时间不一致停止问题的最优均衡

2022-6-1 03:39:14

文献中的主要方法是，除了子博弈的完美性之外，对代理人如何做出决策施加额外的微妙假设。这些假设，如【15】中的“重新考虑证明”和【2】中的“修订证明”，导致均衡策略的重新定义集合，其可能比整个均衡策略集合小得多。希望是每个重新定义的均衡可能产生相同的值，从而以一种特殊的方式解决（b）。尽管在这方面取得了一些积极进展，但重新平衡战略的价值并不总是独一无二的。一般来说，如何选择适当的平衡点仍然不清楚，尽管我们有一个较小的候选集。在本文中，我们研究了一个一般的有限期停止问题，其中，在非指数贴现下，通过选择适当的时间来停止在某些波兰空间X中取值的离散时间马尔可夫过程X，代理最大化其预期收益。在currentcontext下，代理的停止规则可以用相应的停止区域inX表示。为了解决（a），开发了一种新的方法，我们称之为迭代方法。具体而言，我们将平衡停止区域（简称均衡区域）表示为算子Θ的固定点，精确定义见下文（2.5）。为了找到平衡点，我们只需进行定点迭代：对于任何停止区域十、我们展示了这一点∞:= 画→∞Θn（S）（1.1）确实是一个平衡（即Θ（S∞) = S∞), 只要Θ（S） S在第一次迭代中保持不变；详见定理3.1。请注意，传统的向后顺序优化和我们的迭代方法都将时间不一致的问题视为当前和未来自我之间的个人内部博弈。关键的区别在于前者采用顺序博弈的观点，而后者则采用同步博弈的观点。

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2022-6-1 03:39:17

这种新的观点摆脱了顺序博弈的结构性限制，这使得迭代方法非常灵活：它可以轻松地应用于离散时间有限视界问题（如本文所述）以及连续时间问题（如Huang和Nguyen Huu【12】和Huang、Nguyen Huu和Zhou【13】）；见下面备注2.5的详细讨论。迭代方法对（b）有新的结果。我们证明了存在一个总是支配其他平衡的非奇异平衡：在任何状态x下，它对主体产生的价值比任何其他平衡都大∈ 过程X的X；见定理4.1和4.2。这种特殊的平衡肯定是“代理人实际遵循的最佳计划”，正如斯特罗茨所说，因此我们称之为最优平衡。据我们所知，这是第一次在时间不一致的文献中发现支配子博弈完美纳什均衡。定理4.1和d 4.2取决于两个关键条件。首先，我们要求agent的payoffion函数是下半连续的或上半连续的，并且在弱星拓扑下，Markov过程Xto的转移核是下半连续的。其次，折扣函数要求为对数次加函数，即满足下面的（3.2）。这种情况对应于减少不耐烦，这是行为经济学和金融学中广泛观察到的经验d解释特征；有关详细信息，请参见下面的讨论（3.2）。此外，我们在例3.1中证明，如果（3.2）不满足，甚至可能不存在平衡。因此，我们可以将（3.2）视为所有博弈论推导解决时间不一致性的必要条件。值得注意的是，在过去十年中，Ekeland和Lazrak[6]在数学金融学中引发了对时间不一致性的研究。

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2022-6-1 03:39:21

这包括【8】、【7】、【11】、【29】、【5】和【4】等，它们都专注于连续时间模型。他们致力于制定均衡策略的连续时间定义，并通过精细的微分方程系统描述均衡策略。然而，如何处理多重均衡，至今尚未得到解决。然后，我们有兴趣研究在连续时间内是否存在最优平衡，就像我们当前的时间设置一样。我们将把这作为一个单独的研究项目。本文的组织结构如下。第2节介绍了我们的时间不一致停止问题，并提出了寻找平衡点的迭代方法。该方法在第3节中非常严格，其中证明了定点迭代（1.1）的收敛性。第4节建立了唯一最优平衡的存在性。第五节研究了一个实际的停止问题，明确地说明了我们的理论结果。第6节总结全文。2迭代法考虑概率空间(Ohm, F、 P）支持时间齐次马尔可夫过程X=（Xt）t=0,1，。。。取一些波兰空间X中的值。设B（X）为X中的Borel集族，q为X的过渡核。具体而言，对于任何X∈ X和A∈ B（X），P（Xt+1∈ A | Xt=x）=ZAQ（x，dy），对于所有t=0，1。（2.1）设F=（Ft）t∈Nbe由X生成的过滤，T是所有F停止时间的集合。对于每个x∈ 十、如果X=X，我们将不断将X写为xxx以强调初始点，并用Ex[·]表示以X=X为条件的期望。对于任何X∈ X和τ∈ T，考虑目标函数j（x，τ）：=Ex[δ（τ）f（xτ）]。

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2022-6-1 03:39:23

（2.2）此处，f:X 7→ R是一个支付函数（or，pro-fit），假设为非负、有界且可测量；δ：N∪ {0} 7→ [0，1]是一个贴现函数，假设为δ（0）=1且limk严格递减→∞δ（k）=0。对于任意ω∈ Ohm, 如果τ（ω）=∞, 我们设置δ（τ）f（Xxτ）（ω）：=0表示所有x∈ 十、这与limk是一致的→∞δ（k）=0和f的有界性。给定当前状态x∈ 十、代理人打算通过选择适当的停站时间，即supτ，来最大化其预期的折扣报酬（或利润）∈TJ（x，τ）。（2.3）在相当一般的条件下，（2.3）的最佳s打顶时间，用eτx表示∈ T，存在于每个x∈ 十、然后，一个自然的问题是，在不同时刻获得的最佳停车时间，例如t>0的eτX和eτxxtwi，是否相互一致。定义2.1（时间一致性）。如果对于任何x，问题（2.3）是时间一致的∈ X和T≥ 0，eτx（ω）=a.e.ω的eτXxt（ω）∈ {eτx>t}。如果上述关系不成立，我们说（2.3）是时间不一致的。众所周知，问题（2.3）与δ（s）时间一致：=（1+β）s，f或任何给定的β>0，但对于任意折扣函数δ，时间通常不一致。由于人们可能会在时间不一致的情况下重新评估和更改自己对停车时间的选择，因此他的停车策略不是单一的停车时间，而是下面定义的停车策略。定义2.2。一个Borel可测f函数τ：X→ {0，1}称为停止策略。背后的直觉如下。给定当前状态x∈ 十、停止策略τ控制代理何时停止：他在第一时间停止τ（Xxs）产生值0。备注2.1。定义2.2可以使用“停止区域”等公式表示。

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2022-6-1 03:39:26

根据定义，τ：X 7→ {0，1}是停止策略<==> 对于某些S，τ（x）=1Sc（x）∈ B（X）。显然，S={x∈ X：τ（X）=0}，我们称之为策略τ的停止区域。为了解决时间不一致的问题，代理人应首先按照Strotz【27】的建议确定“他将实际遵循的策略”。为此，他需要考虑到自己未来的行为，并找到最好的应对方法。具体来说，假设代理最初计划∈ B（X）作为停止区域。现在，在任何状态x∈ 十、代理人进行博弈论推理：“假设我未来的所有自我都会∈ B（X）作为停车区域，针对这一点，今天最好的停车策略是什么？”今天的代理人实际上有两种可能的行动：停止和继续。如果他停下来，他会立即得到f（x）。如果他继续，考虑到他未来的所有自我都将跟随S∈ B（X），他最终会在ρ（X，S）：=inf{t时刻停止≥ 1:Xxt∈ S}∈ T（2.4）这将导致预期收益J（x，ρ（x，S））。因此，通过比较f（x）和J（x，ρ（x，s）），我们得到了今天的最佳停止策略，其停止区域由Θ（s）给出：={x∈ X:f（X）≥ J（x，ρ（x，S））}。（2.5）备注2.2。对于任何S∈ B（X），Θ（S）i非空。事实上，Θ（S） E：={x∈ X:f（X）>Mδ（1）}6=, 其中M：=supx∈Xf（x）<∞. （2.6）实际上，通过（2.2），J（x，ρ（x，S））≤ δ（1）M<M。M的定义确保E是非空的。现在，对于任何x∈ E、 f（x）>Mδ（1）≥ J（x，ρ（x，S）），因此x∈ Θ（S）。因此，E Θ（S）。定义2.3。我们叫S∈ B（X）如果Θ（S）=S，则为平衡停止区（简称平衡）。我们用E表示所有平衡的集合。备注2.3。按定义，S∈ E当且仅当（f（x）≥ J（x，ρ（x，S）），x∈ S、 f（x）<J（x，ρ（x，S）），x∈ X（2.7）备注2.4。如果存在平衡，它必须包含（2.6）中定义的非空集。

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2022-6-1 03:39:29

确实，如果S∈ B（X）是一个平衡，那么S=Θ（S） E 6=, 其中包括在备注2.2之后。根据（2.5），我们可以将Θ视为一个操作符m ap ping B（X）到它自己。平衡点为Θ的固定点。为了找到平衡，我们进行定点迭代：对于任何初始停止区域∈ B（X），我们期望S∞, 定义如（1.1）所示，为一个等式。为了使这种迭代方法更加严格，我们需要证明（i）（1.1）中的极限收敛，因此∞定义良好，以及（ii）S∞实际上是一种平衡，即Θ（S∞) = S∞. 这些将在下文第3节中详细分析。2.1与反向顺序优化的比较在本小节中，我们将表明，在有限的时间范围内，我们的迭代方法和传统的反向顺序优化产生相同的结果。考虑一个有限的地平线N∈ Nand let T：={0，1，…，N- 1}. 目标函数（2.2）为j（t，x，τ）：=Et，x[δ（τ- t） f（Xτ）]，对于（t，X）∈ （T∪ {N} ）×X和τ∈ Tt。这里，tt表示停止时间τ的集合∈ 带T的T≤ τ ≤ N a.s.和Et，xis是以Xt=x为条件的期望。停止问题（2.3）现在采用formsupτ∈TtJ（t，x，τ）。我们现在按照定义2.2和2.3制定停止政策和平衡停止区域。定义2.4。在当前有限层位设置下，Borel可测函数τ：T×X 7→{0，1}被称为停止策略（这里，我们使用T的离散拓扑）。此外，我们说∈ 如果Θ（S）=S，则B（T×X）是平衡停止区域（简称eq uilibrium），其中Θ（S）：={（T，X）∈ T×X:f（X）≥ J（t，x，ρ（t，x，S））}，（2.8），ρ（t，x，S）：=inf{S≥ t+1：（s、Xt、xs）∈ S}∧ N、由于如果代理在此之前没有停止过，则将在最终时间N停止，因此迭代（1.1）具有相当简单的结构。

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2022-6-1 03:39:32

在下面的证明中，对于任何∈ B（T×X），我们将使用旋转Sn：=Θn（S）表示所有n∈ N∪ {0}。引理2.1。在当前有限地平线设置下∈ B（T×X）。对于任何t∈ T、我们有（i）SN的T截面与SN的T截面重合-t、适用于所有n≥ N- t、即Sn∩ （{t}×X）=SN-t型∩ （{t}×X）f或所有n≥ N- t、（二）序号-t型∩ （{t}×X）与S的选择无关∈ B（T×X）。证据我们将通过显示Sn来验证（i）和（ii）∩ （{t}×X）与n无关≥ N- t和∈ B（T×X）。对于任何固定的t∈ T、根据（2.8）和Sn的定义，我们得到了Sn∩ （{t}×X）={（t，X）：X∈ 十、 f（X）≥ J（t，x，ρ（t，x，Sn-1))}, n∈ N、对于t=N- 1，因为代理将在最后一个时间N停止，如果他在此之前没有停止，我们必须有ρ（N- 1，x，S′）=对于任何x∈ X和S′∈ B（T×X）。接下来是SN∩ （{N- 1} ×X）={（N）- 1，x）：x∈ 十、 f（X）≥ J（N- 1，x，N）}，n∈ N、（2.9）这表明Sn∩（{N-1} X）与n无关≥ 1和S∈ B（T×X）。对于t=N-2，观察ρ（N- 2，x，序号-1）等于N- 1或N仅取决于Sn-1.∩ （{N- 1} ×X）。因为（2.9）表示Sn-1.∩ （{N- 1} X）与n无关≥ 2和S∈ B（T×X），我们得出结论，对于每个X∈ 十、 T（N- 2，x）：=ρ（N- 2，x，序号-1）与n无关≥ 2和S∈ B（T×X）。接下来是SN∩ （{N- 2} ×X）={（N）- 2，x）：x∈ 十、 f（X）≥ J（N- 2，x，T（N- 2，x））}与n无关≥ 2和S∈ B（T×X）。简单的归纳可以得到所需的结果。推论2.1。在当前有限层位设置下，（i）对于任何∈ B（T×X），S∞= SNI是一个平等的图书馆；（ii）对于任何S，S′∈ B（T×X），我们有S∞= S′∞.因此，存在一个独特的平衡。证据为了证明（i），请注意Lemm a 2.1（i）立即暗示对于任何n≥ N，序号∩ （{t}×X）=SN∩ （{t}×X），对于所有t∈ T、也就是说，对于所有n，Sn=Sn≥ N、因此，S∞= SN，Sni是一种平衡（asΘ（SN）=SN+1=SN）。

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2022-6-1 03:39:35

最后，（ii）是S的独立性的直接结果∈ B（T×X）见表2.1（ii）。备注2.5。引理2.1的证明表明，Θ的每一次额外迭代对应于Pollak中的下一轮反向优化【23】。实际上，Θdeterminesthe（N）的第一次迭代- 1） -S部分∞, 这正是[23]中针对周期[N]的反向优化- 1，N]。类似地，Θ，n=2，3，…，的第n次迭代。。。，N、确定（N- n） -截面图∞, 这相当于该时期的反向优化[N- n、 n个- n+1]。因此，在有限水平下，唯一平衡∞通过迭代方法获得的平衡与反向顺序优化产生的平衡相同。尽管在有限原点下给出了相同的结果，但反向顺序优化和迭代方法在本质上是完全不同的。让我们在时间t给代理人打电话，表示“Player t”∈ T、标准的后向方法将时间不一致问题视为一个连续博弈。播放器（N- 1）首先选择他的行动；玩家（N）- 2）如果玩家（N- 1）的行动选择；同样，对于所有t<N- 2、球员t根据自己未来的行动做出决定。注：在顺序博弈结构中，需要（i）确定首先行动的特定玩家（“第一玩家”），以及（ii）最多可计数的玩家。相比之下，我们的迭代方法在一个同时进行的游戏中体现了“考虑未来自我的行动”的传统智慧。所有玩家同时选择自己的动作，而不知道其他人的选择。每个玩家都会根据自己对其他玩家的看法来决定自己的最佳策略。

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2022-6-1 03:39:38

期望其他玩家以同样的方式进行推理，每个玩家都会进行递归推理（“我认为你认为我认为……”），其特征为Θin（1.1）的定点迭代。具体来说，假设一个代理最初计划∈ B（X）作为停止区域。在时间0时，当前状态为x∈ 十、代理进行了博弈论思考，如标记2.1所示，并发现最好将Θ（s）作为停止区域。他未来的自我，可能处于不同的状态∈ 十、可以用同样的方式进行推理，并得出结论，Θ（S）也是一个更好的选择。因此，这是所有参与者同时进行的第一轮博弈论思考（以x为索引∈ 十），将停止区域的颜色从S更改为Θ（S）。鉴于此，所有玩家（按x索引∈ 十）可以同时再次进行相同的博弈论思考，并得出结论，Θ（S）是比Θ（S）更好的选择。这个过程一直持续到达到平衡S∞, 这是博弈论思维无法进一步改进的，即应用Θ。注意，这摆脱了顺序博弈的结构限制，使迭代方法非常灵活：它可以很容易地应用于（i）有限离散时间，其中“第一个玩家”无法识别（如本文所述），以及（ii）连续时间，其中有无数玩家（如Huang和Nguyen Huu【12】以及Huang、Nguyen Huu和Zhou【13】）。3平衡点的存在在这一节中，我们将给出定理3.1中迭代方法的主要收敛结果，这将立即导致推论3.1中平衡点的存在。首先，观察到与存在唯一均衡的有限水平情况不同（见推论2.1），在有限水平下可能不存在均衡。示例3.1。

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2022-6-1 03:39:41

考虑X={1，2}，f（X）=X，对于所有t=0，1，…，letP（Xt+1=1 | Xt=1）=P（Xt+1=2 | Xt=1）=，P（Xt+1=2 | Xt=2）=1（3.1）。。。。设置δ（1）=，我们将选择δ（k），k=2，3，后来假设存在一个等式S∈ B（X）。由于J（2，ρ（2，S））=E[δ（ρ（2，S））Xρ（2，S）]=2δ（1）=3/2<2，根据备注2.3，我们有2∈ S、另一方面，类似的论点显示1/∈ S、事实上，如果1∈ S、 thenJ（1，ρ（1，S））=E[δ（1）X]=· 1 +· 2=> 1，与备注2.3相矛盾。但是，使用1/∈ S、我们有j（1，ρ（1，S））=E[δ（ρ（1，S））Xρ（1，S）]=2∞Xk=1kδ（k）=+2∞Xk=2kδ（k）。通过选择δ（k）随k的增加衰减足够快，我们可以使J（1，ρ（1，S））<1，这与备注2.3不一致。简而言之，我们已经证明，当贴现函数δ（k）衰减足够快时，在这个例子中不存在均衡。为了确保均衡的存在，我们假设贴现函数δ满足δ（i）δ（j）≤ δ（i+j），对于所有i，j=0，1。（3.2）这种情况与行为经济学中的缓解不耐烦（DI）密切相关。emp-irical研究（见下面的备注3.1）中众所周知，人们承认DI：当在两个奖励之间进行选择时，当这两个奖励离时间越远时，人们越愿意等待更大的奖励（患者越多）。例如，在两种情况下（i）今天获得100美元或明天获得110美元，以及（ii）在100天内获得100美元或在101天内获得110美元，人们倾向于在（i）中选择100美元，但在（ii）中选择110美元。在【24，定义1】和【20】之后，贴现函数δ会导致任何j=1，2，i 7→δ（i+j）δ（i）严格递增。（3.3）观察（3.3）容易暗示（3.2），如δ（i+j）/δ（i）≥ δ（j）/δ（0）=所有i的δ（j）≥ 0和j≥ 也就是说，（3.2）在DI下自动为真。

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2022-6-1 03:39:44

注意，（3.2）比DI更一般，因为对于任何给定的β>0，它明显包括经典情况δ（s）：=（1+β）s。备注3.1。行为经济学中有大量的实证证据（参见[28]、[18]、[17]）表明，个体不会指数贴现。为了建立经验贴现模型，人们提出了许多贴现函数：在连续时间内，[1]，[24]（δ（t）：=1+βtwithβ>0），在[17]，[16]（δ（t）：=（1+βt）kwithβ，k>0），在[6]，[14]，[8]（δ（t）：=λe-ρt+（1- λ） e类-ρtwithλ∈ （0，1）和ρ，ρ>0）；在离散时间内，在[16]中的准双曲（δ（0）：=1，δ（i）：=βρi，带β，ρ∈ (0, 1)). 请注意，所有这些折扣函数都会减少不耐烦，从而满足（3.2）。非指数贴现和“减少不耐烦”的研究要少得多。据我们所知，[10]是唯一一项认真研究“增量贴现”贴现的工作。然而，它支持了缺乏经验相关性的批评；参见例[19]。备注3.2（市场暗示v.s.inn ate折扣）。传统上，人们可以使用零息票债券的价格作为贴现因子。在这种情况下，（3.2）意味着远期汇率不应超过即期汇率，只要相应时间段的长度相同。这似乎是一个强有力的假设，因为远期汇率是由市场参与者对未来价格的预期决定的，不必与即期汇率有特定关系。然而，上述折扣是市场隐含的，不同于本文的背景：我们关注的是个人的先天时间偏好，而不管其他市场参与者，或者是否有一个市场。

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kedemingshi

2022-6-1 03:39:47

这是行为经济学中的标准设置，一个普遍的发现是，个人在近、远、未来的折扣更为激烈。条件（3.2）总结了固有贴现的这一特征。此外，我们强调，我们讨论的支付可能不是货币性的：函数f可以描述代理人的效用、健康或幸福水平等。零息票债券b与非货币性支付的关系。引理3.1。假设（3.2）成立。对于任何非空S∈ B（X），ifΘ（S） S、 thenJ（x，ρ（x，S））≤ 所有x的J（x，ρ（x，Θ（S）））∈ 十、（3.4）特别是，这意味着 Θ（S）。证据相反，（3.4）不成立。那么α：=s upx∈X[J（X，ρ（X，S））- J（x，ρ（x，Θ（S））]>0。选择y∈ X使得j（y，ρ（y，S））- J（y，ρ（y，Θ（S）））>δ（1）α。（3.5）考虑事件A：=A∩ A、其中：={ω∈ Ohm : ρ（y，S）（ω）<∞} 和A：=nω∈ Ohm : Xyρ（y，S）（ω）∈ 关于事件（A）c，S S表示ρ（y，Θ（S））≥ ρ（y，S）=∞. 鉴于下面（2.2）的讨论，我们得到δ（ρ（y，S））fXρ（y，S）= δ（ρ（y，Θ（S）））fXρ（y，Θ（S））= 0、关于事件A∩（A） c，ρ（y，S）<∞ 和Θ（S） S表示Xyρ（y，S）∈ Θ（S）。因此，ρ（y，Θ（S））=ρ（y，S），因此δ（ρ（y，S））fXρ（y，S）= δ（ρ（y，Θ（S）））fXρ（y，Θ（S））. 因此，我们有j（y，ρ（y，S））- J（y，ρ（y，Θ（S）））=EyA.δ（ρ（y，S））fXρ（y，S）- δ（ρ（y，Θ（S）））fXρ（y，Θ（S））= Ey公司Aδ（ρ（y，S））EyfXρ（y，S）-δ（ρ（y，Θ（S）））δ（ρ（y，S））fXρ（y，Θ（S））Fρ（y，S）= Ey公司Aδ（ρ（y，S））fXρ（y，S）- Ey公司δρ（y，S）+ρ（Xρ（y，S），Θ（S））δ（ρ（y，S））fXρ（y，Θ（S））Fρ（y，S）≤ EyhAδ（ρ（y，S））fXρ（y，S）- Eyhδρ（Xρ（y，S），Θ（S））fXρ（y，Θ（S））Fρ（y，S）ii、（3.6）式中（3.2）的不等式和f的非负性。由于X的str on g Markovproperty，它可以保存a.s。

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2022-6-1 03:39:51

thatEyhδρ（Xρ（y，S），Θ（S））fXρ（y，Θ（S））Fρ（y，S）iA=EXρ（y，S）hδρ（Xρ（y，S），Θ（S））fXρ（Xρ（y，S），Θ（S））iA=JXρ（y，S），ρ（Xρ（y，S），Θ（S））A、这与（3.6）一起给出了j（y，ρ（y，S））- J（y，ρ（y，Θ（S）））≤ Ey公司Aδ（ρ（y，S））fXρ（y，S）- JXρ（y，S），ρ（Xρ（y，S），Θ（S））.从Θ的定义来看，对于所有x，我们都有f（x）<J（x，ρ（x，S））/∈ Θ（S）。因此，从A的定义来看，上述不等式意味着j（y，ρ（y，S））- J（y，ρ（y，Θ（S）））≤ Ey公司Aδ（ρ（y，S））JXρ（y，S），ρ（Xρ（y，S），S）- JXρ（y，S），ρ（Xρ（y，S），Θ（S））≤ Ey[1Aδ（ρ（y，S））α]≤ δ(1)α.然而，这与（3.5）相矛盾。因此，（3.4）成立。备注2.2，Θ（S）6=. 对于任何x/∈ Θ（S），定义Θ和（3.4）产量f（x）<J（x，ρ（x，S））≤ J（x，ρ（x，Θ（S）），表示x/∈ Θ（S）。因此，Θ（S） Θ（S）。我们准备给出迭代方法的主要收敛结果。定理3.1。假设（3.2）成立。对于任何非空S∈ B（X）使Θ（S） S、 S∞:=∞\\n=1Θn（S）6= （3.7）是一个平等的图书馆。证据请注意，S∈ B（X）表示Θ（S）∈ B（X），进而产生Θn（S）∈ B（X）表示所有n∈ N、因此，S∞∈ B（X）定义。我们声称对于所有x∈ X和ω∈ Ohm,ρ（x，S∞)（ω） =limn→∞ρ（x，Θn（S））（ω）。（3.8）固定x∈ X和ω∈ Ohm. 引理3.1，{n（S）}n∈Nis是非空钻孔集的非递增序列，因此ρ（x，Θn（S））（ω）在n中定义为非递减。因此（3.8）右侧的极限得到了很好的定义，ρ（x，S∞)(ω) ≥ 画→∞ρ（x，Θn（S））（ω）=：β（ω）。如果β（ω）=∞, 然后（3.8）琐碎地成立。Ifβ（ω）∈ N、然后存在N∈ N足够大，使得ρ（x，ΘN（S））（ω）=所有N的β（ω）≥ N这意味着，通过（2.4），Xxβ（ω）∈ Θn（S）表示所有n≥ N因此，Xxβ（ω）∈T∞n=1Θn（S）=S∞. 因此ρ（x，S∞)(ω) ≤ β(ω). 因此，我们得出结论（3.8）成立。备注2.2，n（S） E代表所有n∈ N、 E 6= 定义见（2.6）。因此，S∞ Eby定义，因此是非空的。

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大多数88

2022-6-1 03:39:54

对于任何x∈ S∞, 自x起∈ 所有n的n（S）∈ N、我们有f（x）≥ Jx、 ρ（x，Θn-1（S））适用于所有n∈ N、作为N→ ∞,f（x）≥ 画→∞Jx、 ρ（x，Θn-1（S））= 画→∞前任δρ（x，Θn-1（S））fXρ（X，Θn-1（S））= 前任δ（ρ（x，S∞)) fXρ（X，S∞)= J（x，ρ（x，S∞))其中第三条线来自支配收敛定理和（3.8）。因此，x∈ Θ（S）∞),我们的结论是∞ Θ（S）∞). 另一方面，对于x/∈ S∞, 存在N个∈ N这样x/∈ 所有n的n（S）≥ N、这意味着f（x）<Jx、 ρ（x，Θn-1（S））适用于所有n≥ N、它遵循f（x）<J（x，ρ（x，ΘN-1（S））≤ 画→∞Jx、 ρ（x，Θn-1（S））= J（x，ρ（x，S∞)) ,其中，第二个不等式是由（3.4）得出的，最后一个等式是由支配收敛定理和（3.8）得出的。这意味着x/∈ Θ（S）∞), 因此，我们得出以下结论：∞) S∞.因此，我们得到了Θ（S∞) = S∞, i、 e.S∞是一种平衡。备注3.3。迭代方法体现了博弈论中战略推理的层次结构，在[25]和[26]中介绍。对于任何S∈ B（X），Θ到S的每个应用代表了额外的战略推理水平。具体而言，Θn（S）对应于[26]中的n级战略推理，S∞=田纳西州∈NΝN（S）反映了“smart”的全部合理性∞” [25]中的玩家。定理3.1立即给出了至少一个平衡的存在性。推论3.1。假设（3.2）成立。那么，X∞, 如（3.7）所定义，是一种平衡。证据自X琐碎满足Θ（X）十、结果直接来自定理3.1。一般来说，平衡点的唯一性并不成立，下一个例子说明了这一点。示例3.2。考虑X={1，2}，f（X）=X，并假设跃迁概率如（3.1）所示。对于任何ε>0，取δ（k）：=（1- ε） k，k=1，2。可以很容易地验证（3.2）是满足的。当ε>0足够小时，我们声称S：={2}和X={1，2}都是平衡。

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2022-6-1 03:39:56

实际上，通过实施例3.1中的类似计算，J（1，ρ（1，S））=E[δ（ρ（1，S））Xρ（1，S）]=2∞Xk=1kδ（k）=∞Xk=11.- εk、 J（2，ρ（2，S））=E[δ（ρ（2，S））Xρ（2，S）]=2δ（1）=（1- ε) < 2.Asε↓ 0，J（1，ρ（1，S））接近7/6，因此严格大于1。因此，根据备注2.3，S={2}是一个平衡，因为ε>0足够小。另一方面，J（1，ρ（1，X））=δ（1）E[Xρ（1，X）]=（1- ε） <1，J（2，ρ（2，X））=δ（1）2=（1- ε) < 2.因此，根据备注2.3，对于任何ε>0.4的情况，X={1，2}是一个等式。如果在有限的范围内可能存在多个平衡（见示例3.2），如何选择合适的平衡是一个关键的、未解决的问题。在本节中，我们将首先定义均衡的最优性：若均衡在任何时候产生的价值都大于任何其他均衡，则该均衡是最优的。虽然这似乎是一个很强的条件，但我们证明，在适当的连续性假设下，定理4.1和4.2中确实存在唯一的最优平衡。对于任何S∈ E、关联值函数由v（x，S）：=f（x）定义∨ J（x，ρ（x，S））对于所有x∈ 十、通过备注2.3，我们立即得到v（X，S）=（f（X），如果X∈ S、 J（x，ρ（x，S）），如果x∈ X\\S.（4.1）这反过来意味着V可以表示为V（X，S）=J（X，ρ*（x，S）），带ρ*（x，S）：=inf{t≥ 0:Xxt∈ S} 。（4.2）定义4.1（最佳平衡）。我们说S*∈ E是一个最优平衡，如果对于任何S∈ E、 V（x，S*) ≥ V（x，S） x个∈ 十、下一个结果表明，如果存在一个最优平衡，它一定是唯一的。提案4.1。如果S*∈ E是最优平衡，那么S*=TS∈锿。证据我们只需要显示S*TS∈ES，因为另一个包含是微不足道的。通过矛盾，假设存在∈ E使S*6. S、对于任何x∈ S*\\ S、我们从（4.1）andRemark 2.3推导出v（x，S*) = f（x）<J（x，ρ（x，S））=V（x，S），这与S的最优性相矛盾*.引理4.1。假设（3.2）成立。

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2022-6-1 03:39:59

对于任何S，T∈ E、 J（x，ρ（x，S∩ T））≥ J（x，ρ（x，S））∨ J（x，ρ（x，T）） x个∈ 十、（4.3）尤其是，这意味着∩ T） S∩ T备注4.1。这个引理提供了一种从旧平衡构建“更好”平衡的方法。对于任何S，T∈ E、备注2.4和引理4.1暗示S∩ T 6= 和Θ（S）∩ T） S∩ T因此，我们可以应用定理3.1得到一个新的平衡∩ T）∞通过迭代方法。在V（x，（S∩ T）∞) ≥ V（x，S）∨ V（x，T）x个∈ 十、这是（4.3）和（3.4）的结果。引理4.1的证明。修复x∈ 十、在整个证明过程中，为了便于记法，我们定义了所有n=0，1，以下内容：1。y： =x，y2n+1：=Xy2nρ（y2n，T），y2n+2：=Xy2n+1ρ（y2n+1，S）；2、τ：=0，τ2n+1：=ρ（y2n，T），τ2n+2：=ρ（y2n+1，S）；3、An：={ω∈ Ohm : τn（ω）<∞ 和yn（ω）/∈ S∩ T}；4、En[Z]：=Eyn-1[1Anδ（τn）Z]，对于任意随机变量Z：Ohm 7.→ RJ（x，S′）：=J（x，ρ（x，S′），对于任何S′∈ B（X）。根据A的定义，我们有j（x，S∩ T）- J（x，T）=EyA.δ（ρ（y，S∩ T））fXρ（y，S∩T）- δ（τ）f（y）= Ey公司Aδ（τ）Eyδ（ρ（y，S∩ T））δ（τ）fXρ（y，S∩T）- f（y）Fτ≥ EyhAδ（τ）Eyhδ（ρ（y，S∩ T）fXρ（y，S∩T）- f（y）Fτii，（4.4），其中不等式来自（3.2），F为非负。x的强马尔可夫性意味着y hδ（ρ（y，S∩ T））fXρ（y，S∩T）FτiA=Eyδ（ρ（y，S∩ T））fXρ（y，S∩T）A=J（y，S∩ T）1A。（4.5）此外，请注意，在事件A中，我们有y/∈ S、那么备注2.3意味着f（y）<J（y，S）。（4.6）带（4.5）和（4.6），（4.4）yieldsJ（x，S∩ T）- J（x，T）≥ Ey[1Aδ（τ）（J（y，S∩ T）- J（y，S））]=E[J（y，S∩ T）- J（y，S）]。（4.7）在下文中，我们将递归执行上述论证。

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2022-6-1 03:40:02

首先，对J（y，S）重复上述（4.7）论证∩ T）- J（y，S），而不是J（x，S∩ T）- J（x，T），yieldsJ（y，S∩ T）- J（y，S）≥ E[J（y，S∩ T）- J（y，T）]。这与（4.7）一起意味着j（x，S∩ T）- J（x，T）≥ Eo E[J（y，S∩ T）- J（y，T）]。（4.8）接下来，对J（y，S）重复上述（4.7）参数∩T）-J（y，T），而不是J（x，S∩T）-J（x，T），利用（4.8），我们得到了J（x，S∩ T）- J（x，T）≥ Eo Eo E[J（y，S∩ T）- J（y，S）]。继续此过程，我们得到j（x，S∩ T）- J（x，T）≥ Eo . . . o E2n[J（y2n，S∩ T）- J（y2n，T）]，n∈ N、（4.9）由于f有界，存在C>0，使得| J（y，S′）|≤ C代表所有y∈ X和S′∈ B（X）。然后，| Eo . . . o E2n[J（y2n，S∩ T）- J（y2n，T）]|≤ Eo . . . o E2n[| J（y2n，S∩ T）- J（y2n，T）|]≤ δ（1）2n·2C→ 0作为n→ ∞,其中，收敛从δ（1）<1开始。我们从（4.9）中得出结论：j（x，S∩ T）- J（x，T）≥ 0, x个∈ 十、通过简单地切换上述证明中S和T的角色，我们也可以得到J（X，S∩ T）- J（x，S）≥ 0, x个∈ 十、由此确定（4.3）。备注2.4，S∩ T 6=. 对于任何x/∈ S∩ T，如果x/∈ S、然后f（x）<J（x，S）≤ J（x，S∩ T），这意味着x/∈ Θ（S）∩ T）；如果x/∈ T，相同的参数显示x/∈ Θ（S）∩ T）。因此，我们得出以下结论：∩ T） S∩ T在（3.2）项下，我们与命题4.1有部分相反。提案4.2。假设（3.2）成立。如果S*:=TS∈ES是一个平衡，那么它就是最优的。证据设T为任意平衡。引理4.1，V（x，T）=f（x）∨ J（x，ρ（x，T））≤ f（x）∨ J（x，ρ（x，S*∩ T））=f（x）∨ J（x，ρ（x，S*)) = V（x，S*),对于所有x∈ 十、因此，S*是最佳的。下一个结果证明了最优平衡的存在性。在适当的连续性条件下，S*:=TS∈命题4.1和命题4.2中的候选者ES是最优均衡。定理4.1。假设（3.2）成立，f是上半连续的。

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2022-6-1 03:40:05

此外，假设（2.1）中的转移核Q在弱星拓扑i下是下半连续的。e、对于任何有界Borel可测g：X 7→ R和{xn}n∈Nin X带xn→ x、 lim信息→∞ZXg（y）Q（xn，dy）≥ZXg（y）Q（x，dy）。（4.10）然后，S*:=TS∈ES是最优平衡。证据对于任何S∈ B（X），观察J（X，ρ（X，S））可以表示为J（X，ρ（X，S））=ZXI（y，S）Q（X，dy），其中i（y，S）：=Ey[δ（ρ*（y，S）+1）Xρ*（y，S）]和ρ*（y，S）定义如（4.2）所示。因此，under（4.10），J（x，ρ（x，S））在x中是下半连续的。现在，如果S是另外一个平衡，那么S=Θ（S）={x∈ X:f（X）≥ J（x，ρ（x，S））}是x的闭S子集，这得益于f的上半连续性和J（·，ρ（·，S））的下半连续性。因此，S*:=TS∈ES也是闭合的，因此Borel是可测量的。因为S是闭合的，所以1对于所有S都是上半连续的∈ E、 [3]中的命题4.1断言可数子集（Sn）n的存在性∈不是这样的*= infS∈ES=infn∈NSn。（4.11）因此S*=田纳西州∈NSn。现在，让T：=S。通过注释4.1中的相同参数，T：=（T∩ S）∞ T∩ Sis与J（x，ρ（x，T））的平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、类似地，T：=（T∩ S）∞ T∩ Sis与J（x，ρ（x，T））的平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、重复此过程，我们得到（Tn）n∈使Tn+1 田纳西州∩ Sn+1和J（x，ρ（x，Tn+1））≥J（x，ρ（x，Tn））对于所有n∈ N、因此，S*=\\S∈锿\\n∈NTn公司\\n∈NSn=S*,这意味着S*=田纳西州∈NTn。然后，通过遵循定理3.1证明中的相同论点，用Tn替换Θn（S），我们可以证明*是一种平衡。因此，由于命题4.2，它是最优均衡。当f为下半连续时，最优平衡的存在性仍然成立。定理4.2。假设（3.2）成立，f是下半连续的，（2.1）中的转移核Q在弱星拓扑下是下半连续的，如（4.10）所述。

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2022-6-1 03:40:08

然后，S*:=TS∈ESis是最佳平衡。证据正如定理4.1的证明所示，（4.10）意味着对于任何S，J（x，ρ（x，S））在x上是下半连续的∈ B（X）。因此，V（x，S）=f（x）∨ 对于任意S，J（x，ρ（x，S））在x上是下半连续的∈ E、根据[3]中的命题4.1，存在（Sn）n∈在这种情况下∈EV（x，S）=supn∈NV（x，Sn），x个∈ 十、（4.12）设T：=X，T：=S。通过注释4.1中的相同参数，T：=（T∩ S）∞ T∩ 具有J（x，ρ（x，T））的Sis非平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、类似地，T：=（T∩ S）∞ T∩ Sis与J（x，ρ（x，T））的平衡≥ J（x，ρ（x，T））对于所有x∈ 十、重复此过程，weget（Tn）n∈以使Tn 田纳西州-1.∩ Snand J（x，ρ（x，Tn+1））≥ J（x，ρ（x，Tn））对于所有n∈ N、现在，通过遵循定理3.1证明中的相同参数，用Tn替换ΘN（S），我们可以证明*:=田纳西州∈NTnis平衡和J（x，ρ（x，T*)) ≥ J（x，ρ（x，Tn））对于所有x∈ X和n∈ N、召回Tn 田纳西州-1.∩ Snand（4.3），每个x∈ X我们有j（X，ρ（X，T*)) ≥ J（x，ρ（x，Tn））=J（x，ρ（x，Tn）∩ 序号））≥ J（x，ρ（x，Sn）），n∈ N、这意味着V（x，T*) ≥ V（x，Sn）表示所有x∈ X和n∈ N、因此，我们从（4.12）得出结论∈EV（x，S）=V（x，T*), x个∈ 十、也就是说，T*是一个最优平衡。根据提案4.1，T*=TS∈ES=S*.备注4.2。如果X是一个有限集或可数集，则在X的离散拓扑y下，f和（4.10）的半连续性都可以满足。但是，当X不可数时，不能再使用离散拓扑。这是因为当X不可数时，离散拓扑所产生的度量空间是不可分的，因此禁止使用[3]中的命题4.1，这是定理4.1证明的关键步骤。我们为（4.10）提供以下有效条件。备注4.3。假设，对于任何x∈ 十、转移核Q（X，·）允许概率密度函数。

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2022-6-1 03:40:10

也就是说，Q（x，dy）=Q（x，y）dy→ q（x，y）对于每个y都是下半连续的∈ 十、那么Q在弱星拓扑下是连续的，即对于任何有界Borel可测g:X 7→ R和{xn}n∈Nin X带xn→ x、 limn公司→∞ZXg（y）Q（xn，dy）=ZXg（y）Q（x，dy）。（4.13）实际上，对于任何可测量的Borel，g:X 7→ R带C：=s upx∈X | g（X）|<∞, Fatou引理giveslim infn→∞ZX（C±g（y））q（xn，y）dy≥ZX（C±g（y））q（x，y）dy。这意味着lim supn→∞ZXg（y）q（xn，y）dy≤ZXg（y）q（x，y）dy≤ lim信息→∞ZXg（y）q（xn，y）dy，因此（4.13）如下。5.为了说明我们的理论结果，我们在本节中重点讨论了一个实际的s-Toping问题。我们的目标是明确描述最优均衡。考虑离散时间二项模型中的资产价格过程X。具体地说，让u>1，并假设X取X中的值：={ui:i=0，±1，±2，…}。假设存在p∈ （0，1）使得P=P（Xt+1/Xt=u）和1- p=p（Xt+1/Xt=u-1), t=0，1，2。。。此外，我们假设X是一个子鞅，它对应于ds和条件p≥u+1。设payoff（or，pro-fit）函数为f（x）：=（K- x）+在x上，其中K>0是给定常数。此外，考虑双曲贴现函数δ（t）：=1+βt∈ N∪ {0}，其中β>0是给定的常数。可以很容易地验证（3.2）是满足的。然后目标函数（2.2）变为j（x，τ）=Ex（K）- Xτ）+1+βτ.这可以被视为一个实物期权问题，公司的管理层考虑一个投资计划，该投资计划具有恒定的收入K和随机的成本X，并希望决定何时实施。找到最佳平衡点*=TS∈因此，我们需要首先描述所有平衡的集合。从推论3.1可以看出E是非空的。引理5.1。对于任何S∈ E、 S=（0，y）∩ X代表一些y∈ （0，K）。证据修复S∈ E、我们将证明（0，K）∩ 十、备注2.4，第6节=.

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2022-6-1 03:40:13

请注意，s必须相交（0，K）。确实，如果S∩ （0，K）=, 那么J（x，ρ（x，S））=0<（K- x） +=所有x的f（x）∈ 十、∩ （0，K），这与S∈ E、现在，假设相反∩ [K，∞) 6= . 取x：=最小{S∩ [K，∞)}. 按定义，x∈ S和x≥ K、这个，和S一起∩ （0，K）6=, 表示Px（Xρ（X，S）<K）>0。下面是f（x）=（K- x） +=0<Ex（K）- Xρ（X，S））+1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。这意味着x/∈ S、矛盾。现在，为了证明期望的结果，假设存在∈ E等于6=（0，y）∩ X代表任意y∈ （0，K）。那么，必须存在x∈ X\\S使得（X，∞) ∩ S 6=. Setw：=最大{（0，x）∩ S} z：=min{（x，∞) ∩ S} 。然后我们有w<x<z<K，其中最后的不等式来自S （0，K）∩ X已在上面建立。由于X是一个子鞅，f（X）=K- x个≥ 前任K- Xρ（X，{w，z}）1+βρ（X，{w，z}）= 前任（K）- Xρ（X，S））+1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。然而，这与x相矛盾/∈ S和S∈ E、引理5.1后面的一个自然问题是y的值∈ （0，K）集合S=（0，y）∩ Xis是一种平衡。要回答这个问题，我们需要仔细分析随机游动。具体地说，假设Y是某个概率空间上定义的随机游走（“”Ohm,\'F，P）使得P（Yt+1- Yt=1）=p和p（Yt+1- Yt=-1) = 1 - pt=0，1，2。。。考虑ξ：=inf{t≥ 0：Yt=0}和定义αn：=En1 + βξn∈ N和α′：=E1 + β(ξ + 1), （5.1）式中，Ende注意到P条件下Y=n的期望值。注意αn，n∈ N、 dα′都可以显式计算。例如，α=∞Xk=12公里- 1公里主键-1(1 - p） k2k级- 1·1+β（2k- 1), α′=∞Xk=12公里- 1公里主键-1(1 - p） k2k级- 1·1+2βk.（5.2）下一个结果为形式（0，y）的平衡建立了y的上界∩ 十、引理5.2。如果S=（0，y）∩ 对于某些y，X属于E∈ S∩（0，K），我们必须有y≤ U·K，其中U：=1-1.-p1+β- pα′1-1.-pu（1+β）- pα′。（5.3）证明。

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2022-6-1 03:40:16

鉴于S∈ E和y∈ S∩ （0，K），我们有K- y=f（y）≥ J（y，ρ（y，S））=Ey（K）- Xρ（y，S））+1+βρ（y，S）= （1）- p） ·K- 于-11+β+p·（K- y） α′（5.4），其中α′的定义如（5.1）所示。求解上述y不等式可得到所需的结果。下一个结果为形式（0，y）的平衡建立了y的下界∩ 十、引理5.3。如果S=（0，y）∩ 对于某些y，X渴望E∈ S∩ （0，K），我们必须有y>L·K，其中L：=1- αu- α. （5.5）证明。由于L<uby定义，y的期望结果微不足道≥ K/u。在下面，我们假设y<K/u.S，因为u>1，我们有y<yu<K，这特别意味着yu/∈ S、接下来就是thatK- yu=f（yu）<J（yu，ρ（yu，S））=Ey u（K）- Xρ（yu，S））+1+βρ（yu，S）, （5.6）其中不等式来自于yu/∈ S和S∈ E、注意ρ（yu，S）=inf{t≥ 1：Xy ut=y}，我们意识到上面右侧的期望可以减少为包含随机游动y的期望，即Ey u（K）- Xρ（yu，S））+1+βρ（yu，S）= 安永大学K- y1+βρ（yu，S）= EK- y1+βξ= α（K- y）。（5.7）组合（5.6）和（5.7）得到y>1-αu-αK，根据需要。我们打算证明，（5.3）和（5.5）中的上下界U和L实际上是尖锐的，这导致了E的完整特征。为此，我们需要以下估计。引理5.4。αn≥ （α） n，全部n∈ N、证明。设{FYt}t≥0是Y生成的自然过滤。对于任意n∈ N、考虑σ：=inf{k≥0：Yk=n- 1}. 那么我们有αn=En1 + βξ= 恩恩1 + βξFYσ≥ 恩恩1 + βσ·1 + β(ξ - σ）FYσ= 恩1+βσEn1 + β(ξ - σ）FYσ= αn-1En1 + βσ= αn-1· α.然后，从归纳论点中得出所需的结果。现在可以描述E的完整特征，进而给出最佳平衡的显式公式。提案5.1。S∈ E当且仅当S=（0，y）∩ X代表一些y∈ （L·K，U·K）∩ 十、其中（5.3）和（5.5）中给出了UAN和L。

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2022-6-1 03:40:19

因此，S*= （0，y*] ∩ X是最优平衡，y*:= 最小{（L·K，∞) ∩ 十} 。证据效率来自引理5.1、5.2和5.3。对于必要性，考虑S=（0，y）∩ X代表一些y∈ （英国LK）∩ 十、我们打算证实这一点∈ E、修复x∈ S、如果x<y，则从y开始≤ U·K<K，根据X是一个子鞅的事实，并使用可选采样定理，f（X）=K- x>ExK- Xρ（X，S）1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。另一方面，如果x=y，（5.4）中的相同参数给出了j（x，ρ（x，S））=（1- p） ·K- 于-11+β+p·（K- y） α′型≤ K- y=f（y），其中不等式是由y引起的≤ 因此，我们得出结论f（x）≥ J（x，ρ（x，S））对于所有x∈ S、现在，fix∈ X\\S.如果X≥ K、显而易见的lyf（x）=（K- x） +=0<Ex（K）- Xρ（X，S））+1+βρ（X，S）= J（x，ρ（x，S））。如果x<K，由于x>y，因此必须存在n∈ N以便yun-1<x=yun。由于y>L·K和U>1，y>L·K·1+α+（α）+…+（α） n个-1牛顿-1+un-2α+un-3(α)+ ... + （α） n个-1=1 - （α）修女- （α） nK。（5.8）回忆αnin（5.1），观察j（x，ρ（x，S））=ExK- y1+βρ（x，S）= （K）- y） αn≥ （K）- y）（α）n>K- yun=K- x=f（x），其中第一个不等式源自引理5.4，第二个不等式源自引理（5.8）。因此，我们得出结论，对于所有x，f（x）<J（x，ρ（x，S））/∈ S、这很容易表明∈ E、这个命题的第二个断言来自定理4.1或定理4.2。备注5.1（数值结果）。设β=0.2，u=1.3，p=0.5，K=1。

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能者818

2022-6-1 03:40:22

然后X={…，（1.3）-2, (1.3)-1, 1, 1.3, (1.3), ...}, L=0.5814，U=0.7737（乘以（5.5），（5.3）和（5.2））。自（L·K，R·K）∩ X=（0.5814，0.7737）∩ X={（1.3）-2, (1.3)-1} ，我们从命题5.1得出结论，E={（0，（1.3）-2] ∩ 十、（0，（1.3）-1] ∩ 十} ={（0，0.5917）∩ 十、（0，0.7692）∩ 十} ，和（0，0.5917）∩ X是最佳平衡。6结论对于离散时间中的时间不一致问题，当时间范围不确定时，第1节中提出的问题（a）和（b）是相反的。在本文中，我们重点研究了非指数贴现下的有限期停止问题，并开发了迭代方法来解决（a）和（b）。迭代方法的动机是Huang和NguyenHuu的连续时间框架【12】。然而，当前的离散时间设置导致了根本的差异。首先，当使用本pap er中的符号重新表述时，[12，命题3.2]指出∈NΘN（S）是一个平衡，只要S Θ（S）在第一次迭代中保持不变。当条件S Θ（S）在连续时间内很容易满足（如【12，备注3.5】中所述），但在一般不明确的时间内则不成立。对此，我们以相反的方式发展定点迭代：定理3.1表明∈NΘN（S）是一个平衡，只要N（S） S在第一次迭代中保持不变。这尤其导致了最优平衡的存在（定理4.1和d 4.2），这是一个在连续时间内尚未建立的结果。请注意，本文中的证明是关于时间结构的，不能明显地推广到连续时间。因此，作为一个未来的研究项目，有兴趣调查一个最优平衡点是否在连续时间内存在。参考文献[1]G.Ainslie，《皮经济学》，剑桥大学出版社，英国剑桥，1992年。[2] G。

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kedemingshi

2022-6-1 03:40:24

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