（4.62）的F-supermartingaleeN是这样的，对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+和s∈ [0，T- t] （4.63）N（t+s，Rs（x））-Zsm（t+θ）dIθ（x）=N（t，x）+σZsu（t+θ，Rθ（x））dWθ+∏s（t，x），其中∏·（t，x）是一个连续的、非递增的F适应过程。证据通过Doob-Meyer分解，可以（唯一地）将（4.62）中的F-超鞅表示为F-鞅和连续的、适应F的非递增过程（πs）的SUM≥将鞅表示定理应用于N的鞅部分，对于某些φ，分解（4.64）eNs=N（t，x）+ZsφθdWθ+πs（t，x）∈ L(Ohm ×[0，T]，P dt）。最后，It^o引理的应用表明，φθ=σu（t+θ，Rθ（x））a.s。定理4.14。对于任何流程D∈ D（t，x）和任意（t，x）∈ [0，T]×R+，过程（4.65）Qs（D；T，x）：=Z[0，s]f（T+θ）dDθ-Zsm（t+θ）dIDθ+N（t+s，XDs（x）），s∈ [0，T- t] ，即（4.66）E【Qs（D；t，x）】≤ N（t，x），对于任何s∈ [0，T- t] 。证据p屋顶分为3个步骤。第1步。对于D≡ 0，证明由定理4.11给出。第2步。设Ds：=Rszudu，s≥ 0，其中z是一个有界的、非负的、F-渐进的可测量过程。为了说明（4.66），我们使用了Girsanov定理，并重写了状态过程XDs（x）=x+us+σWs+Ds-IDS是一种新的漂移布朗运动，在理论上得到了反映。

因此，我们引入了指数鞅zs=expZszuσdWu-2σZszudu, s≥ 0,20法拉利，SCHUHMANNand，我们得到，在测量值bp=ZTP下，过程cws：=Ws-Zszudu，s≥ 0是F-布朗运动。我们现在可以将（4.65）underbP的过程Q重写为（4.67）Qs（D；t，x）=Z[0，s]f（t+θ）dDθ-Zsm（t+θ）dbIDθ+N（t+s，bRs（x）），对于任何s∈ [0，T-t] ，其中und erbPbXDs（x）=x+us+σcWs+bIDs=：bRs（x）。特此通知≥ 0:bRs（x）=0}，反映原点处的漂移布朗运动。通过采用（4.63），方程（4.67）读取为asQs（D；t，x）=N（t，x）+σZsu（t+u，bRu（x）），dcWu+b∏s（t，x），s∈ [0，T- t] ，（4.68），其中我们设置了（4.69）b∏s（t，x）：=∏s（t，x）+Zsf（t+θ）- u（t+θ，Rθ（x））zθdθ，s∈ [0，T- t] 。由于u≥ f和∏·（t，x）是非递增的，我们可以在（4.68）中取期望值，从而得到[Qs（D；t，x）]≤ N（t，x），s∈ [0，T- t] 。第3步。自任何仲裁日起∈ D（t，x）可近似为递增序列（Dn）n∈对于步骤2中所考虑的绝对连续过程（见El Karouiand Karatzas【13】、Lemmata 5.4、5.5和命题5.6），我们对所有n∈ NE【Qs（Dn；t，x）】≤ N（t，x）。应用单调收敛定理和占优收敛定理，这个性质也适用于Q（D；t，x），也适用于任何D∈ D（t，x）。根据定理4.14和（4.65）中Q的定义，我们立即得到（4.70）V（t，x）=supD∈D（t，x）J（D；t，x）=supD∈D（t，x）E[夸脱-t（D；t，x）]≤ N（t，x）。此外，根据定义（4.31），一个具有（4.71）M（t，x）=J（D（t，x）；t，x）≤ V（t，x）。有了所有这些结果，我们现在可以最终证明定理3.2。理论证明3.2。通过结合（4.70），（4.71）和定理4.10，我们得到了一系列不等式n（t，x）≥ V（t，x）≥ M（t，x）=N（t，x），这证明了V=M的说法，以及D的最优性.

这只是有待证明（3.9）。为了实现这一点，我们调整并扩展了El Karoui和Karatzasi在[14]中C orollary 4.2的证明中使用的论点。观察D的最优性意味着对于所有x>b（t）（4.72）V（t，b（t））+f（t）（x- b（t））=V（t，x）。注资最优股息21利用（4.17）和V=N的事实，如上文所证明的，我们从（4.72）V（t，b（t））=V（t，x）中得出- f（t）（x）- b（t））=E-ZT公司-tf′（t+s）（Rs（x）- b（t+s））+ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））- f（t）（x）- b（t））= E-ZT公司-tf′（t+s）h（Rs（x）- b（t+s））+- （十）- b（t））ID-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））- f（T）（x）- b（t））.回忆（4.15），并观察在条件b（T）<∞ 我们可以写hg（T，RT-t（x））i=g（t，b（t））+EZRT公司-t（x）b（t）gx（t，y）dy{RT-t（x）>b（t）}-Zb（T）RT-t（x）gx（t，y）dy{RT-t（x）≤b（T）}= g（T，b（T））+Ef（T）RT公司-t（x）- b（T）{RT-t（x）>b（t）}-Zb（T）RT-t（x）gx（t，y）dy{RT-t（x）≤b（T）},其中最后一个等式来自备注4.3。因此，我们得到v（t，b（t））=E-ZT公司-tf′（t+s）h（Rs（x）- b（t+s））+- （十）- b（t））ID-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，b（t））+f（t）RT公司-t（x）- b（T）{RT-t（x）>b（t）}- f（T）x个- b（t）-Zb（T）RT-t（x）gx（t，y）dy{RT-t（x）≤b（T）}.注意，现在是（x）→ 0，卢比（x）→ ∞, 和（Rs（x）- b（t+s））+-（十）- b（t））→ us+σWs-b（t+s）+b（t）a.s.适用于任何s≥ x时为0↑ ∞ （参见（4.15））。那么，让x→ ∞ 在V（t，b（t））的最后一个表达式中，调用单调和支配收敛定理，我们发现（在评估期望值和重新排列项后）V（t，b（t））=E-ZT公司-tf′（t+s）us+σWs- b（t+s）+b（t）ds+g（T，b（T））+f（T）（u（T- t） +σWT-t型- b（T）+b（T））= -uZT-tf′（t+s）s ds+ZT-tf′（t+s）b（t+s）ds+g（t，b（t））+f（t）u（t- t） +f（t）b（t）- f（T）b（T）。备注4.15。作为V=N和引理4.12的副产品，我们得到了∈ C1,2（[0，T）×（0，∞)) ∩ C（[0，T]×R+）。

此外，从（3.8）和d（3.2）中，我们得到了所有t∈ [0，T]。备注4.16。本节遵循的路径方法似乎表明，证明定理3.2所需的一些中间结果在更一般的22法拉利Schumannesetting中仍然有效，其中（2.6）中的利润和成本以随机率贴现。我们把这个有趣问题的分析留给以后的工作。5、验证假设3.1：一个具有折现不变边际利润和成本的案例研究在本节中，我们考虑了资本注入的最优分配问题bv（t，x）：=supD∈D（t，x）EZT公司-tηe-rsdDs-ZT公司-tκe-rsdIDs+ηe-r（T-t） XDT公司-t（x）（5.1）=ertV（t，x），其中我们定义了（5.2）V（t，x）：=supD∈D（t，x）EZT公司-tηe-r（t+s）dDs-ZT公司-tκe-r（t+s）dIDs+ηe-rTXDT-t（x）.从（5.2）和（2.5）中可以清楚地看出，在我们的一般设置（2.6）中可以通过取（参见假设2.1）（5.3）f（t）=ηe来解决此类问题-rt，m（t）=κe-rt，g（t，x）=ηe-rtx，对于一些κ>η（另见Remark2.3）。（5.1）系数κ的InbV可被视为资本注入的恒定比例管理成本。另一方面，如果我们假设交易成本或税款必须支付股息，则系数η衡量股东收到盈余的净泄漏比例。备注5.1。问题（5.1）可能是注资最优分割问题最常见的公式（见Kulenko and Schmidli【24】、Lokka and Zervos【26】、Zhu and Yang【35】及其参考文献）。

然而，据我们所知，在有限的时间范围内，之前没有研究过此类问题，而当T=+∞ （例如，参见法拉利[16]及其参考文献）。特别地，例如，在[16]中已经表明，在T=+∞ 最优分割策略由边界b触发∞> 0可以表示为非线性代数方程的解（见[16]中的命题3.2]）。在[16]的命题3.6中，该atrigger值也被证明是下面问题（5.4）的最佳停止边界（当在所有F停止时间内进行优化时）。由于定理3.2，我们知道，当假设3.1满足时，最优控制D对于问题（5.2），由最优停止问题的最优停止边界b触发，u（t，x）=supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{τ<S（x）}+e-rS（x）κ{τ≥S（x）}i=supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{Aτ（x）>0}+e-rS（x）κ{Aτ（x）≤0}i.（5.4）在下文中，我们研究了最优停车问题（5.4），并验证了假设3.1的要求。此外，通过在（5.4）中取次优停车时间τ=0，可以清楚地得出u（t，x）≥ η表示（t，x）∈ [0，T]×（0，∞). 因此，我们可以确定问题（5.4）的延续和停止区域asC：{（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) : u（t，x）>η}，S：={（t，x）∈ [0，T]×（0，∞) : u（t，x）=η}。注资的最优股息23同样，注意我们有u（t，x）≤ κ表示（t，x）∈ [0，T]×R+自η<κ。由于奖励过程φt：=e-rtη{t<S（x）}+e-rS（x）κ{t≥S（x）}是沿停止时间的上半连续不可预测（由于η<κ），Kobylanskia和Quenez[23]中的定理2.9确保值过程（即向过程的Snell包络）第一次等于奖励过程是最优的。

因此，在马尔可夫环境中，我们有停止时间（5.5）τ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t） ：（t+s，As（x））∈ S}∧ （T-t） ，（t，x）∈ [0，T]×R+，为最佳。此外，定义Zs（x）：=x+us+σWs，s≥ 0，过程（5.6）e-r（s）∧τ（t，x）∧S（x））u（t+（S∧ τ（t，x）∧ S（x）），Z（S∧τ（t，x）∧S（x））（x）），S∈ [0，T-t] ，是F-鞅（参见Kobylanski和Quenez[23]中的命题1.6和备注1.7）。下一个命题证明了u命题5.2的一些初步性质。（5.4）的值函数u满足以下条件：（i）对于任何x>0的情况，u（T，x）=η，对于任何T∈ [0，T]；（ii）t 7→ u（t，x）对于任何x>0都是不递增的；（iii）x 7→ u（t，x）对于任何t都是不递增的∈ [0，T]。证据我们分别证明每个项目。（i） 第一个属性很容易遵循fr om定义（5.4）。（ii）第二个属性是由于∧（T- ·) 收缩，且（5.4）右侧的预期值与t无关∈ [0，T]。（iii）固定t∈ [0，T]，x>x≥ 0，注意S（x）>S（x）。然后，从（5.4）我们可以写出eu（t，x）- u（t，x）≤ supτ∈∧（T-t） E类e-rτη{τ<S（x）}- e-rτη{τ<S（x）}+e-rS（x）κ{τ≥S（x）}- e-rS（x）κ{τ≥S（x）}= supτ∈∧（T-t） E类{S（x）≤τ<S（x）}e-rτη- e-rS（x）κ+e-卢比（x）- e-卢比（x）κ{τ≥S（x）}≤ supτ∈∧（T-t） E类e-rS（x）（η）- κ） {S（x）≤τ<S（x）}+e-卢比（x）- e-卢比（x）κ{τ≥S（x）}≤ 0，其中我们在最后一步中使用了η<κ。自x 7起→ u（t，x）对于每个t都是不递增的∈ [0，T]，设置（5.7）b（T）：=inf{x>0:u（T，x）≤ η} ，t∈ [0，T]，很明显，（5.8）C={（T，x）∈ [0，T）×[0，∞) : 0<x<b（t）}，S={（t，x）∈ [0，T]×[0，∞) : x个≥ b（t）}。此外，（5.5）的最佳停止时间读取（5.9）τ（t，x）：=inf{s∈ [0，T- t） ：As（x）≥ b（t+s）}∧ （T- t） 。在下文中，我们将b称为自由边界。下一个定理证明了b命题5.3的基本性质。

自由边界b为（i）t 7→ b（t）是非递增的；（ii）对于所有t，其中一个的b（t）>0∈ [0，T）。此外，存在b∞> 0表示b（t）≤ b∞对于任何t∈ [0，T]。24法拉利，舒曼普洛夫。我们分别证明每个项目。（i） b的单调性紧跟在命题5.2的f（ii）之后。（ii）表明对于任何t，b（t）>0∈ （0，T）对于所有T，观察u（T，0）=κ>η就足够了∈ [0，T）.超过b（T）<∞ 注意，u（t，x）≤ u∞（x） 对于所有（t，x）∈ [0，T]×R+，其中u∞（x） ：=s上τ≥0Ehηe-rτ{τ<S（x）}+κe-rS（x）{τ≥S（x）}i。因此，设置b∞:= inf{x>0:u∞（x） =η}（存在有限，例如，根据命题3.2推断[16]；另见上文备注5.1），我们有b（t）≤ b∞对于所有t∈ [0，T]。下一个命题的证明相当长，因此在附录九中推迟了，以简化论述。提案5.4。函数（t，x）7→ u（t，x）在[0，t）×（0，∞).u的下半连续性意味着（5.6）的鞅具有右连续的样本路径，且停止区域是闭合的。后一个事实反过来在证明自由边界的连续性时起着重要作用，如下一个命题所示。提案5.5。自由边界b为t 7→ b（t）在[0，t]上是连续的。此外，b（t）：=limt↑Tb（t）=0。证据我们分别证明了这两个性质。在这里，我们展示了b是连续的，这个过程分为两部分。我们从正确的连续性开始。注意，通过u的下半连续性（参见命题5.4），s顶部区域s是闭合的。然后fix任意点t∈ [0，T），取任意序列（tn）n≥1如此tn↓ t、 注意（tn，b（tn））∈ S、 根据定义。设置b（t+）=极限↓tb（tn）（由于命题5.3-（i）而存在），我们有（tn，b（tn））→ （t，b（t+），自S关闭（t，b（t+）∈ S

因此，它保持b（t+）≥ b（t）由b的定义（5.7）确定。然而，b（·）是非递增的，因此b（t）=b（t+）。接下来，我们讨论所有t的左连续性∈ （0，T）为此，我们调整了我们的设置思想，正如De Angelis和Ekstr¨om[10]中命题4.2的证明一样。假设B在某个t处跳跃∈ （0，T）。根据命题5.3—（i）我们有极限↑tb（tn）：=b（t-) ≥ b（t）。我们用一个矛盾的形式来表示b（t-) = b（t），我们假设b（t-) > b（t）。Letx：=b（t-)+b（t），召回Zs（x）=x+us+σWs，s≥ 0，定义τε：=inf{s≥ 0:Zs（x）/∈ （b（t-), b（t））}∧ ε表示ε∈ （0，t）。然后注意到τε<τ（t-ε、 x）∧S（x），根据（5.6）的鞅性质，我们可以写出（t- ε、 x）=Ee-rτεu（t- ε+τε，Zτε（x））= Ee-rεu（t，Zε（x））{τε=ε}+e-rτεu（t- ε+τε，Zτε（x））{τε<ε}≤ Ee-rεη{τε=ε}+e-rτεκ{τε<ε}≤ e-rεη+κP（τε<ε），其中最后一步来自以下事实：≤ κ、 Zτε（x）≥ 集合{τε=ε}上的b（t）。自e起-rεη+κP（τε<ε）=η（1-rε）+κo（ε）asε↓ 0，我们发现与u（t，x）相矛盾≥ η. 因此，b（t-) = b（t）和b在[0，t]上是连续的。为了证明所声称的极限，请注意，如果b（t）：=limt↑Tb（t）>0，然后是任何点（t，x）和x∈ （0，b（T））属于C。然而，我们知道（T，x）∈ S表示所有x>0，因此我们得出一个矛盾。注资最优股息25由于之前的结果，假设3.1的所有要求都满足问题（5.4）的要求。因此，定理3.2成立，1 h等于（5.2）的V和（5.4）的u，因此Vx=u在[0，T]×R+。

特别地，根据（5.1）和定理3.2，我们可以写出bV（t，x）=bV（t，b（t））- ertZb（t）xu（t，y）dy，其中通过（3.9），（5.3），以及b（t）=0的事实，我们有bv（t，b（t））=ηb（t）+μηr1.- e-r（T-t）- rηZTte-r（u-t） b（u）du。此外，最优股利分配政策（3.7）由自由边界b触发，其性质已在定理5.5.5.1中推导。比较静力学分析。最后，我们给出了自由边界对问题某些参数的单调性。在下文中，对于任何给定和固定的∈ [0，T]，我们写b（T；·）是为了强调自由边界点b（T）对给定参数的依赖性。类似地，当我们需要考虑u（t，x），（t，x）的依赖性时，我们写u（t，x；·）∈ [0，T]×R+，关于给定问题的参数。提案5.6。让t∈ [0，T]固定。它认为（i）κ7→ b（t；κ）是非减量的；（ii）η7→ b（t；η）是非递增的；（iii）r 7→ b（t；r）是非递增的；（iv）u7→ b（t；u）为非递增。证据R ecalling th atu（t，x）=supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{τ<S（x）}+e-rS（x）κ{τ≥S（x）}i，（t，x）∈ [0，T]×R+，可以很容易地表明（1）κ7→ u（t，x；κ）为非减量，（2）η7→ u（t，x；η）- η=supτ∈∧（T-t） Ehηe-rτ{τ<S（x）}- 1.+ e-rS（x）κ{τ≥S（x）}iis非递增，（3）r 7→ u（t，x；r）是非递增的。此外，设u>u，并用S（x；u）（分别S（x；u））表示漂移布朗运动原点与漂移u（分别u）的命中时间。自S起（x；u）≥ S（x；u）a.S。

weobtainu（t，x；u）- u（t，x；u）≤ supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{τ<S（x；u）}-{τ<S（x；u）}+ κe-rS（x；u）{τ≥S（x，u）}-e-rS（x；u）{τ≥S（x；u）}我≤ supτ∈∧（T-t） Ehe公司-rτη{S（x，u）≤τ<S（x；u）}- κe-rS（x；u）{S（x，u）>τ≥S（x，u）}+κ{τ≥S（x；u）}e-rS（x；u）-e-rS（x；u）i=supτ∈∧（T-t） Eh{S（x，u）≤τ<S（x；u）}e-rτη- e-rS（x；u）κ+{τ≥S（x；u）}e-rS（x；u）- e-rS（x；u）我≤ 考虑到u以前的单调性，我们现在可以证明（i）-（iv）项。26 FERRARI，SCHUHMANN（i）取κ>κ并使用（1）和（5.7）我们有b（t；κ）：=inf{x>0:u（t，x；κ）≤ η } ≥ inf{x>0:u（t，x；κ）≤ η} =b（t；κ）。（ii）取η>η并使用（2）和（5.7）我们有b（t；η）：=inf{x>0:u（t，x；η）- η≤ 0} ≤ inf{x>0:u（t，x；η）- η≤ 0}=b（t；η）。（iii）使用（3）和（5.7）取r>rand，我们有b（t；r）：=inf{x>0:u（t，x；r）≤ η } ≤ inf{x>0:u（t，x；r）≤ η}=b（t；r）。（iv）取u>u和u（t，x；u）- u（t，x；u）≤ 0和（5.7）我们有b（t；u）：=inf{x>0:u（t，x；u）≤ η } ≤ inf{x>0:u（t，x；u）≤ η}=b（t；u）。最后一个命题允许我们得出一些经济含义。增加参数η、r和u，在每个时间t，导致较早的股息分配。这一结果非常直观，因为较高的利率r会因贴现而降低未来收益，较高的η会增加股息的边际价值，较高的u会增加盈余的趋势，并降低破产的可能性，从而降低注资的可能性。另一方面，κ的增加推迟了股息分配，因为注资变得更加昂贵，因此基金经理的行为更加谨慎。按照命题5.6中p屋顶的论点，证明自由边界相对于sur plus’volatilityσ的单调性似乎是不可行的。

然后，我们应该依赖于对与最优分红问题相关的动态规划方程进行仔细的数值分析，我们认为这样的研究不属于这项工作的范围。然而，我们推测σ的增加应该推迟股息的分配。事实上，σ越大，需要昂贵资本注入的风险就越高。因此，基金经理希望在分配额外的divid ends单位之前等待更长的时间。最近，Ferrari在[16]的命题4.1中证明了自由边界相对于σ的单调性，该命题是关于注资的平稳最优股息问题。感谢德国研究基金会（DFG）通过CollaborativeResearch Centre 1283提供的财政支持“在分析、随机性及其应用中从随机性和低规则性中驯服不确定性和利益”，我们对此表示感谢。两位作者都感谢米里亚娜·格里戈罗娃和汉斯彼得·施密德利富有成效的讨论和评论。由于“2018年访问科学家”项目，第一作者访问了帕多瓦大学数学系，这项工作的一部分已经完成。乔治·法拉利对帕多瓦大学数学系的热情好客表示感谢。我们还要感谢三位匿名裁判的细心阅读和鼓舞人心的评论。注资最佳股息27附录A附录endixA。1、推论4.7的Pro。

注意，从（4.10）中，我们可以为任何x>0和t写入∈ [0，T]u（T，x）=EZT公司-t型-f′（t+θ）{x+uθ+σWθ≥b（t+θ）}{θ<S（x）}dθ+m（t+S（x））{S（x）≤T-t} +gx（t，AT-t（x））=ZT公司-t型-f′（t+θ）Px+uθ+σWθ≥ b（t+θ），S（x）>θdθ（A.1）+Em（t+S（x））{S（x）≤T-t}+ Egx（T，AT-t（x））,其中，Fubini定理和f′是确定性的事实已用于上述积分项。现在我们分别研究这三个总和。通过使用Jeanblanc等人[18]中的命题3.2.1.1，并回顾假设3.1中的停止边界b是严格正的，我们得到了x+uθ+σWθ≥ b（t+θ），S（x）>θ= Px+uθ+σWθ≥ b（t+θ），单位为fs≤θ（x+us+σWs）>0= Puσθ+Wθ≥b（t+θ）- xσ，infs≤θuσs+Ws> -xσ（A.2）=Nx个-b（t+θ）σ+uσθ√θ- e-2uxσN-b（t+θ）+xσ+uσθ√θ.这里N（·）表示标准高斯随机变量的累积分布函数。请注意，（A.2）中的最后一项对于θ>0的任何θ，都是相对于x连续可微的。对于（A.1）右侧最后一个表达式中的第二个求和，我们将S（x）写为x≥ 0，asS（x）=inf{s≥ 0：x+us+σWs=0}=inf{s≥ 0：μσs+Ws=-xσ}L=inf{s≥ 0 : -uσs+cWs=xσ}。（A.3）其中cw是标准布朗运动。因此，Jeanblanc等人【18】中的方程式（3.2.3）适用，并允许我们将S（x）的概率密度写为（A.4）ρS（x）（u）：=dP（S（x）∈ du）du=xσ√2πue-（xσ+uσu）2u，u≥ 对于第三个求和，我们注意到-（3.1）中的t（x）是从x开始并在原点终止的漂移布朗运动。用ρA（t，x，y）表示其在t个时间单位内从x移动到y的转移度。

然后，通过采用Borodinand Salminen[7]，附录1第15节的结果（适当调整为σ6=1的情况），we28法拉利，SchumannobtainρA（T- t、 x，y）：=dP（AT-t（x）∈ dy）dy=p2π（T- t） σexp-u（x- y） σ-u2σ（T- t）×经验值-（十）- y） 2σ（T- t）- 经验值-（x+y）2σ（T- t）.（A.5）将（A.2）、（A.4）和（A.5）反馈到（A.1）中，我们得到u（t，x）=ZT-t型-f′（t+θ）Nx个-b（t+θ）σ+uσθ√θ- e-2uxσN-b（t+θ）+xσ+uσθ√θdθ+ZT-tm（t+u）ρS（x）（u）du+Z∞gx（T，y）ρA（T- t、 x，y）dy，（A.6），通过支配收敛定理很容易看出，x 7→ u（t，x）在（0，∞) 对于任何t<t。A、 2。Lemma4.12的Pro。根据（4.16）和推论4.7，（4.17）的函数N相对于x（0，∞). 为了证明N对于[0，t]上的t也是连续可微的，我们将（4.17）右侧的期望值表示为关于所涉及过程概率密度的积分。因此，我们开始计算（4.21）的反射布朗运动R的跃迁密度，我们称之为ρR。在Borodin和Salminen[7]的附录1第14章中（很容易适应σ6=1的情况）我们有ρR（u，x，y）：=dP（Ru（x）∈ dy）dy=√2πuσexp-uσx个- yσ-u2σu×经验值-（十）- y） 2σu- 经验值-（x+y）2σu-u2σErfcx+y+uu√2σu,（A.7）式中，Erfc（x）：=Rx-∞√2πe-ydy代表x∈ R

因此，通过使用Fubini定理，（4.17）readsasN（t，x）=E-ZT公司-t（Rs（x）- b（t+s））+f′（t+s）ds-ZT公司-tm（t+s）dIs（x）+g（t，RT-t（x））= -ZTtEh（Ru-t（x）- b（u））+if′（u）du- EZT公司-tm（t+s）dIs（x）+ Ehg（T，RT-t（x））i=-ZTt公司Z∞（y）- b（u））+ρR（u- t、 x，y）dyf′（u）du- EZTtm（u）dIu-t（x）（A.8）+Z∞g（T，y）ρR（T- t、 x，y）dy.注资最优股息29回顾假设2.1中m是连续可微分的，使用分部积分，我们可以ZTtm（u）dIu-t（x）= Em（T）IT-t（x）-ZTtIu公司-t（x）m′（u）du= m（T）E信息技术-t（x）-中兴通讯国际单位-t（x）m′（u）du=m（T）E0∨ （σξT-t型- x）-中兴通讯0∨ （σξu-t型- x）m′（u）du，这里我们使用的是（x）=0∨ （σξs- x） ξs：=supθ≤s(-uσθ - Wθ）。自（参见Jeanblanc等人[18]第3.2.2章）（A.9）P（ξs≤ z） =Nz-uσs√s- 经验值uσzN-z-uσs√s,我们得到了0∨ （σξu-t型- x）=Z∞xσ（σz- x） ρξ（u- t、 z）dz，（A.10），其中我们定义了ρξ（s，z）：=dP（ξs≤z） dz。由于ρξ（·，z）和ρR（·，x，y）在（0，T）上是连续可微的，因此，对于任何T<T，N（T，x）如（A.8）中所述，对于T是连续可微的。N在[0，T]×R+上的连续性也遵循前面的方程。A、 3。命题5.4的Pro。Let（t，x）∈ [0，T）×（0，∞) 给定并固定，并采用任意顺序（tn、xn） [0，T）×（0，∞) 这样（tn，xn）→ （t，x）。那么，让τ:= τ（t，x）是（5.9）的u（t，x）的最佳停止时间。根据（5.4）和τ≤ T-t a.s。

wethen findu（t，x）- u（tn，xn）≤ Ehηe-rτ{τ<S（x）}+κe-rS（x）{τ≥S（x）}-ηe-r（τ∧（T-tn）{τ∧（T-tn）<S（xn）}-κe-rS（xn）{τ∧（T-tn）≥S（xn）}i=E{τ≤T-tn}ηe-rτ{τ≥S（xn）}-{τ≥S（x）}+ κe-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{τ≥S（xn）}+ E{τ>T-tn}ηe-rτ{τ<S（x）}- ηe-r（T-tn）{T-tn<S（xn）}+κe-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}≤ E{τ≤T-tn}ηe-rτ{S（xn）≤τ<S（x）}+κe-卢比（x）- e-rS（xn）{τ≥S（xn）∨S（xn）}+e-rS（x）{S（xn）>τ≥S（x）}+ E{τ>T-tn}ηe-r（T-tn）{T-tn<S（x）}-{T-tn<S（xn）}+ κ{T-t> S（x）}e-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}30法拉利，舒曼-t=S（x）}e-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}+κ{T-t<S（x）}e-rS（x）{τ≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}≤ Ehηe-rτ{S（xn）≤τ<S（x）}+κe-卢比（x）- e-rS（xn）+{S（xn）>τ≥S（x）}i+E{τ>T-tn}ηe-r（T-tn）{S（xn）≤T-tn<S（x）}+κ{T-t> S（x）}e-rS（x）{T-t型≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}+ κ{T-t=S（x）}+κ{t-t<S（x）}{τ≥S（x）}.重新排列术语，并将下限取为n↑ ∞ 两侧各一个→∞u（tn，xn）≥ u（t，x）-画→∞Eηe-rτ{S（xn）≤τ<S（x）}+κe-卢比（x）- e-rS（xn）+{S（xn）>τ≥S（x）}-画→∞E{τ>T-tn}ηe-r（T-tn）{S（xn）≤T-tn<S（x）}+κ{T-t> S（x）}e-rS（x）{T-t型≥S（x）}- e-rS（xn）{T-田纳西州≥S（xn）}+ κ{T-t=S（x）}+κ{S（x）≤τ≤T-t<S（x）}≥ u（t，x）- Eκ{S（x）=τ}- Eηe-r（T-t） {t-t=S（x）}+κ{t-t=S（x）}= u（t，x）- κP（τ= S（x））-ηe-r（T-t） +κP（T- t=S（x））。最后一个不等式由支配收敛定理交换期望和极限，使用S（xn）→ S（x），仔细研究相关的极限值，并观察{τ≥ T- t} ={τ= T- t} 自τ起∈ ∧（T- t） 。现在使用{T-t=S（x）}是由（a.4）设置的P-null，并且P（τ= S（x））=0因为自由边界在[0，T]上是严格正的，所以我们得到（A.11）limn→∞u（tn，xn）≥ u（t，x），证明了所声称的u在[0，t）×（0，∞).A、 4。伦马。引理A.1。回想一下（参见。

（4.47））z=inf{y∈ [0，b（0）]：τ（0，y）<S（y）}。那么它认为（A.12）S（z）≤ T a.s.证明。为了简化说明，在下文中，我们将仅在严格必要时强调对ω的依赖。假设存在一个集合Ohm Ohm s、 t.P.公司(Ohm) > 0，对于任何ω∈ Ohm我们有S（z）>T。然后取ω∈ Ohm, 回想一下，Zs（x）=x+us+σWsforOPTIMAL distribution WITH CAPITAL injection 31任何x>0和s≥ 0，注意min0≤s≤TZs（z；ω）=l := l(ω) > 0. 然后，定义bz（ωo）：=bz=z-l, 一个有0个≤s≤TZs（bz；ω）=min0≤s≤Tz+us+σWs（ω）-l= l -l=l> 因此，S（bz）>T≥ τ（0，bz），但这与z的定义相矛盾，因为bz<z。因此，我们得出结论S（z）≤ T a.s。参考文献【1】Akyildirim，E.、Guney，I.E.、Rochet，J.C.和Soner，H.M.（2014）。随机利率下的最优股利政策。J、 数学。经济。51，第93-101页。[2] Avanz i，B.（2009）。股利分配策略：综述。N、 上午。精算师。J、 13（2），第217-251页。[3] Avanz i，B.，Gerber，H.U.，Shiu，E.S.W.（2007年）。对偶模型中的最优红利。保险公司。数学经济。41（1），第111-123页。[4] Baldursson，F.M.（1987）。奇异随机控制与最优停止。随机21，第1-40页。[5] Baldursson，F.M.，Ka r atzas，I.（1996年）。不可逆投资与产业均衡。FinanceStoch公司。1，第69-89页。[6] Blumenthal，R.M.，Getoor，R.K.（1968年）。马尔可夫过程和势理论。学术出版社，纽约。[7] Borodin，W.H.，Salminen，P.（2002年）。布朗运动事实和公式手册。第二版。Birkh–auser。[8] Chaleyat Maurel，M.，El Karoui，N.，Marchal，B.（1980）。R'e flexion contract et system'emesstochastiques终止交易。安。概率。8（6），第1049-1067页。[9] Chaleyat Maurel，M.（1981年）。R'e flexion中断系统随机性。《克莱蒙费朗大学科学年鉴》第2期，《伊利数学》第19期，第115-124页。[10] De Angelis，T.，Ekstrom，E。

(2017). 无限期的股息问题。安。应用程序。概率。27（6），第3525-3546页。[11] d e Finetti，B.（1957年）。在rischio学院，你可以选择其他课程。《第十一届国际精算师大会章程》第2卷第1期，第433-443页。[12] Dickson，D.C.M.，Waters，H.R.（2004年）。一些最优分红问题。阿斯汀公牛。34，第49-74页。[13] El Karoui，N.，Karatzas，I.（1988）。有限燃料的概率方面，反映的跟随者问题，ActaAppl。数学11，第223-258页。[14] El Karoui，N.，Karatzas，I.（1989）。《停止问题中最优风险与吸收的整合》，S’eminaire de Probabilit’es，第23卷，第405-420页。[15] El Karoui，N.，Karatzas，I.（1991）。Skorohod问题的一种新方法及其应用，Stoch。斯托赫。第34页，第57-82页。[16] Ferra ri，G.（2019年）。关于一类关于反射微分的奇异随机控制问题，J.Math。肛门。应用程序。473（2），第952-979页。[17] Jeanblanc Piqu\'e，M.Shiryaev，A.（1995年）。O优化股息流量。俄罗斯数学。调查50（2），第257-277页。[18] Jeanblanc，M.、Yor，M.、Chesney，M.（2009）。金融市场的数学方法。Sp rin ger公司。[19] 蒋，Z.，Pistorius，M.（2012）。马尔可夫状态切换下的最优股利分配。FinanceStoch公司。16，第449-476页。[20] Karatzas，I.（1983年）。一类奇异随机控制问题。高级应用程序。概率。15，第225-254页。[21]Karatzas，I.，S hreve，S.E.（1985）。最优停止与奇异随机控制之间的联系2。反映了跟随者问题。暹罗J.控制优化。23（3），第433-451页。[22]Karatzas，I.，Shreve，S.E.（1991）。布朗运动与随机微积分（第二版）。纽约州斯普林格·维拉格市数学研究生课程113号。[23]Kobylanski，M.，Quenez，M.（2012）。一般框架下的最佳停车。。电子J、 概率。17（72），pp。

1–28.【24】Kulenko，N.，Schmidli，H.（2008）。具有资本注入的Cram'er-Lundberg模型中的最优股息策略。保险公司。数学经济。43，第270-278页。[25]Li eberman，G.M.（1996）。二阶抛物微分方程。《世界科学》[26]Lokka，A.，Zervos，M.（2008）。在存在比例成本的情况下，最优股息和股票政策的发行。保险公司。数学经济。42，第954-961页。[27]马，J.（1993）。不连续反射和一类奇异随机控制问题。斯托赫。斯托赫。《代表》44（3-4），第225–252.32页，法拉利，Schumann【28】Peskir，G.，Shiryaev，A.（2006）。最优停止和自由边界问题。柏林斯普林格。【29】Revuz，D.，Yor，M.（1999年）。连续鞅与布朗运动。柏林斯普林格。[30]Rogers，L.，Williams，D.（2000年）。微分、马尔可夫过程和鞅。剑桥数学图书馆，剑桥。【31】Scheer，N.，Schmidli，H.（2011）。考虑资本注入和管理成本的Cramer-Lundberg模型中的最优股利策略。欧洲。精算师。J、 1，第57-92页。[32]Sch midli，H.（2008）。保险中的随机控制。施普林格·维拉格，柏林。【33】Sch midli，H.（2016）。关于资本注入和股息，税收近似于差异。斯堪的纳维亚。精算师。J、 2017（9），第751-760页。【34】Shreve，S.E.，Lehoczky，J.P.，Gaver，D.P.（1984）。具有吸收和反射屏障的一般差异的最佳消费。暹罗J.控制优化。22（1），第55-75页。[35]朱建洋（2016）。破产情况下增长受限的差异化模型的最优资本注入和分配。保险公司。数学经济。70，第259-271页。G、 法拉利：德国比勒菲尔德大学数学经济学中心（IMW），地址：giorgio。ferrari@uni-比勒费尔德。部门。

舒曼：德国比勒菲尔德大学数学经济学中心（IMW），地址：patrick。schuhmann@uni-比勒费尔德。判定元件