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具有强制退出的顺序进入问题。运筹学数学30501–520.0.5 1 1.5 2 2.5 3g-2-101阈值图1：阈值作为g.0.5 1.5 2 2.5 3g-0.4-0.200的函数。20.4验证图2：与σ有关的阈值作为g函数的导数。在线附录a：命题4的证明我们首先假设等式存在解（ξE、ξI、a和a）。(17) – (20). （解的存在性由引理8保证。）然后，下面的引理7建立了最优策略存在的条件。引理7假设方程存在一个解（ξE，ξI，a和a）。（17） –（20）满足约束ξE<x+<ξIandx/α+u/α+aeγpx+aeγnx≥ h（x）表示x∈ （ξE，ξI），（30）γpaeγpx+γnaeγnx≥ x的h′′（x）∈ {ξE，ξI}。（31）则存在最优策略，其预期收益由式（16）给出；此外，最佳连续区域为D*= （ξE，ξI）。证明：假设存在满足等式的ξE、ξI、a和a。（17） –（20）和等式（30）。该过程（t，Xt）的单位误差发生器如下所示：t+ux+σx（见Oksendal 2003，第222页）；然而，当回报函数的时间依赖性仅通过贴现因子e时-αt，可以方便地用≡-α + ux+σx、 （32）我们认为等式（16）中定义的V（·）是最佳回报函数的候选。B y Oksendal（2003）的定理9.3.3，V（x）是R（ξE，ξI）（x），具有连续区域（ξE，ξI）的返回函数，因为ev（x）满足AV（x）=-x和边界条件V（ξE）=h（ξE）和V（ξI）=h（ξI）。接下来，我们证明V（·）确实与式（10）中定义的V（·）一致，并确定（ξE，ξI）是最佳连续区域。

这是通过简单地检查Oksendal（2003）定理10.4.1给出的变量不等式的条件来实现的。首先，作为变分不等式的一个初步条件，{h-（Xτ）：τ∈ T，τ≤ ∞} 是uniformlyintegrable，这是由h-（x） =0。对于第二个初步条件，我们必须证明∞e-αt（Xt）-dt]<∞. 以下是fromEx[Z∞e-αt（Xt）-dt]≤ Ex[Z∞e-αu |许|杜]≤ Ex[Z∞e-αu（|uu |+| x |+|σBu |）du）]<∞ .现在，我们应用Oksendal（2003）的定理10.4.1，发现V（x）≥因为满足以下条件：（a）V（·）在R中是连续可微的[等式（19）和（20）]，（b）V（x）≥h（x）表示所有x∈ R[式（30）]，（c）V（x）=h（x）表示x∈ {ξE，ξI}[式（17）和（18）]，（d）V（·）是两个连续可微的，除了在{ξE，ξI}（通过V（·）的定义），（E）V（·）的二阶导数的大小在x=ξE和ξI附近是有限的，并且（f）AV（x）≤ -x代表x∈ R \\{ξE，ξI}。最后一个条件（f）尚未通过直接代数验证，AV（x）=-x代表x∈ （ξE，ξI）andAV（x）=Ah（x）=-x个-g+α-1δeλ（x+b-ξ） 如果x>ξI，如果x<ξE，则为0。（31），（18）和（20），我们有limxξIA[V（x）-h（x）]≥0，so limxξIAV（x）=-ξI≥limxξIAh（x）=-ξI-g+α-1δeλ（ξI+b-ξ). 自eλ（x+b-ξ） x减小，我们得出结论，AV（x）=Ah（x）<-x或x>ξI。类似地，通过等式。（31）、（17）和（19），limxξEA[V（x）-h（x）]≥ 0以便-ξE≥ 0，soAV（x）=Ah（x）=0<-x表示x<ξE。最后，因为V（x）=R（ξE，ξI）（x）≤V（x），我们得出结论，V（x）=V（x）是唯一的最优返回函数，并且D*= （ξE，ξI）。接下来，我们确定有一个方程的解。（17） –（20）具有一些理想的特性。请注意，方程式的解。（21）和（22）也是等式的解。(17) – (20).引理8方程总是存在一个解（ξean和ξI）。（21）和（22）满足约束ξI-ξE>0和ξI+b-ξ> 0.证明：用于固定IE，等式。

（21）具有独特的解决方案E0因为左侧（LH S）在增加，而右侧（RHS）在减少E0.L etE0=f(IE）是等式（21）的解，作为即，在IE=0，我们有f（0）+g=（λ-1.-γ-1n）eλ（f（0）+b+ξ-ξ). 因为f（0）+b+ξ-ξ=f（0）+g+αk-λ-1+γ-1n，如果f（0）+b+ξ-ξ≤0，则f（0）+g=（λ-1.-γ-1n）eλ（f（0）+b+ξ-ξ)≥λ-1.-γ-1n，与f（0）+g+αk相矛盾-λ-1+ γ-1n≤ 因此，f（0）+b+ξ-ξ> 0. 这也意味着RHS ofEq。（22）大于式（21）的RHS，如果我们设置E0=f（0）和IE=0。对于较大的正值即，另一方面，式（22）的RHS小于式（21）的RHS，与f的值无关(IE）。因此，有一个值IE>0，式（21）的RHS等于式（21）的RHS。因此，有一个带约束的联立方程（21）和（22）的解IE>0。假设解满足ξI+b-ξ≤ 从ξE<ξI，可以得出ξE+b-ξ< 0.因此E0=ξE-ξ< -b+ξ-ξ= -g级-αk+（λ-1.-γ-1n）。（33）我们还观察到E0<0，因为b>0，ξ<ξ。根据公式（21）和假设Eλ(IE+E0+b+ξ-ξ)≥ 1，我们有0>E0=-通用电气-γpIE+（λ-1.-γ-1n）eλ(IE+E0+b+ξ-ξ） e类-γpIE≥ e-γpIE[-g+（λ-1.-γ-1n）]>-g+（λ-1.-γ-1n），其中最后一个不等式成立，因为λ-1.-γ-1n≥0[通过φ（ν）从命题2（i）中减少ν的事实]和e-γpIE<1。不平等E0>-g+（λ-1.-γ-1n）与公式（33）相矛盾。引理8确保等式存在解。（17） –（20），ξI>ξE，且解满足不等式Eλ(IE+E0+b+ξ-ξ)< 1. 我们还需要证明ξI>x+>ξean和方程。（30）和（31）保持。对于本附录的其余部分，我们假设方程的解（ξI，ξE，a，a）。

（17） –（20）满足ξI>ξe和ξI+b-ξ> 0，我们考虑定义如下的测试函数φ（·）：φ（x）=x/α+u/α+aeγpx+aeγnx。在下面的引理中，我们建立了指数函数的一个非常方便的性质，它将用于即将到来的引理的证明。回想一下，λ在等式（8）中定义，λ<γnbyProposition 2（i）。引理9给出任何形式的函数f（x）=Cexp（γpx）+Cexp（γnx）+Cexp（λx），其中C>0，假设（i）C>0或（ii）C<0且C<0。如果对于某些y，f（y）>0，那么对于所有x>y，f（x）>0。证明：（i）如果C>0且C>0，那么引理是明显的。如果C>0且C<0，则| Cexp（λx）|在x中以比Cexp（γnx）更快的速度减少，而Cexp（γpx）在x中增加，因此引理如下。（ii）如果C<0且C<0，则| Cexp（γnx）+Cexp（λx）|在x中减少，而Cexp（γpx）在x中增加，因此引理再次出现。引理10系数A和A为正。证明：给出了等式的解。（17） –（20）条件ξI>ξean和ξI+b-ξ> 0，A和acanbe从等式中获得。（18） 和（20）：a=α-1γ-1peγnξIeγpξI+γnξE-eγpξe+γnξI（1-eλ（ξI+b-ξ） e类-γn（ξI-ξE）），a=-α-1γ-1neγpξIeγpξI+γnξE-eγpξe+γnξI（1-eλ（ξI+b-ξ） e类-γp（ξI-ξE））。分母eγpξI+γnξe-eγpξe+γnξI始终为正，因为ξI>ξe。此外，因为eλ（ξI+b-ξ） <1和e-γp（ξI-ξE）<1，ais严格为正。假设a≤ 0.（i）如果ξE<ξi≤ x+，然后φ（ξE）=0和φ（ξI）≤ 0，因此第一个导数φ′（y）在区间（ξE，ξI）的某个点y取负值。我们还知道φ′（ξE）=0，所以二阶导数φ′（x）在区间（ξE，y）的某个地方取负值；只有当a<0时，才可能这样做。通过引理9，φ′（x）在区间（y，ξI）中取负值，因此φ′（ξI）<0。这与条件φ′（ξI）=α相矛盾-1[1 -eλ（ξI+b-ξ)] > 0.（ii）假设x+≤ ξE<ξI，并考虑函数f（x）≡ φ（x）-h（x）。按公式计算。（18） 和（20），f（ξI）=0，f′（ξI）=0。

因为φ′（ξE）=0且h′（ξE）>0，所以f′（ξE）<0。从函数形式f′（x）=γpaeγpx+γnaeγnx+αeλ（x+b-ξ） 通过引理9，对于所有x>ξEbecauseγpa，f′（x）<0≤0和γna<0，因此当x>ξE时，f（·）严格减小。因此，f（ξI）=0是不可能的。（iii）剩下的唯一情况是ξE<x+<ξI。如案例（I）所述，如果φ（x+）≤ 0，则对于所有x>x+，φ（x）在x中减小，在这种情况下，f（ξI）=0无法实现。假设φ（x+）大于0。然后f（x+）>0，f（ξI）=0，所以有一些y∈ （x+，ξI）使得f′（y）<0。通过引理9，对于allx>y，f′（x）<0，在这种情况下，f′（ξI）=0是不可能的。因为≤ 0在所有可能的情况下都是不可能的（i）–（iii），我们得出结论a>0。以下引理确保解ξean和ξIsatis fiesξE<x+<ξI，这是引理7所要求的约束之一。引理11不等式ξE<x+<ξi满足。证明：定义f（x）≡φ（x）-h（x）。通过引理10，φ（·）是严格凸的，当x>ξE时，φ（·）是严格增加的，因为φ′（ξE）=0。此外，对于x>ξE，φ（x）为正，因为φ（ξE）=0。（i） 假设ξE<ξi≤x+。然后φ（x）>0，对于所有x>ξE，但是（ξI+b）/α+u+/α-(αλ)-1eλ（ξI+b-ξ)-k≤ 0，因为ξI≤ x+。因此，公式（18）不能满足。（ii）假设x+≤ ξE<ξI。由于f（ξE）=0且f（ξI）>0，因此存在一些y∈ （ξE，ξI）使得f′（y）>0。通过引理9和10，对于所有x>y，f′（x）>0，这与条件f′（ξI）=0相矛盾。最后，还需要显示等式。（30）和（31）。引理12约束方程。（30）和（31）是令人满意的。证明：因为φ（x）对于x>ξE是正的，所以对于x，我们有φ（x）>h（x）=0∈ （ξE，x+）。现在考虑函数f（x）≡ φ（x）-h（x）表示x∈ （x+，ξI）。假设对于某些y，f（y）<0∈ （x+，ξI）。对于某些z，f′（z）>0∈（y，ξI），因为f（ξI）=0。通过引理9，对于所有x>z，f′（x）>0，这与条件f′（ξI）=0相矛盾。因此，φ（x）≥ h（x）表示所有x∈ （ξE，ξI）。其次，φ′（ξE）>0=h′（ξE），因为a>0且a>0。

在区间（x+，ξI）中，f（·）从f（x+）>0下降到f（ξI），因此存在一些y∈ （x+，ξI），其中f′（y）<0。因为f′（ξI）=0，所以有一些z∈ （y，ξI），其中f′（z）>0。通过引理9，f′（ξI）>0。因此，等式（31）得到满足。引理7、8、11和12证明命题4。附录B命题2的证明：（i）从等式（6）可以直接得到以下不等式：ψ(ν)(σ)=-ν-ασ+ ν√ν+ 2ασσ√ν+ 2ασ< 0 ,φ(ν)(σ)=ν+ ασ+ ν√ν+ 2ασσ√ν+ 2ασ> 0 ,ψ(ν)ν=ν -√ν+ 2ασσ√ν+ 2ασ< 0 ,φ(ν)ν=-ν -√ν+ 2ασσ√ν+ 2ασ< 0ψ(ν)α=√ν+ 2ασ> 0 ,φ(ν)α= -√ν+ 2ασ< 0 .（ii）我们首先认识到ξ（ν）=-1/ψ(ν). 使用微分链法则(ξ(ν)z=ψ（ν）ψ(ν)zf对于任何模型参数z），我们可以从上述ψ（ν）的比较静力学中获得ξ（ν）的比较静力学。（iii）对于x>ξ（ν），我们可以表示v（x；ν）=xα+να-αφ（ν）exp[φ（ν）（x-ξ(ν))] .因此V（x；ν）σ=αφ（ν）exp[φ（ν）（x-ξ(ν))]×[φ(ν)σ-φ(ν)φ(ν)σ（x-ξ(ν))-φ(ν)ψ(ν)·ψ(ν)σ] .根据φ（ν）<0，x>ξ（ν），ψ(ν)σ<0，和φ(ν)σ=ν+ ασ+ ν√ν+ 2ασσ√ν+2ασ>0，我们得出结论V（x；ν）σ> 0.比较静力学V（x；ν）ν> 从等式（2）中的目标函数中更容易看出0，该函数随固定τ的增加而增加ν。或者，V（x；ν）ν> 0可以用代数直接表示。引理1的证明：设xθ=θx+（1-θ） xwhereθ∈ （0,1），x6=x，设τ*表示以X=Xθ为条件的最佳停止时间。

根据h（·）是凸的，xθ+ut+σBt=θ（x+ut+σBt）+（1-θ） （x+ut+σBt），我们得到以下不等式：V（xθ）=E[Zτ*e-αt（xθ+ut+σBt）dt+e-ατ*h（xθ+uτ*+ σBτ*)]≤θEx[Zτ*e-αtXtdt+e-ατ*h（Xτ*)]+ (1 -θ） Ex[Zτ*e-αtXtdt+e-ατ*h（Xτ*)]≤θV（x）+（1-θ） V（x）。引理3的证明：因为se-ατ=s-Rταse-αtdt，V（x；s）=Ex[ZτXte-αtdt+se-ατ]Ex=s+Ex[Zτ（Xt-αs）e-αtdt]=s+Ex-αs[ZτXte-αtdt]=s+V（x-αs）。因为V（x；s）在s中增加，所以退出阈值是ξ（s）=inf{x：V（x；s）>s}=ξ+αs。引理4的证明：首先，我们注意到，如果g=0，那么E0=ξE-ξ=0和IE=ξI-ξE=∞. 因此E0→ 0和IE→ ∞ 作为g→ 假设δ>0。式（21）右侧（RHS）的第一项严格控制第二项，因此g-1exp[λ(IE+E0+b+ξ-ξ)] → 0作为g→ 0 . （34）（否则，如果等式（21）中RHS的第二项占主导地位，则g中E0>0→ 0限制；如果两个项以与g相同的速率收敛到零→ 0，则等式（22）的RHS收敛到（γ-1便士-γ-1n）作为g→ 0.）根据公式（34），公式（22）中RHS中的前导订单条款包含在前两个条款中：-通用电气-γnIE+（γ-1便士-γ-1n）符合公式（24）。因为limg→0E0=0，唯一可能的前导顺序项IEisγ-1nln[g（γ-1便士-γ-1n）-1]. 主要订单条款IE=γ-1nln[g（γ-1便士-γ-1n）-1] +o（1）与式（34）中的条件一致，因为λ/γn>1由命题2（i）确定。最后，使用在等式（21）中，我们得到等式（23）。我们重复δ=0的相同过程，以得到C（0）的表达式。引理5的证明：在极限b内→∞, 我们可以证明IE=ξI-ξE→0和E0=ξE-ξ→-∞ 是唯一正确的渐近行为。我们注意到，在时间t，公司获得非负投资回报的一个必要条件是，提高的收益率Xt+b超过ξ，因此ξI+b>ξ必须满足。

因此，在极限b中→∞, eλ(IE+E0+b+ξ-ξ） 以1为界，因为IE+E0+b+ξ-ξ=ξI+b-ξ> 0和λ<0。从EQ.（21）的RHS开始，前导序项E0is公司-g、 我们声称E0是一个正常数，与g无关。假设E0的增长速度比g慢。然后是方程的一阶和二阶前导项。（21）和（22）是-通用电气-γpIE=-g+gγpIE（1+o（1））和-通用电气-γnIE=-g+gγnIE（1+o（1）），这是不一致的，因为γp6=γnE0是一个独立于g的常数。因此，我们可以表示E0as在公式（25）中，其中θ是一个有待确定的常数。然后是等式。（21）和（22）可重新表示为E0=-g+gγpIE+（λ-1.-γ-1n）eλ（θ-δ/α+kα+ξ-ξ） +o（1），（35）E0=-g+gγnIE+（γ-1便士-γ-1n）+（λ-1.-γ-1p）eλ（θ-δ/α+kα+ξ-ξ） +o（1）。（36）因此ieconverge到零的速度至少与g一样快-1否则E0有第二个以g为单位增长的前导订单项。让我们设置IE=C/g+o（g-1） 对于等式中的某些常数C。（25），（35）和（36），我们得出C=-（γpγn）-1(1 -λθ -λ/γn），其中θ满足等式（27）。