部分约束下未定权益定价的凸对偶方法

2022-6-14 05:29:35

部分信息和卖空约束下定价约束索赔的凸对偶方法Kristina Rognlien Dahl*2019年2月28日摘要我们考虑或有索赔卖方面临的定价问题。我们假设卖方有一些一般水平的部分信息，并且不允许他卖空某些资产。这个定价问题是我们的首要问题，是一个约束随机优化问题。我们利用Rockafellar提出的共轭对偶理论导出了这个问题的对偶。此外，我们给出了强对偶成立的条件。这在价格过程的可选投影上给出了涉及鞅和超鞅条件的索赔价格的一个特征。关键词：凸对偶。数学金融。定价部分信息。AMS科目分类：49N15、90C15、90C25、90C46、91G20。*奥斯陆大学数学系。kristd@math.uio.no.根据欧洲共同体第七框架计划（FP7/2007-2013）/ERC赠款协议号，导致这些结果的研究已获得欧洲研究理事会的资助。本文利用共轭对偶从数学金融角度分析了一个最优化问题。我们考虑了在一个圆盘rete时间、任意场景空间设置下，一个偶然目标B的卖方的定价问题。卖方拥有一般水平的部分信息，并受到卖空约束。卖方的（随机）优化问题是找到索赔的最低价格，这样她就可以通过投资一个自我融资的投资组合，在最终时间T没有资金浪费的风险。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:29:38

价格过程仅被假定为非负随机过程，因此框架是独立于模型的（从这个意义上讲）。本文的主要贡献是将索赔B的卖方价格的对偶刻画为索赔的Q-期望，其中Q是关于价格过程的条件期望的混合鞅和超鞅测度，见定理3.1。据我们所知，这是一个新的结果。鞅和超鞅测度的混合是由于某些资产上存在卖空约束，而条件期望是由于卖方的部分信息。这个对偶问题的最优值是卖方价格的上界。为了证明这个特征，我们使用了共轭对偶技术。这项技术不同于数学金融文献中常见的技术，其结果是（相当）简短的证明。此外，它不依赖于一个周期模型的推导。此功能使优化问题得以解决，即使它包含部分信息。共轭对偶（也称凸对偶）是研究和解决优化问题的一般框架，用于分析塞勒问题。Ro ckafellar【28】介绍了该框架，见附录a的简要总结。为了进一步处理共轭对偶及其在随机优化中的作用，s e Shapiro et a l。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:29:41

[33].本文的一些主要特点是：通过凸对偶对或有类别进行定价o我们有一个完整的一般过滤，呈现部分信息。这与例如Kaba nov和Stricker[9]相比，后者使用延迟信息。共轭对偶的使用是一种通用方法，它提供了一种有效的方法来推导卖方定价问题的对偶，而无需简化为一个周期模型由于我们使用discr e te time，因此考虑了一般的价格过程。在数学金融中使用共轭对偶是一个相当新的发展。在过去几年中，Pennanen在这一领域做了一些开创性的工作，参见Pennanen【19】、【20】、【21】以及Pennanen和Perkki"o【22】。金（King）[13]和金（King）与科尔夫（Korf）[14]也研究了共轭二元性与主题性之间的联系。广义上的二元性理论是数学金融理论的核心。各种对偶性，如线性规划对偶性、拉格朗日对偶性和双极性定理，被用于许多金融领域。例如，Pinar【24】，【25】应用拉格朗日对偶，推导出了使用收益损失的或有利润定价的对偶表示。在发送路径的设置中，这种拉格朗日对偶方法等效于我们的共轭对偶方法。然而，共轭对偶的优点是它也可以推广到连续时间环境。特别是，对偶理论（特别是在有限维中）被用于效用最大化、对冲、分析凸风险度量、消费和投资问题以及最优停止。Kramkov和Schachermayer【16】、【17】、Karatzas和Shreve【12】和Pham【23】考虑了效用最大化问题中的对偶性。卡拉扎斯、什里夫（12）和范（23）的书也考虑了对冲的双重性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:29:44

Pliska【26】在套利相关问题中使用了线性规划对偶。Frittelli a和Rozas sa Gianin【7】将共轭对偶应用于凸风险度量。此外，罗杰斯还考虑了二元性在数学金融中的许多应用，例如在消费、投资和享乐问题中，参见罗杰斯【31】以及克莱恩和罗杰斯【15】。Rogers还通过凸对偶推导出了定价或有cla ims。这是一种用于解决最优停止问题的纯对偶方法，参见Rogers【32】。有关卖空限制下债权复制的更多信息，请参见Cvitani\'cand Karatzas【3】、F"ollmer和Kramkov【6】、Jounini和Kallal【8】、Karatzas和Kou【11】、Karatzas和Shreve【12】和Pulido【27】。卡巴诺夫和斯特里克[9]推导了延迟信息下的达朗-莫顿-威林格定理。他们通过推广Kabanov等人的无套利标准证明来做到这一点。他们的结果与定价结果定理4.3有关，因为它涉及价格过程的可选投影上的鞅条件。然而，与卡巴诺万·斯特里克（Kabanovand Stricker）[9]相比，我们有完全通用的部分信息（即，不需要延迟信息）。此外，我们考虑的是索赔的定价，而不是像[9]中那样的问题。我们也有卖空限制，我们的方法，特别是共轭对偶的方法，与[9]中的方法不同。Bo uchard[2]和De Valliére等人[4]也没有考虑部分信息下的仲裁条件，而是考虑交易成本，没有像我们这样的卖空限制。本文的其余部分组织如下：第2节介绍了金融市场模型，并通过使用共轭对偶推导对偶问题来分析卖方的优化问题。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:29:48

第三节通过证明证明了我们的主要定理，并给出了对偶问题的另一个特征。第4节表明，在没有借贷或卖空的情况下，不存在二元缺口。通过将这一结果与之前的结果相结合，我们发现了卖方价格在鞅和超鞅条件下的特征化。我们还给出了一个数值例子来说明结果。最后，第5节进行了总结，并提出了一些有待进一步研究的开放性问题。利用凸对偶2定价法在卖空约束和部分信息条件下对或有类别进行定价我们对金融市场建模如下。存在给定的可能性空间(Ohm, F、 P）由场景空间组成Ohm, σ-代数FOhm 和可测空间上的概率测度P(Ohm, F）。金融市场由N+1项资产组成：N项风险资产（股票）和1项非风险资产（债券）。每个资产都有一个（不等于零）随机价格过程Sn（t，ω），n=0，1，N、对于ω∈ Ohm 和t∈ {0，1，…，T}其中T<∞, SDE注意到债券的价格。我们用S（t，ω）：=（S（t，ω），S（t，ω），SN（t，ω）），RN+1中的向量，包含所有资产的价格过程。我们假设S（t，ω）：=1表示所有t∈ {0，1，…，T}，ω∈ Ohm, 所以市场被打乱了。设（Ft）Tt=0为市场中完整信息对应的过滤。我们假设价格过程适应于这种过滤。有关类似框架的更多信息，请参见Oksendal[18]。市场上的每个卖家都有一个过滤（Gt）t：=（Gt）Tt=0，其中G={, Ohm} 和GT=F。过滤代表卖方可用信息的发展。关于Gand GT的假设意味着在时间0时卖方什么都不知道，而在时间T时真实的世界场景被揭示出来。我们假设Gt Ft对于所有t=0，1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-6-14 05:29:51

. . , T这意味着卖方只有部分信息，而卡巴诺夫和斯特里克则使用延迟信息。通过考虑一般的部分信息，我们包括例如卖方未观察到/隐藏过程的可能性。设Hn（t，ω），n=0，1，···，n是资产编号n的单位数，卖方有t时间t∈ {0，1，…，T-1} 在方案ω中∈ Ohm. 然后，卖方选择一种交易策略H（t，ω）：=（H（t，ω），H（t，ω），····，HN（t，ω））基于此信息通过凸对偶定价或有类别。由于卖方每次都根据其当前信息选择此交易策略，因此H（t）对于所有t∈{0，1，…，T- 1}. 因此，交易策略过程（H（t））t∈{0,1，…，T-1} 是（Gt）t自适应的。让所有这些（Gt）适应t的交易策略的空间都被HG占据。我们考虑了一个非负F-可测未定权益B（B是非负的，不损失平移的一般性）的卖方的定价问题。让我 {1，2，…，N}是风险资产的子集，设I={1，2，…，N}\\I（即I的补充）。卖方不得卖空riskyasset Sj，其中j∈ 一、此外，我们假设不存在套利w.r.t.（Gt）t.LetH（t）：=H（t）- H（t- 1). 卖方的优化问题是：inf{v，H}v服从（i）s（T）·H（T- 1) ≥ B a.s.，（ii）s（t）·H（t）=0表示1≤ t型≤ T- 1，a.s.，（iii）Hj（t）≥ 0的0≤ t型≤ T- 1，a.s.，j∈ I（iv）S（0）·H（0）≤ v、（1）其中v∈ R和H是（Gt）t自适应的。请注意，不等式（iii）是非短期销售约束。因此，卖方的问题是：将索赔B的价格降至最低，以便卖方能够在时间T（约束（i））从投资于自筹资金（约束（ii））、ada pted（w.r.T.）中支付B。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:29:54

时间0时成本小于或等于v的部分信息（partialinformation）投资组合（约束（iv））。此外，交易策略不能涉及资产Sj、j的卖空∈ I（约束（iii））。注意，如果存在（Gt）t-套利，问题（1）是无界的。此外，在完全信息过滤（Ft）下不存在套利，这就意味着在部分信息（Gt）t下不存在套利。请注意，问题（1）是一个不确定的线性规划问题，即该问题与许多约束变量呈线性关系。有关通过凸对偶有限编程对或有类别进行定价的更多信息，请参见Instance Ander son和Nas h【1】和数字方法，如Devolder等人【5】。但是，如果Ohm 是有限的，（1）是线性规划问题。在这种情况下，可以使用单纯形算法或内点法数值求解问题，参见范德贝[35]的例子，我们将以适合确定其对偶的方式重写问题（1）。显然，可以移除约束（iv），而不是最小化S（0）·H（0）。此外，由于不存在（Gt）t-套利，因此需要最小化投资组合，如S（0）·H（0）≥ 然后，定价问题是一个具有四类约束（S（0）·H（0）的极小化问题≥ 0是第四种类型）。现在，这个问题可以重写，以符合共轭对偶框架（参见附录A，了解共轭对偶或Rockafellar[28]）。让| I |表示I中元素的数量，即卖方不允许卖空的资产数量。Le t p∈ [1, ∞) 扰动空间u由u定义：={u=（γ，（wt）T-1t=1，（x（j）t）t-1t=0，j∈一、 z）：u∈ 有限合伙人(Ohm, F、 P:R（| I |+1）T+1）}。定义（为方便起见）w：=（wt）T-1t=1和x（j）：=（x（j）t）t-1t=0。设Y：=U*= Lq公司(Ohm, F、 P:R（| I |+1）T+1），U的对偶空间，其中P+q=1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:29:57

请注意，y：=（y，（yt）T-1t=1，（ξ（j）t）t-1t=0，j∈一、 y）∈ Y有组件C响应u∈ U还要注意，u c包含四种类型的变量，γ，w，（x（j））j∈一、这些变量中的每一个都对应于重写最小化问题中的约束类型。这同样适用于双变量。考虑使用双线性形式hu，yi=E[U·Y]对U和Y进行配对。选择扰动函数F:HG×U→ R（关于摄动函数的更多信息，请参见附录A）如下：（i）如果B- S（T）·H（T- 1) ≤ γa.s.，s（t）·H（t）=所有t的WT∈ {1，…，T- 1} 2.1利用凸对偶对或有分类进行定价的两个引理。s-Hj（t）≤ x（j）t对于所有t∈ {0，…，T- 1} ，j∈ Ia。s、，s（0）·H（0）≥ z、然后设F（H，u）：=S（0）·H（0）。（ii）否则，设F（H，u）：=∞.相应的拉格朗日函数isK（H，y）=S（0）·H（0）+E[y（B- S（T）·H（T- 1））]+PT-1t=1E【ytS（t）·】H（t）]-Pj公司∈IPT-1t=0E[ξjtHj（t）]- E[yS（0）·H（0）]如果y，ξjt，y≥ 所有t均为0 a.s∈ {0，…，T- 1} K（H，y）=-∞ 否则我们现在可以将（共轭）对偶问题确定为原始问题（1）。通过收集每个Hi（t）的项，双目标函数isg（y）：=inf{H：（Gt）t-自适应}K（H，y）=E[yB]+Pi∈IinfHi（0）{E[Hi（0）{Si（0）（1- y）- ySi（1）}]}+Pj∈IinfHj（0）{E[Hj{Sj（0）（1- y）- yS（1）- ξ（j）}]}+PT-2t=1圆周率∈IinfHi（t）{E[Hi（t）（ytSi（t））- yt+1Si（t+1））]}+Pj∈IinfHj（t）{E[Hj（t）（ytSj（t））- yt+1Sj（t+1）- ξ（j）t）]}+圆周率∈IinfHi（T-1） {E[Hi（T- 1)(-ySi（T）+yT-1Si（T- 1））]}+Pj∈IinfHj（T-1） {E[Hj（T- 1)(-ySj（T）+yT-1Sj（T- 1) - ξ（j）T-1)]}.（2） 2.1两个引理本节由以下表述所需的两个引理组成。我们包括完整性的证明。引理2.1设f为任意随机变量w.r.t(Ohm, F、 P）设G是F的次σ-代数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-14 05:30:00

设X表示所有G-可测随机变量的集合。然后{g∈X}E[fg]>-∞如果且仅当所有A的ifRAfdP=0∈ G、 2.1两个引理通过凸对偶屋顶对或有类别进行定价。=>: 假设存在∈ G使得rafdp=K 6=0。defineg（ω）：=所有ω的M∈ A、其中M是常数，g（ω）：=0表示所有ω∈ Ohm\\A、结果如下：→ +/ - ∞<=: 证明简单函数的结果。引理后面是一个近似参数。在下一个引理中，符号与引理2.1中的符号相同：引理2.2 inf{g∈X}E[fg]>-∞ 意味着inf{g∈X}E[fg]=0。证据通过观察inf{g∈X}E【fg】≤ 0（g=0是可行的）和最小值的定义。通过将引理2.2与引理2.1相结合，可以得出inf{g∈X}E[fg]=0if且仅当所有A的rafdp=0时∈ G、当且仅当方程（2）中的所有函数大于-∞. 为了推导对偶问题，我们将这些最小化问题分别考虑，并在引理2.1和L emma 2.2之后使用注释。我们也使用它，因为ξ（j）t≥ 所有t均为0 a.e∈ {0，1，…，T- 1} 和j∈ 一、 thenRAξ（j）tdP≥ 0表示所有A∈ Gt对于所有t。此外，从衍生的对偶可行性条件来看，仅最大化Y=0 P-a.e.的解是有效的。请注意，这样的解是存在的，因为我们假设定价或有类别由凸对偶确定，不存在（Gt）t-套利。因此，对偶问题是∈Y：Y≥0}E[yB]s.t.（i）RASi（0）dP=RAySi（1）dP A.∈ G、（一）*RASj（0）dP≥RAySj（1）dP A.∈ G、（ii）RAytSi（t）dP=RAyt+1Si（t+1）dP A.∈ Gt，t=1，T- 2、（二）*RASj（t）ytdP≥射线+1Sj（t+1）dP A.∈ Gt，t=1，T- 2、（iii）雷特-1Si（T- 1） dP=RAySi（T）dP A.∈ 燃气轮机-1、（三）*雷特-1Sj（T- 1） dP≥RAySj（T）dP A.∈ 燃气轮机-1（3）如果等式约束（i）、（ii）和（iii）适用于i∈ i和不平等约束（i）*, （二）*和（iii）*保持j∈ 我

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:03

请注意，双重可行性条件是成对的，其中唯一的区别是是否存在=（允许ShortSelling）或≥ （不允许短接）。这个对偶问题（3）与原始问题（1）一样，是一个有限的线性规划问题。如前所述，如果Ohm 它是一个规则的线性规划问题，可以使用s implex算法或内点法来解决。然而，这一版本的对偶问题对于解决原始问题来说并不简单。因此，我们将以更易于解释的形式重写问题（3），这在某些情况下比原始问题更容易解决。3主要定理在这一节中，我们将展示我们的主要定理，定理3.1，它表明对偶问题（3）等价于另一个涉及价格过程的可选投影上的鞅和supe r鞅条件的问题。在下文中，设“MaI（S，G）”为概率测度Q的集合(Ohm, F）这是绝对连续的w.r.t.P，并且是这样的，价格过程通过凸对偶为i∈ Isatisfy EQ[Si（t+k）| Gt]=EQ[Si（t）| Gt]，而对于j∈ Ithey satisfyEQ[Sj（t+k）| Gt]≤ k的等式[Sj（t）| Gt]≥ 0和t∈ 0, 1, . . . , T- k、即Q是价格过程可选投影的混合鞅测度和超鞅测度。定理3.1对偶问题（3）等价于以下优化问题。supQ公司∈？MaI（S，G）等式【B】。（4）证明。Fir st，假设存在一个Q∈？MaI（S，G），即问题（4）的可行解决方案。我们想证明问题（3）有相应的可行解。定义y：=dQdP（Q w.r.t.P的Radon-Nikodym导数，见先令[34]），y：=E[y | Ft]，t=0，1，T- 1.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-6-14 05:30:06

我们证明了y，yt满足问题（3）的对偶可行性条件（三）*: 从条件期望的定义来看，它有助于超越[ySj（T）| GT-1] dP≤扎伊特-1S（T- 1）所有A的dP∈ 燃气轮机-1，j∈ 一、尤其需要证明[ySj（T）| GT-1] ≤ E[年初至今-1Sj（T- 1） |燃气轮机-1] yT定义的P-a.e-1，这是等效前束[ySj（T）| GT-1] ≤ E[E[y | FT-1] Sj（T- 1） |燃气轮机-1] 自Sj（T）起的P-a.e- 1）是英尺-1-可测，上述不等式与[ySj（T）| GT-1] ≤ E[E[ySj（T- 1） |英尺-1] |燃气轮机-1] P-a.e.根据凸对偶对或有类别进行定价根据塔的性质，这是等效的toE[ySj（T）| GT-1] ≤ E[ySj（T- 1） |燃气轮机-1] P-a.e.在条件期望下，通过测量值的变化，就足以表明[y | GT-1] 公式[Sj（T）| GT-1] ≤ E[y | GT-1] 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-1].这是成立的，因为y≥ 0 P-a.e.和Q∈“MaI（S，G）。”（二）*: 首先，我们证明t=t- 2、请注意∈ 燃气轮机-2，j∈ 伊拉特-1Sj（T- 1） dP=RAE【yT】-1Sj（T- 1） |燃气轮机-2] dP=RAE[E[y | FT-1] Sj（T- 1） |燃气轮机-2] dP=RAE[E[ySj（T- 1） |英尺-1] |燃气轮机-2] dP=RAE[ySj（T- 1） |燃气轮机-2] dp因此，从条件期望的定义和条件期望下度量的变化，可以证明-2Sj（T- 2） |燃气轮机-2] ≥ E[ySj（T- 1） |燃气轮机-2] =E[y | GT-2] 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-2].（5）但是，根据y（T）的定义-1），塔的性质和条件期望下的测量变化-2Sj（T- 2） |燃气轮机-2] =E[ySj（T- 2） |燃气轮机-2] =E[y | GT-2] 等式[Sj（T- 2） |燃气轮机-2].（6）通过组合方程（5）和（6），可以证明-2] 等式[Sj（T- 2） |燃气轮机-2] ≥ E[y | GT-2] 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-2].基于凸对偶的权变分类定价≥ 0 P-a.e.和Q∈？MaI（S，G）。同样，o ne canshow（二）*对于t=1，T- 3.o（一）*: 回想一下，G={, Ohm}. 对于A=.因此，只需检查E[ySj（1）]≤ E[Sj（0）]=Sj（0）forj∈ 我

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:09

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:13

这证明了Claim 1。权利要求2:EQ[Si（t+k）| Gt]=EQ[Si（t）| Gt]k∈ N、我∈ 一、权利要求2证明：让我∈ 一、首先，我们可以通过归纳法表明，对于所有T，EQ[Si（T）| Gt]=EQ[Si（T）| Gt]≤ T、我∈ 一、使用权利要求1。也通过归纳论证（对于i∈ 一），这可以推广到权利要求3。权利要求3:EQ[Sj（T）| GT-1] ≤ 等式[Sj（T- 1） |燃气轮机-1] 对于j∈ 一、根据权利要求3的凸对偶顶对或有类别进行定价：证明等式[Sj（T）| GT-1] ≤ 等式[Sj（T-1） |燃气轮机-1] 对于j∈ 一、我们使用（iii）*, 一个类似于用于显示Cla im 1和权利要求2的参数。权利要求4:EQ[Sj（T）| Gt]≤ E【Sj（t）| Gt】适用于所有t≤ T和j∈ 一、权利要求4的证明：Let j∈ 一、表示等式[Sj（T）| Gt]≤ 所有t的E【Sj（t）| Gt】≤ T：注意，从方程式（ii）中*对于t+1，t+2，…，的问题（3），T- 2，以下是Raytsj（t）dP≥射线+1Sj（t+1）dP A.∈ 燃气轮机≥射线+2Sj（t+2）dP A.∈ Gt+1，第r节 A.∈ 燃气轮机≥ . . .≥雷特-1Sj（T- 1） dP A.∈ 燃气轮机≥RAySj（T）dP A.∈ GT最终不平等使用（iii）*来自问题（3）。因此，根据条件预期的定义和条件预期下的衡量标准变化≥ZAE[y | Gt]EQ[Sj（T）| Gt]dp对于键，我们知道E[yt | Gt]=E[y | Gt]（参见与方程（10）相关的参数），soZA{E[yt | Gt]（EQ[Sj（T）| Gt]- 公式[Sj（T）| Gt]）}dP≥ 0 A.∈ 燃气轮机。（11）若yt（A）≥ 0，但不等同于0 a.e.，这意味着权利要求4，即：EQ[Sj（t）| Gt]（a）≥ 公式[Sj（T）| Gt]（A）适用于A∈ 燃气轮机。如果yt（A）=0 A.e.，那么Q（A）=0，那么根据惯例，等式[Sj（T）| Gt]（A）=0。因此，由于价格预测是非负的，因此等式[Sj（t）| Gt]≥ 公式[Sj（T）| Gt]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-14 05:30:16

这证明了权利要求4。凸对偶目标5下的权变分类定价：等式[Sj（t+k）| Gt]≤ k的等式[Sj（t）| Gt]∈ N、 j∈ 一、权利要求5的证明：对于∈ GT和j∈ 一、 RAytSj（t）dP≥RAyt+kSj（t+k）dP=RAE[yt+kSj（t+k）| Gt]dP=RAE[yt+k | Gt]EQ[Sj（t+k）| Gt]dP=RAE[y | Gt]EQ[Sj（t+k）| Gt]dP，其中第一个线性如下（ii）*（来自问题（3））迭代，第三个等式来自E[yt+k | Gt]=E[y | Gt]（参见权利要求4的证明）。因此，根据条件期望的定义，由于E[yt | Gt]=E[y | Gt]≥ 0（因为y≥ 0）ZA{E[y | Gt]（等式[Sj（t）| Gt]- 等式[Sj（t+k）| Gt]}dP≥ 0表示所有A∈ 燃气轮机。通过与等式（11）相似的r论证，权利要求5成立，即等式[Sj（t+k）| Gt]≤ 所有k的等式【Sj（t）| Gt】∈ N、 j∈ 一、通过结合这些声明，我们可以看到Q∈MaI（S，G），理论如下。对偶问题（4）的版本很有吸引力，因为它与鞅测度有关，鞅测度是数学金融学的重要组成部分，参见Karatzas和Shreve【12】和Oksendal【18】。公式（4）的另一个精确特征是，当找到集合“MaI（S，G）”时，解决每个新权利要求B的问题可能相当简单（取决于“MaI（S，G）”的结构），因为se t不依赖于权利要求。相反，只要考虑新的索赔B，就必须从头开始解决原始问题（1）。凸对偶定价或有类别3.2注意，定理3.1与定理1 inKabanov和Stricker有一些相似之处【9】。然而，我们考虑的是未定权益的定价问题，而不是无套利标准，这是[9]的主题。此外，我们有卖空限制，而[9]没有。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-6-14 05:30:19

此外，我们有一般水平的部分信息（不一定是延迟的），我们使用的技术，特别是凸对偶的使用，是不同的。卡巴诺夫和斯特里克[9]还评论说，据他们所知，他们对威林格定理的部分信息的证明是唯一一个没有将问题简化为一步模型的证明。我们的技术，使用凸性，也不依赖于简化为单周期模型。因此（据我们所知），我们的证明方法必须是一种新的方法，以避免在离散时间模型中简化为一个周期。4强对偶本节的主要目的是证明不存在对偶缺口，即原始问题（1）的值等于对偶问题（4）的值。这可以使用Pennanen和Perkki"o[22]的以下定理来完成（参见[22]中的定理m 9）。为了证明强对偶性，我们还假设i={0，1，…，N}，即不允许卖空或借贷。我们使用与第2节中相同的符号，并考虑附录A中定义的值函数Д（·）。在下面的定理中，H是一个随机过程，每个时间t有N+1个分量∈ {0，1，…，T- 1} HG表示所有适应过滤（Gt）t的随机过程家族。此外，F∞是F的衰退函数，由F定义∞（H（ω），0，ω）：=supλ>0F（λH（ω）+H（ω），？y（ω），ω）- F（\'H（ω），\'y（ω），ω）λ（12）（与\'H，\'y独立）。然后，我们有以下定理：定理4.1（定理9，Penn-anen和Perkkio[22]）假设有一个通过凸对偶映射或有分类∈ Y和m∈ L(Ohm, F、 P）使得对于P-a.eω∈ Ohm,F（H，u）≥ u·y+m a.s.适用于所有人（H，u）∈ RT（N+1）×R（| I |+1）T+1，（13），其中（·）表示欧氏内积。还假设a：={H∈ 汞：F∞（H，0）≤ 0 P-a.s.}是一个线性空间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:22

然后，值函数Д（u）在u上是下半连续的，并且对于所有u，都达到了原始问题的极限∈ U、关于定理4.1的证明，请参见[22]。定理4.1给出了值函数Д（见附录A）具有较低se-mi连续性的条件。因此，根据定理A.2，如果这些条件成立，那么就不存在对偶间隙，因为Д（·）是凸的（b因为扰动函数F被选为c凸）。备注4.2请注意，Rockafellar【28】和Pennanen以及Perkki"o【22】的框架之间存在细微差异。在后者中，假设扰动函数F是所谓的凸正规被积函数。然而，从Pennanen【19】中的示例1和Rockafellar and Wets【30】中的示例14.29可以看出，我们选择的F实际上是一个凸正规被积函数。以下定理说明不存在对偶缺口，并描述了或有权的卖方价格。定理4.3考虑本文的设置，并假设（Gt）t不存在任何偏差。如果权利要求B的卖方拥有信息（Gt），并且不允许卖空或借贷，她将以β=supQ的价格提供权利要求∈毫安（S，G）等式【B】。（14）其中，Ma（S，G）是概率测度Q的集合(Ohm, F）由凸对偶绝对连续w.r.t.P对或有类别进行定价，且价格过程满足[Sj（t+k）| Gt]≤ k的等式[Sj（t）| Gt]≥ 0和t∈ 0, 1, . . . , T- k、证明。我们应用定理4。1为了证明定价问题不存在对偶间隙：o我们首先证明集合A是线性空间。我们计算F∞（H（ω），0，ω），选择y=0和H作为从1+supω开始的投资组合∈Ohm债券的B（ω）单位，并且只跟踪市场发展（无任何交易），直到最终时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:25

然后，我们发现a={H:G-ada pted，H（t）≥ 0 t、 S（t）·H（t）=0，S（t）·H（t- 1) ≥ 0，S（0）·H（0）≤ 0}={0}，其中最终等式是因为我们认为没有套利。r、因此，A={0}，这是一个（平凡的）线性空间。因此，满足定理4.1的初始条件。o要检查定理的其他假设，请选择（0，（0）t，（0）t，-1) ∈ Lq公司(Ohm, F、 P:R（| I |+1）T+1），其中0表示0函数。此外，选择m（w）=-1表示所有ω∈ Ohm.然后m∈ L(Ohm, F、 P）。然后，给定（H，u）∈ RT（N+1）×R（I+1）T+1:F（H，u）≥ S（0）·H（0）（从F的定义开始）≥ -z（从F的定义）=u·y（ω）+m（ω）（从y和m中选择）。这证明了定理4.1的条件是满足的。因此，不存在对偶缺口，所以卖方的未定权益价格是通过凸对偶SUPQ对未定类别进行定价∈毫安（S，G）等式【B】。备注4.4我们注意到，F"ollmer和Kramkov[6]中的命题4.1给出了价格过程中具有超鞅条件的索赔的卖方价格表达式。然而，我们考虑的问题与[6]不同，因为我们有部分信息。与文献[6]相比，部分信息的存在导致了不同类型的鞅测度（我们在价格过程的可选投影上得到了鞅和超鞅测度）。为了证明定理4.3中的强对偶性，我们假设不允许卖空或借贷。为了使空间a成为线性空间，这是必要的，正如OREM 4.1中的强对偶特征所要求的那样。然而，我们无法找到一个实际存在二元差距的数值例子。在最后Ohm （即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:28

（线性规划）的情况下，即使允许借贷或卖空，也不会有二元缺口。因此，如果存在一个二元性缺口的例子，它必须在有限的范围内Ohm案例这让人相信，可能会关闭二元性的缺口。然而，我们还没有通过对问题的凸分析找到实现这一点的方法。另一种选择是，通过使用拉格朗日公理分析原始问题，尝试关闭卖空案例中的双重套利，参见Pinar【24】、【25】。然而，由于这种方法与我们在离散时间环境下的凸双线性方法相当，因此很可能会遇到类似的线性问题。这是一个有待进一步研究的开放性问题。示例4.5我们通过考虑一个简单的数值示例来说明前面的结果。虽然本文的结果在Ohm 是凸对偶集的任意定价或有类别，我们考虑一种情况，其中Ohm 是有限的。这简化了直觉，并允许通过场景树进行说明。考虑时间t=0，1，2，Ohm := {ω，ω，…，ω}和一个具有两种资产的市场：一个银行账户和一种风险资产S。假设市场已结算，因此S（t，ω）=1表示所有时间t和所有ω∈ Ohm. let（t，ω）：=X（t，ω）+ξ（t，ω），即风险资产的价格由另外两个过程X和ξ组成。卖方不遵守这两个过程，只遵守价格。以下场景树显示了过程X和ξ的发展，以及卖方观察到的价格发展。请注意，我们只显示以下计算中所需的信息。Ohm = {ω，ω，…，ω}ξ=3，{ω，ω，ω}ξ=5，{ω，ω}ωωωωωωωq qt=0 t=1t=t=2图1：该市场中的过程ξ完整信息对应于观察x和ξ两个过程，即。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:31

完整信息过滤（Ft）是由X和ξ，σ（X，ξ）生成的σ代数。然而，卖方（Gt）观察到的价格过程产生的过滤（严格）小于完整信息过滤。例如，如果你观察到ξ（1）=3，X（1）=4，你就知道实际情况是ω。然而，这不可能仅通过观察价格过程S来确定。因此，这是一个通过凸对偶对或有类别进行定价的模型示例Ohm = {ω，ω，…，ω}X=4，{ω，ω}X=2，{ω，ω，ω}ωωωq qt=0 t=1t=t=2图2：过程s XS=6，Ohm = {ω，ω，…，ω}S=7，{ω，ω}S=9，{ω，ω}S=5，{ω}S=3，ωS=8，ωS=9，ωS=7，ωS=4，ωq qt=0 t=1t=2图3：价格过程隐藏过程，这是一种不延迟信息的部分信息。假设卖方不允许卖空。在这种情况下，卖方的问题（1）是解决以下最小化问题w.r.t.v和所有（Gt）t适应的交易策略H：通过凸对偶Fv，Hvs对或有类别进行定价。t、 3H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）9H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）5H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）8H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）4H（1，ω）+H（1，ω）≥ B（ω）H（1，ω）- H（0）+7H（1，ω9- H（0））= 0H（1，ω）- H（0）+5H（1，ω）- H（0））= 0H（1，ω）- H（0）+9H（1，ω）- H（0））= 0Hj（0）≥ 0，Hj（1，ωi）≥ 0表示j=0，1，i=1，2，3H（0）+6H（0）≤ v（15），其中H（1，ω）=H（1，ω）和H（1，ω）=H（1，ω），因为H是（Gt）自适应的。这是一个线性规划问题，可以使用Simplex算法解决。请注意，单纯形算法是一种对偶方法，它导致了一个等价于我们在第3节中导出的对偶问题。直接解决这个问题的一个好处是，我们可以明确地获得交易策略。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:33

然而，直接解决问题（15）的一个缺点是，对于每个新的权利要求B，必须从头开始解决问题。相反，在解决双重问题时，情况并非如此。根据定理4.3，索赔价格的对偶问题是：supQ∈\'Ma（S，G）EQ[B]（16），其中\'Ma（S，G）是一组绝对连续的概率测度，使得价格过程Sa（Gt）t-条件超鞅（和S，但由于价格过程被贴现，该isPricing或有类别由凸对偶trivial生成）。为了解决这个问题，我们必须找到集合Ma（S，G）。通过使用Ma（S，G）的定义，我们得到了一个要求解的线性不等式组。通过解决这些问题，使用ex-ampleFourier-Motzkin消除法，我们发现'Ma（S，G）={Q=（Q，Q，…，Q）：0≤ q≤, 0≤ q≤ 1.- q、 0个≤ q≤ 1.- q- q、 0个≤ q≤ 1.- q- q- q和q=1- q- q- q- q} （17）因此，考虑到一些索赔B，可以解决（17）中集合的问题（16），以确定卖方的价格。当人们想确定几种索赔B、B、…、的价格时，Bm，解决对偶问题比解决原始LP问题更简单，因为s et'Ma（s，G）对于所有索赔都是相同的。5结论在本文中，我们展示了如何利用凸二元性为拥有部分信息且在离散时间金融市场模型中面临卖空约束的债权卖方获得定价结果。这给出了新的结果，这些结果总结在定理3.1和定理4.3中。很自然，这些结果可以推广到具有连续时间的模型，可能使用离散时间近似。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:36

然而，这可能相当技术性。Rockafellar[2 8]提出的共轭对偶和成对空间共轭对偶理论（也称为凸对偶）为通过对偶问题解决非常一般的优化问题提供了一种方法。设X为线性空间，f:X→ R是一个函数。最小化问题minx∈Xf（x）被称为原始问题，表示为（P）。为了用凸对偶方法对偶然类进行定价，将共轭对偶方法应用于原问题，我们考虑了一个nabstract优化问题minx∈XF（x，u），其中F:x×u→ R是一个函数，使得F（x，0）=F（x），U是线性空间，U∈ U是根据手头的特定问题选择的参数。函数F称为pertu rbation函数。我们希望选择（F，U），使F是x和U的闭合联合凸函数。对应于此问题，我们定义了最优值函数ν（U）：=infx∈XF（x，u），u∈ U、（18）注意，如果扰动函数F是联合凸的，则最优值函数Д（·）也是凸的。两个线性空间X和V的配对是实值双线性形式h·、·离子X×V。假设在空间sx和V之间有一对。如果拓扑图yon X是局部凸拓扑，例如线性函数h·，vi是连续的，并且X上的任何连续线性函数都可以用这种形式来表示某些v∈ 五、类似地定义了可比较的地形V。如果X和V之间存在配对，并且这两个空间具有关于配对的兼容拓扑，则空间X和V是成对空间。例如，空间X=Lp(Ohm, F、 P）andV=Lq(Ohm, F、 P），其中P+q=1。这些空间通过双线性形式hx配对，vi=ROhmx（s）v（s）dP（s）。下面，让X与另一个线性空间V成对e d，U与线性空间Y成对。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:39

配对的选择在应用中可能很重要。定义拉格朗日函数K:X×Y→\'R为K（x，y）：=inf{F（x，u）+hu，yi:u∈ U}。以下定理A.1来自Rockafellar【28】（见【28】中的定理6）。定理A.1拉格朗日函数K是封闭的，在y中是凹的∈ 凸对偶x对每个定价或有类别的Y∈ 十、如果F（X，u）在uf（X）=supy中是闭的和凸的∈YK（x，y）。（19）关于这个定理的证明，请参见Rockafellar【28】。在定理A.1的激励下，我们定义了（P），（D）maxy的对偶问题∈Yg（y），其中g（y）：=infx∈XK（x，y）。问题（D）被称为原始问题（P）的对偶的一个原因是，从方程（19）中，问题（D）给出了问题（P）的较低边界。这就是所谓的弱二元性。有时，可以证明原始问题和对偶问题具有相同的最优值。如果是这样的话，我们就说不存在二元性差距，而强大的二元性是成立的。下一个定理（见Rockafellar[28]中的定理7）很重要：定理A.2（D）中的函数g是封闭的和凹的。阿尔索斯皮∈Yg（y）=cl（co（Д））（0）和infx∈Xf（x）=Д（0）。（其中cl和co分别表示函数的c损失和凸包，见Rocka fellar[29]）。有关证据，请参见Rockafellar【28】。定理A.2指出，如果值函数Д是凸的，则Д的下半连续性是不存在对偶间隙的充分条件。参考文献《凸对偶定价或有分类》[1]Anderson，E.J.和Nash，P.：《有限维空间中的线性规划：理论与应用》。Wiley Interscience，离散数学和优化硕士（1987）。[2] B ouchard，B.：在具有比例交易成本和一般信息结构的离散时间市场中无套利。财务和随机性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:42

10, 276–297, (2006).[3] Cvitani'c，J.，Karatzas，I.：使用Constrainedpo rtfolios对冲未定权益。安。应用程序。Pro bab。3, 652–681, (1993).[4] De Vallière，D.、Ka banov，Y.、Stricker，C.：对于具有交易成本和不完整信息的金融市场，没有套利标准。《金融与随机》，11237-251，（2007年）。[5] Devolder，O.、Glineur，F.和Nesterov，Y.，《通过多项式近似解决有限维优化问题》，研究与计量经济学中心讨论论文，（2010年）。[6] F"ollmer，H.，Kramkov，D.：约束下的可选分解。概率。理论关系。领域。109, 1–25, (1997).[7] Frittelli，M.，Rozassa Gianin，E.：在风险度量中排序。《银行与金融杂志》。26, 1473–148 6, (2002).[8] Jouini，E.，Kallal，H.：《有卖空约束的证券市场套利》，数学金融，3197-232，（1995）。[9] Kabanov，Y.，Stricker，C.：延迟和受限信息下的Dalang Morton-Willinger定理，摘自《纪念保罗·安德烈·梅耶》（Memoriam Paul AndréMeyer，Springer），（2006年）。[10] Kabanov，Y.、Stricker，C.、Yu，M.：教师的无套利标准，séminaire de Probabilités XXXV，选择。注释数学。，1755 , 149–152,(2001).参考文献《凸对偶法对未定权益的定价》[11]Karatza s，I.，Kou，s.G.：《约束投资组合对冲美国未定权益》，《金融与随机》，2215–258，（1998）。[12] Karatza s，I.，Shreve，s.E.：数学金融方法。纽约斯普林格（1998）。[13] King，A.J.：《对偶与马尔丁格尔：未定权益的随机规划视角》。数学规划服务。B、 91543–562，（2002年）。[14] King，A.J.，Korf，L.：不完全市场中的鞅定价测度∞. 预印本。华盛顿大学（2001年）。[15] 克莱恩，I.，罗杰斯，L.C。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-6-14 05:30:45

G、：存在市场摩擦的最佳投资和消费问题的二元性。数学资金17, 22 5–247, (2007).[16] Kramkov，D.，Schachermayer，W.：效用函数的渐近弹性和不完全市场中的最优投资。安。应用程序。概率。9, 904–950, (1999).[17] Kramkov，D.，Schacher mayer，W.：不完备市场中最优投资问题的必要和充分条件。安。应用程序。概率。13, 1504–1516, (2003).[18] Oksendal，B.：随机微分方程。Spring e r，柏林，（2007年）。[19] Pennanen，T.：随机优化和数学金融中的凸对偶。运筹学数学。36, 340–362, (2011).[20] Pennanen，T.：非流动市场中超边际成本的双重表示。《数学与金融经济学》，5233-248，（2012年）。[21]Pennanen，T.：《金融市场凸优化导论》。数学编程，134，pp.157-186，（2012年）。参考文献《凸对偶定价或有分类》【22】Pennanen，T.，Perkki"o，A.P.：无对偶间隙的随机规划。数学编程。136, 9 1–110, (2012).【23】Pham，H.：金融应用中的连续时间随机控制和优化。Spr inger，柏林海德堡（2009）。[24]皮纳尔，M.切赫：离散时间内欧式索赔损益对冲的双重表示。第61、361–372号优化公告（2012年）。[25]皮纳尔，M.切赫：测度模糊下的盈亏定价，ESAIM：控制、优化和变异演算。16, 132–147, (20 10).【26】普利斯卡。S、 R.：数学金融导论：离散时间模型。布莱克威尔出版社，马尔登（1997）。【27】Pulido，S.：资产定价的基本定理、对冲问题和禁止卖空的金融市场中的最大债权。arXiv:1012.3102，（2011年）。Rockafellar，R.T.：《共轭对偶与优化》。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝