挑选出更具传染性的区域，并描述其几何结构，是很早、非常准确地预测真实传播活动未来的引擎[Goldenberg 2005]。7.4.2“噪音”如上文几次提到的信息，集群分形的增加和时间演化的间歇性是有价值的信息，可以识别系统的状态，并可用于预测其未来行为：本文中基于代理的分析连接了分形集群的振幅和范围，间歇波动和非自平均偏差接近渗流转变。大电流的存在表明庞氏体的电流密度ρt接近临界值ρC，并且极有可能在明斯基不稳定区前进。人们经常观察到[Sornette 2002]，[Louzoun 2002]系统时间演化的巨大波动表明危机即将发生。在这种情况下，监管者必须积极干预，以防止失败，并至少暂时降低利率：前景是，在没有这种干预的情况下，即使没有外部冲击，宏观危机可能会自发出现，这将摧毁整个庞氏公司。这样的冲击可能会传播到经济的其他方面。8结论：将“it”视为经济网络明斯基加速器当前研究中出现的一个关键方面是统计平均值的相关性。虽然可以定义系统不同实现的平均值，但该平均值通常与任何单个实现无关；一旦特定的个别罕见事件触发系统性变化，它们会导致系统采取显著不同的时间轨迹。

关于这些预测，最重要的事实是，空间和时间中最奇异的影响或最奇异的特征是最终对整个系统的宏观行为负责的因素。这与通常考虑整个系统最可能或平均行为的程序形成鲜明对比。在经典的薛定谔的格丹肯实验[Schroedinger 1935]中，对不同的实现进行平均，对于确定死猫和活猫之间的平均值同样有意义。想知道明斯基会对当前危机的起源说些什么[Wray 2012]，[Wray 2013]人们可能会得出一个普遍的想法：由于突发宏观现象的因果关系不能归结于特定的微观个体或事件[LLS 2000]，坚持找出系统性危机的单一原因就像坚持寻找踩踏踩踏受害者的人群中的第一个（或最后一个）个体。当然，人们更应该寻找的是为踩踏事件创造条件的组织者。并可能寻找一个替代组织，使这些情况不太可能再次发生。微观非均质性、自催化性和粒度是描述和预测非平衡现实的关键因素。我们引用菲利普·W·安德森（Phillip W.Anderson）的话：“现实世界中的很多东西都是由分布的‘尾巴’和手段或平均数控制的：由例外，而不是平均数；由灾难，而不是稳定滴；由维里希，而不是中产阶级。

我们需要把自己从“普通”思维中解放出来。”[Anderson 1997]因此，为了实时捕捉宏观过程的开始，我们必须关注每个涉及的微观经济因素。第一步是将经济网络属性的研究确立为经济监管机构和监管机构的基本任务之一。目前用于收集和处理数据以构建DSGE模型的资源，应该用于收集和处理数据以构建经济的网络（基于代理的）特征。这种作用可以沿着几个方向进行：-直接测量经济单位的属性及其联系；-持续探测系统的故障传播参数：尽管存在Minsky机制，但故障簇不会直接从尺寸1跳到系统尺寸；-观察微危机的传播程度，以提醒监管机构Largeronies的迫在眉睫；-不仅从故障的传播中了解网络特性，还从较温和的信号（增长、收缩、特定仪器的危机等）的传播中了解网络特性识别集群和连接这些集群的节点；-在会计系统中设置“传感器”，以评估单位弹性及其相互作用的变化建立能够评估这些变化影响的模拟系统。通常情况下，新方法的贡献不仅在于帮助从新的角度解决旧问题，而且最重要的是，提出新问题，这些问题甚至无法在旧方法中得到模拟。

当前基于主体的方法围绕着几何网络障碍构建，以防止失败蔓延，允许列出一系列新概念，这些概念可以有效地帮助决策者在宏观和个体主体层面上制定最优经济政策：局部波动、传播延迟、固定点，相变边界都与尺度间相互作用有关，这些相互作用将微观事件放大到宏观过程，从而触发或阻止系统性变化。因此，本文的结论是提出一个跨学科研究计划，以尽可能高的分辨率记录公司的详细属性、交易和增长。致谢我们感谢新经济思维研究所（grant ID INO1100017）和以色列高级研究所（组织网络中的模式和过程）的支持和款待。Wethank Yuri Biondi和Moshe Levy提出了许多有益的意见和建议，Michael Golosovsky对手稿进行了仔细的批判性审查，Leanne Usher、Marco Lamieri和Guy Kelman进行了讨论。特别感谢David Br\'ee，他帮助编辑和澄清了论文的大部分内容。参考文献[Adrian 2008]Adrian、Tobias和Hyun Song Shin。金融中介、金融稳定和货币政策。纽约联邦储备银行第346号报告（2008年）。[Adrian 2010]Adrian、Tobias和Hyung Song Shin。《金融中介性质的变化与2007-2009年的金融危机》，2《经济学年鉴》603（2010）。[Adrian 2012]Adrian、Tobias和Nina Boyarchenko。《中间杠杆周期与金融稳定》，纽约联邦储备银行第567号报告（2012年）。[Akerlof 2009]Akerlof，George A.和Robert J.Shiller。

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有四个附录提供了论文四个部分中描述的系统细节：3、4、5、6。在收益递减的贷款市场中，自催化马歇尔-沃尔拉斯均衡过程中贷款数量的演变本附录给出了迭代过程的一些额外数学推导，在迭代过程中，供应商（此处为贷款人）通过修改价格（利率）对超额需求作出反应，而客户（债务人）通过修改利率对新价格作出反应如第3.1节所述，他们需要的数量（借款金额），导致马歇尔-瓦拉斯均衡。利率的这种变化对经济中借款金额的影响，以及反过来对借款金额的影响，是在同等条件下处理的。该贷款市场基于以下两个假设：-债务人在任何一个时间t所需的贷款总额Nloans是他们当时必须支付的利率it的递减幂律函数：Nloans（t）=Nt=itk公司-u（46），其中{k，u}>0。-银行在下一阶段收取的利率it+1是上一阶段设定的贷款金额的幂律函数，Nt:it+1=αt（47），其中α>0。这些方程式决定了未偿还贷款金额Nt和利率it之间的相互作用，如下所示：NEq。47----→ iEq。46----→ 内克。47----→ i··NtEq。47----→ 它是+1Eq。46----→ Nt+1··（48）引入平衡条件it+1=it和Nt=Nt-1在Eqs中。46和47:i=iik-αu（49）N=ik-uN-αu（50）可以用初始利率i表示固定点（Nfix，ifix）（注意，该点不依赖于N的初始值）。所以通过重写等式。

49和50，它可以用初始利率i来表示：（Nfix，ifix）=ik-u1+αu,ikαu1+αu!（51）对于αu<1和αu>1，该迭代过程如图16所示。通过反复应用等式。46和47，然后使用公式51，可以表示固定点Nfix:Nt的贷款数量=itk公司-u=ik-uN-αut-1=ik-u(1-αu）N-（αu）t-2=ik-u(1-αu-（αu）N-（αu）t-3= · · · =ik-u(1-αu-(αu)-···-（αu）（t）-1） ）N-（αu）t=ik-u1+（αu）t1+αuN-（αu）t=N1+（αu）tfixN-（αu）t=NfixNNfix-（αu）t（52）这个固定点可能是吸引的，在这种情况下，系统会收敛到它，或者是排斥的。I fff |αu|<1固定点是稳定的。附录C中给出了这方面的证明。在[Galor 2007]中可以找到更详细和完整的收敛性证明。B贷款市场中自催化马歇尔-瓦尔拉斯均衡过程中贷款数量的演变，回报率增加本附录给出了第3.2节中介绍的贷款和利率共同演变的数学推导。该贷款市场与附录A中描述的贷款市场不同，因为贷款方对信贷需求增加的反应不同。借贷的增加并没有导致利率的上升，而是导致了利率的下降。其动机是规模回报率的增加；贷款越多，安排和监控贷款的过程就越便宜。因此，这个过程基于以下两个假设：（a）收益递减规律的可视化，公式48，其中红线，公式47，代表贷款价格随需求增加而增加，而蓝线代表贷款价格随需求增加而减少，公式46。

这里αu<1，因此贷款市场Nloanand i收敛到一个固定的平衡点，而不考虑其初始值（在这种情况下（N，i）=（2，0.2%）。（b） 与图16（a）类似，差异现在αu>1。这意味着要么银行通过非常强烈地降低利率来应对贷款需求的减少，要么借款人通过非常强烈地降低利率来应对利率的增加，或者两者兼而有之。这会使系统处于暂时的不平衡状态，直到它达到需求的最小值。这里的初始值是（N，i）=（12,0,2%）。图16:Marshall-Walras迭代程序的说明，在收益递减的市场中平衡贷款数量和利率，等式48。如果回报率（系数u）的下降速度快于贷款需求（系数1/α），则系统中的波动会变得更大→ 0，i→ 0.-与之前一样，债务人要求的贷款金额是他们必须支付的利率的递减幂律函数：Nloans（t）=Nt=itk公司-u（53），其中{k，u}>0。-但现在，关于银行收取的利率it+1的假设是，它是上一期贷款金额的递减幂律函数：it+1=in-αt（54），其中α>0。同样，这些方程式决定了贷款金额Nt和利率it之间的相互作用，如下所示：NEq。54----→ iEq。53----→ 内克。54----→ i··NtEq。54----→ 它是+1Eq。53----→ Nt+1··（55）这个迭代过程如图17所示。引入平衡条件it+1=it和Nt=Nt-1在Eqs中。53和54给出：i=iikαu（56）N=ik-uNαu（57）得出的固定点（Nfix，ifix）仅取决于初始利率i，而不取决于贷款金额的初始值N。

因此，固定点等于：（Nfix，ifix）=ik-u1-αu,ikαu1.-αu!. （58）（a）当αu<1时，迭代过程等式55收敛到固定点，与初始值和i无关（此处显示的是两种情况（N，i）=（2，0.18%）和（N，i）=（900，0.18%）（b）当αu>1时，迭代过程等式55偏离固定点，与初始值Nand i无关（此处显示的是两种情况（N，i）=（2，0.18%）和（N，i）=（900，0.18%））图17：贷款市场中贷款数量和利率的自催化马歇尔-瓦拉斯均衡过程中，贷款人的回报率不断增加。固定点可以是吸引的，在这种情况下，系统会收敛到它，也可以是排斥的。I fff |αu|<1固定点是稳定的。附录C中给出了这方面的证明。通过重新组合等式，可以在[Galor 2007]中找到更详细和完整的收敛性证明。53、54和58可以用固定点Nfix:Nt的贷款数量来表示任何时候的贷款数量=itk公司-u=ik-uNαut-1=ik-u（1+αu）N（αu）t-2=ik-u（1+αu+（αu））N（αu）t-3= · · · =ik-u（1+αu+（αu）+··+（αu）（t）-1） ）N（αu）t=ik-u1-（αu）t1-αuN（αu）t=N1-（αu）tfixN（αu）t=NfixNNfix（αu）t（59）C基于非空间模型的自动催化明斯基危机加速器过程的演变本附录的目的是解释第4节中介绍的自动催化过程分析方法的细节，就庞氏公司数量与利率i之间的互动和反馈所产生的迭代过程的固定点而言，该模型是非空间的（它忽略了信用/债务网络或其他传染效应，如持有共同资产）。

它假设利率i通过公司个体弹性r（n）的异质分布，决定系统中属于庞氏骗局的单位比例。公司的可靠性n定义为其收益与债务的比率：r（n）=收益（n）债务（n）。（60）假设每家公司的收益和名义债务在短期内没有变化，例如在金融危机期间，其支付利息的能力将只取决于名义利率i的变化。更准确地说，如果利率i超过弹性：i>r（n），公司n将成为庞氏骗局。因此，n公司的弹性r（n）是利率i的最低水平，这使得n公司成为庞氏骗局。换句话说，弹性r（n）是利率的最大值，它仍然允许公司n在不产生进一步债务的情况下支付其债务的利息。我们考虑了一组具有不同弹性水平的NTO公司。对于不确定性（并基于经验数据[Takayasu 2000]），我们将公司弹性分布视为具有异质指数β的帕累托或齐普幂定律。这意味着一家公司拥有庞氏状态（其弹性r（n）低于给定利率i）的概率为：P rob[r（n）<i]=irmaxβ（61），其中rmaxis是在给定的一组NTO公司中发现的弹性的最大值。异质指数β的值通常在1到2之间。因此，考虑到系统中的公司总数Ntot，庞氏公司的数量N（i）取决于利率i:N（i）=NtotP[r（N）<i]=Ntot×的幂律irmaxβ=ikβ（62），为了简单起见，我们引入了一个新常数k=rmax/N1/βtot>0。

因此，在我们的金融加速器模型中，根据公式62:Nt=Nponzi（t），在某个时刻t的利率增加，它会导致庞氏公司数量Nt的增加=itk公司β（63）庞氏骗局数量的增加（所有这些都被视为失败）会提高利率；银行不仅会在信贷需求增加的情况下提高利率，而且还会在客户数量增加而无法履行债务的情况下提高利率。利率的提高会内在地降低弹性。银行在调整利率时采用的机制可能有不同的建模方式。在我们当前的分析中，我们将使用特定的幂律关系，在给定时间t，Nt的庞氏（或陷入困境的）公司的数量和他们在下一个时期产生的利率it+1之间。it+1=αt（64）中的等式。63和64定义了一个迭代过程，其中，从某个初始利率i开始，以及由非公司破产构成的外部冲击，触发了一个连锁反应：NEq。64----→ iEq。63----→ 内克。64----→ i··NtEq。64----→ 它是+1Eq。63----→ Nt+1··（65）下面的分析正是在探索迭代过程方程的性质。63、64和准备用于网络模型类似分析的工具，其中系统有多个固定点。Eqs。第63条和第64条规定了庞氏公司数量（假定失败）与下一个时期利率之间的相互影响（反馈）。要查看由此类方程产生的迭代过程，假设一个以初始状态开始，利率为i。假设出现了一个使多个公司庞氏骗局（ponzi），即导致其失败的ashock。根据公式64，该事件将使下一个时期的利率跃升至：i=α。

（66）随着利率的上升，一些到目前为止还可以生存的公司（投机性的：有了旧的利率，他们能够为自己的债务支付利息（r（n）>i）将成为庞氏骗局。更准确地说，所有弹性r（n）<i=iNα的公司现在都将是庞氏骗局。根据等式63，庞氏公司的总数为：N=ikβ=ikNαβ=ikβNαβ。（67）为了不确定性（我们将研究以下所有情况），假设参数为N>N。根据公式64，新的、增加的庞氏公司数量N依次导致新的利率增加：i=inα=ik1+αβkNαβ（68），这反过来会导致更多的庞氏公司：N=ikβ=ikNαβ=ikβNαβ=ik（1+αβ）βNαβ。（69）庞氏公司的新数量具有系统性后果，它将利率提高到i=α=ik1+αβ+αβkNαβ。（70）这反过来又导致更多的庞氏公司：N=ikβ=ik（1+αβ+αβ）βNαβ。（71）一般来说，经过多次迭代后，t的利率为：=ik1+αβ+αβ+···+α-1β-1kNαtβt-1（72）且庞氏公司的数量为：Nt=ik（1+αβ+αβ）β+·α+t-1βt-1Nαtβt.（73）对于αβ6=1，等式指数中的几何级数。72和73可以求和，这就把方程变成了它们的紧凑形式：it=ik1.-αtβt1-αβkNαtβt-1（74）andNt=ik1.-αtβt1-αβNαtβt.（75）从这些方程可以很容易地讨论过程的结果。更准确地说，我们可以计算出在什么条件下，这个过程会在最初的明斯基时刻之后继续，在什么条件下它会分裂成一场危机，在什么条件下它会收敛并停止在一个临界点。

此外，如果庞氏状态是可逆的，系统也可以朝着恢复的方向发展。为了澄清与沃尔拉斯计算平衡状态的方法的相似性，请注意，如果这样的平衡/静态=∞, 新界=∞) 存在于Eqs中。74,75，该状态将是系统方程的定点解（Nfix，ifix）。63,64:it+1=it=iNαt（76）Nt+1=Nt=itk公司β（77），很容易用代换法求解：i=iikαβ（78）N=在αk中β1-αβ（79）和ifix=ik-αβ1.-αβ（80）Nfix=ikβ1-αβ（81）当αβ<1时，这个结果实际上与取t得到的结果相同→ ∞ 等式中的极限。74和75，从那时起∞= 0，这些方程简化为等式。分别为80和81。注意，在这种情况下，对于一个给定的时间，最终平衡点是（Nt=∞, 它=∞) = （Nfix，ifix）且不取决于N的初始值。当然，由等式给出的固定点。80,81:（Nfix，ifix）=ikβ1-αβ,ikαβ1.-αβ!（82）对于αβ>1是相同的，但其在过程74、75中的作用非常不同：它不再是一个吸引人的点，而是一个排斥点。实际上，通过将等式75重新组合为：=ikβ1-αβik-β（αtβt）1-αβNαtβt=ikβ1-αβ\"ik-β1-αβN#αtβt=ikβ1-αβNNfixαtβt=NfixNNfix（αβ）t（83）我们可以看到，对于αβ>1，指数αtβtofhnf ixirather然后对于t为零→ ∞, 分歧。Thusrather than（新界）→∞, 信息技术→∞) 向（Nfix，ifix）收敛时，情况正好相反：如果初始点N甚至稍小，N<Nfixthen Nt→∞→ 而如果N>Nfix，N就会增加，直到整个系统变成庞氏体。网络模型纠正了这一不切实际的特征，即使是系统性危机，也只有部分公司失败。总之，由迭代过程方程定义的动力学。

63,64有两种可能的结果：-当αβ<1时，系统在危机后收敛到固定利率和固定数量的庞氏公司；-当αβ>1时，系统要么在利率非常低的状态下运行，没有庞氏公司，要么在整个系统变成庞氏且利率出现差异的状态下运行。收敛/发散的图形表示。在一个双对数图18中，横轴上的庞氏公司数量N和纵轴上的利率i表示EQS。63和64是直线，如图18所示：-红线给出的利率是庞氏公司数量的函数，由等式确定。64，作为一条斜率等于α：ln（it+1）=αln（Nt）+ln（i）（84）的线——蓝色虚线绘制了系统中有多少庞氏公司，如等式63所示。请注意，在图形表示中，等式63是“倒置的”，因为利率i位于纵轴上，而庞氏公司的数量N位于横轴上：ln（it）=（1/β）ln（Nt）+ln（k）（85）。当αβ<1时，由等式83定义的固定点是一个稳定的吸引点。对于任何数量的庞氏公司，系统（在足够的时间后）达到固定点。如图18（a）所示。基本自催化过程图示中的参数选择如下：初始利率i=0.4%，庞氏公司初始数量N=2或N*= 900，α=0.5，β=1.3，k=0.0015。图中显示，这两条线的位置是固定点左侧的蓝色虚线位于红色实线上方，因此它+1>它，因此利率和庞氏公司的数量会随着每一次向固定点的迭代而增长。

在固定点右侧的区域中，红色实线位于蓝色虚线上方，因此为+1<iti。e、 利率的价值和庞氏公司的数量在固定点上下降。当αβ>1时，固定点不稳定，动力学使系统远离（Nfix，ifix）。下面的示例和图18（b）显示了这一点。我们选择了：β=1.8，α=0.75，k=0.005，以及（a）当固定点稳定，αβ<1时，系统的两种可能发展中的庞氏公司数量和利率。这里β=1.3，α=0.5，i=0.4%，k=0.0015。庞氏公司的初始数量设置为N=2或N*= 900.在两种情况下，在初始冲击后，系统向Nf ix=38收敛。（b） 当固定点不稳定，αβ>1时，系统两种可能发展中的庞氏公司数量和利率。这里β=1.8，α=0.75，i=0.003和k=0.005。庞氏骗局的初始数量设置为N=12到N*=16.在这两种情况下，系统都会出现分歧；在第一个案例中，庞氏公司的数量减少，而在第二个案例中，庞氏公司的数量增加。图18：基于非空间模型的自动催化明斯基危机加速器过程的演变。确定庞氏公司数量的机制，等式63，由红线给出。决定利率的机制，等式64，由蓝线给出。18（a）：αβ<1，因此固定点具有吸引力；18（b）：αβ>1固定点是排斥的。i=0.3%。固定点变为（Nfix，ifix）=（14，2.1%）。从式83可以看出，从式81给出的Nfix下方开始，过程进入较低的N；当从Nfixt开始时，过程会变大。

因此，如果一个从N=12开始，那么N<nfix和庞氏公司的数量随着每次迭代而下降；在图形表示中，这意味着红色实心曲线位于蓝色虚线曲线上方。如果一开始的N=16比Nfix=14大，那么庞兹的数量就会增加，这就导致了危机。不动点稳定性。Eqs。84和85代表两个线性微分方程组：ln（it+1）=αln（Nt）+ln（i）ln（Nt+1）=βln（it+1）- βln（k）=αβln（Nt）+βln（i/k）。（86）该系统可以方便地以矩阵形式重写为：ln（it+1）ln（Nt+1）=0 α0 αβln（it）ln（Nt）+ln（i）βln（i/k）. （87）让我们把矩阵A表示为：A=0 α0 αβ. （88）稳定性定理：一阶矩阵微分方程87是稳定的，即渐近收敛到稳定状态ln（ifix）ln（Nfix）– 当且仅当转移矩阵A（无论是实矩阵还是复矩阵）的所有特征值都有一个小于1的绝对值。有关其证明，请参见教科书中的一个非线性微分方程，如[Galor 2007]。给定矩阵A的特征值是方程的解：det（λI- A） =λ（λ）- αβ) - 0=0（89）λ=0和λ=αβ。（90）因此，系统86渐近稳定的条件是：|αβ|<1。（91）D基于网络模型的明斯基加速器流程演变上一附录中的非空间模型未考虑公司之间的信用/债务关系、其共同资产或任何其他网络影响。债务背景下的网络效应至关重要，因为破产债务人与其债权人之间的直接联系直接影响到债权人。让我们考虑一下，我们有一个公司网络。网络可以是有向的，也可以是无向的，有固定或可变数量的邻居，并且具有任意的聚类特性。

本附录中给出的分析仅取决于网络的两个参数：临界密度ρC和临界指数γ，我们现在定义了这两个参数。这些公司代表网络的节点。通常，给定一组节点（也称为站点），网络由连接这些节点的链接（或边）定义。通过alink连接的节点是“邻居”。链接可以是定向的，也可以是无向的。如果一个链接是“定向”的，那么它相邻的两个节点中的一个被称为链接的原点，另一个被称为链接的目标。渗透的概念是通过将一些节点声明为“易受影响”来引入的，也就是说，如果只有一个节点的邻居（如果链接是定向的，则源节点）已经被“污染”，那么这些节点就有可能被“污染”。当然，这种污染规则提供了污染雪崩的可能性：受污染的节点可能会污染新节点（其易受影响的邻居），而新节点反过来可能会污染其他节点（其自身易受影响的邻居），等等。渗流的关键概念是团的概念；想象一下，一个人通过污染一个节点开始了污染雪崩。由此引发的雪崩将持续下去，直到任何当前受污染的节点附近没有易受影响的站点（节点）。这样一组易感节点可以相互污染（直接或间接通过中间易感节点的污染），但没有任何额外的易感节点，被称为集群。许多网络的关键特性是，在有限规模系统的限制下，一旦（随机分布的）易感节点的分数ρ接近某个临界值ρC，最大簇的大小N就会发散。

特别是，对于许多类型的网络，这种差异遵循一个普遍的“标度”定律：Nt=S1.-ρtρC-γ（92），ρc和γ独立于网络中链路或敏感节点的特定分配细节[Stau ff 1979]。S>0是一个常数，与传染过程的初始化方式有关（参见[Cantono 2010]）。事实证明，这个属性将把附录C的分析扩展到一个更现实的系统。在附录C中，我们假设只要一家公司n是庞氏（即r（n）<i），系统就会认识到它是庞氏（ponzi），并且全球动态会受到等式64中利率增加的影响：it+1=αt。实际上，每个公司的确切财务状况都不知道，甚至对其交易伙伴也不知道；因此，如果没有额外的外部事件，庞氏公司将被视为正常的公司。只有当公司的困境被其直接环境中的负面事件突显时，系统才会认识到公司并将其视为负面事件。公司债券上市所需的条件可能会有所不同。例如，在[Kindler 2013]中，一家公司考虑了其邻国的累积影响。在这里，我们将使用附录C中模型的一个最小扩展：我们将假设一家庞氏公司被认为是这样的（“未覆盖”），它的一个庞氏邻居被发现就足够了。一种是导致一种网络模型，在该模型中，庞氏骗局与易受影响的节点相识别，并且通过其业务或财务链接，可以相互污染，导致公开的灾难。附录C的反馈回路提供了通常的渗滤问题和当前问题之间的区别：随着受污染庞氏骗局的规模扩大，参见等式92，利率增加，参见等式64，以及庞氏骗局的比例，即。

根据toEq，易感节点NSU也在增加。62，这导致易感节点的密度增加：ρt=Nsus（t）Ntot=（it/k）βNtot=itrmaxβ. （93）通过在公式92中替换公式93，可以得到公开污染公司数量Nt与利率的函数关系，即：Nt=S“1-itiCβ#-γ（94），其中，根据公式93，iC定义为iC=ρ1/βCrmax。因此，通过引入网络邻居的污染作为庞氏公司被识别和采取行动的附加条件，我们只需在之前定义的迭代过程（等式63，64）中替换等式63，即等式94。虽然比系统63、64稍微复杂一些，但新的迭代过程具有相同的结构：NEq。64----→ iEq。94----→ 内克。64----→ i··NtEq。64----→ 它是+1Eq。94----→ Nt+1··（95）与EQ的情况相同。63和64，理解过程相图的关键是找到固定点，即系统的解决方案：Nfix=S“1-非毒性β#-γ（96）ifix=αfix。（97）通过将等式97替换为等式96，问题简化为找到等式的解：Nfix=S“1-在αfixiC中β#-γ（98），通过替换iC=ρ1/βCrmax（等式93），可以重写为：Nfix=S1.-ρρCNαβfix-γ. （99）基于网络的过程等式95在图19给出的示例中可视化，用于各种参数值，类似于图18（a）和18（b）描述非网络过程的各种情况。从这些图中可以看出（并将在下面进行计算），在网络情况下，确定未覆盖庞氏公司数量的函数（我们将其称为“失败的”，公式96）现在是一条曲线，它与代表利率机制的直线（公式97）相交，或者在两点上，或者根本不相交，对应于公式98的解的数量，如图19（b）和图19（a）所示。

在图19（b）中，两个固定点，一个收敛，另一个发散，分别被标记为（NCOV，iconv）和（Ndiv，idiv）。为了定量评估上述交叉点，我们将等式98改写为：NFIX1/γ\"1 -iiCβNαβfix#=1（100），进一步为：NFIX1/γ\"1 -iiCβNαβfix#=1（101）即F（Nfix）=iiCβNαβ+1/γ固定- N1/γ固定+S1/γ=0。（102）假设αβγ=1，等式102可简化为二次方程：iicβS1/γNFIX2/γ-NFIX1/γ+ 1 = 0.（a） 当公式96的蓝色虚线和公式97的红色虚线这两个函数不相交时，该方程组没有解。系统的稳定性完全由附录C中给出的非网络模型决定。然后，网络通过在两个功能彼此非常接近的区域只允许非常低的传染率来延迟分歧。（b） 通过将初始利率i从19（a）中的1%降低到此处的0.5%，等式97的红色实线与等式96的蓝色虚线相交。这些线的交点给出了系统的两个解。很明显，从黑点演化曲线上箭头的方向看，其中一种解决方案（NCOV，iconv）是有吸引力的，并且近邻中的系统会向它收敛。另一种解决方案（Ndiv，idiv）是排斥的，箭头指向外部。图19：红色实线表示利率对陷入困境的公司数量的反应（等式96），蓝色虚线表示失败的数量，等式97。根据给定的网络结构和传染过程的初始化方式，这两条线要么相交（19（b）），要么不相交（19（a））。这意味着等式系统。

96和97可以有两种解决方案，也可以没有。通过求解（Nfix/S）1/γ的二次函数，我们得到了收敛点和发散点中失败公司的数量：Nfix=Nconv/div=S1±r1- 4.iiCβS1/γiiCβS1/γγ（103），给出了图22所示的相空间图中Nconv（淡紫色）和Ndiv（红色）的两条曲线。显然，当4i0CiCβS1/γ=1，式103只有一种溶液N0C=Nconv=Ndiv=2γS。根据公式97，相应的临界利率为i0C=iαγSγ。为了确定一般情况下的固定点（N0C，i0C），当αβγ6=1时，我们设置F（Nfix）的导数，如等式102所示，相对于Nfix 0，因为这将给出Nfix的一个解，其中Nconvand NdivcoincideδFδNfix=（αβ+1/γ）iicβNαβ+1/γ-1固定- γN1/N1-1fix/γ=0（104）iicβNαβ+1/γ固定=αβγ + 1N1/γ固定。（105）将Nfix的值从公式105代入公式102，得到了该奇异点Nfix的方程：αβγ + 1N1/γ固定- N1/γ固定+S1/γ=0。（106）重新排列方程式106，并在方程式97中进行替换，得到固定点（N0C，i0C）：i0C=是α（1+αβγ）1/β1 +αβγαγ（107）（a）对于αβ<1的系统，进化方程110的实现。因此，非网络模型（Ncore，icore）定义的固定点是收敛的。然后在这个固定点下方和左侧的小区域，庞氏公司的数量会增加。在浅灰色阴影区域，网络（从蓝色曲线上看）保护大量庞氏公司（易受影响的模式）免于失败。该地区失败公司的数量受到网络的限制。（b） 两个子模型的可视化，失败数（蓝色曲线）和庞氏公司数（蓝色线），由等式110给出，用于αβ>1的系统的协同进化。