连续过程的鲁棒基本定理

2022-5-7 01:30:23

连续过程Sara Biagini的鲁棒基本定理*Bruno Bouchard+Constantinos KardarasMarcel Nutz§2018年8月17日摘要我们研究了模型不确定性下具有连续价格过程的连续时间金融市场，通过一系列可能的sical测度进行建模。引入了第一类无套利的稳健概念NA（P）；它指出，一个非负的、非差异性的规则不可能通过使用简单的交易策略而被免费超越。我们的第一个主要结果是资产定价基本定理的一个版本：NA（P）成立当且仅当每个P∈ P允许一个鞅测度，它相当于某个生命周期。第二个主要结果给出了一般未定权益最优s超套期保值策略的存在性，以及超边际价格的鞅测度表示。资产定价基本定理；第一类套利；超边缘二元性；非显性ModelAMS 2010受试者分类91B25；60G44；93E20*比萨大学经济与管理系，比萨，萨拉。biagini@ec.unipi。它+Ceremede，巴黎多芬大学和佳洁士大学，bouchard@ceremade.dauphine.fr.由ANR Liquirisk和Avenir投资公司（ANR-11-IDEX-0003/Labex Ecodec/ANR-11-LABX-0047）支持的研究英国伦敦经济与政治学院统计系。kardaras@lse.ac.uk.§纽约州北哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.NSF资助的研究授予DMS-1208985和DMS1512900。

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2022-5-7 01:30:27

作者要感谢副主编和审稿人的建设性评论。1简介我们考虑的是一个股票连续交易的金融市场。假定（贴现）股价过程S是连续的，但它在随机模型意义下的分布不一定是未知的。相反，市场是在概率测度族P下考虑的：每个P∈ P被理解为S的现实世界动态的一个可能模型。在此背景下研究了两个基本问题：是否存在套利及其与线性定价规则（资产定价基本定理）的关系，以及无套利价格的范围（超边缘定理）。我们引入了一个强大的市场生存能力概念，称为第一k ind的无套利，表示为NA（P）。给定或有索赔f≥ 0在到期日T时，假设vsimp（f）是在所有模型P下同时使FSIMP超化所需的最小初始资本∈ P、 vsimp（f）：=infx: H带x+HoST≥ f P-a.s.适用于所有P∈ P.在上面，我们只允许简单的交易策略H，因此没有与定义随机积分HoS相关的模拟——没有半鞅假设。然后我们的条件NA（P）假设Vsimp（f）=0意味着所有P的f=0 P-a.s∈ P.反过来说，如果P{f>0}>0对某些P成立，那么价格vsimp（f）应该是严格正的∈ P.当P为单态时，该条件对应于[26，定义1.1]；事实证明，这是一个市场可行性的概念，非常适合连续时间内的模型不确定性。基本定理的主要目的是从没有套利机会的情况下，推导出可套利测度或线性定价规则的存在性。在经典情况[11,13]中，这个度量相当于物理度量P。

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2022-5-7 01:30:30

对于离散时间市场中的模型不确定性，[7]的基本定理产生了一个鞅测度族Q，使得每个P∈ P由鞅测度控制；P族和Q族是等价的，因为它们具有相同的极集合。在连续过程的当前设置中，我们发现一个结果，在每个P都允许一个等价的鞅测度Q的意义上，该结果更强。另一方面，需要在较弱的情况下定义等价性：有必要考虑鞅函数中的质量损失；因此，测度Q可以在P的支撑之外分配质量。因此，测度的等价性只适用于一个随机时间ζ，鞅性质也是如此。更准确地说，我们假设我们的模型是建立在规范空间上的Ohm 在可能跳到墓地状态之前连续的路径，ζ是跳的时间。这种“寿命”是有限的，因此在所有P∈ P、但我可以在someQ下生活吗∈ 问：有了这些概念，我们的基本理论版本就说明了NA（P）对每个P都成立当且仅当∈ 存在一个局部鞅测度，使得Q和P在ζ之前是等价的。有关精确的说明，请参见定义3.3和定理3.4。[17]中考虑了一个相关的设置，其中S是连续路径空间中的规范过程。粗略地说，这里考虑的市场模型对应于宣布股票价格的所有路径都是可能的，或者包括P中的所有度量。因此，没有必要定义套利；在某些情况下，后者的缺失隐含在所有路径都是可能的事实中。

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2022-5-7 01:30:33

然而，在[17]中所述的对偶结果暗示了一个基本定理方向的结论；也就是说，在这个结果的条件下，必须至少存在一个鞅测度。文献[18]中报告了斯科罗霍德速度的类似结果。我们还参考了[12]f对交易期权背景下不同套利概念的讨论。有关离散时间无摩擦市场鲁棒基本定理的版本，请参见[1,7,8,43]；对于具有交易成本的离散时间市场，请参见[2,3,6,19]。本文的第二个主要结果是在我们的背景下提出了一个超边缘理论。假设NA（P）成立，让f≥ 0是一个目标，可在时间T测量。然后，我们建立了对偶性SUPQ∈QEQ[f1ζ>T]=infx: H带x+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P;当然，这是一个最优的交易策略。参见定理5.1中的精确陈述。证明中的论证线类似于[34]，其中假设P首先由鞅测度组成。在本例中，鞅性质仅在ζ之前成立，这需要一些额外的考虑。一般来说，在P由鞅测度组成的情况下，超边定理得到了很好的研究；参考[5,16,20,30,36,38,39,41,44,45]等，或当认为股票和期权的所有路径都可能交易时；参见，例如[10,12,17,18,23,25]。我们还参考[1,3,7,19,35]了解具体的时间市场。最后，在即将进行的独立研究[9]中，将通过功能分析方法，在比我们更普遍的市场中，在比NA（P）更强的条件下，确定成年差距的缺失。本文的其余部分组织如下。

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2022-5-7 01:30:36

第2节详细介绍了该设置，其中我们还定义了NA（P）。在第三节中，我们将讨论我们对资产定价基本定理的理解。第4节提供了一些关于前ζ等价鞅测度的技术结果；在第5节中，我们研究了超边缘定理。最后，附录收集了关于F"ollmer出口测度和本文正文中使用的特定路径空间的辅助结果。2.设置2。1可测空间和模型不确定性我们首先构建底层可测空间(Ohm, F）我们把报纸通读了一遍。设E是一个波兰空间，设dEbe是一个与E拓扑结构一致的完备度量，E邻接一个孤立的“墓地”状态△, 我们将与E:=E一起工作∪ {△}. 很容易看出，E是度量单位E（x，y）：=1下的波兰空间∧ dE（x，y）1{△/∈{x，y}}+1{△∈{x，y}∩{x6=y}，x，y∈E.然后我们定义Ohm 是所有路径的空间ω：R+→从阿吉文点x开始的E*∈ E、是[0，ζ（ω））上的cádlág和[ζ（ω）上的常数，∞), 式中ζ（ω）：=inf{t≥ 0：ωt=△}是ω的“寿命”。函数ζ取（0，∞] 自从x*∈ 这些路径是连续的。在引理A.7的附录中Ohm 具有自然的波兰拓扑结构。我们用B=（Bt）t表示∈R+标准过程，由Bt（ω）=ωt和F=（Ft）t定义∈R+自然过滤，Ft=σ（Bs，s≤ t）最终F=σ（Bs，s∈ R+。F停止时间的集合用T表示。包含F的最小右连续过滤用F+=（Ft+）t表示∈R+，而T+是所有F+停止时间的集合。有了这些概念，我们观察到{ζ≤ t} ={B（t）=△} ∈ 全速飞行∈ R+和ζ∈ T为了表示模型的不确定性，我们将使用(Ohm , F），而不是单一的衡量标准。

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2022-5-7 01:30:39

每一个∈ P被解释为现实世界动力学的可能模型；没有做出任何让步。我们说，如果一个属性对所有的P都持有P-a.s.，那么它准肯定地持有P（或P-q.s.）∈ P.我们将假设ζ=∞ P-q.s.因此，在现实世界的模型下，墓地状态实际上是不可见的；它的作用是吸收某些鞅测度的剩余质量。给定σ-G F、我们用L+（G）表示所有[0]的集合，∞]-P-q.s.定义的有值、G-可测量随机变量。2.2交易和套利可交易资产由一个Rd值、F适应和右连续过程S:R+×建模Ohm → 使S的路径是P-q.S.连续的。在本阶段，没有对S进行其他假设；特别地，不假设半鞅性质。然而，由于我们的无套利条件，结构性房地产将紧随其后。一个简单的可预测策略是过程H=Pni=1hi]]τi-1，τi]]，其中hi=（hji）j≤dis Fτi-1+-对所有人来说都是可测量的≤ n、和（τi）i≤这是一个τ=0的非减量T+值s等式。给定初始资本x∈ R+和简单可预测的策略H，我们定义了相关的财富过程XX，H=x+HoS=x+nXi=1dXj=1hjiSjτi∧·- Sjτi-1.∧·.此外，我们将Hsimp（x）定义为所有简单可预测过程的类，因此Xx，hre表示非负P-q.s.（s superscript“simp”在下文中充当“simple”的助记符。）给定T∈ R+和f∈ L+（FT），letvsimp（T，f）：=infnx∈ R+：H∈ HSMP（x）与Xx，HT≥ f P-q.s.obe索赔f相对于简单策略类的超边际价格。然后我们可以引入第一类无套利的概念，即当且仅当索赔为空P-q.s.定义2.1时，超边际价格为空。

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能者818

2022-5-7 01:30:42

我们说NA（P）在T∈ R+和f∈ L+（英尺），vsimp（T，f）=0==> f=0 P-q.s。当P为单态时，该条件与[26，定义1.1]一致。我们定义了有关过滤F+的简单可预测策略；然而，我们称这类可预测的过程(Ohm, F）与地球上的可预测过程一致(Ohm, F+。符号]]τi-1，τi]]表示随机积分。3资产定价的基本定理为了说明我们对资产定价基本定理的理解，我们首先需要引入前ζ等价的概念。定义3.1。给出了P和Q的两个度量(Ohm, F），我们说Qis pri或to-ζ相对于P绝对连续，如果Q<< P在空间（{t<ζ}，Ft）上保持不变∩ {t<ζ}）对于所有t∈ R+。这种关系用q表示<<ζP。如果Q<<ζP和P<<ζQ，我们说P和Q在-ζ等价之前，并用Q表示这一事实~ζP。在这一定义中，等价是指非规范化度量。也就是说，即使度量值是概率(Ohm, F），它们不需要是（{t<ζ}，Ft）上的概率∩ {t<ζ}），和Q~ζP并不意味着P（A）=1意味着Q（A）=1，即使A∈ 英尺∩ {t<ζ}。第二个值得注意的地方是（在《金融时报》上，尽管t∈ 两个概率的R+）等价性通常意味着在-ζ等价性之前，但反之则失败。下面的simpleexample演示了这些现象。例3.2。假设E是单身。那么，F是使ζ为停止时间和Ft的最小过滤∩{t<ζ}={, {t<ζ}对所有t∈ R+。因此，对于任意两个概率p和Q，在-ζ之前等价(Ohm, F）等于检查P{ζ>t}>0当且仅当Q{ζ>t}>0时，对于所有t∈ R+。

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2022-5-7 01:30:45

在(Ohm, F），可以规定概率赋予任何给定的法律ζ；设P为P{ζ<∞} = 0和Q等于Q{ζ>t}=exp(-t）对于t∈ R+，因此P是（{t<ζ}，Ft）上的概率∩ {t<ζ}）对于所有t∈ (0, ∞), 而Q是一个严格的子概率。还要注意的是，概率P和Q在ftwhenvert上并不相等∈ (0, ∞); 的确，P{ζ≤ t} =0和Q{ζ≤ t} >0代表所有t∈ (0, ∞).我们参考第A.2节进一步讨论之前的-ζ等价，并继续讨论局部鞅测度的相关概念。定义3.3。修正P∈ 概率(Ohm, F）是对应于P if Q的前ζ等价局部鞅测度~ζP存在一个非减量序列（τn）n∈N T+使得（i）τn<ζ∈ 林和林→∞τn=ζ保持Q-a.s.，（ii）（St）∧τn）t∈R+是所有n的（F+，Q）-鞅∈ N.所有此类概率Q的类别将用QP表示。以下是本节的主要结果，即资产定价的基本理论。在目前的版本中，它指出定义2.1的条件a（P）成立当且仅当我们能为每个可能的模型P找到（至少）一个先验ζ等价的局部鞅测度∈ P.定理3.4。当且仅当QP6= 尽管如此，P∈ P.我们强调，这个结果需要S的连续性；将其与[7]的离散时间情况进行比较。以下是该定理的直接结果，但实际上将在其证明过程中建立。推论3.5。让NA（P）等一下。那么S是eachP下的半鞅∈ P.准确地说，我们应该在上述陈述中指出过滤。事实上，P-半鞅性质在任何过滤F、F+或FP+（P-F+的增强）中等价成立，或者更一般地在任何中间过滤F中成立 G FP+；参见[31，提案2.2]。

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能者818

2022-5-7 01:30:48

我们将在第5节中阐述这一事实。定理3.4的证明。第一步。我们首先证明了简单的含义；也就是说，我们假设QP6= 尽管如此，P∈ P.修复T∈ R+和f∈ L+（FT）带Vsimp（T，f）=0。此外，让P∈ P可以任意但固定；我们需要证明f=0p-a.s。实际上，让xsimp成为所有形式为Xx，Hfor x的进程的类∈ R+和H∈ 辛普森（x）。根据假设，存在一些Q∈ QP。设（τn）n∈Nbe定义3.3中出现的定位序列。因为过程停止了·∧τ是Q-鞅，它遵循X·∧τ是所有X的局部Q-鞅∈ XSIMP和n∈ N.一个直截了当的论证表明x1[[0，ζ[]是所有X的Q-超鞅∈ Xsimp。让Xn∈ xsimp应确保Xn=1/n和XnT≥ f P-q.s.，则上述超鞅性质产生等式[f1T<ζ]≤ 等式[XnTT<ζ]≤ 等式[Xn]=1/n，n≥ 因此，等式[f1T<ζ]=0，这意味着Q{f>0，T<ζ}=0。从那时起~ζP和ζ=∞ P-a.s.，由此得出P{f>0}=0。这是定理3.4中“如果”蕴涵的完整证明。第二步。相反的含义将通过第三个等价条件建立。为此，考虑NA（P）：=NA（{P}）作为fixedp∈ P也就是说T∈ R+和f∈ L+（FT），vsimp，P（T，f）=0==> f=0 P-a.s.，其中vsimp，P（T，f）=inf十、∈ R+：H∈ Hsimp，P（x）与Xx，HT≥ f P-a.s。Hsimp，P（x）是所有简单可预测过程的类，例如，它的非负P-a.s.我们认为NA（P）成立的当且仅当NA（P）对所有P成立∈ P.（3.1）事实上，观察到Hsimp（x） Hsimp，P（x）表明NA（P）对所有P的有效性∈ P意味着NA（P）。要看到相反的情况，假设有∈ 使NA（P）失效。然后，就没有了∈ R+andg∈ L+（FT）使得vsimp，P（T，g）=0，P{g>0}>0。也就是说，对安恩来说∈ N存在Hn∈ Hsimp，P（1/n）使得X1/n，HnT≥ g P-a.s。

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2022-5-7 01:30:52

定义τn=infT∈ R+：X1/n，Hnt<0∈ T+，Gn=Hn]]0，τn]]。然后τn∈ T+作为S的路径是正确连续的，因此GNI是一种简单的可预测策略。因为τn=∞ P-a.s.，我们有Gn=HnP-a.s。；特别是，GnT仍然满足X1/n，GnT≥ g P-a.s.此外，τnguarante的定义表明X1/n，GNI是非负的P-q.s.——s的连续性在这一步中至关重要。考虑者f:=infn∈NX1/n，GnT∈ L+（FT）并注意，vsimp（T，f）=0在定义中保持不变。此外，我们还有f≥ gP-a.s.，因此P{f>0}>0，与NA（P）相矛盾。因此，（3.1）已经建立。第三步。鉴于（3.1），NA（P）如何暗示QP6=,对于任意但固定的P∈ P.因此，我们基本上处于经典随机分析和金融领域；特别是，我们可以使用附录中的工具以及[26,27]。定义Xsimp，Pas形式为Xx、HF或x的所有过程的类别∈ R+和H∈ 辛，P（x）。集合{X∈ Xsimp，P:X=1}具有[27，定义1.1]的基本性质，需要得出结论，即Xsimp，P是P-半鞅的，参见[27，定理1.3]，并且（立即扩展）条件NA（P）对Xsimp的闭包xp也是有效的，P-半鞅拓扑；见[27，备注1.10]。特别地，一个标准的局部化和积分参数（使用S在P下的局部有界性）表明S本身是一个P-半鞅。这个集合与所有的P-a.s。P下S的非负随机积分，使用一般可预测和S-可积被积函数。这可以通过使用简单随机积分相对于一般随机积分的密度（在半鞅拓扑中）以及一个同样使用S具有连续路径P-a.S的参数来看出。

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nandehutu2022

2022-5-7 01:30:55

因此，利用XP的NA（P）条件，我们推断了严格正（F+，P）-局部鞅Y的存在性，Y=1，使得Y S是（F+，P）局部鞅；参见[26，定理4]。现在我们可以使用附录中的定理A.6来构造一个概率Q~ζP，使得Y是Q相对于P的前ζ密度。利用Y S是（F+，P）局部鞅，ζ在Q下是可预测的（对于后者，参见附录中的定义A.4和定理A.6）和备注A.2，我们可以构造所需的T+值序列（τn）n∈那是什么·∧τnisan（F+，Q）-鞅∈ 最后一个事实就是Q∈ 然后得出结论。4.前ζ超鞅测度的动态规划性质为了证明第5节中的超鞅定理，必须知道（超）鞅测度集满足某些动态规划性质。在本节中，我们对作为我们模型主要对象的集合P施加假设，并展示这些属性是如何被相应的超鞅测度集合继承的。4.1附加假设和符号从现在起，我们假设波兰空间E是拓扑向量空间，路径ω∈ Ohm 从x点开始*= 0∈ E.对于x，y∈E，我们使用约定x+y=△ 如果x=△ 或y=△ . 莱特≥ 0.给定ω，ω∈ Ohm, 我们设定（ω）tΩ）s=ωs[0，t）（s）+（ωt++ωs-t） 1[t，∞)（s）。同时给出一个过程Z，我们定义Zt，ωs（～ω）：=Zt+s（ωt~ω），s≥ 0;请注意，时间变量的变化是我们定义的一部分。我们将arandom变量ξ视为一个时间常数的过程，因此ξt，ω（～ω）：=ξ（ω）tω）。我们用P表示(Ohm) 上所有概率测度的集合Ohm, 配备了弱收敛的顶级理论。

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2022-5-7 01:30:58

给定一个概率R∈ P(Ohm), 我们定义，ωbyRt，ω（A）=Rωt{ωt~ω：~ω∈ A} ，A∈ F、其中，Rω是给定FsatisfyingRωt{ω′的R的正则条件分布∈ Ohm : ω′=ω在[0，t]}=1，ω上∈ Ohm.Ftis可数生成的事实保证了Rωtis的存在；参见引理A.7和[46，定理1.1.8和第34页]。然后得出R-a.e.ω的厄特，ω[ξt，ω]=ERωt[ξ]=ER[ξ| Ft]（ω）∈ Ohm. （4.1）我们假设我们的集合P允许一系列（t，ω）-条件模型。更准确地说，我们从一个{Pt（ω）：t族开始∈ R+，ω∈ Ohm}P的子集(Ohm) 如果ω|[0，t]=|ω|[0，t]，则在Pt（ω）=Pt（)ω）的意义下进行调整。特别地，P=P（ω）独立于ω。与[30,37]中ζ的情况相比，我们施加了以下结构条件≡ ∞.定义4.1。一个适应族{Rt（ω）：t∈ R+，ω∈ Ohm} p的子集(Ohm) 在ζ之前是分析性的且稳定的，如果以下条件适用于所有t≥ s≥ 0,ω ∈ Ohm 和R∈ Rs（ω）。（A1）{（R′，ω）：ω∈ Ohm, R′∈ Rt（ω）} P(Ohm) × Ohm 是分析型的。（A2）Rt-s、 ω∈ Rt（ω）sω）表示R-a.e.ω∈ {ζs，\'ω>t}。（A3）如果ν：Ohm 7.→ P(Ohm) 这是英国《金融时报》-s-可测核与ν（ω）∈ Rt（ω）sω）表示R-a.e.ω∈ {ζs，\'ω>t}，则由\'R（A）定义的测度：=ZZ（1A）t-s、 ω（ω′）νR（dω′；ω）R（dω），A∈ F、式中，νR（ω）：=ν（ω）1{ζs，\'ω>t}（ω）+Rt-s、 ω{ζs，\'ω≤t} （ω），属于Rs（\'）ω。条件（A1）具有技术性质；它将用于可测量的选择参数。条件（A2）和（A3）是自然一致性条件，表明该家族在“调节”和“粘贴”下是稳定的附录A.1节回顾了分析集的定义。假设4.2。对于一个{Pt（ω）：t族，我们有P=pf∈ R+，ω∈ Ohm}在ζ之前是分析性的和稳定的。此外，St，ω是Pt（ω）-q.s。

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2022-5-7 01:31:01

ζt之前连续，ω- t、 f或所有t∈ R+和ω∈ Ohm.这类集合P的一个典型例子是它的所有定律P的集合，即半鞅sr·αudu+R·σudWu，每一个定律都位于其自身的概率s空间上，布朗运动W，漂移率α在给定的可测集合A中取值 Rd，和波动率σs，比如在正定d×d矩阵的给定可测集合∑中取值。在这种情况下，我们可以为所有（t，ω）取Pt（ω）=P，因为集合A和∑是常数；参考[32]。连续性条件显然满足规范选择S=带，然后NA（P）保持，例如，当A和∑是紧的。4.2在-ζ超鞅测度之前，出于技术原因，可以方便地使用s超鞅（而不是局部鞅）测度。本节的目的是定义一系列满足定义4.1条件的超可度量；它将用于构造超边缘定理（定理5.1）中的最优策略。我们首先需要定义前ζ绝对连续性的条件概念。定义4.3。Let（t，ω）∈ R+×Ohm P，Q∈ P(Ohm). 我们写Q<<ζt，ωP（有一些符号滥用）ifQ<< 财政司司长∩ {s<ζt，ω- t} ，s∈ R+。我们还需要考虑以（t，ω）为条件的财富过程∈ R+×Ohm.更准确地说，LetxImpt（ω）：=1+（HoSt，ω）τnH，St，ω：H∈ 辛普森∈ N, （4.2）其中hsimpi是所有简单可预测过程的集合，τnH，St，ω：=infs≥ 0:（HoSt，ω）s/∈ (-1，n）.在这里停车-1对应于财富过程的非负性，而在n处停止只是为了技术上的方便。本规范对xImpt（ω）的定义要点是对ω有一个可处理的依赖关系；在这方面，我们注意到集合hsimpi独立于ω。定义4.4。Let（t，ω）∈ R+×Ohm 和P∈ P(Ohm).

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nandehutu2022

2022-5-7 01:31:04

我们引入了setsPζt，ω（P）={Q∈ P(Ohm) : Q<<ζt，ωP}，Yt（ω）=Q∈ P(Ohm) : X1[[0，ζt，ω-t[[是一个Q-超鞅] 十、∈ Xsimpt（ω）,Qt（ω，P）=Pζt，ω（P）∩ Yt（ω），Qt（ω）=[P∈Pt（ω）Qt（ω，P）。Qt（ω）的元素在给出（t，ω）的-ζ绝对连续上鞅测度之前被调用。我们观察到{Qt（ω）：t族∈ R+，ω∈ Ohm} 是改编的。此外，我们从定理3.4中回忆起，Q6= 在NA（P）下。在本小节的剩余部分，我们证明了{Qt（ω）}族继承了{Pt（ω）}定义4.1的性质。提案4.5。家族{Qt（ω）}满足（A1）-（A3）。这个证明被应用到后面的引理中。为了便于参考，我们首先陈述以下标准结果。引理4.6。设A为Borel空间，设（A，ω）∈ A×Ohm 7.→ ξ（a，ω）∈R+是可测量的。然后，（a，R）∈ A×P(Ohm) 7.→ ER[ξ（a，·）]是令人厌烦的。证据例如，参见[37，定理2.3]证明中的步骤1。引理4.7。存在一个可数集H hs与可数集T 有界停止时间的T具有以下性质：给定（T，ω）∈ R+×Ohm Q∈ P(Ohm) 使得St，ω是ζt，ω之前的Q-a.s.conti numous- t、我们在（i）X1[[0，ζt，ω]之间有等价性-t[[是所有X的Q-超鞅]∈ Xsimpt（ω），（ii）X1[[0，ζt，ω-t[[是所有X的Q-超鞅]∈~Xt（ω），（iii）EQ[Xσσ<ζt，ω-[t]≥ 等式[Xττ<ζt，ω-t] 为了X∈~Xt（ω）和σ≤ τinT，其中Xt（ω）的定义与（4.2）类似，但仅使用i nteh∈~H.此外，如果St，ω[[0，ζt，ω-t[[是Q下的半鞅，上述等价于（iv）X1[[0，ζt，ω]-t[[是所有X的Q-超鞅]∈ Xt（ω），其中Xt（ω）的定义类似于（4.2），但使用任意可预测的被积函数。证据对于每个人来说≥ 0，设∧fsf是生成Fs的可数代数；参见引理A.7。设T为所有停止时间τ=nXj=1tjAj的集合，其中n∈ N、 tj∈ Q+和Aj∈：/Ftj。

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2022-5-7 01:31:07

此外，让我们来看看H Hsimpbe是所有进程的集合sh=nXj=0αj]tj，tj+1]，其中n∈ N、 0=t≤ T≤ · · · ≤ tn∈ 对于某些aij，Q+和形式为αj=nXi=0aij的每个随机变量αj∈ QD和Aij∈：/Ftj。很明显，（i）=>（二）=>（三）。要知道（iii）意味着（i），fix Q∈ P(Ohm)还有X∈ Xsimpt（ω）。我们首先观察到，必须证明（i’）EQ[Xσ∑<ζt，ω-[t]≥ 等式[Xττ<ζt，ω-t] 为了所有的X∈ Xsimpt（ω）和所有σ≤ τinT。事实上，因为T包含τ=u1A+v1a和σ=u形式的所有停止时间，其中u≤ 五、∈ Q+和A∈~Fu，可以很容易地得出，（i\'）意味着X1[[0，ζt，ω]的上鞅性质-t[[在有理时间，然后R+上的超鞅性质后跟右连续性。以表明（iii）意味着（i\'），fixσ≤ τ和T∈ R+应为τ≤ T该索赔将通过传递到不等式eq[Xσ∑<ζt，ω]中的适当限制来实现-[t]≥ 等式[Xττ<ζt，ω-t] )；（4.3）我们将自己定义为证据的草图。让X∈ 应给出Xsimpt（ω），并回忆一下，在ζt，ω之前，St，ω是（Q-a.s.）连续的- t、使用s-topping参数和单调收敛，我们可以简化为‘X:=X1[[0，ζt，ω-t[[是一致有界的。然后，使用支配收敛和另一个停止变元，我们可以简化为这样一种情况，即在ζt，ω之前，X也一致有界远离零- t、使用标准参数，我们可以找到一个简单的可预测被积函数序列（Hk），该序列具有确定的跳跃时间，使得Xk:=1+HkoSt，ω→ [0，ζt，ω]上的Xuniformly- t[[在Q-概率中。由于X有界且远离零有界，因此¨Xk:=1+（HkoSt，ω）τnHk，St，ω[[0，ζt，ω-t[[→对于一个足够大的n，Q-概率中[0，T]的Xuniformly∈ N

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2022-5-7 01:31:12

经过加法近似，我们可以得到与Hk相同的性质∈~H，我们可以使用支配收敛证明（4.3）foreach‘xkim的有效性与‘X的有效性相同。如果St，ω是Q下的半鞅，我们可以证明（iii）通过使用类似的参数以及关于随机积分的标准结果暗示（iv），特别是[42，定理II.21和iv.2]。引理4.8。族{Qt（ω）}saties（A1）。证据修正t≥ 0.有必要证明集合Γ：={（ω，P，Q）：ω∈ Ohm, P∈ Pt（ω），Q∈ Qt（ω，P）} Ohm ×P(Ohm) ×P(Ohm)是分析型的。事实上，一旦建立起来，Qt（·）图就是Γ的投影；也就是说，（A1）是满足的。作为第一步，我们展示了图（Pζt，·（·））：={（ω，P，Q）：ω∈ Ohm, P∈ P(Ohm), Q∈ Pζt，ω（P）}是Borel（4.4），特别是解析的。事实上，它由引理A.1得出，Pζt，ω（P）=\\q∈Q+Pζt，ω（P，Q），其中Pζt，ω（P，Q）：=Q∈ P(Ohm) : Q<< P关于Fq∩ {q<ζt，ω- t}.因此，必须证明{（ω，P，Q）∈ Ohm ×P(Ohm) ×P(Ohm) : Q∈ Pζt，ω（P，q）}是固定q的Borel。由于FQ是可数生成的，参考引理A.7，一个标准参数（见[14，定理V.58，P.52]和随后的注释）表明，我们可以构造Borel函数Dq：Ohm×P(Ohm)×P(Ohm) → 因此，Dq（·，Q，P）是Q关于Fq上P的绝对连续部分的Radon-Nikodym导数的一个版本。然后，Q∈ Pζt，ω（P，q）当且仅当EP[Dq（q，P）1q<ζt，ω-t] {Q<ζ- t} 。利用（ω，P，Q）7→ EP[Dq（Q，P）1q<ζt，ω-[t]- Q{Q<ζt，ω- t} 通过引理4.6和A.7，我们得出结论（4.4）成立。设σ，τ∈ T和X∈ Xsimpt（ω）；回想一下，X=xh是形式（4.2）。然后是映射（ω，Q）∈ Ohm ×P(Ohm) 7.→ ψH，σ，τ（ω，Q）：=EQ[Xττ<ζt，ω-[t]- 等式[Xσ<ζt，ω-t] Borel是引理4.6的结果。

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2022-5-7 01:31:16

如果（ω，Q）是这样的，则St，ω在ζt，ω之前是Q-a.s.连续的- t、引理4.7表明∈ Yt（ω）当且仅当ψH，σ，τ（ω，Q）≤ 0H∈~H，σ≤ τ ∈~T。利用图（Pt）和图（Yt）的明显嵌入Ohm ×P(Ohm) ×P(Ohm), 因此，Γ=图（Pt）∩ 图（Pζt，·（·））∩ 图（Yt）=图（Pt）∩ 图（Pζt，·（·））∩\\H∈~H，σ≤τ∈~T{ψH，σ，τ≤ 0}.这里我们使用了，如果（ω，P，Q）属于第一个交点，那么St，ω是P-a.s.，因此Q-a.s.在ζt，ω之前是连续的- T参考假设4.2。上面的表示表明Γ是解析集的可数交。引理4.9。族{Qt（ω）}saties（A2）。证据为了简单起见，我们陈述了s=0的证明；对一般情况的调查立即展开。修正Q∈ Q然后Q∈ Q（P）f或someP∈ P.我们将显示qt，ω∈ Pζt，ω（Pt，ω）∩ Q-a.e.ω的Yt（ω）∈ {ζ>t}；这意味着引理，因为Pt，ω∈ Pt（ω）对P-a.e.ω成立∈ Ohm, 参考假设4.2，因此Q-a.e.ω∈ {ζ>t}as Q∈ Q（P）。设Y为Q相对于P的前ζ密度过程（有关该概念的详细信息，请参见备注A.3），并设置Y=1[0，t）+（Y/Yt）1[t，∞),我们使用约定0/0=0。我们首先确定≥ 0，我们有Qt，ω<< Fs上的Pt，ω∩ {ζt，ω- t>s}事实上dqt，ω=~Yt，ωsdPt，ω在Fs上∩ {ζt，ω- Q-a.e.ω的t>s}∈ {ζ>t}。的确，让g≥ 0是一个可测量的随机变量；然后存在一个Fs+t-可测的随机变量g，使得gt，ω=g。回顾（4.1），我们得到了Q-a.e.ω∈ {ζ>t}thatEQt，ω[g1ζt，ω-t> s]=EQ[\'g1ζ>s+t|Ft]（ω）=EP[（Ys+t/Yt）\'g1ζ>s+t|Ft]（ω）=EP[~Ys+t|g1ζ>s+t|Ft]（ω）=EPt，ω[~Yt，ωsg1ζt，ω-t> s]。我们特别证明了Qt，ω<< Fs上的Pt，ω∩ {ζt，ω- t>s}表示所有∈ Q+holds表示Q-a.e.ω∈ {ζ>t}，引理A.1表示qt，ω∈ Q-a.e.ω的Pζt，ω（Pt，ω）∈ {ζ>t}。还有待证明qt，ω∈ Q-a.e.ω的Yt（ω）∈ {ζ>t}。

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2022-5-7 01:31:19

（4.5）让X∈ 然后我们观察到X=\'Xt，ω代表一些\'X∈ Xsimp。此外，让我们∈ T是有界的，那么σ=？，σT，ω- 对于某些有界的‘σ∈ T满足‘∑≥ t（X和σ都不依赖于ω）。我们有xσ=（\'Xt，ω）\'）σt，ω-t=（\'X\'σ）t，ω（其中\'X\'σ被视为随机变量）和thusEQt，ω[Xσζt，ω-t> σ]=EQt，ω[（\'X\'σ）t，ωζt，ω>σt，ω]=Q-a.e.ω的等式[\'X\'σζ>σ| Ft]（ω）∈ {ζ>t}。Ifτ≥ σ ∈ T是有界的且¨τ≥ “∑具有明显的意义，我们从Q的上鞅性质推断∈ YthatEQt，ω[Xσζt，ω-t> σ]=EQ[\'X\'σζ>\'σ| Ft]（ω）≥ 等式[\'X\'τζ>τ| Ft]（ω）=EQt，ω[Xτζt，ω-t> τ]对于Q-a.e.ω∈ {ζ>t}。引理4.7表示（4.5），证明是完整的。引理4.10。族{Qt（ω）}satis fies（A3）。证据同样，我们陈述了s=0情况的参数。让Q∈ Q然后∈ Q（P）对于某些P∈ P=P。此外，让t≥ 0，设ν为可测核，使得ν（ω）∈ Qt（ω）表示Q-a.e.ω∈ {ζ>t}。利用假设4.2和在定理4.8的证明中建立的可测性结果，可以得出集合{（ω，P′，Q′）：ω∈ Ohm, P′∈ Pt（ω），Q′=ν（ω），Q′∈ Qt（ω，P′）是解析的。让F*t利用可测选择定理，参见[4，命题7.49]，我们可以找到F*t可测量内核u′，使得u′（ω）∈ Pt（ω）和ν（ω）∈ Qt（ω，u′（ω））表示所有ω∈ F外{ζ>t}*t-可测Q-nullsetN′：/∈ Qt}∩ {ζ>t}和，例如，u′（ω）=Pt，ω代表ω∈ N′。然后我们可以找到一个Ft可测核u和一个P-空集N，使得u（ω）=u′（ω）代表所有ω/∈ N参考[4，引理7.27]。使用假设4.2和Q<<ζP，我们有u（ω）∈ P-a.e.ω的Pt（ω）∈ {ζ>t}；ν(ω) ∈ Qt（ω，u（ω））表示Q-a.e.ω∈ {ζ>t}。（4.6）根据假设4.2，度量‘P（A）：=ZZ（1A）t，ω（ω′）uP（dω′；ω）P（dω），A∈ Fis是P的一个元素；符号参见定义4.1。

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nandehutu2022

2022-5-7 01:31:23

集合Q（A）：=ZZ（1A）t，ω（ω′）νQ（dω′；ω）Q（dω），A∈ F.接下来，我们展示‘Q<<ζ′P；i、 e.“Q”<<\'P on Fs∩ {s<ζ}，s≥ 0.这对s来说是明确的≤ t因为“Q=Q”<<ζP=\'P在Ft.上，设s>t和letA∈ fst应确保P（A∩ {s<ζ}）=0。然后u（ω）{（A）∩ {s<ζ}）t，ω}=\'Pt，ω{（A）∩ {s<ζ}）t，ω}=0，因此`Qt，ω{（A∩ {s<ζ}）t，ω}=ν（ω）{A∩ Q-a.e.ω的{s<ζ}）t，ω}=0∈ {ζ>t}，乘以（4.6）。因此，Q（A∩ {s<ζ}）=EQE’Q[1A∩{s<ζ}| Ft]= 0根据需要。看到那Q∈ Y、让X∈~X（回忆引理4.7中的符号）；那么X1[[0，ζ[]是一个Q-超鞅。此外，注意到Xt，ω是标度空间Xt（ω）Xsimpt（ω）的一个元素，我们得到了Xt，ω[[0，ζt，ω-t[[isaν（ω）-所有ω的上鞅，使得ν（ω）∈ Qt（ω）。使用Fubini的定理，可以得出X1[[0，ζ[[如所需]是一个“Q-超鞅”。我们已经证明了∈ Pζ（`P）∩Y 证据是完整的。5超边缘对偶在这一部分中，我们提供了超边缘对偶和非最优策略的存在性。为此，我们需要扩大可接受的策略集，允许持续交易。我们首先介绍过滤G=（Gt）t≥0，其中gt:=F*T∨ NP这里是F*这是FTA的普遍完成，NP是所有P的（F，P）-空集合∈ P.此外，假设4.2适用于本节。假设NA（P）保持不变，那么推论3.5暗示了每个P的S的（G，P）-半鞅性质∈ 因此，我们可以在所有可预测过程中引入L（P）类(Ohm, G）在每个P下都是S-可积的∈ P.给定H∈ L（P）和P∈ P、我们可以在P下构造通常的随机积分hoS（对P的依赖在符号中被抑制，但也可参见[33]）。为了x∈ R+，我们用H（x）表示所有H的集合∈ L（P）使得x+HoS保持P-a.S。

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2022-5-7 01:31:26

对所有P都是非负的∈ P.为了与经典文献一致，以下超边缘理论用setQ表示：=[P∈PQPof在-ζ局部鞅测度之前；参见定义3.3。接下来的MMA 5.2提供了一个与设置Qof SuperMartingalMeasures等效的版本。定理5.1。让NA（P）保持，让T∈ R+设f：Ohm → [0, ∞] 是一个更高的半解析，GT可测函数和supQ∈QEQ[f1ζ>T]<∞.然后是SUPQ∈QEQ[f1ζ>T]=minx: H∈ H（x）与x+（HoS）T≥ f P-所有P的a.s∈ P.为了证明这个定理，我们首先证明Q可以等价地被它的陈述所取代。引理5.2。让NA（P）保持，让T∈ R+设f：Ohm → [0, ∞] 具有可测量的功能。然后是SUPQ∈QEQ[f1ζ>T]=supQ∈QEQ[f1ζ>T]。证据自从Q Q、我们只需要证明一个非平凡的不等式。FixQ∈ Q、让P∈ P是这样的<<ζP。通过附录中的备注A.3，我们可以构建一个cádlág适应的过程Y≥ 0，这是qp的-ζ密度之前的值。然后，与[28，命题3.2]相同的论点表明，我们可以写出Y=yd，其中D是D=1的anF+可预测的非增量过程，Y是一个P-a.s.严格正的cádlág（F+，P）-局部鞅，因此ys也是一个（F+，P）局部鞅。应用附录中的定理A.6，我们构造了Q~ζP，其相对于P的前ζ密度为Y。显然，EQ[f1ζ>T]=EP[YTf]≥ EP[YTf]=自f起的等式[f1ζ>T]≥ 0.仍然需要证明Q∈ QP，从Y是（f+，P）-局部鞅并且ζ在Q下是可预测的这一事实直接得出；参见附录中的定义A.4和定理A.6。本节剩余部分将用于定理5.1的证明。在证明过程中，T>0是固定的，f满足定理中所述的总和。我们将使用引理5.2，不再赘述。

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2022-5-7 01:31:30

为了简化符号，我们可以假设S=S1[[0，ζ[[上半解析函数的定义在附录A.1节中回顾。特别是，任何Borel函数都是上半解析函数。此外，我们设置g:=f1ζ>T；注意，g与f一样是上半解析函数。我们从证明定理的简单不等式开始∈ 假设存在H∈ H（x）使得x+HoST≥ g P-a.s.代表所有人∈ P.修正Q∈ Q然后就有了P∈ P使得Q~ζP。附录中的备注A.5表明，ζ是G+的质量强化GQ+的可预测停止时间。因此，H′：=H1[[0，ζ[[在Q+上是可预测的，因此x+H′oS在Q下是一个非负的局部鞅，特别是一个Q-超鞅≤ T}，我们看到x+H′oST≥ GQ-a.s.，现在考虑预期收益率x≥ 等式[g]。从那时起∈ Q是任意的，不平等“≥” 定理的基本原理如下。为了完成定理的证明，我们将在这一部分的剩余部分构造一个策略H satisf yingsupQ∈QEQ[g]+HoST≥ g P-所有P的a.s∈ P.（5.1）给定t≥ 0和一个上半解析函数h≥ 0开Ohm, 我们需要（h）（ω）：=supQ∈Qt（ω）EQ[ht，ω]，ω∈ Ohm.此外，我们表示F*= （F）*t） t∈R+。引理5.3。过程{Et（g）}t∈[0，T]是a（Q，F）*)-allQ的超级艺人∈ Q、特别是对于所有的Q∈ 问题：证据。让我们≤ t、鉴于命题4.5和引理A.7，我们可以修改[37，定理2.3]的证明，以确定Et（g）是F*t-可测上半解析，即所有ω的（g1ζ>t）（ω）=Es（Et（g）1ζ>t）（ω）∈ Ohm,这就是（g1ζ>t）=ess supQQ′∈QQsEQ′[Et（g）1ζ>t|Fs]Q-a.s.适用于所有Q∈ Q、式中QQs={Q′∈ Q:Q′=Q在Fs}上。自{ζ>T} {ζ>t}表示t≤ T，我们有g1ζ>T=f1ζ>Tζ>T=f1ζ>T=g。因此，上面的简单公式是toEs（g）=es（Et（g）），s≤ T≤ T（5.2）安第斯山脉（g）=ess supQQ′∈QQsEQ′[Et（g）|Fs]Q-a.s。

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2022-5-7 01:31:33

尽管如此，Q∈ Q、 s≤ T≤ T.（5.3）我们的假设是：∞ 和（5.2）在s=0的情况下应用∈QEQ[Et（g）]<∞ 对于所有的t；特别地，Et（g）在所有Q下都是可积的∈ 问：此外，（5.3）得出的结果是（g）≥ EQ[Et（g）| Fs]=EQ[Et（g）|F*s] Q-a.s.适用于所有Q∈ Q、 s≤ T≤ T、这是理想的超级马丁的属性。引理5.4。定义：t=lim supr↓t、 r∈QEr（g）对于t<t和Z′t:=ET（g），设N是所有ω的集合∈ Ohm 使得Z′（ω）不是cádlág，并且Z:=Z′Nc。然后（Zt）t∈[0，T]是一个cádlág，g+适应的过程，它是所有Q的Q-超马尔可夫过程∈ Q.此外，Z≤ supQ∈QEQ[g]和ZT=gp-a.s.适用于所有P∈ P.（5.4）证据。回想引理5.3。超鞅的修正定理[15，定理VI.2]得出，N是Q-极的，其定义上的极限实际上是Q-极集合外的极限，而且Z′是（G+，Q）-超鞅f或所有Q∈ 问：看到了吗∈ 我们定义了一个任意的P∈ P表示N为-null。实际上，我们可以分解N asN=（N∩ {ζ ≤ T}）∪ （N）∩ {ζ>T}）。第一个集合是P-null，因为{ζ<∞} 被认为是P极的。我们知道存在Q∈ Q这样P~ζQ.因为N是相对于F的Q-null*T、存在一个FT-可测Q-零集NQsuch，N NQ。现在~ζQ意味着NQ∩ {ζ>T}是P-null，然后N也是∩ {ζ>T}。因此，我们有了N∈ N尤其是N∈ 这意味着Z:=Z′nci仍然是所有Q的（G+，Q）-超鞅∈ Q、除此之外，Z的所有路径都是cádlág。此外，对于任何P∈ P、从gt=FTP-a.s.和（5.3）中可以看出，ZT=Z′T=ET（g）=gp-a.s.这仍然是（5.4）的第一部分。因为Zis G0+是可测量的，所以对于任何P，G0+等于F0+直到P-空集∈ P、还有P∈ P在F0+上由一些Q支配∈ Q、必须证明这一点≤ supQ′∈QEQ′[g]≡ E（g）Q-a.s.适用于所有Q∈ 问：这个事实的证明类似于[34，不等式（3.3）]的证明。

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能者818

2022-5-7 01:31:36

也就是说，它遵循引理5.3和ZthatsupQ′的构造∈QEQ′[Z]≤ supQ′∈QEQ′[g]。然后，一个显示supQ′∈QEQ′[Z]支配着任何Q的Q-本质上确界∈ 通过验证Q在F0+可测量的等效测量变化下是稳定的，参见定理A.6。我们省略了细节。引理5.5。让Q∈ 然后存在一个GQ+可预测过程hqq，它在Q下是S-可积的，这样z- HQoS是[[0，ζ]上的非递增Q-a.S[[∩[0，T]]。证据设σnbe为与Q相关的宣布序列f或ζ，并设置τn:=σn∧T设Q′是fta上的一个概率，它等价于Q，因此Sτnis a Q′-局部鞅；我们证明了Zτ是Q′-超鞅。实际上，让Y′=（Y′t）t∈[0，T]是Q′相对于qa的密度过程和过滤GQ+，一个具有单位期望的严格正Q-鞅。定义\'t:=Y\'t∧τn，t≥ 0;那么Y′是概率Q′相对于Q的密度过程，这是验证Q′的基本方法∈ 因此，Z是一个由Emma 5.4设计的Q′超级艺术家。当Gτn+上的Q′=Q′时，Zτ是一个Q′-超马氏体。因此，我们可以应用经典的可选分解定理（见[22]）来获得被积函数HQ，nsuch thatZτn- HQ，noSτnis非递增Q-a.S.结果之后是一个极限n的通道→ ∞.定理5.1的证明结束。我们现在可以用类似于[34，定理2.4]的证明的参数来构造（5.1）中的H。为此，我们重新定义S=S1[[0，ζ[[]。此外，我们将在过滤G和NP中工作 G、我们可以假定，在ζ之前，S的所有路径都是连续的，而不失一般性。（d+1）维过程（S，Z）在所有Q下本质上是一个G+半鞅∈ Q也就是说，S在ζ处可能没有一个leftlimit。

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2022-5-7 01:31:39

在构造[31，命题6.6]之后，存在一个G+可预测（因此G-可预测）过程C（S，Z），其值为inSd+1+（非负有限对称矩阵集），在ζ之前具有Q-Q.S.连续且不减损的路径，并且在每个Q下与Q-a.S.和h（S，Z）重合∈ Q、 ζ之前。这里h（S，Z）表示Q下（S，Z）的第二个特征；i、（S，Z）的连续局部鞅部分的二次协变量过程。设CS为对应于S的d×d子矩阵，设Cszb为对应于S和Z的二次协变量的d维向量。设At:=tr Cst为CS的迹；然后，在ζ之前，CS<< A Q-Q.s.和CSZ<< A Q-Q.s.（即，绝对连续性在极坐标集之外保持）。因此，对于cSt定义的导数，我们有dCS=cSdA Q-Q.s.和dCSZ=cSZdA Q-Q.s.：∈Sd+}，~cSt:=lim supn→∞CSt- CS（t）-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0和cSZt:=~cSZt{~cSZt∈Rd}，~cSZt:=lim supn→∞CSZt- CSZ（t-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0，其中所有操作都是组件式的，并且0/0:=0。Let（cS）⊕成为cS的Moore–Penrose伪逆，并定义G-可预测过程H:=（cSZ（cS）⊕关于[[0，ζ][[∩[[0，T]]，否则为0；我们证明了H s指数（5.1）。修正Q∈ Q.根据引理5.5，存在一个S-可积过程HQanda非减量过程KQsuch thatZ=Z+HQoS- [0，ζ]上的KQQ-a.s[[∩[0，T]]。（5.5）该主张未使用针对[31]主要结果的过滤可分离性假设。因此，通过它的等距，这意味着H在Q下是s可积的，在[[0，ζ]上Hos=HQos Q-a.s[[∩[0，T]]。现在（5.5）意味着- Z- HoS是[[0，ζ]上的非递增和非直观Q-a.S[[∩[0，T]]。注意到ztζ≤t=Et+（f1ζ>t）1ζ≤t=Et+（f1ζ>tζ≤t） =Et+（0）=0q-a.s，我们在[[0，t]\\[[0，ζ[]上看到Z=0。

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2022-5-7 01:31:44

由于H在该集合中也消失了，我们得出结论Z- Z- HoS是[[0，T]]上的非递增和非正Q-a.S。特别是Z+HoS≥ 0 Q-a.s.作为Q∈ Q是任意的，它很容易跟随Z+HoS≥ 零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时零时- Z- HoS是所有P在[[0，T]]上的非递增P-a.S∈ 因此，我们有SUPQ∈QEQ[g]+HoST≥ Z+HoST≥ ZT=gp-a.s.适用于所有P∈ Pand H∈ H（x）表示x=supQ∈QEQ[g]。这就完成了（5.1）和定理5.1的证明。附录。1.度量理论中的概念给出了一个可测空间(Ohm, A）让P(Ohm) A上所有概率测度的集合。A的普遍完成是σ场∩P∈P(Ohm)AP，其中AP表示A的P-完成。当Ohm 是一个具有Borelσf场B的拓扑空间(Ohm), 我们赋予P(Ohm) 具有弱收敛的拓扑结构。假设Ohm 是波兰人，然后是P(Ohm) 他也是波兰人。A子集A Ohm 如果它是另一个波兰空间在aBorel可测映射下的Borel子集的图像，则称为解析。解析集在可数并集和交集下，以及在Borel函数的正映象和逆映象下是稳定的。任何Borel集都是解析的，任何解析集都是普遍可测的。A功能f：Ohm → [-∞, ∞] 是上半解析的如果{f≥ c} 是解析forevery c吗∈ 特别是，任何Borel函数都是上半解析函数。关于这些结果和进一步的背景，请参阅[4，第7章]。A.2 F"ollmer的退出措施关于F"ollmer退出措施的重要参考文献为[21]和[29]；参见[40]及其参考文献，了解最新发展。与定义3.1相比，本节的第一个结果提供了一个替代性的、似乎更强的、对ζ之前绝对连续性概念的描述。引理A.1。设ξ为随机时间，P，Q∈ P(Ohm). 然后（A）∩{τ < ξ}) = 0 => Q（A）∩{τ < ξ}) = 0 τ ∈ T+，A∈ Fτ+（A.1）在当且在ly ifP（A）上成立∩ {q<ξ}）=0=> Q（A）∩ {q<ξ}）=0 Q∈ Q+，A∈ Fq。（A.2）证据。

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2022-5-7 01:31:48

很明显，（A.1）意味着（A.2）。相反，我们首先要注意的是，检查（A.1）F停止时间在Q中的取值非常多+∪ {∞}. 的确，让τ∈ T+被给予；然后τn:=inf（k+1）2-n:0≤ K≤ n2n，τ≤ k2-N（在哪里 = ∞) 是这样的停止时间和τn的序列↓ τ . 诺瓦∩ {τn<ξ}增加到A∩ A的{τ<ξ}∈ Fτ+ Fτn；因此，如果（A.1）对每个τn有效，那么P（A∩ {τ<ξ}）=0意味着P（A∩ {τn<ξ}）=0这又意味着Q（A）∩ {τn<ξ}）=0，因此Q（A）∩ {τ<ξ}）=0的单调收敛性。任意F-停止时间τ，Q中有无数个值+∪ {∞} 形式为τ=Pni=1tiAi，其中n∈ N、钛∈ Q+∪ {∞} 还有Ai∈ 它们是不相交的。因此，R（A∩ {τ<ξ}）=nXi=1RA.∩ {τ ≤ ti}∩ 艾岛∩ {ti<ξ}, R∈ {P，Q}因此（A.2）意味着（A.1）。备注A.2。让Q~ζP。引理a.1的结果是Q和P在Fτ上是等价的+∩任意τ的{τ<ζ}∈ T假设（τn）n∈Nis是一个非减量T值序列，使得τ：=limn→∞τn≥ ζ在Q-a.s.意义上保持不变。因为{τ<ζ}∈ Fτ+∩ {τ<ζ}的Q-测度为零，我们得出结论，P{τ<ζ}=0，即τ≥ ζ在P-a.s.意义上也成立。特别是，如果ζ=∞ P-a.s.，由此得出τ=∞ P-a.s.备注a.3。设P和Q是两个概率测度(Ohm, F） withQ<<ζP和ζ=∞ P-a.s.通过利用Radon–Nikodym定理的适当版本和cádlíg修正程序，可以确定P-a.s.非负cádlíg适应过程Y的存在性，使得Q（aτ∩所有τ的{τ<ζ}）=EP[YτAττ<ζ]∈ T+和Aτ∈ Fτ+。（A.3）上述过程Y将被称为Q相对于P的前ζ密度过程。当Q为P时，P为正~ζP。请注意，（A.3）唯一指定了Q，因为∩ {T<ζ}，T∈ R+，在∈ ftfζ-= F也是π系统。

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2022-5-7 01:31:53

因此，Q相对于P的前ζ密度过程的规格是唯一定义为P消失集的。支持Q~ζP和Y是Q相对于P的前ζ密度过程。特别是，由于Q和P在F0+上相等，ζ>0，（A.3）给出EP[Y]=1。此外，对于0≤ s<t<∞ 作为∈ Fs+，注意ep[YtAs]=Q（As∩ {t<ζ}）≤ Q（As）∩ {s<ζ}）=EP[YsAs]，这意味着Y是（F+，P）-上鞅。接下来的定理A.6，本质上是由于[21]中的F"ollmer，与之前的观察相反：从概率P和候选密度过程Y开始，构造了一个概率Q，其中Y是相对于Q的前ζ密度。该陈述需要以下概念。定义A.4。如果存在T+值的s等式（τn）n，则ζ在概率Q下是可预测的∈n确保所有n和Q{limn的Q{τn<ζ}=1→∞τn=ζ}=1。很明显，可以选择上述停止时间顺序来避免增加。此外，请注意，在-ζ之前的等效概率变化下，ζ的可预测性并不保持不变。备注A.5。根据[24，定理4.16]，ζ在Q下是可预测的，当且仅当ζ等于(Ohm, F+。定理A.6。设Y为严格正（F+，P）-上鞅，ep[Y]=1。然后，存在Q~ζP使得Y是Q相对于P的前ζ密度过程。此外，如果Y实际上是（F+，P）-局部鞅，则ζ在Q证明下是可预测的。回想一下，对于ξ∈ T+，σ-场Fξ-由集合{As]生成∩ {s<ξ}:s≥ 0，作为∈ Fs}。有了这个定义，我们观察到F=Fζ-, 因为bt是Fζ--可测量的≥ 0

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大多数88

2022-5-7 01:31:57

事实上，E∪ {△} 是A型还是A型∪ {△}, 哪里∈ B（E），对于任何这样的A，我们有{Bt∈ A} ={Bt∈ A}∩ {t<ζ}∈ Fζ-和{Bt∈ A.∪ {△}} = （{Bt∈ A}∩ {t<ζ}）∪ {ζ ≤ t}∈ Fζ-.根据[40，第4.2节]，我们可以构造ξ∈ 带P{ξ<∞} = 0安达概率Qon(Ohm, Fξ-), 这样的q（Aτ）∩ {τ<ξ}）=EP[YτAττ<ξ]适用于所有τ∈ T+和Aτ∈ Fτ+。特别地，Q{ξ>0}=EP[Y]=1。自Aτ∩ {τ < ξ ∧ ζ} ∈ Fτ+对于所有Aτ∈ Fτ+，上述公式也适用于ξ′：=（ξ∧ ζ)1ξ>0+ ζ1ξ=0. 因此，我们可以假设ξ∈ T+满意度0<ξ≤ ζ和P{ξ=ζ=1，以及Q（Aτ∩ {τ<ξ}）=EP[YτAττ<ξ]适用于所有τ∈ T+和Aτ∈ Fτ+。我们将把Qto扩展到F=Fζ上的概率Q-使Q{ξ=ζ}=1成立；这将立即建立（A.3）。定义一个映射ψ：Ohm → Ohm 如下所示：对于ω∈ Ohm,当t<ξ（ω）和ψt（ω）=△ 当ξ（ω）≤ t、因为F是由坐标投影和{ψ∈ ∧}=（{ω：ωt）∈ Λ ∩ E}∩ {t<ξ}）∪ {t≥ ξ} ∈ Fξ-坚持到底∈ E=E的R+和Borel子集∧∪ {△}, 因此ψ是（Fξ）-/F） -可衡量。通过构造，ζo ψ = ξ. 我们声称ξ≤ ξ o ψ也成立。事实上，自从ξ∧ t是英尺--可测量的∈ R+，[14，定理96，第一章V]暗示ξ∧ t=（ξ）∧ （t）o kt，其中k是通过kt（ω）=ω1[0，t）+△1[t，∞)对于ω∈ Ohm. 自ξ（ω）∧ t=ξo kt（ω）∧ t代表所有（ω，t）∈ Ohm x R+，插入t=ξ（ω）得到ξ（ω）=ξo kξ（ω）（ω）∧ ξ(ω) = ξ o ψ(ω) ∧ ξ(ω), ω ∈ Ohm,我们用kξ（ω）（ω）=ψ（ω）表示所有ω∈ Ohm. 因此，ξ≤ ξ o ψ. 最后一个不等式，结合ξ≤ ζ和ζo ψ=ξ，给出ζo ψ = ξ o ψ. 通过Q（A）=Q（ψ）定义F上的Q-1（A）对于所有人∈ F.通过构造，Q是Q的扩展，（A.3）遵循Q{ξ<ζ}=Q{ξ（ψ）<ζ（ψ）}=Q() = 最后，如果Y是（F+，P）-局部鞅，则（τn）是一个局部序列，并称为τ：=limn→∞τn。

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