考虑偏微分方程（PDE），对于ξ，Lξ（t，x）=0∈ C×Con-开集E，对于布朗桥（1.1），具有极小生成元Lξ（t，x）：=tξ-x1- Txξ+xξ（t，x）∈ E.（2.2）这可以通过设置ξ（t，x）=（1）来简化- t） q/2ζ（x）/√1.- t） 对于常微分方程（ODE），ζ（y）-yζ（y）-qζ（y）=0。（2.3）（2.3）的通解可以写成FQ和Gq的线性组合；见[3]第4节。特别是，当q=1时，（2.1）简化为toF（y）=ey/2Z∞-耶-u/2du=√2πey/2Φ（y）和G（y）=√2πey/2Φ(-y） ，y∈ R、 （2.4）其中Φ表示标准正态分布函数，即Φ（y）：=√2πZy-∞E-z/2dz，y∈ 因此，我们还有（G+F）（y）=√所有y的2πexp（y/2）∈ R.2.1。单边退出问题。对于固定整数n≥ 0，考虑单次停止问题：U（t，x）：=supt≤τ<1Et，x[X2n+1τ]，0≤ t<1，x∈ R.（2.5）确定过程的上升时间{Xs/√1.- s} t≤s≤1，τ+（B）：=inf{s≥ t:Xs≥ B√1.- s} ，B∈ R.（2.6）根据[4]中的论点，我们有，对于任何B∈ R、 Et，x[X2n+1τ+（B）]=（1- t） n+1/2B2n+1F2n+1（B）F2n+1x/√1.- T, x<B√1.- t、 （2.7）可通过求解q=2n+1和y=x的（2.3）得出/√1.- t及其边界条件；见[4]第172页。Ekstr–om和Wanntorp[4]表明，（2.5）通过选择最大化（2.7）的B或等效函数B 7的停止时间（2.6）来求解→ B2n+1/F2n+1（B）。以它的导数为例，BB2n+1F2n+1（B）=B2nF2n+1（B）h（2n+1）-BF2n+1（B）F2n+1（B）i，B∈ R.上述符号由函数B 7的符号确定→ （2n+1）-BF2n+1（B）/F2n+1（B），布朗桥5的最佳双停止，如图1所示。

如[4]所示，它是单调递减的，并且存在唯一的零B*> 例如*F2n+1（B）*) = （2n+1）F2n+1（B）*)（2.8）和BB2n+1F2n+1（B）>0<==> B<B*, B∈ R.（2.9）定义候选值函数U*（t，x）：=Et，x[X2n+1τ+（B*)] 为了0≤ t<1和x∈ R.最优性的验证要求B上有以下下限*; 由于[4]中没有包含这一点，我们将给出它的证明。请注意，图1的数字图也证实了这一点。引理2.1。我们有B*≥√n、 证据。见附录A。-2-1.5-1-0.50.51.5 20246810B图1。函数b7的曲线图→ （2n+1）-当n=0,1,2,3时，BF2n+1（B）/F2n+1（B）。三角形表示点的位置√n、 圆圈表示B处的点*.引理2.1，对于x>B*√1.- t（你在哪里*（t，x）=x2n+1），LU*（t，x）=（2n+1）N-x1- Tx2n-1.≤ 0.这与B处的平滑配合*√1.- t（可由简单代数证实）通过It^o公式使用鞅参数验证了最优性。6 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.YAMAZAKITheorem 2.1（Ekstrom和Wanntorp[4]，定理2.1和3.1）。（1） （2.5）的最佳停止时间由τ+（B）给出*) 值函数U（t，x）由U（t，x）=U给出*（t，x）=（1- t） n+1/2（B）*)2n+1F2n+1（x/√1.-t） F2n+1（B）*), 如果x<B*√1.- t、 x2n+1，如果x≥ B*√1.- t、 （2.10）（2）特别是当n=0时，B*\' 0.84是唯一的解决方案√2π(1 -B） eB/2Φ（B）=B.（2.11）如果x<B，则值函数U（t，x）由*√1.- t、 U（t，x）=U*（t，x）=√1.- 肺结核*ex/（2（1）-t） )-（B）*)/2Φ（x）/√1.- t） /Φ（B）*)=p2π（1）-t） （1）- （B）*))ex/（2（1）-t） ）Φ（x/√1.- t） ，（2.12），否则等于x。2.2. 双边退出问题。

现在考虑一下，对于固定整数q>0，最大化绝对值的问题：U（t，x）：=supt≤τ<1Et，x[|xτ| q]，0≤ t<1，x∈ R.（2.13）[4]表明，最佳停止时间的形式为：τ（D）：=inf{s≥ t:|Xs |≥ D√1.- s} ，D≥ 0.（2.14）分-D√1.- t<x<D√1.- t、 通过[4]，再次用所需的边界条件Et，x[（1）求解（2.3）- τ（D））q/2]=（1- t） q/2（Fq+Gq）（x）/√1.- t） （Fq+Gq）（D）、（2.15）和henceEt，x[|xτ（D）|q]=DqEt，x[（1）- τ（D））q/2]=（1- t） q/2Dq（Fq+Gq）（x）/√1.- t） （Fq+Gq）（D）。（2.16）注意，（Fq+Gq）是一个偶数函数。这个期望值的最大化相当于函数D7的最大化→ Dq/（Fq+Gq）（D），其导数等于DDq（Fq+Gq）（D）=Dq-1（Fq+Gq）（D）总部-D（Fq+Gq）（D）（Fq+Gq）（D）i，D>0。类似于上面关于B的论点*, 存在一个最大化子D*> 0，它是0=q的唯一根- D（Fq+Gq）（D）/（Fq+Gq）（D），（2.17）和DDq（Fq+Gq）（D）>0<==> D<D*, D>0。（2.18）布朗桥的最佳双停车7我们在图2中展示了（2.17）右侧定义的函数。与引理2.1类似，我们证明了D的以下下界*.引理2.2。我们已经成功了*≥p（q）- 1)/2 ∨ 0.证明。见附录A。0.5 1 1.5 2-2-101234D图2。函数D7的曲线图→ Q- D（Fq+Gq）（D）/（Fq+Gq）（D）表示q=1,2,3,4。三角形表示点atp（q- 1)/2. 圆圈表示atD的点*.定义候选值函数U*（t，x）：=Et，x[|xτ（D）*)|q] 为了0≤ t<1和x∈ 再次，引理2.2显示，对于| x |>D*√1.- t、 撒鲁*（t，x）=qQ- 1.-|x | 1- T|x | q-2.≤ 0.这与D处的平滑配合*√1.- t和-D*√1.- 验证最优性。定理2.2（Ekstrom和Wanntorp[4]，定理3.2）。（2.13）的最佳停止时间由τ（D）给出*) 值函数U（t，x）由U（t，x）=U给出*（t，x）=（1- t） q/2（D）*)q（Fq+Gq）（x）/√1.-t） （Fq+Gq）（D）*), 如果| x |<D*√1.- t、 |x | q，如果|x |≥ D*√1.- t、 （2.19）3。

问题1我们首先解决形式为：V（t，x）：=supt的最优双停止问题≤τ≤τ<1Et，x[xτ- Xτ]0≤ t<1，x∈ R.8 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.Yamazaki首先，通过强马尔可夫性质，我们可以将其改写为一个两阶段问题：V（t，x）=supt≤τ<1Et，x[f（τ，xτ）]（3.1），其中f（t，x）：=U（t，x）- x、 0≤ t<1，x∈ R、 将（2.12）中定义的U（t，x）作为单个停止问题的值函数。预计第一个最佳停车时间的形式为τ-（C） ：=inf{s≥ t:Xs≤ C√1.- s} ，（3.2）对于某些C∈ R.相应的第二次停止时间变为inf{s≥ τ-（C） ：Xs≥ B*√1.- s} 。对于C∈ R和x>C√1.- t、 通过（2.4）、（2.7）和对称性，Et，xhCp1- τ-（C） i=Et，xXτ-（C）= -Et，-十、Xτ+(-C）=CΦ(-C） e-C/2√1.- tΦ-x/√1.- Tex/（2（1）-t） ）。现在我们关注函数，对于C≤ B*,VC（t，x）：=Et，xf（τ）-（C） ，Xτ-（C） ), 0≤ t<1，x∈ R.（3.3）这就变成了x的f（t，x）≤ C√1.- 而对于x>C√1.- t、 由（2.12），VC（t，x）=Et，xhp2π（1）-τ-（C） ）（1- （B）*))eC/2Φ（C）- Xτ-（C） 我=√2π(1 -（B）*))eC/2Φ（C）C- 1.Et，xhCp1- τ-（C） i=v（C）√1.- T√2πΦ-x/√1.- Tex/（2（1）-t） ），其中我们定义为（C）：=Φ(-C） h（1- （B）*))Φ（C）- 总工程师-C/2√2πi，C≤ B*.（3.4）现在的想法是确定最大化VC（·、·）（或等效v（·））的C，然后使用验证曲线来显示相应策略的最佳性。因此，我们考虑优化上的函数v（C）(-∞, B*]. 图3显示了该函数的曲线图（使用B的定义*上图）。指出只有v（C）和VCover的极大值(-∞, B*] 是需要的；下面的引理3.1用于证明引理3.2，其中只有(-∞, B*] 这是必要的。

选择C>B显然是次优选择*因为相应的策略将导致在边界x=C或以上的预期收益为零√1.- t>B*√1.- t、 第一次和第二次停车同时发生。布朗桥的最佳双停车9-5-4-3-2-1000.050.10.150.20.250.30.350.4图3。函数v on[-5，B*]. 它有唯一的UMC图*\' -0.564（圆圈指示的点）；请注意| C*| 比B小*\' 0.84.引理3.1。存在一个独特的C*< 最大化v（·）的0(-∞, B*] 使得u（C）*) = 0我们的定义（C）：=1- （B）*)- (1 -C） Φ(-C）-C√2πe-C/2，C≤ B*.证据不管怎样，C≤ B*, 使用Φ（C）+Φ(-C） =1，v（C）=e-C/2√2π(Φ(-C） u（C）、（3.5）和u（C）=2CΦ(-C）-C- 1.√2πe-C/2-√2πe-C/2+C√2πe-C/2=2CΦ(-C） 。在(-∞, 0），u（C）一致为负。此外，美国(-∞) = ∞ u（0）=1/2- （B）*)< 由于u的连续性，这意味着方程u（C）=0有一个唯一的解(-∞, 0），我们称之为C*.这仍然需要证明C*实际上，最大化了函数v(-∞, B*]. 从（3.5）中，我们可以看到v（C）和u（C）是同一个符号。因此(-∞, 0），v在(-∞, C*) 在（C）上是严格递减的*, 0）显示C*是唯一的最大化器吗(-∞, 0].现在我们将这个结果扩展到域（0，B）*]. 关于（0，B）*], uis一致正，因此uis单调增加。因此，v将在（z）上严格增加，∞) 当v（z）=0（oru（z）=0）时，有些z>0。这意味着v在（0，B）上*] 由v（0）和v（B）的最大值控制*). 最后，观察v（B）*) = 0（按B的方式）*如（2.11）中所选，比v（C）小*).这就完成了证明。10 E·J·鲍杜克斯、N·陈、B·A·苏里亚和K。

YAMAZAKINow我们定义了0的候选值函数≤ t<1和x∈ R、 五*（t，x）：=VC*（t，x）=(√1.- T√2πΦ-x/√1.- Tex/（2（1）-t） ）v（C）*), x>C*√1.- tf（t，x），x≤ C*√1.- t） 。（3.6）我们在图4中绘制了函数V*f表示固定t=0，作为x的函数；这意味着引理3.2和3.3，我们将在下面进行分析证明-1.5-1-0.50 0.5 1 1.500.20.40.60.811.21.41.61.8X图4。V的情节*（0，·）（实线）和f（0，·）（虚线）。圆圈表示C处的点*.引理3.2。我们有V*（t，x）≥ f（t，x），对于任何0≤ t<1和x∈ R.证明。为了推导这个不等式，我们只需要考虑x<B*√1.- t、 的确，福尔克斯≥ B*√1.- 它不认为V*（t，x）≥ 0=f（t，x）。以C为例*√1.- t<x<B*√1.- t、 由于连续fit和C的最大值*在(-∞, B*]在引理3.1中，我们推导出*（t，x）=VC*（t，x）≥ Vx/√1.-t（t，x）=f（t，x）。最后，对于x≤ C*√1.- t、 我们有V*（t，x）=f（t，x）。在验证最优性之前，我们将证明光滑性，以便使用^o公式。鉴于（3.6），V*（t，x）在任何（t，x）处都是x的二次可微的，这样x 6=C*√1.- t、 因此，x=C上的平滑度*√1.- 这是我们唯一关心的问题。引理3.3。我们有平滑的边缘↓C*√1.-T十五*（t，x）=limx↑C*√1.-Txf（t，x），0≤ t<1。（3.7）布朗桥的最优双停止。见附录A。注意，V*对于任意（t，x）在t中是连续可微的，使得x6=C*√1.- Tx=C上的可微性*√1.- t中的t可以通过稍微修改引理3.3的证明来表示。引理3.4。（i） 对于（t，x），使得x>C*√1.- t、 我们有LV*（t，x）=0。（ii）对于（t，x）使x<C*√1.- t、 我们有LV*（t，x）≤ 0.证明。

（i） 通过构造期望值作为ODE（2.3）的解决方案，可以清楚地看出这一点。（ii）作为V*（t，x）=U（t，x）- 对于x<C，因为LU（t，x）=0*√1.- t<B*√1.- t从（2.12）的角度来看，LV*（t，x）=LU（t，x）+x1- t=x1- t、 当x<C时为负*√1.- t<0。现在我们有了本节的主要结果。定理3.1。函数V*如（3.6）所述，是价值函数。也就是说，V（t，x）=V*（t，x）forevery 0≤ t<1和x∈ R最佳停车时间为τ*:= τ-（C）*) 和τ*:= inf{s≥ τ-（C）*) : Xs≥ B*√1.- s} 。证据由于引理3.3中的光滑函数，它的公式适用于所有（s，Xs），例如xs6=C*√1.- s、 dV*（s，Xs）=LV*（s，Xs）ds+十五*（s，Xs）dWs≤十五*（s，Xs）dWs，（3.8），其中不等式由引理3.4成立。在问题（3.1）中，因为停在B或B以上*√1.- t获得零回报，这显然是次优的，我们可以关注停止时间ν，这样Xν<B*√1.- 对于任何此类[t，1]值的停止时间ν，τ（M）如（2.14）中所定义，对于M>B*, 我们haveEt，x[f（ν）∧ τ（M），Xν∧τ（M））]≤ Et，x[V*(ν ∧ τ（M），Xν∧τ（M））]≤ 五、*（t，x），其中第一个和第二个不等式分别由引理3.2和（3.8）确定。为了让我→ ∞, 我们分解左侧的asEt，x[f（ν）∧ τ（M），Xν∧τ（M））]=Et，x[f（ν，xν）1{ν<τ（M）}]+Et，x[f（τ（M），xτ（M））1{ν≥τ（M）}]。右手边的第一个期望通过单调收敛到Et，x[f（ν，xν）]，因为f是非负的。另一方面，f（τ（M），Xτ（M））1{ν≥τ（M）}对于{τ（M），M>B是一致可积的*}. 实际上，f（s，y）=0代表y≥ B*√1.- s、 此外，对于y<B*√1.- s、 （2.12）的第一个等式给出了U（s，y）≤√1.- 某人*, 因此我们有一个界| f（s，y）|=U（s，y）-Y≤√1.- 某人*+ |y |，y<B*√1.- s、 12 E.J.BAURDOUX、N.CHEN、B.A.SURYA和K。

因此，Yamazakit，|f（τ（M），Xτ（M））|1{ν≥τ（M）}≤p1- τ（M）B*+ |Xτ（M）|，从（2.16）来看是一致可积的（通过设置D=D最大化）*). 现在asM→ ∞, 因为τ（M）→ 1和Xτ（M）→ 0a.s.，we-haveEt，x[f（τ（M），xτ（M））1{ν≥τ（M）}]→ 总之，我们有Et，x[f（ν，xν）]≤ 五、*（t，x）。这与事实V结合在一起*由容许的停止时间τ获得-（C）*) ∈ [t，1]显示了结果。4.问题2对于给定的整数n，我们现在考虑这个问题≥ 0，J（t，x）：=supt≤τ≤τ<1Et，x[（X2n+1τ）- X2n+1τ）1{Xτ≤0}+（X2n+1τ- X2n+1τ）1{Xτ>0}]，0≤ t<1，x∈ R.根据强马尔可夫性，我们可以将其改写为j（t，x）=supt≤τ<1Et，x[g（τ，xτ）]，其中g（t，x）：=（U（t，x）-x2n+1）1{x≤0}+（U（t，-x） +x2n+1）1{x>0}，0≤ t<1，x∈ 根据g相对于x的对称性，我们预计，对于一些D≥ 0表示第一次停车时间的定义如（2.14）所示；第二次停止时间变为（inf{s≥ τ（D）：Xs≥ B*√1.- s} ，如果Xτ（D）≤ -Dp1- τ（D），inf{s≥ τ（D）：Xs≤ -B*√1.- s} ，如果Xτ（D）≥ Dp1- τ（D）。定义相应的收益byJD（t，x）：=Et，x[g（τ（D），xτ（D））]，0≤ t<1，x∈ R.我们首先将其改写为（2.1）中定义的F2n+1和G2n+1的函数。引理4.1。给定D≥ 0，我们有，为所有0≤ t<1和-D√1.- T≤ 十、≤ D√1.- t、 JD（t，x）=（1）- t） n+1/2（F2n+1+G2n+1）x/√1.- T其中j（D）：=（F2n+1+G2n+1）（D）D2n+1+（B）*)2n+1G2n+1（D）F2n+1（B）*).布朗桥的最优双停止。

在初始条件下-D√1.- T≤ 十、≤ D√1.- t、 我们有Pt，x-a.s.g（τ（D），xτ（D））=（U（τ（D），xτ（D））- X2n+1τ（D））1{Xτ（D）≤0}+（U（τ（D），-Xτ（D））+X2n+1τ（D））1{Xτ（D）>0}=（U（τ（D），-Dp1- τ（D））+D2n+1（1）- τ（D））n+1/2）1{Xτ（D）≤0}+（U（τ（D），-Dp1- τ（D））+D2n+1（1）- τ（D））n+1/2）1{Xτ（D）>0}=U（τ（D），-Dp1- τ（D））+D2n+1（1）- τ（D））n+1/2。因此，我们可以通过（2.10）写出JD（t，x）=Et，x[U（τ（D），-Dp1- τ（D））+D2n+1（1）- τ（D））n+1/2]=Et，x[（1- τ（D））n+1/2]D2n+1+（B）*)2n+1F2n+1(-D） F2n+1（B）*).证明现在已完成（2.15）。0.5 1 1.5 2.5 3 3.500.050.10.150.20.250.3图5。n=0,1,2,3时j的曲线图。圆圈表示B处的点*三角形表示的是√n、 考虑到（4.1），我们想最大化函数j，结果是B使其最大化*如（2.8）所示。有关此函数的数值图，请参见图5。引理4.2。对任何人来说≥ 0，B*最大化j.14 E.j.BAURDOUX、N.CHEN、B.A.SURYA和K.YAMAZAKIProof。对于任何D≥ 0，j（D）=j（B*) +D2n+1（F2n+1+G2n+1）（D）-（B）*)2n+1（F2n+1+G2n+1）（D）F2n+1（D）F2n+1（B）*)= j（B）*) +D2n+1（F2n+1+G2n+1）（D）h1-（B）*)2n+1D2n+1F2n+1（D）F2n+1（B）*)i、 因为B*是b7的最大值→ B2n+1/F2n+1（B）（见（2.9））和F2n+1是非负的，我们有-（B）*)2n+1D2n+1F2n+1（D）F2n+1（B）*)≤ 0，表示j（D）≤ j（B）*), 如你所愿。备注4.1。我们有j（B）*) = （B）*)2n+1/F2n+1（B）*).现在设置D=B*, 我们有我们的候选值函数j*（t，x）：=JB*（t，x）=（1- t） n+1/2（F2n+1+G2n+1）x/√1.- Tj（B）*), |x |<B*√1.- t、 g（t，x），|x |≥ B*√1.- t、 （4.2）图6 J*g表示t=0作为x的函数；这意味着引理4.3和4.4，我们将在下面进行分析-1.5-1-0.50.20.40.60.811.21.41.61.82x-2-1.5-1-0.50.51.5 202468101214x1图6。J*n=0（左）和n=1（右）时的（0，·）（实线）和g（0，·）（虚线）。圆圈表示B处的点*和-B*.引理4.3。

我们有J*（t，x）≥ g（t，x），对于任何0≤ t<1和x∈ R.证明。假设0<x<B*√1.- t、 由于连续fit和B的最大值*在[0]上，∞) 我们嘲笑他*（t，x）=JB*（t，x）≥ Jx/√1.-t（t，x）=g（t，x）。布朗桥150的最优双停≥ x>-B*√1.- t、 通过J的对称性*g关于x，J*（t，x）=J*（t，| x |）≥ g（t，| x |）=g（t，x）。最后，对于| x |≥ B*√1.- t、 我们有J*（t，x）=g（t，x）。鉴于（4.2），J*（t，x）在任何（t，x）处都是x的二次可微的，因此| x | 6=B*√1.- t、 正如weshall接下来展示的，在| x |=B上*√1.- t、 可微性保持不变（关于t的可微性保持不变）。引理4.4。我们有平滑的fit:for all 0≤ t<1，limx↑B*√1.-TxJ*（t，x）=limx↓B*√1.-Txg（t，x），limx↓-B*√1.-TxJ*（t，x）=limx↑-B*√1.-Txg（t，x）。证据见附录A。引理4.5。（i） 对于（t，x）使得|x |<B*√1.- t、 我们有LJ*（t，x）=0。（ii）对于（t，x）使得| x |>B*√1.- t、 我们有LJ*（t，x）≤ 0.证明。（i） 这一点在（4.2）中立即成立，因为F2n+1+G2n+1解决了ODE（2.3）。（ii）对于x>B*√1.- t、 作为J*（t，x）=U（t，-x） +x2n+1因为LU（t，-x） =0表示-x<0<B*√1.- 鉴于（2.10），LJ*（t，x）=LU（t，-x） +（2n+1）N-x1- Tx2n-1= -（2n+1）x1- T- N|x | 2n-1.对于x<-B*√1.- t、 作为J*（t，x）=U（t，x）- x2n+1，因为LU（t，x）=0表示x<0<B*√1.- t、 LJ*（t，x）=LU（t，x）- （2n+1）N-x1- Tx2n-1= -（2n+1）x1- T- N|x | 2n-1.因此，证明由引理2.1完成。通过引理4.4和4.5，最优性的验证是即时的。我们省略了以下定理的证明，因为它本质上与定理3.1相同。定理4.1。函数J*是值函数。即J（t，x）=J*（t，x）每0≤ t<1和x∈ R最佳停车时间为τ*:= τ（B）*),τ*:=（inf{s）≥ τ（B）*) : Xs≥ B*√1.- s} ，如果Xτ（B*)≤ -B*p1- τ（B）*),inf{s≥ τ（B）*) : Xs≤ -B*√1.- s} ，如果Xτ（B*)≥ B*p1- τ（B）*).16 E。

J.BAURDOUX、N.CHEN、B.A.SURYA和K.YAMAZAKI5。问题3我们的最后一个问题是解决，对于固定的q>0，W（t，x）：=supt≤τ≤τ<1Et，x[|xτ| q- |Xτ| q]，0≤ t<1，x∈ R.（5.1）根据强马尔可夫性，它可以写为w（t，x）=supt≤τ<1Et，x[h（τ，xτ）]，0≤ t<1，x∈ R、 其中h（t，x）：=（U（t，x）- |x | q，如果|x |<D*√1.- t、 0，如果| x |≥ D*√1.- t、 这里，U（t，x）是问题（2.13）的值函数，用相同的D写成（2.19）*这令人满意（2.18）。很容易推测，问题（5.2）的最佳停止时间由σ（A）：=inf{s给出≥ t:|Xs |≤ A.√1.- s} 对一些人来说∈ [0，D*]. 让我们定义相应的预期收益byWA（t，x）：=Et，xh（σ（A），Xσ（A））, 0≤ t<1，x∈ R.引理5.1。对于所有（t，x）这样|x |≥ A.√1.- t、 WA（t，x）=（1）- t） q/2Gq（|x|/√1.- t） w（A），（5.3）其中我们定义了（A）：=Gq（A）（D）*)q（Fq+Gq）（A）（Fq+Gq）（D）*)- Aq, 0≤ A.≤ D*.证据假设x≥ A.√1.- t（那么我们必须有Xσ（A）=Ap1- σ（A）A.s.）。由（2.19），WA（t，x）=Et，x(1 - σ（A））q/2（D）*)q（Fq+Gq）（A）（Fq+Gq）（D）*)- Aq,（5.4）因此问题归结为计算右边的期望值。正如我们在第2节中所讨论的，我们可以写出(1 - σ（A））q/2= (1 - t） q/2ζ（x）/√1.- t） ，其中函数ζ满足边界条件ζ（A）=1和limy的ODE（2.3）→∞ζ（y）=0。（2.3）的通解由ζ（y）=αFq（y）+βGq（y）给出，α和β的值要确定。因为limy→∞Fq（y）=∞ 还有limy→∞Gq（y）=0，我们必须有α=0。求解ζ（A）=1，我们得到β=Gq（A）-1.将其插入（5.4）的右侧，即可得到（5.3）。最后，通过对称，我们得到WA（t，x）=WA（t，-x） ，x≥ 因此，结果可以扩展为tox≤ -A.√1.- 当然不是。布朗桥的最优双停17鉴于（5.3），我们将最大化函数w。如图7所示，w允许一个唯一的最大化子。

我们将在下面的引理5.2中解析地展示这一点。注意w（0）=2（D*)q（Fq+Gq）（D）*)> 0和w（D）*) = 0，（5.5）和，对于所有A>0的情况，w（A）=（D）*)q（Fq+Gq）（A）（Fq+Gq）（D）*)- qAq-1.Gq（A）-（D）*)q（Fq+Gq）（A）（Fq+Gq）（D）*)- AqGq（A）（Gq（A））。（5.6）引理5.2。（1） w在[0，D]上存在唯一的最大化子*], 我们称之为*, 这样的*≤p（q）- 1)/2 ∨ 0（5.7）和W（A）≤ 0<==> A.≥ A.*, 0≤ A.≤ D*.（5.8）（2）此外*= 0当且仅当q≤ 1.证据。（1） 对于所有A>0，让我们定义（A）：=（Fq+Gq）（A）Gq（A）- （Fq+Gq）（A）Gq（A）（Gq（A））=Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）（Gq（A））>0。然后，对于任何A>0，w（A）L（A）=L（A）h-qAq-1Gq（A）+AqGq（A）（Gq（A））i+（D*)q（Fq+Gq）（D）*)=-qAq-1Gq（A）+AqGq（A）Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）+（D）*)（Gq+Fq）*).（5.9）因为Fq和Gq满足ODE（2.3），Fq（A）=AFq（A）+qFq（A）和Gq（A）=AGq（A）+qGq（A）。这就给了Sfq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）=[AFq（A）+qFq（A）]Gq（A）- Fq（A）[AGq（A）+qGq（A）]=A[Fq（A）Gq（A）- 18 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.YAMAZAKINow关于[Fq（A）Gq（A）]的微分（5.9）- Fq（A）Gq（A）]Aw（A）L（A）=[-q（q）- 1） Aq-2Gq（A）+AqGq（A）][Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）]- [-qAq-质量（A）+AqGq（A）][Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）]=[-q（q）- 1） Aq-2Gq（A）+Aq+1Gq（A）+qAqGq（A）][Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）]- [-qAqGq（A）+Aq+1Gq（A）][Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）]=2qAq-2Gq（A）[Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）]- （q）- 1)/2].也就是说，w（A）/L（A）是可微的，fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）2qAq-2Gq（A）Aw（A）L（A）=A-Q- 1.请注意Fq（A）Gq（A）- Fq（A）Gq（A）和Gq（A）在A>0时均为阳性。因此我们看到Aw（A）L（A）>0<==> A>p（q）- 1)/2 ∨ 0，A>0。回忆D*或者方程的唯一根（2.17）。与w（D）等价*) = 0（和w（D*)/L（D）*) = 0）并回顾*≥p（q）- 1)/2 ∨ 0（如引理2.2）和L（·）>0表明存在唯一的a*∈ [0，p（q- 1)/2 ∨ 0]这样，对于所有0<A<D*,w（A）≤ 0<==> A.≥ A.*,（5.10）根据需要。（2） 首先假设q≤ 1.

然后*≤p（q）- 1)/2 ∨ 0=0，因此我们必须有一个*= 0.现在假设q>1。然后，在（5.6）中取一个极限，注意（Fq+Gq）（0）=0，w（0+）=-（D）*)q（Fq+Gq）（0）（Fq+Gq）（D）*)Gq（0）（Gq（0））>0。这与（5.10）一起显示了*> 0现在我们定义新的*（t，x）：=WA*（t，x）=（1- t） q/2Gq（|x|/√1.- t） w（A）*), |x |>A*√1.- t、 h（t，x），|x |≤ A.*√1.- t、 （5.11）作为我们的候选值函数，并验证其最优性。图8 W*h表示t=0作为x的函数；这意味着引理5.3和5.4，我们将在下面进行分析证明。引理5.3。我们有W*（t，x）≥ 0的h（t，x）≤ t<1和x∈ R.布朗桥的最佳双停车190 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.400.20.40.60.811.2图7。w（A）在[0，D]上的曲线图*] 对于q=1,2,3,4。对于q=2、3、4，圆圈（分别为三角形）表示A点处的点*（分别为p（q）- 1)/2). 对于q=1，正方形表示A处的点*=p（q）- 1)/2 = 0.证据由于W和W的对称性*h关于x，表示x就足够了≥ 0.当x≥ D*√1.- t、 然后W*（t，x）≥ 0=h（t，x）。当0≤ 十、≤ A.*√1.- t、 然后W*（t，x）=定义为h（t，x）。最后，如果*√1.- t<x<D*√1.- t、 由于连续性和*在[0]上，∞) 我们推导出W*（t，x）=WA*（t，x）≥ Wx/√1.-t（t，x）=h（t，x），根据需要。与问题1和2类似，W*（t，x）足够光滑，可以在任何（t，x）处应用它的^o公式，例如|x | 6=A*√1.- T另请参见下文（5.14）中关于0时的平滑度*6= 0. 关于|x |=A上的平滑度*√1.- t、 我们有以下几点。引理5.4。修正0≤ t<1。（i） 如果*> 0，然后平滑fitlimx↓A.*√1.-TxW*（t，x）=limx↑A.*√1.-Txh（t，x），limx↑-A.*√1.-TxW*（t，x）=limx↓-A.*√1.-Txh（t，x），（5.12）成立。（ii）如果*= 0，我们有一个不等式limx↓0xW*（t，x）<limx↑0xW*（t，x）。（5.13）证据。（i） 哈维利姆↓A.*√1.-TxW*（t，x）=（1）- t） （q）-1） /2Gq（A）*)Gq（A）*)（D）*)q（Fq+Gq）（A）*)（Fq+Gq）（D）*)- （A）*)Q.20 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B。

A.SURYA和K.YAMAZAKI-1-0.50.30.40.50.60.7x-1-0.50.50.100.050.10.150.20.250.30.350.40.45xq=1Q=2-1.5-1-0.50.51500.050.10.150.250.350.4x-1-0.50.20.30.40.50.7Q=3Q=4X8图。W的情节*q=1,2,3,4时的（0，·）（实线）和h（0，·）（虚线）。圆圈表示某一点*和-A.*.另一方面，limx↑A.*√1.-Txh（t，x）=（1）- t） （q）-1)/2（D）*)q（Fq+Gq）（A）*)（Fq+Gq）（D）*)- q（A）*)Q-1..当*> 引理5.2表示w（A*) = 0.鉴于（5.6），上述两个方程式是相同的。因此，第一个等式（5.12）成立。第二个等式的证明是对称的。（ii）现在假设*= 0.在这种情况下，通过（5.5），W*（t，x）=2（1）- t） q/2（D）*)qGq（|x|/√1.- t） （Fq+Gq）（D）*),布朗桥的最优双停，由此求导数，然后求极限，limx↓0xW*（t，x）=2（1）- t） （q）-1） /2（D）*)qGq（0）（Fq+Gq）（D）*),利克斯↑0xW*（t，x）=-2(1 - t） （q）-1） /2（D）*)qGq（0）（Fq+Gq）（D）*).因为FQ和GQA是非负的，Gqis是负的，所以我们有（5.13），正如所期望的那样。引理5.5。（i） 对于（t，x）使得| x |>A*√1.- t、 我们有LW*（t，x）=0。（ii）如果*> 对于（t，x），0<| x |<A*√1.- t、 我们有LW*（t，x）≤ 0.证明。（i） GQ从（5.11）的角度解决了ODE（2.3），这一点很清楚。（ii）引理5.2（2），A*> 0保证q>1。因为| x |<A*√1.- t<D*√1.- t、 考虑到（2.19），我们必须有LU（t，x）=0。对于0<x<A*√1.- t、 as W*（t，x）=U（t，x）- xq，我们有*（t，x）=-（q）- 1)/2 - x/（1）- （t）qxq-2.鉴于-A.*√1.- t<x<0，我们有LW*（t，x）=-[（q）- 1)/2 - x/（1）- t） ]q | x | q-2.现在（5.7）完成证明。我们现在通过引理5.3、5.4和5.5得到了以下最优性结果。验证问题1和问题2的一个重要区别是，在x=0时，潜在的不可微性，但这不会导致任何问题。回想一下（5.13），对于案例A*= 0，在一个*失败。

然而，这可以通过使用以下版本的It^o公式（参见[10]）来彻底解决≤ u<1，W*（u，Xu）=W*（t，x）+ZutLW*（s，Xs）1{Xs6=0}ds+Zut林茨↓0zW*（s，z）- 林茨↑0zW*（s，z）dls+ZutxW*（s，Xs）1{Xs6=0}dWs，其中{ls}t≤s<1表示X的本地时间为0。过程{W]的超鞅性质*（u，Xu）}t≤U≤1通过（5.13）和引理5.5保持不变。对于案例A*> 引理5.2（2）保证q>1；在这种情况下，limz↓0zW*（s，z）=limz↓0zh（s，z）=limz↑0zh（s，z）=limz↑0zW*（s，z），（5.14）使用等式（Fq+Gq）（0）=0和xq-1.→ 0作为x→ 0.由于与定理3.1.22 E.J.BAURDOUX，N.CHEN，B.A.SURYA和K.YAMAZAKITheorem 5.1相似，因此省略了其余的证明。函数W*是值函数。也就是说，W（t，x）=W*（t，x）每0≤ t<1和x∈ R最佳停车时间为τ*:= σ（A）*) 和τ*:= inf{s≥ σ（A）*) : |Xs|≥ D*√1.- s} 。附录A引理2.1的证明。n=0的情况很简单（如B*> 0）因此我们将重点关注案例n≥ 1.假设B*<√n、 然后我们可以取（t，x），这样x/√1.- T∈ （B）*,√n） 。ByIt^o的公式dx2n+1s=（2n+1）N-Xs1- sX2n-1sds+（2n+1）X2nsdWs，t≤ s<1。（A.1）确定X:T的首次下穿时间-（δ） ：=inf{u≥ t:徐≤ δ}, δ ≥ 0.（A.2）对于s，固定0<ε<x∈ [t，τ+(√n）∧ T-（ε） ]我们有ε/√1.- s≤ Xs/√1.- s≤√n（因此ε≤ Xs≤√N√1.- s） 。因此，对于（A.1）给定集的积分，x[X2n+1τ+(√n）∧T-（ε） ]=x2n+1+Et，x“Zτ+(√n）∧T-（ε） t（2n+1）N-Xs1- sX2n-1sds#≥ x2n+1。主导收敛给出了ε↓ 0表示Et，x[X2n+1τ+(√n）∧T-(0)] ≥ x2n+1。此外，因为X2n+1τ+(√n）≥X2n+1τ+(√n）∧T-（0）a.s.，我们还有Et，x[X2n+1τ+(√n） ]≥ x2n+1。另一方面，通过（2.7）和（2.9），因为√n>x/√1.- t>B*, 我们必须有X2n+1=Et，x[X2n+1τ+（x/√1.-t） ]>Et，x[X2n+1τ+(√n） ]。这是一个矛盾，因此B*≥√N

引理2.2的证明。因为案例q≤ 1是微不足道的，我们关注的是q>1的情况。假设D*<p（q）- 1)/2. 然后我们可以取（t，x），这样x/√1.- T∈ （D）*,p（q）- 1)/2).与引理2.1 giveEt，x[|xτ的证明中的论点类似的论点(√（q）-1)/2)∧T-（0）|q]=Et，x[Xqτ(√（q）-1)/2)∧T-(0)] ≥ xq，其中T-（0）的定义如（A.2）所示。此外，因为| Xτ(√（q）-1） /2）| q≥ Xqτ(√（q）-1)/2)∧T-（0）a.s.，我们也有Et，x[|xτ(√（q）-1） /2）| q]≥ xq。另一方面，通过（2.16）和（2.18），以及因为（q- 1） /2>x/√1.- t>D*, 我们必须有xq=Et，x[|xτ（x/√1.-t） |q]>Et，x[|xτ(√（q）-1） /2）| q]。正如所希望的那样，这是一个矛盾。布朗桥的最优双停止23引理3.3的证明。区分（3.6），十五*（t，x）=v（C）*)√2π十、√1.- tex/（2（1）-t） ）Φ(-x/√1.- （t）-√2π,还有亨塞利姆↓C*√1.-T十五*（t，x）=v（C）*)√2πC*e（C）*)/2Φ(-C*) -√2π= C*√2π(1 -（B）*))e（C）*)/2Φ（C）*) - （C）*)-Φ（C）*)Φ(-C*)(1 - （B）*)) + C*√2πΦ(-C*)E-（C）*)/另一方面，limx↑C*√1.-Txf（t，x）=√2π(1 -（B）*))C*e（C）*)/2Φ（C）*) - （B）*).两个极限之间的差异↓C*√1.-T十五*（t，x）- 利克斯↑C*√1.-Txf（t，x）=1- （C）*)-1+Φ（C）*)Φ(-C*)(1 - （B）*)) + C*√2πΦ(-C*)E-（C）*)/2=Φ(-C*)hΦ(-C*)(1 - （C）*)) - (Φ(-C*) + Φ（C）*))(1 - （B）*)) + C*√2πe-（C）*)/2i=-u（C）*)Φ(-C*),由于我们选择了C，它等于0*如引理3.1。引理4.4的证明。我们证明了x=B的可微性*√1.- t（x的值=-B*√1.- t（对称性）。关于x的微分（4.2）给出xJ*（t，x）=（1）- t） n（F2n+1+G2n+1）（x/√1.- t） j（B）*),通过备注4.1，limx↑B*√1.-TxJ*（t，x）=（1）- t） n（B）*)2n+1（F2n+1+G2n+1）（B）*)F2n+1（B）*)= (1 - t） n（B）*)2n+1F2n+1（B*) - F2n+1(-B*)F2n+1（B）*).（A.3）另一方面，xg（t，x）=-(1 - t） n（B）*)2n+1F2n+1(-x/√1.- t） F2n+1（B）*)+ （2n+1）x2n。因此，limx↓B*√1.-Txg（t，x）=-(1 - t） n（B）*)2n+1F2n+1(-B*)F2n+1（B）*)-2n+1B*,24 E.J.BAURDOUX、N.CHEN、B.A.SURYA和K.Yamazakia，根据需要，它们等于（A.3）乘以（2.8）。

致谢作者感谢匿名推荐人的富有洞察力的评论。E.J.Baurdoux在瓜纳华托的Cimat进行部分工作时，对他们的热情款待和支持表示感谢。B.A.苏里亚感谢哥伦比亚大学IEOR系在他逗留期间提供的支持。K.Yamazaki的部分资金来自MEXT KAKENHI第26800092号赠款、theInamori基金会研究赠款和关西大学2014年资助青年学者的补贴。参考文献[1]ABRAMOWITZ，M和STEGUN，I.A.（1972）数学函数手册：公式、图表和数学表格。信使多佛出版社，第55期。[2] AVELLANEDA，M.和LIPKIN，M.D.（2003）股票钉扎的市场诱导机制。定量。财务3417-425。[3] EKSTR–OM，E.，LINDBERG，C.和TYSK，J.（2011）成对交易的最优清算。金融高级数学方法，247–255。[4] Ekstrom，E.和WANNTORP，H.（2009）。布朗桥的最优停止。J.阿普尔。Probab。46, 170–180.[5] GALLEGO，G.和VAN RYZIN，G.（1994年）。单位区域随机需求下库存的最优动态定价。管理科学40（8），999–1020。[6] 伊瓦什科，A.A.（2014）。urn方案中的增益最大化问题。俄罗斯科学院卡累利安研究中心学报。4号。数学建模和信息技术。第五卷。彼得罗扎沃茨克：卡尔克拉斯（俄语）。[7] LEUNG，T.，LI，X.（2013）具有交易成本和止损退出的最优均值回归交易。预印本。[8] 林泰昆（2013）。新投资者。加州大学洛杉矶分校法律评论60（3），678-735。[9] 马扎洛夫，V.V.和塔玛基，M.（2007）。轨迹上的持续时间问题。随机79（3-4），211-218。[10] PESKIR，G.（2005）在曲线上随当地时间变化的变量公式。理论概率杂志18（3），499–535。[11] 洛杉矶谢普。

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