列平均值包含四舍五入到五个有意义的数字的值。例如，对于2013年3月1日在一个区间交易的ZCN13，我们得到10350×0.00096618=9.999963。这必须四舍五入到整数10，以补偿之前四舍五入的影响。差异P20130301 13:59:57-P20130228 17:00:00=P20130301,1-P20130301,1=686.50- 684.00=2.5除以δzcn13=0.25等于10。如果会话包含多个范围，则PSN- Psget贡献来自b和CI增量，不能仅根据表16计算。19.1亚伯拉罕·瓦尔德[233]、雅各布·沃尔福威茨[242]、科尔莫戈罗夫[101]证明了沃尔德、沃尔福威茨、科尔莫戈罗夫、普罗霍罗夫等关于随机变量随机数和的重要定理。如果ξ，ξ，ξn。是I.I.D.随机变量的有限序列，ζν=ξ+ξ+…+ξν，仅取非负整数值{0，1，2，3，…}，是序列第一个成员的随机数，数学期望值Eν、Eξi=a和E|ξi|=c是有限的，对于n>m，随机变量ξ和事件Sm={ν=m}是独立的，则产生瓦德恒等式：Eζν=EνEξ。Kolmogorov和Prokhorov证明了一般结果，其中Eξn=an，E |ξn |=cn，E（ξn- 而瓦尔德湖是一个特例。给定概率pn=P（Sn）=P（{ν=n}），表示pn=P（{ν≥ n} ）=P∞m=npm:Eζν=P∞n=1pnAn，An=Eζn=a+a+···+An。该证明应用了系列的阿贝尔变换[57，第305-306页]，需要P的收敛性∞n=1Pncn。该要求允许绝对收敛，因为Pn、Cn是非负的。如果bn=b+b+··+bn，那么他们证明了E（ζν- Aν=P∞n=1pnBn。

在文章[112]中，针对一种情况推导了瓦尔德恒等式的模拟，其中一个和具有有限的数学期望。19.2瓦尔德恒等式图解估算ζνs，r=Ps，rNs，r- Ps，r，Eνs，r=Ns，r=ts，rNs，r- ts，ra增量，r+1≈Tcs，r- Tos，ra增量，r，Eξs，r=b增量，r，被代入瓦尔德恒等式，givePs，rNs，r- Ps，r=ts，rNs，r- ts，ra增量，r+1！b-增量，r≈≈（Tcs，r- Tos，r）b增量，ra增量，r=（Tcs，r）- Tos，r）ρs，rba，（50），其中ρs，rba是平均b增量与平均a增量的比率。精确的关系，包括三个估计值，遵循等式14和15。图10支持近似版本。让我们用ZCN13来说明后者。2013年4月5日，表15和表16中的平均a和b增量等于3.4886秒-0.00018459δ. 价格差异为P2013045 13:59:59- P2013044 17:00:00=617.50- 618.50 = -1 = -4δ. 单量程持续时间为Tc20130405 14:00:00-To20130404 17:00:00=75600秒-0.000184593.4886= -4.0001731≈ -4δ. 2013年3月28日75600-0.00775113.8548=-152.014≈ -152δ和差异P20130328 13:59:57- P20130327 17:00:00=676.00- 714.00 = -38 = -152δ.19.3检查b增量的调整和是否是高斯的Wald-Wolfowitz-Kolmogorov-Prokhorov定理揭示了ζν的均值和方差。这还不是一个分布，除非它是一个，像高斯分布一样，完全由两个矩描述。我们能期望ζν是有限（？）的随机变量之和吗方差，服从高斯分布？为了补偿随机ν的影响，我们应该检查平均b增量，它可以被视为调整后的最后一次减去第一次价格差eξ=eζνeν。这也不包括c-捐款。研究人员通常会测试今天和昨天收盘价或结算价的差异。

根据a-b-c分类，他们忽略了b的随机数和c的固定数。如果Eνs在范围和会话中保持不变，那么这种方法是合理的。对于这样的测试，平均b增量是一个更干净的候选者。对于每份合同，将表16中范围内的平均b增量合并到一个样本中。然后，评估样本矩、ECDF和EPDF。在表8中，每个最小值和最大值都出现过一次，相应的列替换为U-=分钟-M eanStdDevand U+=最大值-我是伊恩斯塔德耶夫。表8：从范围中提取的平均b增量的样本统计。股票大小平均最小U-1.2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4HGN13 91 0.022-1.7-4.1 2.3 5.8 0.39 2.0 16SIN13 92 0.097-2.4-2.2 9.5 8.2 1.2 6.17.2.3.3 3.3.3 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1.00023-4.4 7.7e-005 1.4 5.4e-005-2.2 6.86JM13 60 1.6e-005-0.00021-1.6 0.00087 6.20.00014 4.0 24GEM13 63 9.5e-006-0.00014-2.5 0.00016 2.6 5.7e-005 0.28 0.91U=最大值（| U-|, |U+|）是与标准偏差平均值的最大偏差。对于标准正态分布[1，p.972]p（{U≥5} ）+P（{U≤ -5}) = 2(1 - 0.9999997133) = 0.0000005734. 我们需要观察一次或更大的偏差。具有≈ 每年247个交易日这是8097年的交易日。

然而，对于ZCN13、ZSN13、ZWN13、ZBM13、ESM13、HGN13、SIN13、6AM13、6CM13和6JM13，在不到160个范围内观察到的偏差大于投资标准偏差。GCM13和6EM13的峰度分别为7.4和6.8，超过高斯分布。剩余的CLN13、NGN13、6BM13和GEM13具有较低的超额峰度、偏斜度和U，这些都是应用皮尔逊χ检验的候选样本。即使这项工作取得了成功，也不会从根本上改变情况：不仅是b增量，而且它们在数千个刻度范围内获得的平均值都不是高斯分布。统计价格和时间属性可能会随着年龄的增长而显著变化，如图1、16、19所示。同一合同在其有效期内经历最大流动性时，它们会发生变化，见表15和表16中的列大小。这可能就是原因。20 c增量c增量是按价格划分的不相同链接绑定范围和会话，见表17。所有这些都是不可分解的，与b增量相比，它们具有更大的持续时间。图27描述了他们的EPDF。图27:2013年3月至7月在Globex上交易的期货的c增量的EPDF，以δ表示。NGN13的c增量除以10的预绘图。绝对平均c增量显著大于课时内绝对平均b增量，见表17和表16。对于绝对极端的b增量来说，这是不可能的。它们大于绝对平均c增量，在许多情况下，与绝对极端c增量相比，它们具有可比性（ZWN13，GEM13）或更大（ZSN13，ZBM13，HGN13，SIN13，CLN13，NGN13，6BM13，6CM13），如图23和27所示。这意味着，在下一次滴答声之前持有仓位的风险可能大于在电子交易期间持有仓位的风险。

我们需要记住，电子会议之间的停顿比pit会议之间的停顿要短。将平均绝对c增量与表16中的| Size×mean |进行比较也是有意义的。后者是上一次和第一次价格的绝对差异。这提供了一个概念，即价格在交易期间或交易期间变化更大。例如，对于2013-04-02、2013-04-03、201304-04和2013-04-05的ZCN13会议，这三种产品是35930×-0.00030615 = -11δ, 9δ,-53δ，以及-4δ. 前面四个c增量分别为1δ、3δ、4δ和1δ。在这些交易日中，价格在交易日内的变动幅度大于交易日之间的变动幅度。绝对值的平均值为19.25δ≈ 19δ和2.025δ≈ 2δ. 比值ρsbc=PsNs- PSP- 附言-1Ns-1=PSN- 如果在一个方向上进行两次移动，则Psc增量（51）为正，否则为负。该比率未定义为零c增量。|ρsbc |越大，说明与暂停相比，会话的贡献越大。在示例中，ρbc=-11，ρbc=3，ρbc=-13.25，ρbc=-4.表17包含整个c增量系列的样本统计数据。关于节日的信息是谷物中最完整的。这包括耶稣受难节、阵亡将士纪念日和独立日。后者不适用于7月之前到期的合同。此外，由于技术原因，与阵亡将士纪念日有关的信息在未来几天会被遗漏。ch增量具有说明性意义，不能支持统计结论。这一时期和合同的一个更明确的结论是，周末的平均cw增量的绝对值大于正常工作日的平均cr增量。例外是HGN13和6JM13。会话中两个范围之间的ci增量仅适用于ZCN13、ZSN13、ZWN13和ESM13。

从单独处理的cr、cw和ch增量来看，绝对平均ci增量最小。21价格和时间：b-对a-增加悬浮在液体中的小爱因斯坦粒子的平均位移与时间的平方根成比例[46]。正是由于价格x的数学预期由Bachellier通过两种不同的途径获得[12]，[33，第29-33页和33-36页]。爱因斯坦要求“……时间间隔τ……与观测到的时间间隔相比非常小，但……其大小使得一个粒子在两个连续间隔内执行的运动……相互独立……数学布朗运动的现代定义见[185，第1页]在不那么严格的形式下，如果1）B=0，2）B是t的连续函数，则B是布朗运动≥ 0,3）每t，h≥ 0递增Bt+h-B独立于业务单元的业务单元：0≤ U≤ t和具有均值为0且方差为h的高斯分布。在没有提及高斯分布的情况下，定义了一个与一系列信息集{It}相关的维纳过程：1）对It，Wt是一个W=0和E[（Wt）的平方可积鞅- Ws]=t- s、 s≤ t、 2）WT的轨迹在时间t上是连续的[169，第148页]。Neftci引用了L’evy定理，指出任何维纳过程都是布朗运动。考虑到价格，这些结果暗示了b和a增量之间的统计关系。每个b增量与a增量相关联。绘制前者与后者的对比图并没有显示曲线，如图28左上角所示。分别为0、1、2采样b增量。a增量创建采样条件分布。如果过程是布朗运动，那么不仅每个样本应该服从高斯分布，而且应该服从StdDev（b增量）∝√a增量。图28右上角并未证实这种比例。

我们也不能依赖单个样本的高斯特性。例如，表18将极端b增量-16和17以及StdDev 0.36379与零a增量相关联。这是-44和47个标准差。最大尺寸为508004和20357的两个样本几乎不是高斯分布。爱因斯坦没有提出平均粒子位移与时间平方根成比例与价格有关。如果平均位移，即平均b增量，与时间的平方根a增量成正比，那么图28左下角应该显示y∝√x、 相反，这些点位于水平面附近。使用维纳过程，可以预期均方b增量与a增量成正比。相比之下，图28左-右显示的是一条水平线。b-和a-增量避开了价格变化和已知布朗运动时间平方根之间的关系。如果在价格和时间增量（即b增量和a增量之和）中观察到这种特性，那么在“经济价格和时间原子的微观世界”中，可伸缩性和自相似性是有限的。根据方程式50 | b-增量，r |≈|PNs，r-1i=1b增量，ri | Tcs，r- Tos，ra增量，r.（52）因此，对于具有一个| Ps，rNs，r的选定范围-Ps、r |和小的a1和a2增量预期平均b增量和a增量之间存在线性相关性。这在价格和时间之间没有内在的依赖性。22关于差异的评论作者进行了一项差异实验，图29、30、表9。图28:ESM13 2013年4月5日。左上角：539882个点（a-增量不连续，b-增量δ），由于离散性，许多点重叠；右上角：b增量（表18 STDEV）与相关a增量（表18 a增量）的样本标准偏差；左下角：样本平均绝对B增量±STDEV vs。

相关a增量±1s，表19；右下角：样本均方b增量±StdDev（平方）与a增量±1s，表20。使用i-Phone 4S的秒表测量时间，精度为0.1秒。Papala VMC Corp.为黄鲈鱼鱼饵提供的透明开放式塑料盖13.7×3.1×1.3 cm，从家庭供水处填充了一层5 mm厚的塑料。高锰酸钾（KMnO）晶体放在水平牙签的顶部，旋转容器一侧后迅速掉落，形成条纹。第二部手机用来拍照。品红色正面的距离是用纪念尺测量的，误差为0.5毫米。正面侵蚀在距离测量中引入了更大的误差和主观性（图片可用）。为了不让家人和一只猫摇晃桌子，大家都很小心。出于同样的原因，靠近手机盖的手机的铃声和振动模式也被切换到了另一种状态。室温为22.5±0.5oC=295.65oK。结果如图30所示。图29：扩散实验。标记1和2（左上）表示测量F1和F2的两条线。22.1“炼金术”作者专注地凝视着正在侵蚀的洋红色锋面，认为这两个i-phone、尺子、水、渔具罩和高锰酸钾是否可以解释“男人的疯狂”。除了智能手机之外，这些朴素的工具就像炼金术士的工具。牛顿知道冷却和力学定律，今天以他的名字命名，为了阐述他关于疯狂的论文，他不得不损失（或在其他版本中得不到）2万英镑。有些人将其转换成现代的5000000美元。

也许炼金术是正确的术语[210]。22.2爱因斯坦的悬浮粒子基于分子动力学理论的原理，从非电解质的范特霍夫方程（数学上等同于门捷列夫-克拉佩龙方程）出发，爱因斯坦推断，在大稀释度下用悬浮颗粒代替溶解的分子后，渗透压p保持不变。这个在当时并不寻常的结论，允许他对压力应用相同的方程式，其中摩尔浓度可替换9：扩散实验记录：t秒；F1，F2毫米。6.6 6.6.6 6.7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 5 5 8 8 8 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 540.9 39.5 27.5 2401.1 76 53 6368.2 9876.5600.7 42.5 29.5 2642.6 77 54.5 6673.6 99 77.5721 47 33.5 2761.1 77.5 55 6901 99 78780.8 49 34.5 2879.9 78.5 55.5 7080.9 99.5 78849.7 52 37 3001.1 79 56.5 7200.9 99.5 78960.9 55 39.5 3301 80 57 7500.8 100 78.51020.8 56.5 40.5 3540.9 82 59.5 7817.4 100.5 791080.6 58.5 42 3599.4 82 59.5 8177.5 101.5 811141.4 60 43 3840.8 83.5 62 8520.6 102 821201.2 61 43.5 4020.8 85 63.5 8761.2 102 82.51320.6 64.5 46 4141.3 86.5 65 9376.6 102.5 851440.8 65 46.5 4260.7 88 65.5 10037.9 105 85.5150166.5 47.5 4381.5 88.5 67 11053.8 105 87.5以每体积的颗粒数表示的浓度ν：p=RTNν。这使阿伏伽德罗数N成为分母。T是绝对温度。R是通用气体常数。

回顾热力学平衡，自由能在任意虚位移δx下消失，他得出结论，渗透压必须对悬浮颗粒施加力K：K=νPx、 然后，他回顾了菲斯特菲克定律对粒子（而非质量）的不同影响-Dνx、 式中，D是扩散系数，它与单位时间内以一定速度通过单位面积的粒子数相等。他引用Kirchho fff表示半径为P的球体在液体中运动的速度k6πkP，在力k下粘度为k。这就像一个人看到图29中的洋红锋运动时，将其与一定大小的力联系起来。但爱因斯坦看到了力的来源，并推导出了臭名昭著的D=RTN6πkP。他的下一步是从分子动力学的角度出发，得出a）第二个菲克扩散定律f（x，t）t=Df（x，t）xb）D=τR+∞-∞φ()D, 哪里 是一个粒子在时间间隔τ内的位移，ν=f（x，t）是每单位体积的粒子数，φ() 是粒子分布的概率密度. 对于x6=0和t=0:f（x，t）=0，R+∞-∞他知道这个初值问题的解√4πDe-x4Dt√tand治疗2DTF图30：实验和理论：扩散前沿距离与时间。最佳回归曲线由公式53得出。随着时间的推移，方差呈线性增长。回想一下u=α- 对于α=0，α=α。对他来说，这个方差是X轴上位移平方的平均值。因此，λx=√2Dt=√tqRTN3πkP。作者提出这些细节是为了提醒大家：背后有一个坚实的基础（爱因斯坦的基础更少，我们这个时代的基础更大）——热的分子动力学理论。

爱因斯坦说：“……如果对这种运动的预测被证明是错误的，那么将对热的分子动力学概念提出一个重要的论点。”。在爱因斯坦的文章中，物理内容的深度与数学复杂性的比率是大型强子对撞机的价格与图29所示设备价格的比率。进行的实验偏离了爱因斯坦的假设。高锰酸钾是电解液，根据前述的Svante-Arrhenius理论分解。这将范特哥夫方程中所谓的等渗系数增加到2。薄薄的水层仍然不能消除3D扩散。晶体的条纹也不能阻止扩散。少数晶体在一段时间内未溶解，形成复杂的浓缩过程。这种浓度远远不是爱因斯坦应用理想溶液定律所需的“大稀释”。塑料壁接触高锰酸钾浓度变化的溶液所产生的表面效应可引发对流，增加“可观察”D。然而，如果我们能从该数据中评估D，则分子大小估计值为6πkD。爱因斯坦对扩散方程的解是格林函数或脉冲响应函数[54，第93-95页]。这些函数的一半乘以2 f（x，t）=2ne-x4Dt√4πDt，D=1，n=1如图31所示。眼睛检测浓度F图31：浓度曲线。文件的右侧。这是浓度曲线和水平检测线的交点。这种解决方案不适用于t→ ∞, 当浓度接近一个大于0的常数时：a）盖子的长度等于体积，b）高锰酸盐的量也固定。然而，当扩散前沿远离右壁时，解决方案是合理的：指数迅速下降。

我们“测量”的不是f，而是与其成比例的颜色强度。需要有足够的相称性。近似函数x=F（t）通过将密度等于fd并取x得到≥ 0f（x，t）=fd=se-x4Dt√4πDt，x 五十、 x=√t×sD-4 lnfds- 2ln（4πDt）=√Dt×pA- 2ln（t），其中A依赖于D，但有一定的自由度，因此我们可以忽略它，并从乘法器中找到D。为了补偿滴漏晶体和启动秒表的异步性，以及标尺的移动，添加了两个参数t=t表- tand x=xtable- xxtable=x+pD（t表- t） ×帕- 2英寸（t表- t） 。（53）方程式53是四个参数D、A、t、x的近似函数。完成了一个共同优化，其中t、x是两条曲线的共同点，但D、A独立变化。使用Microsoft Excel的解算器，根据六个参数，将表9中x和等式53之间的偏差平方和的总和（对于两条曲线）最小化。带约束优化的解算器采用Lasdon算法[118]。集合{D=0.577mms，A=20.5}，{D=0.266mms，A=21.6}，公共t=45.7s，x=-两条战线的长度为7.36毫米。曲线与x<0.8L的实验点非常接近，如图29所示。然而，最小系数为0.266mms≈ 2.7×10-7msis是文献1.632×10的163倍-9毫秒[131]。开放式细胞中的表面张力和对流可能是快速铺展颜色的原因。P=8.31Jmol×K295。65K6。02×10摩尔6×3.14×10-3kgm×s×2.7×10-7ms=8×10-1300万，这是人们期望的≈ 10-10米。对撞机是物有所值的。22.3爱因斯坦和布莱克都不知道的解相比之下，菲舍尔·布莱克不确定他建立的方程是否是微分方程，以及如何求解它[19]，[20，第5页]：“我花了很多很多天试图找到方程的解。我有博士学位。

在应用数学中，但从未在微分方程上花费太多时间，所以我不知道用于解决此类问题的标准方法。我有安娜。B.在物理学方面，但我不认为这个方程是“热方程”的一个版本，它有众所周知的解（与爱因斯坦已知的解类似）。1973年之前[18]一切都完成了（或开始了）。使用a）股票价格随连续时间的随机游走和任意有限时间间隔的对数正态分布[18，第640页，假设b）]，b）随机演算[18，第642页，等式4]，c）无套利假设，d）无风险套期保值头寸回报的确定性（罗伯特·默顿指出），以及其他对我们不太重要的假设，布莱克和梅隆·斯科尔斯得出偏微分方程，偏微分方程，问题[18，第643页，等式7，8]：w=rw- rxw-vxw，w（x，t）*) = 十、- c、 x≥ c或=0，x<c。省略的复杂变量替换[18，第643页，等式9]将其从诺贝尔符号转换为普通符号后转换为y=yorYt=Yu、 y（u，0）=0，u<0或c欧盟（v）/（r）-v）-1., U≥ 0，系数D=1。在此基础上，使用傅里叶/格林/爱因斯坦方法/解和返回原始变量的反向代换，导出了著名的期权价值公式，其幸运数为13[18，第644页，等式13]。更早的时候，Bachelier解决了一个非常非常类似的PDE问题[12]。引入概率的辐射（“rayonnement de la probabilit\'e”），逻辑是：“在时间元素中t、 每一个价格x都辐射出一个概率量，这个概率量和它们对邻近价格的概率差成正比“[33，第40页]，他得出了一个傅里叶方程cPT-Px=0，包含概率P和常数c。他认为价格增量正态分布，方差与时间成正比。

后一个属性，asit今天被认可，使他在数学处理aBrownian运动中处于优先地位。作者没有在这位单身汉的论文中找到“布朗主义”一词以及“投机”的定义。萨缪尔森提出的几何或经济布朗运动是由M.F.M.奥斯本[174]独立提出的。作者想提及安德烈·洛朗[120]、[119]、[175]和R.雷默里[182]的独立作品（作者无法找到雷默里的名字，也无法获得雷默里的论文，并引用了[120]），他有一个有趣的想法。劳伦特写道：“……在雷默里的书中，偏离模型的σY=σt被解释为经济不平衡的度量。”。Black和Scholes应用的随机演算是基于Kiyosi It^o[86，p.523-524]的结果：“设F（x）是x的函数，使得F（x）可能是连续的……作者证明了等式：RtF（g（τ，w））dτg（τ，w）=F（g（t，w））-F（g（0，w））-RtF（g（τ，w））dτ。在最后一项中，我们可能会看到一个特征性质，通过它我们可以区分“随机积分”和“普通积分”。“这里，g（t，w）是……”。。。任何布朗运动。。。无移动间断的（实）随机微分过程，使得E（g（s，w）-g（t，w））=0和E（g（s，w）- g（t，w））=s- t|“[86，第519页]。他们需要扩大选项值w（x+x、 t+（t）- w（x，t），以追踪对冲投资组合价值的变化，即一股多头和两股空头。只要存在^o的条件，这一点就可以应用。布朗运动在范围之内。一般来说，It^o积分Rhdx是在相当广泛的条件下定义的，其中被积函数H是可预见的，而积分器X必须是半鞅[186，p.2]。

Bachelier\'s、Black Scholes、Merton\'s（具有持续股息收益率）流程以及许多新的变化都在范围之内。这些步骤是常见的a）找到一个符合其要求的过程，b）将其随机演算应用于工具价值的变化，衍生工具，从基础过程中借贷风险，c）使用无套利假设构建套期保值投资组合，d）假设后者无风险，收益率无风险，e）得出PDE问题，如果时间和价格条件（初始、最终、边界）取决于要定价的金融工具，f）解决它，h）根据市场价值进行测试。22.4 Kreps，Harrison，Pliskacus目前，有一个众所周知的替代方案来替代a）-h）计划[77]，[78]。作者没有讨论这一点，而是分享了他的个人观点：这些结果是经济科学的基础，这两篇文章的作者戴维·克雷普斯、迈克尔·哈里森和斯坦利·普利斯卡值得斯维尔日·里克斯班克经济科学奖颁奖委员会充分关注，以纪念阿尔弗雷德·诺贝尔。22.5通过衍生产品定价测试a-b-c过程在所有情况下都是从价格过程开始的。这就给出了衍生工具的价格。它们可以与市场溢价进行比较。目标是生产后者。在可接受的公差范围内，可以批准完全不同的基础工艺。当波动率和利率的时间确定性曲线取代Black-Scholes模型下随机微分方程中的常数参数时，后者更好地体现了隐含波动率与利率的相关性。

期权到期时间-波动性期限结构。然而，由于对数正态价格，它仍然大大低估了风险。换句话说，与高斯假设相比，保护性止损令有更多的机会被“触碰”或“漏掉”，造成令人震惊的滑动。这意味着，标的资产的交易者不应该在复杂地将过程转换为期权价格并将后者与市场价值匹配之后，而应该直接从过程中获得与影响交易结果的资产匹配的价格模型的优点。必须彻底研究a-b-c过程。本文所描述的最大交易策略框架和最优交易要素是研究它的一种新方法。23对依赖关系的评论贸易商希望找到过去和未来价格或事件之间的依赖关系，从而确定它们。价格看起来是随机的。我们将在下一节讨论什么是“随机”。Fama[50]应用了序列相关模型、运行测试、runsby长度测试和Alexander技术[3]，滤波器的范围为0。5%至50%，以得出样本相关性系数较小的结论，运行次数及其长度与预期值没有显著差异，亚历山大的策略在核算成本和无法以过滤价格交易后，将利润转化为损失。这表明没有明显的依赖关系。在接下来的48年里，他的研究受到了越来越多的猜测的支持。一个有趣的问题是，这种增长是否独立于研究。确定随机变量之间的相关性不仅是经济学的一项基本任务。在技术分析中，搜索价格之间的依赖关系会得到隐含的形式。运行被定义为同一符号的价格变化序列。当跑步被打断时，商人不在乎。

重要的是，这些中断是“不明显的”，下一次运行将继续提高市场价值。当确定了头肩模式[166，第74-76页]时，atrader知道它并不总是伴随着相应的价格变动。这里有两个事件：1）模式和2）下一步价格走势的方向和大小。证明或反驳它们之间的依赖性是另一种形式的对过去和未来价格之间依赖性的归纳。模式和信号是价格和其他信息的函数。在[91]、[241]、[30]、[11]、[240]、[238]中可以找到许多创造性的交易系统。是否有可能建立模式之间的依赖性和价格之间的独立性，或者反之亦然？在我们的结论一致的情况下，这种依赖性措施是受欢迎的。23.1 R’enyi的例子两个随机变量ξ，η之间的线性相关性通过线性相关系数R（ξ，η）来测量。对于高斯变量，R（ξ，η）=0保证了它们的独立性。一般来说，这不是事实。设ξ是均匀分布的[-1, 1]. η=ξ完全由ξ决定，但R（ξ，η）=0。阿尔弗雷德·恩伊的例子是相同的ξ，η=5ξ- 3ξ[183，第443页]。这样的通用度量很有趣，它涵盖了线性和非线性依赖关系。23.2科尔莫戈罗夫的建议科尔莫戈罗夫[103，第256页]：让大量重复试验n事件a发生m次，事件B发生l次，此外，与事件a一起发生k次。在事件a发生的情况下，自然指事件B的条件频率。。。如果事件A和B之间没有关系，那么很自然地假设，事件B应该在A的条件下出现，与所有试验相比，出现的频率基本上没有增加，也没有减少，这大约意味着什么≈lnorkn=kmmn≈lnmn。

LeEvent A是A增量为0秒或1秒或1秒的排他勾号，eventB是绝对b增量为0秒或1秒或jδ的勾号，频率为νAi=min，νBj=ljn，νAiBj=kijn。继科尔莫戈罗夫之后，区别在于- 表21计算了ESM13的νAiνbj。这是一个经验联合分布频率和两个经验边缘分布频率的乘积的差异。对于独立事件，相关概率应为零。然而，频率只是对概率的估计。理论上，人们可以对平均频率重复这一考虑，并得到无休止的新估计。科尔莫戈罗夫评论[103，第262页]：。。。这并不能使我们在最后阶段摆脱一种必要性，即在原始和粗略的意义上转向概率。差异νAB- νAνb会累积较大的误差，这将导致较小的νAB产生较大的相对误差。表21中的值在1%到85%之间变化。我们永远不会得到精确的零。治疗分别在3月4日和5月22日进行，增量最少，数量最多，并且是所有疗程的组合样本。在这种情况下，1-20%的误差是否意味着独立性？数量νAB- 在Hoe ffding[79]和Blum KieferRosenblat[21]，[32]独立性测试的核心中，有一个v A v Bis，但它们的统计数据是连续分布的。市场需要测试离散变量之间的依赖性。对于经验离散分布和离散后的连续分布，Kolmogorov量易于计算。它与R\'enyi\'spostulates有何关系[183，p。

443]?23.3 R’enyi依赖公理R’enyi关于ξ和η之间依赖关系的适当度量δ（ξ，η）的性质列表是：A）δ（ξ，η）是为任意一对随机变量ξ和η定义的，它们都不是概率为1的常数；B） δ（ξ，η）=δ（η，ξ）；C） 0≤ δ(ξ, η) ≤ 1.D） δ（ξ，η）=0当且仅当ξ和η是独立的；E） δ（ξ，η）=1，如果ξ和η之间存在严格的依赖关系，即ξ=g（η）或η=f（ξ），其中g（x）和f（x）是Borel可测函数（见[110，p.38]）；F） 如果Borel可测函数F（x）和g（x）以一对一的方式将实轴映射到自身，δ（F（ξ），g（η））=δ（ξ，η）；G） 如果ξ和η的联合分布为正态，则δ（ξ，η）=R（ξ，η）|。我们看到了νAB- νAνB表示A、B和D。Rèenyi确定Gebelein的最大相关性（ξ，η）=supf，g（R（f（ξ），g（η）），其中f（x）和g（x）的上确界满足七个假设。他引入了可得函数的概念，使得S（ξ，η）=R（f（ξ），g（η））成立，并证明了两个定理来帮助找到它们。伦伊注意到条件期望和算子理论之间的相似性，将任务简化为寻找完全连续变换的特征值和函数af=M（M（f（ξ）|η）|ξ），其中M是数学期望，垂直线表示条件期望。具体地说，fis是属于A的最大特征值S=S（ξ，η）和g（η）=M（f（ξ）|η）S的特征函数。他建立了变换A完全连续且获得最大相关性的条件。他解决问题的方法类似于这样一种方式，即两个概念之间的“映射”，乍一看是脱节的，数学或数学与物理的分支，如果在另一个分支中已知或容易，就会迅速给出一个分支的解[62]。

类似的原则在卡拉·穆尔扎的著作中进行了讨论。R’enye证实Linfoot的信息相关系数l（ξ，η）=√1.- E-2I（ξ，η），其中I（ξ，η）是ξ和η之间的互信息，也具有七个性质。这一标准源于克劳德·香农[200]和金钦[97]创立的基金会，金钦[97]用自己的话[97，第3页]阐述了“更完整，数学上更正确”。为了阐明信息相关性和相互信息的最新发展，作者引用了[138]中包含更多参考文献的文章。23.4应用于a和b增量的三个测试[73]中比较了基于空间划分和内核方法的非参数测试。对于具有维数d和i.i.d对（X，Y）的实值随机向量X和Y的样本，（Xn，Yn），即x和Y是独立的零假设，H:νAB=νAνB，在对分布进行最小假设的情况下进行测试。就a-和b-增量而言，这两个分区是An={An，1，…，An，mAn}，Bn={Bn，1，…，Bn，mBn}。这里，n是样本中a增量对和b增量对的数量，m是a增量和b增量的事件数，d=d=1。事件是a的大小，b的增量是秒和δ。只有在样本形式事件中找到的实际大小。例如，100秒后可以加上102秒，值101不代表。缺席101不会增加人的数量。b-事件也得到了类似的处理。感兴趣的Ln、In和χn统计量是Ln（νAB，νAνB）=XA∈安克斯∈Bn |νAB- νAνB |，In（νAB，νAνB）=2XA∈安克斯∈BnνABlogνABνAνB，χn（νAB，νAνB）=XA∈安克斯∈Bn（νAB）- νAνB）νAνB.亚瑟·格雷顿（Arthur Gretton）和L\'aszl\'o Gy–或者几乎肯定地证明Ln（νAB，νAνB）>√2 ln 2qmAnmBnn=如果林→∞mAnmBnn=0，limn→∞mAnln（n）=limn→∞mBnln（n）=∞, 拒绝独立的假设。

他们还建议拒绝独立性，如果In（νAB，νAνB）>mAnmBn（2ln（n+mAnmBn）+1）n=在里面最后，它们驱动ξχn=nχn（νAB，νAνB）-曼恩√2mAnmBn→ 高斯分布（α=0，u=1）表示分布收敛。