m（s），δ（s）也是连续函数，因此在[k，T]上有界。因此N（k，η）≤ kexp（kη），对于某些常数k，k>1。因此，存在一些常数k，\'k>1，这样SUPN1-pτn∧T≤ 支持∈[k，T]kexp（k^ut）1.-p≤“kexp”ksupt∈[k，T]uT！。过程^utsatis fies（2.4），导致^ut=e-tλη+(R)u（1- e-tλ）+Ztkeλ（u-t）∑（u）+σSσuρσSd^Wu。因此，存在足够大的正常数l和l>1，因此supt∈【k，T】uT≤ l+支持∈[k，T]l^Wt，T∈ [k，T]。利用B罗年运动的最大运行点分布，存在一些正常数“l>1”和“l”等支持1-pτn∧T≤“lE”exp（支持∈[k，T]\'l^Bt）\\<+∞.（B.9）最后，通过（B.8）和（B.9），我们可以得出结论supnV（τn∧ T、 ^Xτn∧T+，Zτn∧T、 ^uτn∧T）< +∞.支配收敛定理和N（T，^uT）=0意味着→∞超高压（τn∧ T、 ^Xτn∧T+，Zτn∧T、 ^uτn∧T） i=Ep（YT+）pN1-p（T，uT）= 将其与方程（B.7）和（πt，ct）相结合∈ A、 我们有v（k，x+，z，η；θ）≥ supπ，c∈AEZTk（cs- Zs）PPD=bV（k，x，z，η，θ）。注意V（t，x，z，η；θ）在变量x中是连续的→ 0，我们推导出v（k，x，z，η；θ）=lim→0V（k，x+，z，η）≥bV（k，x，z，η，θ）。另一方面，对于π*接地c*t根据（3.8）和（3.9），我们首先需要证明SD Ed^X*t=（π*tut- c*t） dt+σSπ*td^Wt，k≤ t型≤ T、 （B.10）当初始条件x>m（k）z时，允许一个满足约束^x的唯一强解*t> m（t）Z*t，k≤ t型≤ T表示Y*t=^X*t型-m（t）Z*t、 用It^o引理和c的代换*tusing（3.9），我们得到thatdY*t型=-1+δ（t）m（t）-p1级-pN+ut（1- p） σS+∑（t）+σSσuρσSNηN^utY*tdt公司+^ut（1- p） σS+∑（t）+σSσuρσSNηNY*td^Wt.让我们定义辅助过程Γt：=N（t，^ut）Y*t、 对于k≤ t型≤ T

它的引理给出dΓt=ΓtNt“Nt-λ（ut）- u）Nη+∑（t）+σSσuρ2σSNηη+^ut∑（t）+σSσuρp（1- p） σSNη+1+δ（t）m（t）-p1级-p+p^ut（1- p） σSN#dt+Γt-^ut（1-p） σSdWt.（B.11）当N（t，η）满足线性PDE（3.3），（B.11）减少为dΓt=Γthput2（1-p） σSidt+Γth-^ut（1-p） σSid^Wt，唯一强解的存在性得到验证，且Γk=N（k，η）x-m（k）z>0意味着Γt>0，k≤ t型≤ T它认为SDE（B.10）允许（3.10）中定义的唯一强解和解^X*t限制条件（B.1）。接下来，我们验证该对（π*t、 c类*t） 确实在容许空间A中。首先，通过定义（3.8）和（3.9），很明显π*接地c*皮重FST可逐步测量，且通过Y的路径连续性*t=^X*t型- m（t）Z*π的tand*接地c*t、 很容易证明rtk（π*t） dt<+∞ andRTkc*tdt<+∞, a、 还有，因为^X*t> m（t）Z*t，t型∈ [k，T]，根据c的定义*t、 消耗约束c*t> Z*t，t型∈ [k，T]是令人满意的。因此（π*t、 c类*t）∈ A、 给定（π*t、 c类*t） 如上所述，证明了v（k，x，z，η；θ）=E的等式Zτn∧Tk（c*t型- Z*t） ppdt+ 超高压（τn∧ T、 ^X*τn∧T、 Z*τn∧T、 ^uτn∧T） i.单调收敛定理给出了limn→+∞EhRτn∧Tk（c*t型-Z*t） ppdti=EhRTk（c*t型-Z*t） ppdti。此外，当V（t，x，z，η）<0乘以p<0时，Fatou引理意味着lim supn→+∞超高压（τn∧ T、 ^X*τn∧T、 Z*τn∧T、 ^uτn∧T） 我≤ 超高压（T，^X*T、 Z*T、 ^uT）i=0。因此V（k，x，z，η；θ）≤ EhRTk（c*t型-Z*t） ppdti公司≤bV（k，x，z，η，θ），完成证明。感谢Y.Yang和X.Yu获得香港理工大学研究资助，编号为P0031417。参考文献【1】AHEARNE，A.G.和Griver，W.L.和WARNOCK，F.E.（2004）。信息成本和国内偏好：美国持有外国股票的分析。国际经济学杂志。62 (2), 313–336.[2] BAYRAKTAR，E.和SIRBU，M.（2012年）。

随机Perron方法和使用粘度比较的无光滑性验证：线性情况。美国数学学会会刊。140, 3645-3654.[3] BAYRAKTAR，E.和SIRBU，M.（2013年）。Hamilton–Jacobi–Bellman方程的随机Perron方法。SIAM控制与优化杂志。51 ( 6), 4274–4294.[4] BAYRAKTAR，E.和SIRBU，M.（2014）。随机Perron方法和使用粘滞比较的无光滑验证：障碍问题和Dynkin对策。美国数学学会会刊。142 (4), 1399–1412.[5] BAYRAKTAR，E.和ZHANG，Y.（2015）。交易费用下终身破产概率问题的随机Perron方法。SIAM控制与优化杂志。53 (1), 91–113.[6] 比约克，T.和戴维斯，M.和兰德恩，C.（2010）。部分信息下的最优投资。运筹学的数学方法。71 (2), 371–399.[7] BO，L.和LIAO，H.和YU，X.（2019年）。部分信息和传染风险下的风险敏感信贷组合优化。预印本，可从arXiv获得：1905.08004。[8] BRENDLE，S.（2006年）。不完全信息下的投资组合选择。随机过程及其应用。116(5), 701–723.[9] BRENNAN，M.J.和XIA，Y.（2010）。持久性、可预测性和投资组合规划。定量财务和风险管理手册。289–318. 斯普林格。[10] CAMPBELL，J.Y.和CHAMPBELL，J.J.和CAMPBELL，J.W.和LO，A.W.和MACKINLAY，A.C.（1997）。金融市场的计量经济学。普林斯顿大学出版社。[11] CONSTANTINIDES，G.M.（1990年）。习惯形成：解决股权溢价之谜。政治经济学杂志。98 (3), 519–543.[12] DETEMPLE，J.和ZAPATERO，F.（1992年）。具有习惯形成的最优消费组合政策。MathematicalFinance。2 (4), 251–274.[13] DUCKWORTH，J.K.和ZERVOS，M.（2000年）。

具有进入和退出决策的投资模型。应用可能性杂志。37 (2), 547–559.[14] ENGLEZOS，N.和KARATZAS，I.（2009）。习惯形成的效用最大化：动态规划和随机偏微分方程。SIAM控制与优化杂志。48 ( 2), 481–520.[15] FAMA，E.F.和FRENCH，K.R.（1989年）。商业状况和股票和债券的预期回报。金融经济学杂志。25 (1), 23–49.[16] FRIEDMAN，A.（2012年）。随机微分方程及其应用。快递公司。[17] JANEˇCEK，K.和S^IRBU，M.（2012）。最佳投资，高水印性能费用。SIAM控制与优化杂志。50 (2), 790–819.[18] KANG，J.和STULZ，R.M.（1997）。为什么会有家庭偏见？日本外国投资组合股权分析。金融经济学杂志。46 (1), 3–28.[19] KARATZAS，I.和SHREVE，S.（1991年）。布朗运动与随机C al culus。数学研究生课程。第二届，斯普林格，纽约州纽约市。[20] KEPPO，J.和TAN，H.M.和ZHOU，C.（2019年）。智慧城市投资。预印本，可用athttps://dx.doi.org/10.2139/ssrn.3141043.[21]KIM，T.S.和OMBERG，E.（1996）。动态非近视投资组合行为。金融研究回顾。9 (1),141–161.[22]LAKNER，P.（1998年）。投资者的最佳交易策略：部分信息的情况。随机过程及其应用。76 (1), 77–97.[23]LEE，J.、YU，X.和ZHOU，C.（2020）。在高水位线费用和漂移不确定性的情况下，Lif et ime破产。应用数学和优化，可在https://doi.org/10.1007/s00245-020-09728-6.[24]MEHRA，R.和PRESCOTT，E.C.（1985）。股权溢价：一个谜。货币经济学杂志。15 (2), 145–161.【25】MONOYIOS，M.（2009）。部分和内部信息下的最优投资和套期保值。高级财务建模。8, 371–410.[26]MUNK，C。

(2008). 具有随机投资机会和偏好习惯形成的投资组合和消费选择。经济动力与控制杂志。32 (11), 3560–3589.[27]PHAM，H.（1997）。跳扩散模型中的最优停止、自由边界和美式期权。应用数学和优化。35 (2), 145–164.[28]PHAM，H.（2009）。金融应用中的连续时间随机控制和优化。第61卷。SpringerScience&Business Media。[29]PORTES，R.和REY，H.（2005年）。跨境股权流动的决定因素。国际经济学杂志。65(2), 269–296.[30]POTERBA，J.M.和SUMMERS，L.H.（1988）。股票价格均值回归：证据与启示。金融经济学杂志。22 (1), 27–59.[31]REIKVAM，K.（1998）。最优停止问题的粘性解。随机和随机报告。62 (3-4), 285–301.[32]D.REVUZ和M.YOR（1991年）。连续鞅与布朗运动。施普林格·维拉格，柏林，海德堡。【33】SIRBU，M.（2014）。零和微分对策的随机Perron方法和基本策略。SIAM期刊onControl and Optimization。52 (3), 1693–1711.[34]夏云（2001）。学习可预测性：参数不确定性对动态资产配置的影响。《金融杂志》。56 (1), 205–246.[35]YU，X.（2015）。不完全半鞅市场中具有成瘾性消费习惯形成的效用最大化。应用概率手册。25 (3), 1383–1419.[36]YU，X.（2017）。具有交易成本和随机禀赋的市场中习惯形成下的最优消费。应用概率年鉴。27 (2), 960-1002.（Y.Yang）香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡。电子邮箱：yue。yy年。yang@connect.polyu.hk（十）。

Yu）香港理工大学应用数学系，香港九龙红磡。电子邮箱：xiang。yu@polyu.edu.hk