请注意 O（F） O（F）（见[Jac85]）。根据[Jac85，引理1.8]，假设1.9意味着存在一个O（F）-可测非负函数p:（x，ω，t）7→ ■pxt（ω）使（i）-（ii）保持。因为，每x∈ E、 Px过程是可选的，是F适应的，在[SY78]的命题3之后，R标记1给出了BE的存在 O（F）-p的可测量版本p。引理1.10的以下结果将在几个地方使用：对于任何t∈ R+和（BE） Ft）-可测量的功能E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ fxt（ω）∈ R+，它认为（3.1）EfJt= EZEfxtpxtγ[dx]=ZEE[fxtpxt]γ[dx].3.1。关于停止时间（ηx）x的结果∈E.下一个结果可以被视为对引理2.5的抗衡，在最初扩大过滤的情况下。请注意，P（F）表示非可预测的σ场Ohm 在接下来的所有这些中都是x R+。引理3.1。修正x∈ E、 设dx为I[[ηx]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P），ηxde定义在（1.5）中。然后：（1）Dx<1，P-a.s。；特别是，E(-Dx）是非递增且严格正的；（2） 非负过程(-Dx）-1I[[0，ηx[[是上的局部鞅](Ohm, F、 P）。此外，假设空间L(Ohm, F、 P）是可分离的。然后，函数E×Ohm ×R+（x，ω，t）7→ E(-Dx）t（ω）可以选择为 P（F）-可测量。备注3.2。注意L的可分性(Ohm, F、 P）仅用于确保收集（E(-Dx）x∈引理3.1中介绍了一个具有良好可测量性的版本。证据修正x∈ E

对于任何F-pr可预测的时间σ，它认为Dxσ=P[ηx=σ| Fσ-] 关于{σ<∞}.在引理2.5的证明中，如果事件{P[ηx=σ<∞|Fσ-] = 1} 有正概率，人们可以在(Ohm, F） 求P[ηx=＠σ<∞] > 0和{ηx=＠σ<∞} ∈ F~σ-.然后，利用pxon的鞅性质(Ohm, F、 P）和ηx的定义，0=e[pxσ| Fσ-] = Epxηx | F∑-= -Epxηx-|F~σ-, 关于{ηx=＠σ<∞}.反过来，由于pxηx-> 0在{ηx<∞}, 这意味着P[ηx=＠σ<∞] = 0，从而导致矛盾，并表明P[ηx=σ<∞|Fσ-] < 1在P-a.s.意义上适用于任何可预测的时间(Ohm, F） 。第（1）部分随后是可预测截面定理，而第（2）部分可以通过依赖于引理2.5证明中使用的相同参数来证明。最后，自从我(Ohm, F、 假设P）是可分的，[SY78，命题4]给出了BE的存在性 F B（R+）-可测函数（x，ω，t）7→ Dxt（ω）对于所有x∈ E、 dx是I[[ηx]的可预测补偿器，∞[on](Ohm, F、 P）。由于[SY78，备注1，在P-Proposition 3]之后，半鞅模型21中的第一类套利和过滤放大也可以选择函数D P（F）-可测性，且函数（x，ω，t）7具有相同的可测性→ E(-Dx）t（ω）（另见[SY78，§12]）。为了确定我们的主要结果，我们需要确保集合（ηx）x∈Eof停止时间(Ohm, F） 在a的测度下保持不变∈ 引理3.3。设Q是一个概率测度(Ohm, F） 和Q~ P代表x∈ E、 让ηQ，xbe表示停止时间(Ohm, F） 在Q下定义，与ηP类似，x:=ηxd在P下定义（1.5）。然后ηQ，x=ηxholds几乎肯定（在P和Q下）为γ-a.e.x∈ E.证据。可以很容易地检查到，假设1.9在p概率的等效变化下是不变的。

因此，存在一个非负BEO（F）-可测函数E×Ohm×R+ （x，ω，t）7→ qxt（ω）在Q下满足Lemm a 1.10的性质。此外，由于[Jac85，推论1.11]（现在应用于概率Q），它认为QqJt=0= 0和PqJt=0= 0，因为~ P、 尽管如此，t∈ R+。因此，通过将公式（3.1）应用于BE Ft可测量函数fxt=I{qxt=0}，用于t∈ ，we=0+qJt=0=ZEEhI{qxt=0}pxtiγ[dx]，对于所有t∈ R+，所以{qxt=0} γ-a.e.x的{pxt=0}P-a.s∈ E.以类似的方式，由于p和Q的对称作用，可以证明{pxt=0} {qxt=0}对γ-a.e.x持有Q-a.s∈ 尽管如此∈ R+。根据右连续性，{qx=0}={px=0}对γ-a.e.x保持（直到消失）∈ E.因此，通过定义ηQ，x=ηx几乎可以确定（在P和Q下）f或γ-a.E.x∈ E3.2. 初始放大过滤中的超/局部鞅。在最初扩大过滤的情况下，下一个结果与命题2.7相对应。还记得P吗ζJ=∞= 1，如（1.4）后所述，使可选流程1/pJon(Ohm, G、 P）定义明确。提议3.4。让X:E×Ohm ×R+7→ R+be O（F）-可测量，并且每x∈ E.那么以下陈述成立。（1） 如果XXI是一部超级电影(Ohm, F、 P）对于γ-a.e.x∈ E、 那么，XJ/PJI是一个超级艺术家(Ohm, G、 P）。（2） 如果xxi是一个局部鞅(Ohm, F、 P）和[[ηx，∞[[  {Xx=0}（模消失）对γ-a.e.x保持不变∈ E、 然后，XJ/pJis是一个局部鞅(Ohm, G、 P）。证据我们首先证明第（1）部分。对于任何人来说≤ t、 A∈ FSH和：（E，BE）→ （R+，BR+，使用PζJ=∞= 1加上公式（3.1）（含ft（x）=IA∩{ζx>t}g（x）Xxt/pxt）和Xxon的22 BEATRICE ACCIAIO、C LAUDIO FONTANA和CONSTANTINOS KARDARASsuper鞅性质(Ohm, F、 P），对于γ-a.e。

十、∈ E、 我们在这里IAg（J）XJtpJt= EIA∩{ζJ>t}g（J）XJtpJt=ZEg（x）EIA∩{ζx>t}Xxtγ[dx]≤ZEg（x）EIA∩{ζx>s}Xxtγ[dx]≤ZEg（x）EIA∩{ζx>s}Xxsγ[dx]=EIAg（J）XJspJs.通过单调类定理，证明了XJ/pji是上鞅(Ohm, G、 P）。拜莱特连续性，这意味着(Ohm, G、 P），因此P粗纱部分（1）。为了证明第（2）部分，首先要注意，因为XXI是一个非负的局部鞅(Ohm, F、 P），hencea su permartingale(Ohm, F、 P），序列（σxn）n∈由σxn定义：=inf{t∈ R+|Xxt>n}forn∈ N正在为Xxon进行本地化(Ohm, F、 P），对于γ-a.e.x∈ 此外，由于X是BE O（F）可测量，函数E×Ohm  （x，ω）7→ σxn（ω）∧ 是的 Ft可测量所有t∈ R+andn∈ N、 作为可测映射的组合，函数E×Ohm  （x，ω）7→ Xxσxn（ω）∧t（ω）也是BE 无论如何，这是可以测量的∈ R+和n∈ N（也可与[SY78]进行比较，注释1在附录2之后）。既然p是BE O（F）-可测量（见引理1.10），同样的推理允许显示函数E×Ohm  （x，ω）7→ Xxσxn（ω）∧ζxn（ω）∧t（ω）/pxσxn（ω）∧ζxn（ω）∧t（ω）是BEFt可测量所有t∈ R+和n∈ N、 其中停止时间ζxnon(Ohm, F） 定义见（1.4）。那么无论如何≥ 0，公式（3.1）给出“XJσJn∧ζJn∧tpJσJn∧ζJn∧t#=ZEE“Xxσxn∧ζxn∧tpxσxn∧ζxn∧tInpxσxn∧ζxn∧t> 0opxt#γ[dx]=ZEEXxσxn∧ζxn∧tInpxσxn∧ζxn∧t> 0oγ[dx]=ZEEhXxσxn∧ζxn∧tiγ[dx]=ZEE[Xx]γ[dx]=EXJpJ,其中第二个等式来自pxon的鞅性质(Ohm, F、 P）对于所有x∈ E、 第三个等式来自{pxσxn∧ζxn∧t=0}={ηx=σxn∧ ζxn∧ t} 再加上[ηx，∞[[  γ-a.e.x的{Xx=0}∈ E、 Xxσxn鞅性质的第四个等式∧·在(Ohm, F、 P），对于γ-a.e.x∈ E和n∈ N、 与前面所有步骤相反的最后一个等式。

反过来，由于第（1）部分的过程（XJ/pJ）σJn∧ζjn是一个超鞅(Ohm, G、 P）所有n∈ N、 这意味着（XJ/pJ）σJn∧ζjn是上的鞅(Ohm , G、 P）全部∈ N.自P[limn]→∞σxn=∞] = 1代表每x∈ E、 和PζJ=∞= 1、半鞅模型中的第一类序列套利和过滤放大23σJn∧ ζJnN∈Nof上的停止时间(Ohm, G） s aties P画→∞σJn∧ ζJn= ∞= 1，从而为XJ/pJis提供了(Ohm, G、 P）。[IP13]最近建立了一个类似于命题3.4第（1）部分的结果（见他们的命题5.2）。更具体地说，根据他们的术语，过程1/PJI是G的一个普遍超鞅密度。备注3.5。命题3.4可以用来证明任意半鞅X(Ohm, F、 P）仍然是上的半鞅(Ohm, G、 P）。与推论2.9中的情况一样，只要X是一个非负且有界的局部鞅，因此是一个上鞅，就必须给出结果(Ohm, F、 P）。根据命题3.4的第（1）部分，过程X/pJis是一个半鞅(Ohm, G、 P）；因为1/pJis也是一个三次正半鞅(Ohm, G、 P），结果如下。我们得出的结果是提案3.4的一个分支（这个附带结果将不会在其他地方使用）。根据命题2.8的相同精神，我们可以刻画XJ/pJon的局部鞅性质(Ohm, G、 P）对于每一个BE O（F）-可测的非负函数X，如XXI是上的局部鞅(Ohm, F、 P）对于γ-a.e.x∈ E.提案3.6。以下语句是等效的：（1）对于任何X:E×Ohm ×R+7→ R+就是这样 O（F）-可测量的，并且每x的Xxis c`adl`agx∈ E、 这是一个局部鞅(Ohm, F、 P）和[[ηx，∞[[  {Xx=0}（模变）保持γ-a.e。

十、∈ E、 XJ/pJis过程是一个局部鞅(Ohm, G、 P）。（2） 过程1/pJis是一个局部鞅(Ohm, G、 P）。（3） P[ηx<∞] = γ-a.e.x为0∈ E.证据。含义（1）=> （2） 是微不足道的，而（3）=> （1） 根据提案3.4的第（2）部分。为了证明（2）=> （3） ，请注意ζJnN∈Nof上的停止时间(Ohm, G） 为1/pJ（见（1.4））定位，因此E[1/pJζJn∧T] =E[1/pJ]，对于任何T∈ R+。因此，由于公式（3.1）首先适用于BE F-可测函数E×Ohm  （x，ω）7→ I{px（ω）>0}1/px（ω）然后是 Ft可测函数E×Ohm  （x，ω）7→ I{pxζxn∧T> 0}1/pxζxn∧T,ZEEhI{px>0}iγ（dx）=EpJ= E“pJζJn∧T#=ZEE“pxζxn∧TI{pxζxn∧T> 0}pxT#γ[dx]=ZEEhI{pxζxn∧T> 0}iγ[dx]，在上一个等式中，我们使用了pxon的鞅性质(Ohm, F、 P）每x∈ E.这意味着{px>0}∩ {pxζxn∧T=0}= γ-a.e.x的保持（模消失）∈ E、 无论如何∈ R+。等价地，它认为P[ηx=∞] = γ-a.e.x为1∈ E24比阿特丽斯·阿克西奥、C·劳迪奥·丰塔纳和康斯坦丁诺斯·卡达拉斯3。3.最初扩大的过滤条件。在命题2.10的精神实质中，我们可以为最初扩大的过滤中NAI的有效性建立一个充分的条件。下一个命题的证明是命题3.4的直接应用。方向Y（G，S，P）是清楚的。提案3.7。假设存在一个O（F）-可测函数M:E×Ohm×R+7→ R+使得Mx=1，Mx是c`adl`ag，对于每x∈ E、 mx和mx是上的局部鞅(Ohm, F、 P）和{Mx>0} [[0，ηx[[保持γ-a.e.x∈ E.那么，MJ/pJ∈ Y（G，S，P）。我们现在可以在初始过滤的框架下证明我们的第一个主要定理。定理1.11的证明。在逐步扩大过滤的情况下，我们遵循定理1.4的证明。

根据定理1.2和引理3.3，我们可以在不丧失普遍性的情况下假设严格正ebx的存在∈ X（F，S）使得Y:=1/bX∈ Y（F，S，P）。SinceP[ηx<∞, Sηx6=0]=0对γ-a.e.x保持不变∈ E、 我们得到P[ηx<∞, Yηx6=0]=0和p[ηx<∞, （Y-S）ηx6=0]=0表示γ-a.e.x∈ E.在引理3.1的符号中，定义函数E×Ohm×R+ （x，ω，t）7→ Mxt（ω）：=Yt（ω）E(-Dx）-1t（ω）I{ηx（ω）>t}。为了所有的x∈ E、 过程Mxisc`adl`ag和满足Mx=1和{Mx>0}=[[0，ηx[[]通过引理3.1的第（2）部分，并在定理1.4的基础上继续，可以证明Mx和Mx是局部马丁盖尔(Ohm, F、 P）对于γ-a.e.x∈ 此外，由于L的可分性(Ohm, F、 引理3.1表明(-D） 承认一个可能 P（F）-可测量版本。自P（F） O（F），则结论来自命题3.7。最后，我们给出了上一个主要结果的证明。定理1.12的证明。语句（1）直接来自定理1.11，由注释3.2和sinceP[ηx<∞] = 0表示DX与1无法区分。我们继续进行陈述证明（2）。由于引理3.1，函数E×Ohm ×R+ （x，ω，t）7→ Sxt（ω）：=E（Dx）-1t（ω）I{ηx（ω）>t}是BE P（F）-可测量的，因此也是可测量的 O（F）-可测量。此外，对于所有x∈ E、 sx是一个局部鞅(Ohm, F、 P）。还记得P吗ηJ=ζJ=∞= 1（见§1.4），因此过程不会减少。此外，利用序列公式（3.1）、分部积分和可预测补偿器的性质，我们得到，对于任何T∈ (0, ∞),EDJT=ZEE[DxTqxT]γ[dx]=ZEE“Z（0，T]qxt-dDxt#γ[dx]=ZEEqxηx-I{ηx≤T}γ[dx]。因此，ifREP[ηx<∞] γ[dx]>0，则PDJT>0> 0代表一些T∈ (0, ∞), 这意味着PSJt=SJ，T∈ R+< 1.

请注意，鉴于命题3.6，大过滤G中的不稳定性（在定理1.12的意义上）也相当于1/pJon的局部m artin gale性质(Ohm, G、 P）。半鞅模型中的第一类套利和过滤放大。我们想指出，与备注2.11类似，命题3.6允许直接证明定理1.12的陈述（1）。实际上，根据[TS14，定理2.6]，NA（F，S）等价于过程Y的存在∈ Y（F，S，P）。根据命题3.6，如果P[ηx<∞] = 0对γ-a.e.x的保留∈ E、 那么Y/pJand（Y/pJ）S是上的局部鞅(Ohm, G、 P），意思是thay/pJ∈ Y（G，S，P）。[TS 14，定理2.6]则暗示NA（G，S）成立。然而，对于逐步扩大的情况，这一论点未能直接证明定理1.11（与备注2.11相比）。参考文献[ACDJ14]Anna Aksamit、Tahir Choulli、Jun Deng和Monique Jeanblanc。半鞅模型的随机区间无套利。电子预印本可在http://arxiv.org/abs/1310.1142v2, 2014.[AIS98]J¨urgen Amendinger、Peter Imkeller和Martin Schweizer。内幕消息的附加对数效用。斯托克。过程。应用程序，75(2):263–286, 1998.[Ame00]J¨urgen Amendinger。初始放大过滤的鞅表示定理。斯托克。过程。应用程序。，89(1):101–116, 2000.[Bau03]Fabrice Baudoin。对金融市场中的预期进行建模。《彼得·班克等人，2002年巴黎普林斯顿大学数学金融学》编辑，第43-94页。柏林海德堡斯普林格，2003年。[CJN12]Delia Coculescu、Monique Jeanblanc和Ashkan Nikeghbali。违约时间、无套利条件和概率测度的变化。金融斯托赫。，16(3):513–535, 2012.[DS94]弗雷德·y·德尔班和沃尔特·沙切迈耶。资产定价基本定理的一般版本。数学

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