然后，动态边界是凸的，由ui（S，Z，M）=1给出-杜-酒后驾车+1（Su，Z，M）+u-1u-酒后驾车+1（Sd，Z，M）。(5.1)2. 假设ZF是凹的，对于所有的S∈ SW（s，d，u，π）和0≤ i<n条件（4.1）成立，存在S′∈SW（S，i）使得S′i+1=Si。然后，动态边界是凹的，由ui（S，Z，M）=Zf（Si）给出。证据让我们∈ SW（s，d，u，π）；自从太阳出来≥ 有什么吃的吗∈ 高级（南、北）-1） 和Zf，Zf（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-S+向上）≥ 采埃孚太阳1.-太阳-松松-Sdn+ Sdn太阳-松松-Sdn= Zf（Supn）。同样，自从太阳≥ Sdo适用于任何Sdo∈Sdo（南、北）-1） Z凸，它跟随ZF（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-Sdon）≥ 采埃孚太阳1.-太阳-s-NSU-Sdn+ Sdn太阳-斯东森-Sdn= Zf（Sdon）。然后通过附录C中的引理6，Zf（Supn）-副秘书长（副秘书长、副秘书长）-锡-1) ≤采埃孚（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-锡-1） ，谢谢大家∈高级（南、北）-1） 还有Sdo∈ Sdo（南、北）-1). 因此，定理6的假设1成立，因此，Un-1（S，Z，M）=Zf（太阳）-u（苏，Sd）（孙）-锡-1） =1-杜-dZf（美国海军）-1） +u-1u-dZf（dSn-1).由于凸性的性质在标度和正线性组合下保持不变，因此从上面的结果可以看出：-1（·，Z，M）是凸的，仅取决于Sn的值-1.我们现在进行反向归纳；让0≤ i<n，假设Ui+1（·，Z，M）是凸的，并且是givenby（5.1）。然后，用我们用于n的相同计算-1，我们可以证明ui（S，Z，M）是凸的，并由（5.1）给出所有S∈ 西南。这就是（5.1）的证明。现在考虑一下我们的定理案例2中的陈述和假设，并取S∈西南（s，d，u，π）。因为ZF是凹的，所以它遵循ZF（Supn）-副秘书长（副秘书长、副秘书长）-锡-1) ≤ 采埃孚苏普1.-苏普-锡-1Supn-斯登+ 斯登苏普-锡-1Supn-斯登= Zf（Sn）-1） 谢谢大家∈高级（南、北）-1） 还有Sdo∈ Sdo（南、北）-1). 特别是ZF（Supn）-u（Sup，S′）（Supn-锡-1） =Z（Sn）-1).因此，定理6的假设1成立，然后-1（S，Z，M）=Zf（Sn-1). 此外，联合国-1（·，Z，M）是凹的。

最后，通过反向归纳，我们得到了期望的结果。24 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez[16]中介绍的标准二叉树模型是固定时间间隔市场的一种特殊情况。在该模型的典型节点中，Si+1的值只能为USI或DSIF，每个值为0≤ 二项模型很重要，因为它们可以通过让时间步长趋于零来近似连续时间模型。下一个命题表明，二项模型的V（s，Z，M）与导数的Cox-Ross-Rubinstein价格一致。这可以被看作是一般结果的特例（[18，定理8]），表明风险中性价格与相关基于轨迹的离散市场的价格边界相等。作为补充，请注意二项式模型是一个完整的市场（[17，定理6.8]），然后根据推论1，我们将有一个唯一的公平价格。命题6考虑M=SW（s，d，u，π）×H是一个具有参数u和d的二项市场，其中0<d<1<u。设Z=zf是一个欧洲导数的支付函数。然后，V（s，Z，M）=V（s，Z，M），由Cox-Ross-Rubinstein价格给出：V（s，Z，M）=n∑i=0nj！1.-杜-DJU-1u-DN-jZ（Suj+1dn）-j） 。证明我们将通过对n的归纳来证明它。设n=1，然后通过命题5，V（S，Z，M）=U（S，Z，M）=1-杜-dZf（美国海军）-1） +u-1u-dZf（dSn-1） 这是Cox Ross Rubinstein给出的一步二项模型的价格。假设v（s，Z，fM）是所有二项n有界市场fM的Cox-Ross-Rubinstein价格，并设M为二项n+1有界市场。接着是定理4和命题5，V（S，Z，M）=U（S，Z，M）=1-杜-dU（Su，Z，M）+u-1u-dU（Sd，Z，M），其中Su，Sd∈ SW（S，0）使得Su=u和Sd=ds。然后，根据引理3和定理4，u（Su，Z，M）=u（bSu，Z，cM）=V（bSu，Z，cM）u（Sd，Z，M）=u（cSd，Z，cM）=V（cSd，Z，cM），其中cM是一个二项n有界市场，bSu=Su和bsd=Sd。

然后，通过归纳假设，V（bSu，Z，cM）=n∑i=0nj！1.-杜-Dj+1U-1u-DN-jZ（Suj+1dn）-j） V（cSd，Z，cM）=n∑i=0nj！1.-杜-DJU-1u-Dn+1-jZ（Sujdn+1）-j） 。最后，替换和改变变量，得到v（S，Z，M）=n+1∑i=0n+1j！1.-杜-DJU-1u-Dn+1-jZ（Suj+1dn+1）-j） ，这是n+1步二项模型的Cox-Ross-Rubinstein。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。25三叉树模型最初出现在[9]中，比二叉树更灵活。股票价格可以向上、向下移动，也可以在usi和dSiateach节点之间取中间价，如下图所示。uSiSitttttt%%//bSidSiHence，0<d<b<u，b=1是不必要的。这样的市场模型是不完整的，因此，通过复制投资组合确定期权价值的技术不起作用。然而，我们可以找到选项值的上限和下限。下一个定理描述了一般不完全固定时间间隔市场M=SW（s，d，u，π）×H的最小最大边界SV（s，Z，M）和V（s，Z，M）。结果表明，欧式凸支付Z的界是完全确定的。结果也可以在[25]和[30]中找到。定理7考虑M=SW（S，u，d，π）×H一个固定的时间间隔市场，其中0<d<1<u。设Z=zf为一个欧式导数的支付函数，并假设它是凸的。1.如果全部0≤ 我≤N-1和S∈SW（s，d，u，π）存在Su，Sd∈SW（S，i）使得Sui+1=u sian和sdi+1=d Si，然后V（S，Z，M）由二叉树模型中导数的Cox-Ross-Rubinstein价格给出，其参数与区间模型相同。2.如果一切顺利∈ SW（s，d，u，π）和0≤ i<n条件（4.1）成立，存在S′∈ SW（S，i）比如S′i+1=Si，那么V（S，Z，M）=Zf（S）。（1）的证明见[30，定理1]。对于（2），回想一下V（s，Z，M）=-V（s），-Z、 M）。

既然Z是凸的，-Z是凹的。因此，根据命题5，U（S，-Z、 M）=-Z（S）。那么，V（S，Z，M）=-V（S），-Z、 M）=-美国，-Z、 M）=Z（S）。该定理假设恒定轨迹属于SW（s，d，u，π），即根据命题5第2项，对于每个节点（s，i），存在一条轨迹s′∈ SW（S，i）使得S′i+1=Si。如果这个条件不成立，那么上述定理的第2部分就不成立。例如，如果我们考虑一个b6=1的市场，很容易看到Ui（S，Z，M）=1-铜-cZf（美国）+u-1u-cZf（cSi）如果c<1，当b趋于d时，V（s，Z，M）显然趋向于V（s，Z，M）。5.1.2抽样二次变化（SQV）。本节介绍了一个离散市场模型，其中Si打算用x（t）图表股票对ex（t）建模，W代表轨迹的抽样二次变化，即wi=i-1.∑k=0（logSk+1-日志（Sk）。（5.2）26 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez注意到，当使用Si=ex（t）时，应该使用单词表来表示数据ex（t），而不是x（t）作为wedo，但我们允许自己在这一点上滥用语言。准备好了吗∈ N、 ∑i={ex，x∈ R+}和Ohmi={i-1.∑k=0（对数Sk+1-洛格斯克∈∑k}。我们认为∈Θ≡ N.因此，轨迹∈ 西南∞（s，w）的形式为s={（Si，Wi，m）}i∈N、 其中Wii由（5.2）给出。在本例中，定义14中定义区间模型的一般约束可以解释为对消耗的二次变化和图表值变化的绝对值施加约束，这两种约束都是在连续交易实例之间。如图4所示，让α>0，我们可以限制logSi+1Si≤α. （5.3）条件WM（S）∈ Q意味着我们处理的轨迹，其在区间[0，T]内的总采样二次变化属于先验给定子集Q，并取c≡α、 约束Wi+1-Wi≤cin定义14成立。

我们用SW（s，α，Q）表示SW的子集∞（s，w）满足d=e的定义条件14-α、 u=eα，c=α和Q。对于任何投资组合集H，我们将关联市场M=SW（s，α，Q）×H称为抽样二次变异区间市场（或短时间的SQV市场）。典型节点如下所示（Siec，Wi+c）（Siec，Wi+c）（Si，Wi）,,,,词≤α（Sie）-c、 Wi+c）（Sie）-c、 Wi+c）在[10]中引入的轨迹集可以作为定义14的特例，通过取q={v}来恢复。在下一节中，我们将研究如何评估intervalsmarkets有限版本的区间价格，尤其是SQV市场。我们将考虑一个有限集Q，它不必包含一个独立元素。接下来，我们将为这类轨迹提供适当的离散化，以及agrid数据结构，这将允许我们计算这些示例的动态边界。6离散化和网格数据结构6。1有限区间市场通过引入实数δ、β>0和自然数N、N，实现第5节中定义的区间市场的自然有限离散化∈ N.我们在这个基于轨迹的模型中假设。最小-最大价格界限的评估。27通过ex（ti）将坐标与图表值关联的部分→使用指数函数可以更容易地与通常的几何随机模型联系起来。然后，sian和wi被限制为∑i的集合≡∑（δ，N）={sekδ，k∈ {-N-N+1。，N} }Ohm我≡Ohm（β，N）={jβ，j∈ {0，…，N}。（6.1）参数δ和β提供了图表指数的自然离散化。备注6如果变量Wii与样本Si直接相关，例如，在第5.1.2节中的SQV市场中，∑iand具有唯一的离散化参数δ是很自然的Ohmi、 另一方面，如果Ohm我是离散的先验知识，不需要实现离散化。

例如，固定时间间隔的市场就是这样Ohm这是一个独特的元素。注意，对于任何轨迹S={（Si，Wi，m）}i∈N、 在一个区间内，市场总是认为w<w<··<Wm。因此，如果存在k∈ 使得Wk=Nβ，k必须等于m。那么，一个轨迹∈西南∞（s，w）带∑iandOhm由（6.1）定义，必须有M（S）≤N.因此，坐标系被限制为属于集合Θ={1，…，N}，（6.2），因此，根据定义3，相应的市场将是N有界的。为了确定软件的子集∞（s，w）满足定义14中列出的性质，设∧={n，…，nθ}Θ是正整数的集合，定义Q∧={nβ，…，nθβ}。在不丧失一般性的情况下，我们可以假设nθ=n。对于正整数p和q，我们用w（s，δ，β，p，q，n，λ）表示SW的子集∞（s，w）带∑，Ohm以及由（6.1）和（6.2）定义的满足定义条件14（在备注4中）的α=pδ、c=qβ和q∧的条件。我们将这类轨迹称为有限区间轨迹集和关联市场的有限区间市场SM=SW（s，δ，β，p，q，N，λ）×Hw，其中H是一个投资组合集。显然，有限轨迹集将具有有限基数。这些参数在有限离散市场的局部行为中起着关键作用。假设轨迹S={（Si，Wi，N）}i∈Nbelongs是一个有限的轨迹集SW（s，δ，β，p，q，N，λ）。考虑到约束Tpδ=α≥ |logSi+1-log Si |=|ki+1-ki |δ，SN能达到的最大值对应于SN=seNpδ。然后，为了允许这种轨迹，我们必须取N≤ 如果N≤ （N）-1） p，在定义8的意义上，可能存在套利节点的轨迹。例如，如果i≤如果i>Np，则为Np（seNδ，iβ，N）。属于SW（s，δ，βp，q，N，λ），N=（N-1） p，它满足NP=N-1<因此，还有一个步骤可用。

然后，对于任何轨迹S′∈西南（南，北）-1） 接下来就是≤ S\'N-1=SN-1=森δ，28 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯0 50 1000.80.850.90.9511.051.11.151.21.25v=0.0034Steps0 50 100 150 2000.80.850.90.9511.051.11.151.21.25v=0.0067StepsFig。对于s=1、w=0、δ=0.0058、N=300、N=200和p=3，1个轨迹集具有不同的二次变化。因此-1） 是一个套利节点。图1显示了有限轨迹集SW（s，δ，β，p，q，N，λ）中的随机轨迹，其中s=1，w=0，β=δ=0.0058，p=3，q=9，λ={100200}，N=300和N=200。它在每个显示器上显示100条随机轨迹。第一个对应于WM（S）=0.0034=100δ的轨迹，那么它们必须有M≤100; 而第二个对应于WM（S）=0.0067=200δ的轨迹，然后它们必须有M≤ 200.为了方便起见，轨迹显示在不同的显示器上，但它们属于同一轨迹集SW（s、δ、β、p、q、N、λ）。我们参考附录D，了解数据结构和算法的描述，该算法实现了有限的区间市场。6.2数值结果本节提供数值结果，说明第5.1.2节所述模型的一些特征。我们使用第6.1节中的有限模型和附录D中的数据结构和算法计算最小-最大期权约束价格。输出说明了calloptions的超级复制价格，涉及最大步数和不同跳跃大小p，以及存在套利节点时的变化。最后，给出了一些超边际和欠套期保值的近似值，以及可变波动率的影响。出于篇幅原因，我们不提供与软件实现相关的详细信息。

其他数值结果，对于不同类别的模型，以及基于市场的数据，可在[22]中找到。考虑一个为期两个月的欧洲看涨期权，对一只不支付股息的股票行使1美元，当前价格为1美元，股票的波动率等于σ=20%。基于Black&Scholar项目的模型。最小-最大价格界限的评估。290 50 100 150 2000.0260.0280.030.0320.0340.0360.0380.040.042N2Fig。2 U（0,0）和U（0,0）作为不同p值函数的收敛性。当s=K=1时，该假设的价格为$0.0326。定义=σ·T=0.04·=0.0067。我们通过取Q={v}和定义Wiby（5.2），建立了一个采样的二次变化轨迹集。重新计算Nis模型中轨迹的最大步数，因此β=v=0.0067，然后，对于给定的N∈ N、 对于β，我们有一个独特的值。因为W是根据S定义的，所以我们只需要一个唯一的参数，就可以构建SQV市场的最终版本。然后，我们在下面假设δ=β，并且依次假设q=p∈ N、 和N=pN，我们将考虑有限的SQV轨迹集SW（s，α，Q），其中α=pδ和Q={Nδ}。在这一部分中，我们将考虑满足条件（5.3）的集合（6.1）中的所有轨迹。设M=SW（s，α，Q）×H为一整套投资组合H的关联市场。图2显示了V（s，Z，M）和V（s，Z，M）在p=2,3,5且N从10到200变化时的收敛行为。当跳跃单位p大于1时，很明显，区间价格区间越窄，Black&Scholes价格就属于区间。此外，我们可以看到，随着p的增加，间隔变宽。原因是，如果p<p′是两个跳跃大小，那么参数为p的轨迹集包含在参数为p′的轨迹集中。

因此，当我们计算边界时，参数为p′的集合上的最大值高于参数为p的集合上的最大值。请注意一个细节，当N=5和N=10时，在跳跃单位为3和5的情况下，上界是相等的。当N=10时，该算法可以进行的最大跳跃为√N≈因此，虽然我们可以运行跳转第五单元的程序，但这种跳转并没有真正考虑到，也不会影响算法中期权的价格。下界也是如此。现在我们fix N=100，我们将计算不同起始水平股票的区间价格。设M=SW（s，α，Q）×H为一整套投资组合H的关联市场。图3显示30 I.德加诺、S.费兰多、A.冈萨雷斯。85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.1500.020.040.060.080.10.120.140.16S0图。3作为不同跳跃单位p=1,3,5,7的p.V（s，Z，M）和V（s，Z，M）不同值的函数的最小最大上界和下界价格。我们可以看到价格一上涨就上涨。我们注意到，对于较高的起始水平s，最小-最大界限非常狭窄。因此，对于较高的股票价值，跳跃对期权价格界限的影响较小。6.2.1套利节点对最小-最大边界的影响有趣的是，可以看到套利节点（定义8）对上述模型的影响。我们再次考虑具有与上述相同参数的有限SQV轨迹集SW（s，α，Q），但现在坐标wi不由（5.2）定义。也就是说，Widoes不依赖于股票价值。现在对这种轨迹集进行了修改，以便纳入套利节点：让Γ对应于SW（s，α，Q）的轨迹网格（根据D节）。

节点（k，j）是随机选择的，我们将其可达节点（k′，j′）更改如下：–如果k≥ 0，可到达节点是（k′，j′），其中-P≤ k′-K≤ 0和0<j′- J≤ p、 -如果k<0，可到达节点是（k′，j′），其中0≤ k′-K≤ p和0<j′- J≤ p、 这些定义给出了新的轨迹集，我们用SWarb（s，α，Q）表示，其中arb指的是轨道。观察修改后的轨迹集的轨迹Si+1=Sipassing通过无轨节点。图4显示了市场M=SW×Hand、修改后的Marb=Swarm×H、p=1和不同比例的套利节点的稳定稳定稳定区间的上下限。同样，图5显示了作为swith p=3函数的上限和下限。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。310.9 1 1.100.050.10.15BJ&N型号00。9.11.100.050.10.1540%套利节点00。9.11.100.050.10.1580%套利节点00。9.1 1.100.050.10.15100%套利节点0图。4最小-最大上界和下界价格（在本例中相同）作为存在与默顿下界（红线）相关的任意节点时的sfor p=1的函数6.2.2 Hedging提出的算法不仅允许我们计算V（s，Z，M）的值，还允许我们计算沿SW中每个可能轨迹提供投资的最优投资组合H。在第D.1节中给出的数据网格Γ的每个顶点（k，j）上，动态上限U（k，j）可用，并对应于非最佳值U（k，j）=±由方程式（D.4）给出。回想一下，U（k，j）和U（k，j）给出了通过该顶点的任何轨迹的唯一值。因此，我们可以确定最佳策略{H↑i} 我∈非∈ 斯比：H↑i（S）=u（k，j）如果（Si，Wi）=（sk，wj）。这种最佳策略是非预期的。研究H是如何↑实际上近似于Z，作为轨迹S的函数∈ SW，初始投资组合价值X。

在空头头寸中，对冲价值由byX+NH给出↑（S）-1.∑i=0H↑一(S)是（6.3）和X∈ R初始投资组合价值。图6显示了X=V（s，Z，M）+0.01和X=V（s，Z，M）的套期保值值（6.3）-0.03，对于s=1、p=3和N=100的随机轨迹，关于本小节开始研究的模型M=SW（s，α，Q）×H的欧洲调用Z。我们可以看到（6.3）32 I.Degano，S.Ferrando，A.Gonzalez0中的值。9 1 1.100.050.10.15BJ&N models00。9.11.100.050.10.1540%套利节点00。9.11.100.050.10.1580%套利节点00。9.1 1.100.050.10.15100%套利节点0图。5最小最大上下界价格（在本例中相同），作为存在与默顿下界（红线）相关的任意节点时的sfor p=3的函数。0.7 0.8 0.9 1 1.1 1 1.2 1.3 1.400.050.10.150.20.250.30.350.4X=V+0.01SNH（S）0.7 0.8 0.9 1 1 1 1 1 1.2 1.3 1.4-0.0500.050.10.150.20.250.30.350.40.45X=V- 0.03SNH图6 X=V（S，Z，M）+0.01和X=V（S，Z，M）套期保值值之间的比较-0.03和收益值。在第一种情况下，增加收益值。对于X=V（s，Z，M）的情况-0.03时，这些值与回报值非常接近。在多头头寸中，对冲价值由byX给出-全日空航空公司↓（S）-1.∑i=0H↓一(S)是（6.4）和X∈ R初始投资组合价值。对冲不足的投资组合↓其计算方法与H的计算方法类似↑, 但是使用给出下界U（k，j）而不是上界的值。图7显示了等式（6.4）中X=V（s，Z，M）的值-0.01和X=基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。330.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4-0.100.10.20.30.4X=V-0.01SNH（S）0.80.9 1.1 1.2 1.3 1.4-0.100.10.20.30.4X=V+0.03SNH图。

7 X=V（s，Z，M）套期保值价值的比较-0.01和X=V（s，Z，M）+0.03以及收益值。0.85 0.9 0.95 1 1.05 1.1 1.15 1.2-0.04-0.0200.020.040.060.080.10.120.14图。8 X=V（s，Z，M）和X=V（s，Z，M）的套期保值值与收益值之间的过度套期保值和欠套期保值比较。V（s，Z，M）+0.03，对于欧洲呼叫Z的随机轨迹。在这种情况下，我们可以看到（6.4）中的值低估了X=V（s，Z，M）的回报值-0.01. 对于X=V（s，Z，M）+0.03，这些值更接近回报。最后，分别使用X=V（s，Z）和X=V（s，Z）叠加上套期保值和下套期保值是有意义的。图8对M=SW（s，α，Q）×H，s=1，N=100，P=3.6.2.3可变波动性的影响进行了分析。本节说明了几个有限的SQV市场（在第5.1.2节中介绍）与∧集选择相关的最小-最大界限。回想一下∧给出了市场中各行业二次变化的可能值。34 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯1 2 3 4 5 6 7x 10-30.010.0150.020.0250.030.035欧洲Call二次变量1 2 3 4 5 6 7x 10-30.0040.0060.0080.010.0120.0140.016二次变量图。9对于K=1的欧洲电话和K=1且K=1.1的黄油饮料，作为Mθ中vθ=nθδ函数的最小最大上下限价格。Q_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6 Q_7 Q_80.010.0150.020.0250.030.035欧洲呼叫Q_1 Q_2 Q_3 Q_4 Q_5 Q_6 Q_7 Q_800.0050.010.0150.020.0250.03蝴蝶呼叫图。10对于k=1的欧洲Call和k=1且k=1.1的黄油fly Call，在Mθ市场中，作为Qθ＝{nδ，…，nθδ}函数的最小最大上下限价格。我们考虑第一个市场，其中∧是一个单态集{nθ}，其值为1≤θ≤ l和nθ<nθ+1。

相应的市场用Mθ=SW（s，α，Qθ）×H，1表示≤θ≤ l、 其中Qθ={nθδ}。图9显示了作为两个不同选项的二次变量值增加函数的上下限。欧式看涨期权和黄油期货看涨期权，按ZF（X）=（X-K） +如果X≤K+K（K-十） 如果X>K+K，我们将考虑s=1，α=3·p0。0067/200，N=Nand Nθ，范围从25到200。因此，我们建立了八个有限的SQV市场Mθ=SW（s，α，Qθ）×H。观察到，对于欧式呼叫的情况，相对于二次变化，边界单调增加，但对于黄油式呼叫的情况，行为不是单调的。值得注意的是，欧式通话的回报是一个凸函数，黄油的通话既不是凸函数，也不是凹函数。现在，我们将几个可能的二次变化值合并到集合Q中。为此，我们构建了有限的SQV市场Mθ=SW（s，α，Qθ）×H，在这种情况下，Qθ={nδ，…，nθδ}。图10显示了欧式通话和奶油式通话的上界和下界作为集合Qθ的函数。注意，对于European调用，上界图与图9中的上界图一致。这意味着上界只取决于集合Q的最大值。相反，基于区域的模型。最小-最大价格界限的评估。35对于所有Qθ，下界都是常数，因为下界仅取决于集合Q的最小值。在黄油流调用的情况下，随着Qθ的增大，上界单调增加，下界单调减少，因此反映了minmaxpricing的一般特征。7结论获得的一般结果可以有效地评估最小-最大界限，并适用于假定可能交易数量界限的一般行业市场类别。

我们对通常的选项进行显式计算，包括一个新模型，其中轨迹具有不同的（采样）二次变化值。数值实验表明，对于所介绍的例子，基于轨迹的方法可能会出现一些现象。特别说明了套利节点对价格的影响。通过对不同轨迹集的测试，我们得到了欧式期权的较窄价格区间。我们得出结论，为不同的设置设计合适的轨迹集是一项相关的任务。参考文献[22]介绍了反映实际约束的模型，以及市场数据估计的参数。本附录提供了关于极小极大函数的主要结果，以及与V和V有界性的关系。我们需要以下定义。定义15（停止时间）给定轨迹空间SWa基于轨迹的停止时间（或简称停止时间）是一个函数ν：SW→ N这样，如果S，S′∈ swsk=S′and Wk=W′kfor0≤ K≤ν（S）然后ν（S′）=ν（S）。概率环境下的支付所需的可积条件在建议的框架中被所谓的极小极大函数（在[18，定义14]中介绍）取代。在下文中，考虑离散市场M=SW×H，以及SW上定义的函数Z。定义16（上限和下限极小值函数）给定一个特定的停止时间序列（νi）Ni=1，其中νi<νi+1为1≤i<n，一个实序列（ai）Ni=1，和b∈ R、 我们称Z为上极小极大函数ifZ（S）≤N∑i=1aiSνi（S）+b，s∈ 西南。类似地，Z被称为下极小极大函数ifZ（S）≥N∑i=1aiSνi（S）+b，s∈ 西南。给定一个特定的停止时间序列（νi）Ni=1，其中νi<νi+1为1≤ i<N，且实数序列（aj）Nj=1，set（为方便起见，setν=0），definal（S）=N∑j=iajifνi-1(S)≤ l<νi（S）为1≤ 我≤ N、 对于l，Al（S）=0≥νN（S）。

（A.1）同样，对于H∈ 定义功能H（A）i:SW→ R、 对于S∈ SW，byH（A）i（S）=Hi（S）+Ai（S）如果0≤ i<νN（S），其中VH（A）（0，S）=A和NH（A）（S）=max{NH（S），νN（S）}。（A.2）H（A）=（H（A）i）i≥在上述定义中，0是SW上的投资组合，适用于任何H∈ 在下一个引理中得到了证明。首先注意，对于固定的1≤ i<N和S∈ 我们有aiSνi（S）=aiS+∑νi（S）-1l=0ai是的。塞恩∑i=1aiSνi（S）+b=νN（S）-1.∑l=0Al（S）lS+AS+b.（A.3）36 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨勒兹勒玛2假设νN（S）≤ M（S）代表每个S∈ 西南。对于H∈ 由（A.2）定义的H，H（A）是SW上的一个投资组合。证明只要证明（A.1）定义的函数Al为0就足够了≤ l<νN，是非预期的。因此，假设forS，S′∈Sj=S′j0≤ J≤ 用l<min{NH（A）（S），NH（A）（S′）表示。根据（A.1）可知，存在1≤ 我≤ N这样的部分=N∑j=iaj，带νi-1(S)≤ l<νi（S）。（A.4）假设Sj=S′j0≤ J≤νi-1（S），然后νi-1（S）=νi-1（S′）。如果不是l，它也必须是l<νi（S′）≥νi（S′）=νi（S）与（A.4）不冲突。因此Al（S）=Al（S′）。根据上面的引理，S∈ SW和任何S\'∈ 西南（南，北），北-1.∑l=0Al（S′）lS′=k-1.∑l=0Al（S）是的。（A.5）下一个自然命题给出了V（Z）和V（Z）的无边界的关键陈述。提议7让我们∈ SWbe fix和k≥ 0，然后是1。Vk（S，Z，M）<∞ 当且仅当存在b∈ R和Hb∈ H以至于z（S′）≤国家公路局（S′）-1.∑i=kHbi（S′）是′+b，代表所有的S′∈ 西南（南，北）。（A.6）在任何情况下vk（S，Z，M）≤ b、 二,。如果存在b∈ R和Hb∈ H以至于z（S′）≥国家公路局（S′）-1.∑i=kHbi（S′）是′+b，代表所有的S′∈ SW（S，k），（A.7）和下面两个陈述中的任何一个都成立：（A）M在（S，k）和任何H条件下为0-中性∈H，~H定义为~Hi=Hiif i≤k和Hi=Hi-Hbiif i>k，其中n~H=max{NH，NHb}和V~H（s，0）=VH（s，0），属于H。（b） M是n-有界的，因此满足局部0-中性性质。然后Vk（S，Z，M）>-∞.第（1）部分的证明。

自那时起∞, 存在血红蛋白∈ H和b∈ R就是这样∈西南（S，k）[Z（S′）-国家公路局（S′）∑i=kHbi（S′）iS′]≤ b、 从（A.6）的位置。相反地，如果（A.6）是有效的，那么vk（S，Z，M）显然是有效的≤ 喝一杯∈西南（S，k）[Z（S′）-国家公路局（S′）∑i=kHbi（S′）iS′]≤ b、 第（2）部分的证明：H是一个非预期函数，然后根据一般假设vk（S，Z，M）≥ infH∈HsupS\'∈西南（S，k）[NbH（S′）-1.∑i=kHbi（S′）是‘-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′）+b==infH∈HsupS\'∈西南（南、北）[-N~H（S′）-1.∑i=k~Hi（S′）iS′]+b（A.8）现在使用（A）中的条件，它遵循vk（S，Z，M）≥ infH∈HsupS\'∈西南（南、北）[-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′）+b=b。对于假设（b），考虑由所有H和H组成的portfoliosfH集合∈H在（a）中定义，然后市场SW×Fh为n有界且局部0-中性，然后根据命题1，条件0-中性。因此（A.8）的右侧等于tob。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。377号提案适用于更一般的情况。第二部分中的n-有界条件可以替换为[18]中定义的初始有界条件，如下所示。定义17给定离散市场M=SW×H和H∈ H如果存在一个有界函数ρ：SW，我们将调用NHinitially bounded→ N（可能取决于H）使得对于所有S∈ SW:NHis在SW（S，ρ（S））上有界。（A.9）在这个假设下，定理1继续成立，然后，我们可以用这个术语表述下一个命题。但是，由于目前的工作集中在n-有界市场上，我们给出了命题8对这类市场的证明。注意，如果NHisbounded，则它最初是有界的，ρ=nHis满足定义。命题8：设M=SW×H为离散市场，Z为SW上定义的函数。考虑一个有限的停止时间序列（νi）Ni=1，其中νi<νi+1为1≤ i<N和νN（S）≤ M（S）代表所有S∈ SW，一个实序列（aj）Nj=1，和b∈ R.修复S∈ SWand是一个整数k≥ 0.那么以下语句是有效的：1。

如果Z是上极小极大函数，且为0（A）∈ H，那么：Vk（S，Z，M）≤ As+B.2。如果Z是一个较低的极小极大函数，且为0(-（A）∈ H，那么：Vk（S，Z，M）≥ 此外：3。如果Z是一个下极小极大函数，下面两条语句中的任何一条都成立：（a）M在（S，k）和任何H条件下是0-中立的∈ 啊，啊(-（A）∈ H（b） M是n-有界的，因此sw满足局部0-中性性质，且νNis有界。然后：Vk（S，Z，M）≥ As+B.（A.10）4。如果Z是一个上极小极大函数，并且下面两条语句中的任何一条都成立：（a）M在（S，k）和任何H上是条件0-中立的∈ H，H（A）∈ H（b） M是n-有界的，因此sw满足局部0-中性性质，且νNis有界。然后：Vk（S，Z，M）≤ As+B.1的位置≤ 我≤ 4序列（Ail）≥0由（A.1）和Bi给出=∑K-1l=0Ail（S）每个项目分别为lS+b。证明修正∈ 西南（南，北）。第（1）项的证明。由（A.3）和（A.5）Z（S′）≤K-1.∑i=0Ai（S）iS+νN（S′）-1.∑i=kAi（S′）iS′+As+b=N（A）（S′）-1.∑i=k（A）i（S′）iS′+As+B.从0（A）开始∈ H，命题7，第一部分，givesVk（S，Z，M）≤ As+B.第（2）项的证明。根据假设-Z（S′）≤∑Ni=1-aiS′νi（S′）-b、 和0(-（A）∈ H，由（1）可知vk（S，Z，M）=-Vk（S，-Z、 M）≥ As+B.第（3）项的证明。不管怎样∈ H根据（A.3）和（1）部分证明中的类似计算得出z（S′）-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）是‘≥νN（S′）-1.∑i=kAi（S′）是‘-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′+As+B==-新罕布什尔州(-A） （S′）-1.∑i=kH(-A） 一(S)iS′+As+B.（A.11）38 I.德加诺，S.费兰多，A.冈萨雷斯根据第（3）项中的假设（A），我们知道H(-（A）∈ H，因此由0-条件性质supS′决定∈西南（S，k）[Z（S′）-NH（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′]≥ As+B+supS\'∈西南（南、北）[-新罕布什尔州(-A） （S′）-1.∑i=kH(-A） i（S′）iS′]≥As+B+infH∈HsupS\'∈西南（南、北）[-N~H（S′）-1.∑i=k~Hi（S′）iS′]=As+B，现在假设第（3）项和第（K）项中的（B）∈ R使得νN（S）≤ K代表所有人∈ 西南。设H为包含H的任意集合(-A） 每小时∈ H然后，市场SW××H是N有界的，其中N=max{N，K}。

因此，定理1表明sw××H在所有节点上，尤其是在（S，k）上，都是条件0-中性的；因此，在（A.11）的两侧取SW（S，k）的上确界，评估H的上确界∈ H在右侧，并使用SW××Hwe的条件0-中性属性获得（A.10）。第（4）项的证明遵循第（3）项，其方式与第（1）项的第（2）项类似。B一些技术结果此处给出了第3.1和3.2小节中结果所需的一些定义和辅助引理。回想一下，在这一部分中，我们假设所有H的NH（S）=M（S）∈ HB.1第3.1小节定义18的辅助结果考虑离散市场模型M=SW×H和SW上定义的函数Z。修理k≥ 0和Sk∈ 使M（Sk）>k.集^s=Skkand^w=Wkk。对于S={Si，Wi，m}i≥0∈ S（Sk，k）和H∈ H定义–^Si=Si+k，^W=Wi+kand^m=m-k、 那么^S≡ （^S，^W，^m）。-^H≡ （嗨）我≥0where^Hi（^S）≡ Hi+k（S）和V^H（0，^S）=VH（k，Sk）（回忆N^H=m）。还定义了≡ {^S:S∈ S（Sk，k）}，cH≡{^H:H∈ H}，cMk≡dSW×cH，以及任何^∈dSW，^Z（^S）≡ Z（S）。引理3在定义18的条件下，对于任何k≥ 1和Sk∈ S与M（Sk）>k，1。cMk≡dSW×cH是一个离散市场模型，初始值^s=Skkand^w=Wkk。此外，如果M不是k有界的，则它是n有界的。2.假设M是n+k有界的，对于任何S∈ SW（Sk，k），Ui（^S，^Z，cMk）=Ui+k（S，Z，M）表示0≤ 我≤ n、 三,。V（^S，^Z，cMk）=Vk（Sk，Z，M）。定义证明，DSWC以RN×RN×R的形式列出序列，对于任何^S=Sk=Skk=^和^W=Wk=Wkk=^wf∈dSW。cH是一类函数序列（^H）i≥0with^Hi:dSW→ 让我们看看^H是非预期的。设置^S，^S\'∈dsw例如^S′j=^sj和^W′j=^Wj，为0≤ J≤ i与i<min{N^H（^S），N^H（^S′）}=min{M（^S），M（^S′）。然后通过定义S′j=sj和W′j=Wj，为0≤ J≤ i+k，i+k<min{M（S），M（S′）}。因此^Hi（^S′）=Hi+k（S′）=Hi+k（S）=^Hi（^S），因为H是非预期的。ThuscH是一组投资组合。

此外，如果M是n+k有界的，对于每个^S∈dSW，我们有M（^S）=M（S）-k<n+k-这证明了（1）。对于（2），我们通过在i上向后归纳来进行。设i=n和^S∈^SW，然后是M（^S）≤ n因为^mk是n有界的。如果n=M（^S），那么n+k=M（S）和Un（^S，^Z，cMk）=^Z（^S）=Z（S）=Un+k（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。39但如果M（^S）<n，那么M（S）<n+k和Un（^S，^Z，cMk）=0=Un+k（S，Z，M）。因此Un（^S，^Z，cMk）=Un+k（S，Z，M）。现在假设（2）对0<i有效≤ n、 集^S∈dSWand假设第一个M（^S）≤ 我-1.类似分析表明，用户界面-1（^S，^Z，cMk）=Ui+k-1（S，Z，M）。假设现在M（^S）>i-1、thenUi-1（^S，^Z，cMk）=inf^H∈cHsup^S′∈dSW（^S，i）-1） [Ui（^S′，^Z，cMk）-嗨-1（^S）我-1^S′=infH∈HsupS\'∈S（S，i+k）-1） [Ui+k（S′，Z，M）-嗨，k-1(S)i+k-1S′]==Ui+k-1（S，Z，M）。通过归纳假设和定义18。然后我们得到（2）。现在我们将证明（3）。SincedSW=S（Sk，k），则v（^S，^Z，cMk）=inf^H∈cHsup^S′∈dSW[^Z（^S）-M（^S′）-1.∑i=0^Hi（^S′）i^S′==infH∈HsupS\'∈西南（Sk，k）[Z（S′）-M（S′）-K-1.∑i=0Hi+k（S′）i+kS′==infH∈HsupS\'∈西南（Sk，k）[Z（S′）-M（S′）-1.∑i=kHi（S′）iS′=V（Sk，Z，M）。引理4考虑n-有界矩阵≡定义18中给出的cS×cH，对于k=1和一些S∈ （n+1）有界市场中的S M=S×H。如果H也是满的，那么它就是满的。证明假设H是满的。让我≤ K≤ N-1，^H′∈cH和^S′∈反恐精英。我们将为k证明这一点≤ J≤ N-1，任意函数h:cS（^S′，k）→ IjcS（^S′，k）相对于j是非预期的，是投资组合^H的j坐标∈中国。为此，我们将找到H∈ H使得^Hj=H oncS（^S′，k）。我们需要证明这一点∈cS（^S′，k）当且仅当S∈ S（S′，k+1）。让0≤ 我≤ k、 和^S∈cS（^S′，k），然后Si+1=^Si=^S′i=S′i+1。另一方面，^Si=Si+1=S′i+1=^S′i∈cH和^S∈cS，^Hj（^S）=Hj+1（S），意思是IjcS（^S′，k） IjS（S′，k+1）。

因为H是满的，所以H就存在了∈ Hj+1:S（S′，k+1）→ IjS（S′，k+1）由Hj+1（S）给出≡ h（^S）。B.2 u-完全市场的证明考虑离散（n+1）-有界市场M=SW×H。对于任何人来说∈ SWde FINE S by（~Si，~Wi）=（Si，Wi）表示0≤ i和m（~S）=n如果M（S）=n+1。M（S）如果M（S）≤ n、 SetgSW≡ {S:S∈ SW}和definefm≡gSW×H。fM结果是一个n有界的离散市场。如果Z是在SW上定义的导数函数，那么Z是由Z（S）定义的=如果M（S）=n+1，则为Un（S，Z，M）。Z（S）如果M（S）≤ n、 对于任何人来说∈锿。更多40 I.Degano，S.Ferrando，A.GonzalezLemma 5让M=SW×H-an（n+1）有界离散市场。然后1。对于任何0≤ K≤ n、 和S∈ 西南，英国（~S，~Z，fM）=英国（S，Z，M）。如果M对于Z是u-完全的，那么对于Z也是u-完全的∈ SW，Un（~S，~Z，fM）=0=Un（S，Z，M）如果n>M（~S）Un（~S，~Z，fM）=~Z（~S）=Un（S，Z，M）如果M（~S）=n，因为如果M（S）=n+1，~Z（~S）=Un（S，Z，M），如果M（S）=n，~Z（~S）=Z（S）=Un（S，Z，M）。假设（1）对0<k的某个值有效≤n、 如果M（~S）≤K-1，那么M（~S）=M（S）和，英国-1（~S，~Z，fM）=英国-1（S，Z，M），因为它的公共值是0或Z（~S）=Z（S）。如果k-1<M（S），然后k-1<M（~S）（k）-1.≥~M表示M（S）>M（~S），那么M（~S）=n>k-1 !), 并通过归纳假设和英国金融管理局的定义-1（~S，~Z，fM）=infH∈hsups\'∈gSW（~S，k）-1） [英国（~S′，~Z，fM）-香港-1（S′）K-1~S′=infH∈HsupS\'∈西南（S，k）-1） [Uk（S′，Z，M）-香港-1（S′）K-1S′]=英国-1（S，Z，M）。对于（2），让我们*∈gSW，1≤ K≤ N-1和一个导数函数Z。因为M是u-完全的，所以存在H*∈ 这样的话∈gSW（~S）*,k） [Uk+1（~S，~Z，fM）-H*k（~S）k~S]=supS∈西南（S）*,k） [Uk+1（南、中、南）-H*k(S)kS]=英国（S）*,Z、 M）=英国（~S）*,~Z，fM）。最后的等式为（1）。命题2的证明。定义G:R→ R、 byG（u）=supS∈西南（S）*,k） {Uk+1（S，Z，M）-U假设Uk+1（S，Z，Mn）<∞.

因为有任何∈ SW（S，k），由GS（u）=Uk+1（S，Z，Mn）给出的函数-UkS是有限的，那么它的上确界G是下半连续的，并且是凸的。如果我喜欢*是紧凑的，通过下半连续性，存在u*∈ IkS*验证G（u）*) = 英孚∈IkS*G（u）。如果IkS=R且SWS满足S的局部上下特性*k，G也是强制性的。的确，存在S+，S-∈ 西南（S）*,k） 这样S+k+1-Sk=r+>0和S-k+1-Sk=r-< 0.让我∈ N和k=最大值|M-Uk+1（S+，Z，Mn）r+|，| Uk+1（S）-,Z、 Mn）-先生-|.如果u>K，u=|u |>Uk+1（S+，Z，Mn）-先生-, 然后m<Uk+1（S-,Z、 Mn）-UkS-≤ G（u）。另一方面，如果u<-K、 自从-u=|u |>m-Uk+1（S+，Z，Mn）r+，然后G（u）≥英国+1（南、中、明尼苏达州）-UkS+>m。因此，通过[3]中的推论4.3，从[26]中，Thm 7.3.1]G得到一个极小值。最后，通过矫顽力，存在R>0，使得G（u）>G（0）|≥G（0）如果|u |>R.thennf{G（u）：|u |≤ R}≤ G（0）≤ inf{G（u）：|u |>R}。命题3的证明。首先，有必要证明H*由（3.15）定义的是非预期的。让我们，我们∈SWwith（Si，Wi）=（S′i，W′i）表示0≤ 我≤ k对k≤ min{NH*（S） ，NH*（S′）=min{M（S），M（S′）}，然后SW（S，k）=SW（S′，k）和IkS=IkS′，因为NHis对所有H∈ 所以*k（S′）=u*= H*k（S）。为了M的u-完成*, 我们首先通过反向归纳证明Ui（S，Z，M）=Ui（S，Z，M*) 对于任何0≤ 我≤ n、 很明显，Ui（S，Z，M）=Ui（S，Z，M*), 尽管我≥ 男(S)。让我们∈ 使所有S′的M（S′）=n∈ 西南（南，北）-1). 特农-1（S，Z，M）*) = 英孚∈我*N-1S{supS\'\'∈西南（南，北）-1） [Un（S′，Z，M]*) -UN-1S′]}==infu∈在里面-1S{supS\'\'∈西南（南，北）-1） [Un（S′，Z，M）-UN-1S′=Un-1（S，Z，M）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。自从我*N-1S={Hn-1（S）：H∈ H}∪{H*N-1（S）}=In-1S。现在假设∈ 使M（S′）≥ 所有S′的i+1∈ SW（S，i）和Ui+1（S′，Z，M）=Ui+1（S′，Z，M）*) 为了所有的人。

ThenUi（S，Z，M）*) = 英孚∈我*是{supS\'∈西南（S，i）[Ui+1（S′，Z，M]*) -UiS′]}==infu∈IiS{supS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-UiS′=Ui（S，Z，M）。自从我*iS={Hi（S）：H∈ H}∪{H*i（S）}=IiS。最后为（3.14），为任何我≥ 0，用户界面（S，Z，M）*) = Ui（S，Z，M）=supS\'∈SW（S，i）[Ui+1（S′，Z，M）-H*一(S)和H在一起吗*∈ H*. C辅助结果第4节使用下一个几何引理。引理6设A，B，C，D，s，s，s∈ R、 s<s≤ s≤ s、 如果A>B，C>D，那么B-B-Ds-s（s）-（s）≤ A.-A.-铯-s（s）-s） （C.1）证明Letλ=s-党卫军-桑斯s≤ s≤ s、 因此，0≤λ≤ 1.然后λ（A）-B-（C）-D） )≤ A.-B、 重新安排我们得到的最后一个不等式（C.1）。D计算网格在这里，我们将引入一个整数对网格，用于表示细骨料混凝土市场的轨迹。gridΓ的目的是提供一种组合方法来构建有限的轨迹集，并实施有效的算法，以评估有限离散市场的动态边界Ui（S、Z、M）。因此，在适当的条件下，我们也将获得全局界V（s，Z，M）。给定离散化参数δ，β>0和p，q，N，N∈ N、 我们称轨迹网格为Γ={（k，j）：|k|≤N、 0≤ J≤ N-p j≤ K≤ p j}。无论如何，我≥ 0，轨迹S的每个节点Si=（Si，Wi，m）∈ SW（s，δ，β，p，q，N，λ）可以用一个顶点（ki，ji）来表示∈Γ，这样si=sekiδ，Wi=jiβ。（D.1）在第6.1节中已经表明，N≤ 请注意。还要注意的是，定义14的约束被转化为网格信息：如果∈ SW（s，δ，p，λ，N，N）然后| log Si+1-log Si|≤ pδ<=> |ki+1-基|≤ p0<Wi+1-Wi≤ qβ<=> 0<ji+1- 冀≤ qWM（S）∈ Q∧<=> 庄信万丰(S)∈Λ. （D.2）备注7注意，如果S∈ SW（s，δ，β，p，q，N，λ），使得对于所有i∈ N、 M（S）6=M（S），则与Γ中的相同顶点相关，但jM（S）=Nθ∈∧和jM（S）=nθ∈∧，其中θ6=θ.42 I.德加诺，S.费兰多，A。

另一方面，任何序列{（ki，ji）}i≥0表示（D.2）左侧列出的约束，对应于相同的关联（D.1），即满足定义14约束的轨迹S。然后，给定一个参数为sp，q，Nand∧的轨迹网格Γ，我们可以为近似的δ和β建立一个有限的轨迹集SWΓ（s，δ，β，p，q，N，λ），这样一来，Γ中任何可能的路径，以及（D.2）中列出的约束，都对应于SWΓ中的一条轨迹（s，δ，β，p，q，N，λ），并且逆含义也成立。备注8注意，网格Γ不一定包含满足（D.2）中所列约束的所有路径。例如，下一个网格满足p=q=N=1和∧={1}的条件，并且不包含路径（k，j），（k，j），因此k-k=-1.oossssss/oD.1网格中价格的计算上述轨迹网格Γ将用于计算动态边界Ui（S，Z，M），其中M=SWΓ（S，δ，β，p，q，N，λ）×H是与参数p，q，Nand∧的网格Γ相关的有限离散市场。为此，我们将使用定理6。出于空间原因，我们将使用缩写符号SWΓ=SWΓ（s，δ，β，p，q，N，λ）。让Z在SWΓ上定义一个欧洲选项。假设该选项与轨迹历史无关，即对于实变量函数Zf，Z（S）=Zf（SM（S））。Z上的这个条件允许计算Γ顶点的动态边界，如下所示。为了简单起见，我们将使用符号sk=sekδ。还假设组合H的集合是由sequencesH={Hi}i组成的≥0包括从SWΓ到R的任何函数，对于i是非预期的，因此H是满的。现在我们描述一种适用于∧＝{N}情况的算法。0的动态边界Ui（S、Z、M）≤ 我≤ N、 可以关联到Γ的顶点。实际上，由于WM（S）=Nβ，节点SM（S）=（SM（S），WM（S），M（S））由（D.1）对应于一些（kM，N）∈Γ（M）≡ M（S）），然后UM（S，Z，M）=Zf（skM）。

此外，每当轨迹S有一个节点（skM，Nβ）时，就会有um（S，Z，M）=Zf（skM）。现在，网格节点（ki，ji）对应于轨迹S∈ SWΓ在第一阶段。我们从定义9和定理6中知道，Ui（S，Z，M）只取决于Ui+1（S′，Z，M），S′i+1和Si，其中S′∈ 西南（S，i）。然后，通过（D.2），这些量与顶点（k，j）相关联∈Γ- P≤ K-基≤ p、 和0<j- 冀≤ q、 （D.3）顶点（k，j）∈Γ验证（D.3）被称为可从（ki，ji）到达。Ui（S，Z，M）可以通过带有域Γ的函数U与顶点（ki，ji）相关联，这样U（ki，ji）=Ui（S，Z，M）。因此，对于每个顶点（k，j）∈Γ我们通过以下程序定义您。因为任何顶点（k，N）∈Γ对应于轨迹S∈ SWΓ，其中SM（S）=（sk，Nβ，m），deneu（k，N）=Zf（sk），对于任何k:|k|≤ N.现在假设，对于固定的j<N，U（k*, J*) 被定义为任何j*: j<j*≤ N、 还有什么k*: |K*| ≤ p j*. 固定（k，j）∈Γ和任何对（k+，j+，（k-, J-) 验证0<k+-K≤ p和0<j+- J≤ Q-P≤ K--K≤ 0和0<j-- J≤ q、 （D.4）一套±≡U（k+，j+）-U（k）-, J-)sk+-sk-.成为一个∈ SWΓa轨迹使得Si对应于（D.1）到（k，j），重要的是要注意（k+，j+）和（k-, J-)验证（D.4）是否可从（k，j）中访问，如果S+，S-∈ SW（S，k）验证S+i+1和S-i+1分别对应于（k+，j+）和（k）-, J-), 然后是S+∈ 助理（S，i）和S-∈ Sdo（S，i）。因此，定理6是适用的，并且根据它定义了u（k，j），byU（k，j）≡ C（k，j）=sup{U（k+，j+）-±（sk+-sk）}，对于0≤ j<Nand|k|≤ p j，（D.5），其中上确界接管对（k+，j+，（k-, J-) 核实（草4）。基于轨迹的模型。最小-最大价格界限的评估。43因此，上述递归过程允许获得U（0,0）=U（s，Z，M）=V（s，Z，M），因为满足了第4项的假设。我们现在将该过程扩展到一个严格递增的l元组∧={n，…，nl}，其中nl=n。现在，对于某些θ=1，。。。

，l，然后是一些轨迹的节点SM（S）∈ SWΓ由（D.1）对应于一些（kM，nθ）∈Γ和UM（S）（S，Z，M）=Zf（skM（S））。但是，通过定义9和定义rem 6Ui（bS，Z，M）=supSup，可以观察到if（kM（S），nθ）也对应于I6=M（bS）的轨迹B的节点B∈高级（英国、英国及英国）私人发展办公室∈Sdo（bS，i）[Ui+1（辅助，Z，M）-u（Sup，Sdo）（Supi+1）-我们从j=nl=N列开始分析。任何顶点（k，N）对应于SWΓ中轨迹的节点SM（S），然后定义（k，N）=Zf（sk）。对于顶点（k，j）∈Γ与nm-1<j<nm，k∈ [-p j，p j]，U（k，j）由（D.5）给出。列nl上的顶点-1inΓ，通过（D.1）对应于可能具有M（S）=nl的轨迹-1在该节点，它是WM=nl-1β，或继续得到WM=nlβ。对k来说也是如此*∈[-pnl-1，pnl-1] ，U（k）*,nl-1） 应该取Zf（sk）的值*) 在第一种情况下，而在第二种情况下，其在该顶点的值应通过（D.5）给出。对于j<nl，必须考虑这两种情况来计算（k，j）-1，通过（D.5）的平均值，当任何顶点（k*,nl-1） 可从（k，j）到达。然后，观察到这两个值的最大值是对（4.2）的贡献，在所提到的计算中，根据定理6，我们得到了（k）*,nl-1） =max{Zf（sk*),C（k）*,nl-1)}.基于同样的考虑，U（k，j）≡ 对于所有nθ<j<nθ+1，C（k，j）由（D.5）定义为1≤θ<l- 1和k∈[-p j，p j]。对于j=nθ和1≤θ<m-1和k∈ [-pnθ，pnθ]U（k，nθ）=max{Z（sk），C（k，nθ）}，其中C（k，nθ）由（D.5）给出。总之，U（k，j）表示0≤ J≤ Nand k∈ [-p j，p j]由u（k，j）给出=Zf（sk）如果j=nlmax{Zf（sk），C（k，j）}如果j=n，n。。。，nl-1C（k，j）在另一种情况下，其中C（k，j）由（D.5）给出。通过这个递归过程，我们可以计算U（0,0）=U（s，Z，M）=V（s，Z，M）的值。回想Ui（S，Z，M）=-用户界面，-Z、 M），动态下限Ui（.）通过类似的程序计算。参考文献1。

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