有代理人（不包括他们自己）的几何平均财富建模。管理者的相对绩效考核流程i ∈ {1, · · · , n}, 表示Xi定义为Xi=XiX(-i)θi, 哪里X(-i)=nk≠iXkn-1.（2.2）同样，我们引入了相对消耗指标^ci=ci~c(-i)θi, 在哪里c(-i)=nk≠ickn-1.（2.3）我们强调，两个相对指标（hat和tilde）可以等效地重新制定，以便相应的几何平均值包括代理本身。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:23

这变成了一个等效问题，可以通过重新调整参数来简化为原始问题，参见[40，备注3.3]，[39，第2节]或[20，第2节]通过应用其公式，我们获得了平均性能的动力学Y =X(-i)如下：，dYtYt=r + μπ(-i)t-Σπt(-i)-σπt(-i)-n - 1(νπt)(-i)- c(-i)tdt+n - 1.nk≠iνkπktdWkt+ σπt(-i)dBt, Y=nk≠ixkn-1，其中我们定义了t > 0μπt(-i)=n - 1.nk≠iμkπkt, (νπt)(-i)=n - 1.nk≠i(νkπkt), σπt(-i)=n - 1.nk≠iσkπktΣπt(-i)=n - 1.nk≠iΣk(πkt), c(-i)t=n - 1.nk≠ickt, Σk= σk+ νk.通过它的公式1，可以发现相对绩效财富的动态Xi成为dXitXit= ξidt -cit- θic(-i)tdt (2.4)+νiπitdWit- θin - 1.nk≠iνkπktdWkt+σiπit- θiσπt(-i)dBt,哪里ξi= r (1 - θ) + μiπit- θiμπt(-i)+θiΣπt(-i)-θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)- θiσiπitσπt(-i).3最终玩家向前优化游戏3。1个远期相对绩效每位经理i ∈ {1, . . . , n} 使用由F建模的forwardrelative实用程序测量她的相对性能指标的输出t-逐步可测量的随机场Qi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R代表i ∈ {1, . . . , n}. 以下标准遵循了[31]（力量类型）和[20]（指数类型）中提出的前瞻性能游戏标准。这里的公式是在解决纳什均衡博弈的通常策略的第一步中得到启发的，即一个代理对所有其他代理的行为的最佳响应。这个版本的相对标准（隐式和内生）由所有其他管理者的政策参数化j ≠ i 对它们的最优性没有任何假设。定义3.1（管理者的未来相对绩效）。每位经理i ∈ {1, . . .

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-4-24 18:40:29

, n} 满足以下条件：允许任何j ≠ i, (πj, cj) ∈ A.j采取武断但固定且可接受的政策，换句话说，其他管理者已经确定了他们的投资消费可接受策略。因为(πi, ci) ∈ A.i以及主观折扣因素ρi> 0，定义F-逐步可测量的随机场Qi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → RQi(x, t) := e-ρitUi(x, t) +te-ρisVi( ^cisx, s)ds, （3.1）其中^ci由（2.3）和Ui, Vi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是另外两个F-逐步可测量的随机场*.随机场Qi是针对i-总的来说，如果t > 0，以下条件成立：o映射x → Ui(x, t) 和x → Vi(x, t) P-a.s.是严格增加的还是严格凹的；o无论如何(πi, ci) ∈ A.i, Qi(Xit, t) 是一家（本地）超级艺术馆Xi是（2.2）中给出的相对绩效评估流程存在(πi,*, ci,*) ∈ A.i以至于Qi(Xi,*t, t) 是（局部）鞅，其中Xi,*用策略解决（2.2）(πi,*, ci,*) 正在使用中。策略(πi,*, ci,*) 据说是最优的。在上述定义中，我们没有明确提及初始条件Ui(x, 0), Vi(x, 0）但我们假设存在可接受（F-可测量）的初始数据，因此上述定义是可行的。与经典的预期效用情形相反，前瞻性绩效过程是管理者特定的输入。一旦选择了它，超鞅和鞅性质对过程的漂移施加了一定的条件。在足够的规律性下，这些条件会导致正向性能SPDE（见[23,47]），在我们的例子中，它会降低为具有随机系数的PDE（见下面的命题3.4）。由于我们是在对数正态市场中工作，因此有必要研究零波动性（FPP图）的平滑相对性能标准。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:35

[48]中对此类过程进行了广泛分析，但没有相关的性能问题。其中，给出了正向准则的简明描述，以及它们存在和唯一的必要和充分条件。在这种情况下，零波动性远期过程始终是时间递减过程。我们向读者指出，如果存在相对性能问题，则不必如此（另见[20,31]）。我们现在就FPP地图的规则性做出一个长期假设。假设3.2。假设偏导数Uit(x, t), Uix(x, t), Uixx(x, t) 和Vix(x, t), Vixx(x, t) 永远存在t > 0, x > 0，P-a.s.地图，x → Ui(x, t) 和x → Vi(x, t) 正在严格地增加(Uix, Vix> 0）且严格凹形(Uixx, Vixx< 0）任何t > 0, x > 0，P-a.s。。此外t|Ui(x, s)|ds < ∞, 无论如何x > 0, t > 0，P-a.s.来自假设3.2，用于i ∈ {1, . . . , n} 正向地图的分解是dQi(x, t) = e-ρitUit(x, t)dt - ρie-ρitUi(x, t)dt + e-ρitVi( ^citx, t)dt, Qi(x, 0) = ui(x). （3.2）对于后面的用法，我们回顾了应用于随机场的芬切尔-勒让德变换的概念V 在上述假设下。*（3.1）中的第一项对应于代理人当时获得的效用t 从拥有大量财富x. 第二项捕获代理从时间0到时间累积的效用t 以^的速度消费cix. 在下文中，为了简单起见，我们称之为U 财富和财富的效用V 效用来自消费。定义3.3。允许V : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是一个随机的领域x → V (x, t) 是一个Pa.s.严格凹函数t > 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:41

定义随机场V : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R asV (x, t) := 啜饮x>0V (x, t) - xx无论如何x> 0, t > 0和ω ∈ Ω.然后，我们打电话V 的芬切尔-勒让德变换V.要地图吗V 满足假设3.2，其差异性和严格的凹度确保V 3.2最佳响应我们推导出一个具有随机系数的偏微分方程和一个最优投资-消费策略，以满足某些代理零波动性的低相对性能标准i 假设所有其他特工j ≠ i他们已经做出了投资决定。提议3.4（最佳回应）。修理i ∈ {1, . . . , n}. 假设每个经理j ≠ i 跟着(πj, cj) ∈ A.j.考虑随机系数的偏微分方程x, t) ∈ (0, ∞) × [0, ∞) 给出者Uit=ρiUi+θiμπt(-i)- r (1 - θ) -θiσiσπt(-i)(μi- θiσiσπt(-i))νi+ σi-θiΣπt(-i)-θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)xUix(3.3)+(μi- θiσiσπt(-i))2(νi+ σi)(Uix)Uixx+θiσπt(-i)σiνi+ σi- 1.-θin - 1(νπt)(-i)xUixx+ θic(-i)tUix-Vi(Uix, t),哪里Vi代表芬切尔·勒让德的转变Vi可变的x. 假设在允许的初始条件下Ui(·, 0) = ui(·), Vi(·, 0) = vi（·），PDE有一个平滑的解决方案(Ui, Vi), 这不是必须的，但满足假设3.2。确定战略(πi,*, ci,*)πi,*t=νi+ σiθiσiσπt(-i)-μi- θiσiσπt(-i)Uix(Xi,*t, t)Uixx(Xi,*t, t)Xi,*t, (3.4)ci,*t=(Vix)-1.Uix(Xi,*t, t)~c(-i)tθi, t~c(-i)tθiXi,*t, （3.5）在哪里Xi,*解决（2.4）与(πi,*, ci,*) 正在使用中。那么，在定义3.1的意义上，如果(πi,*, ci,*) ∈ A.i如果Xi,*那么，这是很明确的Qi(x, t) 对管理者来说，是一个向前的相对绩效过程吗i 此外，还有政策(πi,*, ci,*) 这是最优的。让我们回顾一下CRRA效用图的概念。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:47

在[46，第5节]之后，我们说一个实用地图U 如果局部风险容忍度函数r : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R、由商给出r(x, t) = -Ux(x, t)/Uxx(x, t) 在空间上是线性的，即。，r (x, t) = δx, 无论如何δ > 0和t > 0, x > 0.这是经典功率效用函数的情况，见下一节3.3。通过直接检查表达式πi,*在（3.4）中，如果本地风险承受功能满足ri(x, t) = δix, 无论如何t > 0（例如，CRRA实用工具），则最佳投资策略在整个时间内是恒定的，如果所有其他代理也选择恒定的投资策略。推论3.5（CRRA下的固定投资策略）。假定Ui和ViCRRA类型，即局部风险承受能力函数在空间上均匀线性。进一步假设所有特工j ≠ i 按照固定的投资策略进行投资πj∈ R.然后，πi,*这是不变的。目前尚不清楚特工是否j ≠ i 使用确定性的持续消费策略cj然后是最优消费策略ci,*在（3.5）中也是如此。接下来，我们将证明“最佳响应”结果，即命题3.4。命题3.4的证明。从（2.2）我们可以了解d (XitX(-i)t-θi) 和dXi.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:53

使用（3.2），我们将It公式应用于Qi(Xit, t) = QiXitX(-i)t-θi, t, 并使用前面的符号集（2.4）获得dQi(Xit, t) = e-ρitUit(Xit, t)dt - ρiUi(Xit, t)dt + Uix(Xit, t)dXit+Uixx(Xit, t)dHXiti+Vi( ^citXit, t)dt= e-ρitUit(Xit, t)dt - ρiUi(Xit, t)dt + Uix(Xit, t)μiπit- θiμπt(-i)+ r (1 - θ)+θiΣπt(-i)+θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)- θiσiπitσπt(-i)Xitdt+ Uix(Xit, t)σiπit- θiσπt(-i)XitdBt(3.6)+ Uix(Xit, t)XitνiπitdWit- θin - 1.nk≠iνkπktdWkt+Uixx(Xit, t)(νiπit)+θin - 1(νπt)(-i)+σiπit- θiσπt(-i)Xitdt- Uix(Xit, t)cit- θic(-i)tXitdt + Vi( ^citXit, t)dt,具有Qi(Xi, 0) = Qixi(x(-i))-θi, 0= uixi(x(-i))-θi而且B, Wj所有i.i.d.都是根据定义3.1，流程Qi(Xit, t) 在最优点变成鞅(πi,*, ci,*), 因此，直接使用一阶条件进行计算(πi“漂移”=ci“漂移”=0）收益率πit=νi+ σiθiσiσπt(-i)-μi- θiσiσπt(-i)Uix(Xit, t)Uixx(Xit, t)Xit,cit=(Vix)-1.Uix(Xit, t)~c(-i)tθi, t~c(-i)tθiXit.（3.7）注射πit在（3.6）的漂移项和简化中，我们得到了一致性条件（3.3），尽管如此，我们并没有明确地执行这一步骤，而是使用这一对(Ui, Vi) 求解（3.3），方程式（3.6）简化为dQi(Xit, t) = e-ρitUix(Xit, t)XitνiπitdWit- θin - 1.nk≠iπktνkdWkt+ Uix(Xit, t)σiπit- θiσπt(-i)XitdBt+Uixx(Xit, t)νi+ σiπit(νi+ σi) -θiσiσπt(-i)- μiUix(Xit, t)Uixx(Xit, t)Xit(Xit)dt (3.8)+ Vi( ^citXit, t)dt - Uix(Xit, t)citXitdt -Vi(Uix(Xit, t), t)dt.平面上的凹度假设Ui(x, t) 这意味着上述表达式的第三项是非正的，并且在（3.7）成立时消失。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:40:59

同时，由于Vi, 的芬切尔-勒让德变换Vi,我们注意到ViUix(Xit, t), t= Vi^ci,*tXit, t- UixXit, tci,*tXit,当ci= ci,*. 我们可以得出结论，如果(πi,*t, ci,*t) = (πit, cit) ∈ A.i以及相关的过程Xi,*明确了（2.4）的解决方案(πi,*, ci,*)),过程Ui(Xi,*t, t) 是局部鞅，否则是局部超鞅。结果得出结论。与[39]相比，我们不知道效用的明确形式，因为它是解决方案的一部分。因此，我们利用凸对偶性质结合HJB方法来证明极值论点。在[31]或[20]中，作者只探讨了投资问题，而这个问题没有出现。3.3初始CRRA功率优先的远期表现i ∈ {1, . . . , n}, 动态Qi由（3.2）给出。然后，方程（3.3）中给出的偏微分方程的解具有以下形式Ui(x, t) =1.-δix1.-δifi(t), δi≠ 1.δi> 0，日志(x) fi(t) + hi(t), δi= 1、（3.9）在哪里x > 0及（fi(t))t>0, (hi(t))t>0地图是否独立于x 令人满意的fi（0）=1和hi（0）=0，是可积且t → fi(t), t → hi(t) 是可以区分的。备注3.6。为了简单起见，我们省略了对数效用的表示，并强调这种情况下的最优策略与一般的幂函数情况一致δi= 1.插上电源。一致性条件（3.3）的结构意味着Vi（见[24，提案4.5]）如下：Vi(x, t) =εi1.-δix1.-δigi(t), （3.10）在哪里x > 0和(gi(t))t>0是独立于x 令人满意的gi（0）=1且可充分积。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:05

我们提到常数δi> 0, δi≠ 1.和θi∈ [0,1]分别作为个人风险承受能力和竞争权重εi> 0表示与消费相比，代理人分配给财富的相对重要性。最后ρi代表代理人的个人折扣率。在这种情况下，初始的权力偏好，我们有当地的风险承受能力的功能Ui满足感ri= -Uix/Uixx= δix, 因此πi,*t=νi+ σiθiσiσπt(-i)+μi- θiσiσπt(-i)δi.我们现在开始寻找该案例的最佳消费地图ci以及公用事业领域。将上面的表达式注入Ui(x, t), Vi(x, t) 在（3.3）中，结合（3.7）中给出的最佳消耗政策，得出了（fi, gi, ci). 我们有cit=~c(-i)tθi(1- δi)ε-δiigi(t)fi(t)δi,fi(t) +ηi+1.-δiθic(-i)tfi(t) +ε-δiiδi~c(-i)tθi(1- δi)fi(t)gi(t)fi(t)δi= 0，（3.11）其中ηit=1.-δiδμi- θiσiσπt(-i)(1 -δi)2(νi+ σi)- r (1 - θi) - θiμπt(-i)+θiΣπt(-i)(3.12)+θiσπt(-i)+n - 1(νπt)(-i)1.-δi- ρi.我们有两个关于三个未知数的方程，现在我们需要进一步假设fi和gi为了解决这个系统。假设3.7。允许gi(t) = fi(t)1.-κi, 哪里κi∈ R.备注3.8。在这里，与[39]或[37]不同的是，人们会自然而然地κi= 1.我们发现了消费效用的非平凡时间依赖结构。我们强调，与HJB方法不同，FPP方法自然支持公用事业的时间动态，HJB方法不以时间为函数对Integrand进行额外加权。我们有两个不同的案例。案例1：让κi≠ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:11

我们得到并求解了一个经典的伯努利方程型常微分方程（我们省略了t （用于简化）fi+ ai(t) fi+ bi(t) f1.-κiδii= 0代表ai(t) = ηit- θic(-i)t和bi(t) =ε-δiiδi~c(-i)tθi(1- δi).替换ki(t) := fi(t)-κiδi我们为你找到颂歌ki(t),κiδiki- ai(t)ki- bi(t) = 0.因此，解决我们的ODEki(t) = eκiδitai(s) ds+ κiδiteκiδitsa(r ) drbi(s)ds,和fi(t) = ki(t)κiδi, gi(t) = fi(t)1.-κi= ki(t)1.-κiκiδi. 堵住fi, gi在（3.11）的第一个等式中的表达式以及消费策略的一般形式，我们可以提取最优消费图的形式。案例2。允许κi= 0.在这种情况下，代理的最优消费策略i 简单程度相当高。更准确地说，从（3.11）我们得到cit=~c(-i)tθi(1- δi)εδii.3.4命题3.4最佳响应的正向纳什均衡观点我们现在求解同时最佳响应，以确定纳什均衡的存在性。定义3.9（正向纳什均衡）。让我们来看看i ∈ {1, . . . , n}, (πi,*, ci,*) ∈ A.i及(πi,*, ci,*) 是提案3.4意义上的最佳策略。允许πi, ci∈ A.i. 允许QiF-逐步可测量的随机场是否令人满意Qi(x, t) := e-ρitUi(x, t) +te-ρisVi( ^cisx, s)ds,在哪里ci由（2.3）和cj= cj,*, j ≠ i 和Ui, Vi: Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是另外两个逐步可测量的随机场。前向纳什均衡包括n-F的三倍t-改编地图(Qi, πi,*, ci,*) 具有i = 1.n这样对任何人来说t > 0以下条件成立。i）映射x → Ui(x, t) 和x → Vi(x, t) P-a.s.严格递增且严格凹；ii）让管理人员j ≠ i 依照(πj,*, cj,*), 经理i 按(πi, ci) ∈ A.i, 拿走Xi作为相关的相对绩效财富过程（2.4）和相对消费指标^ci由（2.3）给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:19

然后Qi(Xit, t) 是（本地）超级艺人。iii）让所有管理人员按照(πj,*, cj,*), 拿着Xi,*作为相关的相对性能和海拔过程（2.4）和相对消耗指标^ci,*由（2.3）给出。然后Qi(Xi,*t, t) 是（局部）鞅。与可分离功率因数形式的FPP的平衡为了获得明确的结果，我们关注（3.9）-（3.10）的可分离功率因数形式的情况，其中Uix/Uixx= Vix/Vixx= -δix. 值得注意的是，在我们表述问题的层次上，我们恢复了[39，定理3]的结果，对于这些结果，我们已经Uix/Uixx= -δix, 总之t 和x > 0（注意他们的评论5）。假设3.10。设置gi(t) := fi(t)1.-κ在（3.9）-（3.10）中κ ∈ 任何人都可以i = 1.n.可以看出，PDE（3.3）依赖于两个未知函数U 和V, 这样就形成了一个不确定的系统。因此，假设3.10对于确保方程对于唯一的纳什均衡是可解的至关重要。同时我们必须假设κ 在整个种群中保持不变，以得到纳什均衡解。定理3.11。让命题3.4的条件适用于所有代理人i ∈ {1, . . . , n}. 假设代理具有可分离的功率因数形式的前向映射Ui, Vi有初始条件。Ui(x, 0) = εiVi(x, 0) =1 -δix1.-δi, εi> 0, δi> 0, δi≠ 1，如（3.9）-（3.10）所示。确定数量φσn=nnk=1.δkσkμkνk+ σk1 +θk(1- δk)n-1., ψσn=n - 1.nk=1.θk(1 - δk)σkνi+ σi1 +θk(1- δk)n-1.,λi= ε-δi1+θin-1(1-δi)iεδθi(1-δi)( θ (1- δ)-1)1+θin-1(1-δi), βi=1 +θin-1(1 - δi)θi(1 - δi)θ(1 - δ) - 1.ηδ - ηiδi,εδ=nk=1.εδk1+θkn-1(1-δk)kn, ηδ =nnk=1.ηkδk1 +θkn-1(1 - δk),和θ(1 - δ) =n - 1.nk=1.θk(1 - δk)1 +θkn-1(1 - δk).也让我们一起去吧i = 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-4-24 18:41:26

, n, 地图ηit被定义为ηit= ηi:=1.-δiδμi- θiσiσπ(-i)(1 -δi)2(νi+ σi)- r (1 - θi) - θiμπ(-i)+θiΣπ(-i)(3.13)+θiσπ(-i)+n - 1(νπ)(-i)1.-δi- ρi,其中的显式表达式σπ(-i), μπ(-i), (νπ)(-i)和∑π(-i)分别在（A.1）、（A.2）、（A.3）、（A.4）的补充材料中找到。如果ψσn≠ 1和假设3.10成立(κi= κ 总之i) 然后，一个唯一的最优候选策略存在于最优候选策略中πi,*和ci,*给出者πi,*=νi+ σi1 +θi(1- δi)n-1.θiσi(1 - δi)1 +n - 1.φσn1.- ψσn+ μiδi, (3.14)ci,*t=βi+λi-βieκ βit-1.βi≠ 0,- κt +λi-1.βi= 0，（3.15）和ηitin（3.13）在时间上是常数。此外，最优候选策略是一种前向纳什均衡策略，如果κ 60或κ > 0, βi> λi.前向纳什均衡由n-三倍{(Qi,*, πi,*, ci,*)}i=1.n在哪里Qi,*(x, t) =e-ρitUi,*(x, t) +te-ρisVi,*( ^cisx, s)ds, 具有Ui,*, Vi,*（3.3）（形式为（3.9）-（3.10））的最优策略解π·,*, c·,*插上电源。地图fi, gi可根据belowin（a.11）给出的闭合公式确定。如果ψσn= 1或κ > 0, βi6.λi那么就不存在纳什均衡。证据完整的证据可在补充材料的A部分找到。参数κ 被解释为市场风险相对消费偏好，在下文第5节中，我们将详细讨论其经济特征和比较解释。投资策略（3.14）是与[20,39,40]相匹配的经典表达。消费策略的表达式（3.15）与[39，等式（5）]中的结果相似，但在以下方面存在重大差异：κ. 什么时候κ = 1那么结果与[39]一致。对于某些参数组合λi, βi和κ, (ci,*t)t>由于时间限制，不允许使用0。我们进一步评论该案的可受理性c*在第5节。备注3.12（开放性问题）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:32

为了得到纳什均衡结果，我们仅限于κ 作为康斯坦塔克罗斯的代理人，同样的情况也将发生在下一节的制造案件。这种限制是技术性的，源于难以表达所有平均值的一致性方程ci（即，（A.7）不再是可及的）如果没有这样的方程，系统就无法求解。同时，为了“最佳回应”所有κi’它们可能是不同的。悬而未决的问题是，如果一个人允许不同的κi’s、如何执行聚合过程来表示所有平均值的一致性方程ci?在[8]中可以找到一个如何克服这个问题的例子。在那里，聚集是通过所谓的加权扩张inf卷积实现的，作者们发现了代表他们经济的代理人的动力学方程，这使他们能够解决纳什均衡问题。在FPP的背景下，代表性代理方法仍有待探索。例如，目前尚不清楚如何在该框架中执行INF卷积，因为FPP事先不知道。与经典的效用博弈型问题相反，它是问题解决方案的一部分。最后，如果κ = 1然后我们的FPP解决方案可以在时间范围内重写T 准确地恢复[39]（和[40]的结果，如果Vi= 0）和[31]中的两名玩家，无消耗。这样的计算很简单，因此省略了。我们用单一股票案例的推论来结束这一部分。推论3.13。允许μi= μ, σi= σ, νi= 0，对所有人来说i = 1.n 和μ, σ > 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:38

然后λi, βi, θ暴击，ρδ, δ 表示为λi= ε-δi1+θin-1(1-δi)iεδθi(1-δi)( θ (1- δ)-1) (1+θin-1(1-δi) ), θ临界值=1-n-1.nk=1.θk(1- δk)1+θkn-1(1- δk)δ,δ =n - 1.nk=1.δk1 +θkn-1(1 - δk), ρδ =nnk=1.ρkδk1 +θkn-1(1 - δk)βi=μ2.σ1 +θin-1(1 - δi)1.-δi1 +θin-1(1 - δi)1.-θiθ暴击1 +θin-1.δi+θiθ暴击（1）- δi)+r1 +θin-1(1 - δi)(1 - δi)1.-θiθ暴击+1 +θin-1(1 - δi)θiθ暴击ρδδ(1 - δi) + ρiδi.那么，如果θ暴击≠ 1.最优候选策略与最优(πi,*, ci,*)πi,*=μσ1 +θin-1(1 - δi)δi+θiθ暴击（1）- δi),ci,*t=βi+λi-βieκ βit-1.βi≠ 0,- κt +λi-1.βi= 此外，最优候选策略是纳什均衡，如果κ < 0，或κ > 0, λi< βi.4中值前向优化博弈定理3.11我们可以看到，代理人的最优策略和FPP取决于该代理人的特定参数（模型参数、初始财富、风险承受能力和绩效关注）和所有代理人参数的特定平均值。这激发了游戏的MFG方法。在本节中，我们正式提出了CRRA前向平均场纳什博弈的概念，并在[20]中进行了介绍。我们使用[20,39,40]中介绍的类型分布的概念。我们关注的是当时的前沿地图t = 0为幂型，Ui(x, m, 0) = εiVi(x, m, 0) =1.-δixm-θi1.-δi, δ > 0, δi≠ 1.日志(xm-θi), δi= 1.在哪里x > 0, m > 0分别表示代理人的财富和其他代理人的平均财富（例如：Ui) 或该药剂的消耗量和其他药剂的平均消耗量（例如Vi). 我们指δi> 0和θi∈ [0,1]作为个人风险承受能力，竞争权重参数分别εi> 0表示代理人分配给财富相对于消费的相对重要性。最后，对于可容许的策略对集(πi,*, ci,*), i = 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:44

, n, 我们回顾了前向相对绩效流程Qi(x, t) := e-ρitUi(x, t) +te-ρisVi( ^cisx, s)ds, 哪里cis由（2.3）给出。我们指的是ρi作为个人折扣率。在这里，与前一节一样（见备注3.6），我们跳过对数情况。对于n-代理游戏，我们为每个代理定义i = 1.n 类型向量ζi:= (xi, δi, θi, εi, ρi, μi, νi, σi),每个代理都有其独特的特点i. 这些类型向量产生了一种经验度量，称为类型分布，这是类型空间Z上的概率度量e:= (0, ∞) × (0, ∞) × [0, 1] × (0, ∞) × [0, ∞) × (0, ∞) × [0, ∞) × [0, ∞), （4.1）由mn( A) =nni=1.A(ζi), 对于Borel集A Ze.假设随着代理数量的增加，n → ∞, 上述实证指标mn有弱点m 从某种意义上说Zef dmn→Zef dm 对于每个有界连续函数f 在Z上e. 例如，如果ζi’s是来自中国的i.i.d.样本m. 允许ζ = (ξ, δ, θ, ε, ρ, μ, ν, σ) 表示aZe-具有极限分布的有值随机变量m.我们接下来定义的平均场博弈（MFG）允许我们将极限策略导出为自包含均衡问题的结果，该问题直观地表示了一个具有连续类型分布的代理的博弈m. 我们没有直接建模一个连续的代理，而是遵循MFG范式建模一个我们认为是从人群中随机选择的单一通用代理。概率测量m 表示类型参数在代理连续体中的分布。等价地，泛型agent的类型向量是一个具有规律的随机变量m. 启发性地，连续统中的每个代理在两个布朗运动的驱动下交易一只股票，其中一个是该代理所独有的，另一个是所有代理所共有的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:52

我们将定义3.9的正向纳什均衡扩展到下面的制造设置。4.1作为类型分布样本和市场的试剂（Ω，F，F=（F）t>0，P）是支持两个独立布朗运动的随机基W =(Wt)t>0和B = (Bt)t>0与随机向量一起ζ 有分布m 由ζ = (ξ, δ, θ, ε, ρ, μ, ν, σ), （4.2）空间Z中的值e（4.1）中定义，且独立于W 和B. 设F=（F）t)t ∈ [0,T ]表示满足通常假设的最小过滤ζ FMF是可测量的吗W 和B 适应了。让我们也来看看FB= （F）Bt)t ∈ [0,T ]表示布朗运动产生的自然过滤B.通用代理的财富流程是dXt= r Xt+ πtXt( μ - r)dt + νdWt+ σdBt- ctXtdt, X= ξ, （4.3）对于自我融资战略(πt)t>0，代表投资于风险资产和消费政策的财富份额(cit)t>0，代表单位财富的瞬时消费率。它们必须一起属于允许的setAMF=(π, c) : F-逐步可测R×（0，∞)-有价值的过程(πt, ct)t>0，Et(|πs|+ |cs|)ds< ∞, 无论如何t > 0.无风险利率r 对整个人群来说是确定的和固定的。随机变量ξ 是仿制药的初始财富，而μ, ν, σ) 是市场参数。如前几节所述，我们表示μ := μ - r 作为超额回报。在续集中，参数δ, θ, ε 和ρ 将影响通用代理的风险和消费偏好。连续体中的每个代理都有不同的参考参数。因此，这八个参数是F-随机的，每个参数的解释与n-前一节的玩家游戏。4.2平均场均衡第3节的前向纳什博弈公式推动了我们在这里讨论的平均场博弈公式，另见[20,39]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:41:58

回想一下，在MFG配方中，通用药剂不会影响药剂连续统的平均财富，就像连续统中只有一种药剂一样。接下来，我们将介绍平均场（MF）的概念——远期相对绩效，π*, c*是货币基金均衡，主要利益对象是货币基金远期相对表现均衡。假设4.1。假设导数Ut(x, t), Ux(x, t), Uxx(x, t) 和Vx(y, t), Vxx(x, t) 为所有人而存在t > 0, x > 0，P-a.s.此外，x → U (x, t) 和x → V (x, t) 正在严格地增加(Ux, Vx> 0）且严格凹(Uxx, Vxx< 0）任何t > 0, x > 0，P-a.s.鉴于这种设置，我们接下来定义了平衡的概念（另见[20]）。定义4.2（MF CRRA远期相对绩效均衡（针对一般经理））。让(Xt)t>0和（Γ）t)t>0be FB-分别代表代理人连续统的几何平均财富和几何平均消费的自适应正平方可积随机过程。让(π, c) ∈ 阿姆芬德Xπ,c用公式求解（4.3）π 和c.设置一个逐步可测量的FMF随机场(Q (x, t))t>对一些人来说ρ > 0，动态Q(x, t) = e-ρtU(x, t) +te-ρsV ( ^csx, s)ds, （4.4）在哪里ct= ctΓt-θ和U, V : Ω × (0, ∞) × [0, ∞) → R是另外两个F-逐步可测量的随机场。田野Q 通用经理的MF远期相对绩效是否t > 0，以下条件成立：i）映射x → U (x, t), x → V (x, t), 是P-a.s。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:42:04

严格递增和严格凹；ii）任何(π, c) ∈ AMF，Q(Xπ,ctX-θt, t) 是（本地）超级马丁格尔Xπ,c是通用代理对策略的第四个解决过程（4.3）(π, c);iii）存在(π*, c*) ∈ Amf就这样Q (X*tX-θt, t) （局部）鞅X*解决（4.3）与(π*, c*) 插入作为策略；iv）我们打电话(π*, c*) iii）MF平衡，如果Xt= exp E[logX*t|FBt] Γt= exp E[logc*t|FBt] 总之t > 0，P-a.s.，在哪里X*解决（4.3）与(π*, c*) 作为策略插入。我们表示六元组(U, V, π*, c*, X, Γ）满足i）-iv）MF远期相对绩效平衡。最后一点可以理解为一个定点参数，它在代理的连续统一体中创建了通用代理之间的兼容性条件。布朗运动的条件B, 每个人都面临着独立的噪音W 和一个独立的类型向量ζ. 如[20,39,40]所述，有条件地B, 所有代理都面临相同优化问题的ID副本。大数定律表明，全体人口的几何平均终端财富应为exp E[log]X*t|FBt].我们的构造允许我们识别exp E[logX*t|FBt] 然后，将该组件视为一个额外的非受控状态过程。这避免了使用带有不同类型代理的主方程模型的争论。目前尚不清楚我们提出的远期制造定义（具体为第四点）是否能够有效地处理随机系数的情况，或远期效用图的一般设置，以及完整的It领域表示（具有波动性）。如果我们想将其归纳为随机系数，那么在早期的著作[39,40]中已经存在同样的问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-4-24 18:42:10

尽管如此，这一定义在默顿市场模型体系中非常有效，产生了一个特别容易理解的研究框架，以理解一般案例的内在困难。此外，我们的目标是进一步解释结果，因为这是将MFG与前瞻性性能标准相结合的首批工作之一。4.3解决优化问题我们现在展示本节的主要结果。根据定义4.2，在类似于（3.9）的结构假设的背景下，通用经理存在MF远期相对绩效平衡。从方法论的角度来看，这个问题还是像以前一样得到了解决。把它的公式应用到Q(Zπ,ct, t),确定最佳策略(π*, c*) 以及Q 使定义4.2的前三个条件成立。最后一个条件，来证明(π*, c*) 事实上，由于整个配方从一开始就嵌入了固定点条件，因此制造平衡将随后进行构建。接下来，我们提出了可分离功率因数形式的假设U 和V .假设4.3。允许U(x, t), V (x, t) 例如，请接受以下表格x > 0, t > 0,U(x, t) =1.-δx1.-δf (t), V (x, t) =ε1.-δx1.-δg(t),对于t → f (t) 对任何人来说都是不同的t > 0和f （0）=1，对于某些随机变量ε > 0和g(t) = f (t)1.-κ对一些人来说κ ∈ R（我们在哪里g(0) = 11-κ= 1). 此外，让我们考虑一下t > 0,t| f (s)|ds < ∞, P-a.s.参数δ > 0, δ ≠ 1代表代理人的风险承受能力ε > 与消费元素相关联的0表示与财富相比，代理人分配给消费的相对重要性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝