基于轨迹的模型。极小极大定价界的估计

2022-5-9 10:39:43

Noname手稿号（将由编辑插入）基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。本文研究了基于一般轨迹的市场模型定义的未定权益的子复制和超级复制价格界限。在轨迹空间中没有事先的概率或拓扑假设，交易被假设在一定数量的场合进行，但不受数量限制，也不一定在时间上等距进行。对于一个给定的期权，可能的公平价格集合存在一个区间边界；与通常的无套利要求相比，这种区间存在于更一般的条件下。本文提出了一种计算期权边界的反向递归方法；定义价格区间的globalminmax优化通过动态编程简化为局部极小极大优化。引入了轨迹集，现有的非概率市场模型被视为一种特殊情况。给出了几个例子，说明了套利的存在对价格界的影响。1引言在不完全市场模型中，经典理论表明，在无套利假设下，存在公平价格区间。这种间隔由[21]中扩散设置中首先引入的子复制边界和超级复制边界给出（一般离散时间公式见[23]）。欧式未定权益Z的超复制价格界等于其在等价鞅测度集上的期望的上确界（子复制具有类似的特征）。对于人工智能。阿根廷马德普拉塔富内斯街CONICET3350号德加诺国立马德普拉塔大学：+549-0223-4752426 x 234电子邮件：ivandegano@mdp.edu.arS.

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2022-5-9 10:39:46

费兰多，瑞尔森大学，加拿大多伦多维多利亚街350号：416-979-5000 x 7415电子邮件：ferrando@ryerson.caA.冈萨雷斯，阿根廷马德普拉塔国家大学，富内斯街350号：+549-0223-4752426 x 234电子邮件：algonzal@mdp.edu.ar2I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez离散时间设置，此类对偶公式可在[23]和[17]中找到（第二参考假设有限概率空间）。事实证明，对于一大类随机模型，公平价格区间退化为绝对（即，模型独立，如（[27]））无套利界限。[20]中显示了连续时间，而[13]中显示了离散时间。这些结果依赖于对建模随机过程（即底层）增量的无界范围和非原子分布的假设。参考文献[14]研究了一类随机模型，其中公平价格区间不会被忽略到绝对界限。为了减少公平价格区间的大小，一个流行的替代方案是允许流动期权交易，以便更好地逼近非流动性衍生品。据推测，这是一种承认为基础资产提出的原始模型局限性的方式，以解释影响衍生品市场价格的自由度。任何假设的概率分布的建模以及建模随机过程的支持的具体说明都存在不确定性。这种不确定性的一个例子是崩盘模型（[19]），其中，股票下跌（崩盘）的数量、时间和规模是在没有概率假设的情况下处理的。不确定波动率模型（[5]）提供了一个需要一组非等效度量的例子。次线性期望及其相关的随机演算（[28]）给出了相关的发展。

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2022-5-9 10:39:50

为了适应这种不确定性，我们的一般设置不需要事先进行随机假设。最近和相关文献也得出了削弱或完全消除随机假设的结果；例如，我们提到了FTAPin[29]、[11]、[12]和[15]的健壮版本。本文给出了一大类围绕轨道空间建立的非概率模型的公平价格界的计算结果。[18]中给出了离散时间的一般框架，其中可以找到与标准随机模型的详细解释和联系。该设置是[10]中提出的模型的推广（另见[31]中的书展）。参考文献[30]给出了相关参考文献。我们在实例中表明，由此产生的公平价格区间比绝对界限给出的区间要小得多，并且直接建立轨迹集的建模任务，而不是首先规定概率分布，然后作为副产品获得其支持，是一个值得建模的企业。[22]中提供了现实模型以及与市场数据的初步比较。[18]中的一个基本结果是，尽管存在某种套利，但仍然存在公平的价格区间。我们从数值上展示了这种套利对价格边界的影响。对于随机模型和基于轨迹的模型，询问公平价格区间之间的差异是很自然的。一个主要的技术区别是，随机环境中的超边缘不等式被要求保持A.e.，这意味着需要评估基本函数和上函数，而一般来说，这在计算上是难以解决的。当涉及非等效度量时，需要使用极坐标集。

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2022-5-9 10:39:54

在一般离散时间环境下，提供评估子复制边界和超复制边界的一般方法的文献很少，我们只知道[13]。我们的设置和结果不需要处理度量值为零的集合，因此从一开始就避免了这种复杂性。我们建立了一般结果，允许对一大类基于轨迹的模型的公平价格界限进行评估。我们将注意力限制在单一的可交易资产上，但希望获得的结果可以扩展到更高的维度，而不会带来实质性的复杂性。为了进行比较，我们提到了参考文献[24]，它也适用于独立于模型的环境，尤其是基于行业的模型。最小-最大价格界限的评估。3不假设先验固定测度，并允许在超级复制投资组合中进行静态和动态对冲。金融环境是零利率和一项风险资产的无风险债券。我们考虑一个金融离散市场M=SW×H，元素{Si=（Si，Wi，M）}∈ 发誓的轨迹。坐标是可交易基础的值，而变量Wi（可能是向量值）代表用于确定轨迹集的其他可观察财务变量的值（坐标在后面描述）。H={Hi}∈ H是功能Hi:SW→ R代表交易策略。形式主义中包含的一般类模型允许某些套利机会，同时，在不引入逻辑或实际一致性的情况下，为期权提供公平的价格区间。我们给出了有效而严格的结果，可以评估[18]中的极小值优化给出的超复制和子复制优先级[V（S，Z，M），V（S，Z，M）]（见本文定义2.2）。由此产生的算法是一种基于动态规划的优化，适用于一般轨迹集。

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2022-5-9 10:39:57

为了有效地处理由此产生的局部极小极大优化，我们提出了一个几何程序，包括计算一组未来股票价值的凸包（见第4节）。这代表了所谓的凸包算法（在[10]中非正式介绍），但在这里做了严格的规定，并扩展到一般设置。与评估凸壳的可用方法（例如[4]）不同，我们隔离了包含所需解的凸壳的相关部分。此外，我们的方法适用于有限个点的情况，其最终效果是将局部最小最大值减少为单个最大值。最后一步是通过几何比率参数化hedging参数来实现的，它代表了凸包算法的本质。hedgingratio是出现在随机环境中的delta套期保值项的离散化版本，给出了非最优套期保值。我们在一般情况下对程序进行正式分析。由此产生的算法允许评估现实期权类别和一般轨迹集类别的公平价格界限。我们证明，对于一类具有凸回报的模型和期权，超级复制价格等于Cox-Ross-Rubinstein模型中的复制价格（见[16]）：这一结果已经在[30]的非概率固定时间框架和[14]的概率上下文中得到。此外，我们将[10]（另见[31]）的模型进行了扩展，允许轨迹相关的二次变化。最后，相关的数值例子说明了该方法的可行性和所研究模型的一些特点。本文的组织结构如下，第2节提供了本文的总体框架，并描述了本文剩余部分将使用的符号和相关结果。该部分介绍了0-中性的通知和公平价格区间。

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2022-5-9 10:40:01

第3节确定了在适当条件下，如何通过迭代动态编程程序恢复全局最小-最大优化，确定约束价格。第4节描述了第3节中描述的迭代过程如何通过一种有效的、基于几何的方法实现，我们称之为凸包算法。第5节描述了一些简单的模型以及一类允许（采样）二次变化的轨迹相关值的模型。对于最后一种情况，我们在第6节中描述了支持模型实现的数据结构。最后，第7节对本文进行了展望，并对可能的扩展进行了一些推测。附录包含补充和技术结果。4 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez2一般框架通常情况下，金融离散市场对交易进行的时间间隔[0，T]进行有限划分。指数i指0和T之间的时间T。为了灵活性和通用性，轨迹∈ SW的形式为S={（Si，Wi，m）}，其中Wi属于抽象集Ohm如果我们只需要定义一种平等关系。这种坐标被称为额外的不确定性来源（类似于包含标准过滤的强化过滤的情况）。在财务方面，数量被认为是可观察的。该框架允许投资者在任意市场事件的结果下重新平衡投资组合，例如，二次方差达到一定值。因此，与时间相关的轨迹被映射到一个空间，该空间依赖于变量W，该变量可以更好地联合约束成对序列（Si，Wi）。由于我们将对到期时间有限的期权进行定价，我们需要一个额外的信息，表明交易何时达到最终时间T。

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2022-5-9 10:40:05

我们用m表示这个轨迹坐标∈N.引入m对公平价格区间的计算很重要，因为设置的一般性不一定要求坐标wi包含任何明确的时间信息（有关几个样本，请参见第5节）。坐标m本可以正式并入WIM，但为了清楚起见，我们决定不这样做。我们从[18]中复制了一些必要的定义，如需进一步详细信息，请参考这些定义。定义1（轨迹集）给定实数和w，一组（离散）轨迹SW=SW（s，w）是以下集合w的子集∞= 西南∞（s，w）={s={Si≡ （Si，Wi，m）}i≥0:Si∈∑i，Wi∈Ohmi、 m∈Θ，S=S，W=W}，其中{∑i}i≥1和{Ohm}我≥1是R和Θ子集的族 N.元素∈ SWare打电话给Rajectories。我们注意到，如果S={（Si，Wi，m）}和S={（Si，Wi，m）}是两条轨迹，则可能发生在与S不同的时间，尽管W=W∈ 我们将使用符号是≡ Si+1-Sifor i≥ 0和定义M:SW→ N是S的第三个坐标上的投影函数，即M（S）=M。以下条件空间将起关键作用。让k≥ 0，为S∈ 使M（S）>k集合：SW（S，k）≡ {S\'\'∈ SW:M（S′）>k和（S′i，W′i）=（Si，Wi） 0≤ 我≤ k} 。注意SW（S，0）=S，如果∈SW（S，k），然后SW（S′，k）=SW（S，k）。

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2022-5-9 10:40:10

只要方便，元组（S，k）通常被称为节点。我们模型中的投资组合是[18]中轨迹集上的函数，但我们稍微修改了非预期条件，以适应变量m.definition 2（投资组合集）。投资组合H是一系列（成对）函数H={Φi=（Bi，Hi）}i≥0与Bi，您好：SW→ R.-据说每个S的投资组合H可用于SWif∈sw存在一个非负整数=NH（S），使得所有i的Hi（S）=0≥ 新罕布什尔州（S）和新罕布什尔州（S）≤ 男（女）。-投资组合H据说是在S自我融资∈ 我只喝了一杯≥ 0，Hi（S）Si+1+Bi（S）=Hi+1（S）Si+1+Bi+1（S）。（2.1）基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。5–对于所有S，S′，投资组合H被称为非预期if∈对于所有0，满足S′k=sk和W′k=wk≤ K≤ 如果i<min{NH（S），NH（S′），那么Φi（S）=Φi（S′）。考虑到∈ 对于自融资投资组合H，由VH（i，S）=Bi（S）+Hi（S）Si确定的投资组合价值等于VH（i，S）=VH（0，S）+i-1.∑k=0Hk（S）kS，在[i，i+1]期间，i=0，…，NH（S）-1.当然，VH（0，S）=B（S）+H（S）S。显然，为了指定自融资投资组合，提供非预期函数序列H={Hi}和相关实数V=VH（0，S）就足够了。如上所述，非预期条件与[18]中的定义2略有不同；新的条件更为普遍，在当前工作的背景下很有用。如果S={（Si，Wi，m）}i≥0和S′={（S′i，W′i，m′）i≥0，我们可以将条件改为i<min{NH（S），NH（S′）到i<min{m，m′）。使用NHis的条件更一般，它包含了投资者的信息。对于每一种策略，投资者都会选择一个阶段，根据市场信息或仅仅是他的直觉来清算投资组合。

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2022-5-9 10:40:13

对于等于S′的轨迹，这种选择可能不同。作为特例，在第3节中，我们将对所有H施加NH（S）=m∈ H基于轨迹的离散市场（简称轨迹市场）定义为M=SW×Hwhere H∈ H是可接受的、非预期的，并且在每个阶段都是自我融资的∈ 西南。这些模型是离散的，因为我们通过整数对潜在的投资组合再平衡进行索引。否则，股票图表和投资金额可以采用实数的一般子集，时间可以连续流动。假设零投资组合属于H，我们取N=0。如前所述，上述一些定义涉及[18]中材料的微小修改，但该参考文献中的大多数代数操作仅涉及第一坐标Si（在三元组中（Si，Wi，m））。这句话可以用来表明我们将依赖于[18]的结果在当前论文的背景下是有效的。在本文后面的几个例子中，将需要以下离散有界市场的概念。定义3（n-有界市场）如果存在常数n，则市场M=SW×H称为n-有界，因此：∈雨水管理设施（S）≤ n、当对n的引用无关紧要时，我们称M为有界的。我们使用以下无套利市场的定义。定义4（无套利市场）给定一个离散市场M=SW×H，我们称之为H∈ 韩式套利策略如果：s∈ 西南、VH（新罕布什尔州、南部）≥VH（0，S）。-s*∈ 新罕布什尔州西南部*),s*)) > VH（0，S）。如果H不包含套利策略，我们会说M是无套利的。让Z:SW→ R表示一般函数，我们将不时非正式地称之为导数或支付函数。有关Z的一般条件，请参见附录A，以保证下文所述数量的完整性。6 I.德加诺，S.费兰多，A。

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2022-5-9 10:40:16

冈萨雷斯定义5（条件最小-最大界限），给定离散市场M=SW×H，k≥ 0和∈ 使M（S）>k.设Z为SW上定义的函数，定义k（S，Z，M）≡ infH∈HsupS\'∈西南（S，k）[Z（S′）-新罕布什尔州（S）-1.∑i=kHi（S′）是\'。（2.2）还定义了Vk（S、Z、M）=-Vk（S，-Z、 M）。由于V（S，Z，M）和V（S，Z，M）仅通过S依赖于S，所以我们分别采用了V（S，Z，M）和V（S，Z，M）。这些量被称为价格界限。价格界限可以用更熟悉的方式重新设定：V（S，Z，M）=inf（V:H∈ H，V+NH（S）-1.∑i=0Hi（S）是≥ Z（S），s∈ SW）V（S，Z，M）=sup（V:H∈ H，V+NH（S）-1.∑i=0Hi（S）是≤ Z（S），s∈ SW）我们从金融随机模型中知道，如果市场不包含套利策略，则导数Z存在无套利价格区间。在我们的背景下，自由套利条件被发挥关键作用的0-中性市场的概念所取代。定义6（0-中性市场）如果vk（S，Z=0，M）=0，市场在节点（S，k）处有条件地为0-中性。对于k=0，我们将M称为0中性。0-中性市场的概念取自[18]，最初是在[10]中引入的，在其上下文中被认为等同于无套利。在我们的一般情况下，这只是离散市场无套利的必要条件[18，推论1]，同时考虑套利机会和完善的期权定价理论。0-中立性是获得明确公平价格区间的关键。定理1是针对一个有界市场，假设H在加法下是闭合的。这是为了避免引入更多的概念，结果更具普遍性，如[18]所示。定理1（价格区间）考虑有界离散市场M=SW×H和定义在SW上的函数ZD；Fix S∈ 斯旺德k≥ 0

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2022-5-9 10:40:20

如果H在加法下闭合，且SW（S，k）有条件为0中性，则VK（S，Z，M）≤Vk（S，Z，M）。特别是V（S，Z，M）≤V（S，Z，M）。证明结果来自于[18，定理1]中相同的计算。假设V（S，Z，M）≤V（S，Z，M），我们称[V（S，Z，M），V（S，Z，M）]为Z相对于M的价格区间。附录A提供了V（S，Z，M）和V（S，Z，M）有界的条件。可达性是期权定价的基本概念。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。7定义7给定离散市场M=SW×H，如果存在HZ，则称函数Z为可实现函数∈H使得z（S）=VHZ（0，S）+NHZ（S）-1.∑i=0HZi（S）是的，无论如何∈ 西南。在随机框架下，一个可实现期权存在唯一的公平价格。以下模拟结果适用于当前设置。推论1考虑一个离散市场M=SW×H，S∈ S，k≥ 0和Z是Swandasume上的一个函数，假设定理1的条件成立。如果Z是可达到的，那么Vk（S，Z，M）=Vk（S，Z，M）。[18，推论6]给出了证明。2.1全球、有条件和本地概念鉴于0-中立在我们的框架中的核心作用，必须找到确保市场为0-中立的简单检查条件。下面的定义8为该目标引入了两个基本概念：一个本地的、独立于投资组合的、基于SWof的M的0-中性属性的模拟，以及一个代表无套利属性本地模拟的概念。定义8（0-中立和无套利节点）给定一个轨迹空间，一个节点（S，k）：-（S，k）称为0-中立节点ifsupS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-（Sk）≥ 0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-（Sk）≤ 0.（2.3）-（S，k）被称为无套利节点ifsupS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）>0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）<0（2.4）或∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0。

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2022-5-9 10:40:24

（2.5）如果（2.3）在每个节点（S，k）保持不变，则称为局部0中性的SWI。如果（2.4）或（2.5）在每个节点（S，k）持有，SWI称为本地无套利。如果在每个节点上仅（2.4）保持不变，则表示SWSatifi符合上下特性。满足（2.4）的节点称为上下节点，满足（2.5）的节点称为层节点。一个0中立但不是无套利节点的节点将被称为套利节点。下一个命题给出了局部条件，确保离散市场在条件上是0-中性的。如前所述，在大多数代数操作中，只有第一坐标Si（在三元组中（Si，Wi，m））出现；因此，以下[18]的结果在我们的环境中成立。命题1考虑一个有界离散市场M=SW×H，如果SWI是局部无套利的，那么它是局部0-中性的。8 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez–如果SWI局部为0-中性，则为0-中性（根据定义6）。-如果SWI在本地无套利，且NHI是所有H的停止时间（在附录a定义15的意义上）∈ 那么M是无套利的。证明第一项紧接着上述定义8。接下来的两项是[18，定理2]和[18，推论3]的特例。3动态极小极大值边界可以说，试图直接评估（2.2）和相关表达式中所需的极小极大值优化是一项艰巨的任务。此外，问题的最小-最大公式没有给出关于如何通过展开路径值S，S，S，。。。考虑下一对数字，即U（S，Z，M）和U（S，Z，M）。这些数字是通过对每个涉及局部极小极大优化的实例进行动态或迭代定义获得的。

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2022-5-9 10:40:29

利用这些定义，我们提供了全局定义和迭代定义重合的条件。[10]中非正式地介绍了迭代构造的一个特例（另见[25]和[30]），用于具体的离散市场模型。在这里，我们以一种在更一般的模型类中可用的方式形式化该方法的有效性，同时指出与全局极小极大方法的差异。参考文献[7]和[8]提供了全局极小极大优化的动态规划版本。我们的方法不同，因为我们利用了我们环境中存在的特定假设。市场将被假定为有界的，所有投资组合在到期时间T时被清算；也就是说，每小时∈H，NH（S）=M（S）=M。将根据需要对H进行进一步限制。以下归纳定义给出了计算v（S，Z，M）的基本动态规划公式。定义9（动态界限）考虑一个有n个界限的离散市场M；对于定义在SW上的给定函数Zde，任何∈ SW和0≤ 我≤ n setUi（S，Z，M）=infH∈HsupS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）是′]如果0≤ i<M（S），如果i=M（S），则为Z（S），如果i>M（S），则为0。（3.1）同时定义用户界面（S、Z、M）=-用户界面，-Z、 M）。备注11。由于U（S，Z，M）和U（S，Z，M）仅通过（S，W）依赖于S，我们分别采用符号U（S，Z，M）和U（S，Z，M）。2.请注意，在定义9中，Hi（S）=Hi（S′）代表所有S′∈ 西南（S，i）。下一条注释表明，每当M是一个停止时间时，在附录a中定义15的意义上，动态边界仅取决于轨迹的历史。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。9备注2假设M是一个停止时间，乘以S∈西南。让我∈N和S′∈所有0的（S′j，W′j）=（Sj.Wj）≤ J≤i、如果我≥M（S），然后M（S）=M（S′），然后定义Ui（S，Z，M）=Ui（S′，Z，M）。

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2022-5-9 10:40:33

如果i<M（S），因为M是停止时间，S′∈SW属于SW（S，i）。因此，SW（S，i）=SW（S′，i）和ui（S′，Z，M）=infH∈hsups∈西南（S′，i）[Ui+1（~S，Z，M）-嗨（S′）i~S]==infH∈hsups∈SW（S，i）[Ui+1（~S，Z，M）-嗨（S）i~S]}=Ui（S，Z，M）。因此Ui（S，Z，M）=所有S′的Ui（S′，Z，M）∈ 使（S′j，W′j）=（Sj.Wj）对于所有0≤ J≤ 我的土地≥ 0.对于任何∈ 斯旺德0≤k<M（S），我们让IkSto成为节点（S，k）上的投资组合值集，换句话说≡ {香港（S）：H∈ H} R.（3.2）因此，根据备注1中的第（2）项，我们可以将（3.1）中的表达式改写为0≤ k<M（S），英国（S，Z，M）=infu∈IkSsupS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-UkS′）。（3.3）如前所述，其中一个目的是比较全局边界V（S，Z，M）和动态边界（S，Z，M）。在没有任何假设的情况下，我们有以下一般关系。定理2：离散n有界市场上定义的任何函数Z的M=SW×H和0≤k<n，以下不等式成立：Uk（S，Z，M）≤Vk（S，Z，M），（3.4）适用于所有S∈ 使M（S）>k。此外，英国（S，Z，M）≥Vk（S，Z，M）也是有效的。证明我们在k上进行反向归纳，对于k=n-1和S∈ 在M（S）>n的情况下游泳-1、全部∈SW（S，k）满足M（S′）=n。然后，我们从（2.2）和定义9得到vk（S，Z，M）=infH∈HsupS\'∈西南（S，k）[Z（S′）-香港(S)k+1-Sk）]=英国（S，Z，M）。现在让我们假设（3.4）适用于k，并考虑一个节点（S，k）-1） M（S）>k-1.修复H∈ H，为了所有的S\'∈ 西南（S，k）-1）当M（S）=k时，我们有k（S′，Z，M）-香港-1(S)(S′k)-Sk-1） =Z（S′）-N-1.∑i=k-1嗨（S）是‘≤ 喝一杯∈西南（S，k）-1） [Z（S′）-N-1.∑i=k-1嗨（S′）是]（3.5），因为Hi（S）=0≥ k、现在想想S′∈ SW（S，k），M（S′）>k。然后，通过归纳假设，Uk（S′，Z，M）≤Vk（S′，Z，M）=infH∈HsupS′\'∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=kHi（S′）iS′）.10 I.德加诺，S.费兰多，A。

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2022-5-9 10:40:37

因此，冈萨雷斯*∈ H，英国（S′，Z，M）-H*K-1(S)K-1S′≤ -H*K-1(S)K-1S′+infH∈HsupS′\'∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=kHi（S′）是‘’]≤ -H*K-1(S)K-1S+supS\'\'∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=kH*i（S′）是‘’]≤ 吃‘∈SW（S′，k）[Z（S′）-N-1.∑i=k-1小时*i（S′）是‘’]≤ 喝一杯∈西南（S，k）-1） [Z（S′）-N-1.∑i=k-1小时*i（S′）是\'。（3.6）最后，从（3.5）和（3.6）开始，它遵循∈西南（南、北）[英国（南、中、南）-H*K-1(S)K-1S]≤ 喝一杯∈西南（S，k）[Z（S′）-N-1.∑i=0H*i（S′）是“，”自从H*∈ H被认为是任意的（3.4）。下一个推论是命题1和定理2的结果，代表了0-中立条件的动态过程，推论2假设M=SW×H是一个离散的n-有界市场模型，Z≥ 0一个定义在W上的函数。如果SWS满足局部0-中性属性，则对于任何∈ 斯旺德0≤ 我≤ n:1。用户界面（S、Z、M）≥ 0.2. Ui（S，Z=0，M）=Ui（S，Z=0，M）=0。（1）我们通过反向归纳法进行证明，因为（S，Z，M）=Z（S）≥ 0或Un（S，Z，M）=0，这在定义上与任何S一样∈西南，米（S）≤n、假设+1（S、Z、M）≥0，对一些人来说≤我≤N-1和任何∈ 西南。如果我≥ 然后Ui（S，Z，M）=0或Ui（S，Z，M）=Z（S）≥ 0.另一方面，如果i<M（S），因为对于任何H∈ HsupS\'∈西南（南，一）[-嗨（S）iS′]≥ 0.ThussupS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）iS′]≥ 喝一杯∈西南（南，一）[-嗨（S）iS′]≥ 0和UI（S，Z，M）≥ 0.对于报表（2），首先假设M（S）≤ i、 thenUi（S，Z=0，M）=0。对于M（S）>i，等式来自定理2和上面的第（1）项，从0开始≤Ui（S，Z=0，M）≤Vi（S，Z=0，M）=0，其中最后一个等式来自命题1。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。11继续进行全局界和动态界之间的类比，我们得到了定理1的类比。首先我们需要下面的引理。引理1设M=SW×H为n有界离散市场，假设H在加法下闭合。设置∈ 斯旺德0≤ 我≤ N

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2022-5-9 10:40:41

假设在SWthen，Ui（S，Z+Z，M）上定义的Zand Zare实值函数≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）。（3.7）证明我们通过反向归纳进行；考虑第一个i=n，如果M（S）<n，0=Ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）=0+0=0。如果i=M（S）Z（S）+Z（S）=Ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）=Z（S）+Z（S）。假设（3.7）保持约0≤ i+1≤ n和任何S∈ 西南。如果我≥ 然后，和以前一样，我们有ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）。让我们用手来帮助H，所以，H+H∈ H，那么如果i<M（S），我们有ui（S，Z+Z，M）≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z+Z，M）-（嗨+嗨）iS′]≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）iS′+Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）iS′]≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）是“]+supS”∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-嗨（S）是\'。因此，由于H的泛型元素是Hand-Hare，所以它遵循了ui（S，Z+Z，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，Z，M）。定理3考虑一个n有界离散市场M=SW×H，一个定义在SWandS上的函数Z∈ 软件固定。如果sw满足局部0-中性性质，且H在加法下闭合，则ui（S，Z，M）≤用户界面（S，Z，M）。（3.8）用引理1证明Z=Z和Z=-Z和推论2我们有0=Ui（S，0，M）≤Ui（S，Z，M）+Ui（S，-Z、 M）。ThenUi（S，Z，M）=-用户界面，-Z、 M）≤用户界面（S，Z，M）。下一个推论表明，对于可实现的Z.12，动态界和全局界是一致的。I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez推论3考虑一个n-有界离散市场M=SW×H，0≤ k<n固定和S∈ 当M（S）>k时，设Z为SWAS上的函数，并假设SWis局部为0-中性，H在加法下闭合。

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2022-5-9 10:40:46

如果Z可以用组合HZ实现∈ H和-赫兹∈ H，thenVk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Vk（S，Z，M）。从定理2和定理3证明，它遵循vk（S，Z，M）≤英国（南、中、南）≤英国（南、中、南）≤Vk（S，Z，M）。注意，当Z是可实现的时，推论1是适用的，thusVk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Uk（S，Z，M）=Vk（S，Z，M）。3.1全套投资组合当Z不可达到时，我们有兴趣获得不等式（3.4）的相反结果。为了实现这一目标，有必要在投资组合集合上引入一些条件，以及其他条件，这些条件意味着不等式（3.4）中的等式，并导致一种有效的方法来计算动态边界。[7]中的结果表明，拥有所有可能的投资组合可能会导致建立预期的平等；这推动了全套投资组合的定义。定义10让我∈ N、函数h:SW→对于每个S，S′，R被称为i-非预期的∈swi<min{M（S），M（S′）和（Sj，Wj）=（S′j，W′j），对于所有0≤ J≤ i、然后得出h（S）=h（S′。定义11（全套投资组合）给定离散市场M=SW×H，考虑k≥ 0，S∈ SW，j≥ k和范围集，IjSW（S，k）≡ {Hj（S′）：H∈ H，S′∈ SW（S，k）}。如果域为SW（S，k）且范围为IjSW（S，k）的函数集arej非预期的，对于任何这样的k，S和j，与函数集Hj | SW（S，k）：SW（S，k）重合，我们会说H是满的→ RWH在哪里∈ H观察S（S，k）=S（S′，k）代表S′∈SW（S，k），它调整了符号IjSW（S，k）。当IjSW（S，k）时，有一种特殊但方便的可能性≡ R、对于任何k≥ 0和S∈ 西南。下面的定理4表明（3.4）中的等式适用于具有完整投资组合的有界市场。后者在某种意义上是自然的，即投资组合H所取的任何值Hj（S）∈ 对于一些S，H在实例j处∈ SW，也应该在任何S′处进行∈ SW（S，k）如果j≥ K

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2022-5-9 10:40:51

这意味着存在H′∈ H使得H′j（S′）=Hj（S）。实际上，任何一组集合都可以扩展到一个集合，正如我们接下来解释的，这个集合是满的。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。13J≥ k和h是j-非预期函数，definehi（S′）=（h（S′）如果S′∈ SW（S，k）和i=j，否则，我们接下来证明H是非预期的。让我们∈使Sl=Sland Wl=Wl为所有0≤L≤我和我≤min{M（S），M（S）}。假设第一个i=j。例如，如果S/∈西南（S，k），南（S）≤ k和我≤ 这是一个矛盾。然后，S，S∈ 西南（南，北）。因为h是j-非预期的，所以它遵循Hi（S）=h（S）=h（S）=Hi（S）。最后，情况i6=j很简单，因为Hi（S）=Hi（S）=0。定理4对于一般n-有界市场M=SW×H，其中H是满的，对于SW上定义的给定函数Z，我们有v（S，Z，M）=U（S，Z，M）。（3.9）证明由于定理2，我们只需要证明不等式V（S，Z，M）≤U（S，Z，M）。（3.10）我们在n上进行归纳。对于n=1，对于所有S∈ 我们有M（S）=1。然后，从（2.2）和定义9，V（S，Z，M）=infH∈HsupS∈西南[Z（S）-H（S）（S）-S） ]=U（S，Z，M）。现在让我们假设（3.10）适用于每个n有界离散市场模型，并考虑一个（n+1）有界模型，M=SW×H。修复H∈ H，让我们∈ 使M（S）>1。然后，我们可以应用mma 3，由此得出，cM是一个n有界市场，U（S，Z，M）=U（^S，^Z，cM），其中cM，^Z，^S在定义18中引入（该定义和引理见附录B）。然后，根据归纳假设，U（S，Z，M）=U（^S，^Z，cM）≥V（^S，^Z，cM）=infH′∈HsupS\'∈西南（S，1）[Z（S′）-（n+1）-1.∑i=1H′i（S′）是\'。因此，我们可以假设u（S，Z，M）>-∞, 因此对于S∈西南、南、中、中>-∞. 固定ε>0，则存在HS∈ 这样的话∈西南（S，1）[Z（S′）-（n+1）-1.∑i=1HSi（S′）iS′）<ε+U（S，Z，M）。因此-H（S）S+supS\'∈西南（S，1）[Z（S′）-（n+1）-1.∑i=1HSi（S′）iS′）<ε-H（S）S+U（S，Z，M）。

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2022-5-9 10:40:54

（3.11）由于H已满，因此存在Hε∈ Hε=任何S的手*∈SWHεi（S）*) = 恒生指数（S）*) 如果是*∈ SW（S，1）和i≥ 1,14 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez自{SW（S，1）}S族以来，函数HεI已被很好地定义∈SW是SW的一个分区。从（3.11）开始，接下来是thatZ（S）-（n+1）-1.∑i=0Hεi（S）iS<ε+supS∈西南[-H（S）S+U（S，Z，M）]，（3.12）现在假设S∈ 当M（S）=1时，则为u（S，Z，M）-H（S）（S）-S） =Z（S）-（n+1）-1.∑i=0Hi（S）i+1S，因为所有i的Hi（S）=0≥ 1.特雷弗雷斯（S）-（n+1）-1.∑i=0Hi（S）iS<ε+supS∈西南[U（S，Z，M）-H（S）S] 。（3.13）最后从（3.12）和（3.13）开始，它紧随其后∈HsupS∈西南[Z（S）-（n+1）-1.∑i=0Hi（S）iS]<ε+supS∈西南[U（S，Z，M）-H（S）S] ，然后v（S，Z，M）<ε+infH∈HsupS∈西南[-H（S）S+U（S，Z，M）<ε+U（S，Z，M）。由于ε是任意取的，（3.10）如下。3.2 u-端口组合的完整集合我们引入另一个条件来推导等式u（S，Z，M）=V（S，Z，M）。附录B.2提供了本节的大部分证明和一些必要的新符号。定义12（u-完全市场）我们将说，对于定义在SW上的实函数Z，n-有界离散市场M是u-完全的，如果是任何S∈ SW和1≤ k<M（S），存在*∈ H，验证k（S，Z，M）=supS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-H*k(S)kS′）。定理5如果M=SW×H是一个关于给定函数Z的n有界离散市场u-完备，则v（S，Z，M）=u（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。15证明正如定理4的证明一样，n=1所需的等式是明确的，我们通过对n的归纳来完成证明。假设M=SW×H是一个（n+1）有界的u-完全离散市场，然后通过引理5，附录B.2中的第2项，fM是n-有界的u-完全。

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2022-5-9 10:40:57

因此，现在求助于引理5的第1项和归纳假设，U（S，Z，M）=U（S，eZ，fM）=V（S，eZ，fM）。根据u-完备性，对于任何S∈ SWH是存在的*∈ H使得un（S，Z，M）=supS′的∈西南（S，n）{Un+1（S′，Z，M）-H*北区（S）是‘}。如果M（S）=n+1，eZ（eS）=Un（S，Z，M）=supS′∈西南（S，n）{Z（S′）-H*北区（S）是‘}≥ Z（S）-H*北区（S）是，如果是M（S）≤ n、 eZ（eS）=Z（S）-H*北区（S）是的，自从H*n（S）=0。在任何情况下v（S，eZ，fM）=infH∈HsupeS∈gSW[eZ（eS）-N-1.∑i=0Hi（eS）[ieS]≥≥ infH∈HsupS∈西南[Z（S）-H*北区（S）nS-N-1.∑i=0Hi（S）是]≥≥ infH∈HsupS∈西南[Z（S）-N∑i=0Hi（S）iS]=V（S，Z，M）。逆不等式来自命题2。综合考虑，下面的命题2和命题3为上述定理5的应用提供了实用的假设。命题2考虑一个n有界离散市场M=SW×H和一个具有0的节点（S，k）≤ k<M（S）。假设下面的一个假设成立：1。IkSis是R，2的一个紧子集。SWS满足节点（S，k）的上下特性（根据定义8），IkS=R。然后，存在u*∈ IkS，正在验证这一点∈IkSsupS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-UkS′）=supS′∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-U*kS′）。（3.14）此外，在IkS=R的情况下，存在R>0，使得| u*| ≤R.证明文件G:R→ R、 byG（u）=supS\'∈西南（南、北）[Uk+1（南、中、南）-UkS′，假设uk+1（S′，Z，M）<∞ 为了所有人∈ 西南（南，北）。首先假设上述假设1成立，因为对于任何S′∈ SW（S，k），由GS′（u）=Uk+1（S′，Z，M）给出的函数-UkS′是有限的，那么它的上确界G是下半连续凸的。如果IkSis紧，通过下半连续性，则存在u*∈ IKSV验证G（u）*) = 英孚∈IkSG（u）。假设2成立时的情况证明见附录B.2。16 I.德加诺，S.费兰多，A。

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大多数88

2022-5-9 10:41:02

请注意，对于M是停止时间的情况，S∈ S（S）*,k） k<M（S）*) 然后，（3.14）的左边是（S，Z，M）。命题3假设M=SW×H是一个n有界离散市场，M是一个停止时间。此外，假设对于任何∈斯旺德0≤k<M（S），集合i和w验证命题2的假设。德涅*k:SW→[S]∈斯威克斯比H*k（S′）≡ U*对于任何S\'∈西南（S，k），其中u*由命题2给出，k是（3.14）成立的。还有德涅*= （H）*i）我≥0h在哪里*i=0表示i≥ 新罕布什尔州M（S）*（S） =M（S）和VH*（0，s）=H*（S） S.（3.15），然后是H*= H∪{H*}, M*= SW×H*是一个u型完全离散市场。证据见附录B.2。4动态极大极小边界的凸包络本节提供了一种严格的方法来计算前一节中介绍的动态边界（S，Z，M）。在下文中，我们将假设动态界限是有限的，例如，应用定理2或在附录A中命题7的假设下，我们将考虑n有界离散市场M=SW×H（根据定义3）。对于S∈ SW和0<i<M（S）我们将给出一个几何过程，最初在[10]中针对一个特定示例介绍，以计算动态边界。对于一个任意但暂时固定的S′∈ 西南（南，北），集合l（x） =Ui+1（S′，Z，M）-ui（S′i+1）-x），即平面中穿过点（S′i+1，Ui+1（S′，Z，M））的线，具有斜率Ui。因此，Ui+1（S′，Z，M）-ui（S′i+1）-Si）是l 垂直直线x=Si。因此，对于每个固定的ui∈ IiS，有点滥用语言∈西南（南，一）Ui+1（S′，Z，M）-ui（S′i+1）-Si）是直线之间交点的最大纵坐标l x=Si。

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能者818

2022-5-9 10:41:06

n（S，Z，M）成为这些最大交点的最小值。要完成几何程序，请假设为S∈ 斯旺德0≤ i<M（S）that，Sdo（S，i）=nS′∈ SW（S，i）：S\'i+1≤ Sio6=/0和Sup（S，i）=nS′∈SW（S，i）：S′i+1>Sio6=/0。（4.1）这些集合是非空的，例如，如果节点（S，i）是0-中性的，并且存在轨迹S′∈SW（S，i）使得S′i+1=Sior（S，i）是一个上下节点。吃点东西∈ 高级督察（南、一）及高级督察∈ Sdo（S，i）表示基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。17u（Sup，Sdo）通过点（Supi+1，Ui+1（Sup，Z，M））和（Sdoi+1，Ui+1（Sdo，Z，M））：u（Sup，Sdo）=Ui+1（Sup，Z，M）-Ui+1（Sdo，Z，M）Supi+1-Sdoi+1。下面的定理6将说明li（S，Z，M）≡ 喝吧∈高级（南、一）特别职务∈Sdo（S，i）[Ui+1（Sup，Z，M）-u（高级，特别职务）iSup]=Ui（S，Z，M），（4.2）即Ui（S，Z，M），是参考线与垂直线x=Si的最大交点。备注3.1。有什么吃的吗∈ 高级督察（南、一）及高级督察∈ Sdo（S，i）用户界面+1（Sup，Z，M）-u（高级，特别职务）iSup=Ui+1（Sdo，Z，M）-u（高级，特别职务）伊斯多。2.在（4.1）中定义的集合也可以用交换严格不等式的另一种方式定义，即Sdo（S，i）=nS′∈SW（S，i）：S′i+1<Sio，Sup（S，i）=nS′∈SW（S，i）：S\'i+1≥ 西奥。命题4设M=SW×H为n-有界离散市场。那么，不管怎样∈ 斯旺德一世∈ n确保节点（S，i）是0-中性节点，Li（S，Z，M）≤用户界面（S，Z，M）。我们首先考虑的证据是Li（S，Z，M）<∞. 设δ>0，则有∈副手（南、一）安第斯多∈使…如此，使…如此≤Ui+1（eSup，Z，M）-u（eSup，eSdo）ieSup+δ。为了你∈ 假设你≤ u（eSup，eSdo），Li（S，Z，M）≤Ui+1（eSup，Z，M）-UieSup+δ≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-U是′]+δ。另一方面，如果u>u（eSup，eSdo），注意到通过备注3，Li（S，Z，M）≤Ui+1（eSdo，Z，M）-u（eSup，eSdo）ieSdo+δ≤Ui+1（eSdo，Z，M）-UieSdo+δ≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-U是′]+δ。ThenLi（S，Z，M）≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-U是′）+δ，对于所有的u∈ 对于所有δ>0的情况。

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2022-5-9 10:41:10

特雷弗利（S，Z，M）≤ 英孚∈IiSsupS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-UiS′=Ui（S，Z，M）。18 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯，李（S，Z，M）=∞. 然后，对于任意常数B∈ R有Sup吗∈ 高级督察（南、一）及高级督察∈例如：我认为≤Ui+1（辅助、Z、M）-u（高级，特别职务）我起床了。与上述类似的推理表明B≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-美国∈ IiS。因此（S，Z，M）=Ui（S，Z，M）=∞. 下一个定理需要额外的假设，它提供了一种更简单的方法来解决IiS=R情况下的优化问题，同时允许使用更有效的算法。我们注意到假设IiS=R是保证u（Sup，Sdo）的一种方便方法∈ IiS。定理6：设M=SW×H为n-有界离散市场。如果有的话∈ SWIiS=R假设S至少存在以下两种情况中的一种：∈ 等等，1。Li（S，Z，M）=Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)对于一些人来说∈助理（S，i）和So∈ Sdo（S，i）。对于任何S\'∈ 西南（南，北），0<a≤ |S′i+1-|≤ b（a和b可能取决于S）。然后，Ui（S，Z，M）=Li（S，Z，M）。证明它足以证明（S，Z，M）≤ Li（S，Z，M）作为逆不等式直接从命题4开始。我们只需要考虑Li（S，Z，M）<∞. 设δ>0，则存在So∈ 助理（S，i）和So∈ 使…如此，使…如此≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-Si）+δ。注意，在案例1中，上述方程式适用于So和So出现在案例1的陈述中。还有，新墨西哥州（S，Z，M）≤ 喝一杯∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-u（So，S）o)是的，存在*∈ SW（S，i）使得ui（S，Z，M）≤用户界面+1（S）*,Z、 M）-u（So，S）o)是*+δ.首先考虑假设1成立时的情况。

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2022-5-9 10:41:14

如果是*∈ Sdo（S，i），一个人应该有UI+1（S*,Z、 M）≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1），否则-u（So，S）*)> -u（So，S）o)这导致了矛盾UI+1（So，Z，M）-u（So，S）*)是o>Li（S，Z，M）。因此，Ui（S，Z，M）-δ≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1）-u（So，S）o)是*= 李（S，Z，M）。另一方面，如果*∈Sup（S，i），以类似的方式resultsUi+1（S*,Z、 M）≤用户界面+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)（S）oi+1-s*i+1）。ThusUi（S、Z、M）-δ≤ 用户界面+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)（S）oi+1-s*i+1）-u（So，S）o)（S）*i+1-Si）==Ui+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)是o= 李（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。19那么，假设1适用的情况的证明就完成了。在假设2成立的情况下，首先假设*i+1≤ Siand定义r=Soi+1-s*i+1Soi+1-Siδ>0。我们将通过矛盾的方式展示UI+1（S）*,Z、 M）≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1）+r.（4.3）为此假设*,Z、 M）>Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1+r，那么-u（So，S）*)> -u（So，S）o)+rSoi+1-s*i+1导致toUi+1（So，Z，M）-u（So，S）*)（Soi+1）-Si）>Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-Si）+rSoi+1-SiSoi+1-s*i+1>Li（S，Z，M）。后者与李的定义相矛盾。然后，由于（4.3）成立，Ui（S，Z，M）-δ≤Ui+1（So，Z，M）-u（So，S）o)（Soi+1）-s*i+1）-u（So，S）o)（S）*i+1-Si）+r，现在，因为r≤2baδ，它跟随ui（S，Z，M）≤ Li（S，Z，M）+δ+r≤ 李（S，Z，M）+1+2baδ.而如果*i+1>Si，以类似的方式产生i+1（S*,Z、 M）≤用户界面+1（S）o,Z、 M）-u（So，S）o)（S）oi+1-s*i+1）+rfor r=S*i+1-soi+1秒oi+1-Siδ<0。自从r≤ -2δ，它来自（4.4）Ui（S，Z，M）≤ Li（S，Z，M）+δ+r≤ 李（S，Z，M）-δ.然后，假设2适用的情况的证明就完成了。下面，我们得到了一些适用于套利0-中性节点的简化定义8。定义13考虑一个离散市场M=SW×H和一个0中性节点（S，k）。1。我们称（S，k）为正套利节点ifsupS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）>0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0.2。

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2022-5-9 10:41:17

我们称（S，k）为负套利节点ifsupS∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0和infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-<0.20 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯3。我们称（S，k）为套利节点IFSUP∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）=0=infS′∈西南（南纬，南纬）（南纬+1）-Sk）。观察在负套利中nodeSup（S，k）={S′∈SW（S，k）：S′k+1=Sk}≡ S=（S，k） SW（S，k），而在正套利nodeSdo（S，k）={S′中∈SW（S，k）：S′k+1=Sk}≡ S=（S，k）西南（南，北）。推论4设M=SW×H是一个n有界离散市场，并假设定理6第1项的假设成立。对于任何节点（S，i），0≤ i<M（S），要么是负套利节点，要么是正套利节点，S=（S，i）是非空的，它认为ui（S，Z，M）=supS′∈S=（S，i）Ui+1（S′，Z，M）。证明假设（S，i）是一个正套利节点，且∈ S=（S，i）=Sdo（S，i）。因此，任何Sup都是如此∈Sup（S，i）Ui+1（S′，Z，M）=Ui+1（S′，Z，M）-u（Sup，S′）（S′i+1-Si）=Ui+1（辅助，Z，M）-u（Sup，S′）（Supi+1-是）。因此Li（S，Z，M）=sup{Ui+1（S′，Z，M）：S′∈S=（S，i）}结果来自定理6。对于负套利节点，利用定理6和Sdo（S，i）、Sup（S，i）的替代定义（见备注3），证明类似。5个示例：通过另一个不确定性源定义的轨迹集本节提供了通过除存量外的另一个不确定性源（用W表示）定义的轨迹集示例。

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2022-5-9 10:41:21

提出了一类通用模型和离散化模型，并给出了具体实例：经典的二项和三项模型，以及基于抽样二次变量的模型。5.1区间市场任何人都不应产生错误的印象，即论文中描述的形式主义支持的模型集合可能很小，相反，该方法允许从历史数据、大量轨迹集合的随机样本、，我们参考了[18]，其中通过连续时间鞅的采样路径构造轨迹集，并参考了[22]，其中引入了所谓的操作模型，并与市场数据进行了比较。指导本节所述构造的一般原则是分离可观察量（代表感兴趣的变量），并通过施加与轨迹相关的约束和代表该可观察量的自由变量来定义轨迹空间。在某些情况下，这是基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。21流程允许施加自然约束，这些约束源于金融交易的离散性。在本示例中，为简单起见，W被选择为一维，并且在应用中意味着与沿着股票图表x（t）展开的可观察量所取的值相关联。后一个量可以在连续时间内展开，其未来值会受到W中编码的不确定性来源的影响。我们的论文中没有需要Si的基本结果≥0，但是这样做可以更容易地与常用模型连接。

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2022-5-9 10:41:25

以下定义假设给定：w=0，s，集合∑iR和Ohm我（0，∞).定义14我们将说，轨迹设置为SW 西南∞（s，w）是一个区间轨迹集，如果实数c>0，0<d<1<u和子集Q ∪∞i=0Ohm埃奇∈ 验证：1。D≤Si+1Si≤ 你是我的全部≥ 0,2. 0<Wi+1-Wi≤ c代表所有人0≤ 我<M（S），3。西医(S)∈ 问：对于一组投资组合H，我们设定M=SW×H，称M为区间市场。给定天鹅间隔轨迹集，回想一下，如果我们有两条轨迹∈ 西南∞（s，w）这样的（Si，Wi）=（s′i，w′i）对于所有i∈ N、这并不意味着M（S）=M（S′。特别是，可能是WM（S）∈ Q和WM（S）/∈ Q，因此是S∈ 斯旺德S/∈ 西南。备注4我们可以考虑特殊情况d=e-α和u=eα表示α>0。然后，上述定义中的条件1同样可以替换为日志Si+1Si≤α、我们稍后再回到这个案子。如上所述，区间轨迹集SW一般不需要是满足定义14中列出的约束条件的所有轨迹集。区间轨迹集可用于通过将{（x（ti），F（x，t，ti））}，一次一个索引i（即当曲线展开时）映射到其最近的路径{（Si，Wi，m）}i来建模数据图表x（ti）的展开≥这里F（x，t，ti）是一个可观察的量，随着路径的展开而改变；它可以表示任何感兴趣的变量，例如交易的数量或数量、时间、二次变化等。在时间T到期的期权合同中，SM（S）将是x（T）的一个可能值。引入WIA作为自变量，可以扩大定义14给出的模型的适用范围，并允许纳入套利0中性节点（见第6.2.1节）。区间集的特定实例或其有限版本（我们将在下面介绍）实际上会对容许轨迹施加进一步的约束。

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2022-5-9 10:41:29

一旦建立了这些进一步的规范，就可以通过组合方式定义产生的轨迹集，即允许成员国加入满足约束条件的所有可能的{（Si，Wi，m）}。这种定义轨迹集的方法将便于检查0-中性或上-下的局部属性是否满足要求。例如，假设一个区间模型，使得所有∈ 西南，Si+1∈ [dSi，uSi]适用于所有0≤ 我≤ n和fix一个节点（S，i）。显然，存在选择轨迹的可能性∈ SW（S，i）使得Si+1>Si，Si+1<Si，因此任何节点都是上下的，在这种情况下，市场结果是局部无套利的（见定义8）。22 i.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez下图显示了区间市场轨迹的典型步骤。uSiSi+1ISSSD接下来的两小节提供了区间市场及其一些属性的具体示例。首先，我们不假设区间市场包含满足约束的所有轨迹。5.1.1固定时间分割考虑固定时间分割∏，即对于时间间隔[0，T]，我们∏：0=T<T<·T<·tn=T是唯一可以重新平衡投资组合的时间。设置Ohmi={ti}表示所有1≤ 我≤ n、然后WI=t对于所有1≤ 我≤ n、此外，由于该选项在tn=T时过期，我们需要施加Θ={n}。因此有一个轨迹∈ 西南∞（s，w）在上述限制下的形式为s={（Si，ti，n）}ni=0。备注5对于任何投资组合集合H，离散市场M=SW×H，带SW西南∞（s，w）在上述约束下是一个n-有界离散市场。请注意，在一般的形式主义中，轨迹是有限的实数序列，因为M是一个n有界市场，所以定义i>n的SIF值是无关紧要的。对于所有S，条件M（S）=n∈ 西南∞（s，w）意味着WM（s）=tn=T。

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