有限域上具有注资的最优股利问题

nandehutu2022

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收藏 2022-06-09

英文标题：
《An Optimal Dividend Problem with Capital Injections over a Finite
Horizon》
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作者：
Giorgio Ferrari, Patrick Schuhmann
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最新提交年份：
2019
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英文摘要：
In this paper we propose and solve an optimal dividend problem with capital injections over a finite time horizon. The surplus dynamics obeys a linearly controlled drifted Brownian motion that is reflected at the origin, dividends give rise to time-dependent instantaneous marginal profits, whereas capital injections are subject to time-dependent instantaneous marginal costs. The aim is to maximize the sum of a liquidation value at terminal time and of the total expected profits from dividends, net of the total expected costs for capital injections. Inspired by the study of El Karoui and Karatzas (1989) on reflected follower problems, we relate the optimal dividend problem with capital injections to an optimal stopping problem for a drifted Brownian motion that is absorbed at the origin. We show that whenever the optimal stopping rule is triggered by a time-dependent boundary, the value function of the optimal stopping problem gives the derivative of the value function of the optimal dividend problem. Moreover, the optimal dividend strategy is also triggered by the moving boundary of the associated stopping problem. The properties of this boundary are then investigated in a case study in which instantaneous marginal profits and costs from dividends and capital injections are constants discounted at a constant rate.
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中文摘要：
在本文中，我们提出并解决了有限时间内注资的最优股利问题。盈余动态服从一个线性控制的漂移布朗运动，该运动反映在原点，股息产生与时间相关的瞬时边际利润，而注资受制于与时间相关的瞬时边际成本。其目的是使最终清算价值与股息预期利润总额之和（扣除注资预期成本总额）最大化。受El Karoui和Karatzas（1989）关于反射跟随者问题的研究的启发，我们将注资的最优股息问题与原点吸收的漂移布朗运动的最优停止问题联系起来。我们证明了当最优停止规则由时间相关边界触发时，最优停止问题的值函数给出了最优分红问题的值函数的导数。此外，最优红利策略也由相关停止问题的移动边界触发。然后在一个案例研究中研究了该边界的性质，其中股息和注资的瞬时边际利润和成本是以恒定速率贴现的常数。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Probability 概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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An_Optimal_Dividend_Problem_with_Capital_Injections_over_a_Finite_Horizon.pdf
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何人来此

2022-6-9 22:19:23

有限水平乔治·法拉利（PatrickSchuhmanabstract）上的一个带注资的最优红利问题。在本文中，我们提出并解决了一个在有限时间范围内注资的最优股利问题。盈余动态服从一个线性控制的分裂布朗运动，该运动在原点反映出来，股息产生与时间相关的即时边际利润，而注资则受制于与时间相关的即时边际成本。目标是最大化期末清算价值与股息预期收益总额之和，扣除注资预期成本总额。受El Karoui和Karatzas[14]关于反映的followerproblem的研究的启发，我们将注资的最优股息问题与在原点被吸收的漂移布朗运动的最优停止问题联系起来。我们证明了当最优停止规则由时间相关边界触发时，最优停止问题的值函数给出了最优红利问题的值函数的导数。此外，最优红利策略也由相关停止问题的移动边界触发。然后在一个案例研究中研究了这一边界的性质，在该案例研究中，股息和注资的瞬时边际利润和成本是以恒定利率贴现的常数。关键词：最优分红问题；注资；奇异随机控制；最优停车；自由边界。MSC2010受试者分类：93E20、60G40、62P05、91G10、60J651。简介关于最优股息p问题的文献始于1957年，由de Finetti[11]所著，其中首次提出通过未来股息支付的贴现价值来衡量保险投资组合。

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nandehutu2022

2022-6-9 22:19:27

从那时起，数学和精算数学的文献在时间分割问题上经历了许多科学的探索，这通常被建模为一个随机控制问题，受控制过程和剩余动态的不同规范的影响（见Jeanblanc Piqu\'e和Shiryaev的早期工作【17】、Akyildirim等人的最新工作【1】、De Angelis和Ekstrom【10】和Jiang和Pistorius【19】、Avanzi的评论【2】和Schmidli的书【32】）。Dickson和Waters从观察到当基金经理按照de Fin etti问题的最优策略支付股息时，几乎肯定会发生破产开始，在[12]中对最优分割问题的原始公式进行了几次修改。特别是，在[12]中提出的模式h中，股东有义务注入资本，以避免破产。这就是所谓的注资最优分割问题。关于注资最优股利问题的文献并不像经典的德菲内蒂问题那样丰富。在Kulenko和Schmidli[24]中，作者研究了带有注资的最优股息问题，其中在原点处反映了盈余过程，并在（0，∞) 根据经典的Cram'er-Lundberg风险模型发展。InSchmidli[33]，一个在不同时期注资和征税的最优股息问题：2019年5月22日。2法拉利，Schummansetting制定并解决。在Lokka和Zervos[26]中，股东可以选择注资政策，在没有任何干预的情况下，盈余过程遵循随波逐流的运动。Ferrari【16】、Zhu an d Yang【35】和Shreve等人【34】的其他研究表明，剩余过程演变为一般的维度差异。

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大多数88

2022-6-9 22:19:30

Avanzi等人在【3】中确定了跳跃式差异环境下的最佳股息和资本注入。在所有这些论文中，资本注入的最优股利问题被描述为有限时间范围内的奇异随机控制问题。考虑到环境的平稳性，在这些工作中，我们发现（除了可能的初始一次性付款外），对于某些内生确定的常数b>0，支付足够的股息以保持盈余过程在区间[0，b]内通常是最优的。在本文中，我们首次在文献中提出并解决了有限时间范围内注资的最优分割问题∈ (0, ∞). 该期限可能被视为基金清算的预先规定的未来日期。正如文献中常见的那样（参见[1]、[10]和[26]，以及其他许多文献），在没有任何干预的情况下，剩余过程演化为具有漂移u和波动σ的布朗运动。基金价值的这一动态可作为“a la Cram”er Lundberg类动态的适当（弱）限值获得（详情参见[32]中的附录D.3）。我们还假设，在支付了与时间相关的交易成本/税款后，股东从盈余中获得了与时间相关的瞬时净泄漏比例f。此外，每当盈余试图变为负值时，股东就被迫注入资本，注入资本会产生与时间相关的边际管理成本m。最后，在清算时间T获得与盈余相关的清算报酬g。

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可人4

2022-6-9 22:19:33

请注意，在f、m和g的适当要求下（见备注2.4），在股息/资本注入类别中，以原始资本注入是最优的，该类别的股息/资本注入使得盈余在任何时间均为非负，p概率为1（另请参见[24]、[31]、[33]）。在这种情况下，fun d的经理从股东的角度出发，我们的目标是解决（1.1）V（t，x）：=supDEZT公司-tf（t+s）dDs-ZT公司-tm（t+s）dIDs+g（t，XDT-t（x））,对于任何初始时间t∈ [0，T]和基金x的任何初始值∈ R+。在（1.1）中，基金的价值演变为xds（x）=x+us+σWs- Ds+ID，s≥ 0，并且优化是在一类合适的非减损过程D上执行的。事实上，数量Ds表示截至时间s向股东支付的累计股息金额，而IDs是截至时间s股东注入的累计资本金额。我们将IDa作为最小的非减损过程，以确保XDstaysnonnegative，并且它是{≥ 0：XDt=0}。如果我们试图用动态规划方法解决问题（1.1），我们会发现，v的动态规划方程采用带梯度约束（即变分不等式）的抛物线偏微分方程（PDE）的形式，Neumann边界条件为x=0（后者是由于状态过程x通过注资过程反映在原点）。

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mingdashike22

2022-6-9 22:19:36

证明这个PDE问题的解有足够的正则性来刻画最优控制绝非易事。从注资的最优股息问题（1.1）实际上是一个反映跟随者问题（见Baldursson【4】、El-Karoui和Karatzas【13】、an d Karatzas和S hreve【21】）这一观察结果开始，在原点进行昂贵的反映，并根据El-Karoui和Karatzas【14】中的结果进行检验，我们在这里求解（1.1），而不依赖P DE方法，但将（1.1）与（仍然复杂但）更易处理的优化问题联系起来；i、 e.关于原点吸收和价值函数u的非最优停止问题（参见下面（3.2）注资的最优股息3）。在这个辅助最优停止问题中，函数f、m和GX分别给出了立即停止的代价、原点吸收的代价和最终的回报。然后，如果该问题的最优停止时间是根据连续且严格正的时间相关边界b（·）（参见下面的结构假设3.1）给出的，则Vx=u，且最优股息支付策略D由b触发（见下面的定理3.2）。事实上，如果优化在时间t开始∈ [0，T]，夫妻（D, 身份证件) 随时保持时间s∈ [0，T-t] 最优控制基金价值XDsnonnegative和低于依赖时间的临界b级（s+t）。这一结果是通过一项几乎完全是概率的研究获得的，在这项研究中，我们可以将辅助最优停止问题的值函数u的两种不同表示形式整合到空间变量中。

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何人来此

2022-6-9 22:19:39

值得注意的是，尽管我们借用了[14]中关于反射跟随者问题与最佳停止问题之间关系的研究中的论点（另见[21]），与[14]不同，但在我们的性能标准（1.1）中，我们也有反射的成本，这需要仔细而不是立即地调整[14]的想法和结果。然后，我们在结构假设3.1中证明，需要建立（1.1）和最优停止问题之间的关系，这确实符合注资最优股息问题的规范公式，其中边际收益和成本是以恒定利率贴现的常数，并且T时刻的清算值与基金的终值成比例。特别地，我们证明了最优分红策略是根据最优边界b给出的，该边界b是递减的、连续的、有界的，并且在终止时间为零。据我们所知，这个结果也是第一次出现在这里。论文的其余部分组织如下。在第2节中，我们建立了问题，在第3节中，我们陈述了（1.1）和吸收最优停止问题之间的联系。其证明在第4节中进行。在第5节中，我们考虑了具有（贴现）恒定边际收益和成本的案例研究，而在附录中，我们收集了本文所需某些结果的证据。2、问题公式在这一节中，我们介绍了我们研究的目标——最优分红问题。让(Ohm, F、 P）是一个完整的概率空间，过滤F：=（Fs）s≥0满足正常条件。我们假设fund的值由e维过程（2.1）XDs（x）=x+us+σWs描述- Ds+ID，s≥ 0，其中x≥ 0是基金的初始值，u∈ R、 σ>0，W是F-标准布朗运动。

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nandehutu2022

2022-6-9 22:19:42

对于任何s≥ 0，Ds表示截至s时支付给股东的累计股息金额，而Ids表示截至s时股东为避免基金破产而注入的累计资本金额。定义（非空）刚毛=ν : Ohm ×R+→ R+，F- 改编s.t.s 7→ νs（ω）是a.s.非减量且左连续的，且ν=0 a.s。.对于固定x≥ 0，我们假设基金经理可以在流程D中选择股息分配策略∈ A且A.s.（2.2）Ds+- Ds公司≤ XDs（x）适用于所有s≥ 0;4法拉利，Schummanthat，破产不能通过一次性支付股息来实现。对于任何此类股息政策D，注资过程IDI为确保XD（x）保持非负所需的最小累计资本量，其为≥ 0:XDt（x）=0}。特别是对于x≥ 0，我们将这对（XD（x），ID）作为（不连续的）斯科罗霍德反射问题的唯一解（参见Chaleyat Maurel等人[8]和Ma[27]）：（2.3）Find（XD（x），ID）s.t。身份证件∈ A、 XDs（x）=x+us+σWs- Ds+ID，s≥ 0，XDs（x）≥ 任何s均为0 a.s≥ 0，Z∞XDs（x）d（IDs）c=0 a.s。，IDs：=IDs+- IDs=2XDs+（x）s∈ {s≥ 0 : ID>0}。这里，（ID）cde表示ID的连续p部分。注意，给定（2.2），过程（2.4）IDt：=0∨ sup0≤s≤t（Ds- （x+us+σWs）），t≥ 0，ID=0，唯一解（2.3）和t 7→ IDtis continuous（例如，参见[8]中的命题2和命题3，或[21]中的定理3.1和推论3.2）。因此，（2.3）中的最后一个条件不具有约束力，因为IDt=0 a.s。

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kedemingshi

2022-6-9 22:19:45

对于所有t≥ 0、给定时间范围T∈ (0, ∞) 例如，代表有限的清算时间，基金管理人从股东的角度出发，面临着选择股息分配策略的问题，最大化绩效标准（2.5）J（d；t，x）=eZT公司-tf（t+s）dDs-ZT公司-tm（t+s）dIDs+g（t，XDT-t（x））,对于（t，x）∈ [0，T]×R+给定和固定。也就是说，基金经理的目标是解决（2.6）V（t，x）：=supD∈D（t，x）J（D；t，x），（t，x）∈ [0，T]×R+。这里，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，D（T，x）表示当s urplus过程xd从级别x开始，优化运行到时间T时，属于a且满足（2.2）的股息支付类别- t、在以下情况下，任何D∈ D（t，x）w将被称为（t，x）的容许值∈ [0，T]×R+。在奖励函数（2.5）中，术语E[RT-tf（t+s）dDs]是股息的预期现金流总额。函数f可被视为股东在支付了与时间相关的交易成本/税款后收到的s urplus泄漏的与时间相关的瞬时净比例。术语E[RT-tm（t+s）dIDs]给出了注资的总预期成本，m是注资的时间依赖性边际管理成本。最后，Eg（T，XDT-t（x））是清算价值。函数f、m和g满足以下条件。假设2.1。f：[0，T]→ R+，m：[0，T]→ R+，g：[0，T]×R+→ R+是连续的，f和m对于t是连续可微的，g对于x是连续可微的。此外，（i）gx（t，x）≥ 任意x的f（T）∈ (0, ∞),（ii）对于任何t，m（t）>f（t）∈ [0，T]。备注2.2。要求（i）确保边际清算价值至少与分割端的边际利润一样高。

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kedemingshi

2022-6-9 22:19:48

这将确保下面考虑的最优停止问题的值函数在终端时间不间断。资本注入的最佳股息5条件（ii）意味着资本注入的边际成本大于股息的边际收益。请注意，在m<f的情况下，值函数可能是有限的，如下一个示例所示。对于所有s，取f（s）=η，m（s）=κ∈ [0，T]，η>κ。对于任意β>0，考虑可采性le str ategybDs：=βs，通知投标=sup0≤u≤s(-x个- uu- σBu+βu）∨ 0.然后投标≤ βs+Ys，其中Ys：=sup0≤u≤s(-x个-uu- σBu）∨ 0，并在g处使用th≥ 对于次优策略bdv（t，x），我们得到0≥ βη（T- t）- βκ（T- t）- κE[YT-t] =β（t- t）（η）- κ) - κE[YT-t] 。然而，如果η>κ，则后一种表达可以通过增加β而变得任意大。另一方面，取m（t）=f（t）=e-rt，is最近在法拉利【16】上展示了一个T=+∞ （见其中定理3.8）最优控制可能不存在，但只有ε-最优控制存在。为了避免上述病理情况，我们在此假设2.1-（ii）。备注2.3。请注意，我们的公式足够笼统，足以解决一个问题，即利润和成本以确定的时间相关贴现率（rs）贴现≥0

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nandehutu2022

2022-6-9 22:19:51

实际上，如果我们考虑资本注入的最优股利问题bv（t，x）：=supD∈D（t，x）EZT公司-te公司-Rt+strαdαbf（t+s）dDs-ZT公司-te公司-Rt+strαdαbm（t+s）dIDs+e-RTtrαdαbg（T，XDT-t（x））,然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+我们可以设置f（T）：=e-Rtrαdαbf（t），m（t）：=e-Rtrαdαbm（t），g（t，x）：=e-Rtrαdαbg（t，x）和V（t，x）：=e-RtrαdαbV（t，x）的形式为（2.6）。在第5节中，我们将考虑一个固定边际利润和成本折扣率为r>0的问题（见第5节（5.1）、（5.2）和（5.3））。备注2.4。请注意，在我们的模型中，当盈余过程试图变为负值时，股东被迫注入资本；也就是说，注资过程不是他们的控制变量，股东不会选择何时以及如何投资公司。在不允许破产的情况下，在源头注入资本可以在第5节最优股息问题的规范公式中显示为最优，其中边际成本和利润以恒定利率贴现为常数。事实上，在这种情况下，由于贴现，股东将尽可能晚地注资，以尽量减少注资的总成本。参见Kulenko和Schmidli【24】和Schmidli【33】，了解平稳问题的类似结果。更一般地说，当m减少且为零时，“从源头注入资本”的政策是最优的∈[0，T]m（T）>所有x的gx（T，x）∈ R+。

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mingdashike22

2022-6-9 22:19:53

在这种情况下，股东推迟注资，只注入必要的资本，因为任何额外的注资都无法在最终时间通过奖励来补偿。V的动态规划方程采用带梯度约束的抛物线偏微分方程（PDE）形式，在x=0时具有Neumann边界条件（后者是由于状态过程x通过6法拉利、Schumanna资本注入过程在原点反射）。事实上，它的读数为maxntV+σxxV+u十五、六- xVo=0，在[0，T）×（0，∞),带边界条件xV（0，t）=所有t的m（t）∈ [0，T]，对于anyx，V（T，x）=g（T，x）∈ (0, ∞). 证明这样一个偏微分方程问题的解具有足够的正则性来刻画最优控制，这远不是一件小事。为了解决最优红利问题（2.6），我们采用不同的方法，将（2.6）与吸收条件为x=0的最优停止问题联系起来。这是通过引用El Karoui和Karatzas在[14]中关于反射跟随问题与最优停止问题之间关系的研究中的论点得出的（另见Sobaldurson[4]和Karatzas和Shreve[21]）。然而，与[14]不同的是，在我们的绩效报告（2.5）中，我们也有反思的成本，这需要仔细而不是立即地适应[14]的想法和结果。特别是，引入一个原点吸收的最优停止问题，说明后者的值函数的适当积分会导致最优控制问题的值函数（2.6）。该结果将在下一节中说明，然后在第4.3节中验证。

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kedemingshi

2022-6-9 22:19:57

主结果集S（x）：=inf{S≥ 0:x+us+σWs=0}，x≥ 0，对于任何s≥ 0，将吸收漂移布朗运动（3.1）引入为（x）：=（x+us+σWs，s<s（x），, s≥ S（x），其中公墓状态是否与R+隔离（即。 < 0).介绍公约gx（T，) := 0，对于（t，x）∈ [0，T]×R+，考虑最优停止问题（3.2）u（T，x）：=supτ∈[0，T-t] Ehf（t+τ）{τ<（t-t）∧S（x）}+m（t+S（x））{τ≥S（x）}+gxT、 x+u（T- t） +σWT-t型{τ=T-t<S（x）}i=supτ∈∧（T-t） Ehf（t+τ）{Aτ（x）>0}{τ<t-t} +m（t+S（x））{Aτ（x）≤0}+gxT、在-t（x）{τ=T-t} i，其中∧（t- t）用[0，t]中的值表示所有F停止时间的集合- t] a.s.问题（3.2）是吸收过程a的最优停止问题。为了建立（2.6）和（3.2）之间的关系，我们需要以下结构假设，这些假设将在本节和第4节中给出。其有效性必须根据具体情况进行验证。特别是，它适用于考虑第5条的最优红利问题。假设3.1。假设停止问题（3.2）的连续区域由（3.3）C给出：{（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : u（t，x）>f（t）}={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : x<b（t）}，其停止区域byS：={（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : u（t，x）≤ f（t）}∪{T}×（0，∞)= {（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : x个≥ b（t）}∪{T}×（0，∞),（3.4）对于连续函数b:[0，T]，具有注资7的最佳股息→ (0, ∞). 我们将f函数b称为问题（3.2）的最优停止边界。

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能者818

2022-6-9 22:20:00

此外，假设停止时间（3.5）τ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t）：As（x）≥ b（t+s）}∧ （T- t）（使用常规inf = +∞) 是最优的；也就是说，u（t，x）=Ehf（t+τ（t，x））{τ（t，x）<（t-t）∧S（x）}+m（t+S（x））{τ（t，x）≥S（x）}+gx（T，x+u（T- t） +σWT-t） {τ（t，x）=t-t<S（x）}i.（3.6）对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，并以b为问题（3.2）的最优停止边界（参见假设3.1），我们定义了过程I（t，x）和D（t，x）通过系统Ds（t，x）：=最大值0，最大值0≤θ≤ sx+uθ+σWθ+Iθ（t，x）- b（t+θ）,我s（t，x）：=最大值0，最大值0≤θ≤ s- x个- uθ - σWθ+Dθ（t，x）,（3.7）对于任何∈ [0，T- t] ，并具有初始值D（t，x）=I（t，x）=0 a.s.系统（3.7）解的存在性和唯一性可通过应用Tarski的fix edpoint定理来证明，该定理遵循Karatzas在[20]第8节命题7证明中使用的参数。从（3.7）和b的正性可以很容易地看出，D满足（2.2），因此具有连续路径。I的后一个属性意味着T 7→ Dt在振幅（x）的时间零点处，持续间隔可能的初始跳变- b（t））+。我们现在可以陈述以下结果。定理3.2。Le t Assumption3.1保持。然后，过程D通过（3.7）定义，提供了最佳股息分配政策，（2.6）的值函数V为（3.8）V（t，x）=V（t，b（t））-Zb（t）xu（t，y）dy，（t，x）∈ [0，T]×R+。进一步假设极限↑Tb（t）=：b（t）<∞.

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大多数88

2022-6-9 22:20:03

ThenV（t，b（t））=-uZT-tf′（t+s）s ds+ZT-tf′（t+s）b（t+s）ds+g（t，b（t））+f（t）u（t- t） +f（t）b（t）- f（T）b（T）。（3.9）与El Karoui和Karatzas在[14]中的结果一致（另见Karatzas和Shreve[21]），我们发现，在原点有代价反射的问题中，最优停止问题（即问题（3.2））的值给出了值函数（2.6）的边际值。因此，最优停止边界b触发了最佳支付额外股息单位的时机。此外，一旦知道最优停止值函数u及其相应的自由边界b，（3.8）和（3.9）就可以完整地描述最优红利问题的值函数V。注意，条件b（T）<∞ 在第5节的案例研究中，我们证明了b（T）=0。第3.2条的证明非常冗长，技术性很强，它被归入第4.4条。关于定理em3.2的证明，本节完全致力于定理3.2的证明。这是通过一系列中间结果来实现的，这些中间结果由emp-loying大多数概率参数证明。假设3.1将贯穿本节。8法拉利，舒曼4.1。关于最优停止值函数的一种表示。在这里，我们借鉴El Karoui和Karatzas【14】第3节的思想，导出了最优停止问题（3.2）的值函数的替代表示。下面我们设置gx（T，) = 我们在这里采用的想法是根据假设3.1的函数b重写最优停止问题（3.2）。

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mingdashike22

2022-6-9 22:20:08

为了实现这一点，对于给定的（t，x）∈ [0，T]×R+，将与可接受的停止规则“从不停止”相关的支付定义为（4.1）G（T，x）：=Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））,我们使用gx（T，AT-t（x））{t-t<S（x）}=gx（t，AT-t（x）），因为（3.1）和gx（t，) = 此外，还引入了函数g:[0，T]×R+×R+→ R（参数取决于t）as（4.2）~g（α，q，y；t）：=（gx（t，y），α<q，m（t+q），α≥ q、注意v：=u- G允许表示（4.3）v（t，x）=supτ∈∧（T-t） E类（f（t+τ）- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t））{τ<S（x）∧T-t} }.显然，停止时间τ（3.5）定义的值也是v的最佳值，因为G与τ无关∈ ∧（T- t）。因此，我们可以预期v可以用最佳停止边界b来表示。在【14】之后，我们通过双重预测理论（“balay'ee pr'evisible”）获得了v的这种表示，如下所示。从现在开始，（t，x）∈ 将给出并确定[0，T]×R+。我们定义了过程（Cα）α∈[0，T]对于任何α∈ [0，T- t] Cα（t，x）：=-Zα∧S（x）∧T-tf′（t+θ）dθ+f（T∧ （t+S（x）））- g（T- t，S（x），在-t（x）；t）{0<T-t型∧S（x）≤α} ，（4.4）以及停止时间（4.5）σα（t，x）：=inf{θ∈ [α，T- t）：Aθ（x）≥ b（t+θ）}∧ （T- t），使用约定inf = +∞. 过程C·（t，x）在[0，t]上是绝对连续的-t）∧ S（x），可能在（T）处跳跃-t）∧ S（x）和α7→ σα（t，x）是a.s。

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大多数88

2022-6-9 22:20:11

不减损连续驾驶。由于根据假设3.1，停车时间σ（t，x）对于u（t，x）是最优的，因此，对于v（t，x）=（u- G）（t，x），通过使用（4.4），我们可以从（4.3）（4.6）v（t，x）=E计算机断层扫描-t（t，x）- Cσ（t，x）（t，x）= EheCT公司-t（t，x）i，其中我们引入了（4.7）eCα（t，x）：=Cσα（t，x）（t，x）- Cσ（t，x）（t，x），α∈ [0，T- t] 。过程C·（t，x）是有界变差的，因为它是有界变差过程C·（t，x）和非减量过程σ·（t，x）的组合，但它不是F自适应的。然而，由于v是一个过度函数，它也是一个经过调整的非减量过程Θ·（t，x）的潜力（参见Blumenthal和Getoor书中的第IV.4节[6]），这是C·（t，x）的双可预测（或可预测）投影（有关双可预测投影的更多详细信息，请参见Rogers和d Williams书第六章中的定理21.1）。在下文中，我们提供了Θ·（t，x）的显式表示。这是通过在第7节【15】中采用El Karoui和Karatzas的方法获得的。注资最优股息9定理4.1。双可预测投影Θ（t，x）of ec（t，x）存在，是非减量的，由Θα（t，x）=Zα给出-f′（t+θ）{Aθ（x）>b（t+θ）}dθ+hf（t∧ （t+S（x）））- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） i{在-t（x）>b（t）}{0<t-t型∧S（x）≤α} （4.8）=Zα∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ>b（t+θ）}dθ+hf（t∧ （t+S（x）））- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） i{在-t（x）>b（t）}{0<t-t型∧S（x）≤α} 对于任何α∈ [0，T- t] 。理论4.1可以通过仔细地将[15]第7节中提出的技术与我们的案例相适应来证明（另请参见[14]第3节）。特别是，与[15]第7节不同，这里我们将吸收漂移布朗运动作为最优停止问题（3.2）的状态变量来处理（而不是布朗运动）。

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nandehutu2022

2022-6-9 22:20:15

然而，文献[15]第7节的所有论据和证明也适用于具有随机时间范围（T- t）∧ S（x）（其中过程A实际上是一个漂移的布朗运动）在使用v的表示（4.3）时（其中函数g负责随机时间范围（T-t）∧ S（x））与（4.5）和（4.7）一起。定理4.1的结果是下一个结果。推论4.2。它认为（i）f（T∧ （t+S（x）））- g（T- t，S（x），在-t（x）；t）{在-t（x）>b（t）}=0 a.s.（ii）{t∈ [0，T）：f′（T）≤ 0} S证据（i）在集合{AT-t（x）>b（t）}我们通过定义g（见（4.2））得到thatf（t∧ （t+S（x）））- g（T- t、 S（x），在-t（x）；t） =f（t）- gx（T，AT-t（x））。（4.9）由于Θ·（t，x）是非递减的，所以（4.9）中的最后一项必须是正的，因此意味着f（t）-gx（T，AT-t（x））≥ 0位于{AT-t（x）>b（t）}。然而，根据假设2.1—（i）有f（T）≤所有x的gx（T，x）∈ (0, ∞). 因此，权利要求如下。（ii）自α7以来→ α（t，x）是a.s.非减量的，它从上面的（i）和（4.8）得出f′（t+θ）{aθ（x）>b（t+θ）}≤ a.e.θ为0 a.s∈ [0，T- t] 。但f′（·）、A·（x）和b（t+·）连续到（t-t）∧S（x），在前面，后者实际上对所有θ都保持a.S∈ [0，T-t] 。因此，{t∈ [0，T）：f′（T）≤ 0} S备注4.3。作为推论4.2-（i）（具体见（4.9））、假设2.1-（i）和以下事实的副产品：-t（x）有一个转移概率，对于R+（参见（a.5））上的勒贝格测度是绝对连续的，一个f（T）- gx（T，y）{y>b（T）}=0表示y≥ 我们现在可以获得问题（3.2）的值函数u的另一种表示形式。定理4.4。对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+一个hasu（T，x）=EZ（T-t）∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ+m（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））.（4.10）10法拉利，Schumannproof。

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大多数88

2022-6-9 22:20:18

因为到了第4.1Θ（t，x）是c（t，x）的双重预测投影，从（4.6）我们可以为任何（t，x）写∈ [0，T]×R+（4.11）v（T，x）=EheCT-t（t，x）i=E[Θt-t（t，x）]。由于（4.8）和推论4.2-（i），（4.11）给定sv（t，x）=E“Z（t-t）∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ#。（4.12）在这里，我们还使用了S（x）和漂移布朗运动的联合定律对于R（参见（A.2））中的Lebesgue测度是绝对连续的，以{x+uθ+σWθ>b（t+θ）}替换为{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}在（4.8）中的期望值内。然而，从定义开始v=u- G、我们从（4.12）和（4.1）中得到了交替变量表示u（t，x）=v（t，x）+G（t，x）=EZ（T-t）∧S（x）-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ+m（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））.备注4.5。注意，表示式（4.10）与应用It^o公式得到的表示式一致，如果u为C1,2（[0，T）×（0，∞)) ∩ C（[0，T]×R+）和自由边界问题（4.13）tu+σxxu+uxu=0，0<x<b（t），t∈ [0，T）u=f，x≥ b（t），t∈ [0，T）u（T，x）=gx（T，x），x>0u（T，0）=m（T），T∈ [0，T]。事实上，在这种情况下，Dynkin公式的应用给出了u（t+（t- t）∧ S（x），Z（T-t）∧S（x）（x））= u（t，x）+E“Z（t-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ#，其中我们设置了Zs（x）：=x+us+σWs，s≥ 0，以简化演示。因此，使用（4.13），我们从latteru（t，x）=Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，x+u（t- t） +σWT-t） {S（x）>t-t}-Z（T-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ= Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））{S（x）>t-t}-Z（T-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ= Em（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））-Z（T-t）∧S（x）f′（t+θ）{Zθ（x）≥b（t+θ）}dθ,在最后一步中，我们使用了gx（T，AT-t（x））{S（x）>t-t} =gx（t，AT-t（x）），因为（3.1）和gx（t，) = 0、备注4.6。

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mingdashike22

2022-6-9 22:20:21

注意，表示式（4.10）立即给出了最佳停止边界b的积分方程。事实上，因为（4.10）适用于任何（t，x）∈ [0，T]×R+，注资最优股息11取x=b（T），T≤ 在（4.10）的两侧，通过回顾u（T，b（T））=f（T），我们发现b solvesf（T）=EZ（T-t）∧S（b（t））-f′（t+θ）{b（t）+uθ+σWθ≥b（t+θ）}dθ+m（t+S（b（t））{S（b（t））≤T-t} +gx（t，AT-t（b（t）））.（4.14）通过采用Peskir和Shiryaev【28】第25节中的参数，b基于u的超调和特性，可以证明b是（4.14）在一类合适的连续函数和正函数中的唯一解。下一个结果来自（4.10），通过将期望值表示为有关过程和随机变量概率密度的积分。为了完整起见，其证明见附录。推论4.7。函数u（t，·）在（0，∞) 对于所有t∈ [0，T）。在下一节中，我们将适当地整合u（3.6）和（4.10）关于空间变量的两个可选表示，并且我们将证明这种整合给出了最优分红问题的值函数（2.6）。作为一个副产品，我们还将获得最优分红策略D.4.2. 积分最优停止值函数。在接下来的两个命题中，我们就空间变量积分（3.6）和（4.10）给出的u的两个表示。证明将采用路径论证。然而，为了简化说明，我们将不强调所涉及的随机变量和过程的ω依赖性。提案4.8。

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kedemingshi

2022-6-9 22:20:24

设b为问题（3.2）的最优停止边界，recallIs（x）=max0≤θ≤ s{-x个- uθ - σWθ}∨ 0，s≥ 0，定义因子（x）：=x+us+σWs+Is（x），s≥ 0。（4.15）则对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+1有（4.16）Zb（T）xu（T，y）dy=N（T，b（T））- N（t，x），其中N（t，x）：=E-ZT公司-t型卢比（x）- b（t+s）+f′（t+s）ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））.（4.17）12法拉利，Schumannproof。为了证明（4.16），我们使用最优停止问题（3.2）的值函数表示（4.10）。

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何人来此

2022-6-9 22:20:29

利用Fubini-Tonelli定理，我们得到了Zb（t）xu（t，y）dy=Zb（t）xEZ（T-t）∧S（y）-f′（t+s）{y+us+σWs≥b（t+s）}ds+m（t+s（y））{s（y）≤T-t} +gx（t，AT-t（y））dy=E-Z（T-t） f′（t+s）Zb（t）x{y+us+σWs≥b（t+s）}{s≤S（y）}dyds（4.18）+Zb（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy+Zb（t）xgx（t，AT-t（y））dy.在下文中，我们将分别研究（4.18）右侧最后一项的三个求和。调用S（x）=inf{u≥ 0:x+uu+σWu=0}很明显，（4.19）S（y）≥ s<=> 太太≤ y对于任何（s，y）∈ R+×（0，∞), 我们定义的（4.20）Ms：=最大值0≤θ≤ s(-uθ - σWθ），s≥ 0。然后我们可以根据（4.20）重写（4.15），得到（4.21）Rs（x）=（x∨ Ms）+us+σWs，s≥ 通过使用（4.19），我们发现zb（t）x{y+us+σWs≥b（t+s）}{s（y）≥s} dy=Zb（t）∨b（t+s）-us-σWsx个∨b（t+s）-us-σWs{S（y）≥s} dy=Zb（t）∨b（t+s）-us-σWsx个∨b（t+s）-us-σWs{毫秒≤y} dy公司=（b（t）∨ （b（t+s）- us- σWs）∨ 毫秒）- （十）∨ （b（t+s）- us- σWs）∨ 毫秒）=（b（t）∨ 毫秒）∨ （b（t+s）- us- σWs）- （十）∨ 毫秒）∨ （b（t+s）- us- σWs）(4.22)=[（b（t）∨ Ms）+us+σWs]∨ b（t+s）-[（x∨ Ms）+us+σWs]∨ b（t+s）=卢比（b（t））∨ b（t+s）-卢比（x）∨ b（t+s）=卢比（b（t））- b（t+s）+-卢比（x）- b（t+s）+.对于（4.18）右手边最后一项的第三个求和，由于gx（T，) = 0，Zb（t）xgx（t，AT-t（y））dy=Zb（t）xgx（t，y+u（t- t） +σWT-t） {S（y）>t-t} dy=Zb（t）xgx（t，y+u（t- t） +σWT-t） {MT-t<y}dy（4.23）=Zb（t）∨机器翻译-德克萨斯州∨机器翻译-tgx（T，y+u（T- t） +σWT-t） dy=g（t，RT-t（b（t）））- g（T，RT-t（x）），注资最优股息13，在最后一步中，我们使用（4.21）。证明zb（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy=ZT-tm（t+s）dIs（x）-ZT公司-我们必须区分两种情况。在下面我们让（t，x）∈ [0，T]×R+被给定并固定，我们通过取x<b（T）来证明（4.24）。如果b（t）<xb，则通过颠倒x和b（t）的角色，参数完全相同。案例1。

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能者818

2022-6-9 22:20:32

这里是x∈ {y∈ R+：S（y）≥ T-t}；也就是说，初始点x>0使得d分裂布朗运动在时间范围之前不会达到0。这意味着（4.15）中的rs（x）等于x+us+σwss，因此（x）=0表示所有s∈ [0，T- t] 。因此，我们可以编写zb（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy=0=ZT-tm（t+s）dIs（x）-ZT公司-tm（t+s）dIs（b（t）），（4.25），其中我们使用了s（y）>s（x）≥ T- 对于任何y>x和{x}的t，有零Lebesguemeasure来获得第一个等式，并且0=是（x）≥ Is（b（t））≥ 0，因为x<b（t）。案例2。这里是x∈ {y∈ R+：S（y）<T- t} ；i、漂移布朗运动在时间范围之前达到0。定义（4.26）z：=inf{y∈ R+：S（y）≥ T- t} ，与f中的u sual约定 = +∞. 在序列中，我们假设z<+∞, 由于其他原因，无需进行以下分析。注意，通过时间上的连续性和漂移布朗运动路径的初始数据，我们得到了S（z）≤ T- t、此外，它还适用于所有人∈ （cf.（4.20））（4.27）y+等于（y）=Ms，s≥ S（y），（4.28）为（y）=0，s<s（y）。使用（4.27），（4.28），（4.19），以及Revuz和Yor【29】在本书第0章第4节中对变量公式的更改（另见Baldursson和Karatzas【5】中的方程式（4.7）），我们得到了zz∧b（t）xm（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy=Zz∧b（t）xm（t+S（y））dy=ZS（z∧b（t））S（x）m（t+S）dMs=ZS（z∧b（t））S（x）m（t+S）dIs（x）- dIs（z）∧ b（t））)（4.29）=ZT-tm（t+s）dIs（x）- dIs（z∧ b（t））=ZT公司-tm（t+s）dIs（x）-ZT公司-tm（t+s）dIs（z∧ b（t））。对于积分Rb（t）z∧b（t）m（t+S（y））{S（y）≤T-t} dy由于z（4.26）的定义，我们可以使用案例1的结果。然后，将（4.25）和（4.29）组合得到（4.24）。通过（4.22）、（4.23）和（4.24），回顾（4.17）和（4.18），我们得到（4.16）。14法拉利，SchumannProposition 4.9。让（D, 我) 是系统的解决方案（3.7）。

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大多数88

2022-6-9 22:20:35

然后，对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+1有（4.30）Zb（T）xu（T，y）dy=M（T，b（T））- M（t，x），其中b i是问题（3.2）和（4.31）M（t，x）的最佳停止边界：=EZT公司-tf（t+s）dDs（t，x）-ZT公司-tm（t+s）dIs（t，x）+g（t，XDT-t（x））.证据对于这个证明，我们使用u（cf.（3.6））u（t，x）=Ehf（t+τ）的表示（t，x））{τ（t，x）<t-t型∧S（x）}+m（t+S（x））{τ（t，x）≥S（x）}+gx（T，AT-t（x））{τ（t，x）=t-t<S（x）}i.（4.32）证明是相当长的和技术性的，它是按几个步骤组织的。此外，为了简化演示，我们现在将t设置为0。实际上，如果t∈ （0，T）进行明显修改。如果x≥ b（0），然后（4.30）显然成立。实际上，Rb（0）xu（0，y）dy=-（十）-b（0））f（0）自τ起（0，y）=任何y的0≥ b（0）。同样，从（4.31）M（0，b（0））- M（0，x）=M（0，b（0））-（十）- b（0））f（0）+M（0，b（0））, 自D起（0，x）的初始跳转大小为（x-b（0）），即XD0+（x）=b（0）。因此，在下面我们证明（4.30），假设x<b（0）。第1步。这里是x∈ {y∈ R+：τ（0，y）<S（y）}；也就是说，初始点x>0表示漂移布朗运动在到达原点之前到达边界，或者时间范围在到达原点之前出现。确定流程≥0这样（4.33）Ls：=最大值0≤θ≤ s{uθ+σWθ- b（θ）}，0≤ s≤ T、那我们就都有了∈ [x，b（0）]（4.34）{τ（0，y）≤ s} ={Ls≥ -y} ，（4.35）{τ（0，y）=T}={LT≤ -y} ，（4.36）Ds（0，y）=（0，0≤ s≤ τ（0，y），y+Ls，τ（0，y）≤ s≤ S（y）和（4.37）XDs（y）=（y+us+σWs，0≤ s≤ τ（0，y），us+σWs- Ls，τ（0，y）≤ s≤ S（y），尤其是（参见。

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mingdashike22

2022-6-9 22:20:38

（3.7）一s（0，y）=I对于任何s，s（0，b（0））=0∈ [0, τ（0，y）]。此外，随后定义τ（0，x）、S（x）和XD（x）对所有人来说∈ [x，b（0）]我们有（4.38）0=τ（0，b（0））≤ τ（0，y）≤ τ（0，x），（4.39）τ（0，y）<τ（0，x）<S（x）≤ S（y）和{τ上的（4.40）（0，x）<T}：XDs（y）=XDs（x），s>τ（0，x）。注资的最优股息15有了这些结果，我们现在显示所有x∈ [0，b（0）]，使得τ（0，x）<S（x）i表示（4.41）Zb（0）xf（τ（0，y））1{τ（0，y）<S（y）}dy=ZTf（S）dDs（0，b（0））-ZTf（s）dDs（0，x），（4.42）Zb（0）xgx（T，y+uT+σWT）{τ（0，y）=T<S（y）}dy=g（T，XDT（b（0）））- g（T，XDT（x））和（4.43）Zb（0）xm（S（y））1{τ（0，y）≥S（y）}dy=ZTm（S）dIs（0，x）-ZTm（s）dIs（0，b（0））。我们从（4.41）开始。到（4.40）时，我们有了dDs（0，x）=dDs（0，b（0））表示所有τ（0，x）<s≤ T由（4.36）和自τ（0，b（0））=0一个也有（4.44）Ds（0，b（0））=b（0）+Ls，s∈ [0，S（b（0））]。因此，（4.41）的右侧重写为（4.45）ZTf（s）dDs（0，b（0））-ZTf（s）dDs（0，x）=Zτ（0，x）f（s）dDs（0，b（0））-Zτ（0，x）f（s）dDs（0，x）=Zτ（0，x）f（s）dDs（0，b（0））=Zτ（0，x）f（s）dLs，其中我们使用了该dDs（0，x）=所有s为0∈ [0, τ（0，x）]乘以（4.36）。然而，通过使用Baldurs-son和Karatzas[5]中的变量公式的变化，方程（4.7），我们得到了（4.46）Zb（0）xf（τ（0，y））1{τ（0，y）<S（y）}dy=Zb（0）xf（τ（0，y））dy=Zτ（0，x）f（s）dLs，其中我们在第一步中使用了（4.39），并且L·是τ的左连续逆（0，y）（参见（4.34））在最后的等式中。将（4.45）和（4.46）方程（4.41）结合起来，即可得出结论。接下来我们展示（4.42）。

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可人4

2022-6-9 22:20:43

使用（4.44）和（4.40），我们得到（4.42）thatg（T，XD）右侧的fT（b（0）））-g（T，XDT（x））=[g（T，uT+σWT- LT）- g（T，x+uT+σWT）{τ（0，x）=T}。此外，（4.35）和（4.39）yieldsZb（0）xgx（T，y+uT+σWT）{τ（0，y）=T}dy=Zb（0）xgx（T，y+uT+σWT）{y≤-LT}dy=[g（T，uT+σWT- LT）- g（T，x+uT+σWT）{τ（0，x）=T}。因此，我们得到（4.42）。最后，对于（4.43），没有什么可以展示的。事实上，左侧等于0乘以（4.39），而右侧等于0，因为过程I（0，x）=I（0，b（0））重合（参见（4.40））。第2步。这里是x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y），τ（0，q）<S（q）q∈ （y，b（0））}。对于这样的认识，这样的x是这样的，漂移的布朗运动在到达边界之前接触原点，但它不穿过原点。这尤其意味着s（0，x）=所有s为0≤ τ（0，x）。因此，步骤1中使用的相同参数成立，（4.41）–（4.43）如下。第3步。这里是x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y）}；也就是说，漂移的布朗运动在到达边界之前到达原点。定义（4.47）z：=inf{y∈ [0，b（0）]：τ（0，y）<S（y）}16法拉利，Schumann，自7年以来一直存在→ τ（0，y）- S（y）减小，τ（0，b（0））=0，d S（0）=0a。s、我们想证明（4.48）Zzxm（s（y））{τ（0，y）≥S（y）}dy=ZTm（S）dIs（0，x）-ZTm（s）dIs（0，z），（4.49）Zzxf（τ（0，y））1{τ（0，y）<S（y）}dy=ZTf（S）dDs（0，z）-ZTf（s）dDs（0，x）和ZZXGx（T，y+uT+σWT）{τ（0，y）=T<S（y）}dy=hg（T，XDT（z））- g（T，XDT（x））i.（4.50）调用过程（Ms）s≥0of（4.20），使ms=max0≤θ≤ s(-uθ - σWθ），s≥ 0和（参见。

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能者818

2022-6-9 22:20:46

（4.19））{Ms≥ x} ={S（x）≤ s}s≥ 0.对于所有y∈ [x，z）和s∈ [0, τ（0，y）]我们有（4.51）Is（0，y）=（Ms- y） +=（0，0≤ t型≤ S（y）毫秒- y、 S（y）≤ s≤ τ（0，y）和（4.52）XDs（y）=（y+us+σWs，0≤ s≤ S（y）uS+σWs+Ms，S（y）≤ s≤ τ（0，y），=（y∨ Ms）+us+σWs。此外，对于所有y，它后面紧跟着（4.52）和（4.51）∈ [x，z）（4.53）XDs（y）=XDs（z）s≥ S（z）。此外，回想一下（4.54）S（x）≤ S（y）≤ S（z），（4.55）τ（0，y）>S（y），有了这些观测结果，我们可以知道（4.48）-（4.50）。到（4.53）时，我们有了s（0，x）=dIs（0，z）表示所有s≥ S（z）。此外，我们还有s（0，z）=所有s为0≤ S（z）。因此，通过（4.54）Is（0，z）=Is（0，x）=s为0≤ （4.48）的右侧重写了asZTm（S）dIs（0，x）-ZTm（s）dIs（0，z）=ZS（z）s（x）m（s）[dIs（0，x）- dI公司s（0，z）]=ZS（z）s（x）m（s）dIs（0，x）=ZS（z）s（x）m（s）dMs。（4.56）在这里，我们使用了（4.51），其中y=x。注资的最优股息17另一方面，对于（4.48）的左侧，我们使用了R evuz和Yor【29】第0章第4节中变量f公式的变化。这导致（4.57）Zzxm（S（y））{τ（0，y）≥S（y）}dy=Zzxm（S（y））dy=ZS（z）S（x）m（S）dMs，其中我们使用（4.55），{z}是一个勒贝格零集，m是S的右连续逆（见（4.19））。结合（4.56）和（4.57）证明（4.48）。方程式（4.49）如下所示，（4.53）–（4.54）表示过程D（0，z）和D（0，x）重合，左侧定义为0。注意，对于这种争论，当考虑（4.47）的z作为漂移布朗运动的起点时，必须特别小心。特别地，如果布朗运动的实现是τ（0，z）<S（z），则通过z的定义，漂移布朗运动仅在时间τ接触边界（0，z），但不穿过它。

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何人来此

2022-6-9 22:20:49

因此，我们仍然有Ds（0，z）=0表示所有≤ S（z），这意味着（4.53），因此仍然是Ds（0，z）=Ds（0，x）。反过来，这给了（4.49）同样适用于布朗运动的这种特殊实现。最后，要证明方程（4.50），请记住x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y）}。通过定义z，我们得到τ（0，y）≥ S（y）代表所有y∈ （x，z）和（4.50）的左侧等于零。通过（4.53）过程XDs（z）=XDs（x）与f或所有s重合≥ S（z）和S（z）≤ LemmaA的T a.s。附录中的1。因此，（4.50）的右手边也等于零。第4步。对于x∈ {y∈ R+：τ（0，y）<S（y）}，（4.30）之后是步骤1的结果。如果改为x∈ {y∈ R+：τ（0，y）>S（y）}，那么我们可以在区间[x，z]和[z，b（0）]中分别积分u。在区间[x，z]中积分u时，我们使用步骤3的结果。另一方面，在[z，b（0）]上积分u，我们必须区分两种情况。现在，如果z是{y∈ R+：τ（0，y）<S（y）}，那么我们仍然可以应用步骤1的结果得出结论。如果z属于{y∈ R+：τ（0，y）>S（y），τ（0，q）<S（q）q∈ （y，b（0））}，我们可以利用步骤2的结果来获得索赔。因此，在任何情况下，（4.30）都成立。我们现在证明了（4.17）和（4.31）的两个函数N和M分别是N=M。为了实现这一点，我们初步注意到，根据它们的定义和强马尔可夫性质，过程（4.58）N（t+s∧ τ（t，x），卢比∧τ（t，x）（x））-Zs公司∧τ（t，x）m（t+θ）dIθ（x），0≤ s≤ T- t、和（4.59）M（t+s∧ τ（t，x），卢比∧τ（t，x）（x））-Zs公司∧τ（t，x）m（t+θ）dIθ（t，x），0≤ s≤ T- t、任意（t，x）的F-鞅∈ [0，T]×R+。此外，通过（4.16）一个h表示N（t，x）=N（t，b（t））-Rb（t）xu（t，y）dy，由于（4.30），M（t，x）=M（t，b（t））-Rb（t）xu（t，y）dy。因此，（4.60）ψ（t）：=M（t，x）- N（t，x），t∈ [0，T]独立于x变量。

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mingdashike22

2022-6-9 22:20:53

我们现在证明一个人实际上有ψ=0，因此等于M。定理4.10。对于所有t，它保持ψ（t）=0∈ [0，T]。因此，N=M on[0，T]×R+。证据自（N-M）与x无关，必须表明（N-M）（t，x）=对于任何t，在somex处为0≤ T为了实现这一点，我们对任何t<t的值显示ψ′（t）=0，因为通过（4.16）和（4.30），我们已经知道ψ（t）=N（t，x）- M（T，x）=g（T，x）- g（T，x）=0.18法拉利，Schumannthen取0<x<x，T∈ [0，T）和ε>0，使得T+ε<T给定并固定，考虑矩形域R=（T- ε、 t+ε）×（x，x）使得cl（R） C（第（3.3）节定义了C）。此外，表示为R：=R \\（{t- ε} ×（x，x））。然后考虑问题（P）（ht（t，x）=Lh（t，x），（t，x）∈ R、 h（t，x）=（N- M）（t，x），（t，x）∈ R、式中，L是作用于ν的二阶微分算子∈ C1,2（[0，T]×R）给出（Lν）（T，x）=uφx（t，x）+σφx（t，x），（t，x）∈ [0，T]×R.通过反转时间，T 7→ T- t、问题（P）对应于一个具有一致椭圆算子（注意σ>0）和抛物线边界的经典初值问题R、辛岑-根据抛物型偏微分方程的经典理论，M是连续的，（P）的第一个方程中的所有系数都是光滑的（实际上是常数）（参见Lieberman【25】一书中的第五章）。问题（P）承认一个非唯一的解h是连续的，具有连续导数ht、hx、hxx。此外，根据费曼-卡茨公式，这样的解可以表示h（t，x）=E[（N- M）（t+bτ（t，x），Zbτ（t，x）（x））]，其中bτ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t）：（t+s，Zs（x））∈ R}∧ （T- t），Zs（x）=x+us+σWs，s≥ 注意，我们有bτ（t，x）≤ τ（t，x）a.s.，自cl（R）起 C、此外，（4.58）和（4.59）中的积分项是相等的，因为dIθ（x）=dIθ（t，x）=0表示任何θ≤ bτ（t，x）≤ τ（t，x）。

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mingdashike22

2022-6-9 22:20:57

因此，根据（4.58）和（4.59）的鞅性质，我们得到（4.61）h（t，x）=（N- M）（t，x）在R中，通过R的任意性，ψ（t）=（N- M）（t，x）=h（t，x），单位为C。因此，由于ψ=N-M独立于x，在t中连续，并在C中求解（P）的第一个方程，对于任何t<t，我们得到ψ′（t）=0。因此，对于任何t，ψ（t）=0≤ 因为ψ（T）=0，所以N（T，x）- 对于任何t，M（t，x）=0≤ T和任意x∈ (0, ∞).在下文中，我们证明了f函数N是值f函数Vof（2.6）的上界。我们首先证明以下结果。定理4.11。对于任何（t，x）∈ R+×[0，T]过程（4.62）eNs：=N（T+s，Rs（x））-Zsm（t+u）dIu（x），0≤ s≤ T- t、是一个F-supe rmartingale。证据这足以证明EeNθ≤ E[eNτ]对于所有有界F停止时间θ，τsu chthatθ≥ τ（见Karatzas和Shreve【22】，第1章，问题3.26）。通过强马尔可夫性和N（4.17）的定义，我们得到了任意有界f停止时间ρone hasE[eNρ]=EN（t+ρ，Rρ（x））-Zρm（t+s）dIs（x）= E-ZT公司-tρf′（t+s）[Rs（x）- b（t+s）]+ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（RT-t（x））= N（t，x）+EZρf′（t+s）卢比（x）- b（t+s）+ds公司=: N（t，x）+ρ、对于任何（t，x）∈ [0，T]×R+。因此，取θ，τ，使T-t型≥ θ ≥ τ我们从后面得到E[eNθ]=N（t，x）+θ≤ N（t，x）+τ=E[eNτ]，其中不等式是由于f′的事实≤ S上为0（参见推论4.2-（ii））。这证明了所声称的supermartingale属性。为了进一步进行，我们需要（4.17）的函数N的以下性质。它的证据被归入附录。引理4.12。函数N∈ C1,2（[0，T）×（0，∞)) ∩ C（[0，T]×R+）。多亏了引理4.12，应用It^o公式，我们可以获得F-supermartingaleeN的以下（唯一）Doob-Meyer分解（参见（4.62））。推论4.13。

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