具有乘法价格的最优执行中的周期策略

2022-5-31 10:51:35

具有乘法价格影响的最优执行中的周期策略Daniel HERN'ANDEZ-HERN'ANDEZ*, HAROLD A.MORENO-FRANCO和JOS'E-LUIS P'EREZ+摘要。在这项工作中，我们研究了当代理人持有金融资产股票的初始头寸时，算法交易中具有乘性价格影响的最优执行问题。内部销售决策时间由泊松过程的到达时间建模。优化的标准在于最大化代理收益的预期净现值，并且证明了最优策略具有障碍形式，仅取决于剩余股份的数量和资产价格水平。1、简介在这项工作中，我们感兴趣的是为金融市场影响模型找到最佳执行策略的问题，其中交易可以产生永久影响。对这个问题的分析有实际和数学上的动机，甚至斯图也从不同的角度去世了。如今，使用算法交易来执行大额账面订单，对于执行头寸的最佳方式提出了重要问题，以减少对资产价格变动的负面影响，并获得待优化标准的更好性能。总的来说，最优策略的存在是无法保证的，它显然取决于市场模型的结构及其描述中涉及的参数。在任何市场影响模型中，描述订单执行算法的生成方式至关重要。尽管经典的连续时间模型具有分析可处理性，但遗憾的是，这些模型在实践中无法实现。另一方面，虽然具有离散执行决策时间的模型是理想的，但它们缺乏分析可处理性，需要数值方法来解决它们。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:51:39

最近，为了开发一个更现实、更具分析性的可伸缩模型，人们考虑了随机m离散执行时间。建议在各种经济条件下进行随机观测。例如，参见《宏观经济学文献》中关于“理性疏忽引起的注意”（参见[29]）的介绍中的讨论。对于具有随机干预时间的实物期权问题，参见[11，21]中给出的讨论，对于最优停止问题和百慕大lo-ok-back期权定价中的应用，参见[13，17]。关于这个* 可能性和统计部，墨西哥瓜纳华托自然资源调查中心，Calle Jalisco s/n.C.P.36240。电子邮件：dher@cimat.mx.俄罗斯莫斯科国立研究型大学高等经济学院，Shabolovkaya 31，G栋，C.P.115162。电子邮件：hmoreno@hse.ru.+墨西哥瓜纳华托，概率统计部，欧洲材料研究中心，Calle Jalisco s/n.C.P.36240。电子邮件：jluis。gar公司mendia@cimat.mx.2 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZregard，考虑泊松到达间隔模型的一个重要动机是其在估计到达时间常数方面的潜在应用。据了解，在m at血液金融文献中，随机化技术（参见，例如[12]）能够有效地近似具有Erlang分布模型的恒定成熟度问题。特别是，对于随机成熟度情况，经验表明，可以通过简单地用指数随机变量替换常数来获得精确的近似值[22]。在本文中，我们提出了一个随机时钟，附加到泊松过程的跳跃，用于执行决策将发生的时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 10:51:42

这是一种新的工具，从实现的角度来看可能代表优势，因为执行策略中包含的随机时钟提供的随机性为策略引入了额外的不可预测结构。该模型的实证验证可以从以下角度进行，与市场微观结构因素相关。众所周知，交易的动态和交易量与资产市场流动性的演变密切相关。每个投资组合的设计都是基于其他投资者买卖决策的顺序信息，而不是基于每个决策背后的人。这表明，执行大型账面订单的战略顺序交易是“基于事件的”，表现为从市场参与者的交易组成和存在中推断出的有关资产价值的新信息。因此，我们建议将到货过程与市场参数联系起来，如流动性、交易量、市场深度和订单流量。就目前而言，这一观点反映了一个事实，例如，在高频交易中，人们已经很好地理解了这一事实，即当我们使用周期（取决于收到的信息量）来操作算法交易策略时，时间具有不同的含义，而不是基于时间的度量。基准模型假设，要么交易可以是连续时间的，要么存在固定的时间间隔，在该时间间隔内，p o R T组合是平衡的。由于投资者不断获得有关交易环境的信息，这两种方法都没有实际的理由是可持续的，因为它们的分析具有可伸缩性。在本文提出的模型中，我们根据t市场主要因素的演变，允许处理新信息的随机时间间隔。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 10:51:44

这是一个很好的算法交易的例子，它不一定以高频率发生，但当泊松过程的参数被管理时，就有可能通过频繁的卖出来执行头寸。当然，它也有助于包含easynchronous事务，以尽可能隐藏所遵循的策略。在本说明中，我们假设代理人持有大量头寸，并且通常情况下，我们预计任何销售策略都会导致价格下降。在Guo和Zervos[18]的工作之后，当代理不活动时，采用的模型是一个带漂移的标准几何布朗运动。模型中的另一个重要因素与量化每个销售策略所获得收入的方式有关。在这方面，标准将计算为销售策略收益与相关交易成本之间差额的净现值。与本文提出的乘法影响模型相比，在Almgren和Chriss[4]、[5]和Almgren[3]的开创性论文中，假设执行策略是时间的绝对连续函数，具有累加的价格影响；Bertsimas和Lo【11】在考虑离散随机游走模型时也做出了重要贡献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:51:48

在我们的案例中，这些策略被描述为关于泊松过程路径的Lebegue-Stieltjes积分，称为周期策略，类似于在做出股息支付决策时保险模型中使用的术语；关于站姿，请参见[7、8、30、31]。最新对最优执行理论的贡献可在以下文献中找到：路德·胡伯曼（Uberman）和斯坦兹尔（Stanzl）[20]，他（He）和马梅斯基（Mamaysky）[19]，盖瑟拉尔（Gatheral），希德（Schied）和斯林科（Slynko）[16]，奥比扎瓦万（Obizhaevand Wang）[24]，阿尔姆格伦（Almgren）和洛伦茨（Lorenz）[6]，恩格尔（Engle）和弗斯滕贝里（Ferstenberg）[）[14]，希德（Schied）和施莱文（Schoneborn）[27]，阿方西（Alfonsi），弗劳思（Fruth）和希德（Schied）[1][2]，希德（Schied），希德（Schied，Schoneborn）和特兰奇（Tehranchi）[）[28]，Predoiu，Shaikhet，and Shreve[25]，和Lokka【23】。为了在周期性战略集合上找到最优策略，我们将分析限制在周期性壁垒战略集合上。这类障碍策略很容易实施，因为出售决策是根据股票价格是否高于某一固定水平f和剩余股票数量来进行的。然后，第一步是确定最佳屏障策略，最大限度地提高性能标准。这是通过求解与此问题相关的Hamilton-Jacobi-Bellm（HJB）方程来实现的，这使我们能够获得此剩余问题的值函数的显式形式。对值函数施加适当的光滑条件，我们得到了与最优策略相关的势垒Fγ的显式值。这种策略可以描述如下：如果股票价格在卖出时低于临界水平Fγ，那么最好不要卖出任何股票。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-31 10:51:51

然而，当随机时钟响起时，如果股票价格高于Fγ水平，则最好是出售所有可用股票，或平仓一小部分头寸，这将导致股票价格下降。使用验证引理证明，周期策略内的原始优化问题只能通过实施屏障策略来解决。论文的其余部分组织如下。在第二节中，我们回顾了具有乘性价格影响的股票价格的基本模型，并提供了性能标准，以及具有周期策略的最优执行问题的公式。在第三节中，我们得到了与周期势垒策略集上的值函数相关的HJB方程解的显式形式。提供了一个验证定理（定理3.5），在模型参数的适当条件下，给出了最优（或ε-最优）周期策略的一个明确形式。最后，我们将一些技术引理的证明推迟到附录中。2、市场影响模型在本节中，我们根据Guo和Z ervos[18]的论文描述了最优执行模型。让我们定义一个经过过滤的概率空间(Ohm, F、 Ft，P）满足通常条件，并带有标准（Ft）-布朗运动W和独立的Poi-sson过程Nγ。我们认为，an4 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZagent H o lding是金融资产y股的初始位置，必须使预期收益最大化。代理行可获得的信息附在融资融券中。交易策略用du ple（ξst，ξbt）表示，它分别代表截至时间t投资者已出售和购买的股份总数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 10:51:54

然后，代理在时间t所持有的股份总数由（2.1）Yt得出：=y- ξst+ξbt≥ 0，对于t≥ 0，其中，ξs，ξbare（Ft）-适应的递增c\'agl\'ad过程，如（2.2）ξs=ξb=0，Ee4λξbt+< ∞ 和限制→∞Yt=0。虽然（ξs，ξb）中没有反映，但存在代理人不能同时出售和购买股份的限制。满足上述条件的可容许策略集由Ξ（y）表示。代理人观察到的股票价格独立于其他市场参与者的行为，由几何布朗运动X建模，漂移（2.3）Xt=uXtdt+σXtdWt，X=X>0，其中σ∈ R和u>0是常数。假设代理正在实现一个策略（ξs，ξb）∈ Ξ（y）。因此，当代理人决定在t时选择或购买一定数量的资产股份时，我们假设价格会受到影响，被描述为一个乘性因素，即假设结果价格X的形式为（2.4）Xt=Xtexp{-λ（ξst- ξbt）}，对于一些描述对价格的永久影响的正常数λ，Xt是（2.3）的解。更具体地说，在【18】之后，受控过程动力学可以描述为以下随机微分方程的解dxt=uXtdt+σXtdWt- λ（Xtosdξst- Xt公司obdξbt），（2.5），其中xtosdξst=Xtd（ξs）ct+λXt（1- e-λξst）=Xtd（ξs）ct+XtZξste-λudu，Xtobdξbt=Xtd（ξb）ct+λXt（eλξbt-1） =Xtd（ξb）ct+XtZξbteλudu，（2.6）和过程（ξs）cand（ξb）分别关心ξ砂ξb的连续部分。这对（Xt，Yt）被称为与策略（ξs，ξb）相关联的状态过程。Guo和Zervos[18]提出的模型与本文提出的方法之间的主要区别之一在于提出了一个不同的框架来执行初始位置y。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 10:51:58

而郭和泽沃斯则认为≥ 0代理人应决定要出售或购买的股票数量，在本文中，我们假设出售或购买只能发生一些（通常是随机的）时间点，由具有乘性价格影响5过程（nγt：t≥ 0），速率γ>0。更准确地说，出售和购买策略是通过（2.7）ξst=ZtνssdNγsandξbt=ZtνbsdNγs给出的，其中νst、νbt是Ftadapted过程，分别代表ti met的旧股和股票数量。由于代理人不能同时出售和购买，以下条件成立νst=0，如果νbt>0，则νbt=0，如果νst>0，则νst=νbt=0，否则。在这种情况下，s Elling购买股票必须在离散的时间段内完成（不可能有连续的买卖），因为只有当过程Nγ发生跳跃时，才能做出买卖决定。买卖决策时间集表示为T={T，T，…}，和数量Tk- Tk公司-1，k≥ 0是相互销售购买决策时间，其以平均值1/γ呈指数分布。在每个决策时间Tjare出售和购买的股份数量，分别用νsTjandνbTj表示，带Θs，b={（νsT，νsT，…），（νbT，νbT，…）}代表买卖策略vi a（2.7）；策略子集（ξs，ξb）∈ 可表示为i n（2.7）的Ξ（y）由A（y）表示。对于这些策略（ξs，ξb）∈ A（y），（2.6）中定义的操作员可以写为文本osdξst=λXt（1- e-λνst）dNγt=XtZνste-λududNγt，Xtobdξbt=λXt（eλνbt-1） dNγt=XtZνbteλududNγt.（2.8）设Cs、Cbbe为正常数，分别表示与股票买卖相关的交易成本。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:02

然后，与每个策略相关的增益（ξs，ξb）∈ A（y）是给定的∞Xt公司osdξst- Xt公司obdξbt- Csdξst- Cbdξbt,代理人的目标是最大化收益的预期净现值（2.9）Jx，y（ξs，ξb）：=ExZ∞e-δtXt公司osdξst- Xt公司obdξbt- Csdξst- Cbdξbt,在集合A（y）上。参数δ>0是d贴现因子，我们假设δ>u是为了避免套利机会，如[18，命题3.4]所述。给定初始条件（x，y）∈ R+×R+，我们认为（ξs*, ξb*) ∈ A（y）是最优策略当且仅当ifJx，y（ξs，ξb）≤ Jx，y（ξs*, ξb*), 对于所有（ξs，ξb）∈ A（y）。6 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'Erezt此随机控制问题的值函数定义为（2.10）u（x，y）=sup（ξs，ξb）∈A（y）Jx，y（ξs，ξb）。2.1。模型的正则性。我们模型的一个显著特性是正则性[15]，这被理解为：首先，优化问题（2.10）具有非最优解，其次，当初始位置为正时，应该预计，最佳执行策略不会涉及在液化初始头寸所需的时间内做出购买决策。在本节的其余部分，我们将详细阐述第二个条件，而第一个条件将在下一节中讨论。考虑代理人仅出售股份的策略，即（ξs，ξb）形式的策略∈ A（y）使得ξb≡ 策略子集（ξs，0）∈ A（y）表示为（y），其元素仅由ξs表示，该问题的值函数u（x，y）由（2.11）u（x，y）：=sup（ξs，0）给出∈A（y）Jx，y（ξs，0）=supξs∈As（y）ExZ∞e-δt（Xtosdξs- Csdξst）.u（x，y）是线性的≤ u（x，y），sin ce As（y） A（y）；在下一个结果中，将建立这些值函数之间的等式。提案2.1。设u和u分别为（2.10）和（2.1）中给出的值函数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:07

然后，u=u。为了证明这一结果，我们需要使用一个技术工具，在下一个引理中加以描述，证明见附录。引理2.2。对于每个（ξs，ξb）∈ A（y），存在ξs∈ As（y）使得ξst- ξbt≤ξst≤ ξstfor allt≥ 命题证明2.1。回想一下，我们只需要显示不等式u（x，y）≤ u（x，y）。设（ξs，ξb）在A（y）中，并考虑策略ξs∈ 引理2.2中的As（y）。现在，我们考虑进程Xt=Xtexp{-λ（ξst- ξbt）}和XT=Xtexp{-λ′ξst}，满足以下条件，dXt=uXtdt+σXtdWt- λ（Xtosdξst- Xt公司obdξbt），dXt=uXtdt+σXtdWt- λXtosd？ξst，（2.12）分别具有乘性价格影响7的最优执行周期策略，其中Xtosdξst，XtobdξbtandXtosd？ξ凝视，如（2.8）所示。在e中应用部件集成-δ（t∧\'τm）Xt∧τm，其中τm：=inf{t>0：Xt>m}，Using（2.12），它紧随zt∧\'τme-δtXt公司osdξst- Xt公司obdξbt- Csdξst- Cbdξbt（2.13）=λx个- e-δ（t∧\'τm）Xt∧\'τme-λ（ξst∧ ？τm-ξbt∧ ？τm）-δ- uλZt∧\'τme-δsXse-λ（ξss-ξbs）ds-Zt公司∧\'τme-δs（Csdξss+Cbdξbs）+σλZt∧\'τme-δsXse-λ（ξss-ξbs）dWs≤λx个- e-δ（t∧\'τm）Xt∧\'τme-λ′ξst∧ ？τm-δ- uλZt∧\'τme-δsXse-λ′ξSSD-Zt公司∧\'τme-δsCsd？ξss+σλZt∧\'τme-δsXse-λ（ξss-ξbs）dWs=Zt∧\'τme-δs（Xsosd？ξss- Csd？ξss）+σλZt∧\'τme-δsXs（e-λ（ξss-ξbs）- e-λ′ξss）dWs，注意zt∧\'τme-δsXs（e-λ（ξss-ξbs）- e-λ′ξss）dbs是一个方形马丁酒，由假设[e4λξb（t∧ \'τm）+]<∞, 其期望值为零；详见[18，第293页]。第n，取（2.13）中的期望值，则为yieldsExZt公司∧\'τme-δtXt公司osdξst- Xt公司obdξbt- Csdξst- Cbdξbt≤ Ex公司Zt公司∧\'τme-δs（Xsosd？ξss- Csd（ξss）.然后，让t，m→ ∞ 利用支配收敛定理，我们得到了（2.14）Jx，y（ξs，ξb）≤ Jx，y（(R)ξs，0）≤ u（x，y）。由于上述不等式适用于每个（ξs，ξb）∈ A（y），我们得出结论u（x，y）≤ u（x，y），完成此结果的证明。3.

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:10

HJB方程与最优执行本文的其余部分致力于给出执行问题（2.11）的最优解，特别注意该策略的结构。大致上，我们寻求结构简单的最佳销售策略，从实践角度促进其适应性。这项工作的主要结果之一是建立了一个最优策略^ξs的存在性，该策略在状态空间中具有障碍形式。障碍策略是根据待出售股票的剩余数量和每个时期观察到的价格水平来描述的。这些值与一个标记进行比较，该标记从一开始就确定，并取决于一个非负常数F，以下称为周期载波。8 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZMore精确地表示，如果周期性障碍F>0，则在泊松过程nγ的第i个到达时间内要出售的股份数量由（3.1）νF（Ti）：=YTi给出∧λ（ln XTi- ln F）+，其中（XTi，YTi）是到达时间Tiand（ln XTi）时状态进程的位置- ln F）+：=最大值{0，（ln XTi- ln F）}。这类策略由ξs、F表示，这些策略的s et由Asb（y）定义，它显然是As（y）的子集。这组策略的对应值函数定义为（3.2）ub（x，y）=supξs，F∈Asb（y）Jx，y（ξs，F，0），Jx，yas在（2.9）中。为了将上述值函数Ub与（2.11）中定义的原始值函数u相关联，可以方便地对要遵循的方法进行简要描述。作为第一步，我们将使用动态编程技术解决问题（3.2）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:13

注意到周期策略由单个参数描述，关键点在于证明有一个参数Fγ，由（3.11）定义如下，对于该参数，存在与ub相关的HJBequation（3.4）的光滑解v；见提案3.2。第二步，使用参数Fγa周期策略ξs，可以使用表达式（3.1）构建Fγ。最后，使用与（3.3）中描述的初值函数u相关的HJB方程，在最后一步中，证明了该方程的解，并且ξs，Fγ在集合（y）内对u是最优的，得出结论ub=u；参见验证理论3.7。备注3.1。根据标准动态规划参数，值函数u和ub与HJB方程相关联，分别由（3.3）给出Lw（x，y）+最大值0≤l≤y{γG（x，y，l；w）}=0，对于所有x>0和y>0，w（x，y）=0，对于所有x>0和y=0，（3.4）Lv（x，y）+γGx、 y，y∧λln（x/Fγ）+; v= 0，对于所有x>0和y>0，v（x，y）=0，对于所有x>0和y=0，其中Fγ是一个正常数，稍后将确定。这里，运算符L和G由f（x，y）定义：=σxfxx（x，y）+uxfx（x，y）- δf（x，y），（3.5）G（x，y，l；f）：=f（x e-λl，y- l）- f（x，y）+λ（1- e-λl）x- Csl。（3.6）具有乘性价格影响的最优执行周期策略93.1。HJB方程（3.4）解v的构造和正则化。观察到，我们可以根据以下三种不同的情况简化HJB方程（3.4）：（i）当x<Fγ时，该限制对应于等待区域W，因为价格对于出售任何股票来说都是最优的，因此（3.4）的形式为（3.7）Lv（x，y）=0。（ii）当Fγ≤ x<Fγeλy，代理人采取中间位置出售y（x）：=λln（x/Fγ）资产。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-31 10:52:16

从e开始-λY（x）=Fγx，（3.4）可以写成γv（x，Y）+γv（Fγ，y- Y（x））+x- Fγλ- CsY（x）= 0，（3.8），其中lγv（x，y）：=σxvxx（x，y）+uxvx（x，y）- （δ+γ）v（x，y）。（iii）最终y，当x≥ Fγeλy，我们知道资产价格足够高，相应的决策是执行可用的整套资产，然后（3.4）被推到γv（x，y）+γλ（1- e-λy）x- Csy公司= 0。（3.9）我们获得了三个区域中每一个区域的显式解，如（3.10）所述。下面提出的解决方案形式中的一个重要问题是每个区域边界上的对称性，它源自于获得一般解决方案的显式形式。附录中给出了以下结果的证明。提案3.2。HJB方程（3.4）h作为解v，它延伸到C2,1（R+×R+），由（3.10）v（x，y）给出=0，如果y=0且x>0，（Fγ- Cs）（1- e-λny）xnλnFnγ，如果y>0且x<Fγ，则AγxFγmγ-（Fγ- Cs）e-λnyxnλnFnγ+γxλ（η+γ）-γCsln xλ（δ+γ）+Cγ，如果y>0且Fγ≤ x<Fγeλy，Aγ（1- e-λmγy）xmγFmγγ+γx（1- e-λy）λ（η+γ）-γCsyδ+γ，如果y>0和x≥ Fγeλy，10 D.HERN'ANDEZ，H.A.MORENO和J.L.P'errez，其中η：=δ- u，Fγ：=Csδ+γδ- mγδn+γbδ+γηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ,（3.11）Aγ：=Fγλ（δ+γ）δn-γuη+γ-Csλ（δ+γ）δn+γbδ+γ,（3.12）Cγ：=γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ）+γλ（δ+γ）bCsδ+γ+Csln Fγ- Fγ,（3.13）和b：=σ- u。常数n，mγ是σl的正解和负解- 基本法- δ=0，（3.14）σl- 基本法- （δ+γ）=0，（3.15）。备注3.3。δ>u的事实表明，对于所有σ，溶液n到（3.14）满足n>1∈ R、 3.2。HJB方程之间的等效性。本文的其余部分致力于验证（3.1）中给出的策略，以及（3.11）中定义的屏障Fγ，是策略集（y）的最优wi，以及（3.10）中给出的函数v满足HJB方程（3.3）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:20

为此，我们需要以下技术成果，其证明见附录x，以便以简洁的方式介绍其主要后果。引理3.4。设aγ定义为（3.16）aγ：=δ+γδ- mγδn+γbδ+γηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ,其中γ>0。然后，对于每个γ>0，1<aγ<nn- 1，且满足以下渐近极限aγ→ 1，当γ→ 0，aγ→nn型- 1，当γ→ ∞.提案3.5。设v如（3.10）所示。然后，对于每个（x，y）∈ R+×R+以下标识Holdsmax0≤l≤yG（x，y，l；v）=Gx、 y，y∧λln（x/Fγ）+; v,（3.17）和（3.6）中定义的G。具有乘性价格影响的最优执行周期策略11备注3.6。请注意，将命题3.2和3.5放在一起，可以立即得出v是HJB方程（3.3）的解。下一个结果用值函数u确定了HJB方程（3.10）的解，也提供了（y）集中的最优策略。定理3.7（验证定理）。考虑第2节中的周期最优执行问题公式和（3.10）定义的函数v。然后，v与周期随机控制问题的值函数u一致。特别是，u（x，y）=supξs∈As（y）Jx，y（ξs，0）=v（x，y）表示所有（x，y）∈ R+×R+。此外，确定策略ξs*t=Ztν*sdNγswith（3.18）ν*Ti=Y*Ti公司∧λln X*Ti公司- ln Fγ+,式中，Fγ如（3.11）所示，T={Ti}∞i=1是泊松过程Nγ的到达时间集，和（X*, Y*) i s与清算策略ξs相关的状态过程*. 那么，以下陈述适用于（i）如果u-σ≥ 0，th enξs*是一种最优的周期性清算策略。（ii）如果u-σ<0，则ξs*不是最优的定期清算策略。因此，如果我们定义（3.19）ξs*jt=ξs*t{t≤j} +y1{j<t}，对于t>0和j≥ 1，则{ξs*j}∞j=1是一系列ε-最优周期策略。证据

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:23

取（x，y）∈ R*+×R+初始条件ξs∈ 如（y）所述，由以下销售策略Θ={νT，νT，…}，w此处T={T，T，…}是销售时间的集合，和（τm）m∈由τm定义的st-o-pping时间序列：=inf{t>0：Xt>m}。利用它和过程X和Y的左连续性，我们可以看到-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）=v（x，y）+Zt∧τme-δsLv（Xs，Ys）ds+Mt∧τm+X0≤s≤t型∧τme-δs[v（Xs+，Ys+）- v（Xs，Ys）]、12 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZwhere Mt∧τm：=σZt∧τme-δsXswx（Xs，Ys）dWs。另一方面x0≤s≤t型∧τme-δs[v（Xs+，Ys+）- v（Xs，Ys）]=Zt∧τme-δsv（Xs-e-λνs，Ys-- νs）- v（Xs-, Ys公司-)dNγs=Zt∧τme-δsG（Xs-, Ys公司-, νs；v） dNγs-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs=Ht∧τm+Zt∧τmγe-δsG（Xs-, Ys公司-, νs；v） ds公司-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs，G为i n（3.17），Ht∧τm：=Zt∧τme-δsG（Xs-, Ys公司-, νs；v） deNγsandeN是补偿泊松过程。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:27

因此，将这些碎片放在一起，观察LV（Xs，Ys）+γg（Xs-, Ys公司-, νs；五）≤ Lv（Xs，Ys）+最大值0≤l≤y{γG（Xs-, Ys公司-, l；v） }=0，我们有-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）=v（x，y）+Mt∧τm+Ht∧τm（3.20）-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs+Zt∧τme-δs[Lv（Xs，Ys）+γG（Xs-, Ys公司-, νs；v） ]ds≤ v（x，y）+Mt∧τm+Ht∧τm-Zt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs。从（3.10）可以看出，存在一个正常数K，因此，（3.21）| v（x，y）|≤ K（1+x+y），对于所有（x，y）∈ R+×R+，因此，过程（Mt∧τm；t型≥ 0）和（Ht∧τm；t型≥ 0）是零平均P-m鞅。然后，在（3.20）中取期望值，我们得到v（x，y）≥ Ex公司e-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）（3.22）+ExZt公司∧τme-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs.现在，从过程Xtin（2.4）的表达，并回顾δ>u，我们得到了thatlimt，m-→∞Ex[e-δ（t∧τm）v（Xt∧τm，Yt∧τm）]≤ 极限，m-→∞Ex[e-δ（t∧τm）K（1+Xt∧τm+Yt∧τm）]（3.23）≤ 极限，m-→∞Ex[e-δ（t∧τm）K（1+Xt∧τm+y）]=0。具有乘性价格影响的最优执行周期策略13使用（2.1）我们注意到以下（3.24）Z∞νsdNγs=limt→∞ξst≤ y、然后，让m，t→ ∞ 在（3.22）中，利用（3.23）、（3.24）和单调收敛定理，我们得到了thatv（x，y）≥ Ex公司Z∞e-δsλ（1- e-λνs）Xs-- CsνsdNγs= Ex公司Z∞e-δs[Xsosdξss- Csdξss].取所有ξs的最大值∈ 作为（y），我们得出结论u（x，y）≤ v（x，y）。Let（X*, Y*) 与清算策略ξs相关的状态过程*, ξs给出*t=Ztν*sdNγs，带ν*如（3.18）所示。注意，ξsis可容许，只要limt→∞ξst=y。我们可以使用（2.4）轻松检查，如果且仅当u-σ≥ 自lim supt起0→∞Xt=∞. 以类似于asin（3.20）的方式进行，我们得到-δ（t∧？τm）v（X*t型∧\'τm，Y*t型∧τm）=v（x，y）+m*t型∧？τm+H*t型∧？τm（3.25）-Zt公司∧\'τme-δsλ（1- e-λνs）X*s-- CsνsdNγs+Zt∧\'τme-δs【Lv（X*s、 Y型*s） ds+γG（X*s-, Y*s-, ν*sv） ]ds，其中τm：=inf{t>0:X*t> m}。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:30

现在，从v的构造，我们知道它是（3.4）的解。因此，我们有那个ZT∧\'τme-δs【Lv（X*s、 Y型*s） ds+γG（X*s-, Y*s-, ν*sv） ]ds=0。因此，我们得到了-δ（t∧？τm）v（X*t型∧\'τm，Y*t型∧τm）=v（x，y）+m*t型∧？τm+H*t型∧？τm-Zt公司∧\'τme-δsλ（1- e-λν*s） X个*s-- Csν*sdNγs。然后，取上一个恒等式中的期望值，v（x，y）=Exe-δ（t∧？τm）v（X*t型∧τm，Y*t型∧？τm）+ Ex公司Zt公司∧\'τme-δsλ（1- e-λν*s） X个*s-- Csν*sdNγs.（3.26）现在，让m，t→ ∞ 在（3.26）中，使用（3.23）、（3.24）和Monot-one收敛定理，w egetv（x，y）≤ Ex公司Z∞e-δsλ（1- e-λνs*)十、*s-- Csν*sdNγs= Jx，y（ξs*, 0）≤ u（x，y），14 D.HERN'ANDEZ，H.A.MORENO和J.L.P'Erez，这意味着结果。对于u-σ<0，取（X*, Y*) 作为与策略ξs相关的状态过程*j依据（3.19）。我们可以检查ξs*jhas收益Jx，y（ξs*j、 0）=ExZje公司-δt[X*t型osdξs*t型- Csdξs*t]+λExhX*Иτjh1- e-λ（y-Y*ττj）ii，（3.27），其中ττj=inf{Ti>0：Ti>j}。此外，如果t=j，（X），我们发现（3.26）是令人满意的*, Y*) 替换为（X*, Y*), 和τm，其中停止时间τm=inf{t>0:X*t> m}。那么，lettingm→ ∞ 在（3.26）中，它紧随其后Zje公司-δt[X*t型osdξs*t型- Csdξs*t]= v（x，y）- 告密-δjv（X*j、 Y型*j） i.（3.28）现在，应用（3.28）in（3.2 7），Jx，y（ξs*j、 0）=v（x，y）- 告密-δjv（X*j、 Y型*j） i+λExhX*Иτjh1- e-λ（y-Y*Иτj）ii。因此，注意该表达式的右侧收敛到v（x，y）为j→ ∞ 允许{ξs*j}∞j=1是一系列ε-最优策略。备注3.8。注意，作为命题3.2和引理3.4的结果，我们得到了thatlimγ→∞Fγ=nCsn- 1： =F∞, limγ→∞Aγ=0，limγ→∞Cγ=F∞λn+λ（Csln F∞- F∞) .（3.11）–（3.13）分别给出了Fγ、Cγ和Aγ的召回时间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:34

因此，简单的置换yieldlimγ→∞v（x，y）=0，如果y=0且x>0，（1- e-λny）xnλnFn-1.∞, 如果y>0且x<F∞,F∞λn1.-x e-λyF∞n+x个- F∞λ-CsλlnxF∞, 如果y>0和F∞≤ x<F∞eλy，x（1- e-λy）λ- Csy，如果y>0和x≥ F∞eλy。这些不对称极限允许我们恢复Guo和Zervos在[15]的命题5.1中获得的最优执行问题的奇异策略情况下的值函数。附录。一些技术结果的证明引理2.2的证明。让我们取（ξs，ξb）∈ A（y）和Θs，b={（νsT，νsT，…），（νbT，νbT，…）}与（ξs，ξb）相关的销售-购买策略。让Ts T决策时间的子集，其中元素κi按以下方式给出：=inf{Tj∈ T：νsTj>0}，κi：=inf{Tj∈ T:Tj>κi-1和νsTj>0}，对于i∈ {2，3，…}。具有乘性价格影响的最优执行周期策略15从这里，我们可以看到νbTj=0<νsTj，如果Tj=κi，则νsTj=0≤ νbTj，ifκi-1<Tj<κi，对于i∈ {1，2，3，…}，k=0的w。设αi，jbe定义为αji：=jXι=iνsκι-∞Xk=1νbTk{κι-1<Tk≤κι}+, 带i，j∈ {1，2，…}而我≤ j、我们通过以下方式构造ν：（i）如果Tj/∈ Ts，则？νsTj=0。（ii）如果Tj=κ，那么，(R)νsκ：=α1,1。（iii）如果Tj=κ，(R)νsκ：=α、如果νsκ>0，α，如果νsκ=0。（iv）如果Tj=κ，(R)νsκ：=α、如果\'νsκ≥ 0和？νsκ>0，α，如果？νs>0和？νs=0，α，如果？νsκρ=0，对于ρ∈ {1, 2}.（v）递归地，如果Tj=κi，则i∈ {3，4，…}，νsκi：=αii，if？νsκi-1> 0和？νsκρ≥ ρ为0∈ {1，…，i- 2} ，αii-1，如果\'νsκi-1=0，(R)νsκi-2> 0和？νsκρ≥ ρ为0∈ {1，…，i- 3} ，。。。αii-（p-2），如果ρ的？νsκρ=0∈ {i- （p- 2），我- 1} ，νsκi-（p-1） >0和？νsκρ≥ ρ为0∈ {1，…，i- p} ，。。。αi，如果ρ的？νsρ=0∈ {2，…，i- 1} ，如果νsκρ=0，且ρ∈ {1。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-31 10:52:38

，我- 1} 。现在，我们采用销售策略“ξsas（A.1）”“ξst：=Zt”νssdNγs=∞Xj=1？νsTj{Tj≤t} ，对于t≥ 0，定义：=y-所有t的ξSt≥ 0。当0时，注意“ξst=ξst=0”≤ t<k。那么，Yt=y-ξst≥ 0和ξst- ξbt=-∞Xj=1νbTj{Tj≤t}≤ 0=\'ξst.16 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZLet us take t∈ [κ，κ）。如果νsκ>0，则意味着代理人出售的νsκ股份是h是y初始股份的一小部分（或全部）。否则，他只出售了∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ} 以及∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}- νsκ是为下一次代理商决定出售时积累的。那么，Yt=y- νsκ≥ 另一方面，ξst=νsκ≥νsκ-∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}+= νsκ=ξst，ξst- ξbt=νsκ-∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}-∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤t}≤ νκ=ξst。让我们取t∈ [κ，κ）。如果νsκ>0，以与上述情况相同的方式，我们让代理人出售νsκ股份，其为y的一小部分（或全部）- νsκ。否则，他只解决∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤κ} ，或∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}- νsκ。然后∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤κ}-νsκ，或，∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ}-（νsκ+νsκ）在代理决定s el l的下一次事件中累积。然后，Yt=y- （‘νsκ+’νsκ）≥ 另一方面，ξst=νsκ+νsκ≥ νsκ+？νsκ=？ξst，ξst- ξbt=νsκ-∞Xk=1νbTk{0<Tk≤κ} +νsκ-∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤κ}-∞Xk=1νbTk{κ<Tk≤t}≤ 递归地，我们可以看到如果κi-1.≤ t<κi，带i∈ {3，4，…}，那么，Yt=y-我-1Xι=1？νsκι≥ 0和ξst=i-1Xι=1νsκι≥我-1Xι=1？νsκι=？ξst，ξst- ξbt=i-1Xι=1νsκι-∞Xk=1νbTk{κι-1<Tk≤κι}-∞Xk=1νbTk{κi-1<Tk≤t}≤我-1Xι=1？νsκι=？ξst。因此，通过前面所看到的，我们得出？ξs∈ As（y）和ξst-ξbt≤ξst≤ ξ所有t的St≥ 0命题3.2的证明。（第（3.10）条的构造）。该结果的证明应分两部分给出。在第一部分中，通过Smo oth fit变元，构建了函数v，它是HJ B方程（3.4）的一个解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:42

第二部分证明了v在C2,1（R+×R+）中。设x<Fγ具有乘性价格影响的最优执行周期策略17，并考虑等式（3.7）。在这种情况下，唯一保持有界为x的解↓ 0由（A.2）v（x，y）=A（y）xn给出，其中n是（3.14）的正解。为了找到上述函数A（y）的形式，我们研究了解v（x，y）=A（y）x沿边界x=fγ的行为。现在我们寻找一个在边界x=Fγ处连续可微的解。在（3.8）等式的左侧h和侧面计算（A.2），并回顾Y（x）=λln（x/Fγ），我们得到γv（x，Y）+γv（Fγ，y- Y（x））+λ（1- e-λY（x））x- CsY（x）= -γA（y）xn+γA（y- Y（x））Fnγ+γ（x- Fγ）λ- γCsY（x）=：K（x，y）。通过对x进行微分，我们得到kx（x，y）=-γnA（y）xn-1.- γA′（y- Y（x））Fnγλx+γλ- γCsλx.（A.3）对于边界处连续可微的b e的解，我们在（A.3）中取x=Fγ，并注意到-γnA（y）Fn-1γ- γA′（y）FnγλFγ+γλ- γCsλFγ=0，其中等式如下，因为（3.8）适用于x=Fγ。上述方程等价于A，A′（y）Fnγ=-λnA（y）Fnγ+Fγ- Cs。该方程的解由a（y）=（Fγ）给出- Cs）λnFnγ（1- e-λny），这意味着当x<Fγ时，HJB方程（3.4）的解由（A.4）v（x，y）=（Fγ）给出- Cs）λnFnγ（1- e-λny）xn。现在我们寻找区域F内HJB方程的解≤ x<Fγeλy.Sincev（Fγ-, y- Y（x））=（Fγ- Cs）λn1.-xnFnγe-λny,式（3.8）由γv（x，y）+γ给出Fγ- Csλn1.-xnFnγe-λny+x个- Fγλ- CsY（x）= 0。（A.5）18 D.HERN\'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:45

P'EREZIn为了找到该方程的解，我们首先确定以下方程组，Lγv（x，y）+γ（Fγ- Cs）λn1.-xnFnγe-λny= 0，Lγv（x，y）+γ（十）- Fγ）λ- CsY（x）= 0。给出了上述方程的解，分别为byv（x，y）=-（Fγ- Cs）λnFnγe-λnyxn+γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ），v（x，y）=γλ（η+γ）x-γCsλ（δ+γ）lnx+C，η=δ- u和C：=γλ（δ+γ）bCsδ+γ+Csln Fγ- F. 因此，对于γ的大值，保持有界的（A.5）的解由v（x，y）=A（y）xmγ给出-（Fγ- Cs）λnFnγe-λnyxn+γλ（η+γ）x-γCsλ（δ+γ）lnx+γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ）+C，对于某些函数A:R+-→ R、回想一下，mγ是（3.15）的负解。自usatis FIES u（Fγ-, y） =u（Fγ+，y），我们得出结论，对于每个Fγ≤ x<Fγeλy，方程式（3.4）的解u，具有以下表达式v（x，y）=AγxFγmγ-（Fγ- Cs）λnFnγe-λnyxn（A.6）+γλ（η+γ）x-γCsλ（δ+γ）lnx+γ（Fγ- Cs）λn（δ+γ）+C，其中Aγ如（3.12）所示。最后，为了获得最佳势垒Fγ的值，寻找一个解v，使得vx在x=Fγ时是连续的。自vx（Fγ-, y） =vx（Fγ+，y），我们得到Fγ- Cs=Fγmγδ+γδn-γuη+γ-Csmγδ+γδn+γbδ+γ+γFγη+γ-γCsδ+γ。这意味着Fγ如（3.11）所示。现在，让我们找到区域x的一般解（3.4）≥ Fγeλy。我们得到（3.9）的特殊解由γλ（η+γ）x（1）给出- e-λy）-γδ+γCsy。然后，方程（3.9）的解（A.7）v（x，y）=A（y）xmγ+γλ（η+γ）x（1）给出，对于较大的γ值，方程（3.9）保持s有界- e-λy）-γδ+γCsy，对于so me函数A（y）：R+-→ R、最后，为了找到（A.7）中涉及的函数A（y）的表达式，我们要求v在x=Fγeλy处是连续的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:49

然后，因为v（Fγeλy-, y） =具有乘性价格影响的最优执行周期策略19v（Fγeλy+，y），检查A（y）=Aγ（1）并不困难- e-λmγy）Fmγγ。因此，对于每个x≥ Fγeλy，解u具有以下表达式（A.8）v（x，y）=Aγ（1- e-λmγy）xmγFmγγ+γ（1- e-λy）xλ（η+γ）-γCsyδ+γ。从（A.4），（A.6），（A.8）以及v（x，0）=0，我们得出结论，HJB方程（3.4）的解v由（3.10）给出。现在，我们将继续验证（3.10）中给出的v属于C2,1（R+×R+）。命题证明3.2。（平滑（3.10））。注意，通过构造，可以充分证明v在x=Fγ和x=Fγeλy时分别为C2,1a，因为v∈ C2,1（（R+×R+）\\A），其中：={（x，y）∈R+×R+：x=Fγ或y=Fγeλy}。在变量y处平滑。使用（3.10），很容易看到vy（Fγ-, y） =vy（Fγ+，y）。意味着vyis在x=Fγ时是连续的。计算（3.10）中的一阶导数，可以验证（A.9）vy（Fγeλy-, y） =Fγ- Cs，vy（Fγeλy+，y）=λmγAγ+γFγη+γ-γCsδ+γ。从（3.11）–（3.12）可以验证λmγAγ+γFγη+γ-γCsδ+γ- （Fγ- Cs）=0。（A.10）然后，通过（A.9）–（A.10），得出vy（Fγeλy-, y） =Fγ- Cs=vy（Fγeλy+，y）。因此，vyis在x=Fγeλy处连续。在变量x处平滑。我们将显示vxxis在R+×R+上连续。我们将首先验证Vx在x=Fγeλy时是连续的。从（3.10）开始，它遵循Vx（x，y）=Aγmγxmγ-1Fmγγ-（Fγ- Cs）e-λnyxn-1λFnγ+γλ（η+γ）-γCsλ（γ+δ）x，如果Fγ≤ x<Fγeλy，Aγmγ（1- e-λmγy）xmγ-1Fmγγ+γ（1- e-λy）λ（η+γ），如果x≥ Fγeλy.20 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:52

然后，使用（A.10），我们得到vx（Fγeλy+，y）=Aγmγ（1）- e-λmγy）eλy（mγ-1） Fγ+γ（1- e-λy）λ（η+γ）=Aγmγeλy（mγ-1） Fγ-e-λyλFγλAγmγ+γFγη+γ+γλ（η+γ）=Aγmγeλy（mγ-1） Fγ-（Fγ- Cs）e-λyλFγ+γλ（η+γ）-γCse-λyλFγ（γ+δ）=vx（Fγeλy-, y）。现在，我们利用vxxis是连续的onR+×R+，来证明vxxis是连续的onR+×R+。由于x=Fγ时vx是连续的，从（3.7）到（3.8），我们得到了vxx（Fγ-, y） =δv（Fγ，y）- uvx（Fγ，y）σFγ=vxx（Fγ+，y）。（A.11）如果x=Fγeλy，使用（3.8）和（3.9），则得出vxx（Fγeλy-, y） =σFγ（δ+γ）v（Fγ，y）（A.12）- uFγvx（Fγ，y）+γCsy公司-Fγλ（1- e-λy）= vxx（Fγeλy+，y）。因此（A.11）和（A.12），我们得出结论，vxxis连续onR+×R+。引理3.4的证明。首先，回顾一下mγ被定义为（3.15）的负溶液，并观察到mγ-→γ→0m，其中mis为负溶液t o（3.14）。出租γ→ 0 in（3.16），很容易看到γ-→γ→01另一方面，让γ→ ∞ 在（3.16）中，可以验证LIMγ→∞aγ=limγ→∞δmγ-δn+γbδ+γη（δ+γ）（η+γ）mγ-δn-γuη+γ=δ+nbδ- un.（A.13）由于n是（3.14）的正解，因此得出（A.14）δ+nb=σn，和δ- un=σn（n- 1）。具有乘性价格影响的最优执行中的周期性策略21因此，从（A.13）、（A.14）中，我们得出以下结论：→nn型- 1，如果γ→ ∞. 现在我们将证明1<aγ<nn- 1，对于所有γ>0。为了证明这一结果，我们首先注意到（A.14），（A.15）δn+γbδ+γ=γσn+2δ2n（δ+γ）>0，δn-γμη+γ=γσn（n- 1） +2Δη2n（η+γ）>0。另一方面，对于每个γ>0，δδ+γ-ηη+γ-γmγδ+γbδ+γ+uη+γ（A.16）=γu（δ+γ）（η+γ）-γmγ（δ+γ）（η+γ）σ+2u2（δ+γ）（η+γ）> 0，因为mγ<0，γ>0。（A.15），（A.16）表示0<ηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ<Δδ+γ-mγδ+γδn+γbδ+γ.（A.17）因此，使用（3.16），（A.17），1<Aγ。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-31 10:52:55

为了证明剩余的不等式，我们只需使用（3.16）就足以证明nη（n- 1）（η+γ）-Δδ+γ-mγδ+γδn- 1.-δn-γbδ+γ-γun（n- 1）（η+γ）> 0。（A.18）注意nη（n- 1）（η+γ）-Δδ+γ=γ（δ- nu）+Δu（n- 1）（δ+γ）（η+γ）>0，（A.19），自δ起- nu>0。同样使用（A.14）和η=δ这一事实- u我们得到δn- 1.-δn-γbδ+γ-γun（n- 1）（η+γ）（A.20）=δn（n- （1）-γb（n- 1）（η+γ）+γun（δ+γ）（n- 1）（δ+γ）（η+γ）=δ（δ+γ）（η+γ）- nγu（δ+γ）- γbn（n- 1）（η+γ）n（n- 1）（δ+γ）（η+γ）=δ（δ+γ）（η+γ）- δnγu+σnγu（n- （1）- Δγ（η+γ）n（n- 1）（δ+γ）（η+γ）=δη+σn（n- 1）（δ+γu）n（n- 1）（δ+γ）（η+γ）>0。因此，使用（A.19），（A.20），以及mγ<0这一事实，我们得到（A.18）成立，henceaγ<nn- 1.22 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'Erez命题证明3.5。为了证明（3.17）h olds，足以证明Gl（x，y，l；v）<0，对于x<Fγ，Gl（x，y，y（x））；v） =0和Gll（x，y，y（x））；v） <0，对于Fγ≤ x<Fγeλy，Gl（x，y，l；v）>0，对于x≥ Fγeλy，其中y（x）=λln（x/Fγ）。第一个区域的最大值。设x<Fγ。取（3.10）中的一阶导数，并在点（x e）处进行评估-λl，y- l），我们得到vx（x e-λl，y- l） =Fγ- CsλFnγ（e-λnl- e-λny）xn-1eλl，vy（x e-λl，y- l） =Fγ- CsFnγe-λnyxn。那么，Gl（x，y，l；v）=-λvx（x e-λl，y- l） x e-λl-vy（x e-λl，y- l） +e-λlx- Cs=-Fγ- CsFnγxne-λnl+e-λlx- Cs。注意，当且仅当（A.21）e-λlx- Cs（x e-λl）n<Fγ- CsFnγ。根据（A.21）左侧x的一阶导数，我们得到x个e-λlx- Cs（x e-λl）n=n- 1xn+1nCsn公司- 1eλl-x个eλl（n-1）。通过（3.11）和L emma 3.4，我们知道x<FγeλL<nCsn- 1eλl.Th en，x个e-λlx- Cs（x e-λl）n> 0，这意味着-λlx- Cs（x e-λl）nis相对于x不递减。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:52:59

是这样的-λlx- Cs（x e-λl）n<e-λlFγ- Cs（Fγe-λl）n，对于每个x<Fγ。显示That-λlFγ- Cs（Fγe-λl）n<Fγ- CsFnγ，我们得到（A.21），这相当于看到（A.22）（e-λl- e-λnl）aγ<1- e-λnl，因为Fγ=Csaγ。取l*:=ln nλ（n- 1），可以验证（e-λl*- e-λnl*)aγ=最大值{（e-λl- e-λnl）aγ}。具有乘性价格影响的最优执行周期策略- 1和（n+1）n<nn（n+1），n>1，我们得到（e-λl*- e-λnl*)aγ=（n-n-1.- n-nn型-1） aγ<1- n-nn型-1=1- e-λnl*.（A.23）这意味着（A.22）中的t h对于任何l>l都是满足的*. 现在，如果我≤ l*, 我们将继续证明这一陈述（A.22）。假设存在0 6=l≤ l*这样（e-λl- e-λnl）aγ=1- e-λnl，（A.24）（e-λl- e-λnl）aγ≥ 1.- e-λnl，对于每个l≤ l≤ l*.自（e）起-λl- e-λnl）aγ≤ （e）-λl- e-λnl）aγ≤ （e）-λl*- e-λnl*)aγ，我们有（e-λl*- e-λnl*)aγ≥ 1.- e-λnl*, 这与（a.23）相矛盾。如果l*< 土地满足（A.2 4），我们有1- e-λl*n<1- e-λln=（e-λl- e-λnl）aγ<（e-λl*- e-λnl*)aγ，与（a.23）相矛盾。因此，（A.22）适用于任何l，并得出（A.21）。我们认为，当x<Fγ时，在l=0时（3.17）右侧的最大值达到。第二个区域的最大值。设Fγ≤ x<Fγeλy。取v的一阶导数并计算（Fγ，y- Y（x））在它们中，它如下所示-λFγvx（Fγ，y- Y（x））=-δmγ（Fγ- Cs）n（δ+γ）+（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））-γFγη+γ1.-umγδ+γ+γCsδ+γ1+bmγδ+γ,-vy（Fγ，y- Y（x））=-（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））。然后，回顾Fγ=Csaγ，其中aγ在（3.16）中给出，我们得到thatGl（x，y，y（x）；v） =γCsηη+γ-mγδ+γδn-γuη+γ-Csδ+γδ- mγδn+bγδ+γ= 因此，l=Y（x）是G（x，Y，l；v）的临界点；回想一下，G的定义在（3.6）中给出。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:53:03

为了验证l=Y（x）是G（x，Y，l；v）的最大值，我们需要看到gll（x，Y，Y（x）；v） <0。首先，注意（A.25）λFγvx（Fγ，y- Y（x））=λAγmγ- λ（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））+λγFγη+γ-λγCsδ+γ。24 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'EREZNow，取v的二阶导数并计算（Fγ，y- Y（x））在它们中，它遵循（A.26）λFγvxx（Fγ，y- Y（x））=λAγmγ（mγ- （1）-λ（Fγ- Cs）（n- 1） e类-λn（y- Y（x））+λγCsδ+γ，2λFγvxy（Fγ，Y- Y（x））=2λn（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x）），vy（Fγ，Y- Y（x））=-λn（Fγ- Cs）e-λn（y- Y（x））。通过（A.25）–（A.26），我们得到了gll（x，y，y（x）；v） =λFγvxx（Fγ，y- Y（x））+2λFγvxy（Fγ，Y- Y（x））（A.27）+λFγvx（Fγ，Y- Y（x））+vy Y（Fγ，Y- Y（x））- λFγ=Csλmγδ+γδaγn-aγγuη+γ-δn-bγδ+γ-aγη（δ+γ）mγ（η+γ）.要知道上面的表达式是负数，我们只需要证明aγδn-γuη+γ-η（δ+γ）mγ（η+γ）-δn+bγδ+γ< 0，（A.28），相当于（A.29）Aγδn-uγη+γ-δn+bγδ+γ< 0，自-aγη（δ+γ）（η+γ）mγ<0。验证（A.30）δδn-uγη+γ<η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ,回顾一下（3.16）给出的γ，它得到（a.29）。我们将展示（A.30）。Ob服务于（A.31）δδn-uγη+γ,相对于γ>0和（A.32）不增加δδn-γuη+γ↑δn，当γ→ 0，δδn-γuη+γ↓ δδn- u, 当γ→ ∞.如果b>0，即σ>u，则（A.33）η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ,具有乘性价格影响的最优执行中的周期策略25相对于γ>0和（A.34）是非递减的η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↓δn，当γ→ 0，η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↑ ηδn+b, 当γ→ ∞,从这里到（A.32），它紧跟在（A.30）之后，因此（A.27）是负数。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-31 10:53:06

如果b≤ 0，即σ≤ u，可以验证（A.33）相对于γ>0和（A.35）是不增加的η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↑δn，当γ→ 0，η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ↓ ηδn+b, 当γ→ ∞.将函数h（γ）定义为（A.36）h（γ）：=δδn-uγη+γ-η（δ+γ）η+γδn+bγδ+γ,我们可以看到（A.37）h（γ）→ 0，当γ→ 0，h（γ）→ δδn- u- ηδn+b, 当γ→ ∞,自（A.32），（A.35）起保持。为了证明（A.30），证明h（γ）是非递增的且（A.38）δ是足够的δn- u- ηδn+b< 0。由于n是（3.14）的正溶液，且大于1，因此（A.39）Δu=n+σ2un（n- 1） >n，这产生nu<δ。然后，将其应用于（A.39），我们得到（A.40）Δun=u+σu（n- 1） <σδ- uσ- u,这意味着（A.38）。现在，取（A.36）中的一阶导数，我们可以看到（A.41）h′（γ）=η（η+γ）-Δu+Δun- bη.使用（A.40），可以显示-Δu+Δun- bη<0。这意味着h（γ）是一个负的非递增函数。因此，（A.29）是真的，我们知道（A.27）是负数。Thu s（3.17）右侧的最大值在l=Y（x）时达到，当Fγ≤ x<Fγeλy.26 D.HERN'ANDEZ、H.A.MORENO和J.L.P'Erezmax在第三区。让x≥ Fγeλy.取v的一阶导数并计算（x e-λl，y- l）在他们身上，是这样的-λvx（x e-λl，y- l） x e-λl=-λmγAγxmγ（e-λmγl- e-λmγy）Fmγγ-γx（e-λl- e-λy）η+γ，-vy（x e-λl，y- l） =-λmγAγ（x e-λy）mγFmγγ-γx e-λyη+γ+γCsδ+γ。那么，Gl（x，y，l；v）=-λvx（x e-λl，y- l） x e-λl-vy（x e-λl，y- l） +e-λlx- Cs=-λmγAγ（x e-λl）mγFmγγ+ηx e-λlη+γ-δCsδ+γ。看到上面的表达式是正的，等于表示ηx e-λlη+γ-mγλAγ（x e-λl）mγFmγ>δCsδ+γ。（A.42）观察（3.12）和（A.29），可以验证γ<0。那么，可以得出ηx e-λlη+γ≥ηFγeλ（y-l） η+γ，-mγλAγ（x e-λl）mγFmγγ≥ -mγλAγeλmγ（y-l），自x起≥ Fγeλyand mγ<0。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝