缩编：从实践到理论再回到实践

2022-5-6 04:16:52

缩编：从实践到理论，然后再回来（即将出版的《数学与金融经济学》杂志）丽莎·R·戈德伯甘德·奥拉·马哈茂达布斯特拉特（LISA R.GOLDBERGAND OLA MAHMOUDAbstract）。最大支取，即从峰值到谷底的最大累积损失，是基金管理行业最广泛使用的风险指标之一，但在风险度量方面发展最少。我们将提款风险形式化为条件预期提款（CED），这是最大提款分布的尾部平均值。我们证明CED是一个一级正同质风险度量，因此它可以线性地归因于各种因素；和凸性，因此可以用于定量优化。我们将根据CED、预期缺口和波动性，实证研究风险归因的差异。CED的一个重要特征是它对序列相关性的敏感性。在一项将AR（1）模型应用于美国股票和美国债券的实证研究中，我们发现自回归参数与CED之间的相关性显著高于与ES或波动性之间的相关性。关键词：缩编；有条件的预期缩编；偏差测量；风险归因；序列相关性潜在利益冲突的披露：作者声明他们没有利益冲突。加州大学伯克利分校统计与经济系和风险管理研究中心，加利福尼亚州94720-3880，美国圣路易斯大学数学与统计学院。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:16:55

加伦，Bodanstrasse 6号，CH-9000，瑞士，加利福尼亚大学伯克利分校风险管理研究中心，加利福尼亚州埃文斯厅，邮编94720-3880，美国电子邮件地址：lrg@berkeley.edu,olamahmoud@berkeley.edu.Date：2016年9月22日。我们感谢Robert Anderson对本文中讨论的内容发表了富有洞察力的评论；感谢Alexeichelov、Stan Uryasev和Michael Zabarankin对这项工作之前草稿的反馈；感谢VladislavDubikovsky、Michael Hayes和M\'ark Horv\'ath对本文早期版本的贡献；托卡洛·阿塞尔比（Carlo Acerbi）就之前的草案提供了详细的意见；感谢《数学》和《金融经济学》的评委和编辑们的宝贵反馈。2缩编：从实践到理论，再回到图1.1。在特定路径上模拟投资组合的资产净值。一次大规模的撤资可能会迫使市场底部进行清算，而市场复苏的过程从未经历过。1.简介杠杆投资者容易陷入流动性陷阱：在市场突然下跌后无法获得资金，他可能被迫在不利的市场条件下出售有价值的头寸。这种经历在2007-2009年金融危机期间司空见惯，它重新将杠杆投资者和非杠杆投资者的注意力集中在一个重要的流动性陷阱上，即提款，这是固定期限内投资组合价值的最大跌幅（见图1.1）。如果出现大规模提款，在预期投资期结束时，常见的风险诊断，如波动性、风险价值和预期缺口，就不那么重要了。事实上，在对冲基金和大宗商品交易顾问（CTA）的世界中，被广泛引用的风险衡量标准之一是最大提取。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:16:59

在应用概率论的文献中，对水位下降的概念进行了深入研究，我们将在第1.1节中对其进行回顾。然而，在投资管理行业中，似乎不存在一种公认的数学方法来形成对未来潜在最大提款的预期。在风险和偏差度量的背景下进行的缩减未能吸引到用于其他更传统风险度量的同类应用研究。我们的目的是制定一个（i）数学上合理的和（ii）实际有用的提取风险度量。我们对提款风险的形式化是通过对时间范围内的连续时间累积收益进行建模来实现的∈ (0, ∞) 作为一个代表返回路径的随机过程X，应用了一个实值泛函，即条件期望下降。从数学上讲，过程X被转换为随机变量u（X），表示有限路径内的最大压降。在信心水平α∈ [0,1]，然后将条件预期降深CEDα定义为预期最大降深：从实践到理论，再回到3，考虑到一些最大降深阈值DTα，即最大降深分布的α分位数被打破：CEDα（X）=E（u（X）|u（X）>DTα）。在定量风险度量方面，CED是Rockafellar等人（2002年、2006年）意义上的偏差度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:02

特别是，这意味着CED在拓扑组合权重方面是凸的，这意味着它促进了多样性，可以在优化器中使用。它也是一次齐次的，因此它支持欧拉函数定理下的线性风险归因。通过关注固定长度T内所有提款的最大值，我们解决了一个高度相关的风险管理问题，该问题每天都会影响到基金经理，他们问自己：在投资期限T内，资产净值的预期最大可能累积跌幅是多少？如果损失超过某个阈值，投资者可能会被迫清算。对于给定的投资期限T，有条件的预期提款表示超过阈值的预期累积损失，并且可以针对不同的密度水平进行测量。因为有条件的预期提款被定义为最大提款分布的尾部平均值，所以它是一个下行风险度量，与预期短缺完全类似，预期短缺是回报分布的尾部平均值。因此，预期缺口的大部分理论和实践都会转化为有条件的预期缩编。然而，我们将表明，下降具有内在的路径依赖性，可以解释连续相关性，而预期的短缺不能解释连续损失。1.1. 文献综述。在应用概率理论的文献中，以及在主动投资组合管理的研究中，已经对提取的概念进行了广泛的研究，我们将在下面对其进行回顾。然而，无论是在投资管理行业还是学术文献中，似乎都不存在一种公认的数学方法来预测未来潜在的最大提款。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:05

因此，在风险和偏差度量的背景下进行的缩减未能吸引到致力于其他更传统风险度量的同类应用研究。因此，我们的工作是对现有文献的补充，因为它开发了一个数学上合理且实用的提款风险度量。在应用概率论的文献中，对水位下降幅度的分析评估进行了广泛的研究。据我们所知，最早的布朗运动最大下降的数学分析出现在泰勒（1975）中，之后不久，莱霍茨基（1977）将其推广到时间均匀扩散过程。Douadyet al.（2000）和Magdon Ismail et al.（2004）分别推导了标准布朗运动和带漂移的布朗运动的有限级数展开式。Landriault等人（2015）将水位下降幅度的讨论扩展到研究布朗4水位下降的频率率：从实践到理论，再回到运动。Mijatovic和Pistorius（2012）分析了光谱负L’evy过程的下降。提取的概念，即衡量相对于运行最低值的最大累积收益，也进行了概率研究，尤其是就其与提取的关系而言；例如，见Hadjiliadis和Vecer（2006年）、Pospisil等人（2009年）和Zhang和Hadjiliadis（2010年）。在数学金融研究中，减少主动投资组合管理中的支取已经受到了相当大的关注。Grossman和Zhou（1993）考虑了一个受提取约束的资产分配问题；Cvitanic和Karatzas（1995）将同一优化问题扩展到多变量框架；切赫洛夫等人。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

2022-5-6 04:17:08

（2003年，2005年）开发了一种线性规划算法，用于对受提款限制的投资组合预期收益进行样本优化，Krokhmal等人（2003年）将其与考虑对冲基金应用的Portfall优化进行了数值比较；Carr等人（2011年）介绍了一种新的欧式提款保险合同和基于衍生品的提款策略；最近，Cherney和Obloj（2013）、Sekine（2013）、Zhang等人（2013）和Zhang（2015）研究了各种随机建模假设下的提款优化和提款保险。Zabarankin等人（2014年）以资本资产定价模型（CAPM）的形式，重新制定了一个带有提取的投资组合优化问题的必要优化条件，该模型用于推导提取贝塔的概念。在Pospisiland Vecer（2010）中，针对希腊的一类提款风险，引入了更多对提款风险敏感的衡量标准。在定量风险度量的背景下，Chekhlov等人（2003年、2005年）开发了一种称为条件风险提取（CDaR）的定量提取风险度量。同样，CDaR是一种偏差度量（Rockafellar等人（2002年、2006年））。然而，与CED不同的是，CDaR关注的是所有提款，而不是最大提款。2.测量水位下降风险我们使用Cheridito等人（2004）的一般设置来计算连续时间路径相关风险的数学形式。连续时间累积收益或等效净资产价值过程由基本有界的c`adl`ag过程（在给定的概率度量中）表示，该过程适用于过滤概率空间的过滤。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:12

更正式地说，在一段时间内∈ (0, ∞), 让(Ohm, F、 {Ft}t∈[0，T]，P）是一个满足通常假设的过滤概率空间，即概率空间(Ohm, F、 P）是完整的，（Ft）是右连续的，并且F包含F的所有空集∈ [1, ∞], （Ft）-适应的c\'adl\'ag过程位于Banach间隔区p={X:[0，T]×中Ohm → R | X（Ft）-适应的c`adl`ag过程，kXkRp}，它配备了normkXkRp:=kX*kpDRAWDOWN：从实践到理论再回到5X*= 监督∈[0，T]| Xt |。关于概率测度P，过程之间的所有等式和不等式都在几乎确定的意义上被理解。例如，对于过程X和Y，X≤ Y意味着对于P-几乎所有ω∈ Ohm, Xt（ω）≤ Yt（ω）适用于所有定义2.1（连续时间路径相关风险度量）。连续时间路径相关风险度量是实值函数ρ：R∞→ R.在实践中，当一个人在离散宇宙中工作时，这种连续时间设置是通过选择返回视界T上的观测频率来离散的。这为分析增加了一个关键参数，因为更高频率的观测往往会产生更大的下降。以2011年5月的金融危机为例。在日常工作中，无论投资期限有多长，人们都不会看到资金缩水。2.1. 最大降深。定义2.2（提款过程）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-6 04:17:15

对于地平线T∈ (0, ∞), 缩编过程D（X）：={D（X）t}t∈[0，T]对应于一个随机过程X∈ R∞比亚迪（X）t=M（X）t- Xt，其中m（X）t=supu∈[0，t]是时间t之前X的运行最大值。实际上，在对冲基金和大宗商品交易顾问中，使用最大提款作为风险指标尤其普遍，在对冲基金和大宗商品交易顾问中，经常使用经最大提款调整的绩效指标，如Calmar比率、英镑比率和Burkario。定义2.3（最大水位下降）。在固定的时间范围内∈ (0, ∞), 随机过程X的最大下降∈ R∞是[0，T]中X从峰值到谷底的最大降幅，因此是所有降幅中最大的D（X）T:u（X）=supt∈[0，T]{D（X）T}。等效地，最大水位降可以定义为通过以下基本随机过程X:u（X）=supt的变换获得的随机变量∈[0，T]sups∈[t，t]{Xs- Xt}。参见Madhavan（2012）对飞机坠毁的分析。6缩编：从实践到理论，再回到（a）（b）图2.1。（A） 1950年1月1日至2013年12月31日期间每日标准普尔500指数实现的6个月最大跌幅的经验分布，以及分布的90%分位数（跌幅阈值DT）和尾部平均值（CED）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:18

（B）理想标准正态分布随机变量的6个月最大下降分布，以及分布的90%分位数和尾部平均值。尽管在给定的地平线上，任何给定的路径上都只能实现一个最大水位降，但考虑最大水位降的分布是有益的。通过观察最大提款分布，可以对给定投资期限内给定投资组合的最大提款规模和频率形成合理的预期。图2.1显示了（A）1950年至2013年期间每日标准普尔500指数时间序列的经验最大下降分布（路径长度为125个工作日），以及（B）理想高斯随机变量的模拟分布。这两种分布都是对称的，这意味着非常大的水位下降发生的频率低于较小的水位下降。Burghardt等人（2003年）使用蒙特卡罗模拟法表明，最大水位下降分布对跟踪记录的长度高度敏感（跟踪记录长度的增加会使整个分布向右移动），平均收益率（对于较大的平均收益率，分布不那么向右倾斜，因为较大的平均收益率往往会产生较小的最大提取、收益波动性（较高的波动性会增加大幅提取的可能性）和数据频率（基于较低频率数据的提取会忽略流量崩溃）。最大降深分布的尾部在实践中特别重要，从中可以提取出给定幅度降深的可能性。我们的提款风险度量，定义如下，是最大提款分布的尾部平均值。2.2. 有条件的预期缩编。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:22

我们提出的提款风险指标，即条件预期提款（定义2.4），衡量最坏情况下超过最大提款分布分位数的最大提款的平均值。因此，它类似于跟踪记录被理解为投资基金自成立以来的历史长度。提取：从实践到理论，再回到基于回报的预期缺口。ES和CED均由底层分布的尾部平均值给出，即损失和最大水位的尾部平均值。与基于回报的风险价值（VaR）类似，我们定义了信心水平α∈ [0,1]，最大下降阈值DTα是最大下降分布的分位数：DTα（u（X））=inf{m|P（u（X）>m）≤ 1.- α} 因此，最大压降u（X）超过m的概率最多为（1- α). 例如，95%的最大水位下降既是正常时期水位下降的最差情况，也是极端情况下的最佳情况。它将5%的最差最大提款与其他提款分开。定义2.4（有条件的预期提款）。在信心水平α∈ [0,1]，条件预期下降CEDα：R∞→ R是将u（X）映射到预期最大压降的函数，前提是α处的最大压降阈值被打破。更正式地说，CEDα（X）=1- αZαDTu（u（X））du。如果u（X）的分布是连续的，那么CEDα相当于尾部条件期望：CEDα（X）=E（u（X）|u（X）>DTα（u（X）））。换句话说，CED是最大水位下降分布的尾部平均值（Acerbi和Tasche（2002b）），其中为置信水平α∈ （0,1），并假设E[u（X）]<∞, u（X）的α平均值由以下公式得出：TMα（u（X））=1- αZαDTu（u（X））du。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:25

条件预期下降的性质我们推导了条件预期下降的理论性质，最显著的是凸性和正齐性，并证明它是一个广义偏差度量，如Rockafellar等人（2002年、2006年）提出的。广义地说，偏差度量遵循标准偏差和半偏差等度量属性的公理。我们将这些公理推广到依赖路径的宇宙。定义3.1（广义路径相关偏差度量）。广义路径依赖偏差测度是路径依赖风险测度δ：R∞→ 满足以下公理的R：（D0）规范化：对于所有常数C∈ R∞, δ（C）=0。（D1）积极性：适用于所有X∈ R∞, δ（X）≥ 0.（D2）平移不变性：适用于所有X∈ R∞所有常数都是C∈ R∞, δ（X+C）=δ（X）。8下降：从实践到理论再回到（D3）凸性：对于所有X，Y∈ R∞λ∈ [0, 1], δ(λ + (1 - λ） Y）≤ λδ（X）+（1）- λ） δ（Y）。（D4）阳性程度1同质性：适用于所有X∈ R∞λ>0，δ（λX）=λδ（X）。任何价值为零的投资组合，更一般地说，具有恒定确定性价值的投资组合，都不会面临提款风险，因此对于所有恒定确定性C∈ R∞, 我们有CEDα（C）=0，因此公理（D0）是满足的。此外，CED满足（D1），因为最大降深由定义非负决定。下面的引理证明了移位不变性性质（D2），它本质上表明，通过（决定性地）将投资组合价值的路径向上或向下移动，该路径内的下降保持不变。引理3.2。为了所有的X∈ R∞几乎可以肯定，所有这些都是常数∈ R∞, CEDα（X+C）=CEDα（X）（对于所有α∈ (0, 1)).证据对应于X的下降过程是平移不变的，因为对于t∈ [0，T]，M（X+C）T=supu∈[0，t]（X+C）u=supu∈[0，t]（X）u+C=M（X）t+C。因此D（X+C）=M（X+C）-十、-C=M（X）+C-十、-C=M（X）-X=D（X）。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:28

因此，u（X+C）=supt∈[0，T]nD（X+C）to=supt∈[0，T]nD（X）至=u（X）。因此，CEDα（X+C）=CEDα（X）。接下来我们重点讨论广义偏差测度的凸性（D3）和正齐性（D4）的性质。3.1. CED的凸性。根据F¨ollmer and Schied（2002、2010、2011）的观点，分化的本质被封装在凸性公理中。假设我们有两个过程，代表两个投资组合的累积收益。投资者可以通过分配一小部分λ来实现多样化，而不是完全投资于这两个投资组合中的一个∈ [0，1]的资本，比如说，X，剩余的1- λ到Y。在凸风险度量下，这种分散不会增加风险。命题3.3（CED的凸性）。条件预期提取相对于投资组合权重是凸的：对于所有X，Y∈ R∞, λ ∈ [0,1]和置信水平α∈ （0,1），CEDα（λ+（1）- λ） Y）≤ λCEDα（X）+（1）- λ） CEDα（Y）。证据对于λ∈ [0,1]，我们有M（λX+（1）-λ） Y）≤ λM（X）+（1）- λ） M（Y）由上链的性质决定，因此（λX+（1-λ） Y）=M（λX+（1）-λ） Y）- λX- （1+λ）Y≤ λM（X）+（1）- λ） M（Y）- λX- （1+λ）Y=λD（X）+（1）- λ） D（Y）下降：从实践到理论，再回到9假设u（X）和u（Y）的分布是连续的，并且由于u（X）被定义为下降路径D内的上确界，我们有u（λX+（1-λ） Y）≤ λu（X）+（1）-λ） u（Y）。最后，由于尾部平均函数TM是次加性的，且正同质的，与基础分布无关（见Acerbi和Tasche（2002a，b）），并且也是单调的，因此它与μ的复合也是凸的，因此CEDα（λ+（1- λ） Y）≤ λCEDα（X）+（1）- λ） CEDα（Y）。备注3.4（提款风险优化）。CED的凸性意味着，从理论上讲，人们可以分配资产，以交易对冲风险和投资组合回报。在实践中进行任何优化都有三个关键要素。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:31

要最小化的目标函数的凸性确保了最小值（如果存在）是全局的。第二个因素是优化算法的可行性和效率。Rockafellar和Uryasev（2000年、2002年）开发了一种有效的线性规划（LP）算法，用于最小化收益分布的尾部平均值，以及Chekhlov等人（2003年、2005年）的开创性工作，他们将DDrawdown纳入LP公式，理论上可以用来最小化最大下降分布的尾部平均值。第三个因素，让我们超越理论，是对风险的经验性合理估计。有必要对CED的性质进行进一步的实证探索，并研究其对定量投资组合构建的影响，这超出了本文的范围。3.2. CED的正均一性。一阶正齐次风险测度以欧拉齐次函数定理为特征，因此在组合风险分析中发挥着重要作用。更准确地说，对于投资组合P=PiwiXiin R∞, 风险度量ρ：R∞→ R是一阶正齐次的当且仅当ifPiwi(ρ（P））/(wi）=ρ（P）。因此，投资组合P=PiwiXican的风险ρ（P）可沿其系数xi线性归因。命题3.5（CED的正同质性）。就投资组合权重而言，有条件的预期提款率为一级正同质：对于所有X∈ R∞, λ>0和密度级α∈ （0,1），CEDα（λX）=λCEDα（X）。证据对于λ>0，我们有t∈ [0，T]，M（λX）T=supu∈[0，t]（λX）u=λsupu∈[0，t]（X）u=λM（X）t，因此D（λX）=λM（X）-λX=λD（X）。因为u（X）被定义为下降路径D中的上确界，所以我们有u（λX）=λu（X）。最后，尾部函数的正均一性产生了结果。另一个关键因素是有一个可靠的风险模型，为优化器提供现实和有用的场景。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-6 04:17:34

这超出了本文的范围，我们在本文中集中讨论了两个主要的理论要求。我们请读者参考Zabarankin和Uryasev（2014），其中讨论了投资组合优化背景下的风险估计和错误敏感性理论。该公式和风险归因主题将在第4.10节“从实践到理论再到实践”中详细讨论。提款风险归因在提款风险计量的理论框架到位后，下一步是了解如何将有条件的预期提款纳入投资过程。我们展示了如何系统地分析投资组合中的提款风险来源，以及这些来源如何相互作用。实际上，投资者可能有兴趣将风险归因于特定风险模型的个别证券、资产类别、部门、行业、货币或风格因素。在下文中，我们假设一个通用的风险因素模型。确定一个投资期，并记录该期间因子i的回报（1≤ 我≤ n）。然后，这段时间内的投资组合回报由Pull=nXi=1wiFi给出，其中Wii是指投资组合对因子i的敞口，为简单起见，不包括代表特殊风险的总和。由于投资组合风险不是来源风险的加权和，因此对于风险度量，这种分解没有直接的类比。然而，就边际风险贡献（MRC）而言，存在一个平行关系，这被解释为头寸对整体投资组合风险的百分比贡献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:37

它们提供了一种数学上和经济上合理的方法，将风险分解为可加的子成分。对于风险度量ρ，一个因素对风险的边际贡献是在保持所有其他风险固定的情况下，将因素敞口小幅增加时，总体投资组合风险的近似变化。从形式上讲，可以为任何不同的风险度量ρ定义边际风险贡献。定义4.1。对于投资组合中的因子Fip=PiwiFi，其边际风险贡献率Rc是基础风险度量ρ沿其风险敞口wi的导数：MRCρi（P）=ρ（P）威斯康星州。如果ρ是一次齐次的，则可以使用欧拉齐次函数定理分解整个投资组合风险，如下所示：XiwiMRCρi（P）=XiRCρi（P）=ρ（P），其中RCρi（P）=wiMRCρi（P）是对ρ的第i个总风险贡献。最后，分数风险贡献frcρi（P）=RCρi（P）ρ（P）表示第i个因子对投资组合风险的分数贡献。风险贡献已成为风险管理标准工具包的一部分，并用于风险预算和资本分配。我们请读者参考塔什（2000）、卡尔布雷纳（2005）、德诺（2001）和钱（2006）了解更多细节。提取：从实践到理论，再回到11风险贡献隐含地定义了一个足够普遍的相关性概念，可以定义为任何风险度量。广义风险度量ρ：M的广义风险相关性→ 投资组合与第i项资产Xi之间的R定义为：Corrρi=MRCρi（P）ρ（Xi）。广义关联的位置权重是单调递减的。从第i个风险贡献RCi（P）中分解出第i个边际风险ρ（Xi），我们得到了Menchro和Poduri（2008）的“X-Sigma-Rho”分解的广义形式：RCρi（P）=wiρ（Xi）MRCρi（P）ρ（Xi）=wiρ（Xi）Corrρi。我们参考读者Goldberg et al。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:40

（2010）以获取更详细的广义相关发展。4.1. 提取风险贡献。Menchro和Poduri（2008年）以及Goldberg等人（2010年）开发了一个标准工具包，用于使用以边际风险贡献为中心的框架分析投资组合风险。通过将提款风险纳入该框架，投资者可以估计交易将如何影响投资组合的整体提款风险。由于有条件的预期提款是正同质的，因此在路径P内，单个因素对提款风险的贡献加起来等于总提款风险∈ R∞返回到时间为t的投资组合≤ T由Pt=PiwiFi给出，T:（4.1）CEDα（P）=xiwimrcedαi（P），α∈ [0, 1].回想一下，边际风险贡献是偏导数，因此从业者可以使用数值微分实现公式4.1。然而，这往往会带来噪音。接下来，我们将证明，对水位下降风险的单个边际贡献可以表示为一个积分，这减少了噪声，因为积分是一个平滑算子。实际上，第i个因子对整体投资组合提取风险的单个边际贡献Mrcedαiof由区间[s]内第i个因子的预期下降给出*, T*] [0，T]考虑到整体投资组合的最大提款超过提款阈值，则出现整体投资组合的最大提款u（P）。这一定义类似于短缺的边际贡献，我们接下来将其正式化。提议4.2。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:46

对提款风险的边际贡献由以下公式得出：（4.2）MRCCEDαi（P）=E[（Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）]，对应于第i因子的过程被写入Fi，其实例在时间t∈ [0，T]用Fi，T表示。这类似于预期短缺的边际贡献，也可以用积分表示；参见Tasche（2000）和Tasche（2002），其中表明，对于基于分位数的风险度量（如VaR andES，但也包括光谱度量），Euler归因可以表示为直观的预期。12提取：从实践到理论再到实践，其中CEDα（P）是整体投资组合CED，u（P）是最大提取随机变量，DTα（P）是α处的投资组合最大提取阈值，s*< T*≤ T是这样的随机时间：u（P）=Pt*- 附言*,我们假设P=piwifi的最大下降是严格正的。证据我们使用了Tasche（2002）、Goldberg et al.（2010）和McNeil et al.（2005）的结果，他们表明，在信心水平α下，对预期短缺的第i次边际贡献为ESα∈ 代表投资组合损失的随机变量L=Piwiyi的（0，1）由（4.3）MRCESαi（L）=E[Yi | L>Varα（L）]给出，其中Varα（L）表示L在α的风险值，即损失分布的α分位数。我们推导出一个类似于公式4.3的公式。假设P=piwifi的最大压降严格为正，则设u（P）=Pt*- 附言*对一些人来说*< T*≤ T然后，第i个边际贡献MRCCEDαi（P）对总投资组合的下降风险CEDα（P）由MRCCEDαi（P）给出=wi（TMα（u（P）））=wiE[u（P）|u（P）>DTα（P）]=wiE[（Pt*- 附言*) | u（P）>DTα（P）]=wiE“nXi=1wiFi，t*-nXi=1wiFi，s*!| u（P）>DTα（P）#=无线“nXi=1wi（Wi-Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）#=winXi=1wiE[（Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）]！（4.4）使用关于分位数的偏导数为零的事实，如Bertsimas等人所讨论的。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:49

（2004），公式4.4简化为：MRCCEDαi（P）=E[（Fi，t*- 菲，s*) | u（P）>DTα（P）]。缩编：从实践到理论，再回到ES0。9塞德。9（6米路径）CED0。9（1条路径）CED0。9（5Y路径）美国股票18.35%2.19%47%51%57%美国债券5.43%0.49%29%32%35%50/50 9.53%1.30%31%32%35%60/40 11.12%1.35%33%35%38%70/30 12.92%1.40%36%40%44%表5.1。1982年1月1日至2013年12月31日期间每日美国股票和债券指数以及三种固定组合投资组合的汇总统计数据。预期缺口和有条件的预期提款按90%的置信水平计算。通过考虑不同固定长度（6个月、1年和5年）回报路径内的最大提款，计算出三个提款风险指标。最后，请注意变量*和t*它们是随机的。这意味着，在这个问题的离散化版本的蒙特卡罗模拟中，它们将在不同的场景中呈现不同的价值。5.提款风险的实证分析我们基于两种资产类别的每日数据分析有条件预期提款的历史价值：美国股票和美国政府债券。我们使用的美国政府债券指数包括美国财政部发行的固定收益证券（不包括受通胀保护的债券）、美国政府机构和工具，以及美国政府担保的公司或美元计价的外债，期限超过10年。这些机构包括联邦国家抵押贷款协会（Fannie Mae）和联邦住房贷款抵押贷款公司（Freddie Mac）等没有明确担保的政府机构。与美国国债指数相比，2008年金融危机期间，美国国债指数波动性较大，与美国股票相关。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:52

这种影响将体现在我们的实证分析中。表5.1.5.1显示了两种资产类别和三种固定组合组合的风险统计摘要。随时间变化的下降风险集中。利用对有条件预期提款边际贡献的定义（在命题4.2中推导），我们研究了对CED的时变贡献。图5.1显示了提款风险CED0的每日6个月滚动部分贡献。9（在6个月最大提款的90%阈值下，请参见附录A了解数据及其来源的详细信息。我们感谢Robert Anderson指出美国政府债券和美国联邦债券指数之间的重要区别。14提款：从实践到理论，再回到图5.1。沿着90%的有条件预期提款，每日6个月滚动部分风险贡献（FRC）（CED）平衡的60/40投资组合中的美国股票和美国债券。还显示了1982年至2013年期间的每日波动率系列，右轴表示其水平。在平衡的60/40配置中，两种资产类别（美国股票和美国债券）的分配。1982年至2008年间，以及2012年至2013年间，美国股票对整体提款风险的贡献在80%至100%之间。请注意，这一时期包括这30年期间发生的三种动荡的市场机制中的两种，即1987年的股市崩盘和千年早期互联网泡沫的破灭。然而，在2008年的信贷危机期间，我们意外地看到，债券对投资组合缩减风险的贡献几乎和股票一样大。我们的分析表明，在60/40固定的美国股票和美国债券组合中，市场动荡和提款风险集中之间几乎没有联系。值得注意的是，最公平的提款风险归因发生在2008年金融危机期间。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-6 04:17:55

这可以通过将房利美和房地美发行的债券纳入美国政府债券指数来解释。在平静的制度下，这些机构债券往往与美国国债相关，但在金融危机期间，机构债券与美国股票的相关性更大。为了进行比较，当使用的基础债券指数是美国国债指数时，我们提供了相同的分析（参见附录B中的图B.1和B.2）。在这种情况下，正如人们所预料的那样，在动荡的市场时期，提款风险的最低公平归属发生了。为了了解风险贡献的来源，特别是在2008年的信贷危机期间，美国股票和政府债券的集中度接近平价，我们对Menchro和Poduri（2008）进行了“X-Sigma-Rho”分解。回顾第4节，风险贡献与独立风险和广义风险的乘积成正比。有关所使用的风险估计和投资组合构建方法的详细信息，请参见附录B。注：在其他固定组合投资组合中也可以看到类似的效果，如等权50/50投资组合和70/30分配。在下面的实证分析中，我们将专门关注传统的60/40分配。缩减：从实践到理论再回到15图5.2。1982年至2013年期间60/40分配给美国股票和美国债券的支取风险的个人贡献分解RCCEDI（P）=wiCED（Xi）。顶部的两个面板显示了两个资产类别的每日6个月独立滚动90%条件预期提款（CED），而底部的两个面板显示了各资产每日6个月的滚动广义相关。相关性

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:17:59

在有条件预期提款的情况下，这意味着：RCCEDi（P）=wiCED（Xi）CorrCEDi。由于我们使用的是固定组合投资组合，因此风险敞口保持不变：美国股票和美国债券的风险敞口分别为0.6和0.4。这意味着图5.1中的时变风险贡献取决于时变提取（CED（Xi））和相关性（CorrCEDi）。图5.2显示了我们60/40投资组合中两项资产中的每一项。观察到，在2008年金融危机期间，美国债券的提款风险贡献及其广义相关性均高于后续时期。另一方面，2008年危机期间美国股票的广义相关性下降。这些影响的结合可能会导致2008年危机期间美国债券和美国股票的提款贡献发生变化：从实践到理论，再回到过去。在第5.2节中，我们给出了一个统计分析，支持美国政府债券价值增加的经济解释。在实践中，由于条件预期提款是一种凸风险度量，投资者可以有效地控制提款风险集中的这种制度依赖性波动；也就是说，返回路径和下降路径相对于资产权重都是凸的。因此，它们是因子的凸函数，是资产权重的线性组合。这意味着，在线性因子模型中，减少对资产或因子的投资组合敞口会降低其对整体投资组合提取的边际贡献。一个投资组合对一个指标的风险贡献是相等的，而对另一个指标的风险贡献是相当集中的。图5.3插图说明了这种情况。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:18:02

四个投资组合按照以下风险指标最大程度地分散：波动性、预期缺口和有条件的预期提取。与1982年至2013年的情况一样，基础资产类别为美国股票和美国政府债券。我们将其称为与潜在风险度量相等。ES和CED的置信水平均固定为90%。图5.3显示了股权成分对三种风险平价组合中三种风险度量的分数风险贡献。特别是在提款风险方面的集中度。例如，尽管巴黎投资组合对预期缺口的贡献相等，其构建目的是将下行风险集中度降至最低，但其75%的提款风险集中在美国股票中。5.2. 下降风险和序列相关性。研究最大下降分布而非回报分布，以及有条件的预期下降而非预期短缺的一个优势在于，下降具有内在的路径依赖性。换言之，支取衡量的是损失持续的程度，因为小而持续的累积损失仍可能导致投资组合资产净值的大幅下降，hencemay强制清算。另一方面，波动性和预期缺口无法区分间歇性和连续性损失。我们表明，在比这两个风险度量更大的程度上，有条件的预期下降捕获了时间依赖性。此外，序列相关性对提款风险的影响可以从提款风险贡献中看出。序列相关性的增加会增加下降风险。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:18:06

为了了解时间依赖性如何影响风险度量，我们使用蒙特卡罗模拟生成一个自回归模型进行比较，我们在附录C的图C.1中包括了沿预期短缺的风险分解。在2008年金融危机之后，风险平价投资组合已成为流行的投资工具（见Anderson et al.（2012）和Anderson et al.（2014））。尽管这种构造可能没有理论依据，但这一点仍然存在。有关使用的数据、风险估计和投资组合构建方法的详细信息，请参见附录B。缩编：从实践到理论再回到17图5.3。1982年至2013年期间，美国股票的部分风险贡献（FRC）通过以下两种资产组合（包括美国股票和美国债券）的三种不同风险度量（波动性、90%的预期缺口和90%的有条件预期提取）进行测量：波动性平价、ESParity和CED平价。每个平价投资组合在其同名风险度量上具有相等的风险贡献。AR（1）模型：rt=κrt-1+ t、具有不同的自回归参数κ值（而为高斯分布，方差为0.01），并计算每个模拟自回归时间序列的波动率、预期短缺和条件预期下降。图5.4显示了结果。这三种风险指标都受到自回归参数值增加的影响，但到目前为止，CED的增加幅度最大。接下来，我们使用最大似然法将AR（1）模型拟合为美国股票和美国ZF债券的每日时间序列，以6个月滚动为基础，获得每项资产的估计κ值的时间序列。表5.2显示了κ的时间序列与6个月滚动波动、预期短缺和条件预期下降的时间序列的相关性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:18:09

在所有三个风险指标中，美国股票的相关性都要高得多。请注意，对于这两种资产类别，CED与自回归参数的相关性最高。图5.5包含美国股票和美国债券的估计κ参数与其CED的散点图。序列相关性的增加会增加下降风险浓度。我们现在展示了时间依赖性是如何体现在提取风险贡献中的。图5.6显示了1982年至2013年期间，美国股票对平衡的60/40投资组合的部分风险贡献，这是基于每日数据的三个风险指标，即波动率、ES和CED。18缩编：从实践到理论再回到图5.4。对于自回归参数κ的不同值，蒙特卡罗模拟AR（1）模型（具有10000个数据点）的波动性、90%的预期短缺（ES）和90%的条件预期下降（CED）。波动率ES0。9塞德。9美国股票0.47 0.52 0.75美国债券0.32 0.39 0.69表5.2。对于美国股票和美国政府债券的每日时间序列，AR（1）模型中自回归参数κ的估计值与整个期间（1982-2013）估计的三个风险度量值（波动率、90%预期缺口和90%条件预期提取）的相关性。美国股票对波动性和波动性的部分贡献很大（超过90%），且在数量上接近。然而，对于CED而言，这种集中度不太明显，这意味着美国债券对提款风险的贡献超过了其对波动性和空头风险的贡献。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-6 04:18:14

一种可能的解释是时间依赖性：虽然债券系统性地比股票具有更低的可用性和短缺风险，但它们偶尔也会受到长期连续亏损的影响。为了验证这一假设，我们用自回归AR（1）模型分别模拟了代表股票和债券的两种资产E和B的收益率Rean和Rb：rE，t=κErE，t-1+ E、 t和rb，t=κBrB，t-1+ B、 t，下降：从实践到理论再回到19图5.5。对于每个美国股票和美国政府债券，自回归参数κ的6个月滚动估计的每日时间序列的散点图，以及90%条件预期提款的6个月滚动估计。我们构建了一个模拟的60/40固定组合。AR（1）模型参数是通过校准美国股票和美国债券的每日时间序列获得的。估计的自回归参数为κE=0.43和κB=0.35。我们假设变量为高斯分布，资产E的波动率为18.4%（基于美国股票的波动率），资产B的波动率为5.5%（基于美国债券的波动率）。根据模拟数据，我们建立了AR（1）模型及其对波动率、ES和CED的分数贡献。当仅使用残差时，由于创新是高斯分布的，我们获得了统计上相等的风险贡献。然而，在不去除自回归成分的情况下，对CED的贡献再次与对波动性和波动性的贡献不同。图5.6b显示了波动性较大的资产类别E对三种风险度量的相应部分贡献。请注意，图5中的两个面板。尽管一个是基于历史数据的，而另一个是模拟的，但在视觉上无法区分。6.支取：从实践到理论再到实践，金融从业者依靠最大支取作为投资风险的指标。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:18:17

然而，由于其固有的路径依赖性，最大提取量往往不属于投资风险的概率处理范围，后者侧重于固定期限内的收益和损失分布。因此，将风险归因于因素或资产类别的标准投资组合分析工具包，以及将风险预测作为投资组合构建例程中预期收益的计数权重的标准投资组合分析工具包中，已排除了最大提取。20缩编：从实践到理论再回到（a）（b）图5.6。（A）根据每日数据，1982年至2013年期间，美国股票资产对波动性的部分贡献，60/40投资组合中90%的预期缺口和90%的有条件预期提款。（B）在60/40投资组合中，模拟高波动率AR（1）资产对波动率、90%的预期缺口和90%的有条件预期提款的部分贡献。在本文中，我们开发了一种新的水位下降风险概率度量方法，即条件预期水位下降（CED），它是固定水平下水位下降分布的尾部平均值。由于CED完全类似于常见的基于回报的风险度量，即预期缺口（ES），因此CED易于从业者解释，并且它具有理想的尾部均值理论特性，例如正一次齐性和凸性。因此，水位下降一致性理论的发展促进了其当前实际应用的扩展。条件预期提款的路径依赖性使其对序列相关性比预期短缺或波动更敏感。我们用一个模拟的AR（1）模型来证明这一点。在所有其他条件相同的情况下，作为自回归参数κ的函数，CED的增长速度远远快于预期短缺或波动率。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:18:20

在一项实证研究中，我们发现，与预期缺口（美国股票为.52，美国债券为.39）和波动性（美国股票为.47，美国债券为.32）相比，序列相关性和估计的CED（美国股票为.75，美国债券为.69）之间的相关性相对较高。由于CED是正的一级同质，因此CED（如ES和波动性）可以分解为风险贡献的总和，并且CED对风险集中的序列相关性的相对敏感性非常高。在对1982年至2013年期间60/40的使用权益和美国债券的平衡投资组合进行的一项实证研究中，美国权益约占ED的75%，但超过了ES和波动性的90%。一个合理的解释是，美国债券的序列相关性相对较高。我们通过另一个模拟来支持这一假设：我们使用基于AR（1）模型的模拟60/40平衡投资组合，在研究期间对美国股票和美国债券进行校准，从而对经验观察到的CED、ES和波动性集中进行复杂。下降：从实践到理论，再回到21因为CED是凸的，它可以作为定量优化中预期收益的平衡。利用预期短缺作为回报分布的尾部平均数与条件预期下降作为下降分布的尾部平均数之间的相似性，理论上可以使用Rockafellar和Uryasev（2000年，2002年）开发的线性规划算法。本文为在投资过程中纳入有条件的预期提款奠定了基础。下一步是进一步实证探索CED的性质，研究其在基于回报的风险度量之外增加的增量信息，以及研究其对量化投资组合构建的影响。22缩编：从实践到理论，再回到附录A。数据和估算方法。1.数据。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

2022-5-6 04:18:23

这些数据来自全球金融数据数据库。我们选取了标准普尔500指数和美国10年期政府债券总收益指数的每日时间序列。A.2。投资组合构建。我们在模拟投资组合背后的目标不是提供对投资组合风险和回报的全面现实的实证分析，而是说明本文与提款风险相关的理论发展。因此，为了简单起见，我们没有在本研究构建的所有假设投资组合中考虑交易成本或市场摩擦。此外，我们假设所有投资组合均为完全投资且仅为长期投资。固定组合投资组合。在固定组合投资组合中，每月对固定权重进行再平衡。与其他流行的再平衡方案（季度、半年和年度）相比，结果相似。风险平价投资组合。在风险平价策略中，对资产进行加权，使其事后风险贡献相等。如第5节所述，平价投资组合不仅限于波动性，还可以与其他风险度量一起构建，如预期空头和有条件预期提款。这些策略中的资产权重取决于对潜在风险度量的估计（见A.3节），这是使用跟踪回报的3年滚动窗口计算得出的。通过改变滚动窗口的长度或应用于该窗口内收益的加权方案来改变估计方法，并没有实质性地改变我们的结果。与固定组合投资组合类似，风险平价投资组合每月进行重新平衡，其他重新平衡计划也会产生类似的结果。A.3。风险评估。波动。投资组合波动率计算为整个考虑期内每日时间序列的年化标准差。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝