最佳投资以达到遗赠目标

2022-5-7 21:26:00

相比之下，对于我们考虑的问题，游戏一直持续到个人死亡或财富达到0。其次，布朗（1997年，第4.2节）最大化了实现目标的折扣回报≥ c/r如果W∈ [c/r，b]；如果一个人把他的贴现率解释为一个风险率，那么我们的两个问题在数学上等价于b≥ c/r，带有Runileve l c/r（WT是个人在t时的财富≥ 0，c是恒定的消费率，r是无风险资产的回报率。因此，c/r是无风险消费所需的财富金额。）然而，布朗的解决方案（1997年，第4.2节）隐含地限制了投资策略，如果∈ [c/r，b]，然后是Wt∈ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.与此相反，我们不会以这种方式调整我们的投资策略。此外，我们还解决了初始财富W=W<c/r时的遗赠问题≤ 当遗赠目标b<c/r时的乐队。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们介绍了个人投资的金融市场，我们将实现遗赠目标的概率最大化问题形式化，并给出了一个验证引理，帮助我们找到最大概率，以及金融市场投资的最佳策略。在第三节中，我们解决了当消费率为0时，达到任务目标的概率最大化问题；我们把这个案子分开是因为我们可以明确地解决它。第4节和第5节与第3节平行，用于确定正消耗率。

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大多数88

2022-5-7 21:26:03

当消费率为正时，我们无法明确获得达到遗赠目标的最大概率，但我们可以解决其凸Legendre对偶问题，我们在第4节和第5节中这样做，具体来说，在第4.2节和第5.2节中。对于第4节中考虑的情况，凸Legendr e对偶是一个最优停止问题的值函数，我们在第4.1节中介绍了这个问题。对于第5节中考虑的情况，凸Legendre对偶是一个时间齐次的两相Estefan问题的解，我们在第5.1节中给出了相应的自由边界问题。在第3.2节、第4.3节和第5.2节中，我们研究了最优投资策略的性质，发现当财富小于b时，风险资产的最优投资额与遗赠目标b无关，这是一个令人惊讶的结果。第6节和第7节总结了本文；在这些部分中，我们将我们的工作与Browne（1997）的工作进行比较，并分别总结我们的结果。2.问题陈述和验证。在本节中，我们为投资者介绍金融市场。然后，我们陈述了该投资者面临的优化问题，并提出了一个验证引理，我们将用它来解决优化问题。2.1. 金融市场和达到遗赠目标的概率我们假设个人拥有一个她管理的投资账户，以便达到给定的遗赠目标b>0。她从这个账户中以固定利率c消费≥ 0.个人投资于Black-Scholes金融市场，其中一项r为无担保资产，收益率r>0，另一项为风险资产，其价格过程S={St}t≥0follows几何布朗运动：dSt=uStdt+σStdBt，其中B={Bt}t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动(Ohm, F、 F={Ft}t≥0，P），其中u>r和σ>0。让WT表示时间t时个人投资账户中的财富≥ 0

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nandehutu2022

2022-5-7 21:26:07

让πt表示在时间t投资于风险资产的美元金额≥ 0.一个投资策略∏={πt}t≥如果是满足RTπsds<∞ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 因此，财富遵循动态（dWt=（rWt+（u- r） πt- c） dt+σπtdBt，W=W≥ 0.（2.1）用τd表示投资者的未来寿命随机变量；假设τdfollowsan指数分布的平均值为1/λ。我们假设个体寻求最大化Wτd≥ b、通过优化超容许控制∏。我们不会让不可能的策略≥ 0几乎是你的依靠，尽管如此≥ 0，因为负漂移项会持续消耗财富-当c>0时。因此，如果个人死亡前财富达到0，我们就终止了游戏。定义τ=inf{t≥ 0:Wt≤ 0}，并通过φ（w）=sup∏Pw（wτd）定义值函数∧τ≥ b），（2.2），其中pw表示给定W=W的条件概率≥ 0.备注2.1。如果财富很大，比如说，至少W（“s”表示安全），那么个人可以将其所有财富投资于无风险资产，利息收入足以支付其消费，Wτd≥ b几乎可以肯定。这个所谓的安全级别由byws=max给出b、铬. （2.3）因此，如果w≥ 对于0<w<ws，我们仍然需要确定φ（w）。2.2验证引理在本节中，我们提供了一个验证引理，该引理表明（2.2）中与最大化问题相关的边值问题（BVP）的经典解等于达到遗赠目标的最大可能性。因此，我们可以把问题归结为求解一个BVP问题。

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2022-5-7 21:26:10

我们在没有证据的情况下陈述了验证引理，因为它的证据与文献中的其他证据相似；例如，见Bayraktar and Young（2007）。首先，对于π∈ R、通过对测试函数f.Lπf=（rw+（u）的作用定义微分算子Lπ- r） π- c） fw+σπfww- λF- 1{w≥b}.（2.4）引理2.1。设Φ=Φ（w）是一个C函数，它在[0，ws]上是非减的且凹的，除了可能在b处，在b处是C函数，并且具有左二阶导数和右二阶导数。假设Φ满足下列边值问题。（最大πLπΦ（w）=0，Φ（0）=0，Φ（ws）=1。（2.5）然后，在[0，ws]上，φ=Φ，投资于风险资产的最佳金额由π以反馈形式给出*t=-u - rσφw（w）*t） φww（W）*t）（2.6）对于所有t∈ [0，τd∧ τ），其中W*我们用引理2.1来计算φ。溶液的差异取决于c=0,0<c≤ rb，或者c>rb，所以我们在接下来的三节中分别将问题分为这三种情况。具体地说，在第3节中，我们考虑了c=0并明确确定φ的情况。在第4节和第5节中，我们考虑了c>0并通过Legendre对偶表达φ的两种情况。3.在第3.1节c=0的情况下，我们得到了达到遗赠目标的最大概率的显式表达式和相应的最优投资策略。在第3.2节中，我们研究了最优投资策略的性质。3.1达到遗赠目标的最大概率当c=0时，安全水平Ws等于b。根据引理2.1，我们知道，如果我们在[0，b]上找到以下BVP的递增凹解，那么该解等于达到遗赠目标的最大概率。

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2022-5-7 21:26:16

通过稍微滥用符号，我们在BVP的声明中写φ。λφ=rwφw+maxπ(u - r） πφw+σπφww,φ（0）=0，φ（b）=1。（3.1）我们在下一个定理中给出了该BVP的解，以及风险资产的最优投资策略。我们省略了这个证明，因为它是引理2.1的直接应用。定理3.1。如果c=0，达到遗赠目标的最大概率等于φ（w）=wbq、 0≤ W≤ b、（3.2）其中q=2rh（r+λ+m）-p（r+λ+m）- 4rλi∈ （0,1）、（3.3）和m=u - rσ.当财富等于w∈ （0，b），投资于风险资产的最佳金额由π给出*（w） =u- rσw1- q、（3.4）备注3.1。Browne（1997年，第4.2节）最大化了c/r时贴现拟合时间τbof b的预期值≤ W≤ b、也就是说，他最大化了EwE-λτb如果我们把贴现率理解为风险率，那么当c=0时，他的问题和我们的问题是一样的。通过这种对应关系，我们观察到，当c=0等于（3.4）中的表达式时，布朗（1997）定理4.2给出的风险资产的最佳投资金额，正如人们所期望的那样。备注3.2。注意，（3.2）中的φ随着遗赠目标b的增加而减少，这是φ的定义所期望的。即使在最优策略下破产是不可能的，投资者可能会在财富少于b的情况下死亡，并且随着b的增加，达到遗产目标的概率降低。此外，由于（3.3）中的q随λ增加，达到遗赠目标的概率随λ减少，这在直觉上是令人满意的。事实上，随着个人早逝的可能性越来越大，达到遗赠目标的可能性也越来越小。最后，由于q随着m的减少，达到遗赠目标的概率随着m的增加而增加。

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何人来此

2022-5-7 21:26:20

这个结果是有意义的，因为随着风险市场的回报变得更有利——无论是更大的漂移u还是更低的波动σ——达到遗赠目标的可能性增加。备注3.3。值得注意的是，（3.4）中的最优投资策略在财富小于b时独立于遗赠目标b。此外，投资策略与在效用函数u（w）=wq下最大化其死亡财富预期贴现率的投资者所采用的投资策略相同，即，恒定相对风险规避为1- Q∈ （0,1），其中q在（3.3）中给出。具体来说，最大效用问题是sup∏Ew[e-ρτd（Wτd）q]，对于某些ρ>0。因此，如果我们观察到一个人将其财富的固定比例投资于一项风险资产，那么我们可以说，她正在最大化她在未来某个时间的预期贴现效用，或者最大化她死亡时的财富等于特定遗赠目标的概率。这一对应关系类似于Bayraktar和Young（2007）发现的对应关系，在该对应关系中，他们给出了最大化个体预期寿命消费效用和最小化其终生破产概率的最佳策略。推论3.2。如果c=0，那么W*, 最优控制的财富过程遵循动态SDW*t=W*Tr+2m1- Qdt+u- rσ1- qdBt, 0<W*因此，W*t> 0几乎可以肯定，尽管如此≥ 0，如果W=W∈ （0，b）。备注3.4。推论3.2指出，因为W*遵循几何布朗运动，最优投资时不会发生破产。

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大多数88

2022-5-7 21:26:25

因此，达到目标的最大概率等于概率W*在单个模具之前达到安全级别b，这等于相应命中时间的拉普拉斯变换的特定值。实际上，当c=0时，φ（w）=EwE-λτb, 其中τb=inf{t≥ 0:W*T≥ b} .3.2最优投资策略的性质在本节中，我们给出了定理3.1的两个推论，其中我们探讨了（3.4）中给出的最优投资策略的性质。随着个体死亡的可能性越来越大，我们希望她在风险资产上投入更多，以便在临终前达到目标。相比之下，随着r isky资产变得更加不稳定，个人不需要在风险资产上投资那么多财富来实现她的遗赠目标。这些直观的预期由下面推论3.3和3.4的结果证实。首先，我们确定投资策略何时会产生杠杆效应，也就是说，个人何时会从无风险资产中借款，以投资超过其当前财富的资金。注意，根据（3.4）中给出的最优投资策略表达式，我们得出π*（w） >w对于任何w>0当且仅当u- rσ1- q> 一,。（3.5）推论3.3。如果c=0，则杠杆作用发生在0和beither之间的所有财富水平，如果λ≥如果λ<u+randσ<σl或某些σl>0，则为u+ror。证据我们可以证明σ（1）- q）相对于σ增加；因此，左边的不相等（3.5）为u-rσ1-q、相对于σ减小。当σ接近0时，σ（1- q）也接近0，所以-rσ1-qapproach e s∞.此外，随着σ的临近∞, （3.5）的左侧收敛于tolimσ→∞u - rσ1- q=0，如果r≥ λ,2(λ-r） u-r、如果r<λ，且第二个表达式小于1当且仅当λ<u+r。

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2022-5-7 21:26:28

下面是这些观察到的结果。根据推论3.3证明中的观察，σ（1-q）如注释3.2所述，随着响应c toσ的增加，以及q相对于λ增加的事实，我们得到了以下推论。推论3.4。如果c=0，则风险资产的最佳归属金额相对于λ增加，相对于σ减少。0<c的情况≤ rb当消耗率小于rb时，安全水平WSB等于b，如第3节所示。然而，当消费率为正时，我们不能像定理M3.1那样明确地写出φ。在4.1节中，我们引入了一个辅助最优停止问题；然后，在第4.2节中，我们证明了它的凹勒让德变换等于实现遗赠目标的最大可能性。最后，在第4.3节中，我们研究了最优投资策略的性质。4.1一个相关的最优停止问题考虑以下z的支付函数∈ R+。u（z）=最大值（1）- bz，0）=（1- bz）+。（4.1）定义快速流程Z={Zt}t≥0bydZt=（λ）- r） Ztdt+u- rσZtd^Bt，（4.2），其中^B={^Bt}t≥0是过滤概率空间上的标准布朗运动（^Ohm,^F，^F={^Ft}t≥0，^P），并考虑^φ（z）=supτ^Ez给出的最优停止问题-Zτce-λtZtdt+e-λτ(1 - bZτ）+, （4.3）根据（^）Ohm,^F，^F，^P）。包含在（4.3）中的游戏向玩家收取从现在到他停止的时间之间的运行成本CZT，以生存概率e打折-λt.在停止τ时，这里接收u（Zτ）=（1- bZτ）+。因此，玩家必须决定是继续支付CZT来继续玩游戏，还是停止并接受支付（1）- bZτ）+。注意，^φ是凸的。

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2022-5-7 21:26:32

事实上，因为Zt=zHt，with-ht=exp-（r）- λ+m）t+u- rσ^Bt,我们可以把（4.3）中的积分写成-zZτce-λtHtdt，z的线性函数。此外，u是凸的，因此期望是凸的。最后，因为凸函数的上确界是凸的，所以^φ是凸的。类似地，因为积分和u都是非递增的，所以^φ是非递增的。用c={z定义连续区域∈ R+：^φ（z）>（1）- bz）+}，所以最佳停止时间是τ*= inf{t≥ 0:Zt6∈ C} 。按照Karatzas和Shreve（1998）第2.7节中的论证路线，我们可以断言存在0≤ zb<b<z（待定）such，即C=（zb，z）。因此，我们可以重写停止的最佳时间τ*= inf{t≥ 0:Zt≤ zbor Zt≥ z} 。此外，这一论点表明，^φ是[zb，z]上的自由边界问题（FBP）的唯一经典解。λ^φ = (λ - r） z^φz+mz^φzz- cz，^φ（zb）=1- bzb，^φz（zb）=-b、 ^φ（z）=0=^φz（z）。（4.4）对于0≤ z<zb<b，^φ（z）=（1）- bz）+=1- bz，因为当z小于zb时停止是最佳选择。对于z>z>b，^φ（z）=（1）- bz）+=0，因为当z大于z时停止是最佳的。关于最佳停止问题和FBP的等价性，se e Peskir和Shiryaev（2006）也给出了结果。在下面的命题中，我们给出了FBP（4.4）的解。提议4.1。假设0<c≤ rb。[zb，z]上自由边界问题（4.4）的解，以及最优停止问题（4.3）的值函数，由^φ（z）=crz给出1.- αα- αzzα+α- 1α- αzzα-zz, （4.5）其中α=2mh（r- λ+m）+p（r- λ+m）+4mλi>1，α=2mh（r- λ+m）-p（r）- λ+m）+4mλi<0。（4.6）自由边界z>bis由z=zbzb0给出，其中zb0∈ （0,1）唯一地α(1 - α)α- αzα-1b0+α（α- 1)α- αzα-1b0=铬- b、（4.7）自由边界zb<bis，由zb0byzb=cr（α）给出- 1)(1 - α)α- α-zα-1b0+zα-1b0.

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2022-5-7 21:26:37

（4.8）此外，^φ是c，并且在[zb，z]上是递减的和凸的。证据首先，请注意存在一个唯一的解决方案zb0∈ （4.7）中的（0,1）。实际上，（4.7）的左侧相对于zb0增加；当ZB0接近e s 0+时，（4.7）的左侧接近e s-∞; 当zb0=1时，左侧等于cr>cr- b、很容易证明（4.5）中的表达式满足（4.4）中的微分方程，并且满足自由边界条件^φ（z）=0=φz（z）。（4.7）和（4.8）中的表达式表示（4.5）中的^φ满足自由边界条件^φ（zb）=1- bzband^φz（zb）=-b、我们希望证明zb<b<z。从（4.7）和（4.8）中，我们看到不等式zb<b存在当且仅当1- αα- αzα-1b0+α- 1α- αzα-1b0>1。（4.9）（4.9）的左侧相对于zb0on（0，1）递减，当zb0=1时等于1；因此，（4.9）适用于所有zb0∈ （0,1），由此得出zb<b。类似地，z>bif且仅当zb0zb<b，或通过（4.8），1+（α）等效- 1)(1 - α)α- α（zαb0）- zαb0）-α(1 - α)α- αzα-1b0-α(α- 1)α- αzα-1b0>0。（4.10）很容易证明不等式（4.10）的左侧相对于zb0on（0，1）减小，当zb0=1时等于0；因此，（4.10）适用于所有zb0∈ 最后，我们证明了（4.5）中给出的^φ在[zb，z]上确实是递减和凸的，因为（4.3）中定义的^φ唯一解s（4.4）。

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nandehutu2022

2022-5-7 21:26:42

为此，观察^φz（z）=cr“α（1- α)α- αzzα-1+α(α- 1)α- αzzα-1.- 1#，和^φzz（z）=cr（α- 1)(1 - α)α- α\"αzzα-2.- αzzα-2#> 0.由于^φzz（z）>0且^φz（z）=0，我们得出结论，（4.5）中给出的^φ在[zb，z]上是递减且凸的。在NEXT部分，我们证明了FBP（4.4）的解与达到遗赠目标的最大概率密切相关。4.2最优停止问题与达到遗赠目标的最大概率之间的关系在本节中，我们认为，FBP（4.4）的解决方案的勒让德变换（例如，见Karatzas and Shreve（1998））实际上是实现遗赠目标的最大概率。对此，请注意，由于（4.3）或（4.5）中的^φ是凸的，我们可以通过勒让德变换定义其凹对偶。提议4.2。假设0<c≤ rb。用Φ（w）=minzb定义[0，b]上的Φ≤Z≤其中φ是（4.3）中最优停止问题的值函数。然后，达到遗赠目标的最大概率等于[0，b]上的Φ。证据优化器z*式（4.11）求解方程^φz（z）+w=0；因此，z*= 我(-w），其中I是^φz的函数逆。回想一下（zb，z）上的^φz<0。因此Φ（w）=φ（I(-w））+wI(-w）。这个表达式意味着Φw（w）=I(-w） )；因此，z*= Φw（w）。M以上，Φw（w）=I(-w）意味着Φww（w）=-1/^φzz（I）(-w））。结果表明Φ在[0，b]上增加和凹陷。通过使用这些关系并替换z=I(-w）将Φw（w）转化为Φ的FBP（4.4），我们推导出Φ解以下边值问题。λΦ=（rw）- c） Φw+maxπ(u - r） πΦw+σπΦww,Φ（0）=0，Φ（b）=1。（4.12）在（4.12）中，我们使用z=Φw（0）和zb=Φw（b），这是根据zand zb的自由边界定义得出的。由引理2.1可知[0，b]上的φ=Φ。我们将命题4.1和命题4.2的结果组合在下面的定理中。定理4.3。

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何人来此

2022-5-7 21:26:45

如果0<c≤ rb，则达到遗赠目标的最大概率由φ（w）=cr（α）给出- 1)(1 - α)α- α\"-zzα-1+zzα-1#z，（4.13），其中Zi在命题4.1中给出。这里，对于给定的w∈ [0，b]，z∈ [zb，z]唯一溶剂“α（1- α)α- αzzα-1+α(α- 1)α- αzzα-1#=cr- w、（4.14）当财富等于w时，投资于风险资产的最佳金额由π给出*（w） =u- rσcr（α）- 1)(1 - α)α- α\"αzzα-1.- αzzα-1#. （4.15）备注4.1。我们提醒读者，如果投资者在去世前财富达到0，游戏就结束了。相比之下，如备注3.1所述，对于介于c/r和b之间的财富，Browne（1997年，第4.2节）有效地最大化了在获得c/r之前达到遗赠目标b的概率，如果我们将该参数λ解释为风险率。在定理4.2的证明中，布朗选择了一个解，该解迫使h在c/r时的值为0。因此，他默认了一个条件，即如果财富在死前达到c/r，游戏结束。（或者，他含蓄地限制可接受的投资策略为：≥ c/r几乎可以肯定所有t≥ 如果W=W>c/r，则为0。）因为我们的破产水平0小于Browne的破产水平，除非c=0，否则我们追求遗赠目标（破产前）的最大概率大于他在定理4.2中找到的关于c/r的表达式≤ W≤ b、在下一节中，我们将（4.15）中的最优投资策略与布朗定理4.2.4.3中的最优投资策略的性质进行比较。第一个也是最令人惊讶的结果是，当财富小于b时，风险集合中的最优投资金额独立于beques t目标b。我们在c=0的情况下观察到了这一点，但当0<c时也是如此≤ rb。提案4.4。考虑两个遗赠目标，b<b。

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2022-5-7 21:26:48

如果0<c≤ rb，则当财富低于b时，在两个遗赠目标下投资r isky资产的最佳金额是相同的。证据很简单。求解（4.14）的ZZ值与b无关；因此，π*（w）在（4.15）中，独立于b.备注4.2。Young（2004）发现了一个类似的结果，即在固定消费率下最小化生命毁灭的概率。对于大于破产水平的财富，投资风险集合的最佳金额与ru in水平无关。因此，如果投资者偏好的红色破产水平发生变化，她的投资策略不会改变。类似地，对于我们最大化实现遗赠目标概率的问题，如果投资者的优先遗赠目标改变，她的投资策略不会改变。接下来，我们确定定理4.3中的最优投资策略何时相对于财富增加或减少。提案4.5。如果0<c≤ rb，那么下面的语句说明π*根据财富的不同：（i）如果r≤ λ、然后π*在[0，b]上增加。（ii）如果λ<r<λ+m，则π*在[0，w]上减小*) 并且在（w）上增加*, b] 有一段时间*∈ （0，b）。（iii）如果r≥ λ+m，如果0<c<c*, 为了一些c*∈ （0，rb），然后π*在[0，w]上减小*)并且在（w）上增加*, b] ，对一些人来说*∈ （0，b）。（iv）如果r≥ λ+m和如果c≥ C*, 然后π*在[0，b]上递减。证据通过区分π的表达式*（w）在（4.15）中，我们得到了π*（w） dw∝\"α(α- 1)zzα-1+ α(1 - α)zzα-1#Wzz.然后，通过完全区分（4.14）关于w，我们学习“α”zzα-2.- αzzα-2#Wzz∝ -1.因此，由于平方B中的表达式为正，我们推断z/z随w，sodπ而减小*（w） dw∝ -\"α(α- 1)zzα-1+ α(1 - α)zzα-1#=：f（z）。（4.16）很容易看出f随z递减∈ [zb，z]。

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mingdashike22

2022-5-7 21:26:51

因此，π*（w）在[0，b]上增加，在[zb，z]上orf为正，当且仅当f（z）≥ 0，相当于r≤ λ.对于剩余部分，假设λ<r；那么，f（z）<0和π*（w）在w=0时逐渐减小。因为f在[zb，z]上减小，如果f（zb）>0，那么π*（w） [0，b]先下降后上升。类似地，如果f（zb）≤ 0，然后π*（w）在所有[0，b]上减少。因此，我们将证明简化为当f（zb）>0时的证明。为此，让z=zbin表示f in（4.16），代替zα-1从（4.7）开始，简化为（zb）∝ α-r+λ+mmzα-1b0+（1）- α)红细胞- 1.. （4.17）注意，如果r<λ+m，那么f（zb）>0会自动进行。因此，我们考虑≥ λ+m；f（zb）>0当且仅当ifzα-1b0<1- αα(α+ α- 2)红细胞- 1.. （4.18）回想一下，（4.7）的左侧相对于zb0增加。因此，当我们用（4.18）的右边代替zα时，不等式（4.18）成立-1进入（4.7）的左侧，（新的）左侧大于右侧。也就是说，（4.18）当且仅当下列不等式成立时成立。(1 - α)(α- α)(α+ α- 2)红细胞- 1.+α(α- 1)α- α1.- αα(α+ α- 2)红细胞- 1.-1.-αα-1> -红细胞- 1.,或者相当于，α+ α- 2.红细胞- 1.α-αα-1> -αα- 1.1.- αα-1.-αα-1.（4.19）定义c*∈ （0，rb）为使（4.19）的左侧等于右侧的值。Forc<c*, 不平等（4.19）将继续存在；另一方面，对于c≥ C*, 不等式（4.19）不成立，我们有f（zb）≤ 0.备注4.3。我们的问题盟友的投资者面临两个问题。首先，她最大化了自己死亡时的财富至少等于b的可能性。第二，她想逃避，因为如果她拒绝，他就不能继续玩这个游戏。

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2022-5-7 21:26:54

因此，我们期望定理4.3中的最优投资策略是定理3.1中的最优投资策略的混合体，在定理3.1中，投资者可以避免破产，因为c=0，对于寻求最小化她在死亡前没有遗赠目标的破产概率的投资者（Young，2004）。回想一下，前者是正确的-rσw1-q、后者是-rσc/r-可湿性粉剂-1，其中-1= α- 1.前者是财富的增长函数；后者则在减少。如果λ≥ r、然后，由于她的死亡率相对较高，投资者更担心的是实现她的遗赠目标，而不是破产，这一点可以通过以下事实得到证明：最优投资策略的行为更像定理3.1中的一个，即它在所有[0，b]上都在增加。在另一个极端，如果λ<r- 如果c足够大，那么破产是一个更重要的问题，所以最优投资策略更像是最小化终生破产概率的策略，也就是说，它在所有[0，b]上都是递减的。在这两个极端之间，最优投资策略首先随着财富的增加而减少，然后增加。

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2022-5-7 21:26:58

因此，当财富接近0时，个人的投资与寻求避免破产的人类似，因为最优投资策略随着财富的增加而减少；而且，对于接近遗赠目标的财富，个人的投资与寻求在没有破产威胁的情况下实现遗赠目标的人类似，因为最优投资策略随着财富的增加而增加。最后一个观察结果引出了一个问题：当财富接近0时，π如何变化*（w）与寻求避免破产的人的最优投资策略相比，也就是说：-rσc/r-可湿性粉剂-1.当财富接近于b时，π如何变化*（w）与一个人的最佳投资策略相比，他寻求在ru in的威胁下实现一个最佳目标，即u-rσw1-Q我们在接下来的两个命题中回答这些问题。在下一个命题中，我们证明了，对于我们的问题，风险资产的最优投资额大于在没有遗赠目标的情况下最小化终生破产的概率。这是有道理的，因为在试图达到遗赠目标时，投资者必须承担增加财富的风险；她不仅仅是在避免毁灭。提案4.6。如果0<c≤ 如果财富在0和c/r之间，那么π*（w） >u- rσc/r- 可湿性粉剂- 1.（4.20）证据。代入π后*（w）从（4.15）开始，替换c/r- 从（4.14）和简化中，我们发现（4.20）相当于-α(1 - α) > α(α- 1），这是正确的，因为左边是正的，右边是负的。提案4.7。如果0<c≤ rb，如果（4.7）的解zb0是αzα-1b0>1，那么对于所有0≤ W≤ b、 π*（w） >u- rσw1- q、（4.21）否则，如果αzα-1b0<1，如果b足够大，则（4.21）保持[0，w]*),以下是关于（w*, b] ，对一些人来说*∈ （0，b）。π*（w） <u- rσw1- q、（4.22）证据。代入π后*（w）通过（4.15）和简化，我们发现（4.21）等同于αzzα-1> 1.

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2022-5-7 21:27:01

（4.23）这个不等式在z=zbecauseα>1时成立，我们认为这是因为π*(0) > 0. （4.23）的左侧随着z的增加而增加；因此，（4.21）适用于所有0≤ W≤ b当且仅当（4.23）在z=zb时成立。另一方面，如果αzα-1b0<1，如果b足够大，那么π*（b） <u-rσb1-q、和（4.22）对于足够接近b的财富成立。在NEXT命题中，我们证明了我们的问题对于c asc接近0是连续的。提议4。8.当c接近0时，φ和π*在定理4.3中，逼近φ和π*,分别在定理3.1中。证据当c接近0时，zb0接近es0，当doescrzα时-10。从（4.7）可以看出，crzα-1B0E s方法-α-αα(α-1） b.两个自由边界ZB和zapproachqband∞,分别从（4.14）开始，它紧随其后zzα-1方法e s-α-αα(α-1）因此，当w=b时，推广r结果。因此，zzbα-1逼近e swb，从中得出z，（4.14）的解逼近SQBwbQ- 1，其中我们使用的事实是- q=1-α.根据这些结果，我们推导出φ的以下极限。极限→0φ（w）=（α）- 1)(1 - α)α- α极限→0crzzα-1z=wbq、等于c=0时达到遗赠目标的概率；见定理3.1（3.2）中的表达式。类似地，π*有以下限制。极限→0π*（w） =u- rσ（α）- 1)(1 - α)α- α(-α）极限→0crzzα-1=u - rσw1- q、当c=0时，等于风险资产的最佳投资金额；参见定理3.1中的e（3.4）。在下一个命题中，我们比较π*布朗的最优投资策略（1997，定理4.2）。提案4.9。如果0<c≤ 如果财富在c/r和b之间，那么π*（w） >u- rσw- c/r1- q（4.24）证明。

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2022-5-7 21:27:05

代入π后*（w）从（4.15）开始，替换w- 从（4.14）中的c/r，简化后，我们知道不等式（4.24）与α等价- α> 0，这是真的。备注4.4。u-rσw-c/r1-如果一个人达到遗产目标b的概率最大，且“破产水平”为c/r，则QI是最佳投资金额，如Browne（1997，Theorem4.2）。由于我们的破产水平0低于c/r，投资者可以在金融市场上承担更多风险，以实现他的遗赠目标。她不必担心自己的财富可能会落到信用证上；如果是这样，她可以继续玩这个游戏。然而，在Browne（1997，定理4.2）中，个人的投资方式使其财富避免达到c/r，就像我们定理3.1中的个人投资方式使其不会破产一样。在最小化终身破产概率时，投资于therisky资产的最佳金额随着c的增加而增加（Young，2004）。下一个命题告诉我们，当财富接近0时，最优投资策略也是如此，这是有道理的，因为投资者希望避免破产，这样她就可以继续投资以达到遗赠目标。提案4.10。如果0<c≤ rb，然后π*财富接近0时，相对于c增加w。证据通过对c的区别（4.14），我们了解到了这一点Yc=rwcα- α(α- 1)(1 - α） αyα-1.- αyα-1，其中y=zz∈ [zb0，1]。因此π*C∝CCαyα-1.- αyα-1.=αyα-1.- αyα-1.+ Cα(α- 1） yα-1+ α(1 - α） yα-1.YYC∝αyα-1.- αyα-1.+rwc（α）- α)α1 - αyα-1+αα- 1yα-1.=αyα-1.- αyα-1.+1.-α(1 - α)α- αyα-1.-α(α- 1)α- αyα-1.× (α- α)α1 - αyα-1+αα- 1yα-1.∝α(α- 1)α- αy1-α+α(1 - α)α- αy1-α- αα.如果w=0，那么y=1，根据上面的计算，它如下π*Cw=0∝ (α- 1)(1 - α) > 0.因此，在w=0附近，投资于风险资产的最佳金额随着消费率的增加而增加。5.

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2022-5-7 21:27:09

c>RB的案例本案例与前两部分不同，因为s afe水平高于遗产目标b。因此，如果个人在财富至少为BB但低于CR时死亡，则她将达到遗产目标。在第5.1节中，我们介绍一个辅助自由边界问题。然后，在第5.2节中，我们证明了它的凹Legendretransform等于达到遗赠目标的最大概率，并研究了最优投资策略的性质。5.1一个相关的自由边界问题考虑[0，z]上的以下FBP，确定0<zb<zt。λ^φ = (λ - r） z^φz+mz^φzz- cz+λ1{z≤zb}，φ（0）=1，φz（zb）=-b、 ^φ（z）=0=^φz（z）。（5.1）该FBP是一个时间齐次的两相Stefan问题（Fasano和Primicero，1997），两个域之间存在过渡，其中一个域的附加驱动项为λ。在下面的公式中，我们给出了FBP（5.1）的解。我们省略了这个命题，因为它与命题4.1相似。提议5.1。假设c>rb。[0，z]上自由边界问题（5.1）的解由^φ（z）给出=1 +铬- Bzbαzzbα-crz，如果0≤ Z≤ zb，crzh1-αα-αzzα+α-1α-αzzα-zzi，如果zb<z≤ z、（5.2）其中α和α如（4.6）所示。自由边界zis由z=crα给出- 1αzαb0（5.3），其中zb0∈ （0,1）唯一解（4.7），且zb=zzb0。

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2022-5-7 21:27:13

此外，^φ在[0，z]上是递减的和凸的，它是C，除了在z=zb处，它是cw，具有左二阶导数和右二阶导数。在NEXT部分，我们证明了FBP（5.1）的解与达到遗赠目标的最大概率密切相关。5.2自由边界问题与达到遗赠目标的最大概率之间的关系在本节中，我们证明了FBP（5.1）解的勒让德变换实际上是c>rb时达到遗赠目标的最大概率。为此，请注意，由于（5.2）中的^φ是凸的，我们可以通过Legendretransform定义其凹对偶，如第4.2节所示。提议5.2。假设c>rb。通过Φ（w）=min0确定[0，c/r]上的Φ≤Z≤^φ（z）+wzi，（5.4），其中^φ在（5.2）中给出。然后，在[0，c/r]上达到遗赠目标的最大概率等于Φ。证据在命题4.2的证明中，我们推导出Φ是w的一个增凹函数，并在[0，c/r]上解出以下BVP。λΦ - 1{w≥b}= （rw）- c）Φw+maxπ(u - r） πΦw+σπΦww,Φ（0）=0，Φ（c/r）=1。（5.5）由引理2.1可知，[0，c/r]上的φ=Φ。我们将命题5.1和命题5.2的结果组合在下面的定理中。定理5.3。如果c>rb，那么达到遗赠目标的最大概率为φ（w）=cr（α）-1)(1-α)α-α-zzα-1+zzα-1.z、如果0≤ W≤ b、一,-铬- Bzbp铬-西铁-Bp、如果b<w≤cr.（5.6），其中Zi在命题5.1中给出，其中p=αα-1> 1. 给你一杯∈ [0，b]，z∈ [zb，z]唯一解（4.14）。当财富等于w时，风险资产的最优投资金额由π给出*（w）=u-rσcr（α）-1)(1-α)α-ααzzα-1.- αzzα-1., 如果0≤ w<b，u-rσcr-可湿性粉剂-1，如果b<w≤cr.（5.7）备注5.1。

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2022-5-7 21:27:17

我们发现有趣的是，当财富大于遗赠目标b时，最优投资策略与相应的最小化终身破产概率的投资策略相同（Young，2004），这与破产水平无关。一旦财富超过了遗赠目标b，我们的个人投资就像一个最小化了终身破产概率的人。备注5.2。Browne（1997年，第3.1节）考虑了与本节中的问题相关的一个问题，具体而言，对于一个完整的个体，最大化财富在a<b之前达到任何b<crb的概率，即λ=0。当财富达到aor b时，游戏就停止了。投资风险资产的最佳金额为u-rσ（p-1)λ=0·铬- W=2ru-R铬- W,其中p=αα-1，这与λ=0时最小化终身破产概率的最优投资策略相同（Young，2004）。对于介于0和b之间的财富，在（5.7）中给出的最佳投资策略与在（4.15）中给出的相同；因此，我们在第4节中推导的许多性质。π为3*（w）当0<c时≤ rb等待w∈ [0，b）当c>rb时。特别是，正如我们在命题4.4中所证明的那样，（5.7）中的最优投资策略，因为财富少于b，与b无关，这是一个显著的结果。为了空间起见，我们不包括4.5、4.6和4.7中的位置类似物。相反，我们包含了两个与本节中考虑的具体情况相关的命题，即当c>rb时。在Fir s t命题中，我们表明，当b接近0时，则φ和π*方法1减去价值函数和最小化终身破产概率问题的最优投资策略（Young，2004）。提议5.4。当b接近0时，φ和π*方法1-1.-rwcp、和u- rσcr- 可湿性粉剂- 分别为1，表示0<w<c/r证明。

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2022-5-7 21:27:21

为了证明这个命题，这就足以证明这一点→0铬- Bzb=p.（5.8）为此，请注意，当b接近0时，zb0接近e1。然后，从（5.3）中，我们看到了接近srpc，这也是zb的极限，因为zb0=zb/z。因此，我们展示了（5.8）。命题5.4告诉我们，定理m 5.3中给出的解在b=0时是连续的。另外，通过比较定理4.3和5.3，我们可以看到φ和π*在c=rb时是连续的。在第二个命题中，具体到c>rb的情况，我们比较π*（b）-) π*（b+）。提议5.5。如果c>rb，则tπ*（b）-) =u - rσcr（α）- 1)(1 - α)α- ααzα-1b0- αzα-1b0,π*（b+）=u- rσcr- 英国石油公司- 1，带π*（b）-) > π*（b+）。证据π的表达式*（b）-) π*（b+）从（5.7）开始。为了证明π*（b）-) > π*（b+），替换- π中的b*（b+）的左侧为（4.7），并简化为所需不等式等于-α> α，这是真的，因为α<0。备注5.3。我们期望π*（b）-) > π*（b+）因为对于财富低于b的人来说，为了实现她的遗赠目标，投资者不会承担更多的财务风险。一旦她的财富超过B，她就会变得更加保守，并在消费的同时寻求保存自己的财富，比如在最小化终生ru in概率的问题上。6.与Browne（1997）工作的关系在本文中，我们最大化了达到特定遗产目标b>0的概率。我们的问题与Browne（1997）的目标达成问题有关，但不同。首先，布朗（1997年，第3.1节）最大化了财富在达到a<b之前达到b<c/R的概率。布朗的游戏在财富达到b时结束。相比之下，对于我们所考虑的问题，游戏一直持续到个人死亡或财富达到0。

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2022-5-7 21:27:24

有关进一步讨论，请参见备注5.2。其次，Browne（1997年，第4.2节）最大化了实现agoal b的折扣回报≥ c/r如果W∈ [c/r，b]；如果将贴现率解释为风险率，那么我们的两个问题在数学上是等价的。然而，Browne（1997年，第4.2节）中的解决方案隐含地限制了投资策略，即如果∈ [c/r，b]，然后是WT∈ 几乎可以肯定，尽管如此≥ 0.相比之下，在方案4中，我们不会以这种方式限制我们的投资策略，即使W=W<c/r，我们也不会解决问题≤ b、有关进一步讨论，请参见备注4.1和4.4。我们还指出，我们在第5节中考虑的B<c/r的情况在Browne（1997）中没有考虑，除非在备注5.2中讨论过。或者，布朗在定理4.2中的解隐式地将c/r视为破产水平。相比之下，我们的破产水平为0，因此允许个人进行更积极的投资，因为如果财富低于c/r，博弈将继续。因此，p问题的值函数严格大于布朗在定理4.2中提出的值函数；请参见第4.9条和备注4.4。如备注3.1所述，当c=0时，我们的解决方案与Browne的相同。否则，第3.2、4和5节中的结果是新的，因为考虑的问题实际上是不同的。Browne c考虑了在达到a<b之前达到目标b的问题，在他的第4.2节中，a=c/r。另一方面，我们考虑的目标是在破产之前，即财富达到0时，在死亡时达到遗产b（达到遗产b，然后下降到遗产b以下，不计算在内）。我们对b>0的所有级别都这样做。

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2022-5-7 21:27:27

在b>c/r且Browne的贴现系数等于个人危险率的特殊情况下，第一次达到b与死亡时必须准确达到目标是同一个问题；因此，人们会认为布朗和我们的解决方案是一样的。然而，Browne隐式假设c/r为破产水平，而wetake该水平为0；因此，我们的解决方案有所不同。7.总结和未来工作我们确定了最佳策略π*投资风险资产，以最大化达到特定福利目标b的概率。以下是我们的结果摘要我们得到了φ和π的闭式表达式*当消费率为0时，半显式表达式为正对于0<c≤ rb，我们证明了φ的凸Legendre对偶是最优s-topping问题的值函数对于c>rb，我们证明了φ的凸Legendre对偶是时间齐次的两相Stefan问题的解对于小于b的财富，我们证明π*与b无关。对于大于b小于c/r的财富，我们证明π*与最小化终身破产概率时的最优投资策略相同我们证明了问题的解在c=0、c=rb和b=0时是连续的。在未来的工作中，我们将加入一系列受本文启发的问题。

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2022-5-7 21:27:31

特别是，当（1）市场包括人寿保险，这是一种专门为帮助实现遗赠目标而设计的金融工具，（2）消费是我们财产的一个不断增长的函数，以及（3）金融市场包括人寿年金以覆盖部分或全部消费时，我们将解决最大化实现遗赠目标的可能性的问题。感谢第一作者的研究部分得到了国家科学基金会DMS-0955463拨款和Susan M.Smith精算数学教授的支持。第二作者的研究部分由Cecil J.和Ethel M.Nesbitt精算数学教授支持。参考Bayraktar、Erhan、S.David Promislow和Virginia R.Young（2014a），购买人寿保险以实现遗赠目标，保险：数学和经济学，58:204216。Bayraktar、Erhan、S.David Promislow和Virginia R.Young（2014b），购买人寿保险以实现遗赠目标：与时间相关的案例，将发表在《北美实践杂志》上。Bayraktar，Erhan和Virginia R.Young（2007），寿命最小值与消费、金融和随机性效用之间的相关性，11（2）：213-236。Browne，Sid（1997），《有负债的生存与增长：不连续时间内的最优投资组合策略》，运筹学数学，22（2）：468-493。Browne，Sid（1999a），《击败移动目标：超越随机基准的最优投资组合策略》，金融与随机，3（3）：275-294。Sid Browne（1999b），《在截止日期前实现目标：数字期权和持续时间主动投资组合管理》，应用概率的进展，31（2）：551-577。杜宾斯、莱斯特·E.和伦纳德·J·S·阿瓦奇（19651976），《如果你必须赌博，如何赌博：随机过程的不等式》，1965年版，麦格劳·希尔，纽约。

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