习惯形成下的最优进入与消费

2022-6-14 06:57:18

习惯形成条件下的最优进入和消费岳阳和项羽摘要。本文研究了一个涉及最优进入时间和动态消费决策的组合问题。在第1阶段，投资者可以获得完整的市场信息，但要承受一定的信息成本，需要选择最佳的停止时间来启动第2阶段；在第二阶段，投资者终止了代价高昂的全面信息获取，并在部分观察自由公开股票价格的情况下开始动态投资和消费。采用习惯形成偏好，即过去的消费影响投资者当前的决策。利用随机Perron方法，证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。关键词：最优进入问题；消费习惯形成；随机Perron方法；粘度解决方案2020数学主题分类：91G10；49L25；93E11；93E20；简介我们考虑一个简单的模型，将信息成本纳入连续时间投资组合消费问题。特别地，我们依次研究了完全过滤和不完全过滤下的两阶段复合问题。假设股票价格的漂移过程为Ornstein-Uhlenbeck型。在初始阶段的第一阶段，投资者需要支付信息成本，以获取漂移和股价过程产生的完整市场信息，更新其动态分布，并确定进入第二阶段的最佳时间。信息成本可指搜索成本、存储成本、通信成本、投资者关注成本或其他服务成本。

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2022-6-14 06:57:21

在本文中，我们考虑了简单的线性信息成本，它由一个固定的成本率建模，并将直接从投资者的超额金额中减去。也就是说，第一阶段越长，投资者需要承担的信息成本就越高。以前的一些工作从不同的角度讨论了信息成本对最优投资的影响，请参见[18]、[29]、[1]和[20]。在我们的第一阶段，数学问题成为完全市场信息过滤下的最优停止问题。第二阶段从chosenentry时间开始，投资者终止漂移过程的完整观察。相反，投资者开始根据先前的数据输入和股票价格的自由部分观察动态选择投资和消费，这可以表述为不完全信息过滤下的最优控制问题。由于内部控制问题的值函数取决于漂移过程的停止时间和数据输入，因此外部问题可以解释为以最佳方式等待，以便输入值可以达到内部函数的最大值。在过去几十年中，部分观察下的投资组合优化得到了广泛的研究，参见[6、7、8、22、25、34]中的几个例子，这些例子具有不同的财务动机。如这些工作所示，不完全信息过滤下的价值函数严格低于完全信息过滤下的价值函数，这种差距通常被视为信息的价值。本文试图从不同的角度研究部分观察结果，即由于涉及更多的数据、服务和个人关注，完整的市场信息是可用的，但成本高昂。

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2022-6-14 06:57:24

信息成本可能会改变投资者对使用完整观察结果的态度，因为他观察到的信息越多，他能获得的利益就越高，这已不再是事实。此外，从以前关于部分观测的一些工作中，我们知道值函数最终取决于随机因子的给定初始输入，例如漂移过程。如【8，22】中所述，通常假设不可观测漂移的初始数据是高斯随机变量，因此可以应用Kalman-Bucy滤波。我们将此投入考虑在内，并考虑一个模型，即投资者可以等待，并根据信息成本，使用完整的市场信息动态更新投入的分配。我们可以证明，在不完全信息的情况下，从初始时间开始夏普投资和消费可能不是最优的。另一方面，近年来，习惯形成已成为消费率偏好建模的新范式，它可以更好地与一些实证观察结果相匹配，参见【11，24】。文献表明，过去的消费模式可能会对个人当前的消费决策产生持续的影响。特别是，线性习惯形成偏好已被广泛接受，其中存在一个代表累积消费历史的指数项。[12，14，26]和[35，36]分别在完全市场模型和不完全市场模型中对习惯形成偏好进行了深入研究。值得注意的是，效用函数在习惯水平上呈下降趋势。在本文中，我们假设第一阶段没有消费，投资者开始养成消费习惯，只有第二阶段。因此，早期进入第二阶段可能不是最佳决策，因为投资者有更长的时间来培养更高的习惯水平。

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2022-6-14 06:57:27

这是我们研究外部最优进入时间问题的第二个动机，以了解更长的等待时间是否能让投资者受益更多，因为由此产生的习惯水平可能会低得多，从而导致更高的价值函数。我们证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。为此，我们可以选择应用经典的Perron方法或[2]中介绍的Perron方法的随机版本。对于经典的P erron方法，要建立值函数和粘度解之间的等价关系，我们要么证明动态规划原理，要么升级解的全局正则性并证明验证定理。在一些标准参数中，值函数相对于状态变量的凸性（凹性）通常是总结全局正则性的关键。然而，这个属性在我们的复合问题中并不清楚，请参见Remark4.1了解详细信息。值函数的全局正则性无法保证，外部问题的直接证明变得困难。因此，我们选择了随机Perron\'s方法，它允许我们在没有全局正则性的情况下显示值函数和粘性解之间的等价性。关于利用粘性解进行最优停止的相关工作，我们参考了文献[31]和文献[27]。另请参见[2，3，4，5，23，33]中使用随机Perron方法研究随机控制问题的一些最新工作。完成随机Perron方法论证的一个重要步骤是本文建立的关联变分不等式的比较原理。第二部分介绍了市场模型和习惯形成偏好，并提出了两阶段优化问题。

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2022-6-14 06:57:30

第3节给出了具有习惯形成和部分观察的内部效用最大化问题的主要结果。第四节研究了具有线性信息代价的外部最优进入问题。利用随机Perron方法，证明了复合问题的值函数是一些变分不等式的唯一粘性解。附录A和B.2中报告了一些辅助结果和证明。数学模型和准备工作2.1。市场模型。给定概率空间(Ohm, F、 P）完整信息过滤F=（Ft）0≤t型≤T为了满足通常的条件，我们考虑在有限的时间范围内有一个无风险债券和一个风险资产的市场[0，T]。假设债券过程满足≡ 1，对于t∈ [0，T]，这相当于数字的标准变化。股票价格标准=utStdt+σSStdWt，0≤ t型≤ T、（2.1）S=S>0。一些实证研究，如[9、10、15、30]已经观察到，许多风险资产的漂移过程遵循所谓的均值回复扩散。在此，我们还认为漂移过程utin（2.1）满足Ornstein-Uhlenbeck SDE比dut=-λ（ut- u）dt+σudBt，0≤ t型≤ T、（2.2）此处，（Wt）0≤t型≤Tand（Bt）0≤t型≤皮重-英尺适应相关系数ρ的B-rownian运动∈ [-1, 1].为简单起见，漂移的初始值u为给定常数。我们假设市场系数σS、λ、(R)u和σu根据历史数据的校准给出非负常数。假设投资者从初始财富x（0）=x>0开始，时间t=0。此外，从初始时间t=0开始，访问W和B生成的完整市场信息fts会产生信息成本κt，其中κ>0是单位时间的恒定成本率。

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2022-6-14 06:57:33

信息成本可以指存储成本、搜索成本、通信成本、投资者注意力成本或其他服务成本，以充分观察市场信息Ft。此外，为了简化数学问题，假设从t=0开始到选定的停止时间τ，投资者只需等待和更新流程的动态分布，而展位根本不进行投资和消费。只要模型中最佳进入时间τ的值较短，该假设就有意义。信息成本之后的动态财富过程由确定性函数x（t）=x简单给出- k t表示任何t≤ τ.由于完整的市场信息过滤成本高昂，投资者需要选择最佳的FTA适应停止时间τ来终止完整的信息采集并进入第二阶段。从CHOSEN停止时间τ，他切换到部分观测值过滤FSt=FτWσ（Su：τ≤ u≤ t）对于τ≤ t型≤ T，它是西格玛代数Fτ和截至时间T的股票价格产生的自然过滤的联合。此外，对于任何时间τ≤ t型≤ T、投资者选择动态消费率ct≥ 并决定其财富的π投资于风险资产和债券的剩余金额。在不支付信息成本的情况下，漂移过程u和布朗运动wt和bt对于t不再可见≥ τ.因此，仅假设投资-消费对（πt，ct）适用于τ的部分观测过滤fstf≤ t型≤ T回想一下，在进入时间τ时，投资者只有财富x（τ）=x- κτ左。在不完全过滤FSt下，投资者的总财富过程可以写成d^Xt=（πtut- ct）dt+σSπtdWt，τ≤ t型≤ T、（2.3）初始值^Xτ=X（τ）=X- κτ > 0.

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2022-6-14 06:57:36

注意，在部分观测过滤FSt下，Wt不再是布朗运动，我们必须应用Kalman-Bucy过滤，并考虑由D^Wt定义的创新过程：=σSh（ut- ^ut）dt+σSdWti=σSdStSt公司- ^utdt, τ ≤ t型≤ T、这是FSt下的布朗运动。不可观测漂移过程的最佳估计是条件期望过程^ut=EhutFSti，用于τ≤ t型≤ T，初始输入^uτ=uτ，P-a.s.，在停止时间τ，其中uτ的分布通过（2.2）确定，通过支付高达τ的信息成本。通过标准Kalman-Bucy滤波（见[8]中的方程式（18）或[25]中的方程式（21）），utsatis fies thessedut=-λ（ut）- u）dt+^∑（t）+σSσuρS！d^Wt，τ≤ t型≤ T、（2.4）带^uτ=uτ，P-a.s。。此外，条件方差∑（t）=Eh（ut- ^ut）F表示确定性Riccati ODE（见[8]的方程式（19）或[25]的方程式（23）），d^∑（t）dt=-σS^∑（t）+-2σuρσS- 2λ∑（t）+（1）- ρ)σu, τ ≤ t型≤ T、（2.5）初始值^∑（τ）=Eh（uτ- ^uτ)FSti=0，鉴于^uτ=uτ，P-a.s。。它可以明确地解为∑（t）=√kσSkexp（2(√kσS）t）+kkexp（2(√kσS）t）-k-λ+σuρσSσS，τ≤ t型≤ T、式中，k=λσS+2σSσ|Μλρ+σu，k=√kσS+（λσS+σSσuρ）和k=-√kσS+（λσS+σSσuρ）。对于第二阶段的动态控制问题，我们采用习惯形成偏好。特别是，我们将Zt：=Z（ct）表示为习惯形成过程或生活水平过程，它描述了消费习惯水平。按照惯例，假设累积参考值zt满足递推方程（见[12]），即dZt=（δ（t）ct- α（t）Zt）dt，τ≤ t型≤ T，其中Zτ=Z≥ 0被称为投资者的初始消费习惯。等效地，我们有zt=ze-Rtτα（u）du+Ztτδ（u）e-Rtuα（s）dscudu，τ≤ t型≤ T、这是初始习惯和过去消费的指数加权平均值。

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2022-6-14 06:57:39

这里，确定性贴现因子α（t）≥ 0和δ（t）≥ 0分别衡量过去水平的持续性和消费历史的强度。我们对本文中的成瘾习惯感兴趣，即要求投资者当前的消费策略不得低于该ct的生活标准≥ Zta。s、，对于τ≤ t型≤ T在部分观察过滤（FSt）τ下≤t型≤T、股票价格动态（2.1）可以用dst=utStdt+σSStd^wt重写，财富动态（2.3）可以用d^Xt=（πTuT）重写-ct）dt+σSπtd^Wt，τ≤ t型≤ T为了便于制定随机控制问题和推导动态规划方程，对于任何t∈ [0，T]，我们在（x）处表示投资和消费过程（πs，cs）T的时间调制容许集≤s≤Twith the initial wealth^Xt=x，它是fss渐进可测的，并且满足可积条件rttπsds<+∞, P-a.s.和RTTCSDS<+∞, P-a.s。。具有成瘾性习惯形成约束的cs≥ Zs，P-a.s.，t≤ s≤ T此外，不允许破产，即投资者的财富保持非负，即^x≥ 0，P-a.s.，t≤ s≤ T2.2. 问题公式。两阶段最优决策问题被描述为包含最优停止和随后的随机控制的组合问题，由ev（0，u；x，z）：=supτ≥0E“esssup（π，c）∈Aτ（x-κτ）EZTτ（cs- Zs）PPDFSτ#.（2.6）特别是，从选择的停止时间τ开始，我们对习惯形成的消费效用最大化感兴趣，其中功率效用函数U（x）=xp/p定义在差异ct上-Zt。为了简化表述，我们在本文中仅考虑风险规避系数p<0。

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2022-6-14 06:57:41

内部控制问题的间接效用过程用bv（t，x）表示- κt，z，ut；0）：=esssup（π，c）∈在（x-κt）EZTt（cs- Zs）PPDFSt公司= esssup（π，c）∈在（x-κt）EZTt（cs- Zs）PPD^Xt=x- κt，ut=ut，Zt=z；^∑（t）=0.为了确定外部最佳停车时间，我们需要最大化τ、^Xτ、Zτ和^uτ的输入值。回想一下，投资者在τ之前并不管理其投资和消费，它遵循的是^Xτ=X- κτ，Zτ=zand∑（τ）=0都可以作为参数，而不是变量。也就是说，uτ=^uτ是唯一的随机输入，我们可以将utas视为唯一的底层状态过程。因此，（2.6）的动态对应物由EV（t，η；x）定义- κt，z）：=esssupτ≥tE“esssup（π，c）∈Aτ（x-κτ）EZTτ（cs- Zs）pp）dsFSτut=η#。（2.7）备注2.1。在本文中，我们关注的是p<0的情况，因为函数A（t，s）、B（t，s）和C（t，s）作为一些未来ODE（3.4）、（3.5）、（3.6）的解都是有界的，并且效用U（x）也是有界的，这可以显著简化定理3.1中验证结果的证明和命题4.1中比较结果的证明。另一种情况0<p<1基本上可以以类似的方式处理。然而，由于过程^utin（2.4）是无界的，并且函数A（t，s）、B（t，s）和C（t，s）可能在某些时间爆炸∈ 在证明一些主要结果时，需要一些额外的参数假设来保证可积条件和鞅性质。假设2.1。根据内部控制问题的Remark3.1，从这一点开始，假设x- 对于任何0，κt>zm（t）≤ t型≤ T，即。

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2022-6-14 06:57:45

支付信息成本后，初始财富足够大，因此任何0≤ t型≤ T，其中m（T）由m（T）=ZTtexp定义Zst（δ（v）- α（v））dvds，0≤ t型≤ T、（2.8）我们注意到，（2.8）中的m（T）表示单位生活水平T的生活消费成本，因为内部控制问题在且仅当^X时是可解的*t型≥ m（t）Zt，0≤ t型≤ T，见LemmaB。1、函数bv可以用后面（3.7）给出的显式形式求解。过程v（t，ut；x- （2.7）中定义的函数是过程bv（t，x）的斯内尔包络- κt，z，ut）。因此，可以将（2.7）中的函数V写成V（t，η；x- κt，z）=esssupτ≥tEhbV（τ，x- κτ，z，uτ）ut=ηi。连续区域被解释为完整信息观测的连续，以更新输入值，用C={（t，η）表示∈ [0，T）×R:eV（T，η；x- κt，z）>bV（t，x- κt，z，η）}，自由边界为C={（t，η）∈ [0，T）×R:eV（T，η；x- κt，z）=bV（t，x- κt，z，η）}。让我们表示ev（t，η；x- κt，z）byeV（t，η）在没有混淆的情况下简称。通过一些启发式参数，我们可以写出终端条件为ev（T，η）=0，η的HJB变分不等式∈ R、 bymin（eV（t，η）-bV（t，x- κt，z，η），-eV（t，η）t型- LeV（t，η））=0，（2.9），其中LeV（t，η）=-λ(η - u)电动汽车η（t，η）+σu电动汽车η（t，η）。为了简化以下章节中的符号，weshall将（2.9）改写为（F（t，η，eV，电动汽车t，电动汽车η,电动汽车η） =0，on[0，T）×R，v（T，η）=0，对于η∈ R、（2.10）使用运算符F（t，η，v，vt，vη，vη）：=minnv-bV公司，-vt型-Lvo。备注2.2。零件-电动汽车t型- LeV=0 in（2.9）是一个线性抛物线，不依赖于内部控制（π，c）。

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2022-6-14 06:57:47

比较第五部分-（2.9）中的bV取决于最优控制（π，c），因为bV是内部控制问题的值函数，前提是输入^Xt=x- κt，Zt=zand^ut=ut=η。下一个定理是本文的主要结果，其证明在第4节给出。定理2.1。（2.7）中定义的eV（t，η）是变量不等式（2.9）的唯一有界连续粘度解。此外，复合问题（2.7）的最佳进入时间由Ftadapted Stop timeτ给出*:= T∧ infnt公司≥ 0:eV（t，ut；x- κt，z）=bV（t，x- κt，z，ut）o.（2.11）我们还有过程v（t，ut；x- κt，z）是关于0的完全信息过滤的鞅≤ t型≤ τ*.3、部分观测下的内部效用最大化我们首先解决股票价格部分观测下的内部随机控制问题。3.1. Kalman Bucy过滤的最佳消耗。在一段固定时间内0≤ k≤ T，习惯形成下的动态内部随机控制问题定义为bv（k，x，z，η；θ）：=su p（π，c）∈Ak（x）EZTk（cs- Zs）PPDFSk公司= sup（π，c）∈Ak（x）EZTk（cs- Zs）PPD^Xk=x，Zk=z，^uk=η；^∑（k）=θ,（3.1）其中Ak（x）表示从时间k开始的容许控制空间。这里，由于条件方差∑（t）是时间的确定函数，我们将θ设置为参数，而不是状态变量。利用最优性原理和It^o公式，我们可以启发式地得到HJB方程asVt-α（t）zVz- λ(η - u）Vη+∑（t）+σSσuρ2σSVηη+最大值（π，c）∈A.-cVx+cδ（t）Vz+（c- z）聚丙烯+ 最大值（π，c）∈A.πηVx+σSπVxx+Vxη∑（t）+σSσuρπ= 0，k≤ t型≤ T、（3.2）终端条件V（T，x，z，η）=0.3.2。解耦解和主要结果。

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2022-6-14 06:57:50

如果V（t，x，z，η）足够光滑，则一阶条件给出π*（t，x，z，η）=-ηVx-∑（t）+σSσuρVxησSVxx，c*（t，x，z，η）=z+Vx公司- δ（t）Vzp-1、由于幂效用的齐次性，我们推测值函数的形式为v（t，x，z，η）=[（x-m（t，η）z）]ppN1-p（t，η），对于一些待确定的函数m（t，η）和N（t，η）。它还允许需要N（T，η）=0的终端条件。特别是，我们发现m（t，η）：=m（t）的简单表达式满足方程（2.8）。代换后，HJB方程简化为N（t，η）asNt+pη2（1）的线性抛物偏微分方程- p） σSN（t，η）+∑（t）+σSσuρ2σSNη+1+δ（t）m（t）聚丙烯-1+-λ(η - u) +η∑（t）+σSσuρp（1- p） σSNη（t，η）=0，其中N（t，η）=0。我们可以通过n（t，η）=ZTt显式地进一步求解线性偏微分方程1+δ（s）m（s）聚丙烯-1expA（t，s）η+B（t，s）η+C（t，s）ds，（3.3）表示k≤ t型≤ s≤ TA（t，s）、B（t，s）和C（t，s）满足以下常微分方程：At（t，s）+p2（1- p） σS+2“-λ+p（^∑（t）+σSσuρ）σS（1- p） #A（t，s）+2（^∑（t）+σsσuρ）σSA（t，s）=0，（3.4）Bt（t，s）+”-λ+p（^∑（t）+σSσuρ）σS（1- p） #B（t，s）+2λ′uA（t，s）+2（^∑（t）+σsσuρ）σSA（t，s）B（t，s）=0，（3.5）Ct（t，s）+λ′uB（t，s）+∑（t）+σSσuρ2σSB（t，s）+2A（t，s）= 0，（3.6），终端条件A（s，s）=B（s，s）=C（s，s）=0。附录A中报告了ODE（3.4）、（3.5）、（3.6）的显式解∈ [k，T]，我们可以通过Dt：{（x′，z′）来确定对（x，z）的有效域∈ (0, +∞) × [0, +∞); x′≥ m（t）z′}，其中k≤ t型≤ THJB方程（3.2）在[k，T]×Dt×R thatV（T，x，z，η）=hZTt上有一个经典解1+δ（s）m（s）聚丙烯-1expA（t，s）η+B（t，s）η+C（t，s）dsi1-p×[（x-m（t）z）]pp.（3.7）备注3.1。V（t，x，z，η）的有效域要求对最优财富过程^x有一些约束*tand习惯形成过程Z*tsuch that^X*t型≥ m（t）Z*t对于t∈ [k，T]。

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2022-6-14 06:57:53

特别是，我们必须实施最初的财富习惯预算约束≥ m（k）zk在初始时间k。定理3.1。[验证定理]如果初始预算约束^Xk≥ m（k）zk在时间k时，HJB方程的唯一解（3.7）等于（3.1）中定义的值函数，即V（k，x，z，η）=bV（k，x，z，η）。此外，最优投资策略π*tand最优消费政策c*皮重由π在反馈表中给出*t=π*（t，^X*t、 Z*t、 ^ut）和c*t=c*（t，^X*t、 Z*t、 ut），k≤ t型≤ T函数π*（t，x，z，η）：[k，t]×Dt×R→ R由π给出*（t，x，z，η）=η(1 - p） σS+∑（t）+σSσuρσSNη（t，η）N（t，η）（十）- m（t）z），（3.8）和函数c*（t，x，z，η）：[k，t]×Dt×R→ R+由C给出*（t，x，z，η）=z+（x-m（t）z）1+δ（t）m（t）1.-pN（t，η）。（3.9）最优财富过程^X*t、 k级≤ t型≤ T、由^X给出*t=（x- m（k）z）N（t，ut）N（k，η）expZtk（μu）2（1- p） σSdu+Ztk^uu（1- p） σSd^Wu+ m（t）Z*t、（3.10）4。外部最优停车问题4.1。随机Perron方法。接下来我们研究外部最优进入问题。回想一下，^Xτ=X- κτ，Zτ=zand∑（τ）=0均取为参数。我们的目标是解决一个最优停止问题，其中u是唯一的底层状态过程。备注4.1。回想一下，内部值函数bv的形式如（3.7）所示。此外，根据备注A.1，函数A（t，s）≤ 0和B（t，s）≤ 0英寸（3.7），因为p<0。

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2022-6-14 06:57:56

也就是说，如果我们将bv（τ，^uτ）作为输入^uτ的函数，则它在^uτ中不是全局凸的或凹的∈ R因为函数expA（t，s）η+B（t，s）η+C（t，s）在变量η中不是全局凸或凹∈ R、这取决于A（t，s）和B（t，s）的值。因此，（2.7）中的复合值函数v（t，η）在η中不是全局凸或凹的∈ R、这实际上取决于所有模型参数。本文选择应用随机Perron方法来验证复合问题的值函数是某些变分不等式的唯一粘性解。我们首先介绍了随机半解集V+和V-并证明v-≤电动汽车≤ v+，其中v-和v+在（4.2）和（4.3）中定义。利用随机Perron方法，我们可以证明v+是一个有界的上半连续（u.s.c.）粘性亚解，v-是有界的下半连续（l.s.c.）粘度上解。最后，我们证明了比较原理，即如果我们有任何有界andu。s、 c.粘度亚解u和有界，以及（2.10）的l.s.c.粘度上解v，我们必须有以下定理u≤ v、因此v+≤ v-, 从而得出预期的结论-=eV=v+，值函数是唯一的粘度解。接下来，我们将介绍随机半解的定义，其主要来源于[4]。定义4.1。用V+表示的PDE（2.10）的随机超解集是函数V:[0，T]×R的集合-→ 具有以下性质的R：（i）v是u.s.c.，有界于[0，T]×R和v（T，η）≥bV（t，x- k t，z，η）表示任何（t，η）∈ [0，T]×R.（ii）各（T，η）∈ [0，T]×R和任何停止时间T≤ τ∈ T，我们有v（τ，uτ）≥ E[v（τ，uτ）| Fτ]，P-a.s.，对于任何τ∈ T和τ≥ τ.

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2022-6-14 06:57:59

也就是说，沿SDE（2.2）解的函数v在完全信息过滤（Ft）t下是可分解的∈τ和T之间的[0，T]。定义4.2。P DE（2.10）的随机子解集，用V表示-, 是函数SV的集合：[0，T]×R-→ 具有以下性质的R：（i）v是l.s.c.，有界于[0，T]×R和v（T，η）≤ 0表示任何η∈ R、（ii）对于每个（t，η）∈ [0，T]×R和任何停止时间T≤ τ∈ T，我们有v（τ，uτ）≤ E[v（τ∧ζ, uτ∧ζ） | Fτ]，P-a.s.，对于任何τ∈ T和τ≥ τ. 也就是说，沿（2.2）的解的函数v在完全信息过滤（Ft）t下是可分割的∈[0，T]介于τ和ζ之间，其中ζ：=inf{T∈ [τ，T]：v（T，uT；x- κt，z）≥bV（t，x- κt，z，ut）}。（4.1）备注4.2。我们注意到，最优停止问题的随机超解和随机子解的定义是不对称的，这与[4]中的类似定义一致。产生这些差异的主要原因是（4.1）中斯内尔包络过程的自然超鞅性质及其在初始时间和第一次击中时间ζ之间的鞅性质。也就是说，我们自然需要v（t，η）≥bV（t，x-κt，z，η）表示所有（t，η）∈ [0，T]×R包括随机超解定义4.1第（i）项中的终止时间T，但我们只需要v（T，η）≤bV（T，x- k t，z，η）=0在定义4.2第（i）项中随机子解的终点时间t。这些比较结果以及上鞅和下鞅的性质将对建立期望的三明治结果起重要作用-≤电动汽车≤ 引理4.4中的v+。引理4.1。bV（t，x- κt，z，η；0）有界且连续（t，η）∈ [0，T]×R.证明。对于固定的x和z，很明显bv（t，x-κt，z，η）in（3.7）是连续的，bv（t，x-κt，z，η）≤所以我们只需要证明bv是下界的。

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2022-6-14 06:58:02

根据附录A，我们知道A（u）≤ 0，B（u）≤ 0和C（u）≤ K代表一些K≥ 0，因为p<0。因此，我们获得A（u）η+B（u）η+C（u）≤ K对于某些K>0，它遵循bv（t，x- κt，z，η）的下界为常数（t，η）∈ 【0，T】×R，p＜0。因为看到0是微不足道的∈ 五、-和0∈ V+，我们得到以下结果。引理4.2。V+和V-是非空的。定义4.3。我们定义了-:= su pp公司∈五、-p、（4.2）v+：=infq∈V+q.（4.3）类似于引理2.2。在[2]中，下一个结果成立。引理4.3。我们有v-∈ 五、-和v+∈ V+。我们有了第一个重要的三明治结果。引理4.4。我们有v-≤电动汽车≤ v+。证据对于每个v∈ V+，让我们考虑τ=t≥ 定义4.1中的0。对于任意τ≥ t、我们有v（t，η）≥E【v（τ，uτ）| Ft】≥ E[bV（τ，x- κτ，z，uτ）| Ft]，这得益于定义4.1中的超马丁格尔性质。因此v（t，η）≥ esssupt公司≤τE[bV（τ，x- κτ，z，uτ）| Ft]。这意味着v（t，η）≥从eV（t，η）和henceeV的定义来看，eV（t，η）≤ v+根据（4.3）中的定义。另一方面∈ 五、-, 取τ=t≥ 0在定义4.2中，我们有v（t，η）≤ E[v（τ∧ ζ, uτ∧ζ） | Ft]对于任何τ≥ t由于定义4.2中的子可锻属性。特别是，利用ζ的定义，我们进一步得到了v（t，η）≤ E[v（τ∧ ζ, uτ∧ζ） |英尺]≤ E[bV（τ∧ ζ、 x个- f（τ∧ ζ），z，uτ∧ζ） |英尺]≤ esssupτ≥tE[bV（τ，x-κτ，z，uτ）| Ft]=eV（t，η）。接下来就是EV≥ v-因为（4.2）。综上所述，我们有他们的IneQuality v-≤电动汽车≤ v+。定理4.1。v-在定义4.3中，是（F（t，η，v，vt，vη，vηη）的有界l.s.c.粘度超解≥ 0，on[0，T）×R，v（T，η）≥ 0，对于任何η∈ R、（4.4）和定义4.3中的v+是（F（t，η，v，vt，vη，vηη）的有界u.s.c.粘度子解≤ 0，on[0，T）×R，v（T，η）≤ 0，对于任何η∈ R、（4.5）证明。我们遵循并修改了[2，4]中的一些参数，以适应我们的设置。（i） v~+的子溶液性质。

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2022-6-14 06:58:05

首先，（4.3）和引理4.3中的定义意味着v+是有界的和上半连续的。假设v+不是粘度子解，则存在一些内点（\'t，\'η）∈ （0，T）×R和一个C1,2-测试函数И：[0，T]×R→ R使v+- ^1达到严格的局部最大值，该值等于零，且F（\'t，\'η，v，v\'t，v\'η，v\'η）>0。由此得出（v+（\'t，\'η）-bV（(R)t，x- f（\'t），z，\'η）>0，-φt（\'t，\'η）- LИ（(R)t，(R)η）>0。存在一个足够小的球B（\'t，\'η，ε(-φt型- LИ>0 onB（\'t，\'η，ε），Д>v+on B（\'t，\'η，ε）\\（\'t，\'η）。此外，asД（\'t，\'η）=v+（\'t，\'η）>bV（\'t，x- f（'t），z，'η），Д是连续的，bv是连续的，我们可以得出，对于一些足够小的ε，我们有- ε ≥bV onB（\'t，\'η，ε）。因为v+- ν是上半连续的，且B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）是紧的，因此存在δ>0，从而-δ ≥ v+onB（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）。如果我们选择0<ξ<δ∧ε、函数Дξ=Д- ξ满足以下条件：-φξt型- LИξ>0 on B（\'t，\'η，ε），Дξ>v+on B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε），Дξ≥bV onB（\'t，\'η，ε），和Дξ（\'t，\'η）=v+（\'t，\'η）- ξ.让我们用vξ定义一个辅助函数：=（v+∧ ДξonB（\'t，\'η，ε），v+外部B（\'t，\'η，ε）。很容易检查vξ是上半连续的，并且vξ（\'t，\'η）=Дξ（\'t，\'η）<v+（\'t，\'η）。我们认为vξ满足终端条件。为此，我们选取一些ε>0满足T>T+ε，并回顾v+满足终端条件。然后我们继续证明vξ∈ V+获得一个矛盾。让我们计算（t，η）并回忆一下（（us）t≤s≤T、（Ws，Bs）T≤s≤TOhm , F、 P，（Fs）t≤s≤T）∈ χ、其中χ是所有弱解的非空集。我们需要证明过程（vξ（s，us））t≤s≤这是一个超级马丁加里昂(Ohm, P）关于（Fs）t≤s≤T

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2022-6-14 06:58:08

我们首先假设（v+（s，us））t≤s≤这是正确的连续路径。在这种情况下，vξ是区域[t，t]×R\\B（\'t，\'η，ε）的局部上鞅，因为它等于右连续上鞅（v+（s，us））t≤s≤T、作为过程（vξ（s，us））T≤s≤是区域B中两个局部上鞅（\'t，\'η，ε）之间的最小值，它是一个局部上鞅。当两个区域【t，t】×R\\B（\'t，\'η，ε）和B（\'t，\'η，ε）在开放区域上重叠时，（vξ（s，us））t≤s≤这实际上是一个超级角色。如果过程（v+（s，us））t≤s≤它不是右连续的，我们可以考虑它的右连续极限，将其转换为上面讨论的特例。特别是对于给定的有理数r和固定的0≤ t型≤ r≤ s≤ T和η∈ R、它仍然显示过程（Yu）t≤u≤T： =（vξ（u，uu））T≤u≤t在r和s之间是一个上鞅，它等价于表示Yr≥ E【Ys | Fr】。让我们表示Gu：=v+（u，uu），r≤ u≤ s，并在时间s后冻结过程G，即Gu：=v+（s，us），s≤ u≤ TAs（Gu）r≤u≤t可能不是右连续的，根据[19]中的命题1.3.14，我们可以考虑其右连续修改为g+u（ω）：=limu′→u、 u′>u，u′∈QGu′（ω），r≤ u≤ T、注意，G+是关于F的右连续上鞅，满足通常条件。由于v+是上半连续的，并且在s之后过程保持不变，我们得出结论，Gr≥G+r，Gs=G+s。

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2022-6-14 06:58:11

回想一下，v+<Д- δ在开放区域B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε），如果我们在该区域内取适当的限制并使用连续函数φ，则有g+u<φξ（u，uu），if（u，uu）∈ B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）。因此，如果我们考虑过程+u：=（G+u，（u，uu）6∈B（\'t，\'η，ε），G+u∧ Дξ（u，uu），（u，uu）∈ B（\'t，\'η，ε），我们还有Yr≥ Y+r，Ys=Y+s。因为G+有正确的连续路径，我们可以得出结论，Y是这样的超鞅≥ Y+r≥ E[Y+s | Fr]=E[Y | Fr]。（ii）v+的终端条件。对于某些η∈ R、我们假设v+（T，η）>0，并将显示矛盾。当bv是continuouson R时，我们可以选择ε>0，使得0≤ v+（T，η）- ε和η- η| ≤ ε. 关于紧集（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩ （[0，T]×R），v+以v+的定义为界+∈ V+。此外，由于v+在这个紧集上是上半连续的，我们可以发现δ>0足够小，使得v+（T，η）+ε4δ≥ ε+sup（t，η）∈（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩（[0，T]×R）v+（T，η）。（4.6）接下来，对于k>0，我们定义函数Дδ，ε，k（t，η）：=v+（t，η）+η- η|δ+k（T- t）。对于k largeenough，我们推导出-Дδ，ε，kt- LИδ，ε，k>0 onB（T，η，ε）。此外，我们得到了（4.6）Дδ，ε，k的以下结果≥ ε+v+on（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩ （[0，T]×R）和Дδ，ε，k（T，η）≥ v+（T，η）≥ |η为0+ε-η| ≤ ε.现在，我们可以找到ξ<ε，并定义如下函数，vδ，ε，k，ξ：=（v+∧ （Дδ，ε，k- ξ） onB（T，η，ε），v+外部B（T，η，ε）。通过遵循（i）中的类似论点，可以得到vδ，ε，k，ξ∈ V+，但Vδ，ε，k，ξ（T，η）=V+（T，η）-ξ、这导致了矛盾。（三）v的超溶液性质-.我们只提供一个证明的草图，因为它本质上类似于步骤（i）。S向上推v-不是粘度超解，则存在一些内点（\'t，\'η）∈ （0，T）×R和一个C1,2-测试函数ψ：[0，T]×R→ R使v-- ψ达到严格的局部最小值，该值等于零。

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2022-6-14 06:58:15

AsF（\'t，\'η，v，v\'t，v\'η，v\'η）<0，有两种不同的情况需要检查。案例（一）五-（\'t，\'η）-bV（(R)t，x- f（\'t），z，\'η）<0。这已经导致了与v的矛盾-（\'t，\'η）≥bV（(R)t，x- f（\'t），z，\'η）的定义-.案例（二）-ψt（\'t，\'η）-Lψ（\'t，\'η）<0。我们可以找到一个足够小的球B（\'t，\'η，ε），以便-ψt型-Lψ<0onB（\'t，\'η，ε）。此外，作为v-- ψ是下半连续的，B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）是紧的，存在一个δ>0使得ψ+δ≤ v-onB（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）。然后我们可以选择ξ∈ （0，δ）ψξ=ψ+ξ满足三个性质的小值：（i）-ψξt型- Lψξ<0 onB（\'t，\'η，ε）；（ii）我们有v-≥ ψ+δ>ψ+ξ=ψξonB（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε）；（iii）ψξ（\'t，\'η）=ψ（\'t，\'η）+ξ=v-（\'t，\'η）+ξ>v-（\'t，\'η）。因此，我们可以通过vξ：=（v-∨ ψξonB（\'t，\'η，ε），v-外部B（\'t，\'η，ε）。通过重复步骤（i）中的类似论证，我们得到vξ∈ 五、-通过显示（vξ（s，us））t≤s≤这是asubmartingale。如果v-有正确的连续路径，证明很简单。一般来说，根据[19]中的命题1.3.14，我们可以考虑右连续子鞅G+u（ω）：=limu′→u、 u′>u，u′∈QGu′（ω），ω∈ Ohm*, r≤u≤ T，其中Gu：=v-（u，uu），r≤ u≤ 与步骤（i）类似，我们注意到G+是右连续子鞅，因此G≤ G+r，Gs=G+s。G+u>ψξ（u，uu），if（u，uu）∈B（\'t，\'η，ε）\\B（\'t，\'η，ε），我们可以定义过程+u：=（G+u，（u，uu）6∈B（\'t，\'η，ε），G+u∨ ψξ（u，uu），（u，uu）∈B（\'t，\'η，ε）。我们可以得出结论，Yr≤ Y+r，Ys=Y+sand Y是Y的一个子鞅≤ Y+r≤ E[Y+s | Fr]=E[Ys | Fr]，完成证明。（iv）v的终端条件-.对于某些η∈ R、假设v-（T，η）<0，我们将显示一个矛盾。当bv是连续的，我们可以选择ε>0，使得0≥ v-（T，η）+ε和|η- η| ≤ ε.

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2022-6-14 06:58:19

与步骤（ii）类似，我们可以发现δ>0足够小，以至于v-（T，η）-ε4δ≤ inf（t，η）∈（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩（[0，T]×R）v-（t，η）- ε.（4.7）然后，对于k>0，我们考虑ψδ，ε，k（t，η）：=v-（T，η）-|η- η|δ- k（T- t）。对于足够大的k，我们有-ψδ，ε，kt- Lψδ，ε，k<0 onB（T，η，ε）。此外，根据（4.7），我们有ψδ，ε，k≤ v-- εon（B（T，η，ε）\\B（T，η，ε））∩ （[0，T]×R）和ψδ，ε，k（T，η）≤ v-（T，η）≤ -ε表示|η-η| ≤ ε.接下来，我们可以找到ξ<ε，并通过vδ，ε，k，ξ来定义函数：=（v-∨ （ψδ，ε，k+ξ）onB（T，η，ε），v-外侧B（T，η，ε）。与步骤（iii）类似，我们得到vδ，ε，k，ξ∈ 五、-, 但vδ，ε，k，ξ（T，η）=v-（T，η）+ξ，这给出了一个矛盾。然后让我们反转时间，考虑s：=T- t、然而，为了表示的简单性，如果没有混淆的话，让我们继续使用t代替s。变分不等式可用min（eV（t，η；x）表示- f（T- t），z）-bV（t，x- f（T-t），z，η），eV（t，η）t型- LeV（t，η））=0，（4.8），其中LeV（t，η）=-λ(η - u)电动汽车η（t，η）+σu电动汽车η（t，η），条件ev（0，η）=0。让我们将其等效表示为（F（t，η，v，vt，vη，vη）=0，on（0，t）×R，v（0，η）=bV（0，x- f（0），z，η），对于任何η∈ R、（4.9）式中，F（t，η，v，vt，vη，vη）：=minnv-bV公司，vt型- Lvo。我们还有连续区域C={（t，η）∈ （0，T）×R:eV（T，η；x- f（T- t），z）>bV（t，x-f（T- t），z，η）}。提案4.1。[比较原理]设u，v分别为（4.9）的u.s.c粘度下解和l.s.c粘度上解。如果u（0，η）≤ v（0，η）在R上，那么我们有u≤ v on（0，T）×R.Proof。我们将遵循并修改[5，28]中的一些参数，以适应我们的设置。假设u（0，η）≤v（0，η）在R上，我们将证明u≤ v在[0，T]×R上。我们首先构造系统（4.9）的严格上解，并适当地扰动v。让我们回顾一下≤ 0，B≤ 0和C在备注A.1中以某个常数为界。

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2022-6-14 06:58:22

此外，我们知道bv（t，x- κt，z，η）≤ 0.让我们将一个常数固定到一个足够小的值，使λ>Cσu，并设置ψ（t，η）=Cet+eCη，其中一些C>1。我们有ψt型- Lψ=Cet+Ch2（λ- Cσu）η-2λuη -σuieCη≥Cet+C-2(λ -Cσu）σu- λu2(λ - Cσu）>C+C-2(λ -Cσu）σu- λu2(λ - Cσu）。然后我们可以选择C>1足够大，以便C+C-2(λ-Cσu）σu-λu2(λ-Cσu）>1，这保证了ψt型- Lψ>1。（4.10）让我们定义v∧：=（1- ∧）v+∧ψ在[0，T]×R上，对于任何∧∈ (0, 1). 它跟在V∧后面-bV=（1- ∧）v+∧ψ-bV=（1- ∧）v+∧（Cet+eCη）-bV公司≥ (1 - ∧v+∧（Cet+eCη）+∧bV-bV>（1- ∧）（v）-bV）+∧C>∧，（4.11），其中我们使用v-bV公司≥ 最后一个不等式为0。从（4.10）和（4.11），我们可以推导出∧的∈ （0，1），v∧是一个上解v∧-bV公司，v∧t型- Lv∧≥ Λ.（4.12）为了证明比较原则，有必要证明sup（u- v∧）≤ 0表示所有∧∈ （0，1），因为通过将∧设为0获得所需结果。为此，我们将通过显示一个矛盾并假设存在一些∧来证明这一主张∈ （0，1）使得M：=sup（u- v∧）>0。很明显，u、v和BV具有相同的生长条件：鉴于A、B、C和BV的显式形式，可以得出如下结论：对于某些K<0的情况，BV在t中有生长条件，对于某些K<0的情况，BV在ηaseKη中有生长条件；另一方面，ψ在t中有生长条件，在η中有生长条件，在eCη中有生长条件。因此，我们有u（t，η）-v∧（t，η）=（u-(1-∧）v-∧ψ）（t，η）至-∞ 作为t→ T、 η→ ∞.因此，u.s.c.功能（u- v∧）达到其最大值M。让我们考虑u.s.c.函数Φε（t，t′，η，η′）=u（t，η）-v∧（t′，η′）-φε（t，t′，η，η′），其中φε（t，t′，η，η′）=2ε（（t-t′）+（η-η′），ε>0，且（tε，t′ε，ηε，η′ε）达到Φε的最大值。

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2022-6-14 06:58:25

我们有mε=maxΦε=Φε（tε，t′ε，ηε，η′ε）→ M和φε（tε，t′ε，ηε，η′ε）→ ε时为0→ 0.（4.13）让我们回顾一下粘度溶液在超级喷射和主题方面的等效定义。特别是，我们将“P2，+u（\'t，\'η）”定义为元素集（\'q，\'k，\'M）∈ R×R×R满足u（t，η）≤ u（\'t，\'η）+q（t-\'t）+\'k（η）-η）+M（η-η）+o（（t-\'t）+（η-η)). 我们定义了“P2，-v∧（\'t，\'η）类似。感谢Crandall-Ishii\'slema，我们可以找到Aε，Bε∈ R使得（tε- t′εε，ηε- η′ε，Aε）∈\'P2，+u（tε，ηε），（tε- t′εε，ηε-η′ε，Bε）∈(R)P2，-v∧（t′ε，η′ε），σ（ηε）Aε- σ（η′ε）Bε≤ε(σ(ηε) -σ(η′ε)).通过结合u的粘性亚溶解性质（4.5）和v∧的粘性严格上解性质（4.12），我们得到了Minnu（tε，ηε）-bV（tε，x- f（tε），z，ηε），tε-t′ε-ηε- η′εb（tε，ηε）-σ（ηε）Aεo≤ 0，（4.14）minnv∧（t′ε，η′ε）-bV（t′ε，x-f（t′ε），z，η′ε），tε- t′ε-ηε- η′εb（t′ε，η′ε）-σ（η′ε）Bεo≥ ∧，（4.15），其中b（tε，ηε）=-λ(ηε- u），σ（ηε）=σu，b（t′ε，η′ε）=-λ(η′ε- u）和σ（η′ε）=σu。如果u-bV公司≤ 0英寸（4.14），则因为v∧-bV公司≥ ∧在（4.15）中，我们得到u- v∧≤ -∧<0，与sup（u）矛盾-v∧）=M>0。另一方面，如果u-bV>0 in（4.14），那么我们有（tε-t′ε-ηε-η′εb（tε，ηε）-σ（ηε）Aε≤ 0，tε-t′ε-ηε-η′εb（t′ε，η′ε）-σ（η′ε）Bε≥ Λ.此外，结合上述两个不等式，我们得出ηε- η′ε（b（tε，ηε）-b（t′ε，η′ε））+2ε（σ（ηε）-σ(η′ε))≥ηε- η′ε（b（tε，ηε）-b（t′ε，η′ε））+（σ（ηε）Aε- σ（η′ε）Bε）≥ Λ.第一个不等式由Crandall Ishii引理得出。此外，通过让ε→ 0，我们得到ηε-η′ε（b（tε，ηε）-b（t′ε，η′ε））+2ε（σ（ηε）- 由于（4.13），σ（η′ε））=0。因此，我们有0≥ ∧>0，这导致了冲突，因此我们的索赔成立。引理4.5。对于所有（t，η）∈ C在延拓区域，eV在（2.7）中具有H¨older连续导数。证据该证明紧随【16】第6.3节的论点。

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2022-6-14 06:58:28

首先，让我们回顾一下（4.16）电动汽车t（t，η）+λ（η- u)电动汽车η（t，η）-σu电动汽车η（t，η）=0，在C上。粘度溶液eV到（4.8）的定义给出eV是（4.16）的上解。另一方面，对于任何（\'t，\'η）∈ C、设ν为Ctest函数，使得（\'t，\'η）为v的最大值-有ev（\'t，\'η）=~n（\'t，\'η）。根据C的定义，我们有EV（\'t，\'η）>bV（\'t，x- f（\'t），z，\'η），因此φt（\'t，\'η）+λ（η- u)φη（\'t，\'η）-σuφη（\'t，\'η）≤ 0，这是由于EV至（4.8）的粘度子溶液特性。因此，EV是一个粘度亚溶液，因此粘度溶液为（4.16）。让我们考虑一个初始边值问题：-wt（t，η）- λ(η - u)wη（t，η）+σuwη（t，η）=Q上的0∪ BT，w（0，η）=B上的0，w（t，η）=bV（t，x- 这里，Q是C中任意有界的开放区域，Q位于条带0<t<t中。B=(R)Q∩ {t=0}，~BT=(R)Q∩ {t=t}，BT表示▄BT的内部，B表示▄B的内部，sde注意到Q的边界位于条带0中≤ t型≤ [16]中的定理3.6给出了Q上解w的存在性和唯一性∪ BTto（4.17），溶液w具有H¨older连续导数wt，wη和wηη。因为溶液w是粘度为Q上（4.16）的溶液∪ BT，根据粘度解的标准唯一性结果，我们知道在Q上ev=w∪ BT.作为Q C是任意的，因此eV在连续区域C中具有相同的性质。因此，eV具有H¨older连续导数evt、eVη和eVη。最后，我们可以证明定理2.1。证据我们已经展示了不等式v-= 支持∈五、-p≤电动汽车≤ v+=infq∈引理4.4中的V+q。利用命题4.1中的比较结果，我们还得到了v+≤ v-. 把所有的部分放在一起，我们得出结论：v+=eV（t，η）=v-因此，值函数ev（t，η）是HJBVI（2.9）的唯一粘度解。

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2022-6-14 06:58:31

通过遵循[13]中定理1的类似论点，确定Ft适应的停止时间τ*定义的In（2.11），It^o-Tanaka公式（见定理IV.1.5，【32】的推论IV.1.6）可以应用于V（t，ut）的H¨older连续导数v（t，η），我们得到bv（τ*∧ τn，x- κτ*∧ τn，z，uτ*∧τn）=eV（t，ut）+hbV（τ*∧ τn，x- κτ*∧ τn，z，uτ*∧τn）-eV（τ*∧ τn，uτ*∧τn）i+Zτ*∧τntσu电动汽车η（s，us）dBs+Zτ*∧τnt“eV（s，us）t+LeV（s，us）#ds，其中τn↑ T为定位序列。通过采用条件期望和τ的定义，seV（t，η）满足HJBVI（2.9）*在（2.11）中，我们得到ethbv（τ*∧ τn，x- κτ*∧ τn，z，uτ*∧τn）1{τ*≤τn}i+EtheV（τn，uτn）1{τ*>τn}i=eV（t，ut）通过取τ与支配收敛定理的极限，我们可以验证ethbv（τ*, x个- κτ*, z、 uτ*)i=eV（t，ut），因此τ*是最佳进入时间。最后，讨论了t=0和τ之间的鞅性质*遵循随机次解和随机上解的定义。此外，我们还可以很容易地验证复合值函数的以下灵敏度结果。引理4.6。我们对值函数v（t，η）具有以下敏感性：（i）假设α>和δ>0都是定义习惯形成过程的常数，例如δ>α。我们得到ev（t，η；α，δ）在δ中减少，在α中增加。（ii）如果初始习惯Zin增加，则值函数V（t，η）减少。（iii）如果信息成本率κ增加，则任何t<t的值函数v（t，η）减少。证据通过定义V（t，η）和V（t，x）的显式形式- κt，z，η）in（3.7）和m（t）in（2.8），对于给定的δ>α，很明显bv（t，x-κt，z，η）在δ中减少，在α中增加，这意味着ev（t，η）具有相同的灵敏度特性。同样，很明显bv（t，x- κt，z，η）减小，而锌增加，henceeV（t，η）在z减小。

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2022-6-14 06:58:34

最后，bV（t，x- k t，z，η）如果x- κt减少，很容易得出ev（t，η）在κ中减少的结论。附录A.辅助常微分方程的显式解决方案我们的常微分方程问题（3.4）、（3.5）、（3.6）与[8]中的终端财富优化问题的常微分方程类似，其中有一些深刻的观察结果表明，我们可以通过用常数系数解出以下五个辅助常微分方程来解决这些具有时间依赖性效率的常微分方程，详细讨论见[8]第4节。引理A.1。对于k≤ t型≤ s≤ T，让我们考虑a（T，s）、b（T，s）、l（T，s）、w（T，s）和g（T，s）的以下辅助常微分方程：at=-2(1 - p+pρ）1-pσua+2λ -2pρσu（1- p） σS一-p2（1- p） σS，（A.1）bt=-2(1 - p+pρ）1-pσuab- 2λ′ua+λ -pρσu（1- p） σSb、（A.2）lt=- σua-(1 - p+pρ）σu2（1- p） b类- λ′ub，（A.3）重量=- 2(1 - ρ） σuw+2λσS+ρσuσSw+2σS，（A.4）gt=σu（1- ρ）（w）- a）。（A.5）终端条件A（s，s）=b（s，s）=l（s，s）=w（s，s）=g（s，s）=0。直接替换和计算表明，常微分方程（3.4）、（3.5）、（3.6）的解分别由a（t，s）：=a（t，s）（1）给出- p）1.- 2a（t，s）^∑（t）, B（t，s）：=B（t，s）（1- p）1.-2a（t，s）^∑（t）,C（t，s）：=1-phl（t，s）+∑（t）1.-2a（t，s）^∑（t）b（t，s）-1.-图片博客（photo blog）1.- 2a（t，s）^∑（t）-图片博客（photo blog）1.-2w（t，s）^∑（t）- pg（t，s）i.（A.6）按照【21】中的相同参数，我们实际上可以明确地求解辅助常微分方程（A.1）、（A.2）、（A.3）、（A.4）和（A.5），顺序是首先求解简单常微分方程（A.1）和（A.4）得到A（t，s）和w（t，s），然后通过求解常微分方程（A.2）和（A.5）得到b（t，s）和g（t，s）。最后，我们通过求解ODE（A.3）得出l（t，s）。

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2022-6-14 06:58:38

因此我们可以得到a（t，s）=p（1-e2ξ（t-s））2（1）- p） σSh2ξ-(ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s） i，b（t，s）=pλ′u（1- eξ（t-s））（1- p） σSξh2ξ-(ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s））i，l（t，s）=p2（1- p） σSλ′uξ-σuγγ- ξ!（s）-t） +pλ′uh（ξ+2γ）e2ξ（t-s）- 4γeξ（t-s） +2γ- ξi2（1- p） σSξ2ξ - (ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s）（）+pσu2（1- p） σS（ξ-γ）日志2ξ -(ξ + γ)(1 - e2ξ（t-s））2ξeξ（t-s）,w（t，s）=-2σS1-e2ξ（t-s）（σsξ+λσs+ρσu）+（σsξ- λσS- ρσu）e2ξ（t-s），g（t，s）=对数（σsξ+λσs+ρσu）+（σsξ- λσS- ρσu）e2ξ（t-s） 2σsξeξ（t-s）哦！-(1 - p）（1）-ρ)2(1 - p+pρ）log（σSξ+λσS-ρσup1-p） +（σSξ-λσS+ρσup1-p） e2ξ（t-s） 2σsξeξ（t-s）哦！-ρλ（s-t） 2（1- p+pρ）-ρσu（s- t） 2（1- p+pρ）σS，其中 := λ-2λpρσu（1- p） σS-pσu（1- p） σS>0，（A.7）和ξ：=√ =qγ- γγ，ξ：=q（1- ρ） σu+（λσS+ρσu）σS，γ：=（1）- p+pρ）1- pσu，γ：=-λ+pρσu（1- p） σS，γ：=p（1- p） σS。此外，如果γ>0，或γ>0，或γ<0，则很容易看出a、b、l、w和g是全局有界的。备注A.1。假设p<0，（A.7）显然成立，我们得到γ<0。我们可以看到a（t，s）≤ 0和b（t，s）≤ 0有界，1有界-2a（t，s）^∑（t）>1和1-w（t，s）^∑（t）>1。通过（A.6）中的表达式，我们可以得出A（t，s），B（t，s）和C（t，s）都在k上有界的结论≤ t型≤ s≤ T以及asA（T，s）=a（T，s）（1-p）（1）-2a（t，s）^∑（t））≤ 0和B（t，s）=B（t，s）（1-p）（1）-2a（t，s）^∑（t））≤ 0，代表k≤ t型≤ s≤ T附录B.验证理论证明我们首先表明，消费约束≥ zt在下一个引理中暗示了对受控财富过程的约束。引理B.1。当且仅当初始预算约束x≥ m（k）z已满。此外，对于每对（π，c）∈ A、受控财富过程^Xπ，ct满足约束^Xπ，ct≥ m（t）Zt，k≤ t型≤ T、（B.1）其中确定性函数m（T）在（2.8）中定义，并指在T证明时每单位生活水平的生活消费成本。

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2022-6-14 06:58:41

首先假设x≥ m（k）z，我们总是可以取πt≡ 0，且ct=zeRtk（δ（v）-α（v））dvfort∈ [k，T]。很容易验证^Xπ，ct≥ 0和ct≡ Ztso使（π，c）∈ A、因此A不是空的。另一方面，从t=k开始，财富x和生活水平z，上瘾习惯约束ct≥ Zt，k≤ t型≤ T意味着消耗量必须始终超过满足ct=（δ（T））的生存消耗量ct=Z（T；\'ct）- α（t））(R)ctdt，(R)ck=z，k≤ t型≤ T、（B.2）事实上，由于ztsaties dZt=（δtct- αtZt）dt，Zk=z≥ 0，约束ct≥ ZT意味着DZT≥ （δtZt- αtZt）dt，Zk=z.（B.3）通过（B.2）和（B.3），可以得到d（Zt- \'\'ct）≥ （δt- αt）（Zt- (R)ct）dt和Zk- \'ck=0，从中我们可以得到eRtk（δs-αs）ds（Zt- \'\'ct）≥ 0，k≤ t型≤ T接下来是ct≥ \'ct，相当于toct≥ zeRtk（δ（v）-α（v））dv，k≤ t型≤ T、（B.4）定义指数局部鞅eht=exp-Rtk^uvσSd^Wv-Rtk^uvσSdv, k≤ t型≤ T由于^ut遵循动力学（2.4），我们得出^ut=e-tλη+(R)u（1- e-tλ）+Ztkeλ（u-t）∑（u）+σSσuρσSd^Wu。类似于[19]中推论3.5.14和推论3.5.16的证明，Beneˇs条件暗示Eh是关于(Ohm, FS，P）。现在，定义概率度量值asdePdP=eHT，Girsanov定理指出FWT：=^Wt+Rtk^uvσSdv，k≤ t型≤ T是（eP，（FSt）k下的布朗运动≤t型≤T）。我们可以将财富过程改写为^XT+RTkcvdv=x+RTkπvσSdfWv。正如我们所看到的≥ 0，很容易看出rtkπvσSdfWvis是一个超级大分子良态(Ohm, FS、eP）。通过在EP下取期望值，我们得到x≥eEhRTkcvdvi。由于不等式（B.4），我们进一步得到了x≥ zeEhRTkexpRvk（δ（u）- α（u））dudvi。由于δ（t）和α（t）是确定性函数，我们得到x≥ m（k）z。

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