此外，如[Biondi 2005]所述，银行实体与市场的差异使银行业成为最有可能受到规模经济因素影响的行业之一，因为其特定的经济组织和特定特征：-知识经济（边做边学，从规模和各种运营中收集信息）-管理费用在不同的客户中（导致平均成本和边际成本递减）-对更大实体的隐性公共担保（太大太失败），等等。因此，我们不研究等式6，而是研究一个供应曲线的情况，其中利率i随贷款量N:i（Nloans）=iN而递减-α贷款（16）如图2（b）所示。在收益递增的情况下，等式。7和8变成：Nt=（it/k）-uit+1=英寸-αt.随着时间的推移，它们的共同进化过程是：NEq。17----→ iEq。7.---→ 内克。17----→ i··NtEq。17----→ 它是+1Eq。7.---→ Nt+1··（17）任何时候未偿还贷款的金额为（推导见附录B）：Nt=Nfix[N/Nfix]（αu）t，（18），其中固定点定义为两条曲线之间的交点，即Eqs。16和5:Nfix=（k/i）u/（1）-αu）（19）ifix=（i/kαu）1/（1）-αu). （20） 与收益递减情况（等式10、11）相反，收敛条件αu<1不能通过等式中给出的类型的小步修正来解决。13, 14. 实际上，如果αu<1，等式18在t中收敛→ ∞ 自指数（αu）t起限制为nfix→ 0.但是对于αu>1，而不是在0和∞ , 如前一个等式12所示，其中指数在+∞和-∞, 我们现在有一个单调的行为，因为（αu）t→ +∞. 因此，如果初始点Nis小于n Nfix，则等式18中的一个量在次幂处小于1∞ 收敛到0。相反，如果N>Nfix，那么等式中有。

18次方的量大于1∞ 这与∞.因此，我们得出结论，如果银行提供的利率随着公式17贷款量的增加而增加，速度快于足以确保贷款需求增加（αu>1）的利率下降（公式7），则NFIXi会出现真正的不稳定性。下一小节将对该案例进行分析。通过比较图2（b）和图3（b），可以最好地从图形上理解收益递增的稳定和不稳定贷款市场之间的差异，其中，在双对数标度图上：（a）监管反馈回路的自上而下部分与等式7有关：即，i（顶部）的增加导致贷款需求量N（底部）的减少。自下而上的影响由等式17定义：N的增加导致i的进一步增加。图中箭头厚度的差异意味着这种利率监管比贷款需求的增加慢（αu<1），因此由此产生的反馈回路对贷款市场具有稳定作用。（b） 图2（a）中循环参数的共同进化：贷款N的供给和需求i。对于αu<1的情况，过程收敛到平衡点（Nf ix，if ix），以曲线的交点为标志。5, 16. 收敛的发生与N的初始值无关。从图形上看，这种迭代收敛过程17通过交替绘制垂直箭头来表示，以从上一个箭头中获得新的i，并从当前i中获得下一个N。图2:Marshall-Walras程序，用于增加规模收益和减缓自上而下的反馈，即。

当贷款成本（利率i）是贷款供应量的缓慢递减函数时，N.-函数i（N）=iN-α由斜率的直线表示-α;- 而函数N（i）=（i/k）-u由斜率的直线表示-1/u，因为N对应于水平x轴，而i在垂直y轴上测量。迭代过程N（it）=（it/k）的演化-u，it+1（Nt）=iNt-α用箭头表示。按照图2（b）和3（b）中的箭头，可以看到：-如果-α > -1/u，即N（i）的斜率比i（N）的斜率更陡。过程收敛到固定点；-相反，如果i（N）的斜率比N（i）的斜率更陡，如图3（b）所示，则固定点不稳定（排斥）。离散动力系统x点收敛和稳定的一般条件是（参见[Galor 2007]）：我NN我< 1.（21）在本文的其余部分，我们将使用这个不等式，尤其是在非线性情况下获得相图，图中给出了多个固定点。11, 12; 该标准不仅有助于确定固定点附近迭代过程的方向，而且有助于确定固定点之间整个参数区间内过程的特征和演变。事实上，它们对应于系统的不同阶段（稳定或不稳定）。形式收敛条件。

21在图2（b）所示类型的各种图表中以视觉和更直观的方式强制执行，只需遵循代表流程17图形化操作的箭头即可：水平箭头将流程从它带到相应的NT，而垂直箭头将流程从NT推进到它+1。更具体地说，在图2（b）中，箭头链指向稳定的固定点，表明无论从哪一侧开始，过程都在向稳定的固定点收敛。相反，在图3（b）中，箭头链指向远离不稳定固定点的地方，因此从稍高于或低于固定点开始，到固定点的距离随着过程的推进而增加。自动这意味着两个固定点之间的整个间隔（如图11）具有统一的行为——它构成了系统的一个阶段；无论在该时间间隔内从何处开始，该过程都将收敛到稳定的固定点，并从不稳定的固定点逃离。3.3非理性繁荣的理性。3.1贷款加速器明斯基对内在不稳定的看法被支持者和反对者视为与主流新古典主义传统不相容。与许多其他案例（凯恩斯、熊彼特等）一样，不相容性主要存在于研究人员的头脑中，而不是实际的数学核心或方法论中。在Sonnenschein-Mantel-Arrow-Debreu的分析中，这种不稳定性显然是默认值，而不是异常值。专注于趋同的案例只是过去（太）经常做出的一种特殊选择。在本小节中，我们将使用类似马歇尔·沃尔拉斯的新古典主义分析来证实明斯基的观点，即不稳定是资本主义政权的自然条件。

事实上，要获得它，在分析前面的小节时只需考虑αu>1的情况。在这种情况下，等式17的过程发散，因为在等式18中，指数（αu）t，而不是t的消失→ ∞, 发散（αu）t→ ∞. 因此，对于初始N>Nfix，等式18表示Nt→ ∞. 当然，对于一定数量的代理人Ntotal来说，过程17宁愿在Nt=Ntotal时停止。-对于初始N<Nfix，公式18表示Nt→ 0 .因此，在αu>1的情况下，固定点（Nfix，ifix）变得排斥。从图3（b）中可以看出这一点，从靠近Nfix（略高于或略低于Nfix）的点Nvery开始，Nt（和它）朝相反方向演化，朝着0或0∞, 分别地图3（a）直观地说明了导致这种不稳定性的自动催化反馈回路，其中自上而下的反馈占主导地位（fat自上而下箭头）。对贷款市场的影响是灾难性的：敢于以低利率大量放贷的银行接管了市场，而立场更保守的银行或金融部门则被挤出了市场。为了避免边缘化，信贷机构采取尽可能高风险的政策是合理的，事实上也是不可避免的。反过来，鼓励债务人以越来越低的利率借入越来越多的款项。然而，如上所述，在接下来的章节中，失控分析的形式表达与用于寻找稳定平衡的新古典曲线交叉技术有许多共同点。在危机前的模式中，该系统非常成功，以至于它陷入了一种蓬勃发展的状态，这种状态会自我反馈，并以指数级的速度增加债务融资投资。[Greenspan 1996]，[Schiller 2006]称这种繁荣是“非理性的”。

然而，这是一个观点问题：从个人利益追求（用明斯基的话说，是资本主义）的角度来看，这种行为是理性的，因为它最大限度地提高了个人利益。然而，对于所有知道的代理人来说，他们尤其会知道这些命令的悲剧和本文的内容，应该清楚的是，他们的行为可能会以集体损失告终。一些评论员让格林斯潘本人和美联储（Fed）为泡沫负责，因为他们将利率维持在过低水平，从而鼓励了危险的繁荣。事实上，如果可以获得低息贷款（i=利息支付/贷款），并且可以购买的资产具有足够高的弹性：r=收益/贷款，超过利率：r>i，那么在这种制度下，底线是：收益>利息支付。因此，从短视的个人角度（并且在缺乏对紧急集合动态的理解的情况下）来看，借钱购买这些资产是安全、合理的！这个明斯基贷款加速器解决了主流新古典经济学面临的一个长期难题：商业周期波动。新古典主义模型不仅预测了无危机稳定状态，而且事实上它们假设均衡是其主要的概念基础。承认某种程度的波动的唯一方法是将其归因于暂时使经济脱离稳定平衡状态的外部冲击[Kydland 1982]。

根据这些模型，在这种冲击之后，如下文所述，Ntotals的完整性可能会带来明斯基时刻：明斯基贷款加速器依赖于人们可能继续不确定地进行贷款融资投资并从收益中支付利息的预期。经济的不确定性意味着，在某个阶段，投资将超过市场的购买能力，不会产生支付贷款利息所需的回报。这将促使一些最激进的投资者持有aPonzi的头寸，并触发明斯基时刻。（a） Minsky贷款加速器，适用于回报率快速增长的贷款市场（胖上下箭头，即所提供贷款数量N的收费i快速下降）。与图2（a）类似，监管反馈回路的自上而下部分与公式7有关：i的减少导致贷款需求量的增加，N。根据公式17，Nleads的增加导致i的进一步减少。如果收费利率的下降速度如此之快，以至于超出了增加贷款需求所需的减少量（αu>1），这会对贷款市场产生不稳定的影响，并导致不同的反馈回路。（b） 在收益快速增加的情况下，即α>1/u，贷款供求的马歇尔-瓦拉斯程序，公式16。从图形上看，迭代过程17通过交替绘制垂直箭头来表示，以从之前的Nt中获得新的IT17-1和水平箭头，以从当前IT获取下一个NTF。该过程与曲线方程的交点（Nf ix，if ix）标记的不稳定固定点不同。5, 16.

在极限状态下→ ∞ 对于初始贷款数量n<Nf ix，贷款数量缩减至新台币→ 0.相比之下，对于初始贷款数量N>Nf ix，贷款数量增加Nt→ ∞ 直到这个“泡沫”被一个明斯基时刻阻止。图3:Minsky贷款加速器，用于贷款市场，贷款供应规模回报率快速增长（较低利率），参数i和N的协同进化的图形表示。决定缓慢和快速增长回报率之间差异的条件是规模间反馈参数α和异质性系数的乘积αuu，在低回报市场中小于，在高回报市场中大于1。有效市场的作用轻轻地使系统回到平衡状态。另一方面，明斯基的立场是，危机是资本主义固有的：债务融资投资这只相当明显的手正在导致资本主义系统失去平衡。如下图所示，系统最终会陷入一种状态，在这种状态下，最轻微的噪音都会放大为系统性危机。这一“明斯基时刻”将在下一小节中描述。3.3.2上一小节中所示的明斯基时刻，不以降低的利率贷款的银行和不采取日益杠杆化立场的债务人，实际上将受到更低利润、更低增长率和市场份额损失的惩罚。为了提供更多贷款，银行不仅必须向实力雄厚、前景看好的公司（在某个阶段，这些公司自身杠杆过高）提供贷款，还必须向那些只依赖于正反馈预期循环的单位提供贷款。此外，考虑到当前的利率水平，这些公司将采用非常大的杠杆头寸，这是合理的。

事实上，这本身就导致了明斯基自我参考反馈循环的一个版本：随着资产（股票市场/房地产市场）价格的上涨，持有这些资产的单位的借贷能力也随之提高。这为这些单位提供了更多的抵押品，用于在同一资产上借入更多资金（这些资产现在的市值增加了）。这些单位收到的新贷款可能会重新投资于股市/房地产，只要市场价格上涨，就会加强循环。事实上，为了继续增加贷款量，银行必须找到新的借款人。当所有良好的借款人都已经获得贷款时，银行必须降低其贷款标准，以吸引之前被信贷市场拒之门外的新借款人[Adrian 2010]。在实体经济中，在没有噪音的情况下，这可以证明是可持续的[LLS 1995]。然而在现实世界中，人们最终重新发现了‘赫伯特·斯坦定律’：“如果某件事不能永远持续下去，它就会停止。”[Krugman 2010]。在目前的情况下，一旦n从贷款中购买的资产的增长率r出现微小的向下波动，正反馈回路就会被打破。这尤其可能是由于Ntotal的独特性：市场不断扩张，以跟上不断增长的（贷款融资）投资。一旦这些投资的收益r×loan无法支付其债务i×loan的利息，这些单位就会变成庞氏骗局，一旦被发现就会失败。这就是明斯基时刻（保罗·麦卡利创造了“明斯基时刻”一词来描述1998年的俄罗斯金融危机）。在明斯基时刻之后，之前宽松的信贷政策收紧，利率在新的>iold（以下等式23）中提高，这使得即使是轻微的投机（但在此之前是可行的，r>iold）公司也陷入庞氏状态（r<inew）并最终失败。

反过来，这又会反馈到进一步收紧系统中的信贷可用性，并关闭反馈回路。总有某种程度的外部噪声可能会导致系统严重偏离这些方程规定的值。只要公司的杠杆率低于某个阈值，噪音就不足以导致失败。然而，随着杠杆率的增加，利率或收益中最轻微的波动可能会导致一些借款人破产。这是明斯基时刻。然后，由噪声引起的第一波故障通过故障数量和利率之间的反馈系统地放大；为了避免成为庞氏骗局，公司必须降低杠杆率。这会提高利率，进而迫使更多公司去杠杆化或成为庞氏骗局。图4将[LLS 1995]关于噪音和有限尺寸在触发明斯基时刻中的作用的分析改编为当前的背景。图中显示，在完全没有噪声的情况下，承担风险的集体行为可能会继续存在：与0噪声相对应的中断线表明，利率可以继续衰减到任意小的值，这反过来又使借款人有可能（并有可能）获得越来越大的杠杆。相比之下，最轻微的噪音迟早会引发灾难性的明斯基时刻。事实上，噪音越小，危机发生得越晚，其后果就越严重。在这种情况下，为了避免泡沫破裂，只能以使其更加严重为代价来拖延。最终的评估是，经济最好是噪音不受控制，而不是崩溃不受控制。明斯基力矩之后的动力学可以用与前几节中使用的方法在数学上相同的方法进行分析。

这将在下一节中详细介绍。然而，为了获得现实的结果，必须考虑代理的微观粒度及其相互作用的网络效应。这将是本文其余部分的主题。图4：根据LLS[LLS 1995]模型改编的明斯基力矩。最初的LLS模型[Levy 1994][LLS 1995][LLS 2000]描述了一个泡沫的破裂，即风险资产投资的分数f不确定地增加，接近个人财富的100%。在目前的情况下，这相当于可持续杠杆偏离L阶的任意大值~ L/i（参见图4（b）中的中断线）。可持续发展的平均水平意味着杠杆作用，这与公司不是庞氏骗局是一致的。例如，初始可持续杠杆L=收益/（iassets）。LLS表明，在没有噪声（σ=0）的情况下，这种状态可能会不确定地继续下去，在噪声存在的情况下，当L>>1/σ时，即在我们的情况下，当i<<σ时，气泡会破裂。在本文中，噪声似乎是基于代理的模型粒度的内在结果。人们可能想知道，为了避免明斯基力矩，是否应该将噪声振幅σ降至最低。答案是，降低σ确实允许系统在更长时间内追求繁荣，并在没有违约的情况下容忍更高的杠杆率。然而，这只会推迟明斯基时刻，而不会消除它。此外，一旦危机被触发，它将大大增加危机的严重性。例如，σ=0.2噪声的存在使i（图4（a））连续线比没有σ=0时（图4（a）中断线）大近两个数量级。

因此，当σ=0.2时，明斯基时刻的利率从i阶跃升~ O（1%）至i的顺序~ O（10%）（见图4（a））。参见图4（b），这相当于可持续杠杆L的一个数量级的跳跃。反过来，这意味着所有杠杆介于新旧可持续杠杆价值之间的公司突然被归入庞氏分类，除非它们有足够的现金储备来立即去杠杆化。4.利率与庞氏量的马歇尔-瓦拉斯式程序：明斯基危机加速器在新古典主义思想中，利率i是债务市场走向均衡的驱动因素：当利率超过一定限度时，提高利率预计会抑制冒险和借贷。人们可以看到，在明斯基的情景中，超过某个“临界”点，提高利率会产生与触发危机相反的顺周期效应。在上一节中，我们考虑了导致产生大量无担保低息贷款的时期。当然，阻止“明斯基贷款加速器”的方法是提高利率。然而，这将使更多的债务人成为庞氏骗局，导致一个“明斯基时刻”，标志着“明斯基贷款加速器”的结束和“明斯基危机加速器”的开始：庞氏骗局的失败降低了系统中的信贷可用性，从而提高了利率i，这反过来又增加了数量Nponzi，被强迫进入庞氏状态的公司的数量（等式3）。

下面我们将解释、证明、形式化并分析反馈回路的组成部分。如今，这种“明斯基危机加速器”被认为是当前经济危机蔓延背后的主要机制之一[Wray 2011b]，尽管其数学公式仍在激烈争论中[Keen 1995]、[Keen 2012]、[Eggerson 2012]、[Krugman 2012]。事实将证明，对明斯基危机加速器的分析简化为与明斯基贷款加速器类似的数学形式主义，不同的是，与其说是贷款的数量，不如说是庞氏公司的数量，即Nponzi，与利率，即让我们详细定义正式的框架。[Takayasu 2000]的早期测量表明，债务和收益，即等式3中的分母和分子，都是根据幂律分布的。事实上，这与帕累托财富分配法有关[Klass 2006]。因此，可以合理地假设，公司n:r（n）=收益（n）/债务（n）<i的弹性也遵循幂律分布，异质性指数为1/β：r（n）=kn1/β（22），其中k和β是经验固定的参数。将等式22倒置，我们可以得到给定利率下庞氏公司的数量，即具有弹性r（n）<i的公司的数量。更准确地说，如果在某个时间t，利率变成它，这将使庞氏公司的当前数量Nt=Nponzi（t）达到：Nt=（it/k）β。（23）在图5（b）中的双对数标度上（其中N在x轴上表示，i在y轴上表示）。如等式23所定义，N（i）由斜率1/β的直线表示。

在本节中，我们假设一家公司一旦成为庞氏r（n）<i就违约。在明斯基情景中，这些违约将导致信贷收缩，从而导致利率it+1上升。以下原因导致我们预期这种影响：1银行将越来越担心贷款，因为公司倒闭的风险越来越大。那些破产的公司欠下的债务现在让债权人缺钱。因此，债权人可能无法偿还自己的债务。3清算用于担保破产公司债务的抵押品将导致系统中其他公司持有或过账的类似担保价值贬值[Delli Gatti 2008]。为了明确起见，我们假设利率的增加，i，将取决于当前的违约次数，作为幂律。更准确地说，如果时间t时庞氏体的数量为Nt，这将产生一个有趣的比率：它+1=iNαt。（24）在图5（b）中的双对数标度上，它+1（Nt）的函数由斜率α的直线表示。因此，正如前面公式1（b）所示，在图5（b）中，我们在同一张图上有两条具有不同角色的线：在接下来的部分中，我们将显著修改这一极端假设。（a） 明斯基自上而下自下而上的反馈回路。系统在信贷可用性方面的宏观状态由利率i参数化。各公司的状态以其庞氏或非庞氏状态为特征。Minsky crisisaccelerator反馈回路的自上而下部分与等式3有关：增加i将把一些公司的状态从非庞氏转为庞氏。反过来，庞氏公司数量的增加可能会通过明斯基加速器回路Eq的自下而上部分诱发。

23、利率进一步提高。对于αβ<1，该过程导致稳定的执行点。（b） 这张图代表了等式系统。23和24。它允许我们以图形化的方式表示迭代过程26：一个从x轴上的初始庞氏（故障）数开始，沿着垂直完整箭头移动，保持N=N，直到一个与完整直线i=iNponziα相交。交点定义了新的利率i。从点（N，i）开始，在水平虚线箭头上移动，保持i=i，然后与虚线Nponzi=（i/k）β相交。交集定义了新的N。通常如此：一个在垂直箭头上移动，固定N与i=iNponziα相交，然后找到它+1，然后在水平箭头上移动，固定N与Nponzi=（i/k）β相交，从而找到+1。我们可以看到，只要在图上Nponzi（i）的斜率比i（Nponzi）更陡，即当αβ<1时，过程就会收敛。图5:Eqs系统代表的明斯基危机反馈回路。23和24。注意（仅）当曲线Nponzi（i）的斜率为1/β，超过曲线i（Nponzi）的斜率α（即αβ<1）时，该过程收敛。发散情况（αβ>1）如图6所示。有趣的是，在αβ<1中，存在一种可能性，即一个非常大的外源性休克N>NFIX可以被系统自身的愈合部分逆转。这一点可以直观地解释为，存在着弹性非常大的公司，即使在冲击后利率上升后，这些公司仍然是可行的（而不是庞氏骗局）。这类公司即使在受到外部冲击而暂时破产时，也会在外部冲击被吸收后立即恢复支付利息。-表示公式23的线始终且仅用于获取给定ITP的NTF，而表示公式23的线。

24仅用于获得给定Nt的+1。与图1（b）中的情况一样，这由图5（b）中的箭头表示：—水平箭头将用于获得给定Nt的NTF，而—垂直箭头将用于获得给定Nt的+1。迭代过程的初始条件的特征是：-冲击前系统的状态，用初始利率i表示，以及-冲击的强度，用最初被它击倒的公司数量表示。遵循等式。假设在给定的初始利率i下，发生外生冲击，产生初始数量的庞氏N公司，单位迭代周期为：NtEq。24----→ 它是+1Eq。23----→ Nt+1。（25）我们可以进一步表示整个迭代过程，其中Nponzi公司给定的初始冲击触发了一个连锁反应：NEq。24----→ iEq。23----→ 内克。24----→ i··NtEq。24----→ 它是+1Eq。23----→ Nt+1··（26）这种迭代过程提出的主要问题是：-该过程是否会导致IT和Nt序列的增加（对应于危机），如果是这样，-增加的序列是收敛到一个有限值（有限的“迷你”危机）还是发散到一个系统危机（明斯基金融加速器释放）？因此，稳定与危机的参数范围由初始值（Ian和N）确定，特别是它们相对于曲线Nponzi（i）和i（Nponzi）相交的固定点的位置。在本节中（非网络情况），只有一个交叉点：等式的公共解。23和24施加平稳性后，it+1=it:Nfix=（i/k）β/（1）-αβ）（27）ifix=i/kαβ1/(1-αβ). （28）如附录C所述，过程Eq中贷款数量的时间演变。

图6（a）、5（b）中所示的23、24、26在数学上表示为：Nt=Nfix[N/Nfix]（αβ）t（29）。这意味着通常对于αβ<1，指数（αβ）t→ 0代表t→ ∞ 固定点27、28是稳定的：-从数量较少的庞氏公司开始，N<Nfix，将导致有限的危机，将在（Nfix，ifix）停止从一个严重的经济状态开始，在这个状态下，N>Nfix系统会自我修复：N和它会自动收缩，最终达到相同的稳定点（ifix，Nfix）。这一假设是，一旦利率下降到足以使庞氏公司不再是庞氏公司，其庞氏状态产生的任何不利系统性影响（比如，对利率的影响）就会被消除。对于αβ>1（如图6（b）所示），并在图6（a）中概念化地显示，情况相反：指数（αβ）t→ ∞ 对于t→ ∞ 固定点27、28不稳定：-低于固定点N<nfix将导致庞氏骗局数量和利率进一步下降。-如果系统（内生或外生）高于固定点，NFI退出将进入明斯基金融加速器，并且（Nt，它）将进一步增加，直到经济完全崩溃，或者直到外部措施——例如，迫使利率（和/或失败）下降——停止这一过程。（a） 明斯基加速器中的自上而下/自下而上反馈。系统在信贷可用性方面的宏观状态，由利率i参数化。各公司的状态以其庞氏或非庞氏状态为特征。明斯基加速器反馈回路的自上而下部分与等式3有关：i的增加将使一些公司的状态从非庞氏到庞氏。

反过来，庞氏公司数量的增加可能会导致明斯基加速器回路的底部上升，从而进一步提高利率（等式23）。（b） 该图显示了明斯基加速器中的利率（i）和庞氏公司/失败（N）的数量之间的协同进化。红色实线（α）的斜率比蓝色虚线（1/β）的斜率更陡，这意味着在每个迭代步骤中，庞氏N的数量和利率i偏离了设定点（以蓝色和红色线交叉的图形表示）。N和i在共同进化过程中（这将导致系统性危机）是正增长还是负增长（稳定系统），这取决于N>N还是相反。图6:Minsky加速器回路示意图，该回路假设αβ>1，因此，迭代过程26（图6（b）中以图形表示）发散。对于αβ>1和初始故障数N>nfix，该过程会导致宏观故障链：明斯基危机加速器。注意，当从情况αβ<1传递到情况αβ>1时，会对系统产生巨大的影响，就基本模型假设而言，这两种情况之间的差异很小：利率对失败次数的依赖性略有增加，或者系统内弹性分布略有变化，可以将系统从收敛状态αβ<1转变为明斯基不稳定加速器状态αβ>1。例如，主要国家的中央银行可以而且已经通过创造流动资金并以极低的利率向银行放贷来压低利率（并扩大银行间的信贷可用性）。

这可能会打破（甚至逆转）反馈循环，迫使红色弹性轨迹低于公司和借款人的弹性线。在市场对希腊、西班牙和意大利主权债券的压力下，美联储立即采取了行动，而欧洲中央银行（ECB）最终也采取了行动。本节讨论了明斯基借贷和危机加速器的非网络观点。我们现在转向将明斯基的基本思想转化为更现实的基于代理的网络模型。主要的新因素将是，并非所有庞氏公司都会违约或倒闭。相反，庞氏骗局将使一家公司容易被承认为庞氏骗局，并被拒绝提供信贷。从易受影响状态到失败状态的实际转换将取决于每个庞氏骗局与其贸易伙伴的互动。更具体地说，我们将假设一家庞氏公司只有在其中一家直接连接到它（通过网络链接）的公司违约时才会公开失败。为了准备这篇综合文章，我们首先在下一节中描述了通过网络传播的痛苦。我们将遵循[Solomon 2000]和[Goldenberg 2000]中描述的社会和市场渗透形式。5通过传染传播痛苦。危机在公司网络中渗透。1金融网络中传染和渗透的相关性为了正式表达促使公司之间痛苦传播的反馈回路，我们将在更广泛的动态意义上使用渗透的数学概念，更好地适应托明斯基的非平衡思想。在通常意义上，渗流的数学术语描述了通过二进制链接连接的“节点”群体能够形成宏观连接簇的条件。

然而，在本论文中，我们将使用这个概念的一个更动态的版本，正如在[Solomon 2000]和[Goldenberg 2000]、[Garcia 2011]、[Van Eck 2011]、[Delre 2010]中以社会渗透的名义介绍的那样。在这个版本中，重点不在于宏观集群的静态存在问题，而在于席卷整个人群的“传染”过程，从而产生宏观集群的“污染”因子。这反过来又允许在受污染集群的增长和其影响的过程之间进行反馈[Solomon 2000]、[Cantono 2010]、[Cantono 2012]、[Kindler 2013]，这反过来又可以对集群的增长进行反馈。渗流模型是基于代理的模型，其中代理是网络的节点，它们的相互作用是通过网络边缘传染的。与普遍的看法相反，计算机模拟智能体个体状态的演化，既不是提取此类系统信息的唯一方法，也不是最有启发性的方法。恰恰相反，我们在下面的玩具环境中推导出的等式34中的公式，它预测了作为敏感因子密度函数的传染雪崩的大小，只是大量分析结果的最简单例子，这些分析结果不仅比系统的直接模拟更精确，而且信息量也更大。我们首先使用第2.2节引入的“庞氏”概念描述“市场渗透”机制；这将与明斯基加速器的网络扩展有关。在最简单的非网络明斯基模型中，我们考虑了一种情况，即任何成为庞氏骗局的公司都会立即被经济系统识别为庞氏骗局，并失去获得进一步贷款的能力。

在没有信贷的情况下，这类公司将无法继续其正常活动，因此，在条件发生变化（例如，新资金或更好的贷款条件变得可用）之前，它必须冻结其活动。当时的模型动态包括公司要么成为庞氏骗局（即失败），要么从庞氏骗局中恢复。一旦一家公司被认定为庞氏骗局，整个系统就会立即知道它的失败，并立即执行其地位的后果。从这个意义上说，模型采用了新古典主义的假设，即系统中的所有代理都对系统状态有完美且即时的了解，包括所有其他代理的状态（失败或未失败）。然而，现实往往是不同的。因此，我们将在这里考虑一种不同的情况及其模型，在这种情况下，公司的确切财务状况并不为所有人所知，尤其是潜在债权人所知，只有在特定事件揭示（突出或引起公众注意）其问题时，庞氏公司才会公开破产。例如，它在其大部分环境中的困境揭示了马多夫公司是庞氏骗局的事实，从而引发了它的失败，尽管它多年前一直处于庞氏骗局的地位。人们可能会想到一家庞氏公司可能会以多种方式公开失败，但确切地说，它的直接交易和信贷伙伴很可能在其中发挥重要作用。例如，只要公司的银行或供应商状况良好，他们就不会在为公司的进一步采购、运营和投资融资方面出现问题。

只有当银行注意到该公司的客户自身陷入困境或出现故障，或其供应商之一（由于自身的困境）无法提供信贷供应时，银行才可能开始更仔细地观察该公司，并注意到其庞氏状态，停止其信贷额度。只有到那时，庞氏骗局才能开始未能履行其义务，因此其困境将成为公众所知。反过来，只有这样，其庞氏骗局才会对其环境产生负面影响（例如，导致信贷紧缩、利率上升等）。特别是，其他公司，包括银行在内，在其环境下，将更不愿意相互贷款，并且很可能要求更高的利息。因此，很明显，已知庞氏公司公开“失败”的机制，而不仅仅是潜在的麻烦，是类似传染的机制[Solomon 2000]，[Weisbuch 2000]。一旦认识到这一点，渗流理论就变得有意义了[Stau ff 1985]。特别是，[Solomon 2000]、[Weisbuch 2000]、[Stau offer 1985]中使用的交易规则可以在明斯基语境中重新表述如下：——一家庞氏（“易受影响”）公司，仅通过业务或信用关系与非庞氏（对冲或投机）合作伙伴建立联系，将不会失败。-相反，一家庞氏公司属于一个庞大的庞氏公司关联集群（“庞氏渗透集群”从现在起）的一部分，它将非常容易暴露：一旦集群的一个成员失败（比如外部冲击或内部告密者），它的庞氏合作伙伴将被揭发，然后他们的合作伙伴将被揭发，等等。

级联最终将覆盖整个集群，包括这家公司。因此，在这样一种模式中，识别庞氏公司的“失败”状态取决于合作伙伴的沟通机制，庞氏渗透集群是衡量个别事件可能引发的危机规模的一种手段。幸运的是，在过去的40年里，统计物理学家和数学家已经广泛研究了网络中连通簇的大小与易感（庞氏）节点密度的关系。特别是，在一个非常广泛的网络几何结构中，存在一个临界密度ρCof ponzi，它将所有集群都在显微镜下局部化的范围与一个巨大集群跨越整个系统的范围分开。因此，对于低密度（占人口比例）的庞氏骗局来说，庞氏骗局的规模较小，而传染雪崩的规模也有限。通过增加庞氏公司的数量（以及密度），这些集群逐渐变大，填补了它们之间的差距。因此，渗流模型最相关的特性是相变的存在：当庞氏公司的密度ρponzi接近临界密度ρC时，即使ρponzi的微小增加也会导致集群的急剧增加，从而导致雪崩规模。最小的噪音可以使小的星团融合成一个巨大的星团，其长度和宽度都相当于整个系统的大小。图7显示了一个噪音是如何将一家公司变成庞氏骗局的，它可以完全改变这种情况，并从几个不相连的小集群中创建一个包含系统中大多数庞氏骗局的巨大集群。

主要的一点是，在庞氏公司的临界密度ρC附近，动力学对其密度ρponzi在群体中的微小变化非常敏感。这将对作用于公司网络的明斯基加速器产生至关重要的影响。像明斯基这样的过程，不是局部影响少数庞氏骗局，而是获得系统规模，从而能够从整个系统中获得重要反馈。例如，在[Solomon 2000]、[Weisbuch 2000]中引入的动态可以被解释为假设，在大规模的失败蔓延之后，宏观经济政策可能会调整，以抑制易受感染的庞氏公司的数量。这导致[Solomon 2000]、[Weisbuch 2000]系统自组织和自调整，使ρponzi接近庞氏公司的临界密度ρC。根据等式34，在ρponzi的范围内，最大集群的大小在有限到有限（系统大小）值之间变化，其结果是，动力学对最小的变化非常敏感，并导致宏观波动。因此，自相矛盾的是，通过对过去的大危机作出反应来限制不稳定的努力，如果不按照最新的影响[Solomon 2000]，[Weisbuch 2000]进行，有时可能会导致一个大波动成为规则的制度。在本文中，不稳定的来源将是不同的，但具有相似的影响：系统对庞氏公司的失败的反应将是总体上降低信贷的可用性，特别是（a）在噪声圈（周围有一个粗体蓝色圆圈）不是庞氏的情况下，传染雪崩的演变。代表庞氏单位的圆圈用黄色填充。每个庞氏节点簇周围都有一条线。

在这种特殊情况下，只有所示的七个圆圈（每个圆圈内都标有其传染时间）失效，且污染速度缓慢：每个时间段一种药剂。在这一过程的最后，不仅大多数经纪人，而且大多数庞氏骗局都没有失败。（b） 这一次，我们假设“噪音圈”（被大胆的蓝色圈包围）是庞氏骗局。因此，庞氏骗局发生了重大变化：其中三个被统一在一个单一的骗局中。这一次，从标记为1的节点开始的传染雪崩的演变导致了一场涉及大部分庞氏骗局的失败雪崩。人们可以看到，污染率表现出很大的时间波动。更具体地说，代表每个时间步污染数量的时间序列现在是2,3,5,5,1,1,0。图7：图7（a）和图7（b）显示了在开孔相变临界点附近出现的宏观波动。庞氏公司用全圆圈标记，而非庞氏公司用空圆圈标记。庞氏群被边界包围，以便于识别彼此不相交的庞氏群。我们假设在时间1时，标记为1的节点出现故障。一场失败蔓延的雪崩开始了。沟通过程不能跨越集群边界。为了可视化传染雪崩的时间历程，在代表每个受污染节点的圆圈内显示了其失败的时间步长。这些图形之间的微小差异表明，非常相似的系统之间可能存在巨大差异。请注意，如果最初失败的庞氏骗局（标记为1）的第二个邻居（被一个中断的圆圈包围）也不是庞氏骗局，那么这个过程将在它一开始就停止，不会留下任何明显的痕迹。

这张图展示了渗流转变的陡峭特征。通过提高利率。这将增加庞氏体的密度，从而增加雪崩的规模。因此，它对违约的反应不是稳定系统，而是不断增加庞氏公司的数量，从而增加失败的数量。5.2市场渗透向系统性危机的转变将渗透应用于社会和市场传染的想法[Solomon 2000]，[Goldenberg 2000]，在上一节中介绍，此后在几个不同的背景下得到了利用（参见[Zeppini 2013]了解综述）：传播网络免疫[Goldenberg 2005]、广告和产品接受[Yaari 2006]，互动网络（乐观悲观与储蓄率互动）[Erez 2005]，负面口碑[Erez 2004]。此外，正如[Weisbuch 2000]和[Vega Redondo 2007]中所述，我们可以考虑一个流行病学案例，在这个案例中，受污染的节点在一段时间后自动恢复（先生）。[Weisbuch 2000]表明，在存在自上而下反应的情况下，这样的SIR系统可以达到一个自组织临界阶段，其集体现象导致宏观长期关联和分形空间结构。同样，虽然此类系统的数值模拟是可能且有用的，但对模型相变和标度特性的理解和确定在很大程度上取决于在最简单的设置下对wedemonstrate类型（等式30–33）的分析处理。我们将从最简单的模型开始，逐步引入额外的反馈回路，并研究其影响。

在下一节中，我们将使用这些迭代传染反馈循环来解释在明斯基时刻之后的经济危机期间违约的传播。让我们考虑一下，作为第一个例子，如图7（a）所示的公司间网络，其中每个节点都有K个连接，没有环路。庞氏单位显示为整圈。在这个最简单的模型中，庞氏骗局的脆弱性表现为，当他们的一个关系失败时，他们会因“传染”而失败。从这条规则开始，可以预测故障如何在网络中传播。关于网络几何结构的更复杂假设可能会被开发出来。例如，为了破坏一家公司的稳定，其贸易中的很大一部分可能会受到影响，而不仅仅是一个合作伙伴违约。[Kindler 2013]从理论上研究了一个捕捉到这一点的模型。为了清楚起见，我们在这里讨论最简单的模型。假设在时间1时，只有一个节点启动，在图7（a）中标记为1，失败。这可能是外源性的，也可能是来自其邻居的污染（如图7（a）所示，来自“上方”）。这将使t=1时新破产公司的数量增加到N（1）=1。这次触发会导致多少次失败？图7（a）给出了该过程的说明。马尾辫以失败的时间为标志。经过八个时间步骤，八家公司失败了。请注意，并不是所有的庞氏骗局都会在这个过程结束时失败，只有那些属于触发事件发生的同一集群的公司才会失败。

还要注意的是，在图7（a）中，传染率是每一个时间步一个庞氏骗局。从统计学上讲，如果庞氏公司的密度是ρponzi，并且在第一个失败节点的K个邻居中，有一个邻居已经失败，那么在下一个时间步t=2的新失败公司的预期数量将是：N（2）=（K）- 1） ρponzi（30）在下一时间步中，每个-1） 另一家公司将污染Ponzik-1） ρPonzin公司数量。将这个迭代过程扩展到t个时间步，到t时，失败公司的总数变成Nfailed=N（1）+N（2）+···+N（t），这是一个系列：Nfailed（t）=1+（K）- 1） ρponzi+[（K- 1） ρponzi]+··+[（K）- 1） ρponzi]（t）-1). （31）因此，t个时间步后失败公司的数量是通过公式31求和得出的：n失败（t）=（[（K- 1） ρponzi]t- 1） /（[（K）- 1） ρponzi]- 1). （32）为了理解“失败雪崩”或多米诺骨牌过程，即相邻模板的迭代传染，让我们首先考虑特殊情况，其中（K- 1） ρponzi=1。然后，等式31中的每一项都等于1，并且在每一个时间步都有一个以上的庞氏骗局失败。这意味着失败公司的数量在时间上呈线性增长。这是一个极限情况，由图8中的红色直线表示。如果（K- 1） ρponzi>1，则失败公司的数量将呈指数增长至完整性（图8中的蓝色（钻石）线）。但是如果（K- 1） ρponzi<1，则过程饱和（图8中的灰色（三角形）线），等式32中的量是收敛序列的和，即使对于时间t也是如此→ ∞:n失败（t=∞) = [1 - （K）- 1） ρponzi]-1（33）图8：根据公式32，失效庞氏单位的数量随时间变化。

红色（正方形）线代表（K）- 1） ρponzi=1，表示（K）的蓝色（菱形）线- 1） ρponzi>1和（K）的灰色（三角形）线- 1） ρponzi<1。图8中绘制了ρPonzi的几个值，其经济影响如下所述。这种情况发生在我们网络的简单几何结构中，只有一个邻居出现故障，导致其所有易受影响的连接对等方出现故障。更一般地说，当网络更现实时，庞氏公司密度的临界值不是ρC=（K）- 1)-1为等式33中的值，但另一个值取决于网络的几何形状。此外，公式33中的散度“临界指数”通常不是一个值，而是另一个值γ，取决于网络。一类非常大的网络（包括所有规则格、具有任意平均邻居数的随机鄂尔多斯-仁义网络、小世界网络等）的通用公式为：Nfailed=S，每个节点的邻居数ρponzi接近ρC1.-ρponziρC-γ. （34）S是一个接近1的常数，取决于几何形状和初始条件的细节。当庞氏公司的密度ρponzi达到临界密度ρC时，这个公式意味着失败公司的数量从一个固定值跳到一个“固定”值。在物理学中，这被称为（渗流）相变：从传染只会导致涉及小簇的“微观”局部破坏的状态，系统切换到传染影响系统本身大小的簇的状态。然而，这一结果仅适用于有限的系统限制，即假设有限的总代理人数量。当然，对于一个有限的系统来说，失败公司的数量不能大于失败公司的数量≤ Nponzi=ρPonzintall。

（35）特别是，在临界密度ρC下，失效次数不能超过临界失效次数（ρC）≤ NC=ρCNtotal。（36）一般来说，失败公司的数量Nfailed由上而下的值限定：Nfailed<ρponzintottal。（37）事实上，一旦最大的集群足够大，可以受益于它不包含的大多数节点，这个上限就成为一个很好的近似值。鉴于其分形特性，在ρPonziesceedsρCnd之后，这种情况很快就会发生。我们将在下一节中使用这种近似：Nfailed=minS[1- ρponzi/ρC]-γ、 ρPonzintal（38）受污染节点数量作为庞氏密度函数的分析评估，并不是人们可以提取的关于通过连接网络相互作用的代理之间传染传播的唯一渗流理论结果。随着庞氏骗局密度的增加，这些集群合并过程的细节可以提供有关系统性危机的大量额外信息。特别是，它决定了团簇的分形几何特性，并以关键的方式影响着系统的动力学。传播过程的间歇性波动，无论是在时间上还是在过程的不同实现方式上，都已在理论上和通过蒙特卡罗模拟进行了详细研究[Solomon 2000，Goldenberg 2000，Hohnisch 2007]。[Cantono 2010]讨论了它们对真实市场系统的影响（图3-4和7-8）。事实上，表征易感集群大小的公式38（图7（a）可以解释为其更广泛的含义：它表征了系统在空间和时间以及样本之间的预期波动的大小，作为密度接近过渡点ρC的函数[Herrmann 1992]，[Derrida 1994]，[Parisi 2004]。