（4.8）如果ψσ= 1或κ > 0, β 6.λ, 那么就不存在MF平衡。证据完整的证据见附录B节。我们讨论的是该案的可采性c*在第5节。我们现在提供单个股票案例的结果。推论4.5（单株）。允许μ, σ, ν 确定ν = 0和μ, σ > 0.那么λ, β 表达方式是什么λ = ε-δeE[δ 日志ε ]θ (1- δ)E[θ (1- δ ) ]-1, (4.9)β =μ2.σδ +θθ暴击（1）- δ)+ r(1 - δ)1.-θθ暴击+θθ克里特[ρδ]E[δ](1 - δ) + ρδ,哪里θ临界值=1-E[θ (1- δ) ]E[δ ].如果E[θ (1 - δ)] ≠ 1然后存在一个最优候选策略(π*, c*) 给出者π*=μσδ +θθ暴击（1）- δ)和c*t=β+λ-βeκ βt-1.β ≠ 0,- κt +λ-1.β = 0.（4.10）此外，最佳候选策略是MF均衡，如果κ 60，或κ > 0, λ < β.备注4.6（关于n-玩家游戏）。我们可以看到，MF的平衡点是n-玩家博弈均衡策略n → +∞, P-a.s。。根据大数定律，相应的参数及其函数收敛于类型分布的平均值。5.对结果的讨论在本节中，我们侧重于通过分析推论4.5给出的平均场博弈的单个股票案例（与推论3.13相比）获得的结果的解释。这种方法为模型提供了现成的有价值的见解，捕捉了关系及其解释，同时避免了一般情况下复杂的依赖关系。该案例还允许与[39]使用标准效用图的结果进行比较。为了简单起见，如果没有具体说明，我们写π, c 指(π*, c*) （4.10）给出的平均场单一股票最佳候选策略。

为了全面概述，我们一直提到不可接受的均衡情况，尽管我们的讨论集中在MMF均衡策略上。我们不讨论最优投资策略π 省略一些关于最优消费策略的细节c 因为这些与之前的工作重叠[20,39,40]。我们将注意力限制在与消费偏好相关的市场风险上κ 以及它与最优消耗范围内的其他参数的相互作用c. 案件κ = 1只是[39，第4节]的内容，我们将读者引向这里的讨论。在开始之前，我们强调这里发现的行为κ ≠ 1，不是[39]的不对称版本——这很容易在图5.3和表5.1中看到。经典参数包括经典结果。在没有性能问题和竞争的情况下（例如。，θ = 0）我们恢复了默顿[44]和萨缪尔森[49]在（4.10）中的经典结果：代理人将财富的一小部分投资于股票，消费策略与时间相关，投资和消费策略都是独立的——这适用于[40]中的经典效用结果。这里和[20]中的结果都不同于上述结果，因为经典结果封装了对时间范围的依赖。什么时候κ = 1.我们在[39]中查看了结果。市场参数β, λ 在（4.9）中。在[39]和推论4.5中，我们重写了β 在（4.9）中，作为β =μ2.σ(1 - δ（f）δe ff+r (1 - δe ff）+ρδ伊夫，在哪里δe eff=（1）-θθ（暴击）δ +θθ克里坦德δe eff=（1）-θθ（暴击）δ +θθ克里特θ临界值=1- E[θ(1 - δ)]E[δ]和θ临界值=ρ1.- E[θ(1 - δ)]E[δρ].什么时候ρ 在我们的人口中是决定性的δe eff=δ伊夫和θ临界值=θ暴击。

此外β 还原为下面的表达式β =μ2.σ(1 - δ)δ + r (1 - δ) + ρδ, 这让人想起经典的默顿结果。此外，设置r = ρ = 0，我们可以重写β 像β =πμ(δ - 1)θθ暴击- 1.,这表明β 实际上，是预期回报乘以一些额外风险（在对数风险容忍度投资者之上）和不同的竞争比例（在θcrit（竞争性投资者）。因此我们解释β作为预期的有效投资组合回报。说到λ （见（4.9）），λ =εδ× (H（人口）θ (1- δ)哪里H人口=eE[δ 日志ε ]E[θ (1- δ ) ]-1、注意的主要关系是它与代理人对财富的相对感知与消费的负相关ε 并根据风险承受能力进行衡量δ, 然后根据代理人对总体参数的特定权重（与代理人的风险规避和竞争偏好相关）进行调整H人口因此，我们对待λ 作为“效果”ε . 一如当初ε 在一般FPP过程中（见假设4.3），我们描述了财富效用和消费效用之间的线性关系λ 作为对财富与消费的有效相对感知。相对消费偏好的市场风险κ在深入分析κ, 我们区分两种设置及其解释。没有竞争的经纪人(θ = 0）或纯粹寻找对其他代理人所采取行动的“最佳反应”（见备注3.12）可以确定其自身的特质κ. 同时，对于纳什正向均衡，所有参与者都必须通过一个公共模型进行交互κ.

在这两种情况下，我们都解释κ作为一种市场风险相对消费偏好，当代理人可以自由选择时κ 为了她自己(θ = 0案例或最佳回应），代理人通过以下选择寻找最合适的市场投资消费环境：κ.跨期替代弹性（EIS）的概念我们首先计算宏观经济和金融中消费动态选择模型中的一个主要参数[51]。跨期替代弹性（EIS）衡量代理人根据投资机会的变化以未来消费替代当前消费的意愿，由[4,32]EIS:=-dtct/ctdtVx(ctz, t)/Vx(ctz, t),对一些人来说+z > 0.EIS衡量消费增长对实际利率偏差的响应，后者由上述表达式的分母捕获。如果EIS<0，则代理人将受到收入影响。相反，EIS>0被称为替代效应（见引言）。最后，EIS=0对应于恒定消费率的情况，在这种情况下，代理人对实时增长不感兴趣，并且愿意在所有时间花费收入的恒定部分。我们向读者介绍从众弹性的新概念。定义5.1（合规弹性（EC））。允许ct以及ct分别为通用试剂消耗量和几何平均值（2.3）。我们定义了一致性的弹性γt像γt:=d(tct/ct)d(t~ct/ ~ct).

（5.1）一致性弹性（EC）反映了代理人消费量的变化如何受到典型代理人消费量随时间变化的影响（与几何平均值相比）。欧共体的正负号表明，代理人的决定符合投资者的主要趋势，即增加/减少消费，以应对几何平均消费的下降。此外，+所给出的公式说明了代理人的消费率等于ctz, 哪里ct是以财富和财富为单位的消费率z > 0一定数量的财富。一方面，确定财富的数量有助于我们纯粹调查消费的相对影响，另一方面，它允许评估其计算EIS的时间差异，与ctXt具有不同的形式，因此不可计算。选择保持非零消费水平的代理，由其EIS渐进地记录为0t → ∞ （见图5.1 a）和c））。现在我们计算通用代理的EIS:=-dtct/ctdtVx(ctz, t)/Vx(ctz, t)= -dtct/ctdVxx(ctz, t)tctz + Vx(ctz, t)tg(t)g(t)Vx(ctz, t)=dtct/ctdδtct/ct-tg(t)/g(t),鉴于CRRA的财产Vx/Vxx= -δx. 注射（4.8），g(t) =ctδ~ctθ (δ-1)εκ-1.κ, 产量tg(t)g(t)=tctctκ - 1.κδ+t~ct~ctκ - 1.κθδ- 1.=tctctκ - 1.κδ1 + θ1.- δGt,哪里Gt:=tct/ctt~ct/ ~ct. 回到之前的EIS表达式，我们发现=dtct/ctdδtct/ct-κ-1.κδ1 + θ1.- δGttct/ct=δκ1.- θ(1 - κ) (δ - 1)γt.与经典效用优化方法相比，EIS经典=δ FPP方法允许V 这就是EIS。

NamelyEIS（θ≠0)t=EIS（θ=0)1 - θ(1 - κ) (δ - 1)γt, 其中EIS（θ=0)= κδ = κ ×（5.2）带有γt代表与时间相关的一致性弹性（EC）。这里的FPP允许我们解开风险承受能力的谜团δ 跨期替代弹性（EIS）——标准效用理论不允许这样做。[9，幻灯片22]通过递归实用程序的使用（在比我们更受限制的默顿市场框架中，但在MFG中）报告了相同的功能，这与我们的结果（5.2）非常接近。与标准效用理论相比，FPP设置捕捉了风险的不同维度，由κ, 这纯粹来自消费环境和进一步扩大的EIS。什么时候κ = 1.标准CRRA实用程序框架的情况，并在[39]中进行了分析，立即yieldsEIS=δ = 艾斯经典。图5.1显示了一组类型向量具有固定分布的制剂的消耗、效用、EC和EIS模拟。查看图5.1a）值得指出的是，在我们的模拟中，由于大多数代理人的行为受到收入影响，平均（几何）消费逐渐衰减为0。像β 是从上而不是从下有界的，并且给出了类型分量的对称分布δ 和θ 在临界值1和θcr it分别模拟β 更可能是负的，因此从长远来看，消费将被推至0。

随着时间的推移，没有将消费降低到零恒定水平的代理与主要投资者群体无关，人们看到他们的一致性弹性（图5.1c）收敛到零。此外，从长远来看，他们的消费行为变得完全缺乏弹性（EIS）→ 0作为t → ∞在图5.1d）中）。相比之下，选择逐渐将其消费量降至0（遵循市场趋势）的代理在长期内具有恒定的正EC和恒定的负EIS。0.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0。00.51.01.52.02.5c（t）a）消耗动态c（t）12345678910平均值0。0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0。00.20.40.60.81.01.2fb）公用事业动力f（t）123456789100.0.51.01.52.02.53.0t-0.50.00.51.01.52.02.53.03.5ECc）一致性弹性（EC）123456789100.0.51.01.5 2.0 2.5 3.0t-8.-6.-4.-20246EISd）EIS12345678910图5.1：模拟试剂类型随时间的变化：a）最佳消耗量（4.10）；b） 效用动力学f (4.8); c） 一致性弹性（EC）（5.1）；d） 环境影响报告书（5.2）。所有参数作为关节类型分布的组成部分是独立的，模拟如下：δ/2.~ Beta(1.5, 1.5), θ ~ Beta(3, 5), ρ ~Beta(1, 19), r = 0.05, λ = 1.μ = 5.σ = 1.κ = -2.θ临界值=0.375，其中Beta（·，·）指的是betadistration。相对消费偏好的市场风险κ 在没有性能问题的情况下：θ = 0（无竞争）选择不同的EIS和风险承受能力。在没有竞争的情况下，即θ = 0，（5.2）已产生非标准EIS（θ=0)= κδ, 而标准效用理论与CRRA型效用yieldsEISclassic=δ.

没有竞争，因为我们不再需要κ 为了在整个人群中保持一致性和确定性，代理人可以选择他愿意投资的消费环境，因此，与[39]相反，代理人可以决定自己的风险承受能力δ 和EIS（θ=0）独立进行。对于κ > 0那么EIS（θ=0）>0，因此代理人受到收入影响，否则κ < 0当EIS（θ=0）<0且该试剂允许替代效应。最后κ = 0反映了作为EIS的恒定消耗率（θ=0)= 0. 最后一种情况尤其重要，因为实证研究发现，一般家庭的环境影响指数在0左右（见[32]、[12]、[17]）。在我们的框架中，EIS=0可能仅仅意味着κ = 0而不是低风险承受能力δ = 0.我们没有提供任何正式证据，但认为κ 不能以重新定义剩余模型参数（即，r, ρ, ν, ε, β, λ) 然后参考模型的变量（带有重新定义的参数）。实际上，κ 代表了建模的新自由度。尽管如此，两者之间的比例效应κ, β, λ 在消费策略层面上是存在的。具体来说β 和λ, 定义^β := κ β,^λ := κλ, 和c(β,λ,κ)t:= c*t具有c*t（4.10）中给出的表达式κ ≠ 0（和β, λ). 然后c(β,λ,κ)可以改写如下c(β,λ,κ)t= κ-1.c(^β,^λ,κ=1)t.重要的是要注意这一点κ = 1.消费c(^β,^λ,κ=1） 是[39]的意思。按结构λ > 但是^λ ∈ R、 另一方面κ > 0参数^β,^λ 保留原貌β 和λ.相对消费偏好的市场风险κ 在性能方面：θ ≠ 0现在，代理商在竞争时会同步他们的消费偏好(κ 对于所有代理来说都是一样的，见备注3.12）。

从（5.2）中，代理人看到她的消费动态被竞争重新衡量(θ ≠ 0）以及市场环境(κ ≠ 0). 代理人可以通过调整风险竞争偏好（EC取决于β 和λ 正如代理的参数所暗示的那样）。“市场风险相对消费偏好”参数κ. 此参数出现在Assumption3中。7和4.3权衡财富的效用与通过g(t) = f (t)1.-κ. 它反映了与财富积累相比，环境赋予消费过程的时间权重。与风险承受能力并驾齐驱δ 标准实用程序的u(x) =1.-δx1.-δ, 我们解释κ 作为市场风险的一个参数，反映市场如何鼓励其代理人偏好消费而非财富和其他。为简单起见，回顾无竞争环境影响报告书，环境影响报告书（θ=0)= κδ, 我们可以看到κ 作为风险的另一个维度，进一步调整每个代理的消费反应，以适应实际利率的偏差。图5.2显示了κ 关于通用代理的消费和效用动力学。什么时候κ > 0时，代理人的效用对财富偏离比消费更敏感（如g(t) = f (t)1.-κ)需要区分两种情况：κ > 1和0<κ < 1.大型企业的市场环境κ 使代理人的财富效用与消费成反比。在这种情况下，来自财富的效用增加百分比将对应于来自财富的效用减少，反之亦然，这使得代理人对财富的消费厌恶。另一方面，当0<κ < 1环境促使代理人从消费中获得适度效用，而不是从财富中获得效用。

从消费效用的增加或减少百分比中，代理人将从财富中获得更大的效用变化。如果κ < 0总的趋势与0的趋势相反κ < 1.相对于财富效用动力学，消费效用的变化具有更大的权重。我们指的是κ < 1.消费对财富的容忍度，表明代理人的财富积累效用与消费一致。不过，我们强调，他们相互关系的质量取决于κ. 最后κ = 0处方f = g, 环境告诉代理人要平等地选择财富和消费。在这里ct= λ 总之t > 0（见（4.10）），换句话说，代理人没有动态参考，无法偏离对财富与消费的有效相对感知λ. 回顾（4.10），我们可以重写c 像ct=β+λ-βeκ βt-1=β1.- eκ βt+λeκ βt-1.0.0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0。00.51.01.52.0c（t）βa）消耗c（t）κ=2.0κ=1.5κ=1.0κ=0.5κ=0.0κ=-0.5κ=-1.0κ=-1.5κ=-2.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t0。财富效用动力学f（t）κ=2.0κ=1.5κ=1.0κ=0.5κ=0.0κ=-0.5κ=-1.0κ=-1.0κ=-1.5κ=-2.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0t0。00.51.01.52.0g（t）c）消费效用动力学g（t）κ=2.0κ=1.5κ=1.0κ=0.5κ=0.0κ=-0.5κ=-1.0κ=-1.5κ=-2.0图5.2：单个代理的优化问题的不同元素的曲线图κ 从…起-2至2:a）消费动态c(t) 下渐近线为零，上渐近线为β; b） 财富效用动力学f (t); c） 消费效用动力学g(t).

参数是δ = 0.5, θ = 0.6, ρ = 0.04, r =0.05, β = 2.16, λ = 1.μ = 5.σ = 1.大致上κ = 0，市场上没有与他们竞争的代理人λ 相对于他们预期的有效投资组合回报β.图5.3显示了κ 在不同消费组合的消费地图上λ, β. 什么时候κ ∈ (-1.1）消费的稳定状态（渐近线）要晚得多。在这个模型中，一个独特的宏观经济学因果现象κ 值得注意的是。假设有一个可以控制κ 然后，给定市场参数，通过操纵κ 中央计划者可以鼓励或阻止整个市场的消费。这是一个众所周知的（凯恩斯主义经济学）经济衰退时期的经济刺激政策。我们简要地讨论了折扣因素的影响ρ 以及无风险利率r. 通过观察（4.9），我们可以注意到r 和ρ 关于预期有效的投资组合回报。迹象β a影响药剂消耗的方向和速率（4.10）。因此，通过适当选择个人折扣系数，代理人可以调整β, 使其变大/变小，以超过λ和0（发生在c*（4.10）–见表5.1）、0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5t0。00.51.01.52.0c（t）a）β=1，λ=2κ=-2.0κ = -1.0κ = -0.50.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5t0。00.51.01.52.0c（t）b）β=2，λ=1κ=-2.0κ = -1.0κ = -0.50.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5t0。00.51.01.52.0c（t）c）β=-1, λ = 1κ = -2.0κ = -1.0κ = -0.50.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5t0。00.51.01.52.0c（t）d）β=2，λ=1κ=2.0κ=1.0κ=0.5图5.3：最佳c of（4.10），用于各种参数组合，突出显示κ → (ct)t>0通过到达渐近线的方式。两者之间的相互作用κ 具有β 和λ 论消费政策c.

我们参考[39，第4节]综合分析ρ = r = 0和κ = 1.经检查，这种减少适用于我们的情况κ > 0，所以我们把重点放在κ < 0，即市场鼓励替代效应。就市场行为而言，有4种情况需要区分：β > λ, 0 6 β < λ, β < 0 < λ 和β = λ我们在表5.1中总结了它们（通过单调行为、相关渐近线和可容许性）。如果β = λ 然后κ 在这方面没有任何作用c, 但它确实会影响效用图。我们强调，预期的财富回报率，tE[logXt|F] ，遵循与c.第一ct时间在增长β > λ. 事实上，当人们对财富的相对看法很大时，也就是说ε % ∞ 然后λ & 0+时，代理的消耗不会消失，并单调增加到β; 这与案件形成了鲜明对比β > λ 在下面κ > 0，在哪里ct& 0+单调地作为t → ∞ （对比图5.3 b）和d）。从一开始，代理人就关注财富，因此打算在短期内减少消费（图5.3 b）。然而，从长远来看，代理人遵循市场偏好购买（见图5.2，b）和c）为负κ’s） ，并将她的消费比例提高到某种渐近稳定的水平（=β). 随着经纪人财富的增加，她无法抗拒环境的刺激，尽管她更喜欢财富。这种特殊情况模仿了一种“与他人攀比”的行为，因为有一群超级富有的代理人：致富的有效效用来自消费水平的提高，竞争和密集的消费环境加速了这种效用。这种趋势与β < λ, 这是单调递减的。

的确，什么时候ε & 0+, λ % +∞,代理人更喜欢消费而不是财富（而市场推动代理人消费）κ < 因此，从一开始，代理就以更高的比率进行消费。然而，我们在这里区分了两个子案例。具有预期有效投资组合回报的代理人β > 0，她寻求稳定她的消费量，从而将其降低到安全水平β （图5.3 a）。当特工选择β < 0，她单调地将她的消费率降低到0，即使她是从更高的水平开始的。这是当代理是极端宽容的情况(δ > 1） 或者很有竞争力(θ > θcrit）或两者兼而有之，因此，即使代理人随着时间的推移从消费中获得更多的效用价值，她也会积累财富（图5.3 c）。图5.3 d）显示了收入影响。由于环境促进了财富的效用而非消费的效用，代理人被迫将其消费逐渐减少到0——见积极的一面κ 图5.2 b）和c）中的案例。最后，当κ = 0或β = λ 消费ct常数等于λ. 在前一种情况下，κ = 0时，代理人对消费和财富偏好的动态是相同的（由f (t) = g(t)因此，EIS=0）。因此，代理人的最佳消费政策是对财富的持续有效相对感知λ. 尽管如此，代理人的效用受到以下因素的影响：κ. 表5.1对所有案例进行了简洁的总结。另请参见补充材料中的图C.1，了解ct作为κ, δ, θ.表5.1：动物的行为(ct)t>0of（4.10）作为其参数的映射。这里&、%分别表示从上/下收敛（如下所示）t → ∞). 显而易见的是，这类案件的不对称性κ < 0反对κ > 0.参数消耗c of（4.10）κ β λ - β 擎天柱。

候选人的可接纳性ct像t → ∞< 0> 0> 04 4& β< 0%β= 0常数贯穿=0>0&0<0>0&0>0>0>0>0.48定时爆破<0.44&0=0.44常数贯穿=0>0.48定时爆破<0>0.44定时爆破=0任何4常数贯穿环境对药剂的影响在EIS接近于零的特殊情况下，人们可能会想知道环境对药剂的影响。当环境难以区分长期的消费偏好和财富偏好时(κ → 0），想要更快地达到恒定消费水平的代理人需要通过改变其风险和竞争参数进行调整，以增加消费的绝对值β. 例如，进一步假设无贴现和零无风险利率，例如。，ρ = r = 0，一个具有高度风险容忍度的市场[δ] → ∞ 以及相互独立的类型θ 和δ, 因此，从（4.9）我们有θcrit=E[θ]. 然后，代理人通过以下方式进行变更：代理人避免竞争，但接受更多风险(θ → 0, δ > 1);或者在平均市场水平上竞争，接受更多风险(θ → E[θ], δ  1); 或者接受高度竞争，但规避风险(θ > E[θ], δ < 1).最后，我们注意到β, 作为δeff，从上方以μ8.σ但不是从下面开始的。这意味着在温和的替代制度下(κ → 0-), 理性代理人的表现不能超过投资组合回报率的上限有效率β （如图5.2a和图5.3b所示）。然而，通过调整风险竞争参数(δ, θ), 特工可以尽可能快地将她的消耗量降至零。值得注意的是，选择ρ 帮助代理调整β 因此，消费偏好也是如此。在这一点上，市场对参与者的选择有很大影响。假设代理想要保持所需的消费水平。

在这种情况下，她可以通过重新设定自己的风险竞争偏好来实现这一点（并根据“作为鞅”保持最佳状态）。6从我们提供的结构中，以及在更简单的情况下[20]，如何将制造商的完全概化处理为具有随机系数的市场模型仍然是一个未知数。在这里，[40]中创建的平均场聚合方法已经不可能了，需要一种新的工具。关于允许代理商选择不同产品的公开问题，我们参考备注3.12κ 参数。将前瞻性绩效效用图（3.2）或（4.4）的动态推广到假设4.1之外的完全It动态和随机策略也是开放的。这样做的一个关键工具是[19]中开发的generalIt^o-Wentzell狮子链式规则，可能会沿着[23]或[47]发展；或者，也可以采用类似于[15]的方法，其中FPP的波动性被外生假设为代理人的偏好（向前-向后SDE是选择的工具）。在[15]的设置下，无论是针对最终玩家游戏还是[2,20,31]中的MFG，它都是开放的探索游戏竞争。正如[20，第5节]所指出的，在平均场FPP的背景下，可以提出许多其他问题，从可能性不可解[28]，到风险分担定价[8]，差异定价[14,41]，遍历问题[16]。[2]的案例和分析也可以外推到MFG案例。发挥前瞻性绩效流程框架优势的一个特殊案例是动态模型选择问题，我们在此不进行探讨。FPP允许动态更新市场参数，以适应市场环境的变化或代理人对风险的感知，这是标准效用理论所不允许的。

[20，第4.4节]延续到我们在这里提供的结构——这将允许代理商更新市场风险相对消费偏好κ. 利用FPP和时间相关的风险参数，可以在[50]中找到这个问题的替代观点。最后，就我们所知，在Kreps-Porteus递归实用程序中，前向效用图与Epstein-Zin偏好的能力之间的比较研究是一个悬而未决的问题。如图所示，正向性能标准具有递归效用的关键特性，因此这项工作跨越了对EIS的新经济学研究[1,17,51]。致谢作者感谢T.Zariphopoulou（美国德克萨斯大学）、M.Anthropelos（美国比雷埃夫斯大学）、M.Mrad（法国巴黎大学第13分校）和D.Lacker（美国哥伦比亚大学）的有益讨论。参考文献[1]K.K.Aase。使用随机最大值原理的递归效用。数量经济学，7（3）：859–887，2016年。[2] M.Anthropelos、T.耿和T.Zariphopoulou。基金管理的竞争和前瞻性相对绩效标准。ResearchGate预印本，DOI:10.13140/RG。2.2.20712.90889，2020年11月。[3] L.阿瓦内斯扬、M.什科尔尼科夫和R.瑟卡尔。随机因素模型中一类前向性能过程的构造，以及Widder定理的推广。金融斯托赫。，24(4):981–1011,2020. ISSN 0949-2984。内政部：10.1007/s00780-020-00436-1。[4] S.A.阿扎尔。跨期替代弹性与相对风险厌恶系数之间的关系。《国际金融研究杂志》，9（3）：98-1022018年7月。doi:10.5430/ijfr.v9n3p98。统一资源定位地址https://ideas.repec.org/a/jfr/ijfr11/v9y2018i3p98-102.html.[5] P.班克和F.里德尔。具有跨期替代的随机均衡的存在性和结构。金融斯托赫。，5(4):487–509, 2001. ISSN 0949-2984。内政部：10.1007/S0078001000048。[6] F.E.本特，K。

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, n})πi,*t=νi+ σi1 +θi(1- δi)n-1.θiσi(1 - δi)nn - 1.σπt+ μiδi, 哪里σπt=nnk=1.σkπk,*t.最后一个身份表达πi,*作为未知的函数σπt. 为了确定它，我们将πi,*表达方式σi平均超过i ∈ {1, . . . , n}. 这就产生了可解性条件σπt= σπtψσn+ φσn<=> σπ =φσn1.- ψσn只要ψσn≠ 1.（A.1）插入表达式σπ 为了这个πi,*产生结果。最优策略是不变的，这一点现在很明显，我们发现相应的η （见（3.13））与时间无关ηit= ηi.如果ψσn= 1，则不存在纳什均衡。第二步。寻找ηi.就像σπt, 我们得到了μπt=nki=1.μkπk,*t乘πi,*通过μi关于两边和平均i. 我们有μπt=nn - 1.φσn1.- ψσnψμn+ φμn, μπt(-i)=nn - 1.μπt-n - 1.μiπit, （A.2）在哪里φμn, ψμn定义为φμn=nnk=1.δkμkνk+ σk(1 +θk(1- δk)n-1), ψμn=n - 1.nk=1.θk(1 - δk)μkσkνk+ σk(1 +θk(1- δk)n-1).同样，定义(νπt)=nnk=1(νkπkt)=> (νπt)=nnk=1.νkθkσk·nn-1·φσn1.-ψσn+ νkμkδkνk+ σk1 +θk(1- δk)n-1., （A.3）连同(νπt)(-i)=nn-1(νπt)-n-1(νiπit). 最后∑πt= (νπt)+ (σπt), 就像（A.3）我们有(σπt)=nnk=1.σkθkσknn-1.φσn1.-ψσn+ σkμkδkνk+ σk1 +(1- δk) θkn-1.（A.4）与Σπt=nn - 1Σπt-n - 1(νi+ σi)(πit).将这些表达式替换为常数的表达式ηit= ηi在第3.3节的等式（3.12）中，我们得到了应力表达式（在定理的陈述中）。第三步。找到消费策略和相关性能实用程序。假设3.10下的方程组（3.11），即：。，gi(t) = fi(t)1.-κ, 变成cit= ε-δii~c(-i)tθi(1- δi)fi(t)-κ δi,fi(t) +ηi+ θi1.-δic(-i)tfi(t) +ε-δiiδi~c(-i)tθi(1- δi)fi(t)1.-κ δi= 0，（A.5）在哪里η 由（3.13）给出。我们主要遵循证明[39，定理2.2]的机制来获得闭式解。

我们重复这些论点，并强调显著的差异。将（A.5）的第一个方程的H代入第二个方程，我们得到线性常微分方程，其解为fi(t) = 经验-tηi+ θi1.-δic(-i)s+δicisds.现在把它插回到（A.5）的第一个等式中，我们得到cit经验- κtcisds= ε-δii~c(-i)tθi(1- δi)e-κ δiηit经验- κ(1 - δi)θitc(-i)sds.在重写了它之后ct=nk=1.cktn和‘ct=nnk=1.ckt, 我们得到cit经验- κtcisds= ε-δi1+θin-1(1-δi)i~cnn-1.θi(1-δi)1+θin-1(1-δi)te-κ ηiδi1+θin-1(1-δi)t（A.6）×exp- κnn - 1.θi(1 - δi)1 +θin-1(1 - δi)tcsds.我们取方程（A.6）的几何平均值i = 1.n 获得ct经验- κtcsds=εδ-1.eκ η δt~ct经验- κtcsdsθ (1- δ),哪里εδ=nk=1.εδk1+θkn-1(1-δk)kn, ηδ =nnk=1.ηiδi1 +θkn-1(1 - δk),和θ (1 - δ) =n - 1.nk=1.θk(1 - δk)1 +θkn-1(1 - δk).因此我们得到ct经验- κtcsds=εδθ (1- δ)-1.e-κ η δθ (1- δ)-1.t. （A.7）使用前面的等式，我们将（A.6）改写为cit经验- κtcisds= λie-κ βit, （A.8）在哪里λi= ε-δi1+θin-1(1-δi)iεδnn-1.θi(1-δi)( θ (1- δ)-1) (1+θin-1(1-δi) ),βi=1 +θin-1(1 - δi)nn - 1.θi(1 - δi)θ(1 - δ) - 1.ηδ - ηiδi.现在考虑两种不同的情况κ ≠ 0和κ = 0.案例1：让κ ≠ 0.将（A.8）从0积分到t 取对数，我们得到κtcisds =- 日志1 +λiβie-κ βit- 1., βi≠ 0,- 日志（1）- λiκt), βi= 0.（A.9）最终区分（A.9）关于t, 我们获得cit=βi+λi-βieκ βit-1.βi≠ 0,- κt +λi-1.βi= 0.（A.10）通过直接检查，很明显，对于某些参数组合κ > 0, βi< λi和κ > 0, βi= 0，最佳消费c 在不连续的情况下，甚至可能是消极的。这些案件是不允许的。表5.1总结了参数组合的容许性。现在，从（A.5）的第一行，我们得到了fi(t) =citδi~c(-i)tθi(δi-1)εi-κ和gi(t) = fi(t)1.-κ. （A.11）案例2：让κ = 0