风险的时间维度 - 外文文献专区

2022-5-7 07:46:14

风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）OLA MAHMOUDAbstract。风险的多期度量考虑了投资组合价值的路径。在概率风险度量的背景下，传统上关注的重点是投资损失的规模，而不是与时间推移相关的维度。本文对时间路径相关风险测度的概念进行了数学形式化，以捕捉与随机过程的时间维度相关的风险，并对其理论性质进行了分析。然后，我们研究投资下降的时间维度，即其持续时间，它衡量的是低于运行最大值的游程长度。本文从理论和实证两个方面分析了风险度量的性质。特别是，我们展示了duration在两个主要资产类别的收益中捕获了序列相关性。最后，我们讨论了路径依赖性时间风险估计在实践中面临的挑战。1.简介单期风险度量不能说明投资组合的路径。由于投资基金不持有静态头寸，因此衡量投资风险的标准应该是随机路径，而不是随机的单期收益或损失。数学上，路径相关的风险度量是实值函数ρ：R∞→ 随机过程空间上的R∞代表固定长度路径上的累积回报。大多数现有的路径相关风险度量本质上是对风险空间维度的度量，即投资损失或收益的大小。然而，通过从单周期移动到多周期框架，第二个维度变得明显，即时间维度。

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能者818

2022-5-7 07:46:17

这种随机过程的时间维度传统上没有被纳入Artzner等人[1999]开创的风险度量概率理论中。本文将多期风险的时间维度形式化为时间风险度量。在给定的时间范围内∈ (0, ∞), 时间风险度量是路径依赖的trisk度量ρ：R∞→ R、它首先映射了一个随机过程X∈ R∞随机时间τ，它是一个随机变量，取值于时间间隔[0，T]。这种所谓的时间转换是平移和缩放不变的，因此对空间维度是不变的，圣加仑大学（瑞士）数学与统计学院和加利福尼亚大学伯克利分校（美国）风险管理研究中心电子邮件地址：ola。mahmoud@unisg.ch, olamahmoud@berkeley.edu.Date：2016年6月28日。2随机过程的风险时间维度（即将在《风险杂志》上发表）。随机变量τ旨在总结我们感兴趣的过程X的特定时间行为。然后，对τ应用实值风险泛函，如偏差或尾均值，描述其分布的风险特征。我们得出了时间风险度量的一些性质，并表明它们在Artzner等人[1999]的意义上是不一致的。本文的第二部分重点介绍了被广泛引用的多期风险指标之一：提取，即资产净值或累积回报从历史峰值下降。在出现大规模提款的情况下，传统的单期风险诊断（如波动性或预期短缺）是不相关的，在市场突然下跌后，在不利的市场条件下可能会被迫清算。

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2022-5-7 07:46:20

由于水位下降的概念内在地考虑了给定时间段内的路径，因此它配备了两个维度：空间维度（水位下降幅度）和时间维度（水位下降持续时间）。虽然在学术文献中已经广泛研究了缩减的幅度，投资界也经常使用，但时间维度，即其持续时间，即衡量低于运行最大值的偏移长度，并没有受到同样的关注。特别是，尽管这是一个被广泛引用的绩效指标，但在实践中似乎并不存在一种普遍接受的数学方法来形成对未来持续时间的预期。为此，我们从理论上、在时间风险度量的背景下以及通过观察一些经验持续时间分布，从经验上分析了提款持续时间的性质。我们还表明，持续时间风险对资产收益的序列相关性高度敏感，因此可以捕捉到它们的时间依赖性。这种洞察可能会影响某些portfolioconstruction策略的感知。例如，流行动量策略（Chan等人[1996]）的回报具有高度的自相关性。我们的研究表明，这种策略可以避免高持续时间风险。总之，本文的主要贡献有两个方面：（i）首先，我们形式化了时间风险度量的理论，并分析了它们的性质。因此，我们引入了一种新的风险诊断，以补充传统的风险诊断，独特地捕捉与时间推移相关的风险，并提供比标准风险度量更多的路径信息。通过将时间维度纳入风险度量框架，人们可以在实践中形成对未来时间风险的预期。（ii）其次，我们举例说明了一个应用我们的时间风险度量理论的实际例子。

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2022-5-7 07:46:23

更具体地说，我们研究了缩减的时间维度及其持续时间。提取期限是投资管理行业中被广泛引用的一种风险诊断方法，但之前从未在风险时间维度的路径依赖性度量（即将发表在《风险杂志》3风险中进行过研究。因此，我们将持续时间作为风险的时间度量，并验证其属性。然后我们推导了持续时间风险的一些经验性质。特别是，我们展示了持续时间捕获了两个主要资产类别回报的序列相关性。1.1. 提要我们从第2节开始，回顾了连续时间环境中路径依赖性的概率理论。然后，我们引入了时间变换的概念，随机过程到随机时间的空间不变随机变量映射，以及时间接受族的概念，并证明了这两种结构是相对应的。然后，将时间风险度量定义为路径相关风险度量，可将其分解为时间转换和风险函数。我们证明，在Artzner等人[1999]的意义上，风险的时间度量永远不可能是一致的。第三节分析了水位下降的时间维度。我们首先回顾了下降的空间维度及其幅度。它的时间维度，持续时间，捕获了随机过程第一次达到之前运行的最大值所需的时间。第4节包括根据风险的时间度量对持续时间的分析，以及对持续时间分布的实证分析。然后我们证明，持续时间风险在序列相关性方面比传统的单周期风险度量更能体现时间依赖性。我们在第5节总结了我们的发现，并讨论了路径依赖风险估计在实践中面临的挑战。1.2.

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2022-5-7 07:46:27

背景文献。我们总结了与路径相关风险度量的概率理论相关的工作，以及对下拉的两个维度、其大小和持续时间的理论和实践分析。1.2.1. 路径依赖风险度量。Artzner等人[1999]的开创性工作介绍了不同的风险度量以单期风险为中心，风险在期初测量，随机损失或收益在期末观察。在Artzneret等人[2002、2007]中，Artzner等人[1999]的框架被推广到离散时间多周期模型，在Cheridito等人[2004、2005]中，连续时间随机模型的相干和对流风险度量的表示结果得到了发展。Riedel[2004]定义了动态风险度量的概念，其中动态风险评估由一系列风险映射组成，并随着时间的推移进行更新，以纳入新信息。这种衡量标准具有动态一致性的概念，这要求基于风险衡量标准的判断随着时间的推移并不矛盾（另见Bion Nadal[2008、2009]和Fasen and Svejda[2012]）。在过去的十年里，人们对动态风险度量进行了广泛的研究；[2007]和[Rosael-Weillzer]以及[2006]等。我们指出，上述研究的重点是损失和收益的大小，而不是潜在过程的时间行为。据我们所知，4风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）的路径依赖风险度量概念捕捉风险的时间维度，在学术文献中尚未正式发展。1.2.2. 水位下降幅度和持续时间。

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可人4

2022-5-7 07:46:30

应用概率论文献（Taylor[1975]、Lehoczky[1977]、Douady等人[2000]、Magdon Ismail等人[2004]、Landriault等人[2015a]、Mijatovicand Pistorius[2012]、Zhang and Hadjiliadis[2010]、Hadjiliadis and Vecer[2006]、Pospisil等人[2009]）对水位下降幅度的分析评估进行了广泛研究。在数学金融研究中，主动投资组合管理中的缩减受到了广泛关注（Grossman和Zhou[1993]，Cvitanic和Karatzas[1995]，Chekhlov等人[2003,2005]，Krokhmal等人[2003]，Carr等人[2011]，Cherney和Obloj[2013]，Sekine[2013]，Zhang等人[2013]，Zhang[2015]，Zabarankin等人[2014]，Pospisiland Vecer[2010]）。在概率风险度量的背景下（这是我们在本文中的主要兴趣），Chekhlov等人[2003年、2005年]开发了一种称为条件风险提取（CDaR）的提取风险定量度量，Goldberg和Mahmoud[2016]开发了一种称为条件预期提取（CED）的最大提取风险度量。CDaR和CED这两种风险度量都是偏差度量（Rockafellar等人[2002、2006]）。在此之前，在风险度量的背景下，还没有研究过缩减的时间维度，即其持续时间。然而，它被认为是在其概率特性方面。例如，在Zhang和Hadjiliadis[2012]中，分析了水位下降持续时间的概率行为，并推导了水位下降前最大过程的最后访问时间的联合拉普拉斯变换，以及在一般差异动态下的最大过程。最近，Landriault等人[2015b]考虑推导出一大类利维过程的提取持续时间，并发现提取持续时间的规律定性地依赖于潜在利维过程的光谱负成分的路径类型。2.

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2022-5-7 07:46:33

时间风险度量我们回顾了连续时间环境中路径依赖风险度量的概念，并形式化了围绕路径依赖时间风险度量的数学框架。2.1. 路径依赖风险度量。在经典风险评估中，固定时间范围内的不确定投资组合结果表示为概率空间上的随机变量。风险度量将每个随机变量映射为一个实数，总结了投资组合中风险资产的总体状况。这种单期风险度量并没有考虑投资组合的回报路径。由于投资基金不持有静态头寸，理想情况下，投资风险的衡量应该在随机过程而非随机变量中确定。我们使用Cheridito等人[2004]的一般设置来研究连续时间路径相关风险的数学形式。连续时间累积收益，或相当于净资产价值的过程，由基本上有界的c`adl`ag过程（在给定的概率中，即风险的时间维度（即将在《风险杂志》中）5度量）表示，这些过程适应于过滤概率空间的过滤。更正式地说，对于atime horizon T∈ (0, ∞), 让(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个满足通常假设的过滤概率空间，即概率空间(Ohm, F、 P）是完全的，（Ft）是右连续的，F包含F的所有空集∈ [1, ∞], （Ft）-适应的c`adl`ag过程位于banach间隔区p={X:[0，T]×Ohm → R | X（Ft）-适应的c`adl`ag过程，kXkRp}，它配备了normkXkRp:=kX*kPx在哪里*= 监督∈[0，T]| Xt |。关于概率测度P，过程之间的所有等式和不等式都是完全可以理解的。

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2022-5-7 07:46:36

例如，对于进程X和Y，X≤ 对于P-几乎所有ω∈ Ohm, Xt（ω）≤ Yt（ω）适用于所有定义2.1（连续时间路径相关风险度量）。连续时间路径依赖的trisk测度是实值函数ρ：R∞→ R.与单期风险类似，路径依赖风险度量ρ：R∞→ 如果满足以下公理，R是货币：o平移不变性：适用于所有X∈ R∞几乎可以肯定，所有这些都是常数∈ R∞,ρ（X+C）=ρ（X）- C.o单调性：对于所有X，Y∈ R∞这样X≤ Y，ρ（X）≤ ρ（Y）。对于所有X，它是一阶正齐次的∈ R∞λ>0，ρ（λX）=λρ（X）；如果X，Y都是凸的∈ R∞λ∈ [0,1]，ρ（λX+（1- λ） Y）≤ λρ（X）+（1）- λ） ρ（Y）。正同质和凸的线性（路径相关）风险度量称为相干。备注2.2（符号惯例）。对于随机过程X∈ R∞, 我们将为Xt:=supu定义的随机过程写X∈[0，t]Xu，这是X到时间t的运行最大值。此外，对于随机变量Z和置信水平α∈ [0，1]，我们将使用qα（Z）：=inf{d∈ R:P（Z>d）≤ 1.- α} 表示其α分位数，t Mα（Z）：=1- αZαQu（Z）duto表示其α尾均值。2.2. 时间路径依赖性风险。大多数路径相关风险度量本质上是对投资路径空间维度的度量，即投资损失或收益的风险时间维度（即将发表在《风险杂志》上）。然而，人们可能对与潜在随机过程的时间维度相关的风险感兴趣。例如，在基金管理行业，恢复之前最大值（“峰到峰”）所需时间的历史值，或之前最大值和当前低点（“峰到谷”）之间的时间长度，经常与提取值一起引用。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:46:39

然而，一种被普遍接受的数学方法似乎并不存在，它可以对未来潜在的此类暂时风险形成预期。一个过程的空间维度概括了一个货币量，如投资收益、损失或回报，而时间维度是以时间单位衡量的。因此，预计这两个量的行为方式不同。为了从一个过程的空间维度过渡到其时间维度，我们定义了所谓的时间转换，它通过将过程映射到arandom时间，从本质上消除了其空间维度的过程。接下来，我们将这些概念正式化。确定时间范围∈ (0, ∞). 给定一个随机过程X∈ R∞, 随机时间τ是同一概率空间上的随机变量(Ohm, F、 P）作为X，取时间间隔[0，T]中的值。我们说Xτ表示过程X在随机时间τ的状态。随机时间可以被认为是空间T的元素 L(Ohm, F、 P）实值随机变量τ：Ohm → [0，T]。注意，空间T是一个偏序集；它是反射的、反对称的和传递的。向量序≤ 关于T由τ给出≤ τ当且仅当τ（ω）≤ τ（ω）对于几乎所有ω∈ Ohm. 在随机过程的概率研究中，随机时间的典型例子包括击中时间（给定过程第一次击中状态空间的给定子空间）和停止时间（给定随机过程表现出某种感兴趣行为的时间）。2.3. 时间变换。给定一个随机过程X∈ R∞, 我们现在对某些事件发生所需的时间感兴趣。为了提取这个过程的时间特征，我们使用空间不变变换将X映射到T中的随机时间。定义2.3（时间转换）。

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2022-5-7 07:46:42

随机变量变换θ：R∞→ 如果时间变换满足以下三个公理，则称之为时间变换：（1）规范化：对于所有常数确定性C∈ R∞, θ（C）=0。（2）平移不变性：适用于所有X∈ R∞常数C，θ（X+C）=θ（X）。（3）缩放不变性：适用于所有X∈ R∞λ>0，θ（λX）=θ（X）。上述公理（2）和（3）所暗示的过程大小变化下的不变性，本质上产生了一个随机变量，在某种程度上独立于原始过程的空间轨迹。时间变换构造了一个我们感兴趣的随机时间属性。不变性公理基本上是获得时间特征所需的全部，因为它们抛弃了任何空间特征。此外，请注意，时间变换不需要满足单调性公理——给定的随机性。风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）7过程大于另一个过程，并不表明它们相对于各自的时间特征的顺序。与随机过程X有关的随机时间θ（X）∈ R∞可以解释为X经历某个风险资产所需的时间。根据这种解释，人们可能会认为更长的时间段比更短的时间段更糟糕，例如，恢复之前高点所需的时间。考虑到这一点，时间变换θ：R∞→ T归纳出下列时间偏好关系R上的θ∞:对于X，Y∈ R∞, 十、θY当且仅当θ（X）≤ θ（Y）。这种暂时的偏好顺序反映了这样一种观点，即在世界上的每一个州，风险特征持续时间更长的过程都不那么受欢迎。

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2022-5-7 07:46:46

请特别注意θsatis fix+C~ X和λX~ X.对每个时间变换θ和相关的偏好顺序θ我们将其暂时接受族Aθ联系起来，这是德雷珀和库珀[2013]在单期风险度量背景下引入的一个概念，概括了Artzner等人[1999]的风险接受集概念。定义2.4（暂时接受家庭）。递增族A=（Aτ）τ∈Tof subsetsAτ R∞如果满足以下性质，则为暂时接受族：（1）对于所有常数C∈ R∞和τ∈ T，Aτ+C=Aτ。（2）总之τ∈ T和λ>0，λAτ=Aτ。传统上，验收集是作为风险度量结果的稳健表示工具引入的，通常用于推导风险度量的结构属性，并对风险的某些经济原则进行建模。在我们的设置中，给定的时间接受集抽象地表示所有共享特定时间特征的进程。实际上，时间变换和时间接受集之间存在双射对应关系，其验证非常简单。提议2.5。设θ：R∞→ T是一个具有相关时间参考顺序的时间变换θ. 那么子集Aτθ的族Aθ R∞由τθ＝{X给出∈ R∞: θ（X）≤ τ}是一个暂时接受族。相反，给定一个时间接受族aτ，变换θa:R∞→ 定义为θA（X）：=inf{τ∈ T:X∈ Aτ}集A上的偏好关系是二元关系满足不对称性和负及物性。它产生了一种独立的关系~ 由一个~ b当且仅当a b和b a换a，b∈ A.8风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）是一种时间转换。此外，这种对应关系是双射的，即θ=θAθ和A=AθA.2.4。风险的时间度量。

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2022-5-7 07:46:48

既然我们已经将一个随机过程转化为一个代表某种时间特征的随机变量，我们就可以使用风险泛函来检验这个随机时间的分布。时间风险度量是一种与路径相关的风险度量，它总结了随机过程的时间特性。它本质上是一个实值函数，描述与随机过程相关的随机时间分布特征。形式上，风险的时间度量可以分解为时间转换和风险度量：定义2.6（时间风险度量）。在给定的时间范围内∈ (0, ∞), 时间风险度量是路径依赖的风险度量ρT:R∞→ 定义为ρT:=ρo θ，其中θ：R∞→ T是将随机过程映射到随机时间的时间变换，ρ：T→ R是一个实值风险泛函。注意，对风险函数ρ或时间风险度量ρT没有限制。特别是，它们不需要满足风险度量的常规属性，因为我们对随机过程的货币维度不感兴趣。然而，我们可以研究获得时间风险ρT的一致性度量的条件。更具体地说，由于ρ是风险函数与时间变换的组合，因此用时间变换合成一致的风险函数ρ的效果不会产生一致的时间度量。引理2.7。风险的路径依赖时间测度ρT:R∞→ R不是一致的风险度量。特别是，假设ρT=ρo θ、风险函数ρ：T的一致性→ Rdoes并不意味着ρT的一致性。备注2.8（实践中不一致的影响）。

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2022-5-7 07:46:52

一致性公理最初是作为风险度量的理想属性引入的，其假设是，转移风险代表应增加的资本量，以便监管机构能够接受。例如，从监管角度来看，转换不变性意味着向现有投资组合中增加任何担保头寸的价值只会减少该担保金额所需的资本；单调性本质上表明，导致更高损失的头寸应该需要更多的风险资本。从时间的角度来看，货币主义，以及这两条公理，是不相关的。另一方面，凸性和正同质性在任何维度下都是两个实际有用的属性——凸性使投资者能够以最小化总体风险的方式分配资金，而正同质性我们引入的时间风险概念不应与Machina[1984]的概念混淆，后者在经济效用最大化偏好的背景下，在风险前景中进行选择时，抓住了延迟风险的概念，而不是立即解决的风险。风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》9上）确保投资组合的整体风险可以线性分解为代表单个因素对风险的贡献的可加性子成分。风险的时间度量既不是凸的，也不是一级正同质的。这一方面意味着随机时间风险的线性分布不受支持，另一方面，有利的凸优化理论不适用。因此，时间风险在投资过程中的实际应用似乎有限。

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2022-5-7 07:46:55

尽管如此，暂时性风险还是包含了一个潜在有用的风险维度诊断指标，该指标在投资管理行业的风险管理流程中传统上未被纳入。除了作为一种新的风险诊断工具，并假设一个现实有效的风险模型外，时间风险度量还可以让投资者在实践中对未来潜在的时间风险形成预期。3.下降的时间维度我们分析了下降的时间维度的性质，这是实践中最广泛引用的路径依赖风险度量之一。我们考虑的两个时间维度是提款持续时间，它测量一个过程达到之前运行最大值所需的时间，以及清算停止时间，它捕获一个主观设定的时间阈值，如果提款超过该阈值，投资者将在该阈值后进行清算。我们从描述水位下降幅度的性质开始。3.1. 水位下降的空间维度。与波动性、风险价值和预期缺口等传统风险衡量标准不同，提款的概念具有内在的路径依赖性。作为基金管理行业最常被引用的下行风险指标之一，它衡量的是代表投资资产净值的随机过程中，从运行最大值（高水位）开始的价值下降。定义3.1（提款过程）。对于地平线T∈ (0, ∞), 缩编过程D（X）：={D（X）t}t∈[0，T]对应于一个随机过程X∈ R∞定义为比亚迪（X）t=Xt- Xt，其中Xt=supu∈[0，t]是X到时间t的运行最大值。与给定随机过程相关的下降过程具有一些实际直观的性质。显然，一个恒定的确定性过程不会随着时间的推移发生任何价值变化，这意味着相应的下降过程为零。

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2022-5-7 07:46:58

此外，给定过程中的任何恒常变化都不会改变其下降的幅度，随机过程的任何恒常乘子都会以相同的乘数影响下降。然而，在单调性条件下，下降幅度不会保持不变，这意味着可以根据其幅度进行排序的过程不一定意味着风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）对下降幅度的排序相同或相反。最后，一个非常重要的性质是凸性。事实上，两个过程的凸组合会导致缩减过程，其规模小于基础过程的平均独立缩减。接下来我们将这些属性形式化。引理3.2（水位下降特性）。给定随机过程X∈ R∞, 设D（X）为固定时间范围T的相应下降过程。然后：（1）对于所有常数确定性过程C∈ R∞, D（C）=0。（2）对于常数C∈ R∞, D（X+C）=D（X）。（3）对于λ>0，D（λX）=λD（X）。（4）为了你∈ R∞λ∈ [0,1]，D（λX+（1-λ） Y）≤ λD（X）+（1）- λ） D（Y）。证据属性（1）到（3）很简单。要推导（4），请注意对于λ∈ [0,1]，我们显然有λX+（1）- λ） Y≤ λX+（1）- λ） Y由上确界的性质决定，因此（λX+（1-λ） Y）=λX+（1）- λ） Y- λX- （1+λ）Y≤ λX+（1）- λ） Y- λX- （1+λ）Y=λD（X）+（1）- λ） D（Y）。备注3.3。请注意，通常情况下，Y∈ R∞哪个X≤ Y，eitherD（X）≤ D（Y）或D（X）≥ D（Y）。唯一的东西是X≤ Y意味着X≤ Y

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2022-5-7 07:47:01

然而，由于在地平线内的任何时间点，峰值下降的幅度都没有具体规定，因此无法对相应下降过程的量级得出结论。为了更正式地理解这一点，请注意，在D（X）>D（Y）orD（X）<D（Y）的任一假设下，我们总是得到X>Y。在实践中，在对冲基金和大宗商品交易顾问领域，使用最大支取作为风险指标的做法尤其普遍，在对冲基金和大宗商品交易顾问领域，经常使用经最大支取调整的绩效指标，如卡尔玛比率、英镑比率和布尔克里欧。定义3.4（最大水位下降）。在固定的时间范围内∈ (0, ∞), 随机过程X的最大下降∈ R∞是Xin[0，T]从峰值到谷底的最大降幅，因此是所有降幅中最大的D（X）T:u（X）：=supt∈[0，T]{D（X）T}。或者，最大水位降可以定义为通过以下基本随机过程X:u（X）：=supt变换获得的随机变量∈[0，T]sups∈[t，t]{Xs- Xt}。最大降深分布的尾部在实践中可能特别有意义，从中可以提取出阿吉文级降深的可能性。Goldberg and Mahmoud[2016]中定义的提款风险度量是最大提款的尾部平均值，即风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》11中）。

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2022-5-7 07:47:05

在信心水平α∈ [0,1]，条件预期下降CEDα：R∞→R被定义为路径依赖风险度量，将过程X映射到预期的最大下降u（X），前提是α处的最大下降阈值被打破。更正式地说，CEDα（X）：=TMα（u（X））=1- αZαQu（u（X））du，其中Qα是最大下降分布的分位数：Qα（u（X））=inf{d∈ R:P（u（X）>d）≤ 1.- α} 如果u（X）的分布是连续的，则CEDα相当于尾部条件检测：CEDα（X）=E（u（X）|u（X）>DTα（u（X）））。CED具有良好的数学特性，适合投资过程。事实上，它是一个一级正同质风险度量，因此可以将其归因于因素，并且是凸的，因此可以用于定量优化。提案3.5（Goldberg and Mahmoud[2016]）。对于给定的置信水平α∈ [0,1]，有条件的预期下降CEDα：R∞→ R是一阶正齐次凸路径依赖风险度量，即λ>0的CEDα（λX）=λCEDα（X）和CEDα（λX+（1- λ） Y）≤ λCEDα（X）+（1）- λ） λ的CEDα（Y）∈ [0, 1].3.2. 下降持续时间。对于固定的时间范围T，我们现在关注的主要对象是水位下降的时间维度。其中一个维度是与价格过程X相对应的提款过程D（X）的持续时间，该过程测量X在运行最大值以下的偏移长度。在基金管理行业通常被称为恢复时间（TTR），持续时间是指第一次达到之前流程最大运行时间所需的时间。与之前一样，fix a time horizon T∈ (0, ∞) 设D（X）={D（X）t}t∈[0，T]是与随机过程X相对应的下降过程∈ R∞, X是X定义3.6（峰值时间过程）的最大运行时间。

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2022-5-7 07:47:09

峰值时间过程G（X）={G（X）t}t∈[0，T]由g（X）T=sup定义s∈ [0，t]：Xs=Xs.换句话说，G（X）t表示X最后一次达到峰值，也就是说，它最后一次与t之前的最大值X重合。请注意，G（X）必然是非递减的，只由线性子过程组成（更具体地说，作为t的函数，线性区间{G（X）t}t∈[r，s]对于r<s，要么是恒等式，要么是恒等式），并且具有跳跃不连续性（在下面的过程X不是单调的现实假设下）。此外，过程G（X）在基础过程的常数移位或标量乘法下是不变的。与下降过程类似，风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）表明，与随机过程X相关的峰值时间过程不保持单调性。换句话说，对应于更大值的过程的峰值时间过程不必更大。然而，与保留凸性的水位下降过程不同，无论是凸性还是凹性，峰值时间都不保留。这意味着两个过程的凸组合不会导致峰值时间过程始终小于或大于基础过程的平均独立峰值时间。我们正式描述了这些属性。引理3.7（峰值时间的性质）。给定随机过程X∈ R∞, 设G（X）为固定时间范围T对应的峰值时间过程。然后：（1）对于所有常数确定性过程C∈ R∞, G（C）t=t表示所有t∈ [0，T]。（2）对于常数C∈ R∞, G（X+C）t=G（X）t对于所有t∈ [0，T]。（3）对于λ>0，对于所有t，G（λX）t=G（X）t∈ [0，T]。备注3.8。

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2022-5-7 07:47:12

还要注意的是，峰值时间不一定在单调性下保持不变，即X≤ Y不一定意味着G（X）t≤ G（Y）或G（X）t≥ G（Y）t对于所有t∈ [0，T]。直观地说，一个进程最后一次与其运行最大值重合的时间与进程的大小无关。此外，峰值时间不一定表现出拟凸或拟凹的行为，即λ∈ [0,1]，G（λX+（1-λ）对于所有的t，它不一定大于min{G（X）t，G（Y）t}或小于max{G（X）t，G（Y）t}∈ [0，T]。我们构造了一个简单的例子，表明对于λ∈ [0,1]，G（λX+（1-λ）对于所有t，它不一定大于min{G（X）t，G（Y）t}∈ [0，T]。定一个时间∈ [0，T]并且在不丧失一般性的情况下，设G（X）T=tandG（Y）T=twith T<T≤ t、设G（λX+（1）-λ） Y）t=t*我们检查如果t*< t=min{G（X）t，G（Y）t}。在这种情况下，我们通过定义λX+（1- λ） Y<λX+（1）- λ）是的。特别地，在t处，我们有λXt+（1）- λ） Yt<（λX+（1- λ） Y）t=λXt+（1）- λ） Yt=λXt+（1）- λ） Yt，意味着Yt<Yt。请注意，我们没有关于Y相对于时间t之前运行的最大Y的位置的信息。这意味着如果Yt<Yt，那么t*< min{G（X）t，G（Y）t}，另一方面，如果Yt=Yt，那么t*≥ min{G（X）t，G（Y）t}。我们可以构造一个类似的参数来证明G（λX+（1-λ）它不一定小于max{G（X）t，G（Y）t}。从概率上讲，过程X在峰值时间G（X）和恢复时间Lt=sup{s之间的轨迹∈ [t，t]：Xs=Xs}是X在其运行最大值时的偏移，它与时间t相交。如果在偏移期间X<X，我们称X处于下降或水下。我们现在对t感兴趣- G（X）t，这是这次旅行的持续时间。定义3.9（持续过程）。

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2022-5-7 07:47:15

给定一个进程X∈ R∞时间范围T，持续过程δ（X）={δ（X）T}T∈与X相关的[0，T]由δ（X）T=T定义- G（X）t.下列性质是引理3.7风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）13引理3.10（持续时间的性质）的直接结果。给定一个进程X∈ R∞时间范围T，持续过程δ（X）={δ（X）T}T∈[0，T]满足[0，T]的下列性质：（1）对于所有常数确定性过程C∈ R∞, δ（C）=0。（2）为了所有的X∈ R∞所有常数确定过程∈ R∞, δ（X+C）=δ（X）。（3）为了所有的X∈ R∞λ>0，δ（λX）=δ（X）。备注3.11。与峰值时间类似，下降持续时间不一定在单调性下保持不变，即X≤ Y不一定意味着δ（X）≤ δ（Y）或δ（X）≥ δ（Y），下降持续时间不一定表现出凸或凹的行为，即λ∈ [0,1]，δ（λX+（1-λ） Y）不一定大于或小于λδ（X）+（1-λ） δ（Y）。现在特别感兴趣的是固定时间范围内的最大水下时间，与该时间间隔内过程X所经历的实际水位下降幅度无关。定义3.12（最长持续时间）。给定一个进程X∈ R∞时间范围T，设δ（X）是对应于X的持续时间过程。随机过程X的最大持续时间是由δ（X）max=supt定义的实值随机变量∈[0，T]{δ（X）T}。最长持续时间显然是T中的随机时间，定义在与X相同的概率空间上，取区间[0，T]中的值。备注3.13（最大水位下降的持续时间）。我们指出，最大持续时间δ（X）的概念与给定路径内最深偏移的持续时间或长度（小于最大值u（X））不同。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:47:18

假设过程X的最大下降发生在时间τp之间∈ [0，T）（“峰值”）和τr∈ 【τp，T】（“恢复”），为了说明τris的定义，我们假设恢复确实发生在给定的范围内。注意，必须有一个时间点τb∈ （τp，τr），其中X在间隔（τp，τr）期间处于其最小值（“底部”）。出现最大水位下降的区间内X的最小值的时间由τb=inf{t给出∈ [0，T]：u（X）=支持∈[0，T]Dt}。那么τpis最后一次X在τb之前达到最大值：τp=sup{t∈ [0，τb]：Xt=Xt}，τris第一次X再次与其滚动最大值重合：τr=inf{t∈ [τb，T]：Xt=Xt}.14风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）图1。1978年至2013年期间美国债券历史最长期限和最长提款期限的每日时间序列。给定一个进程X∈ R∞, 最大水位下降的持续时间X是由δ（X）u=τr定义的随机变量- τp.直接证明δ（X）usatis与最大持续时间δ（X）max satis具有相同的性质。从经验上看，这两个概念是密切相关的（见图1），最大水位下降的持续时间更嘈杂（事实上，这完全遵循了实际的历史最大水位下降）。因此，在研究最大水位下降的持续时间时，基本上要分析最大水位下降本身，这就降低到了潜在过程的空间维度。然而，通过考虑最大持续时间，我们完全关注时间维度，尽管这两者是相关的，我们将在后面看到。备注3.14（停车时间）。第二个可能在实践中感兴趣的下降时间维度是停止时间。

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2022-5-7 07:47:21

在概率论中，停止时间（也称为马尔可夫时间）是一个随机时间，其值被解释为给定随机过程表现出某种感兴趣行为的时间。停止时间通常由停止规则定义，这是一种根据当前位置和过去事件决定是否继续或停止流程的机制，几乎总是会导致决定在某个特定时间停止。因此，它完全取决于（至多）到某个时间为止已知的全部信息。在我们提取投资的背景下，计算一个过程在水下停留的时间超过某个主观设定的接受阈值的概率可能很有意义。无论损失的规模有多大，如果恢复的时间超过了这个阈值，人们可能会被迫清算。给定一个进程X∈ R∞在一个时间范围内∈ (0, ∞) 相应的持续时间过程δ（X），用l表示∈ （0，T）主观设定的清算阈值。清算停止时间（LST）由τ（X）L=inf{T定义∈ [0，T]：δ（X）T≥ l} 。风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）15图2。1973年1月至2013年12月期间每日美国股票指数和美国债券指数最长持续时间的经验分布。根据经验得出的分布如下。根据历史收益时间序列，我们使用一天滚动窗口生成固定6个月（n=180个交易日）的收益路径。然后计算每条路径的最大持续时间。这意味着连续路径重叠。

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2022-5-7 07:47:24

其优点是，对于长度为T的日收益时间序列，我们可以得到长度为T的最大持续时间序列- n、这对于大T和小n来说也是相当大的。该停止时间τLhence表示水位下降持续时间δ（X）首次超过规定的清算阈值l；这是流程X首次连续在水下停留超过l的时间。它本质上规定了一条规则，告诉我们何时退出交易。请注意，在τLcan时“停止”的决定（最多）仅取决于当时已知的信息，而不取决于任何未来的信息。4.持续时间风险我们使用时间风险度量从理论和实证两方面分析了提款持续时间的分布。尽管在给定的视界内，任何给定的路径上都只有一个最大持续时间，但考虑最大持续时间的分布是有益的。通过观察这种分布，我们可以对给定投资组合在给定投资期限内的预期提款长度形成合理的预期。图2显示了1973年至2013年40年间美国股票和美国政府债券的经验最长期限分布（使用每日数据）。虽然最大水位下降分布通常是正偏斜的，与潜在风险特征无关，这意味着非常大的水位下降发生的频率低于较小的水位下降（参见Burghardtf）。从概率角度来看，清算停止时间τlca可以与零屏障的巴黎停止时间相一致，Chesney等人[1997]和Loeffen等人[2013]对此进行了研究。

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可人4

2022-5-7 07:47:27

Dassios和Wu[2009]在精算风险理论中也引入了停止时间，其中过程X模拟了具有初始资本的保险公司的盈余，一次短途旅行的停止时间称为巴黎破产时间。这些数据来自全球金融数据数据库。我们采用了标准普尔500指数和美国10年期ZF债券总收益指数的每日时间序列，涵盖1973年1月至2013年12月之间的40年时间段。16关于风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》等[2003]和Goldberg and Mahmoud[2016]），这不一定是最大持续时间分布的情况。美国股票的正偏度值为1。3，而对于价值为0.4的美国债券来说，这一点不那么明显。现在，我们可以使用路径依赖的时间风险度量来描述最大持续时间的风险特征。定义4.1（持续时间风险度量）。我们定义了以下路径依赖的风险时间测量ρ：R∞→ R描述与随机过程X相关的最大持续时间δ（X）max的分布∈ R∞:（1）持续时间偏差：σδ：R∞→ R由σδ（X）=σ定义δ（X）max,其中σ是标准偏差。（2）持续时间分位数：用于置信水平α∈ [0,1]，持续时间分位数由qα定义δ（X）max= infD∈ R:P（δ（X）max>d）≤ 1.- α.（3）有条件的预期持续时间：对于信心水平α∈ [0,1]，条件期望由TMα定义δ（X）max=1.- αZαQαδ（X）maxdu对于连续δ（X），上述总量为mαδ（X）max= Eδ（X）max |δ（X）max>Qαδ（X）max.请注意，在定义2.6的意义上，这些路径相关的风险度量实际上都是暂时的。

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nandehutu2022

2022-5-7 07:47:30

在每种情况下，路径相关风险度量ρT:R∞→ R是应用于最大持续时间的风险函数（偏差、分位数、尾均值）的组合，时间变换映射为随机过程X∈ R∞相应的最大持续时间δ（X）max。因此，我们立即知道，这些路径依赖的持续时间风险度量都不满足风险度量的任何一致性公理。从经验上看，久期风险与股票比债券风险更高的程式化事实是一致的。事实上，表1显示，美国股票的有条件预期期限比美国债券的有条件预期期限大。然而，另一方面，与图2一致，风险较低的固定收益资产的平均持续时间和持续时间偏差都比风险较高的股票资产大得多。备注4.2（空间和时间缩减）。尽管从理论上讲，持续时间与提款幅度无关，但投资组合价值累计下跌的时间维度和规模维度之间存在密切关系。图3显示了美国股票和美国政府债券的每日提款幅度及其持续时间序列。显然，水位下降的幅度与其持续时间正相关。因此，风险的时间维度（即将在《风险杂志》上发表）为0。9塞德。9E[δ（X）m]σδCEδ，0.9美国股票18.35%2.19%47%456 489 1323美国债券5.43%0.49%29%976 590 1070表1。1973年1月至2013年12月（含）期间每日美国股票和美国债券指数的单期和路径相关风险统计。预期短缺（ES）、有条件预期提款（CE）和有条件预期持续时间（CEδ）按90%置信水平计算。E[δ（X）m]和σδ分别是平均最大持续时间和最大持续时间的偏差。图3。

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可人4

2022-5-7 07:47:33

1978年至2013年期间美国债券和美国股票的历史支取（左侧以百分比表示）和持续时间（右侧以交易日表示）的每日时间序列。尽管一些较小的水位下降可能会在水下停留很长一段时间，但根据经验，较大的水位下降往往伴随着较长的持续时间。实际上，将水位下降幅度的凸面风险降至最低可能会导致整体（非凸面）持续时间风险降低。4.1. 持续时间风险和序列相关性。接下来，我们展示了持续时间风险比传统的单周期风险度量更能体现时间依赖性；这种时间依赖性意味着对序列相关性的敏感性更高。我们使用蒙特卡罗模拟生成一个自回归AR（1）模型：rt=κrt-1+ t、自回归参数κ的值不同，其中固定为高斯分布，方差为0.01。然后，我们计算每个模拟自回归时间序列的波动率、预期缺口、条件预期下降和条件预期持续时间，并将结果列为κ的函数（见表2）。两种单期风险度量都受到自回归参数值增加的影响。然而，这两种路径相关风险度量的增长更为陡峭。接下来，我们使用最大似然法将相同的AR（1）模型拟合到6个月滚动的美国股票和美国ZF债券的每日时间序列18风险的时间维度（即将发表在《风险杂志》上）Kappa 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9波动率0.07 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.11 0.12 ES0。90.16 0.16 0.17 0.17 0.18 0.19 0.19 0.20 0.21塞德。90.15 0.16 0.18 0.21 0.22 0.29 0.34 0.38 0.39CEδ，0.9291 328 350 339 411 467 487 504 496表2。

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2022-5-7 07:47:36

对于自回归参数κ的不同值，蒙特卡罗模拟DAR（1）模型（具有10000个数据点）的波动性、90%的预期缺口、90%的条件预期下降和90%的条件预期持续时间。波动率ES0。9塞德。9CEδ，0.9美国股票0.45 0.52 0.70 0.81美国债券0.32 0.39 0.67 0.85表3。对于美国股票和美国政府债券的每日时间序列，AR（1）模型中自回归参数κ的估计值与整个期间（1973-2013年）估计的四个风险度量值（波动率、90%预期缺口和90%条件预期提取以及90%条件预期持续时间）的相关性。获取每个资产的估计κ值时间序列的依据。表3显示了κ的时间序列与6个月滚动波动、预期短缺、条件预期下降和条件预期持续时间的时间序列的相关性。对于这两种资产而言，与波动性和短缺相比，提款和持续时间与自回归参数的相关性相对较大，持续时间的相关性最高。最后，请注意，美国股票的单期和支取风险始终高于美国债券，而持续时间风险则相反。这些见解可能会影响某些投资组合构建策略在实践中的使用。以流行的动量交易策略为例，该策略倾向于产生相对较大的回报，并带有一定的自相关性。鉴于这一系列的相关性，我们的研究表明，这种策略往往会受到高多期风险的影响，特别是从提款和持续时间。5.结论5。1.捐款摘要。风险的多期度量说明了投资组合价值的路径。

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