最优投资中的凸对偶与企业的未定权益估值

2022-5-11 00:38:55

非流动市场最优投资与未定权益估值的凸对偶性*Ari Pekka Perkki–o+2018年9月17日摘要本文研究了在交易资产可能受到非线性交易成本和投资组合约束的市场中，最优投资和或有权益估值中的凸对偶问题。在相当一般的条件下，对偶表达式分解为树项，分别对应于代理的风险偏好、交易成本和投资组合约束。当市场模型满足无套利条件的适当推广，代理人的效用函数满足渐近弹性条件的适当推广时，对偶表示被证明是有效的。当应用于ClassicalQuid市场模型或具有买卖价差的模型时，我们根据鞅测度和一致价格系统恢复了众所周知的定价公式。基于凸随机优化的一般理论，我们还根据“影子价格”的扩展概念推导出了最优性条件。1引言金融经济学的一个基本问题是管理投资，使其收益尽可能覆盖给定的负债。这不仅在财富管理中很重要，在金融产品的估值中也很重要。最优投资和资产估值通常都是通过引入某些对偶变量来分析的，例如在最优条件和估值算子中出现的对偶变量。经典文献包括[29]、[30]、[42]和[18]，其中无轨道条件与鞅测度的存在有关；有关该主题的详细讨论，请参见[20]。在最优投资问题中，凸性已成为分析最优解的重要工具；西。G

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2022-5-11 00:39:00

[16] ，[39]，[21]，[37]，[62]及其参考文献。*伦敦国王学院数学系，斯特兰德，伦敦，WC2R 2LS，英国，蒂姆。pennanen@kcl.ac.uk.+德国理工大学数学系，位于柏林，MA大楼，des街17号。Juni 13610623德国柏林，perkkioe@math.tu-柏林。作者感谢Instein基金会的财政支持。本文研究了非流动性市场中最优投资和或有目标估值的凸对偶问题，在非流动性市场中，人们可能会面临非线性交易成本和投资组合约束，这些约束阻碍了资产类别之间的资金转移。基于凸随机优化的一般理论，我们给出了对偶目标的显式表达式，以及存在对偶间隙和达到对偶最优的充分条件。第一组条件包括[39,64]中渐近弹性条件的多元推广，以及在具有比例交易成本的无约束模型中推广鲁棒无套利条件的条件。在完全流动市场模型的背景下，实现双重最优的条件与[6，推论5.2]密切相关。双解将“影子价格”的概念从[17]的无约束次线性市场模型自然扩展到一般凸模型。与影子价格类似，当最优对偶变量存在时，会产生最优投资策略的逐点最优性条件。在非线性非流动性影响和非协调投资组合约束下，双重目标是三个非线性项的总和。与经典完美液体模型一样，第一项是原始目标的共轭项。另外两个术语分别对应于交易成本和投资组合约束。

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2022-5-11 00:39:03

在经典的带现金账户的完全流动模型中，我们讨论了鞅密度正倍数上常见的对偶问题。然而，在没有现金账户的情况下，双重变量变成了随机贴现因子，可以解释货币的不确定性和时间价值，就像[22]、[33]、[44]、[43]和[67]的无计分圆锥模型一样。卖空限制的引入会导致随机折扣因素，从而将市场价格转化为超常价格，如[34]所示。加上按比例的交易成本，在买卖价差内演变的“影子价格”过程会得到类似的条件；见[35,17]。我们的非线性交易成本模型与[28]的连续时间模型密切相关。在离散时间框架内，我们能够放宽[28]的矫顽力条件，以便考虑非减损成本和线性贸易成本。与[28]类似，我们也将分析扩展到了实际交付的目标。事实证明，这是分析的自然框架，现金价值或有权益的结果来自多元权益的相应结果。基于最优投资的对偶理论，我们推导了可能有多个支付日期的未定权益价值的对偶表达式。如[51]中所述，将考虑两个被广泛研究的价值概念。Firstone（我们将其称为账户价值）被定义为以可接受的风险水平对冲索赔所需的最低初始现金量。在最厌恶风险的情况下，如果一个人不接受任何到期损失的风险，这将降低到经典的超额成本。通过将超边缘要求放宽至与终端净头寸相关的可接受“风险”，可以获得更合理的版本。

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2022-5-11 00:39:06

此类估值已在各种名称下进行了研究，包括（但不限于）“风险度量”[2,3]、“有效对冲”[25,26]或“好交易界限”[14]。第二个价值概念是差异价格，这是考虑进行金融交易并对交易如何改变其现有财务状况感兴趣的代理人的自然概念；参见[32,63,13]及其参考文献。事实证明，会计价值的双重表达与[33]和[14]中研究的“好交易界限”具有相同的一般结构。对偶表示也可以看作是非流动市场中凸风险度量对偶表示的多周期推广。在不同掉期利率的情况下，我们获得了非流动离散时间版本的定价公式，如[45，第7节]和[8，第4节]。2最佳投资和或有权益估值考虑一个金融市场，在这个市场中，一组有限的资产可以公开交易，=0，T和往常一样，我们将通过过滤概率对不确定性和信息进行建模(Ohm, F、（Ft）Tt=0，P）。购买投资组合的成本∈ RJat time tand stateω将用St（x，ω）表示。我们假设St:RJ×Ohm →R是一个anFt可测凸正规被积函数（见附录），使得St（0，ω）=0。该抽象规范涵盖了如比例交易成本，以及在限价订单市场中面临的严重流动性不足影响。在存在投资组合约束的情况下，可持有的投资组合集合（t，t+1）将由Dt（ω）表示 RJ。我们假设dtft是可测的，闭的，凸值为0∈ Dt（ω）。我们强调，我们不会先验地假设一项完全流动的计价资产不受此类约束。然而，此类模型可以被视为市场模型的特例（S，D）；参见下面的示例2。

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2022-5-11 00:39:09

[47,50,49,51]中有更多比例交易和投资组合约束的具体实例。在一个没有完全流动资产的市场中，区分不同时间点的支付是很重要的。进一步讨论见[51,43,67]。因此，我们将描述代理商对RT+1×上正常被积函数V的支付顺序的偏好Ohm. 更准确地说，如果期望值相等，则代理人会在另一个cifEV（c）<EV（c）之间进行随机序列的cof支付，而她在这两者之间是不同的。一个可能的结果是v（c，ω）=TXt=0Vt（ct，ω）。（1）一般来说，函数V可以被视为[26，定义4.111]意义上的“损失函数”的多元推广，其中损失函数是R上的非恒定非减损函数。在[12]中，也研究了多元效用函数，其中效用是资产组合的函数。最近，[67]研究了最优消费投资我们考虑了随机的、不可微分的、扩展的实值损失函数v，但需要以下条件。假设1。损失函数V是RT+1×上的正规被积函数Ohm 对于P-几乎每个ω∈ Ohm, 函数V（·，ω）是凸的，对于RJ的分量级，V（0，ω）=0，对于每一个非零c，都是不可减的∈ RT+1+存在α>0，使得V（αc，ω）>0。假设1中的最后一个条件意味着代理人在非零非负支付方面没有完全不同。它特别适用于V的形式（1），每个V都是R×上的凸Ft正规被积函数Ohm 因此Vt（·，ω）在V（0，ω）=0的情况下是非常数且不递减的。我们将从代理人的角度研究最优投资，该代理人的财务负债由一段时间内支付的随机序列c描述。

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2022-5-11 00:39:12

我们允许c取任意实数，这样它就可以描述恩赐和债务。代理人的问题是找到一种交易策略，以对冲债务c以及EV可能衡量的债务。用N表示适应的RJ值交易策略的线性空间，我们可以把问题写成最小化EV（S）(x） +c）超过x∈ ND，（ALM）其中ND={x∈ N | xt∈ Dt是一套可行的交易策略(x）表示过程（St(xt）Tt=0和x-1:= 0. 下面，我们将可测量函数的期望定义为：+∞ 除非正部分是可积的。对于任何一个z∈ RJ和c∈ R、我们设置V（S（z，ω）+c，ω）：=+∞除非zt∈ dom St（·，ω）表示所有t。因此，（ALM）包含了约束xt∈ 最肯定的是，交易金额可能会受到限制。假设1保证（ALM）的目标是N上定义良好的凸函数；见附录中的推论17。我们假设DT（ω）={0}，也就是说，代理需要在时间T关闭所有位置。在本文中，我们将用φ（c）表示（ALM）的最佳值。最优值函数ν是随机支付序列线性空间M上的一个扩展实值函数。问题（ALM）涵盖了文献中出现的许多传统最优投资模型的离散时间版本。特别是，（ALM）可以被解释为一个具有随机捐赠的最优消费投资问题-C和消费-圣(xt）- ctat时间t。我们的公式扩展了更常见的公式，具有完全流动的计价资产；参见例[16,37]及其参考文献。

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2022-5-11 00:39:15

问题ALM接近于[67，第2节]，在线性离散时间市场模型中研究了最优投资消费，没有完全流动的计价资产。考虑到扩展的实值损失函数V，我们可以将超边缘问题和具有显式预算约束的问题视为（ALM）的特例。我们将用byC表示：={c∈ M|十、∈ ND:S(x） +c≤ 0}，这组声明可以在没有成本的情况下进行超级边缘化。例1。当V的形式为V（c，ω）=（VT（cT，ω）如果cT≤ 0表示t<t+∞ 否则，问题（ALM）可以用明确的预算约束写成，如下所示(xT）+cT）超过x∈ 以圣(xt）+ct≤ 0, 这是最大化终端财富预期效用的经典问题的非流动版本。事实上，因为对于所有x，xT=0∈ 我们有圣(xT）=ST(-xT-1），这是在时间T关闭所有头寸的成本。或者，我们可以解释-圣(-xT-1）作为xT的清算价值-1.当nv=δRT+1时，我们有φ=δC。在具有完全流动现金的模型中，问题（2）可以用更熟悉的形式书写。例2。具有完全流动性现金的模型对应于t（x，ω）=x+~St（~x，ω）和Dt（ω）=R××Dt（ω），其中x=（x，~x）和~-S和~-D是交易成本和保留风险资产J\\{0}的约束条件。

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2022-5-11 00:39:19

当调整c时，可以使用问题（2）中的预算约束来替换问题公式中的现金投资X，就像[15，等式（2.9）]和[28，等式（4）]。还记得x的xT=0吗∈ 因此，问题（2）可以写为minimize EVTTXt=0St(~xt）+TXt=0ct！超过x∈ NDI如果一个人进一步专门研究完美流动市场模型，其中对于独立于交易的单价过程，他可以将目标中的累积交易成本表示为关于s的x的随机积分，从而从[39,21,40,7,8]中恢复经典公式的离散时间版本。请注意，在[39,40,7]中，代理人的财务状况仅以初始嫁妆w来描述∈ R无未来负债。这对应于c=-t>0时，w和ct=0。在本节结束时，我们简要回顾了流动性不足的或有索赔估值；进一步讨论见[51]。交付或有权益的责任的会计价值c∈ M根据（ALM）的最佳值函数φ定义为πs（c）=inf{α∈ R||||（c）- αp）≤ 0}，在这里和下面，δC表示集合C的指示函数：δC（x）等于0或+∞ dep结束于x是否∈ C或不是。p在哪里∈ 对于t>0，M由p=1和pt=0给出。会计价值给出了以EV衡量的可接受风险水平对冲索赔所需的最低初始资本额。这将具有最小短缺风险的“有效对冲”概念从[26，第8.2节]扩展到具有多个支付日期的非流动性市场和索赔。或者，πs（c）可以被视为“风险度量”从[2]扩展到没有完全流动的“参考资产”的市场。函数πs:M→对于M上的点序，R是凸的且不减损的。

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2022-5-11 00:39:21

它还有一个翻译属性，扩展了[2]中提出的翻译属性；参见[51，定理3.2]后面的注释。文献[31]研究了π-sin养老保险的应用。而πs（c）为负债c构建可接受的享乐策略所需的初始现金量最少∈ M、数πl（c）：=sup{α∈ R |~n（αp）- c）≤ 0}在收到c时，在可接受的风险水平下（通过在时间t=0时做空交易资产，并在时间t=t时动态交易以平仓）提供最大的初始付款∈ 我们称πl（c）为资产的会计价值∈ 显然，πl（c）=-πs(-c）。资产的会计价值是相关的，例如在资产分为交易账簿和银行账簿的银行中。银行账簿中的资产通常是没有二级市场的非流动资产。上述πl（c）的定义为此类资产提供了市场一致的、基于套期保值的价值。本文考虑的“价值”的第二个概念扩展了[32]中的差异价格概念。兑换债权的差异互换率∈ M表示高级序列p的倍数∈ M定义为πs（`c，p；c）=inf{α∈ R||~n（\'c+c）- αp）≤ ~n（\'c）}，其中\'c∈ M描述了代理人的初始责任。这种解释是，差异互换率给出了最低互换率，该互换率允许代理机构在不恶化其头寸的情况下签订互换合同，并通过（ALM）的最佳值来衡量。虽然会计价值在会计和金融监管中很重要，但差异互换率在交易中更具相关性。采用swap合约另一方（“多头头寸”）的独立掉期利率类似地由πl（`c，p；c）=sup{α给出∈ R|~n（\'c- c+αp）≤ ~n（`c）}。请注意，当c=（0。

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2022-5-11 00:39:26

，0，cT）和p=p，差异互换率降低到熟悉的差异价格概念。在本节结束时，我们回顾了一些关于超边际的基本事实，以及会计价值和差异互换率的套利界限；详见[51]。我们有а（c）=infd∈CEV（c）- d）。此外，φ，π和π（`c，p；·）是M上的凸函数，它们在衰退曲线的方向上是非递增的∞= {c∈ M|c+αc∈ C \'c∈ C、 C的α>0}∞. 显然，C∞是一个凸锥和C∞ 当C是圆锥体时，C相等（例如在比例交易成本和圆锥体约束下）。我们将给出C的显式表达式∞在市场模式方面（S，D）；见下面的推论7。会计价值可以限定在由πsup（c）=inf{α定义的超边际成本和次边际成本之间∈ R|c- αp∈ C} πinf（C）=sup{α∈ R |αp- C∈ C} 分别为。实际上，如果πs（0）=0，那么，根据[51，定理3.2]，πinf（c）≤ πl（c）≤ πs（c）≤ πsup（c）在c中具有等式- αp∈ C∩ (-C）对一些人来说∈ 在这种情况下，πs（c）=α。类似地，差异互换率可以由πsup（p；c）=inf{α定义的上边缘互换率和下边缘互换率限定∈ R|c-αp∈ C∞} πinf（p；c）=sup{α∈ R |αp-C∈ C∞},分别地实际上，如果πs（`c，p；0）=0，那么，根据[51，定理4.1]，πinf（p；c）≤ πl（`c，p；c）≤ πs（`c，p；c）≤ 带等式的πsup（p；c）如果c- αp∈ C∞∩ (-C∞) 对一些人来说∈ 在这种情况下，πs（\'c，p；c）=\'α。最后一个条件将可复制性（可达到性）的经典条件扩展到非线性市场模型。

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2022-5-11 00:39:29

在[43，第2节]中∞∩ (-C∞) 被解释为“流动零成本可实现索赔”。回想一下，在锥形市场模型中∞= C.3最优投资的二元性我们的总体目标是推导最优价值函数、会计价值π和差异互换率πs（`C，p；·）的二元表达式，分析它们的性质，并将它们与文献中出现的市场模型和二元性理论的更具体实例联系起来。我们将使用凸分析的函数分析技术，其中对偶性来自凸函数的共轭概念；见[60]。更准确地说，我们应用了[48,54,9,56]的结果，其中Rockafellarwas的一般共轭对偶框架专门用于一般的凸随机优化问题。为了在第2节的设置中应用共轭对偶，我们从现在开始假设 L(Ohm, F、 P；RT+1）将二元性与另一个空间Q分离 L(Ohm, F、 P；在双线性形式下随机序列的RT+1），qi:=E（c·q），其中“·”表示通常的欧氏内积。我们还将假设M和Q在[58]的意义上都是可分解的，并且它们是更接近的自适应投影。可分解性是指cA+c′Ohm\\A.∈ 我永远是c∈ M、 c′∈ L∞还有∈ F.a c=（ct）Tt=0的自适应投影∈ 根据ACT:=Etct给出的（Ft）Tt=0自适应随机过程。在这里以及接下来的内容中，Et表示关于Ft的条件期望。回想一下（参见[11，引理1]）可分解性M和Q意味着∞ M 求出M的两个元素的点方向最大值都小于M。我们将分别用maan和Qa来表示M和Q的适应元素。由于M和Q在自适应投影下是封闭的，所以在（c，Q）7下，M和Q是分离对偶的→ hc，齐。

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2022-5-11 00:39:34

Qa的元素可以解释为“随机贴现因子”（或“状态价格密度”），它扩展了经典市场模型中鞅密度的概念。在没有完全流动的现金（或其他完全流动的数字）的市场中，需要更一般的双重目标才能体现货币的时间价值。在确定性设置中，双变量q∈ Qa代表利率的期限结构（零息债券的价格）。在[1，定理3.4]和[43，第3节]中，对偶变量q∈ Qa表示为鞅密度和可预测贴现过程的乘积；另见[67，第3.2节]。ψ：Ma的凸共轭→R关于MAA与QA的配对，定义如下：*（c） =supc∈马奇- ~n（c）}。Qa上函数的共轭定义类似。如果~n关闭且正确，则**= φ; 参见例[60，定理5]。换句话说，我们就有了对偶表示形式φ（c）=supq∈Qa{hc，qi- φ*（q） }。右边的最大化问题被称为对偶问题。如果ψ未关闭，则对于某些c∈ Mathe对偶最优值严格小于φ（c）（存在“对偶间隙”）。本节的主要结果给出了共轭φ的表达式*根据损失函数V和市场模型（S，D）。下面的第4节给出了封闭的充分条件。注意，如果V是P，则几乎可以肯定非正圆锥RT+1的指示器函数-, 然后，最优值函数ν与指示符函数δC（可在不产生成本的情况下进行超边缘处理的权利要求集合C）以及其与ν的共轭相一致*成为支持函数σC（q）：=supc∈Chc，齐。在这里，我们可以把C看作是一组经过修改的声明，它们可以在没有成本的情况下被超级化。

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2022-5-11 00:39:37

事实上，不难证明，如果一个人限制c被适应，上确界不受影响。当S为次线性，D为圆锥体时，集合C也是圆锥体，σcbe表示极锥的指示函数*:= {q∈ Qa | hc，qi≤ 0C∈ C} 。在经典的完全流动市场模型中，C*结果是鞅密度过程的正倍数；见推论3后的备注。结合Kreps–Yan定理，这给出了资产定价基本定理的快速证明。表示的表达式*下面的定理1适用于对随机支付序列表现出风险厌恶的损失函数V。假设2。电动汽车（交流）≤ EV（c）适用于所有c∈ M.显然，假设2也适用于所有t的Ft=F。如果V是形式（1），其中每个vt是凸正规Ft被积函数，因此存在q，则假设2也适用∈ Qaev*t（qt）<∞ 实际上，在这种情况下，假设2中的不等式就是凸正规被积函数的Jensen不等式；西。g、 [48，推论2.1]。我们使用符号（αSt）（x，ω）：=（αSt（x，ω）如果α>0δcl dom St（·ω）（x）如果α=0。在α=0的情况下，定义的动机是函数αSt（·ω）是ανSt（·ω）作为αν0的表观极限；这源于[61，命题7.29]以及真闭凸函数在有界集上从下一致有界的性质。根据[61，命题14.44和命题14.46]，αS是每个可测α的凸正规被积函数≥ 0.我们将用N表示适应的可积RJ值过程的空间。为了简化下面陈述中的表示法，我们使用Dummy变量wT+1∈ L(Ohm, F、 P；RJ）。自DT以来≡ {0}，我们有σDT≡ 0，因此wT+1的值不会影响任何表达式。第7.2节将给出以下证明。定理1。

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2022-5-11 00:39:41

如果V满足假设1和假设2，如果S（x，·）∈ Mafor allx∈ RJ，则（ALM）的最佳值函数的共轭可以表示为*（q） =EV*（q） +infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1]），其中每个q都达到了最大值∈ 质量保证。假设S（x，·）∈ 马福尔x∈ RJ是假设S（x，·）的推广∈ Lmade in[47]。还记得吗，妈 L.我们将在第5节中看到，关于S的更强假设可能允许我们建立对偶解的存在性和（ALM）最优性条件的必要性。假设S（x，·）∈ MAI也接近[6，假设3.1]，在完全流动的情况下，要求价格过程“局部”属于与优化效用函数相关的Orlicz空间。当V（·ω）=δRT+1时-对于P-几乎所有ω，定理1给出了[47，引理A.1]的以下isa变体。推论2。如果S（x，·）∈ Mafor all x∈ RJ，那么σC（q）=infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）]）表示q∈ Ma+而σC（q）=+∞ 否则此外，每一个q值都达到了最大值∈ 文科硕士证据当V（·ω）=δRT+1时-, 假设1和2显然成立，我们得到了*= σC.自V*（·，ω）=δRT+1+，定理1给出*（q） =infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）]）表示q∈ Ma+和ν*（q） =+∞ 问/∈ Ma+。当S是次线性，D是圆锥形时，我们有S*t=δdoms*tandσDt=δD*T

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2022-5-11 00:39:45

如果加上，S（x，·）∈ Mafor all x∈ RJ，所以dom St=RJand（qtSt）*（w） =δ（w | qts）*t）推论2给出了极锥的以下表达式*= {q∈ Qa+|W∈ N:wt∈ qtdom S*t、 Et[wt+1]∈ D*tP-a.s.}。C的极锥也可以写成asC*= {q∈ Qa+|s∈ N:圣∈ 多姆S*t、 Et[（qt+1+1）]∈ D*tP-a.s.}。在St（x，ω）=St（ω）·x和Dt（ω）=RJ的无约束线性模型中，我们有doms*t={st}和D*t（ω）={0}所以c*= {q∈ Qa+| qs是一个鞅}，与[67，定义2.2]在无数值线性模型的情况下一致。在具有买卖价差的无约束模型中，dom*这是立方体-t、 s+t]与C*= {q∈ Qa+|s∈ N:s-T≤ 圣≤ s+t，qs是鞅}。上述过程对应于[17]意义上的“影子价格”；请参阅第5节了解更多详细信息。当卖空被禁止时，即当我们使用每一个dom选择器w*这是可积的。事实上，芬切尔说≤ sup | x|≤第一（x）+S*t（w），其中自S（x，·）起上确界是可积的∈ 文科硕士Dt=RJ+，条件Et[（qt+1+1）]∈ D*T意味着qs是一个超级艺人。在具有完全流动现金的模型中（参见示例2），C*可以用asC表示*= {q∈ Qa+|Q∈ P、 α≥ 0:qt=αEtdQdP}，其中P={Q<< P|~s∈~N:~st∈ dom~S*t、 EQt■st+1∈~D*tQ-a.s.}和ndente是一组适应的RJ\\{0}值过程。在无约束模型中，Pis是一组绝对连续的概率测度Q，允许dom S的鞅选择器*t、在St（x，ω）=St（ω）·x的经典线性模型中，我们暗示有doms*t={st}所以集P成为s的绝对连续鞅测度集。利用推论2，我们可以更简洁地写出定理1，如下所示。推论3。在定理1的假设下*= 电动汽车*+ [55，引理3]在损失函数的更严格假设下给出了σC.推论3。

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2022-5-11 00:39:48

此外，[55，引理3]的证明基于[48，定理2.2]，它支持[9]中纠正的错误；参见[52]。4值函数的闭合性本节给出了φ闭合的条件，从而证明了双表示法的有效性**. 封闭条件将通过市场模型的渐近行为和损失函数给出。凸函数h的渐近行为可用其衰退函数h来描述∞这可以用灰烬来表达∞（x） =supα>0h（αx+-x）- h（\'x）α，其中上确界与\'x\'的选择无关∈ 多姆h；参见[59，定理8.5]。凸函数的衰退函数是凸且正齐次的。给定一个市场模型（S，D），函数S∞t（·ω）：=St（·ω）∞是一个凸被积函数和D∞t（ω）：=Dt（ω）∞是一个可测量的集合；参见[61，练习14.54和14.21]。这样，每个（S，D）都会产生一个锥形市场模型（S）∞, D∞). 类似地，凸损失函数V产生次线性损失函数V∞（·，ω）：=V（·，ω）∞. 注意，假设1中的增长特性意味着∞（c，ω）≤ 0代表全部c∈ RT+1-和{c∈ RT+1+| V∞（c，ω）≤0} = {0}. 我们的亲密度结果要求如下。假设3。{x∈ 钕∞| 五、∞（S）∞(x） )≤ 0}是一个线性空间。如果损失函数V满足{c∈ RT+1 | V∞（c，ω）≤ 0}=RT+1-, （3）那么假设3意味着{x∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}是一个线性空间。这将经典的无套利条件从完全流动市场模型推广到非流动市场模型。尤其是当D≡ RJ（无投资组合约束），线性条件成为[66]中针对[36]的货币市场模型引入的“稳健无套利条件”的一个版本；有关无套利条件以外的详细信息和更多示例，请参见[49]。

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2022-5-11 00:39:52

{x的线性∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}可以被视为“有效摩擦”条件的放松，在当前设置中，这将要求该设置减少到原点；参见[10]了解有效摩擦条件的回顾，以及股息支付模型的扩展。条件（3）明确暗示了假设1。特别是当V是形式（1）时，它成立，其中Vt（·ω）是V的单变量非恒定损失函数∞T≥ 事实上，由于VT是不减损的，所以我们有V∞T≤ R上0-而非恒定意味着V∞当ct>0时，t（ct，ω）>0；参见[59，推论8.6.1]。如果VTC是可区分的且满足INDA条件，则条件（3）当然成立-∞V′t（c，ω）=0和limc∞V′t（c，ω）=+∞从那以后，V∞T≡ δR-.我们还需要一个关于损失函数的假设。假设4。存在λ6=1使得λdom EV* 多姆埃夫*.假设4尤其适用，如果V从下到下被一个可积函数限定，自那时起为0∈ 多姆埃夫*. 下面的引理4给出了更多的一般条件。这些条件将渐近弹性条件从[39]和[64]扩展到多元、随机和可能的非光滑损失函数。对于非变量损失函数v，条件可以表述为λ>1，\'y∈ 多姆埃夫*, C≥ 0:v*（λy）≤ 个人简历*（y） Y≥ \'y，（RAE+）λ ∈ （0,1），\'y∈ 多姆埃夫*, C>0:v*（λy）≤ 个人简历*（y） Y≤ y.（RAE）-)[39,64]中给出的确定函数的渐近弹性条件的各种重新表述，在附录中被推广到随机和非光滑损失函数。下面的引理给出了多元扩展。引理4。如果v*（η，ω）：=V*（ηy（ω），ω）每个y的满意度（RAE+）∈ 多姆埃夫*,然后λdom EV* 多姆埃夫*λ ≥ 1.如果v*（η，ω）满足度（RAE）-) 每一次∈ 多姆埃夫*, 然后λdom EV* 多姆埃夫*λ ∈ （0，1）。证据。

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2022-5-11 00:39:55

考虑到∈ 多姆埃夫*, 正规被积函数h=v*两种情况下的满足性附录中引理19的假设∈ 嗯。备注1。在单变量情况下，引理4中的径向条件由满足相应渐近弹性条件的损失函数满足。的确，如果V*满意度（RAE+）和y∈ 多姆埃夫*, 然后v*（η，ω）：=V*（ηy（ω），ω）满足（RAE+）的λ和C相同，但y被{y>0}y/y替换。对于（RAE+）类似-).我们现在准备陈述本节的主要结果。除了最优值函数的闭合性和最优交易策略的存在性外，它还给出了衰退函数的显式表达式。这些结果将有助于第6节中未定权益估值的分析。第7.2节将给出以下证明。定理5。假设1、3和4成立，并假设EV*（q） +infw∈NE（TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）[wt+1]）∞对于一些问题∈ Q.那么φ是σ（Ma，Qa）-以Ma为单位闭合，所有c的上限（ALM）都是固定的∈ 马恩德∞（c） =infx∈NDEV∞（S）∞(x） +c）。在定理1的假设下，定理5中的最后一个假设成立，尤其是如果*这是恰当的。假设*如果V从下方被一个可积函数所限定，则自动保持适当的值，因为φ也是有界的，所以*(0) < ∞. 如果V从下面是无界的，则φ的适当性*这是一个更微妙的问题。在经典的线性模型中，如果存在鞅测度Q，这一点成立<< 具有密度过程q的P∈ Qaev*（q） <∞. 这类似于[65]中的假设1，假设市场是完全流动的，对偶问题是由过等价鞅测度表示的。一般来说，适当的*这意味着从下方开始，在麦基社区的起源地。

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2022-5-11 00:39:59

事实上，这意味着下半连续外壳在原点处是固定的，然后才是固定的*是正确的，根据[60，定理4]。如果在原点处是有限且连续的，这一点当然成立。第5节将给出充分的条件。以下结果总结了我们迄今为止的发现。将定理1、5和推论2与凸函数的一般双共轭定理相结合，给出了（ALM）的最优值函数的对偶表示。定理6。如果假设1-4成立，S（x，·）∈ Mafor all x∈ Rj和~n*isproper，则φ（c）=supq∈Qa{hc，qi- 电动汽车*（q）- σC（q）}，其中σCis由推论2给出。MAI上的Mackey拓扑是与带Qa的Pair兼容的最强局部凸拓扑。下面的例子将定理6专门应用于具有完全流动现金的锥形市场模型。例3。考虑例子2，假设D是圆锥的，S是次线性的，并且{x∈ ND|S(十）≤ 0}是一个线性空间（如果没有约束，尤其是在鲁棒无套利条件下；参见[49，第4节]）。如果VT（·，ω）是非常数的，则凸损失函数满足V∞≥ 0和（RAE+）或（RAE-), 那么φ（c）=supλ≥0supQ∈P（λeqtext=0ct- 电动汽车*T（λETdQdP））（参见C的表示*在第3节末尾）。这类似于[45]或[8]中针对连续时间模型推导的对偶问题。虽然这些参考文献研究了完全流动市场中随机捐赠的最优投资，但上述研究适用于离散时间的非流动市场。在指数形式下，casevt（c）=α（eαc- 1），λ>上的上确界很容易通过解析方法找到，并且可以得到φ（c）=αexp“supQ∈P{αEQTXt=0ct- H（Q | P）}#-α、其中H（Q | P）表示Q相对于P的熵。

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2022-5-11 00:40:02

这是[21]中获得的对偶表示的非流动离散时间版本；另见【5】。最优投资中的许多对偶理论只研究了作为初始禀赋函数的最优价值；参见例如[39]或[38]。例4（间接效用）。函数v（c）=ψ（c，0，…，0）给出了具有初始资本的代理的（ALM）的最佳值-没有未来的负债/捐赠。我们可以表示v asv（c）=infd∈C（C）EV（d），（4）其中C（C）={d∈ 马|（c，0，…，0）- D∈ C} 是否要求未来捐赠的集合无风险地覆盖C的初始付款。如果φ适当且低连续性（见定理5），则双共轭定理给定sv（C）=supq∈Qa{cq- φ*（q） }=supq∈R{cq- u（q）}其中u（q）=infz∈Qa{~n*（z） | z=q}。如果C是圆锥形的，我们可以用推论3把u写成类似于（4）asu（q）=infz的形式∈Y（q）EV*（z），其中Y（q）={z∈ C*| z=q}。即使φ是闭合的，也没有理由相信u也是较低的半连续的，也没有理由相信它的定义达到了极限。然而，在某些情况下，可以放大setY（q），使函数u变得更低，从而达到连续性和最大值；关于无约束的次线性双资产模型，请参见[17]。当V=δRT+1时-, 定理5的假设是自动满足的，因此我们得到了关于C组索赔的以下结果，这些索赔可以在没有成本的情况下被超边际化。推论7。如果{x∈ 钕∞| s∞(十）≤ 0}是一个线性空间，那么C是闭合的，它的衰退锥可以表示为asC∞= {c∈ 马|十、∈ 钕∞: s∞(x） +c≤ 0}.推论7的第一部分在[49，第4节]中给出，其中还表明线性条件由“稳健无套利条件”隐含，该条件简化为经典完美流动市场模型中的经典无套利条件。

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nandehutu2022

2022-5-11 00:40:05

结合Kreps–Yan定理，这给出了著名的Dalang–Morton–Willinger定理的快速证明。衰退锥C∞在或有索赔评估中，C的价值发挥着重要作用；见下文[51]和第6节。特别是，当c-αp∈ C∞∩(-C∞)对一些人来说∈ R见[51，定理4.1]。这将“可达性”的经典概念推广到非流动性市场模型。因此，在一般的市场模型中，完整性的概念（所有c∈ Ma）扩展到C的性质∞∩ (-C∞) 是Ma的一个极大线性子空间。最大值意味着如果p/∈ C∞∩ (-C∞), 然后是p的线性跨度∪ [C]∞∩(-C∞)] 这就是我的全部。在定理5的条件和V∞≥ 0，条件p/∈ C∞, 结果证明πs（`c，p；·）是Ma上的适当lsc函数是必要的和有效的；见下面的定理11。5最优性条件和影子定理在定理1和定理5的假设下，（ALM）的最优性值等于对偶问题的最优性值∈Qa，w∈NE（V）*（q） +TXt=0[（qtSt）*（wt）+σDt（Et）wt+1）- ctqt]）。最优q∈ Qa（如果存在）的特征是等式φ（c）+φ*（q） =hc，qi，这意味着q是c处的一个次梯度，即φ（c′）≥ ν（c）+hc′- c、齐c′∈ 文科硕士最优对偶解∈ 因此，Qa可以被解释为索赔c的边际价格∈ 文科硕士特别是，如果φ恰好是Gateaux可微分atc，那么q是φ在c处的导数。我们将表示φ在c处的次微分，即次梯度集∈ 梅比~n（c）。很像[60]的共轭对偶框架，对偶解允许我们写下原始问题（ALM）解的最优性条件。第7.2节将给出以下证明。定理8。

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2022-5-11 00:40:09

让c∈ 文科硕士如果假设1-4成立且（w，q）∈ Qa×解对偶，然后是x∈ N解（ALM）当且仅当它是可行的且wt+1∈ 无损检测（xt），q∈ V（S）(x） +c），重量∈ （qtSt）(xt）。相反，如果x和（w，q）是满足上述系统的可行原对偶对，则x解原对偶，而在c处是闭合的。在经典线性模型中，其中St（x，ω）=St（ω）·x，定理8中的最优性条件简化了toEt（qt+1+1）∈ 无损检测（xt），q∈ V（s·x+c）。在不受约束的情况下≡ RJ，第一个条件意味着qs是鞅。另一方面，我们可以将最后一个条件写为wt=qt\'st，其中\'st∈ L(Ohm, Ft，P；RJ）是这样的∈ 圣(xt）。根据[17]，我们称这种过程为影子价格。根据[59，定理23.5]，我们可以这样写：xt∈ s*t（\'st）。如果S像[17]一样是正齐次的，这就变成了xt∈ 恩多姆S*t（\'st）。特别是，最优策略只有在/∈ int dom S*在这种情况下，增量XTS属于dom S的（向外）法线*答：这将互补条件从[17，定义2.2]扩展到多资产和一般次线性交易成本。此外，如果*（\'s）∈ Ma，\'x在（ALM）中是最优的，那么它在线性化问题中也是最优的x+c）超过x∈ ND，其中\'c:=c- s*（\'s）。事实上，如果x，（\'w，\'q）在（ALM）和对偶中是最优的，我们有S(\'x）+S*（\'s）=\'s·根据定理8中的最优性条件，它们满足线性化模型的最优性条件，对于线性化模型，它们也是可行的，因此，定理8的最后一部分给出了结论。情况十、∈ 恩多姆S*t（`st）与[19]的结果密切相关，后者发现在交易成本下，存在一个“无交易区域”，最优交易策略保持不变。在次线性的情况下，这个区域是doms的内部*T

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2022-5-11 00:40:13

还要注意，如果S恰好是严格凸的，s*是（最多）单值的（见[59，定理26.1和26.1]），因此影子价格是最优交易策略的唯一特征。[17]的第3节给出了一个例子，其中影子价格不存在，因此，在双表示法中，没有达到φ的上确界。以下给出了实现该目标的充分条件。回想一下，Mackey拓扑是与QA配对兼容的最强局部凸拓扑。定理9。在定理1的假设下，如果从上到下在c.证明的Mackey邻域上有界，则可获得对偶最优。根据定理1，对偶解在理论上与φ的次梯度一致。因此，该主张源自[60，定理11]。与[6，推论5.2]中的情况非常相似，在预期损失函数EV的适当连续性假设下，可以保证Qa中的双重实现。回想一下，如果Evercyclosed凸吸收集是原点的邻域，则局部凸拓扑向量空间是桶形的。根据[60，推论8b]，桶状空间上的下半连续凸函数在其域的代数内部（核心）是连续的。另一方面，根据[60，定理11]，连续性意味着次微分。Fr’echet空间，特别是Banach空间是桶装的。如果Mais在与Qa配对兼容的拓扑上是桶装的，我们会说Mais是桶装的。例5。假设Mais被枪杀了。如果EV在整个Ma和EV中是有限的，则Orem 9中的有界条件是满足的*在Qa上是合适的。在例2中，EV的完整性失败，但有界条件保持ifEVT（c+···+cT）<∞ 不管怎样，c∈ Maand洎或C7→ EVT（c+··+cT）在Ma上是下半连续的（见定理5）。证据根据[60，定理21]，EV是下半连续的，因此，根据[60，推论8B]，它在Ma上是连续的。

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2022-5-11 00:40:16

选择x=0，则给出φ（c）≤ EV（c），因此[60，定理8]意味着ψ是连续的，因此在整个Ma中可由[60，定理11]细分。与之类似，在示例2中，（c）≤ EVT（c+···+cT），因此，根据[60，推论8B]，这两个条件都暗示了或有权益估值的连续性。6二元性[51]的主要结果将会计价值和差异互换率与套利界限和经典的复制价值联系起来。[51]第6节给出了π和πs（`c，p；·）的下半连续性和性质的条件。本节定义了这些条件，并给出了π和πs（`c，p；·）的对偶表达式。我们从会计价值开始。6.1会计价值如导言所述，会计价值π将凸风险度量的概念扩展到没有完全流动现金账户的支付序列和市场。本节通过给出πS的对偶表示来扩展类比，当应用于具有完全流动性现金的单周期设置时，它可以简化为众所周知的风险度量的对偶表示。我们还给出了对偶表示中的共轭（“惩罚函数”）分为两部分的一般条件，一部分对应于市场模型，另一部分对应于代理人的风险偏好。这可以被视为具有完美流动性现金的模型中相应分离的延伸；见例[26，提案4.104]。注意，会计值可以表示为πs（c）=inf{α| c- αp∈ A} ，其中A={c∈ 马| ||（c）≤ 考虑到S和D所描述的非流动性市场中交易的可能性，0}由代理人可以用可接受的风险水平（以EV衡量）覆盖的金融头寸组成。这类似于[2]中凸风险度量与其接受集之间的对应关系，其中金融市场由一个完全流动的资产描述。

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nandehutu2022

2022-5-11 00:40:19

除了市场模型之外，这里另一个值得注意的扩展是，承兑集合由付款序列组成，而不是在单一日期付款。πsbelow的对偶表示涉及a的支持函数，该函数对应于凸风险度量的对偶表示中的“惩罚函数”；参见[26，第4章]及其参考文献。在mild条件下，支持函数分为两项：第一项是setB={c的支持函数∈ 马|埃夫（c）≤ 0}而第二个是索赔集合C的支持函数，它可以在没有成本的情况下被超边缘化。B只取决于代理人的风险偏好，C只取决于市场模型。定理10。如果F是微不足道的西格玛场，V∞≥ 0和第5项的假设成立，条件成立。πsis本征与下半连续，2。πs（0）>-∞,3.p/∈ C∞,4.对于某些q，q=1∈ domσCare等价并暗示对偶表示πs（c）=supq的有效性∈Qa{hc，qi- σA（q）|q=1}。如果inf~n<0，那么在定理1的假设下，σA=σB+σc和σB（q）=infα>0αEV*（q/α）。证据定理5中φ的封闭性意味着A的封闭性。根据附录中的引理18，对偶表示在前两个条件下有效，这两个条件都等价于p/∈ A.∞这就相当于q的存在∈ 含hp的domσA，qi=1。这里，假设hp，qi=qsincep=（1，0，…，0）和Fis是微不足道的西格玛场。由[57，推论6B]可知∞= {c∈ 马| |∞（c）≤ 0}. 当V∞≥ 0，则表示ν∞在定理5中，yieldsA∞= {c∈ 马|十、∈ 钕∞: s∞(x） +c≤ 0}，根据推论7，等于C∞. 因此，前两个条件都相当于3。引理18的另一个应用现在意味着3等同于4。这就完成了第一项索赔的证明。通过拉格朗日对偶（参见。

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2022-5-11 00:40:22

例1“在[60]的第45页上，conditioninf~n<0表示σA（q）=supc∈Ma{hc，qi|~n（c）≤ 0}=infα>0supc∈马奇- α~n（c）}=infα>0α~n*（q/α）=infα>0αEV*（q/α）+σC（q），其中最后一个等式来自推论3和σCis正齐次的事实。再次通过拉格朗日对偶，σB（q）=supc∈马{hc，齐| EV（c）≤ 0}.在假设2下，我们得到了所有的q∈ Qasupc∈Ma{hc，q/αi- EV（c）}=supc∈L{hc，q/αi- EV（c）}=EV*（q/α），其中最后一个等式来自交换规则[61，定理14.60]。定理10的第一部分类似于[24，第4.3节]中的推论1，该推论涉及一般单周期环境中的风险度量。第二部分中的双重表述类似于[26，命题4.104]中的表述，在具有投资组合约束和线性交易成本的单期设定中。另见[4，定理3.6]，它给出了两个凸风险度量的错误卷积的对偶表示。当C是锥时，定理10中的对偶表示可以写成πs（C）=sup{hc，qi- σB（q）|q∈ C*, q=1}。此外，如果EV是次线性的，那么B={c∈ 马|埃夫（c）≤ 0}是一个圆锥体，σB=δB*（极锥的指示函数），所以我们得到了更常见的表达式πs（c）=sup{hc，qi|q∈ C*∩ B*, q=1}。（5）在完全规避风险的情况下，V=δRT+1-, 我们有B=Ma-andB*= Qa+。自从C* Qa+，我们因此恢复了超级对冲成本的双重代表性；参见例[49]。一般来说，B的解释很像好交易界限理论中的“合意主张”集合；参见[14]及其参考文献。在上面的对偶表示中，极锥B*限制索赔估价中使用的一组随机贴现因子，从而使价值低于超边际成本。

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2022-5-11 00:40:25

这只是[51]中纯代数参数得到的无套利界的对偶公式；见第2节。一般结构也类似于[23]、[43]及其参考文献中的“双价格经济”模型。尤其是，表达式（5）的形式与[43，第3节]中“要价”的双重表示形式相同，后者在有限概率空间的背景下处理了没有完全流动性数值的锥形市场。虽然定理10是针对空头头寸制定的，但它可以通过等式πl（c）直接转换为多头头寸的会计值=-πs(-c）。特别地，πlin的对偶表示变成了πl（c）=infq∈Qa{hc，qi+σA（q）|q=1}，而在锥形情况下πl（c）=inf{hc，qi |q∈ C*∩ B*, q=1}。如果我们忽视金融市场（通过设置≡ 0），定理10的最后一部分给出了[27，定理4.115]对扩展的重值随机损失函数的多周期扩展。除了一般性，上面的凸解析证明要简单得多。6.2独立掉期利率本节给出了独立掉期利率πs（`c，p；c）的双重表示。所涉及的论点与前一节中的论点非常相似，我们注意到，差异互换率可以表示为πs（`c，p；c）=inf{α| c- αp∈ A（\'c）}，其中A（\'c）={c∈ Ma |Д（(R)c+c）≤ ？（\'c）}是一组声称当前财务状况为\'c\'的代理人∈ 考虑到他的风险偏好和在S和D所描述的非流动市场交易的能力，Madeems是可以接受的。类似于上一节中风险度量和会计价值的双重表示，πS（\'c，p；·）的双重表示涉及A（\'c）的支持功能。在温和的条件下，支持函数可分为两项。

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2022-5-11 00:40:28

其中一项仍然是集合C的支持函数，该集合C可以在没有成本的情况下被超边缘化，但现在第二项是集合B（`C）={C的支持函数∈ 毫安电子伏（\'c+c）≤ ~n（`c）}。这是一组具有财务状况“c”的代理人的索赔∈ Maand riskpreferences EV认为，在S和D.定理11所述的金融市场上进行交易的可能性至少是可取的。如果满足定理5的假设，则V∞≥ 那么，对于每一个“c”∈ dom~n和p∈ 妈，条件1。πs（`c，p；·）是真的，下半连续的，2。πs（`c，p；0）>-∞,3.p/∈ C∞,4.对于某些q，hp，qi=1∈ domσCare等价并暗示对偶表示πs（`c，p；c）=supq的有效性∈质量保证hc，齐- σA（`c）（q）hp，qi=1如果上述条件持续一段时间∈ dom，则每\'c∈多姆。如果inf~n<~n（\'c），则在定理1的假设下，σA（\'c）=σB（\'c）+σc，其中σB（\'c）（q）=infα>0α[EV*（q/α）- h′c，q/αi- ~n（`c）]。证据定理5中φ的封闭性意味着A（`c）的封闭性，然后是A∞（\'c）={c∈ 马| |∞（c）≤ 0}，由[57，推论6B]得出。第一个主张现在被证明，就像定理10一样。根据拉格朗日对偶性，条件inf k<k（\'c）意味着σA（\'c）（q）=supc∈Ma{hc，qi|~n（\'c+c）- ~n（摄氏度）≤ 0}=infα>0supc∈马奇- α[~n（°c+c）- ~n（\'c）]}=infα>0supc∈马奇- α[~n（c）- ~n（\'c）]}- h\'c，qi=infα>0α*（q/α）- ~n（`c）]- h\'c，qi=infα>0α[EV*（q/α）- ~n（`c）]- h′c，qi+σc（q），其中最后一个等式来自推论3和σCis正同质的事实。再次通过拉格朗日对偶σB（`c）（q）=supc∈马{hc，qi|EV（\'c+c）≤ ~n（`c）}=infα>0α[EV*（q/α）- ~n（`c）]- 就像定理10的证明一样。定理11的结构和假设与定理10基本相同。主要的差异在于解释。

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