带跳跃和扩散的鲁棒超边缘

nandehutu2022

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收藏 2022-05-06

英文标题：
《Robust Superhedging with Jumps and Diffusion》
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作者：
Marcel Nutz
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
We establish a nondominated version of the optional decomposition theorem in a setting that includes jump processes with nonvanishing diffusion as well as general continuous processes. This result is used to derive a robust superhedging duality and the existence of an optimal superhedging strategy for general contingent claims. We illustrate the main results in the framework of nonlinear L\\\'evy processes.
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中文摘要：
我们建立了可选分解定理的一个非支配版本，在一个包括具有非零扩散的跳跃过程以及一般连续过程的环境中。这个结果被用来推导一般未定权益的鲁棒超边对偶和最优超边策略的存在性。我们在非线性LSevy过程的框架中说明了主要结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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Robust_Superhedging_with_Jumps_and_Diffusion.pdf
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大多数88

2022-5-6 10:37:38

强劲的超边缘，带跳跃和差异Marcel Nutz*2018年9月12日摘要我们建立了可选分解定理的非支配版本，其设置包括具有非各向异性扩散的跳跃过程以及一般连续过程。这个结果被用来证明一般未定权益的鲁棒s超套期保值对偶和最优套期保值策略的存在性。我们在非线性Lévy过程的框架下说明了主要结果。超复制；选择性分解；非显性modelAMS 2010受试者分类60G44；91B25；93E201简介经典的可选分解定理指出，给定一个过程Y，它在某些参考过程S的所有等价鞅测度下都是上鞅，存在一个被积函数H，使得Y- HoS是非递增的，其中HoS表示随机积分。不同的是，Y允许分解Y=Y+HoS- 对于一些非减量过程，这个结果是在给定的概率空间上给出的(Ohm, F、 P*);在不丧失普遍性的情况下，我们可以假设S本身就是P*鞅。在连续过程S的情况下，可选分解定理是由[20]引起的，而在有界假设下，跳跃的情况是由[21]引起的，在一般情况下是由[15]引起的。[8]中给出了另一种证明，[16]将结果扩展到包括投资组合约束。可选择的*纽约哥伦比亚大学统计与数学系，mnutz@columbia.edu.感谢NSF对DMS-1208985和DMS-1512900的资助。

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大多数88

2022-5-6 10:37:41

作者感谢Kostas K ardaras、Ariel Neufeld、NizarTouzi和Jianfeng Zhang的富有成效的讨论，并感谢助理编辑和两位匿名推荐人的建设性评论。分解定理对于数学金融的应用非常重要，尤其是对于超级复制定价和投资组合优化。本文的第一个结果（定理2.4）是适用于模型不确定性背景下的最优分解定理的一个版本：它不需要参考度量。更准确地说，我们考虑一组概率，可能是非占优的，因为它的元素不受单一参考概率的支配*. 证明了在P的所有元素下都是cádlág局部鞅，且P包含其元素的所有等价局部鞅测度。如果Y是全P下的cádlágsuper鞅∈ P、我们证明了存在一个被积函数，使得Y- HoS是所有P的非递增P-a.S∈ P.这一结果是在我们称之为支配差异性质（定义2.2）的技术条件下得出的：对于所有P∈ P、跳跃特性νPof S由扩散特性CP决定。这包括S是具有跳跃和非方差扩散的It^o半鞅的情况，以及一般连续过程的情况。主要的扩散特性使我们能够根据（S，Y）的联合扩散特性来定义H，从而利用后者可以以聚合方式构建（即，同时适用于所有P）的事实。证明该策略可重复应用的证据利用了经典的可选分解理论∈ P.因此，论点非常简单，优点是结果一般，证明是多方面的（参见[5]了解对不同环境的适应性）。

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kedemingshi

2022-5-6 10:37:45

特别是，我们不需要对P的过滤或紧致性假设施加微妙的可分性条件。第二个结果（定理3.2）是模型不确定性设置中的s对偶。在一个以Skorohod s pace作为基本可测空间且集合P满足某些动态规划条件的设置中，证明了给定时间范围T的可测函数f，鲁棒s超套期保值价格π（f）：=inf十、∈ R: H带x+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P满足对偶关系π（f）=supP∈政治公众人物[f]。此外，达到了最大值；i、例如，存在一个最优的超边缘策略。我们通过上述可选的分解结果构建了该策略。最后，我们在非线性Lévy过程的设置中说明了我们的主要结果；这是一个自然的例子，其中s et P是根据s的特征定义的。我们根据模型原语描述了主要结果的条件，并讨论了问题公式的进一步方面。我们的结果的主要新颖之处在于适用于带跳跃的非支配连续时间模型。据我们所知，在这个框架中，没有现存的结果提供最优策略或最优分解定理的存在性。之前唯一的结果是[13]在最优交通条件下的定性陈述；在这里，通过离散模型的弱近似证明了对偶间隙的存在性，并以路径方式描述了超复制。在正在进行的独立工作[7]中，虽然在KoroHod空间中的紧性条件下（在我们的环境中通常不满足），但通过泛函分析方法可以确定不存在对偶间隙。对连续过程（即波动不确定性）的情况进行了更好的研究。

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可人4

2022-5-6 10:37:48

[10]从容量理论的角度研究了这种情况下的对偶公式，[34,36,38]使用马尔可夫控制问题的近似，而[12]使用基于支配模型的弱近似。另一方面，[22,29,31,35,37]使用了一个聚合公式，它可以被视为我们证明的前身；然而，他们依赖于Doob–Meyer分解定理（在每个P∈ P）这迫使他们假设每个P∈ P对应于一个完整的市场。因此，即使在持续的情况下，目前的结果也是一个重要的改进，因为它们也适用于不完全市场。在离散时间的情况下，[6]提供了光学分解定理的一般版本。本论文未恢复该结果，因为主要的扩散条件未得到满足。在不同的离散时间设置中，[1]给出了一个不存在最优策略的早期双重结果；参见[14]交易成本背景下的相关结果，[3]投资组合约束，[11]博弈期权，[2]美式期权。本文的其余部分组织如下。第2节讨论一般情况下的可选分解，第3节建立Skorohod空间上的对偶结果，第4节以非线性Lévy过程为例进行总结。2可选分解let T>0和let(Ohm, F）是一个配备有任意过滤F=（Ft）t的可测量空间∈[0，T]。设S=（St）是一个具有cádlág路径的Rd值F自适应进程，对于某些正整数d，我们用P表示(Ohm) 所有概率测度的集合(Ohm, F）。给定P∈ P(Ohm), 我们为F的P-增广写FP+。

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mingdashike22

2022-5-6 10:37:51

此外，如果S是半鞅，则∈ P(Ohm) H是一个FP+可预测的d维被积函数，我们用HoSt=R表示P下通常的随机（It^o）积分。概率P∈ P(Ohm) 被称为S的西格玛鞅测度，如果S是关于（P，FP+）的西格玛鞅。我们回顾了西格玛鞅的定义：存在FP+-可预测集（∑n）n≥1增加到Ohm×[0，T]使得1∑noSi是每个n和Siof S的每个分量的鞅（虽然本节中的所有内容也适用于局部鞅，但局部鞅性质的这种推广将在后面很方便。）如果P包含其元素的所有等价sigma鞅测度，我们可以说P是饱和的。也就是说，如果P′∈ P(Ohm) 是S和P′的sigma鞅测度~ P换一些P∈ P、然后是P′∈ 最后，一个具有cádlág路径的实值fadapt过程称为P局部超鞅，如果它是关于（P，FP+）的所有P的局部超鞅∈ P.我们参考[18]了解随机微积分和未解释符号的背景知识。备注2。1.在上述定义中，过滤FP+的选择是最普遍的：如果X是一个右连续的F-适应过程，对于某些过滤F，它是一个关于（P，~F）的局部超鞅（或西格玛鞅）~F FP+，那么它对（P，FP+）具有相同的属性。这源自向后鞅收敛定理。修正一个截断函数h:Rd→ Rd；也就是说，一个有界的可测函数，使得h（x）=x在原点附近。吉文普∈ P(Ohm) 其中S是半鞅，我们用（BP，CP，νP）表示S在P下相对于h的半鞅特征。

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能者818

2022-5-6 10:37:54

也就是说，（BP，CP，νP）是三重过程，因此P-a.s.，bps是s的正则分解中的有限变异部分-P0≤s≤·(党卫军- h(Ss）在P下，CPis是P下S的连续局部鞅部分的二次协变，而νPis是uS的P-补偿器，是与S的跳跃相关的整数值和度量（同样，过滤的精确选择对于目前的目的并不重要；参见[23，建议2.2]）接下来，我们将介绍一个在我们的证明中起关键作用的概念。定义2.2。让P∈ P(Ohm) 是S的sigma鞅测度，设（BP，CP，νP）是S在P下的半鞅特征。我们说它在P ifνP下有主要的扩散<< （CP）iiP-a.s.，i=1，d、符号νP<< （CP）iI表示过程（|x|∧ 1) * νPt:=RtRRd（|x）|∧ 1） νPs（dx，ds）相对于矩阵CP对角线上的Ith分量是绝对连续的。我们注意到FirstCharacteristic then必然满足BP<< 因为西格玛鞅性质意味着BP=R（x- h（x））* νP；参考[18，提案III.6.35，第215页]。为了说明定义的重要性，为了简单起见，考虑一维情况d=1。然后，可以得出，测度P×dCPis足够丰富，可以表示与以下内容相关的S的性质；特别是，如果H和H′是可预测的被积函数，使得H=H′P×dCP-a.e，则HoS=H′oS P-a.S。在以下重要情况下，满足上述定义；参见引理4.2。例2.3。（i）设S是一个sigma鞅，在P下具有绝对连续的特征（关于Lebesgue测度dt）；i、例如，特征的形式为（dB，dC，dν）=（b dt，c dt，F dt）。

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kedemingshi

2022-5-6 10:37:57

如果c是一个严格正矩阵P×dt-a.e.，那么S具有支配性差异。（ii）设我们是P下的连续sigma鞅（因此是局部鞅）。然后它的特征是形式（0，C，0），因此萨尔韦具有主要的差异。主要的扩散特性不适用于纯跳跃模型，尤其是离散时间情况。然而，正如引言中提到的，后者包含在[6]的结果中。鉴于这些结果，我们将主要的分歧性质视为一种技术假设，使我们能够像下面所述的证明那样进行辩论，但我们不期望对随后的定理进行一般性反例，即使违反了该性质。然而，[6]表明，其他技术假设可能是必要的，没有主要分歧的证据可能在实质上是不透明的。现在我们可以陈述我们的第一个结果，这是光学分解定理的非支配版本。我们用L（S，P）表示所有Rd值可预测过程的集合，这些过程对于所有P都是S-可积的∈ P.定理2.4。设P是S的一个非空的、饱和的sigma鞅测度集，使得S在所有P下具有支配性的微分∈ IfY是一个P局部上鞅，则存在一个F-可预测过程∈ 我（S，P）就是这样- HoS是所有P的非递增P-a.S∈ P.这里HoS是固定测度P下的通常It积分，这是有效预防。我们说，如果一个属性为所有P持有P-a.s.，那么它就持有P-q.s∈ （d+1）维过程（S，Y）是全P下的半鞅∈ P（在过滤FP+中，但也在F中；参见[23，提案2.2]）。根据[23，命题6.6]，存在一个F-可预测过程C（S，Y），其值在Sd+1+（非负有限对称矩阵集）中，具有P-q.S.连续且不减损的路径，且与P-a.S.重合。

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mingdashike22

2022-5-6 10:38:01

在每一个P下通常具有第二特征h（S，Y）cip∈ P.设Cs为S对应的d×d子矩阵，设Csyb为S和Y的二次协变量对应的d维向量。设置为：=tr cst要作为CS的跟踪，我们有CS<< P-q.s.和CSY<< 因此，对于cSt定义的导数，我们有dCS=cSdA P-q.s.和dCSY=cSYdA P-q.s.：∈Sd+}，~cSt:=lim supn→∞CSt- CS（t）-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0和cSYt:=~cSYt{~cSYt∈Rd}，~cSYt:=lim supn→∞CSYt- CSY（t）-1/n）∨0At- A（t）-1/n）∨0，其中所有操作都要以组件方式理解（比如0/0:=0）。我们观察到，Cs和Cyarf是可预测的。Let（cS）⊕bethe Moore–cS的Penrose伪逆。我们定义了F-可预测过程h:=cSY（cS）⊕并证明它满足定理的要求。修正P∈ P.回顾P包含与P等价的所有sigma鞅测度，我们可以将经典的可选分解理论[8，定理5.1]的形式应用于P和过滤FP+（满足通常的假设），并且我们得出存在一个FP+-可预测的S-可积过程HP和一个非减量过程kpy=Y+HPoS- KPP-a.s.（2.1）识别（2.1）yieldsYc=HPoScP-a.s.两侧关于P（参见[18]）的连续局部鞅部分。如果需要，在定理的条件下，也可以以路径方式定义积分，尤其是在allP下同时定义积分∈ P、通过构造[26]。该主张没有使用针对[23]主要结果的过滤的可分离性假设。然后用Scleads todhSc取二次协变量，Yci=HPdhSci P-a.s。然而，这相当于tocSY=HPcSP×dA-a.e.（2.2）。一方面，（2.2）意味着H在P和HoSc=HPoScP-a.s下是Sc可积的。

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何人来此

2022-5-6 10:38:04

（2.3）另一方面，定义非减损流程A*拜达*dA=min1≤我≤dd（CS）iidAP-a.s.作为*<< A、（2.2）Csy=HPcSP×dA的产量*-a、 e.它源于对*这是可逆的P×dA*-a、因此我们得出h=HPP×dA*-a、 e.为了所有人P∈ P.（2.4）根据主要差异假设*支配着…的特征- 所以（2.4）意味着H是S- 根据Pand Ho（S- Sc）=HPo（S）- Sc）P-a.s.鉴于（2.3），我们认为Hos=HPos P-a.s.这适用于所有P∈ P、现在这个理论来自（2.1）。备注2.5。如果我们在本节中将“sigma鞅”替换为“局部鞅”，则定理2.4仍然成立。证据是一样的；我们需要将[8，定理5.1]的引用替换为[15，定理1]。3超复制对偶在本节中，我们利用定理2.4在相当一般的环境中提供超边缘对偶和最佳超边缘策略。除了技术细节（当然还有定理2.4的使用），论证路线与[22]中的类似。3.1设置可选分解定理将应用于一个过程Y，该过程是动态超边缘价格的一个版本。更准确地说，这个过程将由定理f的（条件）次线性期望Et（f）构造，而Y的P上鞅性质将从与Et（·）相关的动态规划中推导出来。在本节中，我们将介绍如何实现这一点。允许Ohm = （táD）空间的所有路径≥对于某个正整数d′，ω=0时，在Rd′中为0。我们装备Ohm 使用目的论和相应的Borelσ-F场。

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何人来此

2022-5-6 10:38:08

此外，我们表示byF=（Ft）t≥0标准过程（t，ω）产生的过滤7→ ωtand by P(Ohm) 上的概率测度空间(Ohm, F）具有弱收敛的拓扑结构。给定t≥ 0，我们引入以下符号。两条路径ω，ω的并置∈ Ohm at t由（ω）给出tΩ）u:=ωu[0，t）（u）+ωt+～ωu-T[t，∞)（u），u≥ 0.任何P∈ P(Ohm), 有一个正则的条件概率分布{Pωt}ω∈Ohm给定FtsatisfyingPωtω′∈ Ohm : ω′=ω在[0，t]上= 1表示所有ω∈ Ohm.然后我们定义Pt，ω∈ P(Ohm) byPt，ω（F）：=Pωt（ωtF），F∈ F、 ω在哪里tF:={ωt~ω：~ω∈ F}。给定函数fOhm ω∈ Ohm, 我们还定义了函数ft，ωbyft，ω（～ω）：=f（ωt)ω，)ω∈ Ohm.如果f是可测的，那么对于P-a.e.ω，EPt，ω[ft，ω]=EP[f|ft]（ω）∈ Ohm. （公约）∞-∞ = -∞ 使用；e、例如，在定义条件期望EP[f | Ft]：=EP[f+|Ft]- EP[f-|（英国《金融时报》）而我们最终会关注一组P P(Ohm) 在测量中，通过{P（s，ω）}（s，ω）族诱导P在技术上是有用的∈R+×OhmP的子集(Ohm) 如下。设{P（s，ω）}在ω|[0，s]=ω′|[0，s]时，P（s，ω）=P（s，ω′）的意义下给出并调整。集合P（0，ω）与ω无关，因为所有路径都从原点开始，所以我们可以定义P:=P（0，ω）。我们一直假设P6=. 在应用中，P将是主要对象，我们指定了一个对应的族{P（s，ω）}，使得P=P（0，ω）；有关示例，请参见第4节。下面条件（A）的性质（ii）和（iii）意味着{P（s，ω）}族本质上由集合P决定。我们记得，如果一个波兰空间的子集是另一个波兰空间在Borel可测映射下的Borel子集的图像，则它被称为分析的；特别是，任何Borel集都是解析的（参见[4，第7章]了解背景）。

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何人来此

2022-5-6 10:38:12

我们现在可以在{P（s，ω）}的条件和粘贴下，说明以下关于可测性和稳定性的条件；它将使我们能够获得次线性期望Et（·）及其动态规划。条件（A）。对于所有0≤ s≤ t、 ω∈ Ohm 和P∈ P（s，\'ω），（i）{（P′，ω）：ω∈ Ohm, P′∈ P（t，ω）} P(Ohm) × Ohm 是分析型的；（ii）Pt-s、 ω∈ P（t，’ωsω）对于P-a.e.ω∈ Ohm;（iii）如果κ：Ohm → P(Ohm) 这是英国《金融时报》-s-可测核与ν（ω）∈ P（t，’ωsω）对于P-a.e.ω∈ Ohm, 然后，由P（A）=ZZ（1A）t定义的度量-s、 ω（ω′）κ（dω′；ω）P（dω），A∈ f是P（s，’ω）的一个元素。需要更多的符号来说明Et（·）上所需的结果。给定σ-场G，G的普遍完成就是σ-场G*= ∩PG（P），其中P在G上的所有概率测度范围内，G（P）是G在P下的完成。此外，如果{f>a}对所有a都是解析的，则标量函数f称为上半解析函数∈ R.任何Borel可测函数都是上半解析函数，任何上半解析函数都是普适可测函数。提议3.1。让条件（A）保持不变，让0≤ s≤ t和f：Ohm →Rbe是上s emi分析函数。当函数et（f）（ω）：=supP∈P（t，ω）EP[ft，ω]，ω∈ Ohm是F吗*t-可测和上半解析。此外，对于所有ω，Es（f）（ω）=Es（Et（f））（ω）∈ Ohm.此外，当P（s；P）={P′时∈ P:P′=P on Fs}，我们有（f）=ess su pPP′∈P（s；P）EP′[Et（f）|Fs]P-a.s.f或所有P∈ P.（3.1）参见[30，定理2.3]和该结果的后续注释。[30]中的定理是针对连续路径的空间而提出的，但在没有变化的情况下，它会覆盖到Skorohod空间；只有波兰的结构才重要。3.2二元性结果如下，我们将 P(Ohm) 由上面的{P（s，ω）}族决定。我们将使用过滤G=（Gt）0≤T≤T、式中gt:=F*T∨ NP这里是F*这是FTA的普遍完成，NP是所有P的（FT，P）-null集合∈ P

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nandehutu2022

2022-5-6 10:38:15

设我们是一个具有cádláG路径的Rd值、G+适应过程。G-可预测过程H∈ 如果HoS是所有P的P-超鞅，则称L（S，P）为可容许∈ P、我们用所有这些过程的集合来表示。定理3.2。假设{P（s，ω）}满足条件（A），并且Pis是s的非空的、饱和的sigma鞅测度集，因此s在所有P∈ P.此外，让f：Ohm → R是一个更高的半解析、GT可测函数，因此∈政治公众人物∞.然后∈PEP[f]=min十、∈ R: H∈ H带x+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P.证据通常，定理3.2中的一个不等式是直接的：如果x∈ 存在着∈ 使x+HoST≥ f、 HoS的超鞅性质意味着x≥ EP[f]代表所有P∈ 因此，我们重点展示H的存在∈ H带有抑制\'∈PEP′[f]+HoST≥ f P-所有P的a.s∈ P.从定理2.4的观点来看，我们将构造一个cádlágp超鞅YsatisfyingY≤ 补充∈PEP′[f]和YT=fp-a.s.适用于所有P∈ P.（3.2）回想命题3.1中的thatte（f）（ω）：=supP∈P（t，ω）EP[ft，ω]对于所有t都是可测量的∈政治公众人物∞ 这意味着∈政治公众人物∞; 该论点与[22，定理2.3]证明的第1步相同。现在（3.1）意味着Et（f）是（f*, P）所有P∈ P.然后我们可以定义：=lim supr↓t、 r∈t<t和Y′t:=ET（f）的QEr（f）。超鞅的修正定理[9，定理VI.2]得出了s et N之外的结果∈ NP，Y′的路径是cádlág，上极限实际上是一个极限，而且Y′是allP的（g+，P）-上鞅∈ P.我们定义Y:=Y′Nc；那么Y的所有路径都是cádlág，Y仍然是所有P的（g+，P）-上鞅∈ P（回想一下NP G）。特别是，Y是相对于图2.4术语中的过滤G+的P超鞅。修正P∈ P我们检查YT=fp-a.s。

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2022-5-6 10:38:19

事实上，我们有YT=Y′T=ET（f）P-a.s.，由于GT=FTP-a.s.（3.1）产生ET（f）=f P-a.s.接下来，我们证明（3.2）的第一部分；这里的微妙之处在于，Yneed通常不是确定性的。再次修复P∈ P我们需要证明这一点≤ 补充∈PEP′[f]≡ E（f）P-a.s.（3.3）让yP∈ R表示支配YP-a.s的最小常数。；那么上面的数字当然等于YP≤ E（f）。让P′∈ P.根据Y和[9，定理VI.2]的定义，我们得到了ep′[Y|F]≤ E（f）P′-a.s.，但作为f={, Ohm}, 两边都等同于实数和thussupP′∈PEP′[Y]≤ E（f）为P′∈ P是任意的。因此，它很有可能显示出这一点≤ 补充∈PEP′[Y]。为此，请注意yP=supQEQ[Y]，其中取F0+上的总体概率测度Q的上确界，其与P等价。因此，有必要确定每一个这样的Q都是P的某些元素P′对F0+的限制。实际上，fix Q和Z=dQ/dP是相对于F0+的Radon-Nikodym导数。我们通过dP′=ZdP定义了GTP上的度量P′；然后q=P′|F0+。此外，利用Z是F0+可测的，S是右连续的，我们看到P′再次是S和us P′的sigma鞅测度∈ 我们已经证明了不等式（3.3），这就完成了P超鞅的构造。定理2.4与σ-场GT和过滤G+一起应用，产生aG+可预测过程H∈ L（S，P）这样的∈PEP′[f]+HoST≥ Y+HoST≥ YT=FP——所有P的a.s∈ P.我们记得，G+可预测性和G-可预测性是一样的，因为任何G+适应的左连续过程也是G-适应的。为了证明H是允许的，我们注意到对于每一个P∈ P、 sigma鞅HoSis P-a.s。

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2022-5-6 10:38:22

从下方以鞅EP[f | G]为界；这意味着法图引理的超鞅性质。4非线性Lévy过程的应用在本节中，我们在非线性Lévy过程的背景下给出了上述理论的一个自然例子。该模型由[17]首先引入，其构造基于部分积分微分方程（PIDE），从而将[32,33]的概念扩展到跳跃过程。文献[24]提供了非线性Lévy过程的更一般的构造。我们继续使用规范设置Ohm = D（R+，Rd′），我们选择S作为标准过程St（ω）=ωt（即D=D′）。让Psembe表示所有概率P的集合，在该集合下，S是半可数（同样，我们不需要特别说明过滤；参见[23，提案2.2]）。我们将把重点放在subsetPacsem上=P∈ Psem：（BP，CP，νP）<< dt，P-a.s。具有绝对连续鞅特征的。给定P∈ 在Pacsem中，我们可以考虑通过（dBP，dCP，dνP）=（bPdt，cPdt，FPdt）定义的相关差异特征（bP，cP，FP）。微分特征的取值单位为Rd×Sd+×L，其中Sd+是对称非负有限d×d-矩阵和L的集合=在Rd:ZRd | x上测量|∧ 1 F（dx）<∞ F（{0}）=0是所有Lévy测度的集合（在适当的weakconvergence拓扑下的可分离度量空间；参见[23，第2节]）。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:38:25

A元素（b、c、F）∈ Rd×Sd+×Lis称为Lévy三重态，我们记得，对于每一个这样的三重态，都存在一个以（b，c，F）为其不同特征的Lévy过程。允许 6= Θ Rd×Sd+×L是Lévy三元组的集合，那么我们可以考虑所有半鞅定律的集合，它们的微分特征在Θ，PΘ中：=P∈ Pacsem：（bP、cP、FP）∈ Θ，P dt-a.e。.这将是我们在续集中的基本集合P；事实上，根据[24，定理2.1]，我们有以下事实。引理4。1.让我来 Rd×Sd+×L可测且P（s，ω）：=PΘ表示所有（s，ω）∈ R+×Ohm. 然后集合{P（s，ω）}满足条件（A）。也就是说，在本例中，P（s，ω）完全不依赖于（s，ω）；这反映了莱维过程在时间和空间上是同质的这一事实。这种依赖性是不寻常的，例如，在[27]中的受控随机微分方程或[28,30]中的随机g-期望的情况下。接下来，我们确定PΘ何时满足主要结果的条件。为此，我们引入了具有可积跳跃的Lévy测度集L*=F∈ L:Z（| x）|∧ |x|）F（dx）<∞并用Sd表示++ Sd+严格正定义矩阵集。引理4.2。让我来 Rd×Sd+×L.σ鞅测度的集PΘcons是S的当且仅当Θ是f形式Θ=（b、c、F）∈ Rd×Sd+×L:（c，F）∈ Θ′，b=Z（x）- h（x））F（dx）（4.1）对于某些特殊情况 Sd+×L*. 在这种情况下，S在所有P∈ PΘ当且仅当Θ\' （Sd+×{0}）∪ （Sd++×L）*).

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可人4

2022-5-6 10:38:28

（4.2）此外，以下条件是f或PΘ饱和的充分条件：（c，f）∈ Θ′意味着（c，ψF）∈ Θ′对于所有ψ>0，使得ψF∈ L*, （4.3）式中ψ：Rd→ (0, ∞) 波雷尔是可测量的。我们注意到，当且仅当Θ′是非空的且Borel可测。条件（4.3）不是饱和所必需的；例如，用Θ={（0，0，δ）}我们得到了与补偿泊松过程相对应的集，该过程是饱和的，但违反了（4.3）。然而，只要有一个非偏正的布朗组分，强度的任意变化显然是可能的，因此（4.3）不是那么必要。证据根据[18，命题III.6.35，第215页]，S是西格玛鞅∈ 只有当其不同特征（bPt、cPt、FPt）满足要求时∈ L*和bPt+Z（x- h（x））FPt（dx）=0，P×dt-a.e.（4.4）第一个权利要求中的“如果”陈述紧随其后，而对于相反的断言，我们使用具有任意三元组的Lévy过程的存在性。很明显，（4.2）意味着主导分歧。相反，如果后者成立，那么对于任何Lévy定律P∈ PΘ我们必须使eitherFP=0（然后cpp可以是任意的），或者（|x）|∧1)*νPt=（R（| x）|∧1） dFP）严格增加，然后CPM必须为正。最后，我们证明（4.3）对于饱和是有效的。的确，让P∈ PΘ和P′~ P然后，一般的Girsanov定理[18，命题III.3.24，第172页]表明p′∈ 对于某些正可预测函数ψ=ψ（ω，t，x），pacsem和相应的特征满足cP′=cpa和FP′=ψFP。如果P′是S的sigma鞅测度，则ψFP∈ L*P×dta。e、通过（4.4）现在（4.3）得到P′∈ PΘ。作为前面两个引理的结果，我们得到以下结果。提案4.3。允许 6= Θ Rd×Sd+×L是Borel可测量的，形式为（4.1），满足（4.2）和（4.3）。那么定理3.2适用于P=PΘ。备注4.4。

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mingdashike22

2022-5-6 10:38:31

（i）本节说明了使用西格玛鞅而不是局部鞅是很方便的。事实上，即使Lévy sigma鞅（在经典意义上）自动是局部鞅（甚至是真的），也很容易发生PΘ包含不是局部鞅测度的sigmamartingale测度。要了解这一点，请回想一下，除了满足（4.4）条件外，局部鞅还可以通过满足以下条件来描述：|∧ |x|）Ft（dx）dt<∞ P-a.s.对于所有具有条件（a）视图的t.而言，该物业将不方便处理。（ii）在我们的边缘化背景下，使用[24]中的非线性Lévy过程的一般构造，而不是[17]中基于PIDE的构造，这一点至关重要，即使是在有限变化跳跃和连续索赔领域。事实上，饱和条件（这是至关重要的）通常会导致违反压实度条件，从而确保[17]中的良好压实度。例如，如果我们想考虑Wiener过程和Poisson过程之和，饱和要求我们必须考虑跳跃部分的无限强度变化。4.1指数Lévy过程在金融中股票价格建模的背景下，过程s通常是指数形式；参见，例如[25]。我们继续使用与上述相同的设置，除了我们为规范过程Xt（ω）=ω写X，并将S定义为X的随机指数。更准确地说，让PΘ是X的一组西格玛鞅测度。指数随机微分方程d=diag（S）-) dX，S=1（4.5）可以像[19]中那样“按路径”求解，也可以通过Doléans–Dadeformula[18，I.4.64，p.59]和定理2.4证明中的参数来求解：回顾NP 利用X是cádlág这一事实，我们可以构造一个cádlág，g+适应（甚至g-适应）过程S，它在所有P下解（4.5）∈ PΘ。

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何人来此

2022-5-6 10:38:35

为了获得正的价格，我们选择Θ，以使包含的Lévy度量集中在(-1.∞]d、这相当于Xi>-1 PΘ-q.s.以及Si>0和Si-> 0 PΘ-q.s.那么，P是X的sigma鞅测度当且仅当它是sigmamatingale测度f或s，并且支配扩散性质的特征（4.2）仍然有效。因此，引理4.2在没有变化的情况下延续到指数情况，命题4.3也是如此。我们注意到，在这种情况下，西格玛鞅测度和局部鞅测度之间没有区别，因为任何正西格玛鞅都是局部鞅。参考文献[1]B.Acciaio、M.Beiglb"ock、F.Penkner和W.Schachermayer。资产定价基本理论和超级复制理论的无模型版本。出现在数学中。《金融》，2013年。[2] E.Bayraktar、Y.-J.Huang和Z.Zhou。在模型不确定性下对美式期权进行套期保值。暹罗J.金融数学。，6(1):425–447, 2015 .[3] E.Bayraktar和Z.Zhao。模型不确定性和投资组合约束下的套利和对偶问题。出现在数学中。《金融》，2014年。[4] D·P·贝尔塞卡斯和S·E·史莱夫。随机最优控制。离散时间案件。学术出版社，纽约，1978年。[5] S.Biagini，B。Bouchard、C.Ka rdaras和M.Nutz。连续过程的稳健基础理论。出现在数学中。《金融》，2014年。[6] B.布查德和M.纳茨。非支配离散时间模型中的套利与对偶。安。阿普尔。Probab。，25(2):823–859, 2015.[7] P.切里迪托、M.库珀和L.唐皮。具有可数可加测度的递增凸函数的表示。预印本arXiv:1502.05763V12015。[8] F.德尔班和W.沙切迈耶。鞅的bo-undedsequences的紧性原理及其应用。

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大多数88

2022-5-6 10:38:38

在随机分析、随机场和应用研讨会上（Ascona，1996），Progr第45卷。Probab。，第137-173页。Birkh"auser，B asel，1999年。[9] C·德拉切里和P·A·迈耶。概率和潜力B.北荷兰，阿姆斯特丹，1982。[10] 丹尼斯和马提尼。在存在模型不确定性的情况下，对目标定价的理论框架进行了研究。安。阿普尔。Probab。，16(2):827–852, 2006.[11] 多林斯基。离散时间模型不确定性下博弈期权的套期保值。电子公社。Probab。，19(19):1–11, 2014.[12] Y·多林斯基和H·M·索纳。连续时间的鞅最优运输和鲁棒套期保值。Probab。理论相关领域，160（1-2）：391-4272014。[13] Y·多林斯基和H·M·索纳。skorokhods空间中的鞅最优输运。出现在随机过程中。应用程序。，2014年[14]Y.多林斯基和H.M.索纳。具有比例交易成本的稳健套期保值。金融斯托赫。，18(2 ):327–347, 2 014.[15] H·F"ollmer和Yu。卡巴诺夫。可选的分解和拉格朗日乘数。金融斯托赫。，2(1):69–81, 1998 .[16] H·F"ollmer a和D·克拉姆科夫。约束下的可选分解。Probab。理论相关领域，109（1）：1-251997。[17] 胡先生和彭先生。次线性期望下的G-Lévy过程。预印本十四：0911.3533v12009。[18] J.贾科德和A.N.希里亚耶夫。随机过程的极限定理。柏林斯普林格，第二版，2003年。[19] R·L·卡兰迪卡尔。关于路径随机积分。随机过程。应用程序。，57(1):11–18, 1995.[20] N.El Karoui和M-C.Quenez。不完全市场中未定权益的动态规划与定价。暹罗J.控制优化。，33(1):29– 66,1995.[21]D.克拉姆科夫。不完全证券市场中超级鞅的可选分解和对冲未定权益。Probab。理论相关领域，105（4）：459-4791996。[22]A.纽菲尔德和M.纳茨。

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nandehutu2022

2022-5-6 10:38:43

波动性不确定性下的超级复制可公式化声明。电子JProbab。，18(48):1–14, 2013.[23]A.纽菲尔德和M.纳茨。关于概率律的半鞅特征的可测性。随机过程。应用程序。，124(11):3819–3845,2014.【24】A.Neufeld和M.Nutz。非线性Lévy过程及其特征。以反式出现。艾默尔。数学Soc。，2014年[25]A.Neufeld和M.Nutz。具有Lévy过程的鲁棒效用最大化。预印本arXiv:1502.05920v12015。[26]M.纳茨。s-tochastic积分的路径构造。电子公社。Probab。，17(24):1–7, 2012.[27]M.纳茨。非马尔可夫n随机微分方程控制的准肯定方法。电子JProbab。，17(23):1–23 , 20 12.[28]M.纳茨。随机G-期望值。安。阿普尔。Probab。，23(5):1755–1777,2013.[29]M.纳茨和H.M.索纳。过度边缘化和动态风险度量低估了不确定性。暹罗J.控制优化。，50(4 ):2065–2089, 2012.[30]M.Nutz和R.van Handel。在空间上构造次线性期望。随机过程。应用程序。，123(8):3100–3121, 2013.[31]M.Nutz和J.Zhang。逆非线性期望下的最优停止及相关对策。出现在安身上。阿普尔。Probab。，2012年[32]彭南生。G-期望，G-布朗运动及其相关的随机计算。在随机分析与应用中，Abel Symp.第二卷。，第541-567页，柏林斯普林格，2007年。[33]S.彭。G-期望下的多维G-布朗运动及相关的随机计算。随机过程。应用程序。，11 8(12):2223–2253, 2008.[34]S.彭。非线性透视与不确定性下的随机演算。预印本arXiv:1002.4546v12010。[35]D.Pos samai、G.Royer和N.Touzi。关于可测量索赔的稳健支持。电子公社。Probab。，18(95):1–1 3, 2013.[36]H.M.Soner、N.Touzi和J.Zhang。

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能者818

2022-5-6 10:38:46

G-期望的鞅表示定理。随机过程。应用程序。，121(2):265–287, 2011.[37]H.M.Soner、N.Touzi和J.Zhang。二阶目标问题的对偶形式。安。阿普尔。Probab。，23(1):308– 347, 2013.[38]Y.宋。G-估计的一些性质及其在G-鞅分解中的应用。Sci。中国数学。，54(2):287–300, 2011 .

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