最坏情形不变风险测度的闭式解

1126

收藏 2022-05-25

英文标题：
《Closed-form solutions for worst-case law invariant risk measures with
application to robust portfolio optimization》
---
作者：
Jonathan Yu-Meng Li
---
最新提交年份：
2016
---
英文摘要：
Worst-case risk measures refer to the calculation of the largest value for risk measures when only partial information of the underlying distribution is available. For the popular risk measures such as Value-at-Risk (VaR) and Conditional Value-at-Risk (CVaR), it is now known that their worst-case counterparts can be evaluated in closed form when only the first two moments are known for the underlying distribution. These results are remarkable since they not only simplify the use of worst-case risk measures but also provide great insight into the connection between the worst-case risk measures and existing risk measures. We show in this paper that somewhat surprisingly similar closed-form solutions also exist for the general class of law invariant coherent risk measures, which consists of spectral risk measures as special cases that are arguably the most important extensions of CVaR. We shed light on the one-to-one correspondence between a worst-case law invariant risk measure and a worst-case CVaR (and a worst-case VaR), which enables one to carry over the development of worst-case VaR in the context of portfolio optimization to the worst-case law invariant risk measures immediately.
---
中文摘要：
最坏情况下的风险度量是指当只有基础分布的部分信息可用时，计算风险度量的最大值。对于诸如风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）等流行的风险度量，现在已经知道，当基础分布仅知道前两个时刻时，可以对其最坏情况对应项进行封闭式评估。这些结果非常显著，因为它们不仅简化了最坏情况风险度量的使用，而且为最坏情况风险度量和现有风险度量之间的联系提供了深刻的见解。我们在这篇文章中证明，对于一般的一类法律不变的相干风险度量，也存在一些令人惊讶的相似的闭式解，这类度量由谱风险度量组成，作为CVaR最重要的扩展。我们揭示了最坏情况下法律不变风险度量与最坏情况CVaR（和最坏情况VaR）之间的一一对应关系，这使得我们能够在投资组合优化的背景下，立即将最坏情况VaR的发展延续到最坏情况下法律不变风险度量。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Risk Management 风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
--
一级分类：Mathematics 数学
二级分类：Optimization and Control 优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
--
一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Computational Finance 计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
--
一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Mathematical Finance 数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--
一级分类：Quantitative Finance 数量金融学
二级分类：Portfolio Management 项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--

---
PDF下载：
-->

Closed-form_solutions_for_worst-case_law_invariant_risk_measures_with_applicatio.pdf
大小:(225.76 KB)

马上下载

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

全部回复

能者818

2022-5-25 15:34:12

最坏情形不变风险测度的闭式解及其在证券组合优化中的应用Jonathan Yu Meng Li*2016年9月15日抽象最坏情况风险度量是指当只有基础分布的部分信息可用时，计算风险度量的最大值。对于诸如风险价值（VaR）和条件风险价值（CVaR）等流行的风险度量，现在已知，当只有前两个时刻已知基本分布时，可以以封闭形式对其最坏情况对应项进行评估。这些结果是显著的，因为它们不仅简化了最坏情况风险度量的使用，而且为最坏情况风险度量和现有风险度量之间的联系提供了深刻的见解。我们在本文中表明，对于一般的一类法律不变的相干风险测度，也存在一些令人惊讶的相似的闭式解，这类测度由谱风险测度作为特例组成，可以说是CVaR最重要的扩展。我们揭示了最坏案例法不变风险度量与最坏案例CVAR（和最坏案例VaR）之间的一一对应关系，这使得我们能够在投资组合优化的背景下，将最坏案例VaR的发展立即延续到最坏案例法不变风险度量。1简介衡量随机服务水平的风险通常需要了解其概率分布。例如，行业标准的风险度量，风险价值（VaR），通过计算随机损失分布的极值分位数来报告其风险水平。另一种风险度量方法，条件风险价值（CVa R），已成为替代VaR的最流行的行业标准，它计算超过极值分位数的平均损失，以指示随机损失的风险性。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

nandehutu2022

2022-5-25 15:34:15

然而，实施这些措施和任何其他基于分销的风险措施的问题在于*加拿大渥太华渥太华大学特尔弗管理学院。联系人：jonathan。li@telfer.uottawa.camost实践中，分布的精确形式通常很简单，只有样本数据可用于估计分布，这不可避免地容易出现采样误差。这一问题推动了最坏情况风险度量的发展，其目标是确定一组候选分布上可能存在的最坏风险水平，以捕获分布的不确定性。El Ghao ui等人（2003）[9]首先研究了最坏情况下的风险值（WCVa R），他们考虑了前两个时刻所描述的一组候选分布，并说明了如何计算该集合的最坏可能风险值。El Ghaoui et al.（2003）[9]最值得注意的结果之一可能是WCVaR的闭式解。闭合的Form表达式非常类似于加权平均标准偏差的风险度量，因此为如何最小化WCVaR提供了有用的见解。El Ghaoui等人还提供了半有限程序的公式，该公式与闭式表达式等效，当需要进一步解决力矩的额外不确定性时，该公式非常有用。事实证明，当候选分布集由前两个时刻描述时，最坏情况条件风险值（WCCVaR）也存在一个封闭式表达式（见Chen et al.（2011）[6]，Natarajan et al.（2010）[11]），该表达式与WCVaR的表达式相同。有趣的是，这意味着，诸如El Ghaoui et al.（2003）中处理力矩不确定性的WCVaR的一些发展可以直接应用于WCCVaR。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 15:34:18

在分布式目标优化（DRO）的文献中也可以找到最坏情况风险度量的替代公式（例如，参见[5、7、11、21、22、23]）。这些工作大多集中于推导可处理的凸或圆锥规划，以计算最坏情况值（并找到相应的稳健解）。我们的工作是基于从WCVaR和WCCVaR的封闭式解决方案中获得的见解。考虑到封闭形式的优美性，很自然地会想，封闭形式的结果是否仅仅是VaR和CVaR相对简单结构的结果，或者对于结构更复杂的替代风险度量也是如此。在更复杂的风险度量列表中，最重要的是光谱风险度量，它在理论和实践中都起着至关重要的作用。Acerbi（2002）[1]首先介绍了它们，他试图概括CVaR（和VaR），以便在一系列CVaR（VaR）上对风险规避进行更现实的描述。后来，很明显，这类度量相当于在保险业中有应用的变形风险度量[13,16]。我们还知道，光谱风险度量即使不是全部，也能满足现代风险理论（[1、4、8、10]）所假设的大多数理想属性，即单调性、凸性、平移不变性、相干性和定律不变性。然而，一个更令人惊讶的发现是，任何满足所有这些特性的风险度量，也被称为法律不变的相干风险度量，都可以通过光谱风险度量来表示（见[10，19]）。本文研究了最坏情况谱风险测度（WCSRM）和最坏情况律不变相干风险测度（WCLICRM）的性质。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 15:34:22

我们的发现是，尽管它们看起来很复杂，但当只有前两个时刻是已知的潜在分布时，它们都可以归结为一个封闭的表达式。封闭形式显著地重新组合了加权平均标准偏差的度量，这使我们能够阐明任何WCLICRM和WCCVaR（和WCVaR）之间的一对一对应关系。在观察的基础上，我们展示了如何将结果扩展并应用到r obust投资组合优化中。本文的组织结构如下。在第2节中，我们证明了WCSRM和WCLICRM的闭式结果是一组具有固定前两个矩的单变量分布。我们在第3节中展示了如何将结果应用于稳健的投资组合优化。2分析结果let(Ohm, F、 P）是一个概率空间，Z表示随机变量及其分布FZ，即Z：(Ohm, F、 P）→ R 和FZ（t）：=P（Z≤ t）。随机变量的空间包含在L中(Ohm, F、 P）。我们回顾了光谱风险度量的以下定义。定义1。（谱风险度量[1]）给定一个随机变量Z，设F-1Zdenote其一般逆cdf函数，即F-1Z（α）：=inf{q | FZ（q）≥ α} 。函数ρφ（Z）：=Zφ（α）F-1Z（α）dα称为谱风险度量，由φ参数化，如果φ∈ L[0，1]是一个非减量概率密度函数，即φ≥ 0和rφ（α）dα=1。密度函数φ也称为“容许的”ris k谱。直观地说，谱风险度量可以被视为风险值（VaR）的加权和，其中φ的可容许性强制要求分配给较大VaR的权重不能小于。这是一个理性的、厌恶风险的个体所需要的一致性的特征。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-25 15:34:25

最显著的中央风险度量示例是（1- ）-条件风险值（（1- ）-CVaR），其中spe c trumφ的形式为φ（α）：=[1-，1）（α）和∈ （0，1）代表FZ的尾部概率。为了理解为什么标准风险度量在现代风险度量理论中起着核心作用[4，8，10]，我们将回顾关于法律不变一致性风险度量的以下定义。定义。（法律不变一致性风险度量）任何风险度量ρ：L(Ohm, F、 P）→R 满足1）单调性：ρ（Z）≤ ρ（Z）对于任何Z≤ 扎勒最肯定；2）凸度：ρ（（1- λ） Z+λZ）≤ （1）- λ） ρ（Z）+λρ（Z），0≤ λ≤ 1.3）平移不变性：ρ（Z+c）=ρ（Z）+c，c∈ R;4）正同质性：ρ（λZ）=λρ（Z），λ≥ 0；5）定律不变性：ρ（Z）=ρ（Z）（如果FZ）≡ FZ。这有助于成为一种具有法律不变性的一致性风险度量。上述风险度量类别的重要性在于，它满足了现代交易风险度量理论[4、8、10]关于合理风险度量应该满足什么的所有假设属性。有趣的是，尽管其具有普遍性，但这类一般风险度量与光谱风险度量之间存在着密切的联系，即前者始终可以通过s upremum表示通过Latter表示。定理1。任意律不变一致风险测度ρΦ：L(Ohm, F、 P）→ R具有以下表达式ρΦ（Z）=supφ∈Φρφ（Z），其中Φ L[0，1]表示一组容许谱。证据文献[19]中已经讨论过（见命题1），任何定律不变量的相干r isk测度ρ：Lp(Ohm, F、 P）→ R 带p∈ [1，∞) 允许ρ（Z）=supu的表示∈MZAV@Rγ（Z）du（γ），其中AV@Rγ代表γ-CVaR和M表示[0，1]上的一组概率度量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

点击查看更多内容…

大多数88

2022-5-25 15:34:28

因为AV@Rγ（Z）=（1- γ）-1RγF-1Z（α）dα，我们有ρ（Z）=supu∈MZZγ（1- γ）-1F层-1Z（α）dαdu（γ）=supφ∈ΦZφ（α）F-1Z（α）dα=supφ∈Φρφ（Z），其中Φ：={Д|Д（κ）=Rκ（1- γ）-1du（γ），κ∈ [0，1]，u∈ M} 并且，根据定义，每一个φ都是[0，1]上的一个非递减概率密度，即它是一个容许谱。如前所述，对于VaR和CVaR的情况，当只有前两个时刻是已知的基础分布时，可以对其最坏的情况对应项进行封闭式评估。更具体地说，给定一对平均值和标准偏差（u，σ），最大的st（1-）-VaR和（1-）-具有平均u和标准偏差σ的分布集上的CVaR值可通过以下公式计算：【9，6】ρW CV aR（u，σ，）=ρW CCV aR（u，σ，）=u+σr1- （1）其中∈ （0，1）是尾部概率。沿着这条工作路线，我们考虑以下优化问题，该问题定义了最坏情况下不变一致风险度量（WCLICRM）：ρW CLICRM（u，σ，Φ）：=supFZ∈QρΦ（Z）（2）服从于E[Z]=uSTD[Z]=σ，其中Q表示(-∞, ∞). 作为WCLICRM的一个特例，我们还定义了当单个光谱φ被视为ρW CSRM（u，σ，φ）：=ρW CLICRM（u，σ，{φ}）时的最坏情况光谱风险度量（WCSRM）。（3）在继续之前，我们将对用于确定问题（2）的风险度量ρΦ做出以下假设。假设1。对于WCLICRM定义中使用的任何风险度量ρΦ，集Φ由L∞[0，1]，即仅限有界函数。如【15】所述，除非所有考虑的随机变量本质上是有界的，即Z∈ L∞(Ohm, F、 P），通常是一个具有任意谱φ的特殊风险度量ρφ∈ L[0，1]可能没有很好的定义。不难证实，在假设1中，对于任何Z，谱风险度量ρφ都是有限的∈ L(Ohm, F、 P）（事实上，对于任何Z∈ L(Ohm, F、 P））。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 15:34:32

此外，这个假设并没有真正的限制性，因为对于任何一般规律不变的相干风险度量ρ，总是有一组Φ L∞[0，1]使得ρ=supφ∈Φρφ成立（见推论5，[14]）。目前尚不清楚问题（2）是完全通用的还是仅适用于CVaR等特殊情况。本节的主要结果是表明，对于Φ：={φ}的情况，即WCSRM（3）的情况，（2）的解通常允许一个优雅的闭式表达式，不仅可以容易地解决上述问题。我们分两步给出结果。首先，我们关注光谱风险度量的情况，即（3），并表明在这种情况下，问题（3）简化为闭合形式。此后，WCLICRM的结果，即（2）一般，可以相当直接地得到验证。在展示我们的主要结果之前，我们需要以下引理来帮助我们进行分析。引理1。给定假设1，任何谱风险度量ρφ（Z）可等效为ρφ（Z）=minq（α）E[φ（0）Z+Z[（1- α） q（α）+（Z- q（α））+]dφ（α）]，其中q∈ L（0，1），存在一个非递减函数作为最优解。证据根据[2]中的命题3.2，我们得到ρ（Z）=minq（α）φ（0）E[Z]+Z[（1- α） q（α）+E[（Z- q（α））+]]dφ（α），最优解q*（α）满意度q*（α）∈ [F-1Z（α），F-α上的1Z（α）+）∈supp（φ），即φ（α）定义的度量值的支持，否则可以取任意值。因此，人们总是可以构造一个非递减函数Q*（α）在（0，1）上达到最优性。应用Fubini定理，我们得到了结果。F-1Z（α）+：=inf{q | FZ（q）>α}应用引理1，我们可以等价地表述WCSRM（3）a sρW CSRM（u，σ，φ）=supFZminq（α）Z的问题∞-∞[φ（0）z+z[（1- α） q（α）+（z- q（α））+]dφ（α）]dFZ（4）受z约束∞-∞zdFZ=uZ∞-∞zdFZ=u+σZ∞-∞dFZ=1，FZ∈ Q、为了简单起见，从这里开始∞-∞可能写得有误。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 15:34:36

作为本文的主要结果，我们在下面的定理中证明了上述问题可以简化为均值和标准差的加权和的形式。定理2。假设1，任何最坏情况下的光谱风险度量（WCSRM）都可以以闭合形式进行评估：ρW CSRM（u，σ，φ）=u+σsZφ（p）dp-1、在（1）的情况下- ）-CVaR，我们有rφ（p）dp=。证据首先，假设在（4）中，对于任何固定的FZ，存在一个非递减函数作为最优解，我们可以在不损失一般性的情况下施加约束q（α）∈ Q，其中Q表示所有非递减函数（0，1）的s et。这将有助于证明的其余部分。也设g（z；q（α））：=R[（1- α） q（α）+（z- q（α））+]dφ（α）。由于集合Q是凸的，并且（4）中的目标函数对于任意固定的Fzan和Fzf中的线性对于任意固定的Q（α）是凸的，因此我们可以应用Sion\'sminmax定理[20]在以下等价问题Minq（α）处切换sup、min和ar-rive∈Q{supFZ∈QZ[φ（0）z+g（z；q（α））]dFZ | ZzdFZ=u，ZzdFZ=u+σ}。应用二次曲线线性问题的对偶理论（Shapir o 2001[18]），我们可以用它的对偶代替内部最大化问题，从而得到tominq（α）∈Qminλ，λ，λλ+uλ+（u+σ）λ（5）受λ+zλ+zλ约束≥ φ（0）z+g（z；q（α）），z、（6）σ>0时，强对偶成立。很容易验证，当σ=0时，我们有ρW CSRM（u，0，φ）=u，因此只有σ>0的情况需要进一步研究。我们声称，给定任何固定q（α）∈ Q，函数g（z；Q（α））等价于以下函数h（z；Q（α））：=supβ∈[0,1）Z[（1- α） q（α）+1[0，β]（α）（z- q（α））]dφ（α）。我们通过考虑任意z值的以下两种情况来验证这一点：基于给定的q（α），要么存在α∈ （0，1）使得q（α）≤ z或其他。对于第一种情况，设β（z）：=arg max{α∈（0,1）}{α：q（α）≤ z} 。因为q（α）是非递减的，所以我们有q（α）≤ Zα∈ （0，β（z）]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-25 15:34:39

因此，我们可以等效地写g（z；q（α））asg（z；q（α））=z[（1- α） q（α）+1（0，β（z）]（α）（z- q（α））]dφ（α）。根据定义，h（z；q（α））≥ g（z；q（α））如下。要显示另一个方向，让β*（z）表示h（z；q（α））中问题的最优解。有两种可能的情况：β*（z）≤ β（z）或其他。如果β*（z）≤ β（z），我们有h（z；q（α））=z[（1- α） q（α）+1（0，β*（z） ]（α）（z）- q（α））]dφ（α）≤Z[（1- α） q（α）+1（0，β*（z） ]（α）（z）- q（α））+1（β*（z），β（z）]（α）（z- q（α））]dφ（α）=g（z；q（α）），而对于情况β*（z） >β（z）我们有h（z；q（α））=z[（1- α） q（α）+1（0，β（z）]（α）（z- q（α））+1（β（z），β*（z） ]（α）（z）- q（α））]dφ（α）≤g（z；q（α）），其中最后一个不等式是由于β（z）的定义。现在，对于不存在α的情况∈ （0，1）使得q（α）≤ z、 weimmediately haveh（z；q（α））=z（1- α） q（α）dφ（α）=g（z；q（α）），其中第一个等式是由于最佳β*（z）在h（z；q（α））中必须有bezero，第二个是在g（z；q（α））的定义之后。因此，我们可以在约束（6）中用h（z，q（α））代替g（z；q（α）），这将导致λ+zλ+zλ≥ φ（0）z+zβ[（1-α） q（α）+（z-q（α））]dφ（α）+Zβ[（1-α） q（α）]dφ（α），Zβ∈ [0，1]，orminz{（λ-Z[（1- α）- 1（0，β）（α）]q（α）dφ（α））+（λ- （φ（0）+Zβdφ（α）））Z+λZ}≥ 0，β∈ [0，1]。定义为φ（0）+Rβdφ（α）=φ（β）。对于任何固定β，上述不等式的左侧是一个一元二次函数的初等极小化问题。仅当λ≥ 0

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-25 15:34:42

通过将优化问题替换为已知其最优值的公式，我们得到了以下等式：（λ- ^1（β））-（λ- φ（β））4λ≥ 0，β∈ [0，1]，其中λ≥ 0和Д（β）：=R[（1- α）- 1（0，β）（α）]q（α）dφ（α）。具有上述重新制定的约束条件的优化问题（5）可以进一步重新制定为MINQ（α）∈Q，λ，λ≥0supβ∈[0,1]{（λ）- φ（β））4λ+Д（β）+uλ+（u+σ）λ}=> minq（α）∈Q，λ，λ≥0supβ∈[0,1]{λ4λ-λφ（β）2λ+φ（β）4λ+Д（β）+uλ+（u+σ）λ}=> minq（α）∈Q，Q，r≥0supβ∈[0,1]{φ（β）r+φ（β）q+Д（β）}+q4r+u(-q2r）+（u+σ）4r=> minq（α）∈Q，Q，r≥0supβ∈[0,1]{φ（β）r+φ（β）q+Д（β）}+（q- u）+σ4R，其中r=4λ和q=-λ2λ应用于第三行。通过引入虚拟变量s，t∈ R, 我们有以下等效公式minq（α）∈Q，Q，r，s，ts+Z（1- α） q（α）dφ（α）+tZ（0，β）（α）q（α）dφ（α）- φ（β）r- φ（β）q+s≥ 0，β∈ [0，1]（7）4rt≥ （q）- u）+σr≥ 0，其中第二个约束可以被重新构造为二阶约束Q- uσr- tr+t∈ Q、（8）式中Q：={（u，t）∈ R| ||u | |≤ t} （参见，例如[3]）。为了进一步减少问题，我们首先放松约束q（α）∈ Q稍后将验证松弛是否紧密。我们再次应用二次曲线线性规划的理论[18]，导出了松弛问题的对偶。我们可以通过y（β）定义（7）的双变量∈ Y[0，1]，其中Y[0，1]表示[0，1]上有界变化的右连续函数集，对应于[0，1]上所有有限有符号孔l测度的空间。y（β）上的积分遵循Lebesgue-Stieltjes积分。此外，让y∈ R表示对应于二阶圆锥约束（8）的双变量。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

可人4

2022-5-25 15:34:47

我们可以将拉格朗日函数写成如下，其中x：=（q（α），q，r，s，t），L（x，y（β），y）=Z（1- α） q（α）dφ（α）+s+t-Z[Zβq（α）dφ（α）- φ（β）r- φ（β）q+s]dy（β）- y（q- u）- y（σ）- y（r- t）- y（r+t）=Z（1- α） q（α）dφ（α）-Z[Zαdy（β）]q（α）dφ（α）+s（1-Zdy（β））+t（1+y- y） +r（Zφ（β）dy（β）- Y- y） +q（Zφ（β）dy（β）- y） +yu- yσ，其中在等式的第二行中，第二项通过交换积分阶获得。对偶问题maxy（β），yminxL（x，y（β），y）归结为以下问题maxy（β），yuy- σY受（1）约束- α）-Zαdy（β）=0，α∈ supp（φ）（9）Zdy（β）=1（10）y+0（11）年- y=-1（12）年+年≤Zφ（β）dy（β）（13）y=Zφ（β）dy（β）（14）qy+y+y≤ y、（15）其中y+0表示y（β）在[0，1]上不递减。继Shapiro（2001）[18]之后，如果存在可行（q*（α），q*, R*, s*, T*) 这样（广义）slater条件可以满足。这是（7）的情况，因为给定任何不满足slater条件的可行解，我们总是可以找到改变本地可行s和t，以便满足条件c。从（15）可以看出，我们有≤ Y- Y- Y=>Y≥ -qy公司- Y- Y=>Y≥ -q（y- y）（y+y）- Y=> -σy≤ σsZφ（β）dy（β）-（Zφ（β）dy（β））（由于（12），（13），（14））（16）由于yi仅受上述不等式的约束，因此等式必须保持最优解。还可以观察到，通过应用分部积分，我们可以写出（9）asy（1）- y（α）=1- α，α∈ supp（φ）。（17）在不丧失一般性的情况下，我们可以假设y（β）没有被y（1）=1归一化。与（14）和（16）一起，目标函数c现在可以重新格式化为u（Zφ（β）dy（β））+σsZφ（β）dy（β）-（Zφ（β）dy（β））（18）=u（Zsupp（φ）φ（β）dy（β）+Z[0,1]\\supp（φ）φ（β）dy（β））+（19）σs（Zsupp（φ）φ（β）dy（β）+Z[0,1]\\supp（φ）φ（β）dy（β））- （Zsupp（φ）φ（β）dy（β）+Z[0,1]\\supp（φ）φ（β）dy（β））。（20）观察到积分sr[0,1]\\supp（φ）可以独立于y（β）在[0,1]\\supp（φ）上的精确形状。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 15:34:50

因此，我们可以通过设置满足（10）、（11）、（17）的y（β）=β来获得最佳y（β），即它对应于[0，1]上的统一度量。目标函数（20）将眼角缩减为u（Zφ（β）dβ）+σsZφ（β）dβ- （Zφ（β）dβ）=u+σsZφ（β）dβ- 1，sinceRφ（β）dβ=1。我们要证明的是，在放松约束q（α）后，问题（7）仍然很紧∈ Q。Shapiro（2001）[18]，考虑到强对偶成立，我们对原始最优解（q）有以下互补条件成立*（α），q*, R*, s*, T*) 和对偶最优解（y*（β），y*)Z[Zβq*（α） dφ（α）- φ（β）r*- φ（β）q*+ s*]dy公司*（β） =0=>Zβq*（α） dφ（α）=φ（β）r*+ φ（β）q*- s*, β∈ [0，1]（自y起）*（β）在[0，1]上是一致的）=>Zβq*（α） dφ（α）=Zβ（2φ（α）r*+ Q*)dφ（α）+φ（0）r*+ φ（0）q*- s*, β∈ [0，1]=>Zβ（q*（α）- 2φ（α）r*- Q*)dφ（α）=φ（0）r*+ φ（0）q*- s*, β∈ [0，1]，=>Zββ（q*（α）- 2φ（α）r*- Q*)dφ（α）=0，β、 β∈ [0，1]。其中第二行也可以看到[17]，第三行是因为将部件集成应用到右侧。因此，对于任何α∈ supp（φ），我们必须有q*（α） =2φ（α）r*+ Q*, 如果φ为so（注意r*≥ 0）。因为对于nyα∈ [0，1]\\supp（φ），q的变化*（α）在（7）中没有区别，因此我们证实，在松弛问题中也存在一个最佳的非递减函数。这完成了他的职业生涯。上述结果不仅为以封闭形式生成WCSRM提供了一个统一的视角，用于不同的频谱φ选择，即相应地修改标准偏差的s比例因子，还可以重新解释WCCVaR的早期结果。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

mingdashike22

2022-5-25 15:34:53

而WCCVaR中标准偏差的比例因子通常表示为Q1-，似乎是非尾部和尾部概率之间比率的平方根，上述结果表明，该比率也可以解释为φ的“偏斜”程度，即Rφ（p）dp，与φ在[0，1]上均匀的情况相比，其中Rφ（p）dp=1。我们有ρW CSRM（u，σ，φ*) = φ时为u*是统一的。因此，闭合形式可以粗略地理解为“风险中性值，其中φ是均匀的，加上标准偏差乘以与均匀测量情况相比倾斜的agivenφ的多少，即qRφ（p）dp- 1英寸。尽管定理2的结果很优美，但事实上并不明显，如果从名义风险度量（即固定分布）的角度来看，则其结果可能与直觉相反。为了了解为什么结果可能是令人惊讶的，让我们强调一下结果中的以下含义。推论1。给定任何（u，σ），谱φ的最坏情况谱风险度量，即ρW CSRM（u，σ，φ）等效于最坏情况（1- ′）-值A和（1- ′）-条件风险值分别为Rφ（p）dp，即ρW CV aR（u，σ，Rφ（p）dp）和ρW CCV aR（u，σ，Rφ（p）dp）。显然，对于名义风险度量，上述陈述可能不正确，因为为了匹配光谱风险度量的值，相应的尾部概率o f a（1- ′）-CVaR可能取决于给定分布的形状，即′：=（FZ）。然而，在上述推论中，WCSRM和WCCVa R之间的等效性可以独立于分布的结构，即平均值和标准偏差来建立。我们现在准备给出最坏情况下的法律不变一致风险测度的一般情况的结果，这可以直接从定理2的结果中获得。定理3。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-25 15:34:56

假设1，基于ρΦ=supφ定义的任何最坏情况下不变的一致风险度量∈Φρφ可以用闭合形式ρW CLICRM（u，σ，Φ）=u+σssupφ计算∈ΦZφ（p）dp- 1，相当于最坏情况（1- ′）-VaR和（1-′）-通过设置′=supφ的CVaR∈ΦRφ（p）dp。证据为了简单起见，我们编写了FZ~ （u，σ）表示具有平均u和标准偏差σ的任何分布。我们有ρW CLICRM（u，σ，Φ）：=supFZ~（u，σ）supφ∈Φρφ（Z）=supφ∈ΦsupFZ~（u，σ）minq（α）Z[φ（0）Z+Z[（1- α） q（α）+（z- q（α））+]dφ（α）]dFZ=supφ∈Φu+σsZφ（p）dp- 1=u+σssupφ∈ΦZφ（p）dp- 1，其中最后一个等式仅仅是由于σ√· 是一个递增函数。在本节结束时，我们得出结论，WCVaR和WWCVaR的封闭式见解可以很好地应用到许多风险度量中，这些度量在现代风险理论y.3稳健投资组合优化中被认为是合理的。推论1（或定理3）中的观察结果在ro-bust投资组合优化中尤其有用。我们在本节中提供了必要的详细信息，以得出VaR稳健投资组合优化与一般规律不变ris k度量之间的联系。证券投资组合优化问题寻求一个在满足许多约束条件（如无卖空要求）的同时将最坏情况风险降至最低的投资组合。当采用一个法律不变的一致风险测度minx时，它一般可以表示为以下极小极大问题∈XsupFRρΦ(-（R）x）（21）根据E【R】=uCOV【R】=σ，其中x Rn表示不同资产上可接受的投资组合分配向量，以及R：(Ohm, F、 P）→ Rn个资产及其分布的随机返回向量的n个数。假设集合X是不包含0的有界多面体。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

能者818

2022-5-25 15:35:05

在上述公式中，我们假设只有平均u∈ Rnand协方差∑∈ Rn×n已知收益的联合分布，投资组合x∈ 寻求在以u和∑为均值和协方差的多变量分布集合上最小化最坏情况风险的X。由于目标函数的极小极大形式和随机收益的高维性，上述问题似乎很难解决。幸运的是，我们可以首先应用以下结果来简化鲁棒性问题。引理2。（[6]）设A：={Aξ| E[ξ]=u，COV[ξ]=∑}，B：={η| E[η]=au，VAR[η]=a∑a}。对于任何a 6=0∈ Rn、它认为A=B。换句话说，我们可以等价地重新表述上述问题asminx∈XsupFZρΦ(-Z）受E[Z]=u影响xSTD[Z]=√十、∑x其中，对于任何固定x，随机变量Z只是一个具有非变量分布FZ的随机变量。内部最大化问题现在可以使用定理3的结果重新表述，整个问题可以简化为以下最小化问题minx∈十、-ux个+√十、∑xssupφ∈ΦZφ（p）dp- 1、前提是术语supφ∈ΦRφ（p）dp可以通过函数求解，这个最终问题可以通过SOCP解算器轻松解决【3】。此外，除了比例因子外，它与VaR稳健投资组合优化（[9]）相同，这证实了以下事实与推论1中的观察结果一致。推论2。在假设1的条件下，利用律不变一致风险测度求解稳健投资组合优化问题等价于利用（1）求解稳健投资组合优化问题- ′）-VaR（或（1- ′）-CVaR）带′=supφ∈ΦRφ（p）dp。上述事实立即表明，可以将上述稳健投资组合问题（2 1）简单地扩展到前两个时刻不确定的情况，这在稳健VaR和CVA优化的文献中得到了很好的解决[9、6、11]。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

大多数88

2022-5-25 15:35:08

为了证明这一观点，我们在El Ghaouiet al.（2003）[9]的工作基础上，提供了以下几种可能的张力，以处理力矩不确定性，由此产生的公式通常可以被改写为圆锥曲线图[12]。我们跳过这些证明，因为一旦应用推论2，它们可以在El Ghaoui et al.（2003）中找到。推论3。（c.f.[9]第2.2-2.4节，3.1）给定假设1，如果随机收益R的分布的平均u和协方差∑仅已知为凸集c Rn×Rn×n，具有律不变一致风险测度ρΦ：=supφ的稳健投资组合优化问题（21）∈Φρφ可通过以下minmax问题minx求解∈Xmaxr，u，∑- RX主题为∑r- u（r- u）supφ∈ΦRφ（p）dp- 1. 0，（u，∑）∈ C此处 0表示左侧矩阵为正半定义。对于下列特殊情况1）（多面体不确定性）C：=Co{（uk，∑k）}k=1，…，问题进一步归结为二次曲线规划，。。。，K、其中Co是凸包算子2）（分量界）C：={（u，∑）|uL≤ u≤ uU，∑L≤ ∑≤ ∑U}，3）（因子模型中的不确定性）C：={（u，∑）|（uf，S）u=Auf，∑=D+ASA, ufL≤ uf≤ ufU，SL≤ s≤ SU}，其中，假设随机回报的因子模型R=Af+uis，u是对角协方差矩阵D的残差。最后，值得指出的是，根据文献[6]的结果，当可行集X由简单的预算约束（即1）描述时，也可以用闭式解出资产组合优化问题（21）x=1。感兴趣的读者再次参考了文献[6]中的定理m 2.9。4结论性意见在本文中，我们表明，对于基于法律不变一致风险度量定义的一般类别的最坏情况风险度量，也存在闭式解。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

何人来此

2022-5-25 15:35:13

该结果在很大程度上概括了最坏情况风险值和最坏情况条件风险值的现有封闭式结果，这些结果在过去十年中受到了相当多的关注。一般类别测度s的闭式解与VaR和CVa R的闭式解非常相似，因此可立即应用于实施最坏情况VaR和CVa R的许多设置。稳健均值方差优化。参考文献[1]C.Acerbi，《风险的光谱度量：主观风险规避的一致表示》，《银行与金融杂志》，26（2002），第1505-1518页。[2] C.Acerbi和P.Simonetti，《具有光谱风险度量的投资组合优化》，技术代表，2002年。[3] F.Alizadeh和D.Goldfarb，《二阶锥规划》，数学规划，95（2003），第3-51页。[4] P.Artzner、F.Delbaen、J.M.Eber和D.Heath，《一致性风险度量》，数学金融，9（1999）。[5] G.C.Calafiore，《模糊风险度量和最优稳健投资组合》，暹罗优化杂志，18（2007），第853-877页。[6] L.Chen、S.He和S.Zhang，一些风险度量的紧界，以及稳健投资组合选择的应用，Oper。第59号决议（2011年），第847-865页。[7] E.Delage和Y.Ye。，力矩不确定性下的分布鲁棒优化及其在数据驱动问题中的应用，《运筹学》，58（2010），第596-612页。[8] H.F"ollmer和A.Schied，《风险和交易约束的凸度量》，《金融与随机》，6（2002），第429-447页。[9] L.E.Ghaoui、M.Oks和F.Oustry，《最坏情况下的风险价值和资产组合优化：圆锥规划方法》，《运营研究》，51（2003），第543-556页。[10] S.Kusuoka，《关于法律不变的一致性风险度量》，数学经济学进展，S.Kusuoka a和T.Mar uyama编辑，第卷。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-25 15:35:17

《数学经济学的三大进步》，日本斯普林格出版社，2001年，第83-95页。[11] K.Natarajan、M.Sim和J.Uichanco，《投资组合优化的可处理稳健预期能力和风险模型》，金融学硕士，20（2010），第695-731页。[12] A.Nemirovski，《凸优化的进展：圆锥规划》，载于《国际数学家大会论文集》，第一卷，欧洲数学家协会，Zürich，2007年，第413-444页。[13] G.C.Pflug，《关于畸变泛函，统计和风险建模》（原：统计和决策），24（2006），第45-60页。[14] G.C.Pflug和A.Pichler，《一致风险函数的时间一致性决策和时间分解》，《运营数学研究》，41（2015），第682-699页。[15] A.Pichler，《版本独立风险度量的自然banach空间》，《保险：数学与经济学》，53（2013），第405–415页。[16] ，保费和准备金，经扭曲调整，《斯堪的纳维亚精算杂志》（2015），第332-351页。[17] M.C.Pullan，《分离连续线性规划的对偶理论》，SIAM J.Contr ol Optim。，34（1996），第93 1-965页。[18] A.Shapiro，《关于二次曲线线性问题的对偶理论》，《半有限规划》，Kluwer学术出版社，2001年，第135-165页。[19] A.Shapiro，《关于法律不变风险度量的kusuoka表示》，《运筹学数学》，38（2013），第142-152页。[20] M.Sion，《关于一般极大极小定理》，太平洋数学杂志，8（1958），第171-176页。【21】W.Wiesemann、D.Kuhn和M.Sim，《分布鲁棒对流优化》，运筹学，62（2014），第1358–1376页。【22】D.Wozabal，《线性投资组合的稳健凸风险度量：非参数方法》，《运营研究》，62（2014），第1302–1315页。[23]S.Zhu和M.Fukushima，《应用于稳健投资组合管理的最坏情况条件风险价值》，Oper。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

kedemingshi

2022-5-25 15:35:19

第57（200 9）号决议，第1155-1168页。

扫码加我拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

扫码加我 拉你入群

分享

扫码加好友，拉您进群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群

扫码加我拉你入群