投资还是退出？面对利润下降的最佳决策

2022-6-11 08:51:29

相反，他们*DOI 10.1287/opre。1090.0740+伊利诺伊州香槟市伊洛瓦大学工商管理系，邮编61820。dhkwon@illinois.educontinued增强现有14英寸驱动器的记录容量，以吸引高端主机市场（Christensen 2000，第19页）。最终，所有14英寸驱动器制造商（垂直整合的制造商除外）都被迫退出了磁盘驱动器市场。由于引进成功的新技术而产生的这种全行业破坏模式是司空见惯的，而不是孤立的事件；因此，它值得认真关注。甚至8英寸驱动器最终也被5.25英寸驱动器所取代。目前，计算机磁盘驱动器行业正在进行另一种架构转换，即从硬盘驱动器到闪存固态磁盘（用于U盘驱动器）。本文重点讨论了面临利润下降的企业的艰难投资和退出决策。随着颠覆性技术创新的冲击，例如磁盘驱动器行业，由于需求和/或价格下降，采用现有技术的公司面临着不断恶化的利润流。面对已经侵蚀的利润流，企业最好停止运营，避免经常性亏损。另一方面，如果侵蚀没有太大，那么企业对项目进行额外投资是最理想的。紧迫的问题是何时投资，何时退出。当当前的利润率为负时，应该退出；然而，收益率的负值并不是诱导退出的充分条件，因为必须考虑在未来某个时候停止运营的选择。

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nandehutu2022

2022-6-11 08:51:32

同样，在理想的投资机会消失之前，企业必须及时对其运营进行投资。然而，在高度动荡的环境中，例如在磁盘驱动器行业，由于未来需求的不确定性，很难计算投资或退出的最佳时间。在获得最优策略后，我们将研究不确定性的增加如何影响最优策略。鉴于需求下降，投资于当前运营似乎违反直觉。然而，以计算机硬盘驱动器行业为例，14英寸硬盘驱动器的制造商继续投资，尽管他们面临着不断恶化的利润流，并且最终从行业中被淘汰。Christensen（2000）在机械挖掘机行业和钢厂行业也找到了这样的例子。Rosenberg（1976）还指出，在从木制帆船过渡到铁壳蒸汽船以及从蒸汽机过渡到柴油机的过程中，对过时技术的重大投资，仅举其中两个例子。我们模型的两个显著特征是退出的可能性和随机流的下降。特别是，公司可以在任何时间点退出，我们将公司的不确定利润流建模为布朗运动XT，其中漂移u和波动率σ，其中u和σ都是公司已知的与时间无关的常数。当然，漂移u是收益率的平均变化率，波动率σ衡量潜在的不确定性。我们特别关注u为阴性的酪蛋白。通过这种表示，企业的累积利润是布朗运动的时间积分。

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2022-6-11 08:51:35

企业的投资和退出决策是布朗运动的停止时间；我们利用著名的随机分析机制（Alvarez 2001a、B orodin和Salminen 2002、Harrison 1985、Oksendal 2003、Peskir和Shiryaev 2006）证明了最优策略的存在性，并找到了最优停止时间。以秒为单位。3、我们给出了不可能投资的基本模型。在每个时间点，公司必须决定是继续运营还是不可撤销地退出项目。公司通过选择退出的最佳时间τ来寻求最大化其预期贴现累积利润，其中τ是布朗运动的停止时间。利用Alvarez（2001a）获得的结果，我们证明了最优策略是一个阈值规则：在收益率XT低于临界阈值ξ之前，继续运营是最优的，此时退出是最优的。ξ的闭式表达式是u和σ的递减函数，表明ξ为负。以秒为单位。4、我们扩展了基本模型，将一次性投资机会包括在改进现有技术上：在每个时间点，公司可以（1）继续运营，（2）停止并不可撤销地退出项目，或（3）投资运营。该投资增加了当前利润率和已知数量的利润流漂移。鉴于投资机会，该公司的政策规定了三次止损时间。公司必须指定何时退出以及何时在投资选项仍然可用的情况下进行投资。如果企业已经进行了投资，那么企业必须决定何时退出。每个停止时间都有一个阈值。如果尚未进行投资，则当收益率低于临界值ξE时，退出是最佳选择，如果收益率高于第二个临界值ξI，则投资是最佳选择。

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2022-6-11 08:51:38

当当前利润率介于ξe和ξI之间时，最好保持现状：继续经营但不投资。因为只有一个投资机会，投资后，企业的决策问题减少到基本模型的决策问题，尽管存在不同的裂痕：投资后，当当前利润率下降到第三个阈值ξ以下时，企业退出。在找到最优策略后，我们对u和σ的阈值ξi和ξe进行了比较静态分析。虽然从直觉上看，最优策略的特征是阈值，但比较静态分析从直觉上看既不明显，也不直接。为了获得ξi和ξE，我们首先需要解决一个最优停止时间问题，其回报取决于投资回报。复杂的是，投资回报反过来取决于u和σ，因为该公司将在最终退出之前继续运营。尽管如此，我们仍然能够使用幂级数展开法进行比较静力学分析，而无需诉诸数值分析。我们必须谨慎地将实物期权理论的直觉应用于投资门槛（ξI）的比较静态。例如，考虑投资回报与σ无关的实物期权模型；实物期权理论表明，在某些温和的条件下，如果基础资产的波动性增加，在进行不可撤销的投资之前等待更长的时间是最好的（Dixit 1992，Alvarez 2003）。等待和观察资产价值的演变使投资者能够避免低迷风险并利用上升潜力。根据这一直觉，我们预计ξii在σ中增加，因为利润流的上升潜力在σ中增加。

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2022-6-11 08:51:41

事实上，如果投资收益率的提升幅度足够小，那么ξii会在σa中增加。令人惊讶的是，如果升压足够大，则ξiσ增加；这种新颖的ξi比较静力学的结果是，由于嵌入退出期权，投资回报率σ增加，因此，σ越高，投资期权越有吸引力。永远存在的退出期权是我们的模型区别于传统实物期权模型的显著特征。在操作背景下，我们新颖的比较静力学结果为避免盲目遵循实物期权理论中的直觉提供了警告。例如，Bollen（1999）指出，如果忽略产品生命周期（demanddynamics），那么传统的实物期权技术往往会低估产能收缩，而高估产能扩张。本文的组织结构如下。我们回顾了Sec的相关文献。2，我们给出了我们的基本模型和关于基本模型的一些结果。3、对基本模型进行了扩展，将证券交易委员会的一个投资机会包括在内。4，并对Sec中最优策略的比较静态进行了研究。4.3.论文摘要见第。5.2相关文献有大量关于技术和工艺采用的文献。（例如，有关areview，请参见Bridges et al.1991。）Barzel（1968）在一篇将技术采用列为投资问题的早期论文中，使用净现值法，在未来利润流确定的情况下，获得一次性投资采用技术的最佳时机。

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2022-6-11 08:51:44

在流程改进的背景下，Porteus（1985）使用EOQ模型研究了降低安装成本的投资成本与降低安装成本带来的收益之间的经济权衡：最佳政策是仅在销售率高于阈值时进行投资。Porteus（1986）通过研究一个模型扩展了这项工作，在该模型中，较低的安装成本可以提高质量控制（较低的缺陷率）。本文的目标是在不确定性条件下获得最优的投资和退出政策。许多论文将技术采用建模为停止时间问题。（有关文献调查，请参见Hoppe 2002。）例如，Balcer和Lippman（1984）研究了在允许多次采用的情况下，采用当前最佳技术的最佳时间。在他们的模型中，未来创新的时机和价值是不确定的，尽管目前可用技术的可行性是已知的。他们表明，如果技术滞后超过一个取决于多维状态的阈值，即自上次创新以来所用的时间和技术进步的速度，则采用当前可用的最佳技术是最佳的。还有大量关于投资和退出的贝叶斯模型的文献；见Jensen（1982）、McCardle（1985）、Ryan和Lippman（2003）以及Ryan和Lippman（2005）。本文的一个重要贡献是关于不确定性对投资和退出决策影响的结果。Dixit（1992年，第108页）指出，随着不确定性的增加，如果（1）投资是不可逆转的，（2）投资的不确定性正在逐步得到及时解决，以及（3）投资可以灵活地推迟，那么在投资之前等待的时间最好更长。

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2022-6-11 08:51:47

在这种情况下，McDonald和Siegel（1986）研究了价值和价格随几何布朗运动变化的资产的投资。他们发现，最优政策是关于资产价值与价格比率的阈值规则。此外，投资阈值在波动性中增加：随着不确定性的增加，最优Topostone投资的时间越长。许多论文使用实物期权方法讨论了不确定性对技术采用的影响。本质上，他们证实了关于等待价值的传统直觉。Farzin等人（1998年）研究了当未来改进的价值和到达时间不确定时，不可逆转地切换到新技术的最佳时间。在他们的模型中，当前可用技术价值的提高遵循复合泊松过程。它们允许对技术进行多项投资；同样，最优策略是阈值规则。特别是，他们发现实物期权法的采用速度比次优净现值法慢。Alvarez和Stenbacka（2001）也使用实物期权方法研究采用技术的最佳时间，以及采用后的改进机会。一旦企业采用了这项技术，它就会获得随时间随机变化的收入流：在指数时间内，企业可以获得改进的技术。他们表明，增加的市场不确定性（波动性）增加了采用初始技术的实物期权价值。当利润流是随机的时，实物期权方法也被应用于双寡头博弈中的退出决策。Fine和Li（1986）在他们的离散时间双寡头博弈中发现了停止时间的纳什均衡，即退出随机需求下降的市场。

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2022-6-11 08:51:50

Murto（2004）研究了需求下降遵循几何布朗运动的行业中类似的双寡头退出博弈；他得到了马尔可夫完全平衡。虽然这两篇论文分析了一个双寡头模型，但它们也考虑了一个垄断者的退出问题，这与我们的基本模型相似。然而，他们的重点是战略互动，而不是不确定性。一般实物期权模型的数学特性在随机控制理论文献中得到了广泛的研究。特别是，许多实物期权模型可以表示为最优停止问题。最优停止时间问题的解决方法包括通过求解微分方程和应用验证定理来找到一个条件解，该定理包括光滑粘贴条件（最优返回函数是连续可微的）；例如，见Dayanik和Karatzas（2003），Oksendal（2003）第10章，Peskir和Shiryaev（2006）第四章。Alvarez（2001a）考虑了一类最优停止问题，该问题具有一个线性扩散过程的函数，即失效率和补救值。他找到了最优返回函数的表示，最优解的一组必要条件，以及必要条件充分的条件。Alvarez（2003）研究了经济决策问题中经常出现的一类最优停止问题，并找到了关于波动性的一般比较静态。特别是，他描述了一组条件，在这些条件下，价值函数和最优连续区域的波动性增加。停止时间问题的解决方法已被应用于研究金融期权的数学性质（例如，参见Guo 2001和Ekstrom 2004）以及各种实物期权模型。

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2022-6-11 08:51:53

例如，Wang（2005）研究了一个最优停止时间问题，其中决策者是一系列项目。对于每个项目，都有一个强制退出事件，此时决策者被迫停止项目。强制退出是一个泊松过程，决策变量是进入时间的顺序。如果进入成本足够大，则强制退出的存在会扩大延续区域。停止时间框架也可用于研究不完全信息下的实物期权问题。Decamps等人（2005年）研究了真实潜在价值（布朗运动漂移）未知的噪声集的最佳投资时机。基于布朗运动的观测值，对漂移值的信息进行贝叶斯更新。在他们的模型中，投资回报率是布朗运动本身的函数，而不是其漂移，因此最优政策是路径依赖的。最后，还有实物期权模型，其中每个时间点的生产率是除了停止时间之外的另一个控制变量。这些问题由随机控制理论的Hamilton-Jacobi-Bellman公式处理；例如，见Knudsen等人（1998）、Duckworth和Zervos（2000）、Alvarez（2001b）和Kumar和Muthuraman（2004）。除了利润流的不确定性之外，我们的模型还有另一个复杂但显著的特点：投资后可能退出。在包含这一特征的论文中，McDonald和Siegel（1985）使用期权定价技术研究了面临随机价格的生产企业的估值。在他们的模型中，产品价格是一个几何布朗运动，工厂可以在任何时间点无成本关闭并重新开放工厂。相反，Dixit（1989）考虑了进入和退出的固定成本。

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2022-6-11 08:51:56

在他的模型中，企业可以根据自己的意愿多次进入和退出该行业，而利润流是一个几何布朗运动。他指出，如果收益率高于上限，最好进行投资，如果收益率低于下限，最好退出。他进行了一次数字比较静态分析，发现波动性的上限（下限）增加（减少）。在他的模型中，投资（进入）决策只能由非活跃企业执行；当然，退出决策只能由活跃的公司来执行。我们的论文以一种完全不同的模式研究投资和退出决策：企业在活跃于行业的同时，有一次机会投资于其运营，并且可以在任何时候退出。此外，我们的比较静力学结果具有分析性。在有关技术采用和退出的文献中，当企业面临利润流下降时，投资方面的工作很少。据我们所知，本论文是第一篇研究不确定性对正在进行的项目投资的影响的论文，该项目在投资前后都有退出选项。3基本模型考虑使用老化技术或工艺生产产品的制造企业。由于过时，其利润流正在下降（可能是因为采用新技术生产的替代产品正在侵占市场）。在任何时候，公司都可以通过永久关闭其生产工厂来停止项目。公司为了在有限的期限内最大化其利润流的预期贴现价值，必须确定停止运营和退出市场的最佳时间。公司在时间t的利润率是一个随机变量，其中{Xt:t≥0}是一个具有连续样本路径的随机过程，我们将很快指定其运动定律。

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2022-6-11 08:51:59

我们引用{Xt:0≤t型≤ τ} 作为公司的利润流，其中停止时间τ≤ ∞ 是退出的时间。我们将公司的利润流建模为具有常数漂移u和波动率σ的布朗运动。具体来说，让Xt表示时间t的pro fit，其中Xt=X+νt+σBt{Bt:t≥ 0}是一个一维标准布朗运动，因此利润流具有常数漂移ν和常数波动σ。我们特别关注ν<0的情况，因为我们的主要关注点是建模下降的利润流。如果企业在时间0开始运营，在停止时间τ退出，则其利润流的贴现值为τe-αtXtdt，其中α是严格正贴现率。（更准确地说，{Xt:t≥ 0}是适应概率空间过滤{Ft}的一维布朗运动(Ohm,F，P）。随机变量τ是T的一个元素，T是关于过滤{Ft}的所有非负停止时间的集合。）举例来说，假设企业产品的单位时间需求dt是一个漂移ν/p的布朗运动，其中p是单位销售价格，c是单位时间的固定运营成本。那么需求和利润流之间的关系是线性的：Xt=pDt-c（1）接下来，我们回顾了基本模型的解和最优解的一些特征。我们下面的结果可以从Alvarez（2001a）和Alvarez（2003）更一般的结果中得出。在我们的基本模式中，在每个时间点，公司必须选择继续运营或不可撤销地退出。该公司寻求最大化x[ZτXte]的停止时间τ-αtdt]，（2）其中Ex[·]≡ E[·| X=X]，以X=X为条件的预期。初始收益率X可以是任何实数。该公司从继续经营中获得累计折扣利润，并在退出后获得零奖励。因此，如果公司在τ=0时退出，则其收到的利润为零。

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kedemingshi

2022-6-11 08:52:02

为了方便起见，我们利用X的强马尔可夫性和ExR∞|Xt | e-αtdt<∞ （Alvarez 2001a，第318页）：Ex[ZτXte-αtdt]=Ex[Z∞Xte公司-αtdt-Z∞τXte-αtdt]=Ex[Z∞Xte公司-αtdt]-Ex[Exτ[Z]∞Xte公司-αtdt]]=α-1（x+ν/α）-α-1Ex[e-ατ（Xτ+ν/α）]，（3）符合标准停车时间问题，退出时有奖励。这里我们使用了identityEx[Z∞Xte公司-αtdt]=α-1（x+ν/α），可使用格林函数法推导（Alvarez 2001a，第319页）。如果退出策略是平稳的，那么我们可以将停止时间表示为τD，其中τD表示来自可测量集D的过程x的初始时间 R： τD≡ inf{t>0：Xt6∈ D} 。换言之，由停止时间τDis表示的策略将继续操作，只要Xt∈ D当Xt6时停止∈ D、集合D称为连续区域。等式（2）orEq中的目标函数。（3）除了通过过程XT和贴现因子e之外，没有时间依赖性-αt；因此，我们可以直接证明（或使用Oksendal 2003的论点，第220页）最优政策（如果存在的话）是静态的。在本节中，我们设置V（x；ν）≡ supτEx[RτXte-αtdt]。如果V（x；ν）=Ex[RτDXte-αtdt]，则D是最优连续区域，存在最优策略。命题1等式（2）中退出问题的最优策略存在，最优回报由v（x；ν）给出=x/α+ν/α+σ/αν+√ν+2ασexp[-ν-√ν+2ασσ（x-ξ（ν））]如果x>ξ（ν），否则为0，（4）其中ξ（ν）是由ξ（ν）=-να-σν +√ν+ 2ασ=σν -√ν+ 2ασ. （5）此外，最佳连续区域为（ξ（ν），∞).证明：证明直接来自Alvarez（2001a）的命题2。在Alvarez（2001a）使用的术语中，递减的基本解是eφx，其中φ在下面的等式（6）中定义，函数是x，退出的回报是零。

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2022-6-11 08:52:05

从E[R]∞Xte公司-αtdt]=x/α+ν/α，它是向前延伸的，表明最佳阈值是argmaxx[-（x/α+ν/α）/eφx]=ξ（ν），并验证Alvarez（2001a）命题2给出的最优回报函数减少到等式（4）。解决停车时间问题（如等式（3）中的停车时间问题）最常用的方法是提出一个条件函数V（·；ν），它是候选策略的返回函数，并验证候选函数V（·；ν）满足Oksendal（2003）定理10.4.1给出的多个条件。其中一个条件是V（·；ν）应满足二阶常微分方程（ODE）：(-α +νx+σx） V（·；ν）=-x、那么V（·；ν）是项（x/α+ν/α）和函数f（x）的总和，函数f（x）代表ODE(-α + νx+σx） f（x）=0。通解f（x）是eψx和eφx的线性组合，其中ψ（ν）=(-ν+pν+2ασ）/σ和φ（ν）=(-ν -pν+2ασ）/σ。（6）（我们感谢一位匿名裁判为我们指出了阿尔瓦雷斯（2001a）的命题2：我们的退出问题方程式（3）是阿尔瓦雷斯（2001a）命题2的特例，并接受了上述更短的证明。）有趣的是，存在最优策略，并得到了闭式解V（·；ν）。命题1指出，最优政策是当收益率低于阈值ξ（ν）时退出。直觉上很清楚，如果利润率下降到某个阈值以下，该公司将退出，但阈值为负值的事实并不明显。ξ（ν）<0的原因是，在采取不可撤销的行动之前等待是有价值的：即使ν<0且当前收益率略为负值，未来收益率也有可能变为正值。如果利润流是确定性的且单调递减的，那么当利润率为零时退出将是最佳选择。

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nandehutu2022

2022-6-11 08:52:08

这种关于等待值的直觉与ξ（ν）增加到0作为σ的事实是一致的→ 0，当ν<0时，根据公式（5）得出。现在我们有了V（·；·）和ξ（·）关于所有模型参数的闭式解，它们的比较静力学简单如下。命题2对于任何ν<0，（i）ψ（ν）σ和ν减小，α增大；φ（ν）σ增加，ν和α减少。（ii）退出阈值ξ（ν）在σ和ν中减小，在α中增大。（iii）当x>ξ（ν）时，最佳回报V（x；ν）增加σ和ν。（证明见本文电子版。）Alvarez（2003）在更一般的停止时间问题中表明了ξ（ν）在σ中减少的事实。V（·；ν）相对于σ的比较静力学也来自于Alvarez（2003）定理5所获得的更一般的稳定时间问题特征：随着σ的增加，气流中的噪声更多，因此有更大的上升潜力和更大的下降风险。然而，该公司可以利用上升潜力，同时通过退出来避免下滑风险。因此，返回函数σ增加。类似地，由于ν的增加改善了pro-fit流Xt，每个连续区域D的返回函数也会增加，因此V（·；ν）在ν中增加。在下一节中，我们将考虑一次性投资机会。该公司最初以漂移u<0开始，投资增加了b的收益率和δ的漂移≥ 由于只有一个投资机会，投资后问题简化为漂移ν=u+δ的基本模型。为方便起见，我们定义了（·）≡V（·；u）作为带漂移u，γp的出口问题的最优返回≡ ψ(u) = (-u+pu+2ασ）/σ和γn≡ φ(u) = (-u -pu+2ασ）/σ，（7）和ξ≡ ξ（u）作为漂移u的最佳退出阈值。

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2022-6-11 08:52:10

同样，我们定义了neV+（·）≡V（·；u+δ）作为带增强漂移u+δ和λ的出口问题的最优返回≡ φ(u + δ) =[-(u + δ) -q（u+δ）+2ασ]/σ，（8）ξ≡ ξ(u + δ) = -u+Δα+λ，其中ξ是投资后最佳退出阈值。由于命题2中获得的比较静力学适用于任何负漂移，只要u<0且u+δ<0，它就适用于V（·）、ξ、V+（·）、ξ、γp、γn和λ。在下一节中，max{V+（x+b）-k、 0}起到投资回报函数的作用，其中k是投资成本。根据命题2，投资回报增加了波动性，这是我们模型的一个显著特征。4具有一次投资机会的模型考虑了一生一次投资的可能性。例如，14英寸磁盘驱动器的制造商可以改进14英寸驱动器的性能（记录容量），以立即提高高端主机市场的需求（Christensen 2000，第19页）。当然，当u<0时，最终退出是不可避免的。为了便于分析，我们的模型只允许一个投资机会。正如Fine和Porteus（1989）所建议的，在实践中，公司可能有多种机会逐步改进技术/流程。多重投资机会的影响超出了本文的范围。4.1模型我们现在提供了实施创新的一次性机会，以提高产品或流程的质量。实现成本为k＞0。如果产品质量提高，那么对产品的需求就会增加；此外，需求下降更为缓慢。具体而言，该投资将当前收益率提高了b，并将漂移增加了δ。根据等式中规定的示例。

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mingdashike22

2022-6-11 08:52:13

（1）当利润率在需求Dt中呈线性时，投资会导致pDt中b的增加（或等效地，c中b的减少）和p·dDt/d t中δ的增加。如果企业在时间τ投资，则改进的利润流会遵循以下过程≡ Xt+δ（t-τ） +b，对于t>τ，因此dYt=（u+δ）dt+σdBt。在投资之前，企业需要找到投资或退出的最佳停止时间τ，无论哪种行动产生更好的回报。如果公司在时间τ进行投资，则从时间τ开始的预期回报率为V+（Xτ+b）-k，因为其投资后的预期累积利润流为V+（Xτ+b），投资成本为k。另一方面，如果该公司在时间τ退出，则从时间τ开始的回报为0。因此，公司收到的预期回报为最大{V+（Xτ+b）-k、 0}在作出投资或退出决策时的时间τ。设x+为唯一数，满足v+（x++b）=k。（9）（这个定义唯一地确定了x+，因为对于所有x，V+（x）在x中严格增加，使得V+（x）>0。）然后，在停止时间τ，如果Xτ<X+，则退出，如果Xτ>X+，则投资是最佳的，因为V+（X+b）-如果x>x+和V+（x+b），k>0-如果x<x+，k<0。如果当前收益率x为+，则即时投资和即时退出均产生零预期回报。因此，我们的目标是找到“V（x）”≡ supτ∈TEx[Zτe-αtXtdt+e-ατh（Xτ）]，（10），其中h（X）=max{0，V+（X+b）-k} （11）是x为停止状态时的一次性付款。接下来，我们研究投资永远不是最优的条件。

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nandehutu2022

2022-6-11 08:52:16

定义负≡ α（Z∞（b+δt）e-αtdt-k） =b+δ/α-kα（12），因此g/α是如果从未发生退出，则投资的净贴现收益。命题3投资永远不是最优的当且仅当g≤ 证明：为了证明这个命题，我们研究了直接投资收益率（V+（x+b）之间的差异-k）以及x>x+时等待退出的最佳回报（V（x））：[V+（x+b）-k]-V（x）=gα-λαexp[λ（x+b-ξ） ]+γnαexp[γn（x-ξ)] . （13）请注意-λαexp[λ（x+b-ξ)] < -γnαexp[γn（x-ξ） ]因为λ<γn<0，ξ<ξ，通过命题2（i）和（ii）。如果g≤ 0，则等式（13）的右侧对于所有x>x+为负值。因此，在任何给定的停止时间τ，决策者最好选择V（Xτ）（从等待退出返回）而不是V+（Xτ+b）-k（即时投资回报）。我们得出结论，如果g≤现在假设g>0时，投资也不是最优的。在这种情况下，公式（13）对于足够大的x为正，因为两个指数项在x时收敛为零→∞. 因此，在xτ足够大的任何τ上，立即投资都是比等待退出更好的选择。这与投资永远不是最优的假设相矛盾。我们得出结论，当g>0时，等待退出而不进行任何投资的政策不是最优的。根据命题3，除非另有说明，否则我们假设本文其余部分的g>0。4.2最优政策和最优回报的存在性和特征在本小节中，我们验证了最优政策始终存在，并且它本质上是唯一的。我们证明，在投资之前，最优策略完全由一对阈值（ξE，ξI）表征：如果Xt退出≤ ξEAN和invest if Xt≥ ξI；投资之后，问题又回到了Sec最后分析的问题。3其中，我们确定，最好尽快退出Xt≤ ξ.

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2022-6-11 08:52:19

我们的模型中隐含的分析困难的部分补偿可以在E q.（16）中给出的最优返回函数的闭合形式解中找到。如果最优策略存在，它是静态的，因为无论是最大收益{V+（Xt+b）-k、 0}Northepro-fit流具有除通过XT和e以外的任何时间依赖性-αt。因此，有必要考虑停止时间的类别τD=inf{t>0:Xt6∈ D} 关于连续区域D表示。因此，我们可以表示目标函数asRD（x）=Ex[ZτDe-αtXtdt+e-ατDh（XτD）]。（14）在这一新的表述中，公司的政策是只要Xt∈ D并尽快停止Xt6∈D、此时，公司收到h（Xt）。因此，如果存在最佳政策，我们的目标是找到最佳延续区域D*使得'V（x）≡ supDRD（x）=RD*（x）。（15）命题4在eq.（15）的停时问题中，最优策略总是存在的；最优预期收益由v（x）唯一给出=x/α+u/α+aeγpx+aeγnx，对于x∈ D*= （ξE，ξI）h（x），否则，（16），最佳连续区域为D*= （ξE，ξI）：当x≤ ξE，x时投资≥ ξI，否则继续操作。命题4的证明在本文的电子伴文中。通过将V（·）视为最佳回报函数的候选者，然后验证V（·）满足Oksendal（2003）定理10.4.1中规定的最佳回报函数的所有充分条件。（Alvarez 2001a获得了具有有界连续区域的返回函数最优性的一般必要条件；另见Guo 2001。）令人惊讶的是，存在性证明相当困难。

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2022-6-11 08:52:22

它表明以下边界条件V（ξE）=ξE/α+u/α+aeγpξE+aeγnξE=h（ξE）=0，（17）V（ξI）=ξI/α+u/α+aeγpξI+aeγnξI=h（ξI）=（ξI+b）/α+u+/α-(αλ)-1eλ（ξI+b-ξ)-k，（18）以及平滑粘贴条件xV（ξE）=α-1+γpaeγpξE+γnaeγnξE=xh（ξE）=0，（19）xV（ξI）=α-1+γpaeγpξI+γnaeγnξI=xh（ξI）=α-1[1 -eλ（ξI+b-ξ)] . （20）始终具有Oksendal（2003）定理10.4.1规定的理想性质的解。当然，最优返回函数V（·）=V（·）是唯一的。因此，最佳策略是唯一的：在Xt时停止∈ {x:x<ξEor x>ξI}，否则继续。如果当前利润率为x+，则在近期内，利润率很有可能增加到大于x+的值。因此，等待的预期回报为正，因此V（x+）>0和x+∈ D*= （ξE，ξI）。根据提议4，公司的最佳政策是停止第一次XthitsξEorξI，并获得奖励h（Xt）。因为ξE<x+<ξI，等式（9）显示V+（ξI+b）-k>0和V+（ξE+b）-k<0。正如预期的那样，公司在停止时间τD的最佳行动*取决于时间间隔的哪一端（ξE，ξI）的预测值。如果XthitsξEat timeτD，则最好退出*, 如果XthitsξIat timeτD，则投资是最佳的*.4.3比较静力学在本小节中，我们对V（·）、ξE和ξI进行了比较静力学分析。我们首先确定了V（·）的凸性，从而得出了σ的比较静力学。引理1最优返回函数V（·）是凸的。（证明见本文电子版。）接下来，我们检查V（·）w相对于u和σ的比较静力学。提案5适用于所有x∈ R、 V（x）在u和σ中不递减。

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2022-6-11 08:52:26

特别是，当x>ξE时，V（x）严格递增为u。证明：首先，请注意h（·）是凸的且不递减的，因为V+（·）是凸的且不递减的。还请注意，h（·）在u和σ中均不递减，因为命题2中V（·）在u和σ中均不递减。为了表明V（·）以u为单位不递减，让V（x；u）和h（x；u）表示V（x）和h（x）对初始（投资前）漂移u的依赖性。然后，对于任何β>0和x>ξE，V（x；u）=Ex[ZTuXte-αtdt+e-αTuh（XTu；u）]<Ex[ZTu（XT+βT）e-αtdt+e-αTuh（XTu+βTu；u+β）]≤V（x；u+β），其中Tu是最佳停止时间，当漂移为u时，使RD（x）最大化。在建立严格不等式时，我们使用了一个事实，即对于x>ξE，Tu>0，h（x；u）在x和u中不递减，当漂移为u+β时，Tu次优。对于σ的比较静力学，我们首先假设h（·）对σ没有函数依赖关系。根据Alvarez（2003）关于更一般Topping问题的比较静力学的引理2和定理4，由于V（·）是凸的，并且它是作为在τ（ξE，ξI）处停止的返回而获得的，因此V（·）在σ中不递减。（另见Ekstrom（2004））。此外，奖励函数h（·）在σ中不递减。因此，V（x）与Alvarez（2003）定理5的证明中使用的参数相同，σ不递减，ξ的比较静力学遵循命题5：推论1退出阈值ξEsatisuξE<0和σξE≤ 证明：注意到ξE=inf{x：V（x）>0}，这个结果来自这样一个事实，即当x>ξean时，V（·）在u中严格递增，σ不递减（根据命题5）。相比之下，ξIis的比较静力学要复杂得多。因为V（x）>V+（x+b）-k当且仅当x<ξI，我们可以写出ξI=sup{x:V（x）-[V+（x+b）-k] >0}。因此，V（·）和V+（·）对u和σ的依赖性决定了ξI的相对静力学。

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mingdashike22

2022-6-11 08:52:30

这与奖励函数没有σ或u依赖关系的模型形成了鲜明对比。（例如，参见阿尔瓦雷斯定理5，2003。）为了检验ξI的比较静力学，我们需要研究用等式表示的ξean和ξIas的方程。（21）和（22），其中λ由（8）给出。注意，ξi和ξeca的闭式表达式不能从方程中获得。（21）和（22）。相反，使用ξ的闭式表达式，可以直接对ξ进行完整的比较静力学分析。缺少闭式表达式削弱了我们对ξI进行比较静态分析的能力。然而，当b接近αk时，我们可以通过检查g的ξIin幂级数展开的前导项来获得有用的见解-δ/α（g小）和b大时（g大）。我们不认为δ大，因为我们的讨论仅限于有趣的情况u+<0，即投资后利润流仍在下降。利用附录B引理4和5中给出的展开式，我们得到了ξi和ξE的极限行为→ 0，我们发现ξE→ ξ和ξI→ ∞; 这与直觉相呼应，即当g接近于零时，投资几乎永远不会是最优的。在其他限制中，其中b→ ∞, 我们发现ξE→ -∞ 和ξI-ξE→ 0; 之所以会出现这种情况，是因为只要b足够大，就最好进行投资。引理2（i）σγn>0和σλ > 0; （二）uγn<0和uλ < 0; （iii）λ/γn≥ 1、证明：来自等式。（7）和（8），（i）和（ii）可以在一些代数之后显示。语句（iii）紧跟在语句（ii）之后，因为如果u被u+δ替换为δ，则γnis等于λ≥命题6关于g（i）的足够小的值σξI>0和σξE<0，以及（ii）uξI<0。证明：取等式的前导项的偏导数。（23）和（24）关于u和σ，并使用命题2的陈述（i）。

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2022-6-11 08:52:33

b足够大的提案7，（i）σξI<0和σξE<0，以及（ii）uξI<0。证明：（i）根据ξ和公式（25）的定义，我们有（一个函数f（x），使得f（x）→ 0作为x→ ∞称为o（1））σξE=-γ-2n个σγn+σθ+o（1）=-z（ez-1)-1λ-2.σλ+o（1），其中θ是由公式（27）定义的正数，z≡ -λ（θ+αk+γ-1n-λ-1）由Emma 6严格确定，并且σθ由E q.（28）给出。注意，z和θ与b无关，因此当我们将极限取为b时，它们不受影响→ ∞. 因为σλ>0根据命题2（i），我们有σξE<0对于足够大的b。根据公式（26），我们有σ（ξI-ξE）→ 0作为b→ ∞ 因此σξI=σξE+σ（ξI-ξE）=-z（ez-1)-1λ-2.σλ+o（1）。因此σξI<0，对于足够大的b.（ii）由推论1得出，uξE<0。来自Eqs。（26）和（29），uξI=uξ+ u（ξE-ξ) + u（ξI-ξE）=-α-1.-z（ez-1)-1λ-2.uλu+o（1）。根据式（8）和命题2（i）中λ的定义，我们得到-α-1.-z（ez-1)-1λ-2.uλu< 0. 因此对于足够大的b，uξI<0。在传统的实物期权模型中，报酬函数（对应于我们问题中的h（·））没有σ依赖性。在这种情况下，如Alvarez（2003）的定理6和7所示，连续区域随着σ的增加而扩大，因此我们预计进入（退出）阈值在波动性中增加（减少）。然而，在我们的模型中，h（·）对σ有明确的依赖性，因此阈值的σ依赖性不一定遵循Alvarez（2003）的结果。当g很小时，σξE<0和σξI>0：随着波动率σ的增加，在采取不可逆措施之前，最好等待更长的时间，以利用上升电位。这与Dixit（1989）数值计算得出的结果相似，并由Alvarez（2003）分析证明。然而，当b较大时，命题7（i）断言σξE<0和σξI<0。

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2022-6-11 08:52:36

请注意，结果σξI<0与实物期权理论中的传统直觉相反。这一违反直觉的结果是因为投资回报V+（x+b）-k、取决于σ。值得注意的是，投资回报率仅依赖于σ，因为投资后可能退出。图中的数值示例说明了阈值ξi和ξe及其相对于σ的比较静力学。1和2，其中我们设置α=1，σ=0.5，u=-1，δ=0.1，k=0.5。这些图显示为b+δ/α的函数-αk=b-0.4. 在图2中，请注意σξIis在g<0.96时为阳性，在g>0.96时为阴性。另一个值得关注的数量是最终退出之前的投资概率及其对波动性的依赖性。设pI（x）表示概率（以x=x为条件，其中x∈ （ξE，ξI）），即在达到ξE之前，收益率达到ξI（在退出之前进行最佳投资）。通过II。4和II。Borodin和Salminen（2002）的9，pI（x）=exp(-2uσx）-经验值(-2uσξE）exp(-2uσξI）-经验值(-2uσξE）=exp[-2uσ（x-ξE）]-1exp[-2uσ（ξI-ξE）]-命题8对于足够小和足够大的g值，pI（·）增加σ。证明：在small-g极限下，通过等式。（23）和（24），pI（x）=exp[-2u+pu+2ασlog（g）]·{exp[-2uσ（x-ξE）]-1} ·（1+o（1））。取上述对σ的导数，我们得到dσpI（x）=pI（x）·log（g）2uα（u+pu+2ασ）pu+2ασ·（1+o（1））。由于log（g）<0且u<0，因此dDσpI（x）的前导项为正。接下来，在大g极限下，根据公式（26），ξI-ξEAN和x-ξEare以Cg为界-1对于某些正常量C，因为x∈ （ξE，ξI）。

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2022-6-11 08:52:39

因此，pI（x）=exp[-2uσ（x-ξE）]-1exp[-2uσ（ξI-ξE）]-1=x-ξEξI-ξE（1+o（1））。根据命题7，ξi和ξe都会增加σ，而soddσ（x-ξEξI-ξE）=-σξIx-ξE（ξI-ξE）-σξEξI-x（ξI-ξE）>0。因此，对于足够大的g，ddσpI（x）为正。随着收益率的下降（u<0），只有当收益率由随机噪声提高时，才会进行投资。因此，在退出之前进行投资的可能性预计将增加非意愿。虽然我们怀疑这是一个一般特征，但一般比较静态分析不可用，我们只能通过命题8.4.4扩展：切换到新技术来确认两种极限情况下的比较静态（g的小值和大值）：目前我们已经检查了对正在过时的当前使用技术的投资。另一个重要决策涉及何时采用下一代技术。在计算机硬盘行业，一些14英寸驱动器制造商被迫采用8英寸驱动器。在本小节中，我们假设决策者可以在退出当前项目时采用新技术，并研究退出值（切换到新技术的预期收益）如何影响最优政策。首先，我们考察了在退出时增加一次性残值应收账款的影响。如果工厂和设备在出口时售出，那么我们预计s>0。然而，如果存在与业务退役相关的员工遣散或负债，则s<0。引理3让V（·；s）表示当s为残值时的最优回报函数。ThenV（x；s）=s+V（x-αs），退出阈值为ξ（s）=ξ+αs。（证明见本文的e-companion。）接下来，我们考虑w hether的决定，以及当有一次性投资机会改进当前技术时，何时切换到新技术。

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kedemingshi

2022-6-11 08:52:42

在不丧失一般性的情况下，我们假设不存在切换成本。让s>0表示从切换到新技术的预期累积利润，我们修改了Sec中考虑的投资模型。4通过添加一个恒定的退出值s。当然，即使在对旧技术进行投资后，企业仍然可以切换到新技术并接收s。目标是找到最佳停止时间τ，以最大化以下各项：Ex[Zτe-αtXtdt+e-ατ（h（Xτ-αs）+s）]。命题9的切换值为s时，投资决策问题的最优收益为v（x-αs）+s；投资阈值为ξI+αs，切换（退出）阈值为ξE+αs。命题9的证明与引理3的证明基本相同。有了投资新技术的机会，企业对投资或保留现有技术的动机就会降低。因此，当有合适的替代技术时，投资和切换的阈值更高。在这种技术转换模型中，我们假设转换的成本是恒定的（或零而不丧失一般性），并且转换的预期收益与当前的收益无关。一般来说，如果XT代表当前需求（或市场份额），且交换技术服务于同一市场，则交换成本和交换的预期收益可能取决于当前收益率。此外，还可能出现多种不确定的改进技术，这些改进技术具有不同的利润流动态。这些复杂性超出了本文的范围。

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2022-6-11 08:52:45

Alvarez和Stenbacka（2001）以及Balcer和Lippman（1984）研究了切换到未来优越但不确定的技术的问题，Christensen（1992和2000）对切换到破坏性技术的困难进行了实证研究。5总结我们对恶化条件下投资的分析与经验现实相符，硬盘行业以及Ristensen（2000）和Rosenberg（1976）列举的许多过时技术的例子都是这样的：即使面对不断下降的利润流和最终的市场位移，投资也是最佳的。此外，即使当前的收益率为负值但高于阈值，保持在市场上也是最佳选择；只有当利润充分恶化时，退出才是最佳选择。本文研究了恶化条件下的投资和退出决策模型，证明了存在一个具有三个阈值的最优策略：ξI、ξE和ξ。我们对波动率进行的比较静态分析提供了一个新颖且违反直觉的结果。正如Dixit（1992）、McDonald和Siegel（1986）和Dixit（1989）以及Alvarez（2003）所解释的那样，随着传统实物期权模型中不确定性程度的增加，延迟不可逆行为的时间越长越好。在Sec的基本模型中。例如，退出阈值ξ总是在波动率σ中减小。同样，在Sec的模型中。4，退出阈值ξe增加σ。同样的直觉表明ξii在σ中增加。事实上，对于足够小的g，ξi的σ增加。然而，我们发现，对于足够大的g，ξi的σ增加：如果利润率的提升幅度足够大，那么随着未来利润流的不确定性增加，最好尽早投资。（参见图。

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2022-6-11 08:52:49

2）这种违反直觉的结果是由于公司能够控制其最终退出的时间，这是我们模型的一个显著特征。由于投资后退出是可能的，企业可以利用投资后的波动性，因此波动性的增加会导致投资预期回报的增加，以及足够大的风险的ξIf的增加。附录：阈值方程将方程（ξI、ξE、a、a）考虑到方程。(17) – (20). 为了便于标注，我们定义IE≡ξI-ξEandE0≡ξE-ξ. 我们消除了A和非洲EQ。（17） –（20），我们获得E0=-通用电气-γpIE+（λ-1.-γ-1n）eλ(IE+E0+b+ξ-ξ） e类-γpIE（21）=-通用电气-γnIE+（γ-1便士-γ-1n）+（λ-1.-γ-1p）eλ(IE+E0+b+ξ-ξ） e类-γn即，（22），其中g由公式（12）定义。为了跟踪g的幂展开的前导阶项，我们引入了一个符号来表示子前导阶项：如果f（x）/j（x），我们说f（x）=o（j（x））→0作为x→0，其中f（x）和j（x）是x引理4在small-g极限下的函数，E0=-g1级-γp/γnC（δ）（1+o（1）），（23）IE=-γ-1nln（克-1）（1+o（1）），（24），其中C（δ）=[（γ-1便士-γ-1n）]γp/γnifδ>0和C（δ）=[（γ-1便士-γ-1n）（1-eγnb）]γp/γnifδ=0。（证明见本文电子版。）同样，如果f（x）/j（x），我们也说f（x）=o（j（x））→ 0作为x→ ∞.引理5在大b极限下，E0=-g+θ+o（1）（25）IE=-g级-1（γpγn）-1(1 -λθ -λ/γn）+o（g-1）（26）其中θ是方程θ=-γ-1n+λ-1eλ（θ+αk-δ/α+ξ-ξ). （27）（证明见本文件电子版。）我们需要获得θ的比较静力学，以便检查ξi和ξin的比较静力学（以秒为单位）。4.3. 来自等式。

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