奈特条件下具有离散策略的非洞穴鲁棒优化

2022-6-1 16:44:18

奈特不确定性下离散策略的非洞穴鲁棒优化Ariel Neufeld*MarioSiki'c+2019年4月25日摘要我们研究在不确定时间的准确定条件下的鲁棒随机优化问题。多周期情况下的策略仅限于在离散集中取值的策略。所考虑的优化问题不是凹的。我们提供了最大化器存在的条件。我们的鲁棒优化问题所涉及的问题包括奈特不确定性下的最优交易和半静态交易。非洞穴稳健优化；稳健效用最大化AMS 2010主题分类93 E2 0；49L20；91B161简介我们考虑以下鲁棒随机优化问题∈HinfP公司∈政治公众人物ψ（H）, （1.1）其中H是一组随机过程，代表控制变量，例如交易者的投资组合演化；P是一组建模不确定性的概率度量。本文的目的是建立一类映射ψ的极大值bh的存在性。问题（1.1）被称为稳健优化问题，因为它要求在可能的最坏情况下获得最佳性能，由概率测度P建模∈ P、我们将在第3节中提供集合P的一个示例；另见【2】。本文的重点是分析映射ψ不一定是凹的情况。凹函数具有许多特性，使其易于使用。一个重要的特性是，如果它们的域具有非空的内部，则它们是局部Lipschitz连续的，这使得它们能够适应稳健金融中开发的技术，如[7，5]。这使得我们能够通过在一组可数的点上知道函数值来评估函数值，这与所考虑的函数无关。

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2022-6-1 16:44:21

这个性质，知道一个可数函数就足够了*新加坡南洋理工大学数学科学系，ariel。neufeld@ntu.edu.sg.感谢NAP赠款、ETH RiskLab和瑞士国家基金会赠款SNF 200020\\U 172815提供的财政支持。+马里奥苏黎世大学金融和保险中心。sikic@bf.uzh.ch.number对问题的分析至关重要；见【19】。尽管该近似结果对于非洞穴函数仍然有效，参见例如[29]，但通常取决于函数。由于这个原因，我们通过假设一种离散性质，在映射ψ上施加这个性质。虽然我们对这个问题的表述相当笼统，但我们将提供一些例子来说明非空腔市场模型在金融中自然产生。例如，具有整数头寸的半静态交易、最优停止和最优清算问题以及非流动性模型。在数学金融的某些问题中，我们的离散性假设也是很自然的。我们在Bouchard和Nutz[7]引入的健壮环境中工作。设计该模型是为了能够将动态规划技术应用到该模型中；见【5】。我们将遵循[13]中的动态规划公式。当考虑鲁棒动态规划过程时，如[20]中鲁棒效用最大化问题所述，可测量性是建立积极结果的主要障碍。稳健的动态规划步骤从广义上考虑：（1）在各种措施下采取有条件的期望，即采取其中的一种，以及（2）最大化。我们正在考虑的可测量性是mapψ的较低分析性。

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2022-6-1 16:44:24

为了证明第一步产生的是一个较低的半解析函数，需要能够通过其函数值的可数个近似函数。这甚至不适用于凹函数，除非假设域有一个非空的内部，这是[20]中的一个假设，但在[19]中也有明确的说明。因此，在[19]中考虑的凹形情况下，采取条件期望的步骤（1）起作用，因为采取条件期望的操作保持了函数的凹性，就像采取函数一样；步骤（2）有效，因为在一个参数中最大化函数时，凹度也会保持不变。即使在本文考虑的设置中，最大化步骤也有效，因为我们假设了一个适当的无套利条件，然而步骤（1）失败了，条件期望的最小值不需要是可测量的。然而，在凹的情况下，人们可以推断我是从凹中获得的，这里的条件期望没有任何可以利用的属性。考虑无摩擦市场模型时，我们假设的无套利条件比稳健的无套利条件强。我们没有考虑金融市场的具体模型和相应的无套利条件，而是选择了一种非常抽象的方法，当然，强无套利条件。然而，我们通过讨论各种例子和为手头的对象提供直觉来激励我们的选择。动态规划是一种用一系列一步决策问题代替多步决策问题的方法。如果一个人能够解决，即证明一步优化问题的优化器的存在，那么通过使用这些一步优化器，他就可以在原始问题中得到存在。

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2022-6-1 16:44:28

获得一步问题存在性的一种方法，在开创性的论文【24】和【20】中都采用了这种方法，即以一步问题中策略集紧凑的方式设置问题。事实上，在适当的无套利条件下，将效用函数定义在正半线上的无摩擦市场模型意味着这种紧凑性，直至预测范围内的投影。我们选择了同样的方法。这种紧致性要求，在[28]中称为局部一致的局部水平有界性，是由函数ψ上的ASSUMING ARECSSION条件施加的。我们还参考了[22]，其中在单个priorconvex最小化中，提供了衰退方向上更温和的条件。文献中已经考虑了鲁棒效用最大化。在离散时间中，最接近我们工作的是[19]。这里，在每个ω前面的映射ψ（ω，·）上假设凹性∈ Ohm. 关于在一个不确定的框架中鲁棒效用最大化问题的更多结果，我们参考了[20，2，6，8，11，14，16，17，18，31]。对于鲁棒最优停止问题，我们参考了文献[3，4，21，12]。此外，在【23、9、10、25、26】中考虑了经典设置中无模型不确定性的不相容性最大化问题。据我们所知，尚未考虑在非支配环境下非金融市场的稳健效用最大化。本文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了概念，列出了对ψ的假设，并陈述了主要结果。第3节提供了示例。在第四节中，我们介绍并解决了相应的单周期最大化问题。

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nandehutu2022

2022-6-1 16:44:31

在第5节中，我们介绍了动态编程方法所需的概念，并解释了为什么这会导致优化问题（1.1）中存在最大化器。然后，证明分为几个步骤，主要是利用下半解析函数理论。符号对于任意向量x∈ RdT，写为x=（x，…，xT-1），其中xi∈ Rd对于每个i，我们用xt表示对前t个条目的限制：=（x，…，xt-1). 福里∈ RdT，我们用x·y表示RdT上通常的标量积。2优化问题let T∈ N表示固定的时间范围，并让Ohm成为一个抛光空间。表示为Ohmt： =Ohmt t=0，1，…，的t倍笛卡尔积，T，这里我们使用约定Ohm是s ingleton。设F=（Ft）t=0,1，。。。，Twhere Ft：=TPB(Ohmt） Pis是Borelσ-字段B的通用完成(Ohmt）；此处B(Ohmt） P结束P-完成B(Ohmt）和集合M上的P范围(Ohmt）上的所有概率度量(Ohmt、 B类(Ohmt））。此外，定义(Ohm, F）：=(OhmT、英尺）。这起到了我们最初可测量空间的作用。每t∈ {0，1，…，T- 1} 和ωt∈ Ohmtwe fix非空集Pt（ωt） M级(Ohm)概率测度；Pt（ωt）表示给定状态ωt的t+1周期的可能规律(Ohm) 用通常的拓扑诱导弱收敛，使其成为一个波兰空间；见【5，第7章】。我们假设对于每个tgraph（Pt）：={（ωt，P）|ωt∈ Ohmt、 P∈ Pt（ωt）}是Ohmt×M(Ohm).回想一下，如果波兰空间的子集是Borel可测映射下（可能不同）波兰空间的Borel子集的图像，则该子集称为分析（见[5，第7章]）；特别是，如果图（Pt）为Borel，则满足上述假设。

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2022-6-1 16:44:35

解析的集合图（Pt）提供了一个普遍可测的核Pt：Ohmt型→M级(Ohm) 使得Pt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ Ohmt根据扬科夫·冯·诺依曼定理，见[5，命题7.49，p.182]。给定这样一个内核Ptfor每个t∈ {0，1，…，T- 1} ，我们可以定义概率度量POhm byP（A）：=ZOhm· · ·ZOhmA（ω，…，ωT）PT-1（ω，…，ωT-1.dωT）。P（dω），A∈ F、其中，我们将ω：=ωT：=（ω，…，ωT）写入Ohm. 我们用P=P表示如上所述的概率测量 · · · PT公司-1、对于多期市场，我们考虑setP：={P · · · PT公司-1 | Pt（·）∈ Pt（·），t=0，T- 1} M级(Ohm),表示法律不确定性的概率度量，其中在上述定义中，每个Pt：Ohmt型→ M级(Ohm) 是普遍可测量的，因此Pt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ Ohmt、我们会经常翻译(Ohmt、 Ft）作为的子空间(Ohm, F）按以下方式。任意集A Ohmt可以扩展到OhmT通过添加（T- t）产品Ohm, i、 e.AT：=A×Ohm× · · · × Ohm OhmT、然后，对于每个测量值，P=P · · · PT公司-1.∈ P、可以将度量值Pton关联起来(Ohmt、 Ft），通过设置Pt:=P，使Pt【A】=P【AT】 · · · Pt公司-1、我们称集合为a Ohm P-极性if适用于所有P∈ P存在AP∈ F使A APand P[AP]=0，如果该性质在P极集合外成立，则表示一个性质保持P-准肯定，或简单地保持P-q.s；我们将使用P-q.a.ω（准all）和P-q.e.ω（q uasievery）来表示P-q.s。。A映射ψ：Ohm ×RdT→如果对应的次ρψ：Ohm => RdT×R由次ψ（ω）定义=（x，y）∈ RdT×Rψ（ω，x）≥ y在集值映射的意义上是闭值的和F-可测量的，请参见[28，定义14.1和定义14.27]。备注2.1。

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2022-6-1 16:44:40

我们指出，我们对正态被积函数ψ的定义不同于优化中的经典被积函数ψ，例如，【28，第14章】中定义的，因为我们的地图-ψ满足正态整数的经典定义。由于我们正在寻找函数的最大值，而不是经典优化问题中的最小值，因此我们对正常函数的定义适合我们的设置。注意，当且仅当functionx 7→ ψ（ω，x）对于每个ω都是上半连续的；见[28，定理1.6]。根据[28，推论14.34]，ψ相对于F是（联合）可测量的 B（RdT）和B（R）。在数学金融中最普遍的正规被积函数的经典示例是Caratheodory地图；参见【28，示例14.29】。用H表示所有F适应Rd值过程的集合H：=（H，…，HT-1）离散时间指数t=0，T- 1、我们的目标是研究以下优化问题∈HinfP公司∈PEP[ψ（H，…，HT-1） ]，（2.1），其中ψ：Ohm ×RdT→R是F-可测正规被积函数。回想一下，函数f从波兰空间的Borel子集到[-∞, ∞] 如果集合{f<c}对所有c都是解析的，则称为下半解析的∈ R尤其是任何Borelfunction都是下半解析的。此外，回想一下，任何分析集都是通用σ场的一个元素，参见例如[5，p.171]。A函数f:Rn→ R∪ {-∞} 称为适当的iff（x）>-∞ 对于某些x∈ 注册护士。函数f:Rn的域dom f→ R∪ {-∞} 由DOM f定义：={x∈ Rn | f（x）>-∞}.有关可测性、选择定理和优化理论的不同概念的更多详细信息，请参阅[5]和[28]。我们说一组D RDT确定电网条件ifinfi∈{0，…，T-1} infx，y∈D、 xi6=易| xi- yi |>0。（2.2）以下条件在本文件中均有效。假设2.2。

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2022-6-1 16:44:43

映射ψ：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 满足以下条件：（1）存在 rdt满足网格条件，使所有ω∈ Ohm , ψ（ω，x）=-∞ 对于所有x/∈ D（2）存在一个常数C∈ R使得ψ（ω，x）≤ C表示所有ω∈ Ohm, x个∈ RdT；（3）映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）为低s电磁分析；（4）零进程0∈ H满意度影响∈PEP[ψ（0）]>-∞.备注2.3。根据假设2.2（1），根据施加在setD上的网格条件（2.2），地图x 7→ ψ（ω，x）对于每个ω都是上半连续的∈ Ohm. 事实上，我们在关键引理5.9中证明了ψ是F-正规被积函数。备注2.4。假设2.2（4）确保0∈ D、备注2.5。乍一看，假设2.2（2）可能具有相当大的限制性。[20，例2.3]表明，对于任何（非减量，严格凹）效用函数U从上面是无界的，我们可以构造一个无摩擦市场S和一组概率测度P，使得U（x）：=supH∈HinfP公司∈PEP[U（x+HoST）]<∞对于任何初始资本x>0，但没有maximizerbHx；这里我们用HoST表示随机积分，即HoST=PT-1t=0hHt，St+1- Sti。因此，在特殊情况ψ（H）：=U（x+HoST）下，效用函数的存在可能会因为没有从上面进行边界而失效。然而，由于假设2.2（2）足以为我们的优化问题建立最大化子的存在性；见【8】。我们现在定义了地平线函数ψ∞: Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 任何函数ψ：Ohm ×RdT→ R∪ {-∞} 按ψ∞（ω，x）=limn→∞supδ>n，| x-y |<nΔψ（ω，δy）映射ψ∞（ω，·）是正齐次且上半连续的，参见[28，定理3.21]。如果我们假设ψ是正态的，那么ψ也是正态的∞, 见[28，练习14.54（a）]。在本文中，我们施加以下条件k：={H∈ H |ψ∞（H，…，HT-1) ≥ 0 P-q.s.}={0}（NA（P）），这意味着对于任何H∈ HH小时∈ K<==> H=0 P-q.s。我们称之为无套利条件。

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2022-6-1 16:44:46

本文的主要定理如下。定理2.6。设ψ为满足假设2.2的m ap。如果无套利条件NA（P）成立，则存在一个过程BH∈ H s uch thatinfP公司∈PEP[ψ（bH，…，bHT-1） ]=supH∈HinfP公司∈PEP[ψ（H，…，HT-1)]. （2.3）我们将在第5节中给出该定理的证明。备注2.7。让我们来讨论为什么我们将条件K={0}称为无套利条件。首先考虑由ψ（H）=HoST给出的无摩擦市场模型。在这种情况下，条件K={0}写为asHoST≥ 0 P-q.s==> H=0 P-q.s。该条件严格强于稳健无套利条件，其中一个条件为：HoST≥ 0 P-q.s.意味着HoST=0 P-q.s。在P={P}的情况下，即在支配设置中，HoST=0意味着H=0的要求被称为“市场上没有冗余资产”。因此，我们在无摩擦市场中的无套利条件需要经典的无套利条件，此外，不存在大量资产。此外，在一般的非支配条件下，当限制于无摩擦市场模型时，条件K={0}通常严格强于鲁棒无套利条件。在有摩擦的市场模型中，形式为ψ（H）的无套利条件≥ 0 P-q.s==> ψ（H）=0 P-q.s.被证明不足以建立资产定价和对偶的基本定理，即使在讨论凸交易成本时也是如此。因此，即使在具有比例交易成本的市场模型中，也可以讨论弱无套利条件、严格无套利条件和稳健无套利条件；见【15】。事实证明，只有最后一个概念才有足够的说服力来暗示资产定价的基本定理。

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2022-6-1 16:44:49

注意，鲁棒无套利条件是（弱）无套利条件加上一个附加条件。进一步朝着更一般的交易成本的方向发展，人们意识到市场允许套利机会是很自然的；例如，这是本文的结论之一[30]。如果是这样的话，有人会说，如果“市场中存在大量头寸”，没有套利机会，那么市场模型就满足了无套利条件。不同的是，要求每个策略H都是无轨策略，即ψ（H）≥ 0，存在一个n≥ 0，这样当n≥ n、这就是地平线功能进入故事的地方。根据定义，地平线函数是正齐次函数。因此，这足以理解此类地图的无套利理论。地平线函数之所以有用，是因为它为地图ψ提供了一个方便的上限。为了理解这句话的意义，首先考虑一个函数f:R的简单示例→ R为上半连续且满足f∞（x）当x 6=0且f（0）=f时<0∞(0) = 0;这是一个满足无套利条件的市场模型。自函数f起∞是正齐次的，存在一个连续的正齐次函数g:R→ R使得f∞（x） <g（x）<0表示所有x 6=0。此外，还存在一个∈ R、使得f（x）≤ 所有x的a+g（x）∈ R事实上，我们首先注意到，根据[28]中的命题3.23，{x|（f- g）（十）≥ α}∞ {x |（f- g）∞（十）≥ 0} {0};第二个假设是（f- g）∞（x） <0 on x 6=0。我们用A表示∞, 其中A Rn，集合{x |（χA）∞（x） =0}，其中如果x，则χA（x）=0∈ A和∞否则由于左侧的集合对于适当选择的α是非空的，因此所有包含实际上都是相等的。

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2022-6-1 16:44:52

根据[28]中的定理3.5，我们得到{x |（f-g）（十）≥ α} 是有界集，因此是紧集。函数（f- g）在紧集上是上半连续的，因此在上有界；在紧集之外，它受假设的限制。通常，水平有界性和水平函数之间的关系在[28]中的定理3.31中进行了解释。虽然这个简单例子中的陈述很明显，但这一想法延伸到了本文所考虑的情况：本文的关键技术步骤是证明我们所考虑的无套利条件K={0}转化为局部条件，定义见以下页面。综上所述，我们提出的无套利条件K={0}，由以下更自然的条件隐含：存在一个映射Υ：Ohm ×RdT→R、使得Υ（ω，·）是正齐次的，连续的，Υ（ω，x）>ψ∞（ω，x）P-q.s.图Υ满足以下条件Υ（H）≥ 0 P-q.s==> Υ（H）=0 P-q.s.，即图Υ满足弱形式的无套利条件。有人说mapΥ支配着ψ。这一条件让人想起具有比例交易成本且摩擦充分的市场中的稳健无套利条件。条件K={0}也由以下内容暗示：存在满足无套利条件的无摩擦市场模型（St），即无套利且无冗余资产，以及一个随机变量a，使得ψ（H）≤ 因此，选择这样一个抽象条件作为无套利条件的原因仅仅是因为它将各种情况置于同一屋檐下。备注2.8。为什么无套利是P-q.s.条件，还有待提及。背后的想法很简单：以无摩擦市场模型为例。如果我们不知道股票价格过程增量的概率分布，我们会考虑最坏的情况。

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2022-6-1 16:44:55

对于给定的战略，最坏的情况是在所有衡量指标的最终价值范围内。然而，由于可测量性问题，这不是一个明确的对象。因此，市场模型可以允许对每个元素P进行套利f∈ P、但仍然是无套利的；参见示例3.1.3示例3.1整数值策略和半静态交易考虑S=（S，…，Sd）一个d维股票价格过程，其组件对于每个t都是可测量的。考虑U：Ohm ×R→ R∪ {-∞} 一个随机（不一定是连续的）效用函数；精确地说，U（ω，·）是一个连续函数，对于每个ω，它的上界是常数C∈ Ohm. 此外，假设（ω，x）7→ U（ω，x）是下半解析的。我们还假设交易者只允许在风险资产中有整数头寸，即ht（ω）∈ zd对于所有ω，t。我们定义了一个映射ψ（h）：=Ux+T-1Xt=0hht，St+1- Sti公司- χZdT（h），其中x∈ R是交易者固定的初始财富，χA（x）是x时取0的函数∈ A和∞ 否则让我们证明ψ满足假设2.2。首先，网格条件是明确的。下半解析性也很清楚，因为它是下半解析f函数和Borel函数的组合。上面的边界由U上的相同假设遵循。最后，如果infP∈PEP[U（x）]>-∞, 最后一个条件成立，因此ψ确实满足假设2.2。我们还可以考虑半静态投资组合的效用最大化，其中besidea头寸h在股票中也可以持有静态资产的头寸{fi | i=1，…，i}，可在市场上免费获得。

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2022-6-1 16:44:59

策略（h，g）的值由v（h，g）=x+T给出-1Xt=0hht，St+1- Sti+IXi=1gifi。以与上述类似的方式，可以看出ψ（h，g）：=Ux+T-1Xt=0hht，St+1- Sti+IXi=1gifi- χZdT（h）- χZI（g）满足假设2.2.3.2给定过程g的最优停止问题：=（Gt）t=0，。。。，T、对于每个T的Gtan-Ft可测随机变量，我们考虑一个最优停止问题。用T表示F-停止时间集；问题是∈PEP【Gτ】-→ 最大超过τ∈ T要将其转换为标准形式，请注意，τ是一个停止时间，当且仅当{τ=t}∈ Ft对于所有t，即如果过程[[0，τ]）被适应。等效地，每个适应的{0，1}值递减过程h定义了一个停止时间τ：=inf{t | ht=0}。我们定义了以下映射ψ（h）：=TXt=0（ht-1.- ht）燃气轮机- χD（h），其中D ZT+2定义如下=x=（x-1.xT）xt公司-1.≥ xt，xt∈ {0, 1} t、 x个-1=1，xT=0.集合D显然是闭合的；因此，mapχ降低了尿毒症持续性，henceBorel。因此，映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）与Gtare一样是下半解析的。函数ψ（ω）的域是有限的；这也意味着ψ满足网格条件。只要Gt，就存在一个上界C≤ C P-q.s。。最后，如果在fP中∈政治公众人物[G]>-∞, 最后一个条件也成立。我们还可以建立最优清算问题模型，其中交易者的仓位为h，交易者的仓位为h-1=米∈ N，需要在最终时间之前进行清算，即hT=0；见。g、 [1]。3.3非流动性的Roch–Soner模型我们给出了一个更复杂的限额订单bo ok的例子。有关建模注意事项的更多信息，请参见[27]；关于模型的离散时间版本，另请参见【30】。“均衡股价”过程S：=（St）表示无交易时的价格；交易时，交易期结束后，价格由St+lt；lt表示交易的影响。

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2022-6-1 16:45:02

如果一个大交易者执行交易H在时间t，他或她移动价格，因此交易后的价格由mt改变ht。模型如下lt+1=（1- κ)lt+2mt+1ht+1Vt+1=Vt+htSt+1- κltht公司- mt+1htV=l= 0对于某些常数κ∈ （0，1），捕捉价格影响的衰减l, 和一个严格正过程（mt），对1/2mt的限制订单簿的“深度”进行编码。让U：Ohm ×R→ R∪ {-∞} 是一个随机效用函数。Setbψ（h）：=U（VT）。可以显示映射h 7→ VT不是凹面。接下来，我们将交易限制为整数，即定义ψ（h）=bψ（h）- χZT（h）。现在让我们检查条件。很容易看出网格条件满足映射ψ。同样地，对于上界的存在性：对于所有ω，只要U（ω，·）成立，它就成立∈ Ohm. 映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）将是下半解析的，如果站在mtare Borel可测量的随机变量和映射（ω，x）7→ U（ω，x）是下半解析的。最后一个条件在infP时保持不变∈政治公众人物[U（0）]>-∞.3.4集合示例示例3.1。考虑可测空间上的一步无摩擦市场模型Ohm = [0,] ∪ [，1]与西格玛代数F={, Ohm}. 考虑股票价格S，givenby S=1，S（ω）=2ω。考虑家族p={δx | x∈ Ohm},其中，通过δxwe表示Dirac测度，所有质量都在x中Ohm 显然，无量纲空间是R的子集，而随机变量Sis Borel是可测的。让h∈ Rbe战略；假设h 6=0。如果h>0且P=δx，且x>时，策略h为无轨策略P[h（S- S） ]=h（2x- 1) > 0.然而，如果x<，h不是套利策略。对于h<0，可以重复分析。这表明，市场模型可能允许每一个P∈ P、但仍然是无套利的。

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2022-6-1 16:45:06

可以看出，无套利的经典定义与我们正在考虑的定义相同；见备注2.7。让我们证明概率测度集Phas解析图（P）={（ω，P）|ω∈ Ohm, P∈ P（ω）}。鉴于此Ohm是一个单态且集Pclearly闭的，它也是解析的。对于其他示例，可以重复前面示例中的类似分析。因此，让我们只关注P中的度量集。事实上，我们只需要关注单步对应ωt7→ Pt（ωt）与解析图。其中的一个例子是与Borel、closed或opengraph的对应关系，如上半连续和下半连续的对应关系。另一种诱导概率测度集PTI“猜测”真转移函数ωt7的方法→ Pt（ωt）并定义Pt（ωt）为其邻域，例如使用连续函数F：Ohmt×P(Ohm) ×P(Ohm) → [0, ∞) 如下pt（ωt）：=P∈ P(Ohm)Fωt，P，Pt（ωt）≤ ε对于某些ε>0。函数F的示例包括测量空间之间的各种距离，例如F（ωt，P，Q）=kP- QkT V.示例3.2。让我们在一个示例上勾画另一个指定度量集P的过程：P确定一个具有未知参数的概率度量的参数族。考虑一个无摩擦的市场模型Ohm = [0, 1]. 股票价格由S=1和S（ω）=2ω给出的假设。我们想指定集P，这样在每个度量值P下∈ P股票价格为二叉树模型，其中初始股票价格过程S=1；股票价格以概率p上涨∈ [0.3，0.7]并在[1.4，1.6]中取值，或者股价下跌并在[0.4，0.6]中取值。这可以建模如下：SetOhm:= [0.4, 0.6] ∪ [1.4，1.6]，S（ω）=ω和定义：=pδu+（1- p） δdd∈ [0.4，0.6]，u∈ [1.4，1.6]，p∈ [0.3, 0.7];其中，通过δx，我们表示所有质量都在x中的狄拉克量度。

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2022-6-1 16:45:10

在每项措施下∈ P市场模型S在P下是无套利的；事实上，备注2.7中的无套利条件在本例中非常正确。最后，我们需要证明图（P）是解析的。但很明显，它是依次关闭的；由于P是紧度量空间的子集，因此它也是闭的，hencealso分析。[2]中的第2.3节对集合P.4单周期模型4.1 SetupLet的构造进行了更详细的讨论(Ohm, F） P是一个可测空间，P可能是其上的一组非支配概率测度。固定函数ψ：Ohm ×Rd→ R∪ {-∞} 并考虑优化问题∈HinfP公司∈政治公众人物ψ（h）; （4.1）此处的策略集仅为H=Rd。假设4.1。映射ψ：Ohm ×Rd→ R∪ {-∞} 满意度（1）地图x 7→ ψ（ω，x）对于所有ω都是上半连续的∈ Ohm 和映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）是F B（Rd）-可测量。（2）存在一个常数C∈ R使得ψ（ω，x）≤ C表示所有ω∈ Ohm, x个∈ Rd；（3）我们有那个infP∈PEP[ψ（0）]>-∞.备注4.2。请注意，假设4.1（1）比涉及集合D的假设2.2（1）弱得多 RDT满足电网条件；另见引理5.9。此外，在单周期模型中，我们不需要可测空间上的任何结构性质(Ohm, F）也不在概率测度集P上。特别是，我们没有假设映射（ω，x）7→ ψ（ω，x）是下半解析的。在多周期模型中，为了确保动态规划过程中出现的映射具有较低的半解析性，需要更强的假设2.2，以便可以应用可测量的截面结果；见提案证明5.1中的（3）。我们在以下无套利条件下工作：=h类∈ HΨ∞（h）≥ 0 P-q.s。= {0}. （4.2）定理4.3。让无套利条件（4.2）和假设4.1成立。然后就有了一个战略∈ Rd这样的INFP∈政治公众人物ψ（bh）= suph公司∈RdinfP∈政治公众人物ψ（h）.

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2022-6-1 16:45:14

（4.3）定理4.3的证明将在以下第4.2.4.2小节中提供一个周期优化问题的证明。我们用来证明一个周期优化问题的[28]的主要结果如下：命题4.4。设f:Rm×Rn→ R∪ {-∞} 适当，上半连续K：={x∈ Rn | f∞（0，x）≥ 0} = {0}. 然后函数p（u）=supx∈Rnf（u，x）是适当的，上半连续的，并且对于每个u∈ dom（p）存在一个最大化子x（u）。此外，我们有p∞（u） =supx∈Rnf公司∞（u，x），只要u∈ dom（p∞).证据这只是对[28，定理3.31，p.93]和[28，定理1.17，p.16]的总结。考虑函数Φ：h 7→ 在fP中∈PEP[ψ（h）]。观察Φ作为上半连续函数的一部分是上半连续的。它也是正确的，即不等同于-∞, 根据假设4.1（3）。此外，我们还有以下几点。引理4.5。设ψ：Ohm ×Rd→ R∪ {-∞} 满足假设4.1。然后ψ∞（ω，h）≤ 0和Φ∞（h）≤ infP公司∈PEP[ψ∞（h） ]≤ 0ω ∈ Ohm, h类∈ Rd.此外，如果无套利条件（4.2）成立，则Φ∞（h） =0<==> Ψ∞（h） =0 P-q.s。<==> h=0。证据取Φ表达式中n的极限∞与服用infn相同∈N、通过单调收敛定理，如ψ≤ C根据假设，我们有Φ∞（x） =infn∈Nsupδ>n，| x-y |<nδinfP∈政治公众人物ψ（δy）≤ infP公司∈品脱Fn∈NEP公司supδ>n，| x-y |<nΔψ（δy）= infP公司∈政治公众人物画→∞supδ>n，| x-y |<nΔψ（δy）= infP公司∈政治公众人物Ψ∞（十）.由于ψ从上面是一致有界的，我们有ψ∞≤ 0，通过上述不等式也意味着Φ∞≤ 0、特别是Φ∞= 0表示ψ∞= 0 P-q.s，因此定义为h∈ K、无套利条件（4.2）现在意味着h=0。对于另一个方向，设h=0。然后作为ψ≤ C和infP∈PEP[ψ（0）]>-∞ 假设我们有Φ∞（0）=limn→∞supδ>n，| y |<nδinfP∈政治公众人物ψ（δy）≥ 画→∞supδ>nδinfP∈政治公众人物Ψ(0)= 0、备注4.6。

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大多数88

2022-6-1 16:45:18

注意，在引理4.5中，假设映射x 7→ ψ（ω，x）对于所有ω都是上半连续的∈ Ohm 没有必要。定理4.3的证明。通过无套利条件（4.2）和引理4.5，我们可以看到命题4.4的条件完全满足f≡ Φ，它给出了amaximizerbh的存在性，如假设4.1（3）suph∈RdΦ（h）=suph∈RdinfP∈PEP[ψ（h）]≥ infP公司∈PEP[ψ（0）]>-∞.5多周期模型我们用ωt表示t￠ω对（ωt，￠ω）∈ Ohmt+1，其中ωt∈ OhmtandΩ∈ Ohm, 并定义以下映射序列：设置ψT：=ψ，对于T=T- 1.0和ωt∈ Ohmtde FINEΦt（ωt，xt+1）：=infP∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，xt+1）]，ψt（ωt，xt）：=supx∈RdΦt（ωt，xt，~x）。（5.1）对于每个t∈ {0，…，T- 1} ，用Ht表示所有F自适应Rd值进程的集合Ht：=（H，…，Ht-1); 这些只是H到第一时间步骤的策略限制。同样，对于任何集合D RdTde定义子集Dt RDT是D在第一个t分量上的投影，即第一个dt坐标。我们从以下简单但重要的结果开始。提案5.1。如果ψ满足假设2.2，则对于任何t∈ {0，…，T- 1} 此外，函数ψt+1和Φt满足假设2.2。接下来，以自然的方式确定截至时间t的无套利条件，表示为NA（P）t，表示为映射（ψt），表示为kt：=Ht公司∈ Ht公司Ψ∞t（Ht）≥ 0 P-q.s。= {0}.条件NA（P）是关于一组策略的陈述，因此还不能用来证明我们需要它的东西。我们需要的是无套利条件的本地版本。定义5.2。对于每个t∈ {0，…，T- 1} 和ωt∈ Ohmtde fine a setKt（ωt）：={h∈ Rd |Φ∞t（ωt，0，…，0，h）≥ 0}. （5.2）我们说，如果ωt∈ Ohmt型Kt（ωt）={0}具有P-full度量值。示例5.3。为了简单地勾勒出这种情况的含义，请考虑t=t的无摩擦市场模型- 1，首字母大写x>0，U：（0，∞) → R

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nandehutu2022

2022-6-1 16:45:21

在这种情况下，效用定义为ψ（H）：=U（x+PtHt（St+1- St））=ψT（H）。假设效用函数是凹的且在上面有界，我们在假设Inada条件下得到ψ∞T（H）=0，当T（St+1- St）≥ 0和-∞ 否则因此，通过定义，Kt（ωt）={h∈ Rd | h（St+1（ωt，·））- St（ωt））≥ 0 Pt（ωt）- q、 s.}。我们请读者参考[19]，以了解有关该条件的更多详细信息和讨论。提案5.4。让t∈ {0，…，T- 1}. 假设ψt+1符合假设2.2。如果无套利条件NA（P）t+1在时间t+1之前成立，则局部无套利条件成立。有了这个结果，就可以像一步到位的情况一样继续。以下是直接后果。提案5.5。让t∈ {0，…，T-1}. 假设ψt+1满足假设2.2，NA（P）t+1成立。然后对于每个Ht∈ HTSUPX∈RdΦt（ωt，Ht（ωt-1），x）>-∞ P-q.s.存在Ft可测量的映射BHT：Ohmt型→ Rd满足Φt（ωt，Ht（ωt-1），bht）=ψt（ωt，Ht（ωt-1））对于P-q.e.ωt∈ Ohmt、备注5.6。与优化仅在Rd上的一步情况相比，还有一个额外的技术问题，optimizerbht（ωt），它的逐点存在性可以从第4节的一步情况中获得，是可测的i nωt。对这个所谓的可测选择问题有帮助的一个关键观察结果是引理5.9中的观察结果，即作为假设2.2的直接结果，ψ和Φtar都是正态被积函数。证明我们主要结果的重要步骤是观察到无套利条件NA（P）tup到时间t在动态规划递归下表现良好。提案5.7。让t∈ {0，…，T- 1} 让ψt+1满足2上的Ass umpti。2.

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2022-6-1 16:45:24

如果无套利条件NA（P）t+1大于时间t+1，则无套利条件NA（P）t大于时间t。命题5.1和5.4–5.7的证明将在第5.1.5.1小节中给出。命题5.1和5.4–5.7的证明我们首先从提供ψt+1和Φt.引理5.8之间关系的有用引理开始。让t∈ {0，…，T- 1} ψt+1满足假设2.2。然后1）Φtsatis fies假设2.2（4）；2）对于所有（ωttΩ，xt+1）∈ Ohmt+1×Rd（t+1）我们有ψ∞t+1（ωttΩ，xt+1）≤ 0和Φ∞t（ωt，xt+1）≤ infP公司∈Pt（ωt）EP[ψ∞t+1（ωtt·，xt+1）]≤ 0.证明。对于第一部分，让Ht+1∈ Ht+1此类影响∈政治公众人物ψt+1（Ht+1）]>-∞.我们还声称∈政治公众人物Φt（Ht+1）]>-∞.要看到这一点，请注意，根据[5，命题7.50]，对于任何ε>0，都存在一个普遍可测量的核Pεt：Ohmt型→ M级(Ohm) 使得Pεt（ωt）∈ 所有ωt的Pt（ωt）∈ OhmtandEPεt（ωt）[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]≤（Φt（ωt，Ht+1（ωt））+ε如果Φt（ωt，Ht+1（ωt））>-∞,-ε-1其他方面。然后，我们有epεt（ωt）[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]- ε ≤ (-ε-1) ∨ Φt（ωt，Ht+1（ωt））。取任意P∈ 并表示其限制为Ohmtby Pt公司。整合上述不平等YieldSept[(-ε-1) ∨ Φt（Ht+1）]≥ EPt公司Pεt[ψt+1（Ht+1）]- ε ≥ infP′型∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]- ε.出租ε→ 0，通过Fatou引理，我们得到thatEP[Φt（Ht+1）]≥ infP′∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]>-∞.因此P的任意性∈ P、该主张已被证实，因此Φtsatis fies假设2.2（4）。第二部分是引理4.5。我们继续证明命题5.1。命题5.1的证明。我们使用（5.1）中定义的递归进行反向论证。编号指假设2.2中的相应编号。（1）由于ψ=ψTsatis fies假设2.2（1），关于某些集合D RDT为满足网格条件（2.2），我们直接从其定义中得出Φ和ψ皮重均等于-∞ 分别位于Dt+1和Dt之外。的确，如果ψt+1等于-∞ 在Dt+1之外，也会通过其定义进行Φtb。

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2022-6-1 16:45:27

此外，如果xt6∈ Dtthen适用于所有▄x∈ Rd我们有（xt，~x）/∈ Dt+1，因此我们得到ψtis也等于-∞ Dt之外。因此，由于每个数据都满足网格条件（2.2），地图x 7→ ψt（ω，x）和x 7→ Φt（ω，x）是上半连续的；见备注2.3。（2）由于ψ=ψt从上方以常数C为界，对于相同的常数C，同样的定义也适用于Φtandψtb。（3）我们证明，如果ψt+1的方式与[19，引理5.9]中的方式完全相同，则Φt是下半解析的；因此，省略了证明。现在假设Φtis lowersemanianalysis；我们将讨论ψtis。用Dt+1表示t+1到其最后一个分量的投影，即D到其t+1分量的投影。那么，由于Dt+1最多是可数的，因此Dt+1也是如此。根据（1），Φt等于-∞ 在Dt+1之外，我们有任何xt∈ Rdtthatψt（ω，xt）：=supx∈RdΦt（ω，xt，x）=supx∈Dt+1Φt（ω，xt，x）。因此，作为下半解析函数的可数上确界，映射（ω，xt）7→ ψt（ω，xt）是下半解析的。请注意，在这里，我们以非常重要的方式使用网格条件；另见备注4.2。（4）在引理5.8中，我们表明，如果ψt+1，Φtsatis fies假设2.2（4）。那么，通过定义，这也意味着ψtsatis fies假设2.2（4）。下面的引理证明，对于每个t∈ {0，…，T- 1} ，ψt+1和Φtarenormal被积函数。这是命题5.5证明中可测量选择论证所需的关键属性，另见备注5.6。引理5.9。让D Rmbe满足网格条件（2.2）的集合，f：Ohmn×Rm→R∪ {-∞} 是（ω，x）7的函数→ f（ω，x）是普遍可测的，对于所有ω∈ Ohmndom f（ω，·） D、那么f是Fn正规被积函数。特别是mapx 7→ f（ω，x）对于每个ω都是上半连续的∈ Ohmn、证明。

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2022-6-1 16:45:30

通过定义Fn正态被积函数，我们需要证明它的次方函数（ω）是闭值的，Fn在[28，定义14.1，p.643]的意义上是可测量的。为了证明hypof（ω）是闭值的，fix anyω∈ Ohmnand let（xk，αk） Rm×Rc接近于满足f（ω，xk）的每个k的某些（x，α）≥ αk，我们需要证明f（ω，x）≥ α. 通过假设dom f（ω，·）观察 D、我们有（xk） D、因此，根据集合D的网格条件（2.2），序列（xk）最终等于所有k的x。特别是，对于足够大的k，我们有f（ω，x）≥ αk，这意味着期望的不等式f（ω，x）≥ α.要知道hypof（ω）是一个Fn可测量的对应关系，请首先注意，假设dom f（ω，·） D和D满足网格条件（2.2），地图x 7→ f（ω，x）对于每个ω都是上半连续的。因此，我们从[28，命题14.40，p.667]中推断，对于任何K Rmbeing compact，函数g（ω）：=supx∈Kf（ω，x）是Fn可测的。为此，fix任意K Rmbeing紧凑型，然后固定任何常数∈ R、我们需要证明集合{ω| g（ω）>c}∈ Fn。作为dom f（ω，·） D、如果D∩ K=. 因此，从现在开始，假设D∩ K 6=. 通过K的紧性和D的网格条件（2.2），我们得到了D∩ K={K，…，kj}是有限的。因此，通过定义g（ω），我们得到{ω| g（ω）>c}=j[i=1{ω| f（ω，ki）>c}，这是Fn可通过[5，引理7.29，p.174]测量的。在我们开始证明命题5.4之前，我们需要看到集值映射Kt（ωt）具有一些理想的性质。引理5.10。让t∈ {0，…，T- 1}. 假设ψt+1满足2上的Ass umpti。（5.2）中定义的s集值映射KT是一个闭值的Ft可测对应，且ωt∈ Ohmt型Kt（ωt）={0}∈ Ft.证明。

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2022-6-1 16:45:33

AsΦ∞在xt+1中是正齐次上半连续的，Kt（ωt）是每个ωt的闭值锥。我们强调，由于ψ不是凹的，Kt（ωt）不一定是凸的。根据引理5.9和命题5.1，Φ是Ft正规被积函数，因此Φ也是∞t、因此，集值映射kt是Ft可测对应；见[第28号提案14.33，第663页]和[第28号提案14.45（a），第669页]。根据[28，定理14.5（a），p.646]，kt承认一个Castaing表示{xn}。因此ωt∈ Ohmt型Kt（ωt）={0}=\\n∈N{ωt∈ Ohmt | xn（ωt）=0}∈ Ft.（5.3）引理5.11。让t∈ {0，…，T- 1}. 假设ψt+1符合假设2.2。此外，让X：Ohmt型→ Rdbe任何Ft可测量的随机变量。那么以下是正确的。X（ωt）∈ Kt（ωt）P-q.a.ωt∈ Ohmt型==> （0，…，0，X）∈ Kt+1顶。让X∈ KtP-q.s.然后对于任意P∈ P、回想一下，其限制Pt+1到Ohmt+1为Pt形式 Pt对于某些选择器Pt∈ Pt。因此，通过引理5.8EP[ψ∞t+1（0，…，0，X）]=EPt（dωt）hEPt（ωt）Ψ∞t+1ωtt·，0，0，X（ωt）我≥ EPt（dωt）Φ∞t型ωt，0，0，X（ωt）≥ 0、P的任意性∈ P、我们得出结论（0，…，0，X）∈ Kt+1。现在我们能够证明提案5.4。命题5.4的证明。从引理5.10的证明中回想一下，KT允许Castaingrepresentation{xn}。然后使用引理5.11和（5.3），我们得到Na（P）t+1到时间t+1都成立==> n∈ N：（0，…，0，xn）=0 P-q.s。<==> 集合\\n∈N{ωt∈ Ohmt | xn（ωt）=0}具有P-拟满测度<==> NAtholds没错。命题5.5的证明。通过引理5.9，我们得到Φ是Ft正规被积函数。然后，对于任何固定策略Ht∈ Ht，[28，命题14.45（c），p.669]给出了映射ΦHt（ωt，x）：=Φt（ωt，Ht（ωt-1），x）也是Ft正规被积函数。

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2022-6-1 16:45:36

因此，我们从[28，定理14.37，p.664]得出集值映射Υ：Ohmt型=> rddefinedbyΥ（ωt）：=argmaxΦHt（ωt，·）允许在Ft可测集{6=}. 在{Υ=}. 仍然需要争论的是{Υ=} 是P极集合。为此，我们要显示map（xt，xt）7→ Φt（ωt，xt，xt）满足命题4.4的条件。引理5.1证明了它是真的和上半连续的；另见备注2.3。此外，由于命题5.4的局部无套利条件NAtholds为真，我们对P-q.a.ωt∈ OhmtthatK（ωt）：=h类∈ 研发部Φ∞t（ωt，0，…，0，h）≥ 0= Kt（ωt）={0}。因此，提案4.4的条件确实满足。因此，我们通过假设supx从提案4.4得出结论∈RdΦt（ωt，Ht（ωt-1），x）>-∞ P-q.s.，即{Υ=} 是P极集合。结果如下。现在我们继续证明命题5.7。命题5.7的证明。矛盾地假设Kt6={0}。然后，在P中存在一个可能性度量∈ P和HT∈ Ht使ψ∞t（eHt）≥ 0 P-q.s.和P【eHt6=0】>0。（5.4）步骤1：我们声称存在一个Ft可测量的mapeht：Ohmt型→ Rd使Φ∞t（eHt，eHt）=ψ∞t（eHt）P-q.s.（5.5）的确，首先注意Φ∞t（0）≥ 0 P-q.s.，尤其是Φ∞这是正确的P-q.s。。要看到这一点，请观察引理5.8，Φtsatis fies假设2.2（4），因此Φt（0）>-∞ P-q.s。。因此，我们得到P-q.s.，Φ∞t（0）=极限→∞supδ>n，| y |<nδΦt（δy）≥ 画→∞supδ>nδΦt（0）=0。此外，观察（Φ∞t）∞= Φ∞通过一个上半连续且正齐次的地平线函数的性质；见[28，第87页]。因此，通过假设NA（P）t+1在时间t+1之前成立，我们从命题5.4中知道，本地无套利条件也成立。因此，通过与命题5.5证明中相同的论证，映射（xt，xt）7→ Φ∞t（xt，xt）满足命题4.4P-q.s的条件。。

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2022-6-1 16:45:39

根据假设ψ∞t（eHt）≥ 0 P-q.s.，我们从命题4.4得出结论，集值映射m（ωt）：=h类∈ 研发部Φ∞t（ωt，eHt，h）=ψ∞t（ωt，eHt）=h类∈ 研发部Φ∞t（ωt，eHt，h）=supx∈RdΦ∞t（ωt，eHt，x）对于P-q.e.ωt不是空的。此外，根据引理5.9和[28，练习14.54（a）P.673]，函数Φ∞这是一个正规的被积函数。因此，[28，定理14.37，p.664]提供了M的Ft可测量选择器的存在性。步骤2：让我们证明eHt+1：=（eHt，eHt）∈ Ht+1满意度ψ∞t+1（eHt+1）≥ 0 P-q.s.，即eHt+1∈ Kt+1。对于P-q.e，ωtwe有（5.4），（5.5），引理5.80=ψ∞t（ωt，eHt（ωt-1)) = Φ∞t（ωt，eHt+1（ωt））≤ infP公司∈Pt（ωt）EP[ψ∞t+1（ωtt·，eHt+1（ωt））]≤ 0，这反过来意味着对于P-q.e.ωtwe，0=infP∈Pt（ωt）EP[ψ∞t+1（ωtt·，eHt+1（ωt））]作为每个P′∈ P满意度P′|Ohmt+1=P′|Ohmt型 P′t对于某些选择P′t∈ 我们直接从Fubini定理得到结果。但现在，我们已经构建了HT+1∈ Kt+1带P[eHt+16=0]≥ P[eHt6=0]>0，这与NA（P）t+1与时间t+1相矛盾。因此，我们必须有Kt={0}。5.2定理2.6的证明本小节的目标是给出定理2.6的证明，这是本文的主要结果。我们将构建最优策略bH：=（bH，…，bHT-1) ∈ H从时间t=0向上递归，在每个时间t应用命题5.5，给定受限策略bHt：=（bH，…，bHt-1) ∈ Ht。我们按照[20]检查BH是否确实是一个优化器（2.3）。定理2.6的证明。首先，让我们检查定理4.3中的条件是否满足函数ψ。根据命题5.1和命题5.7，我们知道单周期模型中的无轨道条件（4.2）是成立的。此外，根据命题5.1，我们知道ψ满足假设2.2。这与引理5.9一起表明ψ满足假设4.1。

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2022-6-1 16:45:42

因此，根据定理4.3，存在SBH∈ Rd这样的INFP∈PEP[ψ（bH）]=supx∈RdinfP∈PEP[ψ（x）]>-∞.现在，我们声称∈ {0，…，T- 1} 我们有SUPX∈RdΦt（ωt，bHt（ωt-1），x）>-∞ P-q.s.，（5.6），其中bHt：=（bH，…，bHt-1）从时间t=0向上递归定义。我们用归纳法论证。事实上，我们刚才讨论的基本情况t=0。对于归纳步骤，假设（5.6）在时间t时成立- 1、然后，根据命题5.5，存在anFt-1-可测随机变量BHT-1对于P-q.e.ωt-1它认为- ∞ < supx公司∈RdΦt-1（ωt-1，bHt-1（ωt-2），x）=Φt-1（ωt-1，bHt-1（ωt-2），bHt-1（ωt-1)). （5.7）我们写下：=（bHt-1，bHt-1) ∈ Ht。注意，通过定义（5.1）中定义的递归，我们得到了每个ωt-1.∈ Ohmt型-1那是Φt-1（ωt-1，bHt（ωt-1））=infP∈Pt公司-1（ωt-1） EP[ψt（ωt-1.t型-1·，bHt（ωt-1))].这和（5.7）确保P-q.e.ωt-我们有ψt（ωt-1.t型-1·，bHt（ωt-1)) > -∞ Pt公司-1（ωt-1） -q.s。。（5.8）此外，每P∈ P其限制PttoOhmPt形式的tis-1. Pt公司-1对于某些选择器Pt-1.∈ Pt公司-因此，（5.8）意味着∈ 聚丙烯ψt（bHt）>-∞= EPt公司-1（dωt-1） hEPt公司-1（ωt-1){ψt（ωt-1.t型-1·，bHt（ωt-1))>-∞}i=1。因此，通过对递归的定义（5.1），我们可以看到indeedsupx∈RdΦt（ωt，bHt（ωt-1），x）=ψt（ωt，bHt（ωt-1)) > -∞ 因此，对于P-q.e.ωt，我们可以应用命题5.5来找到一个Ft可测量的随机变量bhtsuch，它影响P∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，bHt（ωt-1），bHt（ωt））]=ψt（ωt，bHt（ωt-1））对于P-拟每ωt∈ Ohmt、对于所有t=1。T- 1、我方声明BH∈ H是最优的，即满意度（2.3）。我们首先展示了INFP∈PEP[ψT（bH）]≥ Ψ. （5.9）为此，让t∈ {0，…，T-1}. 让P∈ P我们写P=P· · · PT公司-1使用kernelsPs：Ohms→ M级(Ohm) 满足Ps（·）∈ Ps（·）。因此，通过应用富比尼定理和hep[ψt+1（bH。

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2022-6-1 16:45:46

，bHt）]≥ E（P···Pt公司-1）（dωt）hinfP′∈Pt（ωt）EP′ψt+1（ωtt·，bHt（ωt-1），bHt（ωt））i=E（P···Pt公司-1） [ψt（bHt）]=EP[ψt（bHt）]。从t=t重复使用此不等式- 1到t=0产生EP[ψt（bH）]≥ Ψ. AsP∈ P是任意选择的，证明了权利要求（5.9）。仍然需要证明ψ≥ supH公司∈HinfP公司∈PEP[ψ（H）]查看thatbH∈ H是最佳值。所以，fix任意H∈ H、它必须表明∈ {0，…，T- 1} infP公司∈PEP[ψt（Ht）]≥ infP公司∈PEP[ψt+1（Ht+1）]。（5.10）实际上，通过重复使用从t=0到t=t的不等式- 1我们得到ψ≥ infP公司∈PEP[ψT（H）]。此外，作为H∈ H是任意的，ψT=ψ，我们得到了期望的不等式。现在，为了证明（5.10）中的不等式，fix anε>0。根据[19，引理5.13]，参见[5，命题7.50]，存在一个核Pεt：Ohmt型→ M级(Ohm) 对于所有ωt∈ OhmtEPεt（ωt）[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]- ε≤ (-ε-1) ∨ infP公司∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，Ht+1（ωt））]≤ (-ε-1) ∨ supx公司∈RdinfP∈Pt（ωt）EP[ψt+1（ωtt·，Ht（ωt-1），x）]=(-ε-1) ∨ ψt（ωt，Ht（ωt-1)).取任意P∈ 并表示其限制为Ohmtby Pt公司。综合上述不平等因素[(-ε-1) ∨ ψt（Ht）]≥ EPt公司Pεt[ψt+1（Ht+1）]- ε ≥ infP′型∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]- ε.出租ε→ 0，通过Fatou引理，我们得到thatEP[ψt（Ht）]≥ infP′型∈PEP′[ψt+1（Ht+1）]。参考文献【1】R.Almgren和N.Chriss。投资组合交易的最佳执行。J、风险，3:5–392000。[2] D.巴特尔。无界禀赋模型不确定性下的指数效用最大化。安。应用程序。概率。，29(1):577–612, 2019 .[3] E.Bayraktar和S.Yao。非线性期望的最优停止第一部分：随机过程。应用程序。，121(2):185–211, 2011.[4] E.Bayraktar和S.Yao。非线性期望的最优停止第二部分。随机过程。应用程序。，121(2):212–264, 2011.[5] D.P.Bertsekas和S.E.Shreve。随机最优控制。离散时间情况。学术出版社，纽约，1978年。[6] S.Biagini和M.Pinar。

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2022-6-1 16:45:50

不喜欢模棱两可的投资者的稳健默顿问题。数学芬南。经济。，11(1):1–24, 2017.[7] B.Bouchard和M.Nutz。非支配离散时间模型中的套利和对偶。安。应用程序。概率。，25 (2):823–859, 2015 .[8] L.Carassus和R.Blanchard。无界效用函数的离散时间多先验最优投资。预印本，arXiv:1609.09205v32016。[9] L.Carassus和M.Rásonyi。离散时间金融市场模型中非洞穴效用函数的最大化。数学操作。第41（1）号决议：146–1732016年。[10] L.Carassus、M.Rás onyi和A.M.Rodrigues。离散时间正实轴上的非凹效用最大化。数学财务部。经济。，9(4):325–349, 2015.[11] L.Denis和M.Kervarec。非支配模型中模型不确定性下的最优投资。暹罗J.控制优化。，51(3):1803–1822, 2013.[12] I.Ekren、N.Touzi和J.Zhang。非线性期望下的最优s-topping。随机过程。应用程序。，124(10):3277–3311, 2014.[13] I.V.Evstigneev。可测量选择和动态规划。数学操作。第1（3）号决议：267-2721976年。[14] J-P.Fouque、C.S.Pun和H.Y.Wong。具有模糊相关性和随机波动性的投资组合优化。暹罗J.控制优化。，54(5):2309–2338, 2016.[15] 于。卡巴诺夫、M.Rásonyi和C.Stricker。关于土地上凸锥和的封闭性鲁棒无套利房地产金融。Stoch。，7:40 3–411, 2003.[16] Q.Lin和F.Riedel。具有模糊性的最优消费和订单选择。预印本XIV:1401.1639v12014。[17] A.Matoussi、D.Possamai和C.Zhou。2BSDE非支配模型中的鲁棒效用最大化：不确定波动率模型。数学《金融》，25（2）：258–2872015。[18] A.Neufeld和M.Nutz。Lévy过程的鲁棒效用最大化。数学《金融》，28（1）：82–1052018年。[19] A.Neufeld和M.Siki'c。

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