例如，如果一个人有损失分布R+那么，一个人就可以得到byFYT给出的下界yt | bθ（D）:=仅供参考，2* 供参考-1,3* 供参考-2,4* · · · * 仅供参考，我y | bθ（D）~ cX（i，j）∈德尔菲伊y | bθ（D）, 就像我一样→ ∞,（42）对于一些c≥ 1.注意，如果至少有一个较低的三角形损失Yijis按照重尾损失分布分布，如次指数、规则变化或长尾损失分布，则可以找到c的精确值。例如，如果总损失为最大等效，则c=1，请参阅规则变化、次指数、指数的定义，Bingham et al.（1989）中的长尾和最大和等价，以及此处讨论的保险和分位数函数近似，请参阅Peters et al.（2013）最近的教程和其中的参考文献。通过使用从后验π（θ| D）获得的马尔可夫链蒙特卡罗样本来求解积分，可以近似地得到任何模型的这些条件预测分布。然后，给定预测分布，可以根据以下方法找到分位数函数：o完全预测后分位数函数：由QYij | D（u）：=F给出-1Yij（yij | D）是二阶常微分方程的解：ddQYij | DfYijQYij|D（u）|DdQYij | Ddu+ fYijQYij|D（u）|DdQYij | Ddu=0，通过两次区分以下身份获得：FYijQYij|D（u）|D=ZQYij | D（u）fYij（y | D）dy=u。

（43）这个二阶常微分方程的解通常可以以幂级数的形式找到，见Gyorgy和Shaw（2008）中的讨论条件预测后分位数函数：QYij | bθ（D）（u）：=F-1Yiju | bθ（D）（44）这是我们建议的最方便的选择，因为在这种情况下，预测分布的反比采用了第2.2节详述的特定模型的封闭形式表达式条件总储备后分位数函数：在许多情况下，还需要找到与总储备对应的分布的分位数函数，在条件独立的情况下，由F给出-1YTyt | bθ（D）式中，这由等式41中分布的分位数函数给出。一般来说，必须通过数值计算来确定卷积分布的卷积和逆。关于这些量，有许多已知的基本结果，例如独立或相依的轻尾和重尾随机变量的不同性质的渐近结果和界限，见Kaas等人（2000）中的讨论。索赔过程的轻尾运行效应：如果索赔三角形中没有损失单元是重尾的，则通常需要近似所有损失的部分和的尾分位数。在Kaas等人（2000）中，他们研究了随机变量的部分和，没有独立性假设或相同的边际分布假设。唯一的假设是，每个月的疾病都不那么严重，因此每个月都有一个明确的平均值。回忆一下两个随机变量X，andY，X，Y在凸序X下的情况会很有用≤CXY对所有凸实函数g（·）具有有限期望的一个相位[g（X）]≤ E[g（Y）]。

（45）因此，如果两个均值相等的随机变量X和Y的CDF交叉一次，则它们是凸序的。然后我们可以证明，在这种情况下，对于任何损失分布序列FYij（i，j）∈以下凸序关系保持sx（i，j）∈德莱杰≤CXX（i，j）∈DlF-1 Yij（U）（46）代表U~ U[0,1]，见Goovaerts等人（2000）中的推导。这一结果意味着，在凸阶意义下，由给定边缘的损失的最危险联合向量组成的总损失Y具有共单调联合分布。由于所有分量都是公共随机变量U的非递减函数，因此其分量具有最大依赖性。因此，我们考虑以下基于最保守估计的总损失分位数函数近似值，使用上述边界，给出byF-1YT（u）=X（i，j）∈DlF-1Yij（u）。（47）注意，在严重故障损失的情况下，可以对大分位数进行如下定义。索赔过程的重尾运行效应：或者，如果已知下三角中损失分布的其他特征，例如这些损失模型包含t leastone重尾损失分布，则可以将总分位数函数结果绑定。这可以保守地通过考虑分布的T倍卷积来实现，比如F(*T）易*J*对应于所有下三角元素之间的损失分布，具有规则变化的主导指数（即最重的尾部）。在这种情况下，当分位数变大时，通常会对SUM的分位数函数使用一个渐近结果→ 1.例如，可以使用一阶或二阶渐近结果，见Peters等人（2013）和Cruz等人（2014）的讨论。

例如，如果分位数回归的结构使得部分和的分布YT=P（i，j）∈德莱杰~ FYTis r规则随指数ρ变化≥ 0，条件i.i.d.Yij，每个Yij都有正支撑，那么我们可以写出Firstorder尾近似值，它渐近等价于以下Fyt（y）~ 仅供参考*J*（y） ，y→ ∞, （48）参见Peters等人（2013）中的详细教程。这将导致通过表达式qyt | bθ（D）（u）：=inf渐近逼近所需的分位数Y∈ R+：FYT（y）>u≈ infY∈ R+：TFYi*J*（y） <1- U≈ QYi*J*|bθ（D）1.-1.- 美国犹他州:= F-1Yi*J*1.-1.- uT | bθ（D）（49）5以色列数据的模型结构分析在本节中，我们进行了两项核心研究：第一项涉及分离分位数回归的结构成分，以便对最适合代表性索赔保留数据集示例的平均函数和方差函数进行研究。因此，这是使用AL模型的非参数和贝叶斯公式进行的，并对均值和方差函数进行了不同的假设。第二种方法是分离分位数回归的分布选择，我们采用最佳拟合参数模型均值和方差函数结构，并利用这些来研究不同分位数函数选择下的分布特性。本节中使用的数据集对于此类基准测试非常有趣，因为之前已经对其进行了研究，并且其特征相当众所周知，有关以色列数据集的更多详细信息，请参见Chan et al.（2008）。数据见附录I中的图e 18，代表以色列一家保险公司的赔付金额Yijj，涵盖1978年至1995年期间，包含171项观察结果。为了便于数学计算，两个零索赔金额被替换为0.01。

在这些数据中观察到了一些总体趋势。考虑到一个事故年，在最初的4到6个发展年中，平原发展量通常会增加，然后增加，之后总体呈下降趋势。该数据的平均值、中值、方差和峰度分别为4459.7、3871、12059、232.6和-0.4。总体偏斜度为0。58，对数刻度为-2.67。Chan等人（20 08）使用广义t（GT）分布对该数据进行了研究，该分布表示为均匀分布的尺度混合，这是贝叶斯实现的基础。他们采用ANOVA和ANCOVA均值结构来研究事故年份和发展年份对条件均值函数的影响，而不是对任何分位数水平的影响。此外，他们还指出，对数变换后的数据会出现负偏斜，对称分布无法适应这种情况。因此，他们建议采用一些偏差分布来改善模型性能。我们之前对该数据的研究的主要出发点是推测，使用平均效应的度量可能不适合理解更高分位数的损失储备。更高的分位数项目在损失准备金、再保险保费计算以及风险评估中至关重要。

在本节中，我们使用了第2节中关于分位数项目的所有模型，目的是对模型性能进行更全面的研究，在事故和发展年份，分位数趋势和异方差的分布具有不同的尾部行为和模型结构。5.1分位数回归模型分析：位置和尺度为了研究位置（均值）和尺度（方差）函数的模型结构，我们考虑了两种设置：第一类模型涉及使用固定（用fix表示）或待估计（用est表示）的AL分布的参数模型，由（26）至（28）得出的平均函数和不变的方差（模型00-20）或由（34）给出的方差（模型03-23）；第二类模型涉及一组非参数模型，这些模型也采用均值函数（28）和方差为常数或由（34）给出（模型30和33），使用在不同分位数水平固定的AL asa代理分布进行研究。对于模型比较，采用偏差信息准则（DIC），详情见附录III。由于DIC较小的模型优于DIC较大的模型，因此表1中提供的模型比较结果表明，在参数模型中，根据DIC，将事故年和发展年的方差分析模型与均值和方差函数相结合的模型是最适合的模型。这表明，事故年份和发展年份效应在描述均值和方差动态方面都很重要。因此，这些ANOVA类型的均值和方差函数尽可能应用于大多数后续分析。

对于非参数模型，方差为方差的Mw比方差为常数的Mw提供更好的效果。表1：所有参数和非参数模型DIC+D^Dp模型DIC+D^DpVariance常数方差函数1995的p和模型fit度量估计。41255.21315.020.85（东部标准）M272。82334.74396.660.93（东部）M223。30 284.10 344.91 0.88（est）M199。14247.49295.850.95（东部标准）M50。94120.17189.400.81（东部标准）M-20.8124.9170.630.75（东部标准）M55。94 125.61 195.28 0.30（fix）M-37.06 38.34 113.74 0.30（fix）M73。10152.26231.430.50（fix）M-38.8035.51109.820.50（fix）M55。26132.56209.870.75（fix）M-17.3353.40124.12075（fix）M44。86 116.38 187.91 0.95（fix）M-64.26 3.68 71.62 0.95（fix）+D是后验平均偏差Eθ[-2对数f（y |θ）；^D=-2 log f（y |θ），其中θ是参数模型和非参数模型M之间θ的后验平均值，非参数模型根据DIC提供更好的模型性能。这些模型对应于具有均值和方差函数的AL模型，我们研究了它们在一系列固定分位数水平下的性能∈ {0.3,0.5,0.75,0.95}如图5所示。该图显示了不同分位数级别的已安装模型的分位数-分位数图，表明了一系列不同分位数级别的特定模型结构中的适当分位数。图5：不同分位数水平下非参数模型的QQ图0.5000-10000 150000-4000-8000实际与拟合QQplot ALD-0.3实际数量安装数量0 5000 10000 150000 4000 100000实际与安装的QQ批次ALD-0.5实际数量安装数量0 5000 10000 150000 4000 100000实际与安装的QQP批次ALD-0.75实际数量固定数量0.5000 10000 150000实际与。

安装QQplot ALD-0.95实际数量定量此外，我们调查了图6所示的开发年份效应趋势，图6报告了固定损失SBY1j=exp（u*1j）在哪里*1JI由（28）给出，并使用（44）中第一个事故年（i=1）的条件预测后分位数函数计算。分位数levelsu对应于AL分布中分别设置为0.3、0.5、0.75和0.95的形状参数p。该图表明，在所有分位数水平上，发展年的共变异性t e有一个明显的非线性趋势，该趋势在j=4之前均匀增加，随后在所有分位数水平上降低。此外，所有量化水平的固定损失趋势与观察到的趋势一致。图6：第一个事故年各分位数的拟合损失5 10 150 2000 4000 6000 8000 10000 12000 14000 ALD模型事故年一个分位数预测发展年索赔分位数0.3分位数0.5分位数0.75分位数0.9分位数0.95为了总结模型结构的基准分析，我们还提出了具有均值和方差函数的最佳模型M所有事故年份的估计模型趋势，如图7所示，五个三角形热图。热图分别描述了上三角在所有五个分位数水平上的事故损失和发展年份，其中第一行对应于图6中的研究结果。所有热图显示，在所有事故年份和分位数水平的发展年份中，具有一致的趋势，损失水平较高，如第四个发展年份左右的浅色所示，尤其是在事故较低的年份。

随着分位数水平的增加，每个事故年的浅色宽度增加，表明峰值附近的固定损失水平更高。图7：使用M的分位数上三角形的拟合损失5 10 155 10 15 30%分位数项目发展年的热图事故年2000 4000 6000 8000比率10 155 10 15 50%分位数项目发展年的热图事故年0 2000 6000 10000比率10 155 10 15 75%分位数项目发展年的热图事故年2000 6000 10000 14000比率10 15510 15 95%分位数项目开发年事故年5000 10000 15000比率的热图尽管非参数模型的DIC值较低，但表1显示，参数模型在应用模型复杂性惩罚之前，实际上根据“Ds”提供了可比模型。这是因为具有附加形状参数的参数化模型会受到更大的模型复杂度惩罚。然而，应该注意的是，参数模型在一系列模型和分位数水平上提供了更好的通用模型。此外，参数模型还有一个显著的优势，即在计算风险边际和基于分位数的风险度量时，只要分位数函数是封闭形式，它们将更容易解释和直接使用，如第4节所述。

对于参数模型下与模型选择M2·相对应的均值结构，我们还研究了不同的方差结构，以探索AL分布下方差函数的不同选择。表2：具有方差分析平均值和各种方差函数模型DIC^D MSE pσM50的所有模型的参数估计和模型度量。94120.71189.401015.710.800.02M-4.3256.66117.64849.910.740.04M6。63 54.29 101.9 5 755.66 0.68 0.19M-20.81 24.91 70.63 850.10 0.75 0.17再次，我们确认，在所有具有AL分布的模型中，考虑了事件和发展年份的影响，根据DIC，均值和方差显示出最佳模型。另一方面，MSE倾向于仅采用发展年效应的M。一个可能的原因可能是，与跨开发年份的付款相比，不同意外年份的付款相对稳定，因此开发年份的影响在方差估计中占主导地位。5.2分位数回归模型分析：分位数分布在本节中，我们从分布的角度分析不同的模型选择。这并不是简单的事情，因为每个模型都有不同的特点，在比较中必须考虑到这些特点。从之前的研究中可以清楚地看出，对于事故和发展年份效应（M2·），我们应该始终使用anANOVA型平均函数，或者对于发展年份效应（如M1·），使用最小t型二次函数或基函数形式。因此，在GB2和AL模型的情况下，我们将考虑M2·中的平均结构。然而，在PP模型的情况下，我们将考虑M1·，因为纯粹从计算角度来看，与M2·相比，M1·更容易实现高效的MCMC采样器。

这是因为Metropolis Hastings接受概率中的拒绝阶段，在PP模型下，后验约束区域将更容易满足，模型复杂度更低。在方差函数方面，当使用GB2模型时，我们将考虑M2·在其中，我们没有指定方差函数，因为在分布模型中没有方差参数，因此我们直接使用方差。模型的方差由（19）给出。然后，在AL模型的情况下，我们考虑Mas以及对于PP模型的Mand，我们考虑Mand M。表3报告了根据具有常数、未指定和动态变化函数的模型划分的结果。在恒定或未指定方差的情况下，表现最好的模型是AL模型，其次是GG模型。在GB2家族中具有积极支持的分布中，GG根据DIC提供了最佳模型，具有模型复杂性，而GB2模型根据MSE提供了最佳模型预测。比较没有模型复杂度惩罚的情况下，GG和GB2提供了非常相似的模型。此外，可以清楚地看到，PP模型仅具有平均值的基函数回归结构，由二次多项式f或发展年协变量的趋势给出，且常数方差不足以捕获所有所需的特征。我们认为，这在很大程度上是因为这种模型更适合于索赔开发中的厚尾运行，而以色列的数据显然没有显示这种特征。因此，预计这种重尾分位数回归模型对该数据的效果不会很好。当方差也被建模时，AL模型显然比考虑的所有其他模型要好得多，而且与所有选择相比，AL模型是最优的。

由于PP模型不适用于该数据，我们将考虑仅使用GB2和ALM模型进行分析。表3：不同分布模型的参数估计和模型拟合度量模型DIC^D MSE a p qσ分位数回归：未指定方差函数M2·Gamma 3064.50 3028.93 2993.36 537.82 1.87∞ M2·GG 2707.42 2932.97 3158.52 582.78 33.22 0.08∞ M2·GB2 3002.82 2964.60 2926.37 526.65-7.94 1.78 0.17分位数回归：常方差函数MPP 3272.14 1021.71 1230.01 11 32.12----14.15摩尔50.94 120.17 189.40 1015.71-0.80-0.02分位数回归：非常方差函数MPP 1502.19 1906.49 2310.98 923.00----9.10摩尔-20.81 24.91 70.63.10-0.75-0.17接下来，我们比较GB2的标准化残差，结构下的伽马和GG模型以M2为单位，与最佳拟合模型相比，即Mwith^p=0.75。我们首先评估这些模型在样本中的表现，对比图8所示的标准化残差的历史图，观察以下拟合模型密度。该图显示，具有GB2分布的M2·和具有AL分布且^p=0.75的MW为标准化残差提供了良好的fit，其中伽马分布提供了最差的fit。图8：标准化残差图GB2Claim支付数据密度0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 Gammaclaim支付数据密度0 1 2 3 40.0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 AldClaim支付数据密度-10-8.-6.-4.-2 0 20.05 0.15 0.25ALD恒定差异索赔支付数据密度-50-40-30-20-10 00.00 0.05 0.10 0.15然后，对于样本外分析，我们在图9中显示了GB2和AL（p=0.5）模型下的预测总索赔准备金中值。

为了比较样本外预测的这些模型，我们通过绘制（p）和百分位p来比较四个模型的拟合损失，其中（p）是指上三角形ar中allbYij=uij的p-th百分位，以升序排列。我们可以看到，使用AL模型的固定损失与观察到的损失最为接近，GG和GB2模型提供了非常相似的固定损失，而gamma模型提供了最差的固定损失。图9：使用GB2族和AL分布的上三角中固定损失的百分位数0。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5000 10000 15000QuanitleClaim PaymentDataALD0。5GB2GGATable 4：使用GB2和AL模型在上三角中选定的固定损失百分位数模型0.30 0.50 0.75 0.90 0.95观察到的1985年3871 6990 9327 10200m2·伽马2760 4496 8036 9600 10700m2·GG 2378 4498 6451 7486 8040m2·GB2 2480 4463 6526 7737 8247Mal（p=0.5）2255 3734 6422 8696 9715表4报告了p=0.3、0.5、0.5、0.5、0.75、0，0.9和0.95使用四种模型。由于模型评估显示有足够的模型，我们应用模型预测不同分位数水平的损失。图10显示了给定分位数水平u和模型的上三角每个单元中的分位数QY（u | xij）损失的箱线图。比较不同的模型，AL模型的箱线图具有最重的右尾，箱线图的范围在更高的分位数水平上差异更大。

特别是，与GG和GB2模型相比，gamma和AL模型的量程增加得更快。图10：使用GB2族和铝分布的上三角预测质量箱线图GA GG GB2 AL0 2000 6000 100000.3 QuantileGa GG GB2 AL0 2000 6000 100000.5 QuantileGa GG GB2 AL0 10000 300000.75 QuantileGa GG GB2 AL0 10000 300000.9 QuantileGa GG GB2 AL0 10000 300000.95 QuantileGa GG GB2 AL0 200000 60000.995 QuantileGa GG GB2 AL0还可以在图11以升序在每个方框图中绘制分位数QY（u | xij）。这与图9类似，但分位数QY（u|xij）（p）的百分位数（而不是（p）ij）与百分位数p对应。图11中的每一行对应于一个分位数水平u=0.3、0.5、0.75、0.9和0.95。这些所谓的经验分位数线对于GG模型来说是密集的，对于伽马模型来说是稀疏的，对于GB2模型来说是中等的，这表明当分位数水平u逐渐增加时，GB2分布提供了分位数估计，可以合理地覆盖在百分位P上观察到的损失。我们还注意到对数尺度上的经验分位数是凸的，而不是凹的，并且由于对数变换而更密集。图11：使用GB2和AL模型0在上三角中预测质量的百分位数。0.2 0.4 0.6 0.8 1.00 5000 15000GB2%的支付数据0。950.90.750.50.30.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-2.6 10低成本支付数据0。950.90.750.50.30.0 0.20.40.6 0.8 1.00 5000 15000GG百分位数工资数据0。950.90.750.50.30.0 0.20.40.6 0.8 1.00 5000 15000Ga百分位数工资数据0。950.90.750.50.3然后，图12绘制了分位数水平u上的量化函数QY（u | xo）∈ （0,1）使用（22）表示G B2分布族中的gamma、GG和GB2，以及exp（QY*（u|xo）在（8）中*（u） =F-1z*（u） 对于AL分布，由（11）给出。

请注意，QY（u | xo）或u中的平均u*exp（QY）*（u | xo））由exp（u）的平均值给出*ij）或u*在上三角中的风险单元。同样，由于对数变换，AL分布的右尾最重。图12：使用GB2族和AL分布的分位数函数0。2 0.4 0.6 0.8 1.00 5000 10000 15000QuanitleClaim Payment GB2GGGAALDL我们进一步使用这些模型，使用（47）中的条件预测后验法计算表5中报告的未偿储量（OR），其中，对于索赔过程中的轻尾运行效应，采用了条件总储量后验分位数函数，因为索赔分布显示为：在之前的分析中，我们要保持轻描淡写。在Solvency II框架下，保险公司必须制定技术条款，以涵盖投保人提出的未来索赔。保险公司还必须拥有足够的财务资源，以满足最低资本要求和SCR。SCR基于在一年时间范围内被校准为99.5%置信水平的Va R测量。表5中的结果显示，OR投影逐渐增加至95%分位数水平，但在99.5%分位数水平时急剧增加。表5：使用GB2族和AL分布模型的不同分位数水平的未动用储量0.30 0.50 0.75 0.90 0.95 0.995M2·伽马127816 198907 324515 474073 581302 920142m2·GG 203207 248409 291457 314,4 82 323346 337658m2·GB2 152315 22517 311625 377154 413525 512731MAL 145031 176926 314454 435,4 02 462980 5606风险边际：澳大利亚案例研究监管机构计算风险边际的指导意见使从业人员采用的实际建模方法具有灵活性。在实践中有几种流行的方法，其中一些涉及一定程度的专家意见。

在本节中，我们只考虑基于统计模型的方法，尤其是基于百分位数和分位数的方法。在这种情况下，标准做法是考虑储量估算，然后尝试量化与储量估算相关的不确定性。这种不确定性通常通过标准误差来测量，标准误差用于调整储备。传统上，如果损失分布产生了一个估计量f或一个允许正态分布的储量（大约低于中心极限结果），那么将风险边际设置为等于样本估计量f或储量加上样本估计量标准偏差的0.675倍，将导致风险边际调整到大约第75个百分位。请注意，虽然如果存在重尾径流，总损失分布可能没有单位二阶矩，但储量分布的样本估计值的方差将始终很好地确定。应该注意的是，这种方法克服了缺点，因为在确定适当的倍数时，有一个有效的判断，尤其是当由于样本估计量分布被扭曲而不存在正态性假设时。或者，可以利用总损失分布的分位数回归模型。有两种基本的方法可以实现这一点，例如，一种方法可以代替平均储备，一种基于分位数的储备。这可以通过风险度量，如VaR，代表99.95%的总损失分布，在这种情况下，人们可以判断从这种尾部度量中获得了保守的准备金度量，因此不需要额外的风险边际。

这是巴塞尔协议II/III等银行监管的标准，保险监管也考虑到了这一点。或者，他可以将OSS的总利润作为SDR的中间值，也可以将其作为SDR的总利润进行调整。第三，如果考虑了基于损失分布平均值的传统准备金估计，那么如果使用基于总损失分布的尾部分位数（比如75%）的风险边际调整，则可能会出现两种情况。在这种情况下，估计的平均准备金可能低于总损失分布的预期风险保证金数量水平，在这种情况下，如果风险保证金已经达到75%的尾部，则不进行进一步调整是合理的。或者，如果估计的平均准备金低于总损失分布的预期风险边际量化水平，则差异将是产生的风险边际。在本节中，我们将在前面几节中扩展最佳模型，即AL分布的M模型，以对风险边际进行统计建模。为了实现这一点，我们通过以下回归pi=φ+φi来推广ALdistribution，以建模形状参数p，其中φ是截距，φidenotes是意外年份效应。之所以选择意外年份效应，是因为风险资本配置是按意外年份进行的。值得注意的是，该方法的一个重要假设是：假设实际未偿索赔金额在事故年份之间不存在相关性。因此，估计的形状参数p呈现分位数分布，并通过百分位数法推断风险边际，是未决索赔付款的适用风险边际估计值。

图13还显示了我们提出的方法与传统方法之间的差异。图13：传统方法（上）与推荐方法（下）我们用来证明我们的模型的数据是截至2008年6月昆士兰州（昆士兰州）所有强制第三方（CTP）保单的支付金额。CTP保险保单承保的风险在美国称为汽车人身伤害，在美国称为汽车人身伤害。K数据以百万为单位，按事故和发展季度汇总，从2002年12月到2008年6月。它包含23个季度的276次观察。为了消除外汇储备的影响，我们利用澳大利亚统计局（ABS）的averageweekly ear ning指数将所有价值汇至20 08美元。因此，本分析中使用的数据代表附录I图19中报告的QLD CTP投资组合的累积费用。为了审查数据的特征，图14绘制了事故年份和对数标度的观察到的差异。它表明，在最初的规模上，方差在整个事故年中影响很大，但在对数规模上则显示出急剧下降。图15显示，在原始刻度和对数刻度上，偏度大多为负值。数据的总体偏斜度为0.61，对数标度为-1.08。偏度的趋势显示，在开始时，偏度会急剧下降，然后在原始量表上的数据会出现意外年份，但在对数量表上的数据会增加单调性。这些变化证实了在数据建模中采用动态方差和偏度的必要性。在分布的选择中，AL分布允许通过直接模拟比例和形状参数σ和p来模拟方差和偏度。

此外，在使用AL作为模型实施的代理分布的非参数回归中，p表示模型的分位数水平，该分位数水平与损失准备金的风险损失有关。在QLD CTP数据分析中，我们采用方差分析型模型（M）进行均值和方差分析，因为它已被证明提供了最佳的模型性能。我们进一步建议将风险边际p建模为事故年份的线性函数。一个原因是，随着意外年份的增加，估算储量时会涉及更多的不确定性；因此，它是风险边际估计的一个重要因素。该模型在附录中称为M′。图14：事故年份QLD CTP支付数据的观察差异51055.0e+061.0e+071.5e+072.0e+072.5e+073.0e+073.0e观察差异事故年份差异51050 2 4 6 8 10对数规模的观察差异事故年份差异图15：事故年份QLD CTP支付数据的观察偏差5100-0.4-0.20.0 0.2 0.4 0.6QLD数据事故年份偏差5 10 15 20-4.-3.-2.-1Log QLD数据偏态然后将具有动态方差和偏态的M′与两个模型进行比较，M具有恒定方差和偏态，M仅具有动态方差，如表6所示。尽管MoutPerform“根据DIC，M”提供了最佳的模型，根据D，M单独衡量模型，不考虑模型的复杂性。由于我们的目标是提供最准确的风险边际估计，我们在随后的风险边际分析中采用了M′。

从建模的角度来看，它与我们的风险边际估计方法相一致。表6：使用QLD CTP支付数据模型DIC’D^DE（Y）V ar（Y）S（Y）MConstant方差和偏斜度-322.55-215.65-108.75 4.33 0.008-0.28m动态方差-311.36-197.71-84.06 7.67 0.22-0.57M动态方差和偏斜度-255.03-229.46-203.90 4.77 0.10-0.18的方差分析模型参数估计和模型度量图16展示了估计的风险边际^经过几年的意外，再加上可信的间隔。图17分别使用（12）和（13）中的方差和偏度方程显示了估计方差和偏度的相应变化。风险边际^p从事故第1年的0.8 95开始，此时方差相当高。之后，在事故第8年，当方差小得多时，它逐渐降低到0.439。从第17年开始，当差异较大且未来还有更多发展年时，风险边际再次增加。在精算实践中，风险保证金的计算通常不是基于可靠的模型，而是使用各种简化的方法。这种方法使我们能够以数学上一致的方式计算非寿险经营负债的风险边际，并提供合理的风险边际估计。图16：使用M′进行风险边际分析时，事故年份p的变化5 10 15 200.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2形状参数估计事故年份图17：风险边际分析时，M′的估计方差和偏度5 10 15 200.2 0.4 0.6 0.8估计方差事故年份方差5 10 15 20-2.-1估计偏差事故年份偏差7结论我们应用分位数回归模型来估计损失准备金和风险边际。

分位数回归揭示了上分位数或下分位数的r espo NSE之间的关系，这对估计保险和金融应用中的风险边际和VaR具有重要意义。与均值回归相比，它对重尾数据更为稳健。我们比较了参数分位数回归和非参数分位数回归的性能。在参数化工作中，我们建立了五个模型，即AL、PP、GB2、GG和gamma。AL模型提供了最好的结果。我们还研究了三种不同的回归结构，即ANCOVA、ANOVA和泊松二次回归。方差分析模型在我们的实证数据研究中表现最好。此外，我们采用了最佳性能med模型，即带有方差分析均值和方差函数的AL模型来估计风险边际。带有动态形状参数p的广义AL模型为我们提供了一种数学上一致的估计风险边际的方法。总的来说，我们的研究结果表明，这种新的风险边际框架为准备金目的提供了相当大的潜在收益。然而，缺点是当数据稀少时，分位数函数可能在极端分位数处过度交叉。极端分位数可能无法准确估计。虽然这个问题还没有简单的解决方案，但我们相信在使用这个框架时意识到这个局限性是很重要的。参考文献[1]澳大利亚审慎监管局，审慎标准GPS 320，精算及相关事项。（2012年5月）。http://www.apra.gov.au/CrossIndustry/Consultations/Documents/Draft-GPS-320-Actuarial-and[2] N.H.宾厄姆、C.M.戈尔迪和Teugels，J.L.（1989）规则变量。剑桥大学出版社。[3] 蔡，Y.（201 0）多项式幂帕累托分位数函数模型。极端，13291-314。[4] Claeskens，G和Hjort，N.L.（2008）。模型选择和模型平均，剑桥。[5] 克鲁兹，M.G.和彼得斯，G.W。

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