内生清算压力下的最优交易执行：理论

2022-6-1 04:23:50

内生压力下的最优贸易执行：理论与数值解，*, J’an KomadelaaDepartment of applicated Mathematics and Statistics，Comenius University Bratislava，84248布拉迪斯拉发，SlovakiabCass Business School，City，University of London，106 Bunhill Row，London EC1Y 8TZ，UKAstractwe研究具有线性临时价格影响的市场中交易头寸（所谓大宗订单或元订单）的最优清算（Kyle，1985）。我们通过在未受影响的资产价格中引入向下漂移，同时排除卖空，来内生清算压力。在此设置中，清算时间范围成为内生确定的停止时间，作为优化策略的一部分。我们发现，最优清算策略符合平方根定律，即每股平均价格影响与元订单规模的平方根成正比（Bershova和Rakhlin，2013；Farmer等人，2013；Donier等人，2015；T’oth等人，2016）。在数学上，我们优化的Hamilton-Jacobi-Bellman方程导致了一个严重奇异且数值不稳定的常微分方程初值问题。我们仔细分析了相关的奇异混合边值问题，并通过将时间维度重新引入其他时间齐次任务中，设计了一种数值稳定的计算策略。关键词：最优清算、价格影响、平方根定律、奇异边值问题、随机最优控制2010 MSC:34A12、49J15、91G801。引言我们研究了当执行价格受到不利价格影响时，不可分割资产的最优清算，其与每单位时间的资产负债量成比例，符合Kyle（1985）。

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大多数88

2022-6-1 04:23:53

最优清算策略*相应的authorEmail地址：brunovsky@fmph.uniba.sk（巴沃尔·布鲁诺夫斯克），阿莱斯。塞尔尼。1@city.ac.uk（阿尔塞尔尼），komadel4@uniba.sk（J'an Komadel）2017年7月25日前提交的预印本为应对突然出售造成的不利价格影响而进行的交易。然而，我们对清算的关注并不是根本性的；经过必要的修改，我们可以用以下的最优收购来代替最优清算。我们的方法的新颖之处在于，我们排除了在市场下跌时卖空的可能性。这一看似微小的变化对问题的经济学和数学产生了深远的影响。如何以及为什么会发生这种情况是接下来分析的主题。具有市场影响的最优执行建模在文献中相对较新，可以追溯到Almgren和Chris（2000）、Bertsimas和Lo（1998）以及Subramanian和Jarrow（2001）。经典模型Almgren和Chriss（2000）、Bertsimas和Lo（1998）设想了一个世界，在这个世界上，资产的未受影响价格是阿马丁格尔，因此没有压力快速交易一个具有线性相关性的代理人。在这些情况下，交易激励是由FIAT提供的——假设有一个固定的时间限制，在该期限内必须清算整个头寸。文献发现，最优清算会导致“执行不足”（Perold，1988），定义为库存初始市场价值与清算策略预期收入之间的差距；由于价格的影响，后者总是较低。短缺本身由两部分组成，一部分是由于“永久价格影响”，另一部分是由于“临时影响”。前者不受交易策略的影响，而后者决定最佳策略，并可通过延长清算时间范围使其任意变小。

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2022-6-1 04:23:56

从这个意义上讲，拥有更多的时间对贸易商无疑是有益的。第二组文献，Brown et al.（2010）、Chen et al.（2014）、Chen et al.（2015）确定了随着市场条件的变化进行清算的动机，因此，更严格的保证金要求会降低杠杆的允许金额。市场状况的变化发生在离散的时间点，而最优清算（去杠杆化）则在时间上持续实施。出于可延展性的原因，未受影响的价格在清算期间被假定为常数，尽管原则上可以使用第一组文献的结果，以使去杠杆阶段的建模更加现实。在本文中，我们主要关注清算阶段。具体而言，我们研究了未受影响的价格平均可能下降的情况，这在流动性收缩的市场中非常合理。有人预计，随着资产价格的下降，执行缺口应该比鞅情况下更严重。令人惊讶的是，目前的文献发现，最佳清算策略远远没有出现短缺，在这种情况下，可能会出现预期盈余，见Schied（2013）。仔细观察发现，盈余是由于资产卖空，随后在分配的时间期限结束时以折扣价格收购而产生的。虽然在熊市中进行战略卖空并非完全不可信，但我们认为，重要的是要研究一种排除此类卖空的情况。要做到这一点，最简单的方法是一旦全部头寸变现，就停止交易。在这样做的过程中，我们从鞅案例中恢复了经典结果，即价格影响总是导致实施不足。

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可人4

2022-6-1 04:23:58

然而，在没有卖空的下跌市场中，通过延长清算时间范围，可以任意缩小差额，这已不再是事实。在具有完全可分割资产的最优清算文献中，引入停止时间是一个新颖的特征。此前，最优停止出现在不可分割资产的最优清算背景下，参见Mamer（1986）和Henderson and Hobson（2013）。虽然在清算时停止自动排除卖空，但它确实为进一步的中间收购留下了可能性。事后证明，中间采集不是最优的，参见第7.1条和第7.2条定理。我们证明了停止时间的存在极大地改变了Hamilton-Jacobi-Bellman方程的数学性质，并导致了一个严重奇异且数值不稳定的初值问题。我们的部分研究贡献在于对HJB方程和相关奇异边值问题进行了全面的理论和数值分析。本文的组织结构如下。在第2节中，我们调查了相关文献并提出了我们的模型。在第3节中，我们将讨论如何将HJB偏微分方程（PDE）简化为普通微分方程（ODE）。第4节提供了这种减少的概率和控制理论解释。第5节描述了第3节ODE初值问题（IVP）的奇异性，而第6节说明了如何从相关的边值问题（BVP）中获得唯一性。在第7节中，我们利用第6节的BVP描述了最优策略及其价值函数。在第8节中，我们介绍并从理论上分析了与偏微分方程BVP相关的数值格式，并给出了数值结果。第9节结束。2.

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2022-6-1 04:24:01

我们的模型和相关文献我们从一个存货Z的交易者的角度出发，其初始值Z（0）>0是给定的。建模的前提是，存在一些价格过程（通常称为“未受影响的价格”），这些价格过程具有外部给定的动态，在没有我们交易的情况下控制资产价格的演变。在我们的例子中，不受影响的价格S是几何布朗运动ds（t）=λS（t）dt+σS（t）dB（t），（2.1），其中B是自然过滤中的布朗运动。库存吸引利率r，当r<0时，利率r成为存储成本。我们假设库存以（随机）比率V=连续出售-dZ/dt，因此v表示单位时间内售出的库存量。因此，库存动态读数dz（t）=（rZ（t）- v（t））dt。（2.2）假设T（Z=0）是第一次处置整个库存。对于一对初始值S=S（0），z=z（0），（2.3），资产处置的预期贴现收入由J（S，z，v）=Es，z“ZT（z=0）e给出-ρt（S（t）- ηv（t））v（t）dt#，（2.4），其中S-ηv是资产的“影响价格”。在我们的设置中，η测量销售速度v对价格的“暂时影响”的强度。贴现系数ρ表示不持有替代资产的机会成本。整个模型基于ˇCern'y（1999）。任务是找到使v（s，z）最大化的最优清算策略v：=supv∈AJ（s、z、v）。（2.5）我们说v是一个可容许控制，并写出v∈ A、如果过程v是可预测的，则EZt | v（s）| mds< ∞ 对于所有t>0且m=1，2，（2.6）andEZT（Z=0）e-ρs | v（t）（s（t）- ηv（t））| dt！<∞. （2.7）对于特定的参数选择，我们的模型中的优化可以看作是Ankirchner和Kruse（2013）、Forsyth et al.（2012）和Schied（2013）的特例，关键的区别在于，在我们的案例中，清算时间范围是内生的。

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2022-6-1 04:24:04

我们长期假设，时间贴现比预期升值和资产利息加在一起强，ρ>λ+r.（2.8）。在本节结束时，我们希望提出几点意见，证明我们选择建模框架的合理性。现存文献包含了上述模型的一些变体。交易可能是离散的，而不是连续的，未受影响的价格可能有不同的规定，优化标准可能涉及效用函数。通常，现有模型假设T是固定的，并且是外源性的。最常考虑的受影响价格规格为S：=S- γ（Z（0）- Z--Z）- ηv+ηZ、（2.9）式中γ（Z（0）- Z--Z）当ηv和ηZ、分别在连续时间和离散时间文献中被称为“临时”价格影响。假设有一个固定的日期{ti}Ni=1，其中Z允许跳跃（离散时间模型），或者Z以随机时间速率连续变化-v（连续时间模型）。在每种情况下，Z都被视为具有左极限过程Z的可预测半鞅-AND跳跃Z=Z- Z-. 这类模型包括Ankirchner et al.（2016）、Brown et al.（2010）、Chen et al.（2014）、Gathereal and Schied（2011）、Schied（2013）、Schied and Schoneborn（2009）Ting et al.（2007）连续时间模型和Almgren and Chriss（2000）、Bertsimas and Lo（1998）离散时间模型。其他影响规范见Chen等人（2015）、Cheridito和Sepin（2014）、Forsyth（2011）、Lorenz和Almgren（2011）、Subramanian和Jarrow（2001）以及Ting等人（2007）。固定时间范围内清算产生的收入R（T）由R（T）：=RT给出-S（t）dZ（t）。

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2022-6-1 04:24:07

当不受影响的资产价格过程S是鞅时，通过部分积分以及适当的Z有界性和边界条件Z（T）=0 yieldsE[R（T）]=Z（0）S（0）-γZ（0）- ηZTv（t）dt- ηNXi=1(Z（ti）。这种平等提供了几个重要的见解：1。永久影响（如此处所定义）没有战略影响，在没有临时影响（η=η=0）的情况下，任何战略Z都是最优的。预期实施不足Z（0）S（0）- E[R（T）]=γZ（0）严格为正。2、对于临时冲击，无论永久冲击的强度如何，最好以恒定速率进行清算。额外的执行差额在连续时间内分别等于ηZ（0）/T，在离散时间内分别等于ηZ（0）/N。这些观察结果表明，暂时性影响也是漂流市场中大多数战略互动的原因，我们推测，这种永久性影响的分类与Almgrenand Chriss（2000）和后续文献中使用的分类有细微的不同。在我们的分类中，当S是鞅时，永久影响对最优执行没有战略影响。因此，当包含永久影响时，最优策略不会发生显著变化。这并不是说实施不足不会受到永久影响的影响。

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2022-6-1 04:24:10

考虑到后续分析的复杂性，以及我们对最优交易策略存在永久性影响的理解可能获得的边际收益，我们觉得有理由在分析中忽略永久性影响。Gatheral（2010）对最近的研究进行了精辟的总结，考虑了一种中间形式的影响，其中执行价格由公式集给出-Ztf（vu）G（t- u）杜。核G被称为市场弹性，永久冲击和暂时冲击两种极端情况分别对应于G为常数或G为Diracdelta函数。Gatheral（2010）提出了一个功率冲击函数组合的例子，f（v）=vδ，幂律弹性G（x）=x-γ, δ + γ ≥ 1，后者倾向于狄拉克δ函数，如γ&0。我们注意到，我们的设置对应于极限情况δ=1，γ=0，我们将在本文的设置中对具有一般弹性G的广义冲击函数f的分析留给未来的研究。3、HJB方程和降维（2.5）中定义的值函数形式上解决了Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程SUPV{sσVss+λsVs+（rz- v） Vz公司- ρV+V（s- ηv）}=0，s>0，z>0，形式最优控制v*=s- Vz2η，产生拟线性二阶偏微分方程σVss+λsVs+rzVz- ρV+（s- Vz）4η=0，（3.1），初始条件V（s，0）=0。（3.2）自相似性v（s，z）=su（x）/（ησ），x=ησz/s，（3.3）将（3.1，3.2）简化为普通微分方程（ODE）xu=axu+bu的初值问题（IVP）- （u）- 1） /2，x>0，（3.4）u（0）=0，（3.5），其中：=2（λ- r+σ）/σ，b：=-2(2λ - ρ + σ)/σ. （3.6）自相似性减少了具有7个独立参数ρ、λ、r、σ、η、s的问题≡S（0）和z≡ Z（0）到一个只有三个参数：a、b和x的问题：=ησZ/s.4。

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何人来此

2022-6-1 04:24:13

自相似性的概率解释我们首先重申HJB方程（3.1）的变分形式supv（0）漂流e-ρtV（S，Z）+ v（0）（S（0）- ηv（0））= 插入值函数V（S，Z）=Su的自相似形式ησZ/S/（ησ）并重新排列以获得SUPV（0）漂流e-ρtSS（0）uησZS+ ησv（0）S（0）1.- ηv（0）S（0）= 接下来的步骤包括i）将度量值更改为给定的^P，byd^PtdPt=S（t）S（0）e-（2λ+σ）twhere^Ptand Ptare^P和P对Ft的限制；ii）定义新的状态变量x：=ησZ/S；和iii）将控制重新参数化为g：=ηv/S，这将产生Ssupg（0）nddrifte（2λ+σ-ρ） tu（X）+ σg（0）（1- g（0））o=0。（4.1）X readsdX的It'o公式=接收- σgdt+X-决策支持系统+决策支持系统,而从Girsanov定理我们得到了ddrift（L（S））=λ+2σ，这意味着dx=（r）- λ - σ） X个- σgdt+σXd^B，（4.2），其中^B：=-L（S）+（λ+2σ）t是^P下的布朗运动，L（S）表示S的随机对数，dL（S）=dS/S。在最后一步中，我们执行从t到σt的时间变化，定义^X（t）：=X（t/σ）和^W（t）：=σB（t/σ）。这让dynamicsd^X=r- λ - σσ^X- g级dt+^Xd^W，（4.3），而（4.1）更改为SUPG（0）ddrift公司经验值2λ + σ- ρσtu（^X）+ g（0）（1）- g（0））= 0。（4.4）在（4.3）中，最优性条件（4.4）显式读取s0=xu（x）+r- λ - σσxu（x）+2λ+σ- ρσu（x）+1.- u（x）,（形式）最优控制等于g=（1- u（^X））/2。更清楚的是，（4.4）本身是一个最优控制问题的HJB方程u（x）=supgbEx=^x（0）”ZT（^x=0）exp-ρ - 2λ - σσtg（t）（1- g（t））dt#，（4.5），其中^P-动力学^X由（4.3）给出。请注意，转化问题（4.5）中的时间是根据未受影响价格的对数回报的累积方差来衡量的，即“方差年”。一个变化年对应于使σt=1所需的物理时间t。σ=0.2时，一个差异年等于25个日历年。

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2022-6-1 04:24:16

假设库存Z在一个方差年内以恒定的比率完全清算，则newstate变量^X=ησZ/S对应于临时价格影响的大小，即当前价格的百分比。奇异初值问题Ivphere在我们将IVP（3.4，3.5）称为IVP之后。注：当且仅当我们的长期假设（2.8）ρ>r+λ成立时，a+b>0。Brunovsk\'y等人（2013）表明，IVPI在0时高度退化。对于a+b>0，由形式幂级数hn（x）=x给出的在0附近具有相同渐近性的许多解-p2（a+b）x3/2+nXi=2kix1+i/2，n∈ N、（5.1）其中kiare从kn+1=3（N+3）k递归获得kn（（n+2）（2a）- n） +4b）-n-1Xj=1（3+j）（n- j+3）kj+1kn-j+1.级数本身对于6a+4b的收敛半径为零- 3=：K>0>K：=6a+2b- 9，见（Quittner，2015，备注2）。通过（5.1）中级数的形式微分得到的u（x）导数的渐近展开，同上定理1。当K=0或K=0时，幂级数在第三个元素处结束，构成IVP的真正解。然而，这个解只是一个连续体的解，并不代表最优值函数。IVPdoes的高度退化性质并非源于ODE中线性项的奇异性，这在Black-Scholes模型中是众所周知且无害的，而是源于非线性项的奇异性。Liang（2009）研究了u=x形式的单数IVP-1f（x，u，u），其中f是连续的。请注意，ODE的线性部分ax-1u，属于梁的范畴，但不是线性项x-2（u- 1） /2没有。Liang也观察到了解决方案的多样性，但这种多样性不如我们的情况明显。

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能者818

2022-6-1 04:24:19

在Liang的工作中，u（0）和u（0）唯一地确定了溶液的第一个dγe导数，其中γ：=uf（0，u（0），u（0））>0，对于非整数γ，一旦指定了xγ的系数，解就变得唯一。因此，在Liang的情况下，所有解都会渐近偏离xγ接近0的倍数。相比之下，IVPHA是一个解的连续体，其由xαexp-β/√x个,其中α：=2-b、 β：=p8（a+b），见（Quittner，2015，定理2-5）。这些解总是以x&0的任意阶共享其幂级数渐近性。与本文相关的唯一性结果可以总结如下：命题5.1。在假设a+b>0的情况下，有一个唯一的VP解，用u表示∞令人满意的u∞∈ C[0，∞) ×C（0，∞),0≤ u∞（十）≤ x表示x>0。（5.2）解决方案u∞进一步满足u∞（0）=1，u∞（x） >0，u∞（x） <0，u∞（x）对于所有x>0以及u>0∞（x） x为0（&0）→ ∞.证据见Brunovsk\'y等人（2013）中的命题5.1。命题5.2揭示了IVP解的某些定性特征，无论何时使用不稳定的数值格式，都可以从经验上观察到这些特征。提案5.2。（3.4）在（α，β）上的任何溶液，0≤ α < β ≤ ∞ 属于且仅属于以下类别之一：i）u是常数；ii）u在（α，β）上是严格凹的；iii）u在（α，β）上是严格凸的；iv）有x个∈ （α，β），使得u在（α，x）上严格凹，在（x，β）和u（x）上严格凸≥ 所有x的u（x）>0∈ (α, β);v）有x个∈ （α，β），使得u在（α，x）上严格凸，在（x，β）和u（x）上严格凹≤ 所有x的u（x）<0∈ (α, β).证据Brunovsk'y等人（2013）的引理4.1得出的结论适用于方程xy=（1+（a- 2） x个- y） y+（a+b）y，（5.3），y=u，通过（3.4）的微分和重新排列获得。6.

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2022-6-1 04:24:22

边值问题BVP[0，∞)在本文的背景下，将命题5.1视为某一边值问题（BVP）的解是有利的。我们写了(∞) := 林克斯→∞u（x）每当右侧的极限存在时，用Neumann型边界条件u补充Dirichlet型边界条件u（0）=0(∞) = 0。（6.1）下文中，我们将混合边值问题（3.4、3.5、6.1）称为BVP[0，∞).如下所示，右侧边界条件（6.1）唯一地确定了命题5.1中的解。提案6.1。假设a+b>0 BVP[0，∞)具有唯一的解决方案，可额外满足u（0）=1、u>0、u<0、u>0以及0≤ u（x）≤x、证明。BVP[0，∞)至少有一个解决方案，即在Proposition 5.1中确定的解决方案。下面我们将通过显示bVP[0]的任何解来证明唯一性，∞)还必须满足0≤ u（x）≤ x、 Brunovsk'y等人（2013）中的引理3.1，IVPsatis fies limx的任何局部溶液→0+u（x）=u（0）=1。现在考虑命题5.2中α=0和β=∞. 由于bVP[0]的任何解，∞)还解决了IVPit不能落入恒定备选方案i）中的问题。同样，由于u（0）=1意味着u，因此它不能属于u>0的iii类(∞) ≥ 1、备选方案iv）和v）也意味着(∞) 6= 0. 因此，只有ii类）仍然是可能的替代方案。因此，在全局范围内获得u<0，因此uis递减，u(∞) = 0表示u≥ 我们这样证明了≤ u≤ 1，积分时，1得到0≤ u≤ x、这表明了命题5.1的唯一性。Brunovsk\'y等人（2013年）的论文留下了两个悬而未决的问题。

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2022-6-1 04:24:26

第一个问题是由解决方案u生成的值函数V是否∞BVP的[0，∞)从命题5.1到方程（3.3）实际上是优化问题（2.5）的值函数。第二个问题涉及BVP解的数值计算[0，∞).我们依次讨论这两个问题，前者在第5节，后者在第6.7节。优化在本节中，我们建立了边值问题BVP[0，∞)以及清算问题的最优控制和价值函数（2.5）。我们首先制定一个自然有效的受理条件，并调查在什么情况下可以进一步收购待清算资产，v<0。提案7.1。在假设（2.8）下，任何可预测控制v满足s（t）/η≥ v（t）≥ 允许0。如果另外ρ>λ++r+，（7.1），其中x+：=max（x，0），则满足S（t）/η的任何可预测控制v≥ v（t）≥ -K对于某些K>0也是允许的。证据i）我们有| v（t）| m≤ （S（t）/η）m+Kmand由于S是GBM，这意味着ehrt | v（S）| mdsi<∞ 对于任何有限t和任何m∈ N证明（2.6）。ii）证明（2.7）第一条注释v（t）≥ -K impliesZ（t）≤ zert+Kert- 1r。（7.2）为了显示值函数的可积性，我们首先获得被积函数| v（t）（S（t））的估计值- ηv（t））|≤v（t）++v（t）-S（t）+ηv（t）-≤K+v（t）+（S（t）+ηK），对于任何有界停止时间τyieldsEZτe-ρt | v（t）（S（t）- ηv（t））| dt≤ KZτe-ρt（E[S（t）]+ηK）dt+EZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt≤ KZ公司∞e-ρt（seλt+ηK）dt |{z}C<∞+EZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt.继续第二项中期望值内的积分，让W（t）=Rtv（s）+ds，并按部分积分。编制注释dZ（t）=（rZ（t）- v（t））dt与（7.2）一起表示任何有界停止时间τ≤ T0≤ W（τ）=Zτv（t）+dt=Zτv（t）-dt+ZτrZ（t）dt+Z- Z（τ）≤ Kτ+Zτrzert+Kert- 1r级dt+z=：g（τ）。

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2022-6-1 04:24:29

（7.3）部件集成yieldsZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt=e-ρτW（τ）（S（τ）+ηK）+ρZτe-ρtW（t）（S（t）+ηK）dt-Zτe-ρtW（t）dS（t）。我们继续在右手边的第二个任期。设dM（t）=e-ρtW（t）S（t）dB（t）然后E[[M，M]t]=EhRte-2ρlW（l）S（l）dli≤ sRtg（l）e2（λ+σ-ρ） ldt<∞ 使用gfrom（7.3），这意味着M是一个（平方可积）鞅。因此对于任何有界停止时间τEZτe-ρtW（t）dS（t）= EZτe-ρtλW（t）S（t）dt.把一切都集中起来Zτe-ρt | v（t）（S（t）- ηv（t））| dt≤ C+EZτe-ρtv（t）+（S（t）+ηK）dt.在站立假设（2.8）下，右侧为K=0的边界。如果另外ρ>0、ρ>λ和ρ>r，则K>0也是如此。最后三个不等式和持续假设（2.8）相当于（7.1）。通过单调收敛使τ增加到T中兴通讯-ρt | v（t）（S（t）- ηv（t））| dt< ∞.下一个定理描述了最优清算策略和相应的值函数。不等式V（s，z）≤ sz确认了在没有卖空的情况下实现短缺sz的初步直觉-V（s，z）必须为正。我们注意到，由于0≤ u∞（十）≤ 1我们有v*（t）≥ 0，也就是说，即使（对于ρ>λ++r+）涉及进一步购买的策略是允许的，购买更多的清算资产也不是最佳选择。定理7.2。假设（2.8）。让u∞是BVP的唯一解决方案[0，∞), 其中a，b由（3.6）给出。那么函数V（s，z）：=sησu∞ησzs≤ sz是优化（2.5）的值函数，v*（t）：=2η（S（t）- Vz（S（t），Z*（t）））=S（t）2η1.- u∞ησZ*（t） S（t）≥ 0（7.4）是方程（2.6,2.7）中定义的所有容许控制中的最佳控制。证据为了证明该定理，我们应用Flemingand Soner（2006）的“验证”定理IV.5.1。

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2022-6-1 04:24:32

为此，我们必须检查以下内容：（i）V（s，z）是C（（0，∞) × (0, ∞)) ∩ C（[0，∞) × [0, ∞)) 和满意度| V（s，z）|≤ K（1+|（s，z）| m）对于某些m>0，K>0；（ii）lim支持→∞E（s，z）它≤T（Z=0）e-ρtV（S（t），Z（t））≥ 0表示所有容许控制，其中s：=s（0）和z：=z（0）；（iii）对于任何有限时间tlimt→∞e-ρtE（s，z）它≤T（Z*=0）V（S（t），Z*（t）（）= 0，（S（t），Z*（t））为ds（t）的解=λS（t）dt+σS（t）dB（t），dZ*（t）=rZ公司*（t）-S（t）2η1.- uησZ*（t） S（t）dt。正则性性质以及（i）和（ii）的估计是u的性质的直接序列∞, 这尤其意味着0≤ V（s，z）≤ 深圳。（7.5）估算（7.2）给出Z*（t）≤ zertwhich与不等式（7.5）和长期假设（2.8）相结合的产量0≤ e-ρtE（s，z）它≤T（Z*=0）V（S（t），Z*（t）（）≤ e-ρtzertE（s，z）[s（t）]=sze（r+λ-ρ） &0。这证明了第（iii）项。观察最优控制偏离了目标函数vmyopic（t）：=S（t）/（2η）被积函数最大化的短视策略。除了对执行价格的直接影响外，当前清算率还影响库存Z的未来水平。在（7.4）中，时间t的最佳策略与vmyopic（t）的差异为-Vz（S（t），Z*（t）），这是相对于剩余库存规模的最佳收入的边际值。因此，适当考虑未来库存水平的作用可以降低销售率。根据提案5.1，u∞是正的，并且减小到零，因此对于较大的z值，zand中的Vz（s，z）也是正的*（t）销售率非常接近短视战略。

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2022-6-1 04:24:35

对于较小的Z值*（t）最优交易率是非线性的，大致与√Z从渐近展开式（5.1）和最优交易率公式（7.4）中可以看出。我们注意到，ρ=λ=r=0且固定时间范围T的经典鞅情形产生恒定的最优清算速度v*= Z（0）/T。固定T的每股价格影响与Z（0）成正比，这与广泛的经验证据不一致，后者表明权力依赖大致成比例的ltopz（0）。在根据经验估计价格影响时，必须对交易率进行假设。在Almgren等人（2005年）中，假设该比率是恒定的，单个交易的临时影响与v0.6成正比，而每股临时价格影响与Z（0）0.6成正比。相比之下，这里的暂时影响是线性的，与v成正比，但最佳交易率是非线性的，大致与v成正比√Z表示小值。”“小”必须在上下文中理解；我们发现√Z渐近与元顺序完全兼容，最优执行持续数天，见第8.4节。我们还可以通过研究渐近展开（5.1）得出关于优化实施不足的定性结论，由此我们发现，对于smallZ（0），每股价格影响等式i（S（0），Z（0））=S（0）Z（0）- V（S（0），Z（0））S（0）Z（0）=pη（ρ- λ - r） Z（0）/S（0）+O（Z（0）3/2，这意味着价格影响与总贸易规模的平方根成正比。有强有力的经验证据支持ETA订单的平方根定律，见Bershova和Rakhlin（2013）、Farmer et al.（2013）、Donier et al.（2015）和T’oth et al.（2016）以及其中的参考文献。8.

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2022-6-1 04:24:38

解的计算使BVP[0，∞)根据数值处理，我们首先将空间间隔截断为x∈ [ε，L]带ε≥ 0，L<∞ 用混合边界条件u（ε）=0和u（L）=0求解ODE（3.4）。我们将截断边值问题称为BVP[ε，L]。在第8.1节中，我们证明了BVP[0，L]的解uLof是唯一的，并且它向上逐点收敛到所需的解u∞asL%∞.具有奇异系数的普通微分方程的BVP数值解有着成熟的文献，例如Jamet（1969）、Weinmuller（1984）、Weinmuller（1986）和Auzinger等人（1999），他们认为BVP的形式为ODEof=x-1A（x）u+x-2B（x）u+F（x，u，u），（8.1），其中A，B和F在x=0时连续，其中一个边界为x=0。（8.1）的数值解可通过变换y（x）=[u（x）xu（x）]后的Matlab函数BVP5Cafer计算，见Weinmuller（1986），方程（2.1a）。然而，正如我们在与IVP的联系中已经提到的，我们的问题BVP[0，L]实质上更为单一。这并不是因为ODE（3.4）的线性形式中的奇异性，事实上可以在ansatz（8.1）中进行调整，而是因为非线性部分F（x，u，u）=x-2（u- 1）在零度时x不连续。试图通过某种射击失败来计算BVP[0，L]的解–都是在x→ 0和x→ ∞ 轨迹爆炸了。算法bvp5c能够在仔细调整输入参数的情况下，生成ε不太接近零的BVP[ε，L]的稳定解。然而，这种接近于零的溶液质量很差，如图1的面板（b）所示。为了绕过麻烦的零奇点，我们在BVP[0，L]中引入了一个时间维度，其策略类似于金融经济学中的价值函数迭代法。

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2022-6-1 04:24:41

这种方法在线性二次型最优控制问题中也很常见，然而，这种方法并非由奇点的存在所驱动，见Anderson和Moore（1989年，第3.1节）。我们考虑一个抛物线型偏微分方程，它对应于时间齐次优化（2.5）的有限水平版本。我们在一个有限的空间区间x上制定了合适的边界条件∈ [0，L]得到一个抛物型问题BVPt[0，L]，并证明其解单调收敛于BVP[0，L]的解→ ∞. 这在第8.2节中完成。不幸的是，由于边界条件的选择，BVPt[0，L]并不对应于最优控制问题。在第8.3节中，我们制定了一个有限差分格式，用于数值求解BVPt[0，L]。该方案在x=0的奇异性方面表现良好，并产生了对uL的可靠近似，对于足够大的L，它与所需解u任意循环∞.8.1. 问题BVP[0，L]定理8.1。让a+b>0。对于给定的L>0，BVP[0，L]有唯一的解决方案uL∈C（（0，L））∩ C（[0，L]），使得0≤ uL（x）≤ x代表所有x∈ [0，L]。解决方案ulistrictly递增、凹化和满足uL（x）≤ uL（x）表示L≤ 五十、 0个≤ x个≤ 五十、和limL→∞uL（x）=u∞（x）对于0≤ x<∞, 其中u∞是BPP[0]的唯一解决方案，∞).证据步骤1）对于任何ε>0，使得ε<L函数α（x）：=0，分别。β（x）：=xis定义II意义上的BVP[ε，L]的下（分别为上）解。1.1 inDe-Coster和Habets（2006），其中关键考虑了L的Neumann边界条件。因此，通过定理II。1.3同上，混合边值问题的解uεBVP[ε，L]满足0≤ uε（x）≤ 每ε>0取x。（8.2）根据Brunovsk'y等人（2013）的主张2.2，证明由此开始。

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2022-6-1 04:24:44

从Bernstein条件Bernstein（1904）（有关Nagumo条件，另请参见De Coster and Habets（2006）第I.4.3节）中的|Με>0，我们获得了|Με，L上导数uε的统一（ε）先验界。与（8.2）一起，这通过（3.4）得到了【】ε，L】上uε的先验界，这意味着{uε}ε>0（以及{uε}ε>0）在【】ε，L】上是等连续的，这反过来意味着{uε}ε>0通过（3.4）是等连续的。因此，我们可以提取一个u1/K的收敛子序列，该子序列通过其前两个导数收敛到（0，L）上的某个函数u，u（0）=0，从而使usolves（3.4）。步骤2）Brunovsk\'y等人（2013），引理3.1，uL（0）=1。这与条件0一起≤ uL（x）≤ x和uL（L）=0不包括命题5.2的所有备选方案，ii除外）。因此，BVP[0，L]的任何解都必须是凹的且在[0，L]上递增。步骤3）为了证明解的唯一性，假设u和v是BVP[0.1]的两个解。那么p：=v- u solvesxp=axp+bp- p（u- （1）-p, （8.3）在（0，L）上，其在差异产量Sxp上=（a）- 2） x+1- u- pp+（a+b- u） p.（8.4）将Brunovsk\'y等人（2013）的引理4.1应用到（8.4），其中y=p，g（x，y）=（a+b- u（x））y和y*= 0时，可以得出p服从与u在位置5.2中相同的选择。通过构造，我们得到了p（0）=p（0）=p（L）=0，因此排除了命题5.2的备选方案（ii）-（v），并且p必须是常数，因此必然等于零。因此，BVP[0，L]有一个唯一的解，我们用uL表示。步骤4）现在我们证明了解uLgrow和L。取0<L<K，并且让u：=uL，v：=uK。考虑p：=v- （0，L）上的u满足（8.3），（8.4），因此服从命题5.2的备选方案。。和前面一样，p（0）=0。因为v（L）>0，而u（L）=0，所以p（L）>0。

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能者818

2022-6-1 04:24:47

因此，在命题5.2（iii）中，p是（0，L）上的严格凸，因此p>0（0，L），这意味着uK>uLand uK>uLon（0，L）。步骤5）对于L→ ∞, ul逐点收敛到BVP[0，∞). 步骤2）表示0≤ uL（x）≤ x和步骤4）uL（x）在L中增加，因此对于固定的x，极限limL→∞uL（x）=：：u（x）定义良好。同样，0≤ uL（x）≤ 1和ULI在增加，因此我们有一个明确的界限→∞uL（x）=：v（x）。拾取任意x和xin（0，∞) 我们重写（3.4）积分公式uL（x）=uL（x）+ZxxuL（ξ）dξ，（8.5）uL（x）=uL（x）+Zxxfξ、 uL（ξ），uL（ξ）dξ（8.6），其中f（x，u，v）=avx+bux-（五）- 1） x.（8.7）通过极限L→ ∞ 在（8.5，8.6）中，并使用支配收敛产生▄u（x）=▄u（x）+Zxx▄v（ξ）dξ，▄v（x）=▄v（x）+Zxxfξ、 ~u（ξ），~v（ξ）dξ，其在微分上显示▄u在（0）上求解ODE（3.4），∞). 自0起≤ u（x）≤x、根据命题5.1和6.1，u解BVP[0，∞).8.2. BVP[0，L]作为有限水平问题的极限BVPt[0，L]此时，BVP[0，L]在零处的奇异性仍然是获得可靠数值解的主要障碍。为了绕过奇点，我们将考虑ODE（3.4）生成的aparabolic PDE，wt=xwxx- axwx- bw+（wx- 1），（8.8），边界条件SW（t，ε）=0，（8.9）wx（t，L）=0，（8.10），初始条件W（0，x）=0。（8.11）我们参考了[0]中的边值问题（8.8-8.11），∞) ×[ε，L]为BVPt[ε，L]。当初始条件（8.11）替换为w（0，x）=x，（8.12）时，我们谈论BVPt[ε，L]。必须掌握三个相关难题。首先，PDE（8.8）的抛物性在x=0时退化，因此半线性抛物方程的基本理论不能直接应用。

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2022-6-1 04:24:50

其次，对有限空间区间的截断打破了BVP与最优控制问题（2.5）之间的联系，因此我们无法求助于最优控制文献的结果。第三，标准存在定理不包括混合边界条件（Dirichlet在左边，Neumann在右边），因为该理论的大部分是在更高维度中发展的，其中边界是一个连通集。我们证明了定理8.2。对于给定的L，问题BVPt[0，L]和BVPt[0，L]在C1,2（（0，∞) ×（0，L]）∩C（[0，∞) ×[0，L]）。这些解（分别用w和w表示）满足0≤ w（t，x）≤ uL（x）≤ w（t，x）≤ x、（8.13）w（t，x）t型≤ 0≤w（t，x）t、（8.14）和限制→∞w（t，x）=极限→∞w（t，x）=uL（x）。我们只给出了BVPt[0，L]的证明，另一种情况是类似的。我们通过研究区间[ε，2L]上BVPt[ε，L]的空间对称版本来验证这个证明- ε] ，表示为SBVPt[ε，2L-ε]. 对称问题的两端都有Dirichlet型边界条件，这使我们可以更方便地参考文献。此外，L位于对称性问题的空间域内部，这使我们能够获得L附近空间导数的统一先验估计，从而使ε→ 0少参与。定理8.2的结论成为SBVPt[0,2L]结果的简单推论。我们必须为采取对称化路线付出的代价是系数的不连续性atx=L.defition 8.3。

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2022-6-1 04:24:53

函数wε∈ C1,2（（0，∞) ×（ε，2L-ε)) ∩C（[0，∞) ×[ε，2L-ε] ）被称为SBVPt的解决方案[ε，2L-ε] ，如果i）它相对于L对称，即wε（t，x）=wε（t，2L- x）；ii）满足εt=M（x）wεxx- A（x）wεx- bwε+C（x，wεx）（8.15）（0，∞) ×（ε，2L- ε），（8.9）和（8.11）表示x∈ [ε，2L- ε] ，其中m（x）=（xf或0≤ x个≤ L（2L- x）对于L≤ x个≤ 2LA（x）=（0时为ax≤ x个≤ L-a（2L- x）对于L<x≤ 2升。C（x，p）=（符号（L- x） p- 1）备注8.4。函数A在x=L时不连续。C（x，p）也是如此，除非p=0。在下文中，我们将采用Lieberman（1996）、Ladyzhenskaya等人（1968）的先验估计，这些估计表面上假设方程数据的连续性。然而，仔细检查这些参数后发现，人们只需要通过将数据与解组合得到的项的连续性，即M（x）wεxx、a（x）wεx和C（x，wεx）的连续性。这在我们的例子中是正确的，因为任何光滑的空间对称函数wε（t，x）的wεx（t，L）=0。建立SBVPt[ε，2L]解的存在唯一性-ε] 对于ε>0，应用解析半群理论Henry（1981）。引理8.5。对于给定的0<ε<L，SBVPt[ε，2L-ε] 具有唯一的解决方案wε满足0≤ wε（t，x）≤ 最小{x，2L- x} 在[0，∞) ×[ε，2L- ε] ，（8.16）和0<ε<ε<Lwε≥ wε在[0，∞) ×[ε，2L- ε]. （8.17）证明。表示X=L（ε，2L- ε) ∩ {y:y（x）=y（2L- x） }。此外，定义M:D（M）=X∩ H（ε，2L- ε) ∩ H（ε，2L- ε) → X乘（My）（X）=-M（x）y（x）M是一个线性无界稠密定义算子D（M）→ 十、从二阶线性序微分方程线性边值问题的SturmLiouville理论可以看出，M的谱由一系列具有唯一累积点的实特征值组成∞.

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2022-6-1 04:24:56

因此，M是扇形的（Henry（1981），定义1.3.1），因此是分析半群的最小生成元（Henry（1981），定义1.3.3）。因此，它承认分数幂M1/2（Henry（1981），定义1.4.1），这是一个密集定义的线性运算符（M1/2）→ 十、 X1/2=D（M1/2）∈ X（Henry（1981），定义1.4.7）。因为我们的Mone有X1/2=H（0，2L），这是通过定义集合{0，2L}上的函数空间，其导数为L（0，2L）（Henry（1981），第1.4节示例6）。继Henry（1981）之后，我们将我们的问题写成y的抽象微分方程dy/dt+My=f（y）（8.18）∈ X和f:X1/27→ X由f（y）（X）=-A（x）y（x）- by（x）+C（x，y（x））。由于f是局部Lipschitz连续的，Henry（1981）定理3.3.3提供了问题（8.18）解的局部存在唯一性，y（0）=0。不等式（8.16）源自以下事实：0是一个子解，min{x，2L-x} 是问题SBVPt[ε，2L]的上解-ε]. 从Lieberman（1996）的理论10.17可以看出，wεxis也有界，该界仅取决于wε的界。也就是说，局部解y（t）在X1/2=H内有界。根据Henry（1981），定理3.3.4由此得出，解扩展到t∈ [0, ∞). 等式（8.17）如下所示，因为函数wε扩展了0到[0，∞) × [ε, ε] ∪[2L- ε、 2升- ε] 是SBVPt的次分辨率[ε，2L-ε].我们现在描述ε的极限过程→ 提案8.6。对于给定的L，问题SBVPt[0,2L]有一个唯一的解决方案w∈C1,2（（0，∞) ×（0，2L）∩ C（[0，∞) ×[0，2L]）。此解决方案满足0≤ w（t，x）≤ 最小{x，2L- x} ，（8.19）w（t，x）t型≥ 0.（8.20）证明。步骤1）用wε表示SBVPt的唯一解[ε，2L-ε]. 通过引理8.5，函数族wε从上开始有界，并随着ε&0的增加而增加。Henceit有一个逐点极限w，由于（8.16），该极限满足（8.19）。

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2022-6-1 04:24:59

简单地说，w（t，x）=w（t，2L-x） w（t，0）=0。我们将证明w实际上是SBVPt[0,2L]的解。步骤2）选择ε<x<x<2L- ε、 0<τ<T，表示G=（τ，T）×（x，x）。由于非线性项C满足二次增长的Bernstein条件，根据Lieberman（1996）的定理12.2，函数wεx在G中一致连续。因此，我们可以找到一个序列ε→ 0，使得wε和wεnx分别在G到w，wx中均匀收敛。步骤3）我们现在将证明w是G上PDE（8.8）的弱解。Takeany函数φ∈ C∞（G）在G和n的边界处，它的所有导数都消失了，以至于[0，∞) ×[εn，L] G、由于wεnsolves（8.8）in G，一个hasZG[wεnt- M（x）wεnxx+A（x）wεnx+bwεn- C（x，wεnx）]φdtdx=0，或等效地，ZG[（wεnt- （M（x）wεnx）x+N（x，wε，wεx）]φdtdx=0，其中N（x，w，p）=((-2+a）xp+bw-（p- 1）对于0≤ x个≤ L（2- a）（2升- x） p+bw-(-p- 1）对于L<x≤ 2升。将前两个术语按我们获得的部分进行整合-ZGwεnφtdxdt+ZGM（x）wεnxφxdxdt+ZGN（x，wε，wεx）φdtdx=0。由于序列{wεn}和{wεnx}的一致收敛性，我们可以通过极限来获得-ZGwφtdxdt+ZGwxM（x）φxdxdt+ZGN（x，w，wx）φdtdx=0。步骤4）由于0<x<x<2L，0<τ<T和φ都是任意的，这意味着w是弱解，因此也是任何内部子域上的经典解（Ladyzhenskaya et al.（1968），VI.1）。因此，它是C1,2（（0，∞) ×（0，2L）。步骤5）由于函数wε满足（8.11），为了证明w也满足（8.11），必须证明对于固定x∈ （0，L），w在t上等连续，与ε和x一致∈ [x，x]，t∈ [0，T]，0<x<x<x<L，T>0。然而，这是Ladyzhenskaya等人提出的。

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2022-6-1 04:25:02

（1968），定理V.3.1，根据该定理，kwεtkL[0，T]关于（T，x）一致有界∈ [0，T]×[x，x]和ε>0。步骤6）解的唯一性来自抛物线最大值原理Leeberman（1996），定理2.10，适用于解的差异。步骤7）以一种简单的方式，可以验证函数v=wt是问题vt=M（x）vxx的弱解决方案- bv公司- （A（x）-^C（t，x））vx（8.21）v（t，0）=0，v（t，2L）=0，v（0，x）=；（8.22）其中^C（t，x）=（wx（t，x）- 0的1≤ x个≤ Lwx（t，x）+1表示L<x≤ 2L；v的初始条件从（8.15）开始，然后将w（t，0）=0替换为（8.15）。Ladyzhenskaya等人（1968年）提出的VI.2和备注8.4 v是一个经典的解决方案。由于0是问题（8.21）、（8.22）的次解，其解v=wt为非负。最后，我们证明了t的收敛性→ ∞.提案8.7。对于t→ ∞ 问题SBVPt[0,2L]的解收敛为SBVP[0,2L]的（平稳）解，定义为无边界条件的BVPT[0,2L]的时间无关解（8.9）。证据步骤1）由于SBVPt[0,2L]的解w在t中增加，并以命题8.6为界，对于t→ ∞ 它在满足0的[0，2L]上逐点收敛到函数u≤ u（x）≤ 最小{x，2L- x} 。（8.23）我们希望证明，u解SBVP【0,2L】。步骤2）从Lieberman（1996）定理12.2可以得出，对于任何fixed0<l<l，T>0，wxis有界于（T，∞) ×[l，2L- l] 。因此，函数族w（t，·）在[l，2L]上是等连续的- l] 。因为（8.19）是统一边界，它在[l，2L]上收敛到u-l] 是统一的。因此，u是continuouson（0，2L）。

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2022-6-1 04:25:05

由于（8.19），其连续性扩展到[0，2L]。步骤3）Lieberman（1996），定理12.25和12.2，对于固定l，问题Wt=M（x）Wxx- A（x）Wx- 对于l，bW+C（x，Wx））≤ x个≤ 2升- l（8.24）W（0，x）=u（x），W（t，l）=W（t，2L- l） =u（l）（8.25）具有唯一的解决方案W∈ C1,2（（0，∞) ×（l，2L- l）（）∩ C（[0，∞) ×[l，2L- l] ）和，对于固定的τ>0，Wxis以[τ]为界，∞). 我们希望证明W（t，x）≡ u（x）foreach l，这立即意味着u解SBVP[0,2L]。固定τ，T>0和0≤ t型≤ τ，l≤ x个≤ 2升- l表示y（t，x）=W（t，x）- w（T+T，x）。（8.26）函数yt解决线性问题ytt=M（x）YTxx- （A（x）- Q（t，x））YTx- bYT（8.27）0≤ YT（0，x）=u（x）- w（T，x）≤ ε（T）（8.28）0≤ YT（t，l）=u（l）- w（T+T，l）≤ ε（T）（8.29）0≤ YT（t，2L- l） =u（l）- w（T+T，2L- l）≤ ε（T），（8.30），其中q（T，x）=（（Wx（T，x）+Wx（T，x）- 2）对于0≤ x个≤ L（Wx（t，x）+Wx（t，x）+2）表示L<x≤ 2L和ε（T）→ T为0→ ∞. 对于固定τ>0，wx（T+T，x），wx（T，x）均为0的统一边界≤ t型≤ τ、 l≤ x个≤ L- l和so是M，N。设β为M的一致边界。根据抛物型偏微分方程的最大值原理（Lieberman（1996），定理2.4），得到0≤ YT（t，x）≤ eβτε（T），或等效地，W（T，x）=limT→∞w（T+T，x）=所有0的u（x）≤ t型≤ τ .定理8.2的证明。设w为在Proposition 8.6中建立的SBVPt[0,2L]的唯一解。由于对称性，其限制w |[0，L]解BVPt[0，L]。相反，由于BVPt[0，L]的任何解的对称扩张是BVPt[0，2L]的解，且后者是唯一的，因此w |[0，L]是BVPt[0，L]的唯一解。根据命题8.7，w |[0，L]收敛到BVPt[0，L]的平稳解，即定理8.1.8.3中已知唯一的BVP[0，L]的解。BVPt[0，L]的有限差分格式对于空间变量x，我们采用由xj=eξj定义的非等距分区-1.- ξj+ξ3/2j，j=0，1。

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