数量I（s，z）通俗地称为“价格影响”。σηs，zλrρa b参数化1 0.2 7.5×10-6100 0 0 0 0 0.05 2 0.5参数化2 0.2 7.5×10-6100-零点一零零-3参数化3 0.2 7.5×10-6100 0.03 0.01 0.05 3 -2.5表1：数值示例中使用的参数值。从（7.4）中可以看出，代理商在原始坐标系下的最佳销售策略为nbyv（s，z）=s- Vz（s，z）2η=s1- u∞（ησzs）2η。假设清算速度不变（且无应计利息），清算时间等于τ（s，z）：=zv（s，z）=2x1- u∞（σx）。然而，实际清算速度远不是恒定的——渐近展开式（5.1）表明它与√z、 因此，根据经验，τ（s，z）几乎是实际平均清算时间的一半。这可以在图3中看到。表1显示了数值示例中使用的三种参数值组合。参数化1的λ=r=0，这意味着清算onlystems的压力来自于以ρ=0.05的比率贴现未来收入。参数化2的r=ρ=0，在这种情况下，清算压力源于未受影响的资产价格，其负漂移λ=-0.1. 最后一个参数化具有所有参数的正值。请注意，三个参数化还涵盖了a和b符号的三种可能组合，这使得a+b>0可以满足。图2的（a）部分显示了每股价格影响I（s，z）=1-三个示例的u（σx）σx。同一图表的（b）部分显示了清算时间τ（s，z）=2x1-u（σx）。图3将假定清算速度不变且无应计利息的清算时间τ（s，z）与基于10000次模拟计算的实际平均清算时间T（z=0）进行了比较。初始大宗订单规模固定为z=100，对应100000股。

清算时间随着临时价格影响η的增加而增加，实际清算时间比τ（s，z）长。图4显示了s=z=100且η=7.5×10时的10000次清算模拟-6根据Breen等人（2002）校准。显示所有行，直到达到（随机）清算时间T（Z=0）。在第一列中，我们观察到，对于每个参数集，当资产价格下降时，执行时间会增加。表1中三个参数化的平均执行时间分别为6.17、4.36和13.80天。0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1x00.020.040.060.080.10.120.14I（s；z）=1！u1（<2x）=（<2x）参数化1参数化2参数化3（a）0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1x00.511.522.533.5=（s；z）=2x=（1！u01（<2x））参数化1参数化2参数化3（b）图2：（a）相对实施不足；（b） 对于表1.9中的三个参数，假设清算速度不变且无应计利息，则清算时间。结论我们分析了未受影响的价格向下漂移的资产的最佳清算，同时假设排除了资产卖空的可能性，清算会导致线性的暂时不利价格影响。在此设置中，清算时间范围变得随机，并作为最优清算策略的一部分内生确定。与之前使用固定时间范围的研究相比，我们从鞅情形中恢复了经典结果，即最优清算总是导致执行不足。虽然“原始”影响是线性的，但优化影响与订单总体积的平方根逐渐成比例。

这一结论得到了经验证据的充分支持。新优化的HJB方程产生了一个边界值问题，其奇异度在现有文献中未涵盖。我们提出了一种克服奇异性的数值格式，并对数值格式所基于的混合边界奇异偏微分方程进行了详细的理论分析。为了简单起见，我们的工作忽略了永久性影响，只考虑线性。我们在第2节中已经表明，在具有线性效用函数的鞅情况下，临时和永久影响不会相互作用。在一个飘忽不定的市场中，会有一定程度的互动，但由于第2节给出的原因，我们认为这种互动相当弱。这种相互作用的确切性质仍然是未来研究的一个有趣领域。致谢：我们感谢M.Fila、P.Pol\'aˇcik、P.Quittner和M.Winkler就第7节和第8节提出的建议。我们感谢两位匿名推荐人的详细评论，并感谢伦敦Math2的参与者临时价格影响2#10-602468101214161820清算时间（天）参数化1参数化2参数化3图3：基于10000次模拟（黑线）和大约清算时间，实际平均清算时间T（Z=0），假设清算速度不变，τ（z，s），（灰色线），表1中的三个参数和临时价格影响参数η的变化值。Ematal Finance研讨会，以获取他们的反馈。P、 Brunovsk感谢2015年3月19日第1号织女星赠款的支持。也要感谢V’UB基金会对A.Cern’y在布拉迪斯拉发的夸美纽斯大学进行的学期访问的支持，这项研究是在该访问期间发起的。参考文献参考文献Almgren，R.，Chriss，N.，2000年。投资组合交易的最佳执行。

风险杂志3，5–39。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.21314/JOR.2001.041Almgren，R.、Thum，C.、Hauptmann，E.、Li，H.，2005年。投资组合交易的最佳执行。风险18（7），57–62。Anderson，B.D.O.，Moore，J.B.，1989年。最优控制：线性二次型方法。Prentice Hall国际公司。Ankirchner，S.，Blanchet Scalliet，C.，Eyraud Loisel，A.，2016年。具有附加信息的最优投资组合清算。数学与金融经济学10（1），1–14。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s11579-015-0147-3Ankirchner，S.，克鲁斯，T.，2013年。价格敏感风险偏好下的最优交易执行。定量金融13（9），1395–1409。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697688.2012.762613Auzinger，W.、Koch，O.、Ko Fler，P.、Weinmuller，E。，http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.9.2179&rep=rep1&type=pdf射门在奇异边值问题中的应用。技术报告126/99，维也纳理工大学，查阅日期：2014年1月31日。伯恩斯坦，S.，1904年。Sur certaines方程组的第二阶顺序。《科学杂志》138、950–951。Bershova，N.，Rakhlin，D.，2013年。大型交易的非线性市场影响：来自买方订单流的证据。《定量金融》第13（11）页，1759-1778年。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697688.2013.861076（a） （b）（c）（d）（e）（f）（g）（h）（i）图4：每行显示10000个未受影响价格S（t）（第一列）、库存Z的模拟*（t） （第二栏）和最优策略v*（t） （第三列），用于表1中的三个参数之一。Bertsimas，D.，Lo，A.W.，1998年。执行成本的最优控制。《金融市场杂志》1（1），1–50。统一资源定位地址http://doi.org/10.1016/S1386-4181（97）00012-8Breen，W.J.，Hodrick，L.S.，Korajczyk，R.A.，2002年。预测股票流动性。《管理科学》48（4），470–483。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/822546BrownD

B、 ，Carlin，B.I.，Lobo，M.S.，2010年。具有遇险风险的最优投资组合清算。《管理科学》56（11），1997-2014年。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/mnsc.1100.1235Brunovsky，P.，ˇCern\'y，A.，文克尔，M.，2013年。源自金融经济学中非最优控制问题的奇异微分方程。应用数学与优化68（2），255–274。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s00245-013-9205-5ˇCern\'y，A.，1999年。货币危机：引入现货投机者。《国际金融与经济杂志》4（1），75–89。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1002/（SICI）1099-1158（199901）4:1<75：：AID-IJFE86>3.0。有限公司；2-JChen，J.，Feng，L.，Peng，J.，2015年。具有非线性临时价格影响的最优去杠杆。《欧洲运筹学杂志》244（1），240–247。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.ejor.2014.12.034Chen，J.，冯，L.，彭，J.，叶，Y.，2014。具有市场影响的最优投资组合去杠杆的分析结果和有效算法。运筹学62（1），195–206。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/opre.2013.1222Cheridito，P.，Sepin，T.，2014年。随机波动和流动性下的最优交易执行。应用数学金融21（4），342–362。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/1350486X.2014.881005DeCoster，C.，Habets，P.，2006年。两点边值问题：上下解。科学与工程数学第205卷。Elsevier B.V.，阿姆斯特丹。Donier，J.、Bonart，J.、Mastromatteo，I.、Bouchaud，J.-P.，2015年。针对非线性市场影响的完全一致、最小模型。定量金融15（7），1109–1121。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697688.2015.1040056Farmer，J.D.、Gerig，A.、Lillo，F.、Waelbroeck，H.，2013年。效率如何影响市场影响。《定量金融》第13（11）页，1743-1758年。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697688.2013.848464Fleming，W.H.，Soner，H.M.，2006年。

受控马尔可夫过程和粘性解，第2版。随机建模和应用概率第25卷。斯普林格，纽约。Forsyth，P.A.，2011年。最优交易执行的Hamilton-Jacobi-Bellman方法。应用数学61（2），241–265。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.apnum.2010.10.004Forsyth，P.A.，Kennedy，J.S.，Tse，S.T.，Windcliff，H.，2012年。最优交易执行：平均二次变异法。《经济动力学与控制杂志》第36（12）期，1971-1991年。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.jedc.2012.05.007Gatheral，J.，2010年。无动态套利和市场影响。定量金融10（7），749–759。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/14697680903373692Gatheral，J.，Schied，A.，2011年。Almgren和Chriss框架下几何布朗运动下的最优交易执行。《国际理论与应用金融杂志》14（3），353–368。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1142/S0219024911006577Hasbrouck，J.，1991年。衡量股票交易的信息含量。《金融杂志》46（1），179–207。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/2328693Henderson，V.，Hobson，D.，2013年。风险厌恶、不可分割的时机选择和赌博。运营研究61（1），126–137。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/opre.1120.1131Henry，D.，1981年。半线性抛物方程的几何理论。数学课堂讲稿第840卷。Springer Verlag，柏林，纽约。Jamet，P.，1969年。一维奇异边值问题有限差分近似的收敛性。数字数学14（4），355–378。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/BF02165591Kyle，A.S.，1985年。持续的拍卖和内幕交易。《计量经济学》53（6），1315–1335。统一资源定位地址http://www.jstor.org/stable/1913210Ladyzhenskaya，O.A.，Solonnikov，V.A.，Uraltseva，N.N.，1968年。抛物型线性和拟线性方程。由S.Smith从俄语翻译而来。

数学单分仪翻译，第23卷。美国数学学会，普罗维登斯，R.I.Liang，J.，2009年。非线性耗散波方程的奇异初值问题和自相似解。微分方程杂志246（2），819–844。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.jde.2008.07.022Lieberman，G.M.，1996年。二阶抛物微分方程。世界科学出版社。，新泽西州River Edge公司。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1142/3302Lorenz，J.，阿尔姆格伦，R.，2011年。均值方差最优自适应执行。《应用数学金融》18（5），395–422。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/1350486X.2011.560707Mamer，J.W.，1986年。有限期半马尔可夫决策过程的逐次逼近及其在资产清算中的应用。运筹学34（4），638-644。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1287/opre.34.4.638Perold，A.，1988年。实施不足：纸面vs.现实。《投资组合管理杂志》14（3），4–9。Quittner，P.，2015年。奇异常微分方程解的高阶渐近性。渐近分析94（3-4），293–308。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.3233/ASY-151314Schied，A.，2013年。Almgren-Chriss框架中最优订单执行的稳健策略。应用数学金融20（3），264–286。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1080/1350486X.2012.683963Schied，A.，Schoneborn，T.，2009年。非流动市场中的风险规避和最优清算策略动态。《金融与随机》13（2），181–204。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1007/s00780-008-0082-8Subramanian，A.，Jarrow，R.A.，2001年。流动性折扣。数学金融11（4），447–474。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1111/1467-9965.00124Ting，C.，Warachka，M.，Zhao，Y.，2007年。最优清算策略及其影响。《经济动力与控制杂志》31（4），1431–1450。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1016/j.jedc.2006.07.003T\'oth，B.，Eisler，Z.，Bouchaud，J.-P.，2016年。

平方根冲击定律也适用于期权市场。Wilmott 2016（85），70–73。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.1002/wilm.10537Weinm¨乌勒，E.，1984年。二阶奇异边值问题的一种差分方法。计算数学42（166），441–464。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.2307/2007595Weinm¨uller，E.，1986年。关于二阶奇异边值问题的差分法数值解。计算数学46（173），93–117。统一资源定位地址http://dx.doi.org/10.2307/2008217