将信号纳入最佳交易

2022-6-2 14:05:49

我们证明了这一点*http://eyaln13.wixsite.com/eyal-neumanorderbook失衡是未来价格走势的预测因素，它具有某种均值回复特性。从这些数据我们可以看出，市场参与者，尤其是高频交易者，在他们的交易策略中使用了这种信号。1引言2008-2009年的金融危机引发了对中介机构库存的担忧。监管机构和政策制定者利用了两大监管变化（美国的Reg NMS和欧洲的MiFID），随后创建了全球贸易资料库。他们还加强了交易的透明度，从而提高了市场参与者的头寸，这将交易过程推向了电子平台。同时，金融产品的消费者和生产者要求降低复杂性和提高透明度。这种对金融系统商业习惯的巨大压力，将其从一个定制的高利润行业（中间商可以保留大量（潜在风险）库存）转变为一个以物流为中心的大众市场行业。因此，投资银行如今可以尽可能快地化解风险。在利润率低、头寸变动速度快的情况下，交易成本至关重要。交易成本的一个主要因素是市场影响：交易速度越快，买入或卖出的压力就越大，从而对价格产生不利的影响。降低大型交易交易成本的学术努力始于Almgren和Chris【5】以及Bertsimas和Lo【8】的最终论文。这两种模式都适用于一个大型市场参与者（例如资产管理人或银行）的交易流程，该参与者希望在特定期限内买卖大量股份或合同。

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2022-6-2 14:05:52

由于交易策略的多重约束，成本最小化问题最终得到了解决。一方面，市场影响（见[7]和其中的参考文献）要求交易缓慢，或至少以考虑可用流动性的速度进行。另一方面，贸易商有快速交易的动机，因为他们不想承担价格偏离决策价格的风险。优化交易在行业中的重要性为交易成本的初始平均方差最小化带来了很多变化（详情参见[27，15，22]）。在本文中，我们在随机控制的背景下考虑均值-方差最小化问题（参见[26]，[9]）。在这种方法中，可以使用一些更现实的控制变量，这些变量与订单动态和潜在价格的特定随机过程有关（相关工作参见[23]和[30]）。在本文中，我们讨论了如何将预测短期价格变动的信号纳入最优交易问题的问题。通常，最优执行问题侧重于市场影响和市场风险之间的权衡。然而，在实践中，许多交易者和交易算法使用短期价格预测。大多数记录在案的预测值都与订单动态相关[29]。它们可以分为两类：基于流动性消费流的信号[11]，以及衡量当前流动性失衡的信号。在[28]中，研究了如何在极短的交易策略中使用流动性失衡信号的一个例子。这两种类型的信号密切相关，因为在短期内，价格变动是由流动性供给和需求的匹配（即当前的货币和消费流）驱动的。如前所述，影响交易成本的主要因素之一是市场影响。

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2022-6-2 14:05:55

实证研究表明，市场影响的影响是短暂的，即在每次交易后的短时间内衰减（见[7]及其参考文献）。在本文中，我们将重点关注两个考虑到不同类型市场影响的框架：oGatherel、Schied和Slynko（GSS）框架[21]，其中市场影响是暂时的，战略具有燃料约束，即订单在给定日期T之前完成；oCartea和Jaimungal（CJ）框架【10】，其中市场影响是瞬时的，对策略的燃料约束被平滑终端惩罚所取代。请注意，[21]并不是市场影响衰减的唯一框架。这种动力学最初是在【31】中引入的，并在【2】中重复使用，就像在其他一些论文中一样。我们决定将重点放在这两个框架上，因为它们在金融文献中被广泛使用。本文建立的模型和分析也可以应用于其他最优交易框架。这项工作的主要理论结果涉及将马尔可夫信号添加到最优交易问题中，该问题在[21]中进行了研究。我们将在第2.1节中论证，这是通过在定价过程中加入马尔可夫漂移进行数学建模的。我们制定了一个成本函数，其中包括交易成本和在每个给定时间持有库存的风险。然后，我们证明了至多存在一个使该成本函数最小化的最优策略。最优策略被表述为一个积分方程的解。然后，对于信号为Ornstein-Uhlenbeckprocess的特殊情况，我们明确地导出了最优策略。从数学角度来看，这是首次将非鞅价格过程纳入具有衰减市场影响的最优清算问题。

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nandehutu2022

2022-6-2 14:05:58

因此，定理2.3和2.4的结果分别扩展了[21]的命题2.9和定理2.11。随后，我们证明，在渐近区域中，如果瞬时市场影响变为瞬时，则在（GSS）框架中导出的奇异最优策略将变为连续的。此外，（GSS）框架中的最优策略的渐近性与（CJ）框架中获得的最优策略一致（见备注2.8和第3节）。当研究人员和从业者面临现实的交易问题时，这一不同交易框架之间的基准为他们提供了更广泛的概述。在上述背景下，预测信号优化交易的使用相对较新（见【11】）。据我们所知，这是第一次遇到马尔可夫信号和短暂的市场影响。（GSS）框架已经包括了暂时的市场影响，而没有使用信号。（CJ）框架只包括有界的马尔可夫信号，而不包括衰减的市场影响。此外，我们关于（GSS）框架中最优交易的结果将风险外溢项纳入了成本函数，这在[21]的结果中没有考虑到。这项工作的主要贡献在于为最优交易提供了一个新的框架，这是对[10]和[21]等经典框架的扩展。正如我们在第4节中的数据分析所表明的那样，使用该框架的动机来自市场需求。从理论角度来看，这些信号交易模型提供了一些新的数学挑战。我们将简要描述其中的两个挑战。我们在定理2.4和推论2.7（即在GSS框架中）中得出的最优策略是确定性的，它们只使用时间0上的信号信息。

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2022-6-2 14:06:01

一个仍然悬而未决的挑战性问题是，如何优化交易成本，而不是适应信号过滤的策略（见备注2.9）。从我们的结果中产生的一个有趣的现象是，一旦我们考虑到交易信号，最优策略可能不是单调的（见图1）。这意味着由交易策略引发的价格操纵是可能的。另一个挑战是建立市场影响核函数和信号的条件，以防止价格操纵（见备注2.10）。本文的另一个贡献是对不平衡信号及其在实际交易中的使用进行统计分析，我们将在第4节中介绍。为了验证我们的假设和理论结果，我们使用北欧股票市场（纳斯达克OMX交易所）九个月的真实数据来证明流动性驱动信号的存在。我们重点分析了13只股票，交易量超过90亿。我们还表明，从业者至少在一定程度上是根据这个信号来调节他们的交易率的。截至2014年，该交易所在每笔交易中都提供了买卖双方的身份。该数据库已经用于一些学术研究，因此读者可以参考[36]了解更多详细信息。在这些标记的交易中，我们添加了一个资本基金管理（CFM）数据库，其中包含每次交易前订单状态的信息。由于这个混合数据库，我们能够在参与者做出决策之前计算流动性的不平衡（即发送消耗流动性的市场订单）。我们将纳斯达克OMX的大多数成员分为四类：全球投资银行、机构经纪人、高频做市商和高频专业交易员（分类详见附录）。

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2022-6-2 14:06:04

然后，在每种类型的参与者做出决定之前，我们计算不平衡的平均值（见图4）。结论是，一些参与者的交易条件是流动性失衡。此外，我们还提供了一些图表，证明了失衡状态与未来价格走势之间的正相关关系。这些图表也为不平衡信号的均值回复性质提供了证据（见图5-7）。在图9中，我们预设了市场参与者的估计交易速度，作为不平衡平均值的函数，在10分钟的中间时间范围内。此图中显示的交易率与信号之间的关系与我们的理论发现相符。本文的结构如下。在第2节中，我们介绍了一个具有市场影响衰减的模型、马尔可夫信号和具有燃料约束的策略（即在（GSS）框架中）。我们给出了一般的存在唯一性定理，然后给出了Ornstein-Uhlenbeck信号的显式解。增加信号对市场影响衰减是本节的核心内容。在第3节中，我们将第2节的结果与（CJ）框架中的相应结果进行比较。我们证明了（GSS）框架中的最优策略与（CJ）框架中的最优策略一致，在渐近极限下，瞬时市场影响变为瞬时，信号为Ornstein-Uhlenbeck过程。在第4节中，我们为不平衡信号的可预测性以及不同类型的市场参与者对其的使用提供了经验证据。我们还进行了统计分析，以支持我们对第2节给出的示例中的Ornstein-Uhlenbeck信号的关注。

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2022-6-2 14:06:08

最后一节是对主要结果的证明。2模型设置和主要结果2.1模型设置和成本功能的定义在本节中，我们定义了一个将马尔可夫信号纳入（GSS）最优交易框架的模型。本节使用了【21】中的定义和结果。我们考虑一个概率空间(Ohm, F、（Ft），P）满足通常条件，其中fi是平凡的。设M={Mt}t≥0是右连续鞅且I={It}t≥0a齐次cádlág马尔可夫过程满足，ZTEι|It部门|dt<∞, 对于所有人ι∈ R、 T>0。（2.1）这里Eι表示以I=ι为条件的期望。在我们的模型中，我代表交易者观察到的信号。我们假设不受交易影响的资产价格过程P由dpt=Itdt+dMt，t给出≥ 0，因此信号通过漂移项与价格相互作用。此设置允许我们考虑一大类信号。有形资产价格（稍后介绍）还取决于交易员交易产生的市场影响。假设[0，T]是一个有限的时间范围，x>0是交易者的初始库存。设Xt为交易者在时间t持有的库存量。如果X满足以下条件，我们认为X是一种允许的策略：（i）t-→ Xtis左–连续和自适应。（ii）t-→ Xthas有限和P-a.s.有界总变化。（iii）对于所有t>t，X=X且Xt=0，P-a.s。如[21，17，16]所示，我们假设可见价格S={St}t≥0受明显的市场影响，由t=Pt+Z{s<t}G（t- s） dXs，t≥ 0，（2.2），其中衰变核G：（0，∞) → [0, ∞) 是一个可测量的函数，使得以下极限存在sg（0）：=limt↓0克（吨）。（2.3）接下来，我们推导与Astragy Xt执行相关的交易成本。请注意，如果XT在t中是连续的，则由最小订单Dxtart产生的交易成本为StdXt。

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2022-6-2 14:06:12

当XT有一个跳跃的大小Xtat t，价格从St移动到St+=St+G（0）XT和交易产生的成本X由（见[21]第2节）G（0）给出Xt公司+ St公司Xt。因此，战略X产生的交易成本由zstdxt+G（0）X给出Xt公司=Z ztids dXt+Z Z{s<t}G（t- s） dXsdXt+ZMtdXt+G（0）XXt公司.从[21]中的引理2.3中，我们得到了一个更方便的预期交易成本表达式，EhZ Ztids dXt+Z Z{s<t}G（t- s） dXsdXt+ZMtdXt+G（0）XXt公司i=EhZ Ztids dXt+Z ZG（| t- s |）dXsdXti- 二甲苯。我们有兴趣在我们的成本函数中加入一个风险规避条款。naturalcandidate isRTXtdt，被视为在时间t扣留头寸相关风险的度量；参见【4、19、35】和【33】第1.2节中的讨论。因此，我们的成本函数是预期交易成本和风险规避项之和，其形式为ehz ztids dXt+Z ZG（| t- s |）dXsdXt+φZTXtdti- Px，（2.4），其中φ≥ 0是一个常量。这项工作的主要目标是在可接受的策略类别上最小化该成本函数（2.4）。在我们讨论这个框架中的主要结果之前，我们先介绍一下下面的内核类。我们说，如果对于每个可测量策略X，我们有z ZG（| t），则连续且有界的G是严格正定义的- s |）dXsdXt>0，P-a、 s.（2.5）我们将G定义为连续、有界和严格正定义函数G：（0，∞) → [0, ∞).备注2.1。请注意，（2.3）满足每G∈ G、 [21]第2.6节给出了正有限核的特征（即当不等式（2.5）不严格时）。备注2.2。

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2022-6-2 14:06:15

G的一个重要子类是有界、非递增凸函数G：（0，∞) → [0, ∞) （见[3]中的命题2）。2.2马尔可夫信号的结果在本节中，我们介绍了当信号是一个cádlág马尔可夫过程时，关于最优策略的存在性和唯一性的结果。正如[21]第2节所述，我们将讨论限制在确定性策略上。备注2.9将讨论信号自适应随机策略的成本函数最小化。我们考虑以下一类策略，Ξ（x）={x |确定性容许策略，其中x=x且在[0，T]}中有支持。注意，对于任何X inΞ（X），成本函数（2.4）的形式为Z ZtEι[是]ds dXt+Z ZG（| t- s |）dXsdXt+φZTXtdt。（2.6）在我们的第一个主要结果中，我们证明了最多存在一种使成本函数最小化的策略（2.6）。定理2.3。假设G∈ G、然后，在可容许策略类Ξ（x）中，成本泛函（2.6）至多存在一个极小值。在我们的下一个结果中，我们给出了成本函数（2.6）最小化的必要和充分条件。定理2.4。十、*∈ Ξ（x）使Ξ（x）上的成本函数（2.6）最小化，如果且仅当存在一个常数λ，使得x*solvesZtEι[Is]ds+ZG（| t- s |）dX*s- 2φZtX*sds=λ，对于所有0≤ t型≤ T、（2.7）下面是几句话。备注2.5。在代理人不依赖信号（即i=0）且存在零风险规避（φ=0）的特殊情况下，定理（2.3）和（2.4）与[21]中的命题2.9和定理2.11一致。备注2.6。Dang研究了（2.4）中的风险规避项不为零，但I=0的情况。在[17]的第4.2节中，给出了当容许策略是确定性和绝对连续的时，存在非最优策略的必要条件。

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2022-6-2 14:06:19

当I=0时，我们在（2.7）中的条件与Dang的结果一致，且容许策略是绝对连续的。然而，请注意，如果[17]中的条件也有效，并且最优策略的唯一性，即使在导言中提到的Ornstein-Uhlenbeck信号的I=0.2.3结果的特殊情况下，仍然保持开放，则需要特别注意信号I是Ornstein-Uhlenbeck过程，dIt=-γItdt+σdWt，t≥ 0，I=ι，（2.8），其中W是标准布朗运动，γ，σ>0是常数。在下面的推论中，我们推导出了在零风险厌恶和G指数衰减的情况下最优策略的显式公式。以下推论概括了Obizhaeva和Wang[31]的结果，他们在没有信号的情况下解决了这个控制问题。推论2.7。让我按照（2.8）中的定义来定义。假设φ=0，G（t）=κρe-ρt，其中κ，ρ>0是常数。然后，存在唯一的极小值X*∈ Ξ（x）至成本函数（2.6），由x给出*t=（1-b（t））·x+ι2κργρ- γγ·b（t）- （ρ+γ）·b（t）- （ρ+γ）·b（t）, （2.9）其中b（t）={t>0}+1{t>t}+ρt2+ρt，b（t）=1- e-γt- b（t）（1- e-γT），b（T）=1{T>T}+ρT-b（t）（1+ρt），b（t）=（b（t）- 1{t>t}）e-γT.注意1- 对于i=1、2、3，b（T+）=0和bi（T+）=0，此外，最优策略在x和ι都是线性的。在图1中，我们给出了一些具有以下参数的最优策略示例：γ=0.9，κ=0.1，T=10，x=10。这些特定值与第4.2节末尾估计的经验参数兼容。信号ι取任意初始值（-0.5、0和+0.5）。ι=0的特殊情况给出了与Obizhaeva和Wang相似的结果[31]。

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2022-6-2 14:06:23

控制市场影响衰减的参数ρ无法根据我们现有的数据进行估计，因此我们可以取两个任意但实际的值（1.0和2.5）。我们观察到，对于ρ值较大的情况，最优交易策略的初始跳变大于小ρ策略的相应跳变，但交易速度的变化较小。我们特别注意到，当初始信号与交易方向相反时（对于卖出订单，ι>0），交易开始于预期的购买，之后交易速度最终变为负值。另一方面，当初始信号与交易方向相同时，最好立即开始销售，大部分库存在T/2之前售出。在下面的备注中，我们讨论推论2.7的结果。备注2.8。注意，在ρ→ ∞, （2.6）中的市场影响条款，RTRTG（| t-s |）dxsdx形式上对应于瞬时市场影响产生的成本，即G（dt）=κδ。我们简要地讨论了最优策略X的渐近性*t=X*t（ρ）in（2.9）当ρ→ ∞. 很容易验证，在极限内，0 2 4 6 8 1002468101214X*t0 2时间t0.040.020.000.020.04dX*t（ι=-0.5,ρ=1.0)(ι= +0.0,ρ=1.0)(ι= +0.5,ρ=1.0)(ι=-0.5，ρ=2.5）（ι=+0.0，ρ=2.5）（ι=+0.5，ρ=2.5）图1：根据（2.9）对于γ=0.9，κ=0.1，T=10和x=10的最佳交易策略。我们展示了出售10股股票的不同场景：没有信号、有积极信号和有消极信号。我们区分了市场影响的缓慢衰减（实线）和快速衰减（虚线）。

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2022-6-2 14:06:26

上图显示剩余库存，下图显示交易速度（0<t<10）。X的跳跃*消失（见（5.12）中的A和D了解跳跃的显式表达式），以及极限最优策略X*(∞) 是一个由x给出的光滑函数*t型(∞) = X+ι2κγ1.- e-γt-ι2κγt.受这些渐近结果的激励，在下一节中，我们将进一步探讨最小化交易成本的绝对连续策略–风险规避函数。我们将在此假设市场影响是瞬时的，即G（dt）=κδ，并从可接受的策略中去除燃料约束（t>t时Xt=0）。然后，当风险厌恶项为非零时，导出了最优策略的显式公式。备注2.9（2.9的自适应版本）。方程（2.9）给出了库存X=X且t=0的交易者的最优解，该交易者正在观察信号ι=i的初始值，并且希望最小化指数衰减核和φ=0的（2.6）。成本函数由，U（[0，T]）：=Zτ给出∈[0，T]Zs∈[0，τ]E[Is | FW]ds dXτ+Zτ∈[0，T]Zs∈[0，T]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ，其中（FWt）t≥0是I的自然过滤。在此设置中，一旦交易开始，就不可能在考虑新信息（即信号的新值）的同时更新策略。这可以与第3节中的一个更简单的框架进行比较，其中针对任何0≤ t型≤ T

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2022-6-2 14:06:29

因此，我们对（2.9）的自适应框架进行简短讨论。在任何时间t更新最优策略的一种自然方法是定义X：={Xs:t≤ s≤ T}作为成本函数的最优策略u（[T，T]）：=Zτ∈[t，t]Zs∈[t，τ]E[Is | FWt]ds dXτ+Zτ∈[t，t]Zs∈[t，t]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ。但是请注意，U（[0，T]）=U（[0，T]）+U（t，t）+U（t，t），其中U（t，t）=Zτ∈[t，t]Zs∈[0，τ]E[Is | FW]ds dXτ+Zτ∈[t，t]Zs∈[0，t]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ和U（t，t）=Zτ∈[0，T]Zs∈[t，t]κρe-ρ|τ-s | dXsdXτ。这意味着如果使用▄X代替X*对于某些τ∈ （t，t），交易者将具有anFt自适应控制，但不一定与X一致*使u（[0，T]）最小。因此，在实践中，可以在以下选项中进行选择：o最佳策略X*, 仅限于t=0时的信号信息；o每次t时更新的近似策略X∈ （0，T），其中考虑了它的整个轨迹；o与无衰减的市场影响相对应的最优策略（如第3节所示）。这些策略中的哪一种效果最好，这个问题仍然悬而未决。请注意，在成本函数U中，时间易变性是瞬态市场影响项的结果。在[34]中，还研究了时间不一致的最优清算问题。然而，文献[34]中问题的不稳定性源于风险厌恶项。备注2.10（价格操纵）。如果中间买入（卖出）交易可以降低卖出（买入）策略的预期成本，则市场影响模型允许交易触发价格操纵（见[3]中的定义1）。

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2022-6-2 14:06:32

[21]中的定理2.20意味着，对于成本函数2.7，在可接受的策略类别上，交易触发的价格操纵是不可能的，在这种情况下，I≡ 0和φ=0。然而，图1显示，向相同的市场影响模型添加信号可以创建不是单调递减的最优策略，因此意味着可能存在价格操纵。研究市场影响内核的条件和确保没有价格操纵的交易信号将是非常有趣的。研究这些价格操纵对其他市场参与者可能产生的影响也非常重要。3临时市场影响的最优策略在本节中，我们研究一个最优交易问题，该问题与第2.1节中介绍的问题具有一些共同特征。我们再次考虑一个包含马尔可夫信号的价格过程。本节的主要变化是，（2.2）中的市场影响是暂时的，即核由G（dt）=κδ（dt）给出，其中δ是狄拉克的δ测度，κ>0是一个常数。注意，这种类型的内核不包括在（2.2）中介绍的内核类G中。本节的主要目的是展示如何将交易信号纳入（CJ）框架【10】。我们获得的结果可与第2节的结果进行比较（见备注2.8）。

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2022-6-2 14:06:35

回想一下，当核G=Gρ“收敛”到狄拉克的δ测度ρ时，我们启发式地得到了最优策略→ 如第2节开头所述，我们继续假设I是一个cádlág马尔可夫过程，但我们添加了一个假设，即eι|It |]≤ C（T）（1+|ι|），适用于所有ι∈ R、 0个≤ t型≤ T、（3.1）对于某些常数C（T）>0。为了简单起见，我们假设Mt=σPWtso thatdPt=Itdt+σPdWt，其中{Wt}t≥0是布朗运动，σpis是正常数。在下例中，可接受策略上的燃油约束将用终端惩罚函数代替。这使我们能够在Cartea和Jaimungal的框架内考虑绝对连续的战略（参见[12，13，14]）。我们引入了一些与此设置相关的其他定义和符号。设V表示一类渐进可测控制过程r={rt}t≥0对于其| rt | dt<∞, P-a.s.适用于任何x≥ 0我们定义=x-Ztrtdt。（3.2）这里xrti是交易者在时间t持有的库存量。我们通常会抑制r中X的依赖性，以简化符号。受线性瞬时市场影响的价格过程由t=Pt给出- κrt，t≥ 0，其中κ>0。注意，当G（dt）=κδ（dt）时，它们对应于（2.2）。投资者的现金流量：=现金流量=（Pt- k rt）rtdt，C=C。为了与Cartea和Jaimungal在[12,13,14]中的早期工作保持一致，我们将清算问题定义为现金和风险规避之间差异的最大化。

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2022-6-2 14:06:38

如前所述，容许策略上的燃油约束将由惩罚函数代替，惩罚函数由xt（PT）给出- %XT）其中%为正常数。得出的成本函数由VR（t，ι，c，x，p）=E，c，x，phCT给出- φZTXSDS+XT（PT- %XT）i，（3.3）式中φ≥ 0是一个常数，Et，ι，c，x，表示期望值，条件是它=ι，Ct=c，Xt=x，Pt=p，。值函数isV（t，ι，c，x，p）=supr∈VVr（t、ι、c、x、p）。注意，这个控制问题可以很容易地转化为交易成本和风险规避的最小化，如第2节所述。让LIbe为进程I的生成器。然后，相应的HJB方程为0=电视+ιpV+（σP）pV+LIV- φx+suprnrp- κr简历- rxVo，（3.4），终端条件v（T，ι，c，x，p）=c+x（p-%x）。设Et，ι表示以其为条件的期望=ι。在下面的命题中，我们推导出（3.4）的解决方案。命题3.1的证明与[14]中命题1的证明一样。提案3.1。假设%6=√κφ. 然后，对（3.4）存在一个解，该解由v（t，ι，c，x，p）=c给出-xp+v（t，ι）+xv（t，ι）+xv（t），（3.5），其中v（t）=pκφ1+ζe2β（t-t） 1个- ζe2β（T-t），v（t，ι）=ZTteκRstv（u）duEt，ι[Is]ds，v（t，ι）=4κZTtEt，ιv（s，Is）ds，常数ζ和β由ζ=%+√κφ% -√κφ，β=rκφ。在下面的命题中，我们证明（3.4）的解确实是（3.3）的非最优控制。提案3.2。假设%6=√κφ. 然后（3.5）最大化成本函数n（3.3）。最优交易速度r*这是byr提供的*t=-2κ2v（t）Xt+ZTteκRstv（u）duEt，ι[Is]ds, 0≤ t型≤ T、命题3.1和3.2的证明见第5.2节。以下推论直接来自命题3.1和3.2。请注意，Annorstein-Uhlenbeck工艺满足要求（3.1）。推论3.3。

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2022-6-2 14:06:41

假设与命题3.1相同的假设，现在让我遵循（2.8）中的Ornstein-Uhlenbeck过程。然后，存在一个最大化错误*∈ V到Vr（t，ι，c，x，p），由R给出*t=-2κ2v（t）Xt+ItZTte-γ（s-t） +κRstv（u）哑弹, 0≤ t型≤ T、在以下备注中，我们比较了第2节和第3节的结果。备注3.4。如果我们将（3.3）中的风险规避和惩罚系数φ，%in设置为0，那么从命题3.1的证明来看，v≡ 在与推论3.3相同的信号假设下，由R给出了最优策略*t=-It2κγ1.- e-γ（T-t）, 0≤ t型≤ T、（3.6）与X一致*t型(∞) 摘自备注2.8。备注3.5。通过使用r的渐近性，可以启发式地对推论3.3中的最优策略施加“燃料约束”*t当%→ ∞. 在这种情况下，ζ→ 1和rftisrft表示的极限最佳速度=-2κ2英寸v（t）Xt+ItZTte-γ（s-t） +κRst？v（u）哑弹, 0≤ t型≤ T、式中，v（T）=-pκφ1+e2β（T-t） 1个- e2β（T-t）。备注3.6。需要注意的是，（2.9）通过仅使用T=0时的O.U.信号信息，在（GSS）框架中给出了时间范围[0，T]上的最优策略。另一方面，（3.6），即（CJ）框架中的最佳交易速度RTI，使用的是时间t上的信号信息。这里的一个关键点是，如果试图在时间间隔[t，t]上重复解决（GSS）框架中任何t>0的控制问题，通过使用ITAN和STA作为输入，最优策略不一定会最小化[0，t]上的成本函数（2.4）。原因是（2.4）中的控制问题可能不一致。在[0，t]产生的市场影响（以及交易成本之前）会影响[t，t]的成本函数（更多详情请参见备注2.9）。

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2022-6-2 14:06:45

当我们设置G（dt）=δtin（3.3）时，这种影响消失。在图2中，我们模拟了最优库存X*这是由最佳交易速度r导致的*来自推论3.3。在黑色实线中，我们在没有信号的情况下给出了最优库存，因此在这种情况下，最优策略是确定的。图2中的红色区域是最佳库存X的1000次实现的“热图”*. 模型的参数为γ=0.1，σ=0.1，I=0，如（2.8）所示，对于成本函数（3.3），T=10，κ=0.5，φ=0.1，X=10，%=10。我们观察到，随机策略是经典确定性最优策略的扰动。在图3中，我们给出了t=0时的值函数（3.5），假设条件与图2相同，即假设i是一个OU过程，并且模型参数相似。更准确地说，weplot V（0，ι，c，x，p）- （c）- xp），因此我们省略了不影响模型行为的常数。我们观察到，最优销售策略产生的收入*受信号ι的方向和值影响。当信号为正时，表明潜在价格上涨的阿塞尔策略的收入高于负信号情景。4交易中使用信号的证据在本节中，我们分析与限额订单账面失衡相关的财务数据。本节中的数据分析旨在支持图2：最优库存模拟X的模型*这是由tradingspeed r*来自推论3.3。在黑色曲线中，我们给出了在没有信号的情况下的最佳库存量。红色区域是最优库存X的1000条轨迹图*.

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2022-6-2 14:06:49

模型的参数：γ=0.1，σ=0.1，I=0，T=10，κ=0.5，φ=0.1，X=0和%=10。图3：值函数V（0，ι，c，x，p）的曲线图- （c）- xp）从（3.5）开始，当信号是OU进程时。模型的参数：γ=0.1，σ=0.1，T=10，κ=0.5，φ=0.1，X=0和%=10。在第2节和第3节中介绍。在第4.1节中，我们描述了我们的数据库，并提供了使用不平衡信号的经验证据，这是一种流动性驱动信号。在第4.2节中，我们研究了信号的统计特性，并根据第2.3节建立了Ornstein-Uhlenbeck信号的模型。最后，第4.3节研究了不同市场参与者在清算期间对该信号的使用。请注意，在第2节和第3节中，我们还讨论了不一定是流动性驱动的更一般信号。4.1数据库：纳斯达克OMX交易本节中使用的数据库由纳斯达克OMXexchange上的交易组成。该交易所曾在2014年之前公布每笔交易的买方和卖方的身份。为了获得订单数据，我们使用CapitalFund Management（CFM）在同一交易所进行的记录，这些记录与NASDAQOMX交易相匹配，因为每笔交易的时间戳、数量和价格。在典型月份，这种匹配的准确率超过99.95%。纳斯达克OMX交易已经用于学术研究（详情参见[36]和[28]）。我们研究了2013年1月至9月在纳斯达克OMX斯德哥尔摩交易所交易的13只股票。

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2022-6-2 14:06:52

本节的目的不是对该数据库进行广泛的计量经济学研究；这样的工作值得自己写一篇论文。我们的目标是展示存在订单账面失衡信号的定性证据，并研究市场参与者的决策如何依赖于其价值。本节中使用的13支股票已被选为本研究对象，因为高频自营交易员在研究期间参与了至少100000支股票的交易。本节后面将详细介绍不同类别的贸易商的分类。表1披露了数据库中所考虑股票的描述性统计数据。股票按每日平均交易价值（以当地货币的100瑞典克朗为单位）排名，这可以被视为流动性的一个指标。我们还将研究期间的平均价格包括在表1中，因为欧洲交易所（EuropeanExchange）采用动态刻度大小表。平均股价越低，刻度大小越小（见[27]第1章第3节）。最小刻度大小是我们研究期间应用于股票价格的最小刻度大小。如果价格变化足够大，在研究期间可能会应用不同的刻度大小，因此我们还将每年估计的Garman和Klassvality添加到表中（见[20]）。最后但并非最不重要的一点是，平均买卖价差必须与刻度大小进行比较：对于所有这些股票，买卖价差介于零到两个刻度之间。因此，所有这些股票都是流动性强的大型股票。纳斯达克OMX数据库从交易所的角度包含买方和卖方的身份，即进行交易的交易所成员。例如，资产经理不是交易所的直接成员。公司每日平均值。

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2022-6-2 14:06:56

波动率最小名称（代码）交易价格BA价差（GK）tickValue（10）沃尔沃AB（VOLVb.ST）431.20 94.87 0.057 15.08%0.05北欧银行AB（NDA.ST）384.48 76.09 0.053 15.02%0.05 TelefonaktiebolagetLM Ericsson（Ericson.ST）373.20 78.41 0.054 15.20%0.05Hennes&Mauritz AB（HMb.ST）361.66 232.89 0.112 11.37%0.TLA10AS Copco AB（ATCOa.ST）321 9.94 175.19 0.110 16.13%0.10Swedbank AB（SWEDa.ST）313.18 151.970.108 15.29%0.10Sandvik AB（SAND.ST）296.09 90.88 0.067 17.01%0.05SKF AB（SKFb.ST）255.99 161.11 0.112 16.47%0.10Skandinaviska Enskilda Banken AB（SEBa.ST）221.23 66.85 0.053 15.56%0.05Nokia OYJ（Nokia.ST）209.77 28.84 0.019 36.89%0.01Telia Co AB（TLSN.ST）207.09 45.14 0.014 10.13%0.01ABB有限公司（ABB.ST）179.51 144.35 0.108 11.89%0.10AstraZeneca PLC（AZN.ST）168.06 318.57 0.127 12.09%0.10表1：13种研究股票的统计数据。价值和价格单位为瑞典克朗。GK波动率每年估计一次。该表按180个交易日的平均每日交易价值排序。另一方面，经纪人、银行和其他一些特定市场参与者也是成员。我们将市场成员分为四类（更多详情请参见附录A.1）：o全球投资银行（GIB）；o机构经纪人（IB）；o高频做市商（HFMM）；o高频自营交易员（HFPT）。表2给出了我们数据库中涉及这些类型参与者的每只股票的交易数量的简单统计数据。请记住，该数据库覆盖180个交易日。从最后一行可以看出，平均而言，全球投资银行参与了58%的交易，而高频交易员参与了其中的32%，其余10%涉及机构经纪人。

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2022-6-2 14:06:59

身份参与者的百分比平均为78%，即22%的交易发生在两个参与者之间，我们与四个类别（GIB、IB、HFMM、HFPT）中的任何一个都没有关联。此外，我们不得不过滤大约2%的交易（见最后一栏），因为在某些情况下，我们无法将限额订单记录与观察到的交易进行匹配。编码全球HF MM Instit。HF支柱。交易百分比。LOBBanks经纪人计数识别。匹配的volvb。ST 56.9%17.1%10.6%15.3%927467 76.7%97.4%NDA。ST 60.7%10.6%9.9%18.7%694509 76.8%97.4%ERICb。ST 57.8%17.6%7.7%16.9%811931 81.0%97.2%HMb。ST 58.5%16.0%8.9%16.6%716644 76.8%97.8%ATCOa。ST 58.2%、13.7%、10.5%、17.6%、677981%、79.1%、98.0%瑞典。ST 61.2%12.2%9.5%17.2%600655 74.6%97.7%砂。ST 61.0%15.2%10.4%13.4%701961 77.4%96.9%SKFb。ST 60.9%13.8%10.4%14.9%587088 77.1%97.0%SEBa。ST 61.5%12.1%8.8%17.7%515743 75.8%97.8%NOKI。ST 54.5%8.1%8.9%28.5%710173 79.6%99.2%TLSN。ST 61.2%、10.0%、10.6%、18.2%、548602、68.9%、97.8%ABB。ST 50.1%15.6%5.2%29.2%359067 86.2%98.1%AZN。ST 51.4%12.8%9.0%26.8%411118 89.6%98.8%平均58.3%13.6%9.4%18.7%77.7%-表2：涉及各类市场参与者的标签交易统计数据。交易计数是至少涉及一个标记参与者的交易的总和。Pct.标识。表示我们关注的四种类型中至少有一种参与者参与的交易百分比。Pct.LOB matched是我们在LOB数据库中找到匹配报价的交易百分比。底线处的平均值是在所有确定的交易中计算出来的。我们希望机构经纪人在不承担额外风险的情况下为客户执行订单（即充当“纯代理经纪人”）。这类经纪人通常有中型客户和当地资产管理公司。

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2022-6-2 14:07:03

他们不需要花费大量的资源，如技术或定量分析人员来研究微观结构并对微观事件做出快速反应。全球投资银行至少可以在订单流量的一小部分上承担风险。2013年（即数据记录期间），大多数银行已经拥有自营交易台和高频交易活动。他们通常拥有大量的国际客户，并有能力对订单状态的变化作出反应。高频做市商为订单的双方提供流动性。他们对市场微观结构有很好的了解。作为做市商，我们希望他们关注逆向选择，而不是保持大量库存。另一方面，高频自营交易者在充分利用其订单动态知识的同时，为了挣钱而承担自己的风险。表3中的数据与我们之前对不同类别交易员的了解相符：参与者类别交易平均值Pct.类型不平衡数全球银行限额-0.41 103418 48.2%市场0.56 111082 51.8%HF MM限额-0.31 30747 73.0%市场0.62 11818 27.0%HF道具。交易商限制-0.37 28763 47.2%市场0.63 31858 52.8%投资。经纪人限额-0.56 9984 33.6%市场0.33 19505 66.4%表3：市场参与者对“平均股票”的描述性统计。所有的交易都是标准化的，就像所有的订单都是购买订单一样。当信号指向贸易方向时，不平衡为正。oHFMM与限额订单的交易量（73%）远远超过与市场订单的交易量IB使用的市场订单多于限额订单；o平均而言，HFPT和GIB的订单流量平衡。此外，高频参与者（HFMM和HFPT）都使用市场指令来消耗账面规模较弱的流动性（即。

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kedemingshi

2022-6-2 14:07:07

当失衡平均为0.60时买入，当失衡平均为-0.60时卖出），当失衡程度低于-0.5时提供流动性。后一种观察结果可以与HF参与者的限价订单相兼容，有助于稳定价格。这些数字只是平均值，在图4中，我们给出了它们在我们13支股票中的分布情况。从图4可以看出，HFPT和IB之间的不对称性适用于所有股票（见左图）。此外，左图显示，高频参与者在不平衡有利时使用市场指令和限价指令。4.2不平衡信号订单不平衡已被确定为流动性动力学的主要驱动因素之一。它在订单簿模型中起着重要作用，更具体地说，它推动了接近中间价的限额订单的插入和取消率（见[1，25]）。作为本文理论结果的说明，我们在此记录了不平衡信号及其在不同类型参与者中的使用。该信号通过使用订单中的最佳出价QBand和最佳询问Qa的数量来计算-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8全球银行MMHF道具。灌输。BrokersAvg。不平衡限额（左）和市场（右）订单0 20 40 60 80 100%。SEBA发出的限制指令数量。斯塔兹。斯特诺基。斯威达。STNDA。STSKFb。刺伤。STTLSN。标准砂。STERICb公司。STATCOa公司。STHMb。STVOLVb。图4：每种类型的市场参与者在交易前限额和市场指令的使用以及失衡状态。在左侧面板上：限价指令之前的平均不平衡（左侧，负），以及市场指令之前的平均不平衡（右侧，正）。带大圆点的暗线代表所有股票的平均总交易量。在右侧面板上：有限额订单的交易占所有订单的百分比。

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2022-6-2 14:07:15

黑线是所有股票的平均值。账簿，Imb（τ）=QB（τ）- QA（τ）QB（τ）+QA（τ），就在时间τ+事务发生之前。请注意，除Sandvik AB（SAND.ST）和Telia CoAB（TLSN.ST）之外，我们的13只股票被视为“大型股票”，其平均买卖价差大于股票大小的1.4倍。这意味着，在最佳买入和卖出条件下的流动性提供了价格压力的实质性信息（有关刻度大小在流动性形成中的作用的详细信息，请参见[24]）。对于较小的股票，需要聚合几个价格水平，以便对未来的价格走势获得相同的预测水平。为了证明不平衡的预测能力，我们将10次交易后的平均中间价变动视为当前不平衡的函数（见图5）。表4给出了与这些曲线相关的数据。“dPrice”一栏显示了10次交易后，通过每个股票的平均买卖价差重新标准化的价格变化。这一价格变动平均接近第一笔交易前不平衡的0.6倍；-1-0.5 0.0 0.5 1.0不平衡-1-0.50.00.51.0平均价格变动（以平均价格的分数表示）。

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2022-6-2 14:07:19

BA spread）SEBa。斯塔兹。斯特诺基。斯威达。STNDA。STSKFb。刺伤。STTLSN。标准砂。STERICb公司。STATCOa公司。STHMb。STVOLVb。装货单-0.5 0.0 0.5不平衡-0.4-0.20.00.20.4 3笔交易后5笔交易后7笔交易图5：不平衡的预测能力：未来10笔交易的平均价格变动（y轴），作为当前不平衡的函数（x轴）。-0.8-0.6-0.4-0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8不平衡-8.-6.-4.-202468平均价格变动上限95%置信区间上限5%置信区间平均图6：阿斯利康股票不平衡的预测能力：未来10个交易的平均价格变动（y轴），作为当前不平衡（x轴）的函数，置信水平为上限和下限5%。不平衡的平均逆转。右侧图7显示了之后不平衡的平均值T=3、5和7交易，作为其当前价值的函数。曲线的颜色表示与图5中相同的股票。Imb（t）=0的递减斜率由最后的第4列加下划线-表4第6条。它证明了不平衡的均值回复特性。我们不会对此发表太多评论-1-0.5 0.0 0.5 1.0不平衡-1-0.50.00.51.0平均价格变动（平均BA价差的分数）SEBa。斯塔兹。斯特诺基。斯威达。STNDA。STSKFb。刺伤。STTLSN。标准砂。STERICb公司。STATCOa公司。STHMb。STVOLVb。装货单-0.5 0.0 0.5不平衡-0.4-0.20.00.20.4 3次交易后5次交易后7次交易图7：不平衡的平均逆转：3次（实线）、5次（虚线）和7次（虚线）交易（y轴）后不平衡的平均值，作为当前不平衡（x轴）的函数。线条的颜色表示与图5中相同的股票。较大不平衡值的递减斜率。我们只会提到，严重的不平衡可能意味着未来的价格变化，而这反过来又会造成“订单薄的薄弱部分”（在[18]的意义上）的消耗。

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2022-6-2 14:07:22

这一现象可能会导致不平衡的逆转，因为订单第二最佳价格水平中的队列可能会很大，而现在订单价格水平“提升”为第一水平。有关订单簿中队列动态的详细信息，请参见[25]。为了将Ornstein-Uhlenbeck（OU）动态近似于不平衡数据，我们将使用“交易时间”而不是“日历时间”（即秒），以补偿我们13只股票中每只股票的不同交易频率（见附录中表9的dt列）。这意味着OU的离散版本+n- 英寸=-γ·英寸n+σ√n·ξn+n、在哪里n是你所看到的未来交易数量，γ是平均反转参数的速度，σ是新息ξn的标准偏差+n、表4最后几列的线性回归如下所示+n=an·In+～σn·n个+n、 d价格RImb。3吨Imb。5t Imb。7吨Imb。10吨Imb。100tVOLVb。ST 0.58 0.16 0.91 0.72 0.49 0.26 0.03NDA。ST 0.58 0.16 0.90 0.71 0.51 0.30 0.04ERICb。ST 0.62 0.15 0.93 0.74 0.53 0.30 0.03HMb。ST 0.59 0.08 0.84 0.62 0.41 0.21 0.02ATCOa。ST 0.60 0.13 0.85 0.58 0.34 0.13 0.02SWEDa。ST 0.62 0.14 0.87 0.67 0.45 0.23 0.02砂。ST 0.56 0.15 0.81 0.57 0.37 0.20 0.03SKFb。ST 0.59 0.13 0.76 0.49 0.28 0.13 0.01SEBa。ST 0.61 0.15 0.91 0.73 0.51 0.28 0.03 Noki。ST 0.41 0.01 0.18 0.08 0.05 0.03 0.00TLSN。ST 0.54 0.04 0.43 0.22 0.13 0.08 0.02ABB。ST 0.59 0.11 0.86 0.61 0.33 0.11 0.03AZN。ST 0.64 0.04 0.47 0.20 0.09 0.05 0.02表4：涉及不平衡的线性回归结果。第一列是10次交易后价格走势回归的结果，考虑到第一次交易之前的不平衡。这也可以在图5的斜率中显示。所有股票的p值都非常接近于零，这意味着它们的重要性很高。Rvaries介于1%（诺基亚）到16%（沃尔沃AB和北欧银行AB）之间。

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