反对无序清算大额头寸的交易

2022-5-25 18:08:01

不对称信息和市场影响下大额头寸无序清算的交易Caroline HILLAIRET*Cody HYNDMAN+Ying JIAORenjie WANG+2018年11月7日摘要我们考虑针对对冲基金或大型交易员进行交易，如果资产的市场价格超过某个阈值，则必须清算风险资产中的大量头寸。清算行为无序，对资产等的市场价格产生了负面影响。我们从小投资者的角度考虑，这些小投资者的交易不会产生市场影响，他们拥有关于清算触发机制和市场影响的不同级别的信息。我们将这些市场参与者分为三种类型：完全知情的、完全知情的、不完全知情的和完全知情的，部分知情和未知情的投资者。我们考虑了投资组合优化问题，并通过理论和数值例子比较了三类投资者的最优交易和财富过程。关键词：无序清算；信息不对称；市场影响；投资组合优化；最优交易；蒙特卡罗方法。*巴黎萨克雷大学（UniversitéParis Saclay）Ensae CREST，3 av Pierre Larousse 92245 Malako ff France。电子邮件：caroline。hillairet@ensae.fr+加拿大魁北克省蒙特勒尔市Maisonneuve Ouest大道1455号康科迪亚大学数学和统计系H3G 1M8。电子邮件：cody。hyndman@concordia.caISFA，里昂大学1号，50 avenue Tony Garnier 69007 Lyon，France。电子邮箱：ying。jiao@univ-lyon1.frHILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日简介关于内幕交易、不对称信息和市场操纵交易策略的大量文献，包括Kyle[21]、Back[7]、Jarrow[15、16]和a llen and Gale[2]的开创性著作。

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2022-5-25 18:08:04

这些作品通常假设内幕人士试图通过发布内幕人士已知的潜在虚假信息来影响价格或从中获利。这些研究通常还将市场参与者分为噪音交易者、标准信息交易者和知情交易者。套利策略、价格均衡或特定市场操纵策略的存在是这些早期作品的首要关注点。其他涉及内幕信息的论文通过代理人财富或效用的最大化来量化内幕信息的价值，包括Elliott等人【11】、Elliott和Jeanblanc【10】、Amendinger等人【4】和Amendinger等人【5】。最近，流动性建模已成为一个热门的研究领域。市场微观结构和限额指令簿提供了一种基于交易机制的流动性建模方法。将交易的价格影响具体化为外生决定并取决于交易规模的模型构成了文献的另一种类型。这两种方法都处理与交易大额头寸影响市场价格相关的问题。G"okay等人[14]对流动性模型有很好的概述。市场微观结构的建模和大头寸的最优平仓也得到了广泛的研究，有关这些主题的概述可以在Bergel等人中找到。据我们所知，在处理不对称信息的著作中，很少有论文涉及清算风险的市场影响。特别是，Ankirchner等人[6]研究了内部人的最优清算问题。与现有文献相比，我们关注的是无序而非最优的清算以及市场参与者的观点，而不是大型交易员或对冲基金清算头寸。

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2022-5-25 18:08:07

特别是，我们对以下问题感兴趣：如果价格超过某个阈值，一个市场参与者是否有可能从另一个持有大量阿斯托克或衍生品头寸的市场参与者手中获利，从而被迫清算其部分或全部头寸？金融市场有充分证据表明流动性风险的重要性。例如，考虑在天然气期货合约中持有大量头寸的对冲基金，如2006年的Maranth Advisors LLC，宏观经济或天气事件会导致价格发生意想不到的变化。在这种情况下，基金可能被迫无序平仓，这将对价格产生进一步的市场影响。其他例子包括1998年的长期资本管理有限责任公司（LTCM）和2007-2008年金融危机期间的多家公司。我们假设，当市场价格达到清算触发点水平并对资产价格产生暂时影响时，立即发生清算，从而市场价格从基本价值开始下跌，并逐渐消散。我们用控制冲击速度和程度的参数建立了一个函数来模拟临时市场冲击。其他市场参与者可能对清算触发机制和清算影响有不同程度的信息。我们的目标是找到最佳的交易策略，在特定市场参与者可以访问的不同类型的信息下，最大限度地提高投资者的最终财富利用率。在标准信息情况下，不知情的市场参与者不知道清算触发机制。当清算发生时，他们错误地相信和行动，就好像市场价格等于基本资产价格一样。

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2022-5-25 18:08:11

在部分信息情况下，内幕人士或知情的市场参与者知道对冲基金将被迫清算头寸的水平，但不知道决定价格影响的清算量。在fullHILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日的信息案例中，内幕人士拥有关于清算阈值和价格影响的完整信息。某些市场参与者可能因其立场、交易对手地位、技术或市场知识而获得此类信息。完全知情的投资者的完美信息代表了实践中可能无法达到的一个极端。然而，在电力公司案例中，我们将从数字上证明，部分知情投资者的最优策略与完全知情投资者的最优策略非常接近。论文的其余部分组织如下。第2节建立了我们模型的框架。第3节解决了完全知情投资者的投资组合优化问题，并给出了对数效用情况下最优预期效用的显式表示。第4节和第5节分别探讨了未知情和部分知情投资者的优化问题。第6节给出了一些数值结果。第7节总结，附录包含技术结果和证据。2市场模型2.1资产价格和清算影响固定概率空间(Ohm, A、 P）配备参考过滤器F=（Ft）t≥0满足通常条件，具有（Wt，t≥ 0）an（F，P）-布朗运动。设T>0为有限水平时间。在我们的模型中，我们假设市场参与者可以投资于无风险资产和风险资产。在不丧失一般性的情况下，我们假设无风险资产的利率为零。

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2022-5-25 18:08:14

风险资产的基本价值由Black-Scholes微分建模：dSt=St（udt+σdWt），0≤ t型≤ T、（2.1）其中u和σ应为常数，σ>0。我们考虑在投资期内持有大量风险资产多头头寸的对冲基金。在正常情况下，此位置可以保持到时间T。然而，根据风险管理政策、交易所规则或监管要求，多头头寸必须在某些情况下进行清算。在本文中，我们假设当风险资产的市场价格低于预定水平时，将触发清算。在清算之前，市场价格（以SM表示）等于基本值S。因此清算时间τ被定义为固定不变阈值α的首次通过时间，其中α∈ （0，1），通过市场价格过程SM，即τ：=inf{t≥ 0，SMt≤ αS}=在f{t中≥ 0，St≤ αS}（2.2）与公约inf = ∞. 我们注意到τ是F-停止时间。在最简单的情况下，所述情景对应于无法覆盖的追加保证金，导致头寸全部或部分清算。风险资产的市场价格将受到清算的影响。由于与短期内的平均交易量相比，待出售风险资产的股份数量非常大，因此立即清算将对市场价格产生暂时性影响，在清算后，市场价格将从基本价格中分离出来。我们用SIt（u）表示清算时间τ=u后t时风险资产的市场价格。假设它被赋予asSIt（u）=g（t- uΘ，K）St，u≤ t型≤ T、（2.3）HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，其中g是一个影响函数，Θ和K是参数，稍后将进行精确计算。

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2022-5-25 18:08:18

我们注意到，市场影响的数学表征是一个非常复杂的问题，我们请感兴趣的读者参考Kissell和Glantz【20】了解详细信息。在本文中，受Li等人[22]的启发，我们通过公式（t；Θ，K）=1的影响函数g来描述清算对市场的暂时影响-KtΘe1-tΘ（2.4），其中Θ和K为正参数，Θ控制市场影响的速度，Kre表示市场影响的大小。特别地，我们假设Θ是一个正随机变量，K是一个值在[0，1]中的随机变量，这两个变量都独立于F，并且具有连接概率密度函数Д（·，·），即P（Θ∈ dθ，K∈ dk）=Д（θ，k）dθdk。图1说明了K=0.1和两个不同实现值Θ的影响函数（2.4）。显然，Θ=0.05时冲击函数的形状比Θ=0.1时陡峭。我们注意到，对于每个固定场景ω，函数g达到其最小值1- t=Θ（ω）时的K（ω）。此外，我们还观察到，函数g首先从1下降，然后上升并收敛到1，这反映了清算的市场影响随时间演变的特点。对于实现值K=0.1和Θ=0.1，资产价格需要0.1年（约25个交易日）才能达到最小值（1- K）* 发生清算后。清算后第一个交易日的市场影响为1- g（；0.1，0.1）≈ 1%。因此，参数Θ需要较小，以更准确地反映无序清算的影响。

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2022-5-25 18:08:21

在第6节中，我们给出了一些数值结果，这些结果使用了一个相当大的Θ，这保证了数值结果的更高精度，但可以通过对较小的Θ值应用其他数值技术来改进这些结果。时间（年）0.2 0.4 0.6 0.8 10.90.910.920.930.940.950.960.970.980.99θ=0.05，K=0.05θ=0.1，K=0.1图1：带2个参数的冲击函数时间（年）0 0.2 0.4 0.6 0.8 10.90.910.920.930.940.950.960.970.980.99Θ=0.05Θ=0.1K=0.02K=0.080图2：带有4个参数的冲击函数标记2.1。考虑清算价格影响的跳跃效应是很自然的。在我们的模型中，通过（2.3），清算前和清算后的价格满足关系SIt（t）=St。然而，我们可以通过在光滑函数g中选择较小的Θ值来近似清算后资产价格的向下跳跃。此外，我们的模型允许我们考虑这样一种情况，即由大公司清算可能没有长期的信息内容。随着流动性提供者重返市场，其他市场参与者意识到对冲基金无序清算所传达的风险资产的基本价值可能没有任何信息，对市场价格的暂时影响也随之消失。HILLAIRET等人，《非对称信息下的最佳交易》2018A年11月7日。可能的扩展是考虑带有额外参数和灵活性的修正影响函数。例如，letg（t；Θ，Θ，K，K）=1.-（K+K）tΘe1-tΘ0≤ t<Θ，1-K-K（t+Θ）-Θ）Θe1-t+Θ-ΘΘΘ≤ t、（2.5）（2.5）给出的影响函数包括永久和临时市场影响，并分别控制永久和临时市场影响的大小。参数Θ和Θ确定偏差和反转速度（见图2）。此外，在长期时间尺度上，影响函数可以返回到除1以外的不同水平。

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2022-5-25 18:08:25

为了简单起见，我们将使用本文（2.4）中给出的影响函数，并假设参数Θ和K到berandom变量。考虑到资产的市场价格等于清算时间τ之前的基本价值，并且是清算后的受影响资产价格，我们得出市场价格为asSMt=1{0≤t<τ∧T}St+1{τ∧T≤t型≤T}SIt（τ），其中站姿（τ）分别由（2.1）和（2.3）给出。此外，f或任何u≥ 0时，过程SIt（u）的动态满足SDEdSIt（u）=SIt（u）uIt（u，Θ，K）dt+σdWt, u≤ t型≤ T（2.6），其中uIt（u，Θ，K）=g′（T- uΘ，K）g（t- uΘ，K）+u。（2.7）备注2.2。过程（SIt（u），t≥ u）根据过滤F进行调整∨ σ（Θ，K），它是F通过随机变量（Θ，K）的初始放大。我们假设σ（Θ，K）依赖于F∞, （F，P）-布朗运动W也是a（F∨σ（Θ，K），P）-布朗运动（参见JeanBlanchet al.【17，第5.9节】。）因此，风险资产的市场价格过程，表示为SM=（SMt，t≥ 0），满足SDEDST=SMtuMt（Θ，K）dt+σdWt（2.8）式中，uMt（Θ，K）=1{0≤t<τ∧T}u+1{τ∧T≤t型≤T}uIt（τ，Θ，K）。（2.9）我们注意到，市场价格允许在液化时间τ发生制度变化，特别是在提取期。我们给出如下示例。示例2.3。假设基本值过程（2.1）由Black-Scholes模型给出，参数SM=80，u=0.07，σ=0.2，α=0.9，Θ=0.1，K=0.1。图3显示，清算触发了漂移项的向下跳跃。之后，漂移项首先迅速上升，然后逐渐下降，回到原来的漂移项。相应地，图4显示了受清算影响资产的样本市场价格过程与基本价值过程的比较。HILLAIRET等人。

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2022-5-25 18:08:29

不对称信息下的最优交易11月7日，2018年时间0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20.4清算前的期限清算后的期限图3：清算前和清算后的期限图0.2 0.4 0.6 0.8 1无市场影响的资产价格清算障碍下的资产市场价格图4：相应的资产价格SM2.2最佳投资问题我们的目标是考虑最佳投资从投资者的角度来看，这是一个投资问题，投资者在市场上交易风险资产，受到对冲基金仓位无序清算的价格影响。为简单起见，我们假设这些代理人可以在市场上交易风险资产，而不需要交易成本。我们考虑完全知情的投资者、部分知情的投资者和不知情的投资者。我们假设所有投资者都可以了解风险资产的市场价格，但他们对清算和价格影响的认识是不同的。我们进一步假设所有投资者都知道参数u和σ的值。完全知情的投资者观察市场价格，并假设他们完全了解清算机制和价格影响函数。因此，在数学方面，他们知道清算触发水平α、影响函数g以及清算发生时随机变量Θ和Kw的值。因此，完全知情的投资者完全了解市场价格过程的动态，以及价格影响的信息。部分知情的投资者也能够观察市场价格并知道清算触发水平α，因此，他们也可以观察清算时间τ。但是，部分信息投资者没有关于价格影响函数的完整信息。

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2022-5-25 18:08:32

我们假设部分知情的投资者知道价格影响函数g的函数形式。然而，我们假设部分知情的投资者只知道Θ和K的分布，而不知道充分了解清算价格影响所需的实现价值。不知情的投资者不知道清算触发机制。他们错误地认为，市场价格过程遵循布莱克-斯科尔斯动力学（2.1），没有价格影响。与默顿类型的投资者相比，考虑非信息投资者使我们能够量化有关清算障碍和价格影响的信息价值。我们用FS=（FSt）t表示≥0市场价格过程SM产生的自然过滤。由于市场价格与清算前的基本价值过程一致，因此清算时间τ（F停止时间）也是FS停止时间。我们在以下假设中总结了各种投资者的知识。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，假设2.4。所有投资者都观察风险资产的市场价格，并知道参数u和σ的值。此外，某些市场参与者还拥有其他信息：（i）完全信息投资者的可观察信息由过滤（2）t=FSt建模∨ σ（Θ，K）=Ft∨ σ（Θ，K），他们进一步了解清算障碍α，以及影响函数g的形式。（ii）部分知情投资者的可观察信息由filtrationg（1）t=FSt建模，他们进一步了解清算障碍α，影响函数g的形式，以及（Θ，K）的分布。（iii）为了与上述两种类型的内幕人士进行比较，我们考虑了通过过滤G（0）t=FSt建模可观察信息的非信息投资者。他们没有关于清算机制的信息。

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2022-5-25 18:08:35

此外，他们没有更新τ之后漂移过程的知识，并充当默顿型投资者，错误地考虑了整个期间具有常数u的布莱克-斯科尔斯动力学[0，T]。备注2.5。由于所有投资者都可以观察到风险资产的市场价格，因此“公共”过滤FSF代表了对三类投资者的常见信息。假设2.4意味着部分知情投资者了解uMt（Θ，K）定律。这类似于Baudoin的弱信息案例[8]。这三类投资者之间的本质区别在于他们对（2.7）中定义的漂移项uM（Θ，K）的了解。完全知情的投资者能够完全观察浮动期限。部分知情的投资者部分观察漂移项，这与Karatzas和Zhao考虑的部分观察情况相对应[19]。部分知情的投资者可以使用过滤理论获得与他们的观察过程相适应的drif t项估计值。未知情投资者没有任何关于清算机制和市场影响的信息，这会导致他们错误地将漂移期限指定为u。也就是说，不知情的投资者认为市场价格遵循布莱克-斯科尔斯动力学（2.1）。如果不知情的投资者将（2.1）的漂移视为一个不可观察的过程，他可能会在不了解清算机制或市场影响函数的情况下应用过滤理论来改进其投资决策。然而，在本文中，我们将只考虑假设2.4的情况，即在期初估计漂移而不更新漂移的不知情投资者，因为从他们自己的角度来看，在[0，T]期间没有发生清算事件。

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2022-5-25 18:08:39

不知情投资者主要被视为与默顿模型进行比较的基准。在本文的剩余部分，我们将研究对数效用和幂效用下三类投资者的投资组合优化问题。3完全知情的投资者完全知情的投资者根据其信息可及性选择其交易策略来调整资产组合。如第2节所述，完全知情的投资者知道Hillairet等人在不对称信息下的最优交易的实现价值2018年11月7日随机变量Θ和K。投资策略的特征是G（2）-可预测过程π（2），它表示投资于风险资产的财富比例。容许策略集a（2）是π（2）的集合，对于任何（θ，k）∈ （0+∞) ×（0，1），ZT |π（2）tuMt（θ，k）| dt+ZT |π（2）tσ| dt<∞. （3.1）投资者的风险规避由（0，∞) 这是严格递增的，严格凹的，在（0）上有连续导数U′（x），∞), 和令人满意的Limx→0+U′（x）=+∞ 林克斯→∞U′（x）=0。我们通过似然过程lt：=dQdP定义G（2）-鞅测度QG（2）t=经验值(-ZtuMv（Θ，K）σdWv-Zt公司uMv（Θ，K）2σdv）。（3.2）如Remark2.2所述，W是（G（2），P）-布朗运动。根据Girsanov定理，过程wqd定义为wqt=Wt+ZtuMv（Θ，K）σdv（3.3）是（G（2），Q）-布朗运动，Q下的资产价格动态可以写成dsmt=SMtσdWQt。（3.4）采取策略π∈ A（2），初始捐赠X的财富过程∈ G（2）演化为dx（2）t=X（2）tπ（2）t（uMt（Θ，K）dt+σdWt），0≤ t型≤ T（3.5），即X（2）T=X+ZTπ（2）vσSMvdWQv。（3.6）完全知情的投资者的目标是最大化其终端财富的预期效用V（2）：=supπ（2）∈A（2）EhUX（2）Ti（3.7）orV（2）（Θ，K）：=ess supπ（2）（Θ，K）∈A（2）EhUX（2）T|G（2）i（3.8），其中G（2）=σ（Θ，K）。

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2022-5-25 18:08:44

Amendinger等人[5]给出了优化问题（3.7）和（3.8）之间的联系；如果（3.8）中的上确界是通过（2）中的某种策略获得的，那么ω最优也是（3.7）的解。由于（Θ，K）与F无关，因此（G（2），Q）-局部鞅的鞅表示定理成立，因此我们采用标准的“鞅方法”（见Karatzas和Shreve[18]）来解决效用优化问题（3.8）。我们可以考虑以下静态优化问题supx（2）T∈维胡X（2）T|G（2）i（3.9）利用修正inger[3，命题4.6]对鞅表示定理的结果，可以将该假设放松为密度Jacod假设。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，其中V=nX（2）TX（2）T=X+RTπ（2）vσSMvdWQv，π（2）∈ A（2）o.优化问题（3.9）可以使用拉格朗日乘子法解决（见Amendinger等人[5，命题4.5]）。最优终端财富^X（2）由^X（2）T=I（λLT），（3.10）给出，其中I=（U′）-1而G（2）-可测随机变量∧由等式HI（λLT）| G（2）i=X.（3.11）确定。为了找到最优策略^π（2），应提供最优财富过程^X（2）t=EQh^X（2）t | G（2）ti的动力学。（3.12）自（X（2）t）t∈[0，T]是一个（G（2），Q）-鞅，存在一个G（2）-适应过程J，使得^X（2）T=EQ[^X（2）TG（2）]+ZtJvdWQv。（3.13）将（3.11）代入（3.13），我们有^X（2）t=X+ZtJvdWQv。（3.14）比较（3.6）和（3.14），我们得到了最优策略^π（2）t=Jtσ^X（2）t。（3.15）注意，最优策略（^π（2）t）t∈[0，T]涉及由（3.13）中的鞅表示隐式确定的过程J。

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2022-5-25 18:08:47

为了获得最优策略的显式表达式，我们将在以下小节中考虑幂和对数效用。3.1电力利用率我们首先考虑电力利用率U（x）=xpp，0<p<1。使用I（x）=xp的事实-通过（3.10）-（3.11），我们得到了最佳终端财富^X（2）T=XEh（LT）pp-1i（LT）p-1（3.16），其中LTI由（3.2）给出。以下建议给出了最优预期效用和最优策略：HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，建议3.1。对于功率效用U（x）=xpp，0<p<1，最佳预期效用为v（2）（Θ，K）=（x）ppEh（LT）pp-1i1.-p（3.17），最优策略由^π（2）t=1{0给出≤t<τ∧T}π（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（2，a）T，T∈ [0，T]（3.18），其中^π（2，b）T=u（1- p） σ+ZHtσHt，t∈ [[0，τ∧ T[[，（3.19）^π（2，a）T=uIt（τ，Θ，K）（1- p） σ，t∈ [[τ∧ T、 T]]（3.20），其中（H，ZH）满足以下线性BSDEHt=1+ZTtpuMv（Θ，K）2（1- p） σHv+puMv（Θ，K）（1- p） σZHv！dv-ZTtZHvdWv。（3.21）证明。继Bj"ork等人[9]之后，我们通过计算最优财富过程的动力学，找到了最优策略的显式表达式。将抽象贝叶斯公式应用于（3.12），我们得到了^X（2）t=EQh^X（2）t | G（2）ti=LtEh^X（2）TLT | G（2）ti。（3.22）将（3.2）和（3.16）替换为（3.22），我们有^X（2）t=XE[（LT）pp-1] LtEh（LT）pp-1 | G（2）ti=XE[（LT）pp-1] LtE“exp（ZTpuMv（Θ，K）（1- p）σdWv+ZTpuMv（Θ，K）2（1- p） σdv）| G（2）t#=X（Lt）p-1E[（LT）pp-1] E“exp（ZTtpuMv（Θ，K）（1- p） σdWv+ZTtpuMv（Θ，K）2（1- p） σdv）| G（2）t#（3.23）定义：=E[经验值ZTtpuMv（Θ，K）（1- p） σdWv+ZTtp（uMv（Θ，K））2（1- p） σdv|G（2）t]（3.24）最优财富过程写为^X（2）t=XH（Lt）p-1Ht。（3.25）HILLAIRET等人。

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2022-5-25 18:08:52

不对称信息下的最优交易2018年11月7日，以发现（Ht）t的动态∈[0，T]，我们首先指出（Mt：=HtDt）T∈[0，T]是（G（2），P）鞅，其中dt：=expZtpuMv（Θ，K）（1- p） σdWv+Ztp（uMv（Θ，K））2（1- p） σdv. （3.26）根据鞅表示定理，存在一个G（2）适应过程zm，使得mt=M+ZtMvZMvdWv。（3.27）根据方程式（3.26）d（Dt）=（Dt）p（uMt（Θ，K））2（1- p） σ-p（uMt（Θ，K））2（1- p） σdt公司-puMt（Θ，K）（1- p） σdWt（3.28），从而导致以下过程动力学（Ht）t∈[0，T]dHt=Htp（uMt（Θ，K））2（1- p） σ-p（uMt（Θ，K））2（1- p） σ-puMt（Θ，K）（1- p） σZMtdt公司+ZMt-puMt（Θ，K）（1- p） σ载重吨.表示ZHt：=HtZMt-puMt（Θ，K）（1-p） σ和使用终端条件HT=1，（HT）t∈[0，T]满足以下BSDEHt=1+ZTtp（uMv（Θ，K））2（1- p） σHv+puMv（Θ，K）（1- p） σZHvdv-ZTtZHvdWv。（3.29）因此，最优财富过程的动力学，使用（3.25），ared^X（2）t=^X（2）tuMt（Θ，K）（1）- p） σ+uMt（Θ，K）ZHtσHt！dt+^X（2）tuMt（Θ，K）（1- p） σ+ZHtHt载重吨。（3.30）得出最佳策略（通过比较（3.30）和（3.5））^π（2）t=uMt（Θ，K）（1- p） σ+ZHtσHt。（3.31）我们将时间范围[0，T]分解为两个随机时间间隔[0，τ∧ T[[和[[τ]∧ T、 T]]。关于随机区间[[τ∧ T、 T]]，完全知情的投资者观察到漂移项uMthus BSDE（3.29）可在[[τ]上明确求解∧ T、 T]]：Ht=expZTtp（uIv（τ，Θ，K））2（1- p） σdv, （3.32）ZHt=0。（3.33）回顾（2.9）并使用（3.32）-（3.33）我们可以将（3.31）中的最优策略分解为两部分：^π（2）t=1{0≤t<τ∧T}π（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（2，a）T（3.18）HILLAIRET等。不对称信息下的最优交易2018年11月7日，其中}π（2，b）T=u（1- p） σ+ZHtσHt，t∈ [[0，τ∧ T[[，（3.19）（3.34）^π（2，a）T=uIt（τ，Θ，K）（1- p） σ，t∈ [[τ∧ T、 T]]。（3.20）（3.35）在（3.20）中清算后的最佳战略本质上是默顿式战略。

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2022-5-25 18:08:55

（3.19）中清算前的部分是默顿策略和额外部分的总和，额外部分由BSDE（3.21）的解确定。很难获得BSDE（3.21）的闭合形式解，但是，我们可以数值求解BSDE（3.21），这将在第6节中讨论。接下来，我们考虑完全知情投资者的对数效用情况。3.2对数效用在本节中，我们考虑对数效用U（x）=ln（x）。利用I（x）=x和（3.10）-（3.11）这一事实，我们得到了最优终端财富^x（2）T=XLT（3.36），其中lti由（3.2）给出。最优期望效用为v（2）（Θ，K）=ln（X）- E【ln（LT）】。将抽象贝叶斯公式应用于（3.12）并使用（3.36），我们得到了^X（2）t=EQh^X（2）t | G（2）ti=LtEh^X（2）TLT | G（2）ti=XLt（3.37），其动力学由d^X（2）t给出=uMt（Θ，K）2σdt+uMt（Θ，K）σdWt。（3.38）比较（3.38）和（3.5），我们得到了最优策略^π（2）t=uMt（Θ，K）σ。回顾（2.9），我们可以将最优策略分解为两部分^π（2）t=1{0≤t<τ∧T}π（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤这个额外的术语被比约克称为“参数风险对冲需求”。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，其中^π（2，b）t=uσ，t∈ [[0，τ∧ T[[，（3.40）^π（2，a）T=uIt（τ，Θ，K）σ，T∈ [[τ∧ T、 T]]。（3.41）完全知情投资者的最佳交易策略由清算前和清算后的两个默顿策略组成。因此，我们分解了最优财富过程^X（2）tas^X（2）t=1{0≤t<τ∧T}^X（2，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}^X（2，a）twhere^X（2，b）and^X（2，a）满足以下SDEsd^X（2，b）T=^X（2，b）T^π（2，b）T（utdt+σdWt），T∈ [[0，τ∧ T[[，（3.42）d^X（2，a）T=^X（2，a）T^π（2，a）TuIt（τ，Θ，K）dt+σdWt, t型∈ [[τ∧ T、 T]]。

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2022-5-25 18:08:58

（3.43）然后我们将终端财富的预期效用分解为两部分，这取决于是否在时间T之前或之后发生清算：V（2）（Θ，K）=E[1{τ>T}ln（^X（2，b）T）| G（2）]+E[1{τ≤T}ln（^X（2，a）T）| G（2）]。（3.44）（3.44）中的两个条件期望分别在引理A.1和A.2中计算。结合这些引理，我们得到以下结果。提案3.2。完全知情投资者的最优对数预期效用isV（2）（Θ，K）=（N-lnασ+（uσ-σ） T型√T- 经验值2uσ- lnαNlnασ+（μσ-σ） T型√T！）×ln（X）+（u-uσ）T+ZlnασZ∞y2ux（x- 2年）√2πTexp（uσ-σ） x个-（uσ-σ） T型-2T（2y- x）dxdy公司-lnασZT√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)h（2）（t，Θ，K）dth（2）（t；θ，K）：=ln X+ulnασ+ut-u2σt+ZTtuIv（t，θ，k）2σdv。在下一节中，我们将考虑部分知情投资者的优化问题。4部分知情投资者部分知情投资者的投资组合策略应该是G（1）-适应的，用π（1）=（π（1）t，0表示≤ t型≤ T）。财富过程演化为dx（1）t=X（1）tπ（1）t（uMt（Θ，K）dt+σdWt），0≤ t型≤ T、（4.1）HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，2018年11月7日，与（3.1）类似，容许策略集A（1）是π（1）的集合，因此，对于任何（θ，k）∈（0+∞) ×（0，1），ZT |π（1）tuMt（θ，k）| dt+ZT |π（1）tσ| dt<∞. （4.2）部分知情投资者的投资组合优化问题isV（1）=supπ（1）∈A（1）EhUX（1）Ti、（4.3）注意，优化问题（4.1）-（4.3）是部分观测的情况，因为漂移终端（4.1）不是G（1）自适应的。继Karatzas和Zhao【19】之后，我们首先将部分观测的优化问题简化为完全观测的情况。回想一下，概率度量Q定义为DQDPG（2）T=LT。

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2022-5-25 18:09:02

（4.4）密度过程lt=exp(-ZtuMv（Θ，K）σdWv-Zt公司uMv（Θ，K）2σdv）（4.5）是a（G（2），P）-鞅。我们接下来根据市场价格的观察结果，确定漂移uMt（Θ，K）的过滤估计值，即uMt=EhuMt（Θ，K）| G（1）ti。（4.6）我们定义了创新流程W bydWt=dWt+uMt（Θ，K）- uMtσdt，0≤ t型≤ T、（4.7）Bj"ork等人[9，引理4.1]我们知道▄W是一个标准（G（1），P）-布朗运动。然后我们可以重写（2.8）asdSMt=SMtuMtdt+σdWt. （4.8）财富过程X（1）asdX（1）t=X（1）tπ（1）t（(R)uMtdt+σdWt），0≤ t型≤ T（4.9），初始财富x∈]0+∞[.现在，财富过程X（1）的动力学处于完全观察模型的框架内，因为‘uMis G（1）’适应了。与完全知情的投资者的情况类似，优化问题（4.3）可以通过马丁格尔方法解决。HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日，命题4.1。（i）具有效用函数U和i=（U′）的部分信息投资者的最优终端财富-1由^X（1）T=I（λ′LT）给出。拉格朗日乘数λ由预算约束确定I（λ′LT）’LT= x（4.10）和“lti是过滤G（1）的风险中性概率度量密度”Lt=exp(-Zt？uMvσd？Wv-Zt公司uMv2σdv）（4.11），其中“uMt=EhuMt（Θ，K）| G（1）ti（ii）过滤后的漂移估计值”umca可计算为“uMt”=u，t∈ [[0，τ∧ T[[R∞R（uMt（θ，k）exp（RtuMv（θ，k）σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdv）Д（θ，k）dθdkR∞R（exp（RtuMv（θ，k））σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdv））Д（θ，k）dθdk，t∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.12）证明。（i）我们定义了过程‘Lt=等式【Lt | G（1）t】。通过重写Ltin（4.5）asLt=exp(-ZtuMv（Θ，K）σdWQv+ZtuMv（Θ，K）2σdv），（4.13）我们计算\'Lt=exp(-Zt？uMvσdWQv+ZtuMv2σdv）（4.14）结合（4.18）和（4.7），我们得到了dWqt=dWt+(R)uMtσdt。（4.15）将（4.15）替换为（4.14），我们发现“Lt=exp”(-Zt？uMvσd？Wv-Zt公司uMv2σdv）。

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2022-5-25 18:09:05

（4.16）由于Ltis a（G（1），P）-鞅，我们定义了风险中性概率测度Q byd QdPG（1）t=(R)Lt.（4.17）HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日，通过以下事实：W是一个（G（1），P）-布朗运动和Girsanov定理，过程W▄Qde finedasw▄Qt=▄Wt+Zt▄uMvσdv，0≤ t型≤ T（4.18）是a（G（1），~Q）-布朗运动。按照与第3节中相同的程序，我们找到由^X（1）T=I（λ′LT），（4.19）得出的最优终端财富^X（1）T，其中I=（U′）-1拉格朗日乘数λ由I（λ′LT）’LT= x、（4.20）（ii）回想一下lt=dPdQG（2）t=exp（ZtuMv（Θ，K）σdWQv-Zt公司uMv（Θ，K）2σdv）（4.21）是（G（2），Q）-鞅。根据与Bayes公式相关的Kallianpur Striebel公式，我们得到了“uMt=EhuMt（Θ，K）| G（1）ti=EQhuMt（Θ，K）LT | G（1）tiEQ[LT | G（1）t]=EQhEQhuMt（Θ，K）LT | G（2）tiG（1）tiEQ[Lt | G（1）t]=EQhuMt（Θ，K）Lt | G（1）tiEQ[Lt | G（1）t]=等式uMt（Θ，K）扩展RtuMv（Θ，K）σdWQv-Rt（uMv（Θ，K））2σdv|G（1）t公式[表达式uMv（Θ，K）σdWQv-Rt（uMv（Θ，K））2σdvo | G（1）t]。（4.22）由于度量Q与G（2）=σ（Θ，K）上的P重合，因此Q下的（Θ，K）分布与P下的分布相同。回想一下，布朗运动wqi与σ（Θ，K）无关，我们有'uMt=R∞RuMt（θ，k）expRtuMv（θ，k）σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdvД（θ，k）dθdkR∞RnexpnRtuMv（θ，k）σdWQv-Rt（uMv（θ，k））2σdvooД（θ，k）dθdk。（4.23）对于t<τ∧ T我们有uMt=u，因为uMt=u。继Fujisaki等人【12】之后，关于（G（1），~Q）-布朗运动WQ，存在一个鞅表示定理。与完全信息投资者的情况类似，最优策略π（1）依赖于鞅表示定理。对于一般效用函数，最优策略π（1）没有显式表达式。在下一小节中，我们将考虑幂和对数实用程序。HILLAIRET等人。

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2022-5-25 18:09:08

不对称信息下的最优交易1984年11月7日。1电力效用我们首先考虑电力效用U（x）=xpp，0<p<1。T处的最优终端财富为给定的^X（1）T=xEh\'\'LT聚丙烯-1i\'\'LTp-1（4.24），其中“LTI”由等式（4.11）给出。最优期望效用为v（1）=（x）pp呃\'\'LT聚丙烯-1i1.-p、（4.25）与完全知情投资者的情况类似，我们可以将最优策略^π（1）分解为两部分：^π（1）t=1{0≤t<τ∧T}π（1，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（1，a）T.（4.26）按照第3.1节中的类似程序，我们得到了}π（1，b）T=u（1- p） σ+Z’Htσ’Ht，t∈ [[0，τ∧ T[[，（4.27）^π（1，a）T=(R)uIt（1- p） σ，t∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.28）其中（\'H，Z\'H）满足线性BSDE\'Ht=1+ZTtpuMv2（1- p） σ′Hv+p′uMv（1- p） σZ？Hv！dv-ZTtZ“Hvd”Wv。（4.29）我们将在第6.4.2节中讨论BSDE（4.29）的数值解对数效用在本节中，我们考虑对数效用U（x）=ln（x）。T处的最优终端财富由^X（1）T=X'LT.（4.30）给出，最优预期效用为v（1）=ln（X）- Eln（(R)LT）. （4.31）最优投资过程^π（1）由^π（1）t=1{0给出≤t<τ∧T}π（1，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}π（1，a）T（4.32），其中}π（1，b）T=μσ，T∈ [[0，τ∧ T[[，（4.33）^π（1，a）T=？uItσ，T∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.34）HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日我们将最优财富过程分解为清算前后的部分，如^X（1）t=1{0≤t<τ∧T}^X（1，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}^X（1，a）T（4.35），其中^X（1，b）和^X（1，a）T满足以下SDEsd^X（1，b）T=^X（1，b）T^π（1，b）（udt+σdWt），T∈ [[0，τ∧ T[[，（4.36）d^X（1，a）T=^X（1，a）T^π（1，a）tn？uatdt+σd？Wto，T∈ [[τ∧ T、 T]]。（4.37）然后，我们将终端财富V（1）的预期效用分解为两部分，这取决于清算是在时间T之前还是之后发生：V（1）=Eh{T<τ}ln^X（1，b）Ti+Eh{T≥τ}ln^X（1，a）Ti。

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2022-5-25 18:09:12

（4.38）比较（3.40）和（4.33），我们知道部分知情投资者在清算前持有与完全知情投资者相同的最优策略。如果在T之前没有发生清算，那么部分和全部信息投资者的最优最终财富是相同的，即{T<τ}ln^X（1，b）Ti=Eh{T<τ}ln^X（2，b）Ti、因此，（4.38）中的第一个期望值已在引理A.1中计算，其他期望值在引理A中计算。3、结合这些引理，我们得到以下结果。提案4.2。完全知情的维斯特isV的最佳日志预期效用（1）=（N-lnασ+（uσ-σ） T型√T- 经验值2uσ- lnαNlnασ+（μσ-σ） T型√T！）×ln（x）+（u-uσ）T+ZlnασZ∞y2ux（x- 2年）√2πTexp（uσ-σ） x个-（uσ-σ） T型-2T（2y- x）dxdy公司-lnασZT√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)h（1）（t）dth（1）（t）：=ln x+ulnασ+ut-u2σt+ZTtuMv2σdv。我们将考虑未知投资者的优化问题。5不知情的投资者不知情的投资者错误地认为资产的市场价格遵循具有常数u的Black-Scholesdynamics。也就是说，不知情的投资者充当默顿投资者。为了与完全知情和部分知情的投资者进行比较，我们将在以下章节中考虑电力效用和对数效用。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》20185年11月7日。1电力效用我们首先考虑电力效用，即U（x）=xpp。不知情投资者采用默顿策略^π（0）=u（1- p） σ。（5.1）然而，资产的市场价格过程由（2.8）给出。因此，对应于（5.1）给出的次优策略，财富过程^X（0）写为^X（0）t=1{0≤t<τ∧T}^X（0，b）T+1{τ∧T≤t型≤T}^X（0，a）twhere^Xbtand^X（0，a）皮重由d^X（0，b）T=^X（0，b）T^π（0）（udt+σdWt），T∈ [[0，τ∧ T[[，（5.2）d^X（0，a）T=^X（0，a）T^π（0）uIt（τ，Θ，K）dt+σdWt, t型∈ [[τ∧T、 T]]。

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2022-5-25 18:09:19

（5.3）接下来，我们使用（5.1）给出的投资策略计算最终财富的预期效用E[U（^XT）]。我们将[U（^XT）]分解为两部分，这取决于是否在德湖时间之前发生清算^XTi=Eh{τ>T}U^X（0，b）Ti+Eh{τ≤T}U^X（0，a）Ti、（5.4）（5.4）中的两个期望值分别在引理A.4和A.5中计算。提案5.1。遵循次优策略（5.1）isEhU的不知情投资者的预期电力效用^XTi=xppexppuT2（1- p） σ×（N-lnασ+（u（1-p） σ-σ） T型√T-经验值2ulnα（1- p） σ- lnαNlnασ+（u（1-p） σ-σ） T型√T！）-lnασZZ∞ZT公司√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)l（0）（t，θ，k）Д（θ）dtdθdk其中l（0）（t，θ，k）=xppexpulnα（1- p） σ+u（1- p） t型-u（1- p） σt+ZTtpuIv（t，θ，k）（1- p） σdv.接下来，我们考虑对数效用下统一投资者的相同问题。5.2对数效用在对数效用的情况下，不知情投资者采用默顿策略^π（0）=μσ。（5.5）HILLAIRET et al.不对称信息下的最优交易2018年11月7日，我们用^X（0）t表示未知情投资者的财富过程为持有次优策略^π（0）t（5.5）。与电力效用的情况类似，我们使用分解[ln（^X（0）T）]=E[1{τ>T}ln（^X（0，b）T）]+E[1{τ≤T}ln（^X（0，a）T）]。（5.6）比较（3.40）和（5.5），我们知道未知情投资者在清算前与完全知情投资者持有相同的最优策略。如果T之前未发生清算，则未知情和完全知情投资者的最终财富相同，即^X（0，b）Ti=Eh{T<τ}ln^X（2，b）Ti、因此，（5.6）中的第一个期望值已在引理A中计算。1，另一个期望在Lemma中计算。6、提案5.2。

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2022-5-25 18:09:22

遵循次优投资策略的统一投资者的预期对数效用（5.5）isE[ln（^X（0）T）]=（N-lnασ+（uσ-σ） T型√T- 经验值2uσ- lnαNlnασ+（μσ-σ） T型√T！）×ln（x）+（u-uσ）T+ZlnασZ∞y2ux（x- 2年）√2πTexp（uσ-σ） x个-（uσ-σ） T型-2T（2y- x）dxdy公司-lnασZZ∞ZT公司√2πtexp(-2吨lnασ- （uσ-σ） t型)h（0）（t，θ，k）Д（θ，k）dtdθdk其中h（0）（t，θ，k）：=ln x+ulnασ+ut-u2σt+ZTt2uIv（t，θ，k）- u2σdvWe接下来给出一些数值结果。6数值结果在本节中，我们说明了三类投资者优化问题的数值结果。我们设置参数u=0.07，σ=0.2，初始值S=80。我们让investmenthorizon T=1。清算触发水平选择为α=0.9。随机过程采用Euler格式离散，M=250步，时间间隔长度t=。模拟次数为N=10。我们假设（Θ，K）的分布在[0.05，0.15]×[0.02，0.08]上是均匀的。假设初始财富为x=80。功率效用函数规定为U（x）=2x。HILLAIRET等人，《不对称信息下的最优交易》，20186年11月7日。1漂移的滤波估计时间范围[0，1]被平均离散为0=t<t<··<tM=1。对于0≤ m级≤ M我们用uMtm（Θ，K）表示时间tm时uM（Θ，K）的离散化近似值。对于0≤ m级≤ M-1，我们表示为wm布朗运动在时间间隔内的增量[tm，tm+1]。（G（2），Q）-布朗运动增量的近似为WQm=Wm+uMtm（Θ，K）σt、我们在时间tmby^uMtm=R时，近似于（4.23）中的过滤漂移估计值∞R（uMtm（θ，k）exp（P0≤我≤m级-1uMti（θ，k）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θ，k）2σt！））Д（θ，k）dθdkR∞R（exp）（P0.05）≤我≤m级-1uMti（θ，k）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θ，k）2σt！））Д（θ，k）dθdk。（6.1）我们使用蒙特卡罗方法估计（6.1）中的积分。假设模拟的数量为。

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2022-5-25 18:09:26

对于1≤ n≤ N，我们用（θN，kn）表示N次模拟中随机变量（Θ，K）的实现值。我们通过样本平均值uMtm=P1估计^uMtmin（6.1）≤n≤N（uMtm（θN，kn）exp（P0≤我≤m级-1uMti（θn，kn）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θn，kn）2σt！））P1级≤n≤N（exp（P0≤m级≤m级-1uMti（θn，kn）σ(Wi+uMti（Θ，K）σt）-uMti（θn，kn）2σt！））。（6.2）在图5中，我们举例说明了在特定情况下，与漂移项uM（Θ，K）相比的样本过滤器估计值，其中清算随机变量的实现值为（Θ，K）=（0.1，0.05）。从图5中我们注意到，漂移的滤波估计值非常接近实际漂移。这一结果表明，了解市场影响的功能形式比实际实现（Θ，K）更相关。time0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-1.6-1.4-1.2-1-0.8-0.6-0.4-0.20.4滤波器估计与已实现漂移的滤波器估计对比已实现漂移的滤波器估计图5：与已实现漂移的滤波器估计对比Hillairet等人。不对称信息下的最优交易11月7日，20186.2电力利用的最佳策略在本节中，我们通过数值求解相关的BSDE，说明了电力利用情况下完全和部分知情投资者的最佳策略。我们跳过了对数效用的讨论，因为最优策略只是“短视”的默顿策略。如果是完全知情的投资者，我们通过以下离散化的BSDE▄Htm+1=▄Htm来近似BSDE（3.29）-p（uMtm（|θ，|k））2（1- p） σ▄Htm+puMtm（▄θ，▄k）（1- p） σ▄ZHtm！t+~ZHtmWtm，t≤ tm<tm，（6.3）~HtM=1。（6.4）BSDE（6.3）-（6.4）可使用以下递归方案求解（见Gobet等人[13]）ZHtm=tE[~Htm+1Wtm | G（2）tm]，（6.5）~Htm=E[| Htm+1 | G（2）tm]+puMtm（|θ，~k）（1-p） σ▄ZHtmt1级-p（uMtm（|θ，|k））2（1-p） σt、（6.6）我们通过Gobet等人提出的蒙特卡罗回归方法估计（6.5）和（6.6）中的条件期望。

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2022-5-25 18:09:29

注意，对于（G（2），P），市场价格过程不是马尔可夫过程。我们定义了正在运行的最小进程SMt=inf{SMv | 0≤ v≤ t} 注意，这对（SMt，~SMt）是关于（G（2），P）的马尔可夫对。因此，我们可以选择回归基函数：1，x，x，y，yand xy。根据Gobet等人[13]的回归方法，（6.5）和（6.6）中的条件期望可以通过c+c（SMt）来估计- αS）+c（SMt- αS）+c（~SMt- αS）+c（~SMt- αS）+c（~SMt- αS）（~SMt-αS）对于某些系数ci，1≤ 我≤ 6、我们将完全知情的投资者的最优策略|π（2）近似为|π（2，b），如下|π（2）tm=u（1- p） σ+▄ZHtmσ▄Htm，0≤ tm公司≤ 商标。（6.7）按照类似程序，我们可以为部分知情的投资者求解相关的BSDE，并获得近似最优策略。图6显示了完全和部分投资者的近似最优策略，分别对应于风险资产价格的一条样本路径，其中清算发生在终止时间T之前。特别是对于图6中的资产价格路径，清算发生在时间t=0.1540。在清算之前，由于规模的原因，这两种策略无法区分。我们在图7中绘制了清算前的最优策略，并注意到清算前存在一些跟踪错误。这种差异可能是由于两个投资者的清算前策略包含一个取决于BSDE解决方案的组成部分，BSDE解决方案在时间上向后完成，特别是递归地取决于部分信息投资者的过滤漂移估计。因此，由于过滤问题的典型跟踪误差，一些误差可能会通过相关BSDE的数值解程序传播到清算前策略。HILLAIRET等人。

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2022-5-25 18:09:33

非对称信息下的最优交易2018年11月7日表1给出了完全和部分投资者在清算前的近似最优策略，如图7所示。时间0.2 0.4 0.6 0.8 1资产市价超过[0，T]资产市价清算障碍0.2 0.4 0.6 0.8 1-80-60-40-20完全和部分知情投资者超过[0，T]完全知情投资者或部分知情投资者的最佳策略图6：完全和部分知情投资者超过[0，T]HILLAIRET et al.不对称信息下的最佳交易11月7日，2018time0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16清算前资产市场价格Time0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16-1-0.50.51.5清算前完全和部分知情投资者的最佳策略完全知情投资者部分知情投资者图7：清算前完全和部分知情投资者的近似最优策略TM0.1200 0.1240 0 0 0.12800.1320 0.1360.1400 0.1440 0.1480 0 0.1520SMtm79.0600 79.0766 77.9106 76.2818 74.0479 73.5371 73.4940 73.9593 72.4905π（1）tm-0.1127-0.3614-0.0063-0.5712-0.2756-0.1780 0 0 0.0699-0.1559 0.1043π（2）tm-0.0898-0.3399-0.0224-0.7831-0.6907-0.6265-0.3766-0.5502-0.3760表1：清算前的近似最优策略Hillairet et al。

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nandehutu2022

2022-5-25 18:09:36

不对称信息下的最优交易11月7日，2018年时间0.2 0.4 0.6 0.8 1资产市价高于[0，T]资产市价清算障碍0.2 0.4 0.6 0.8 1-2-1完全和部分知情投资者优于[0，T]完全知情投资者或部分知情投资者的最佳策略图8：完全和部分知情投资者在没有清算的情况下的近似最优策略图8说明了近似最优策略对于完全和部分投资者，分别对应于不导致清算的资产价格实现路径。特别是，完全知情和部分知情投资者的最佳交易策略似乎几乎相同。我们还观察到，当价格走向清算障碍时，最优策略的总体趋势是减少股票头寸，当价格远离清算障碍时，最优策略的总体趋势是增加股票头寸。然而，随着投资期限结束时间的缩短和清算可能性的降低，股票头寸向默顿策略水平增加的总体趋势占据主导地位。6.3最佳预期效用在本小节中，我们采用蒙特卡罗方法来确定最佳预期功率和对数效用。对于不知情的投资者，由于“最优”策略只是默顿策略，我们可以直接使用Euler格式近似财富过程X（0）。对于0≤ m级≤ 需求1≤ n≤ N、我们用X（0）表示，ntm在第N次模拟中，未知情投资者的已实现财富。预期效用E[U（X（0））]由样本平均值V（0）=NP1近似≤n≤NU（X（0），ntM）。样本平均值的标准误差isSE（0）=s（N- 1） NX1≤n≤NU（X（0），ntM）-(R)V（0）.样本平均值的相对标准误差为RSE（0）=（SE（0））/（| V（0）|）。

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2022-5-25 18:09:40

样本平均值的95%置信区间估计值为[(R)V（0）-1.96*SE（0），？V（0）+1.96*SE（0）]。此模拟方案Hillairet et al.《不对称信息下的最优交易》2018年11月7日也适用于完全和部分知情投资者的对数效用。然而，对于完全和部分知情投资者的电力效用，我们无法直接近似财富过程，因为最优策略没有明确确定。A尽管我们可以首先通过求解相关的BSDE来近似最优策略，但这会增加模拟误差的大小。相反，我们模拟（3.2）中的似然过程L和（4.16）中的“L”，因为最佳预期电力设施是（3.17）和（4.25）分别给出的Lt和“Lt”的函数。例如，对于完全知情的投资者的电力公用事业，我们表示LNTM对Ltin nth模拟的离散化实现为0≤ m级≤ M和1≤ n≤ N、期望值E[（LT）pp-1] isestimated by the sample mean？ξ=NP1≤n≤N（LntM）pp-1、样本平均值的s标准误差isSE（2）=s（N- 1） NX1≤n≤N（LntM）pp-1.-\'ξ.样本平均值的相对标准误差为RSE（2）=（SE（2））/（|ξ|）。样本平均值的95%置信区间估计为[(R)ξ-1.96*SE（2），’ξ+1.96*SE（2）]。根据（3.17），完全知情的投资者的最佳预期效用由“V（2）=xpp（\'ξ）1估计-p、最佳预期效用的95%置信区间估计为[xpp\'ξ- 1.96* SE（2）1.-p、 xpp公司ξ+1.96* SE（2）1.-p] 。对于部分知情的投资者，类似的方案也适用于电力公司的情况。在表2和表3中，我们分别给出了三种类型投资者的最优预期效用f的数值结果，即功率效用和对数效用。正如所预期的那样，不同类型投资者的最佳预期效用之间存在一定差距。

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