投资组合约束下的模型独立超边际

2022-5-5 18:29:26

在离散时间市场中，我们研究了模型独立超边际，而半静态超边际投资组合由三部分组成：流动交易的普通看涨期权的静态头寸，其他可交易但可能流动性较低的奇异期权的静态头寸，以及在一定约束条件下的风险资产动态交易策略。通过考虑每一个可交易的奇异期权的极限指令簿，并利用Monge-Kantorovich最优运输理论，我们建立了一个一般的超边缘对偶，它允许与凸风险测度有自然联系。借助这种对偶性，我们导出了资产定价基本定理的一个独立于模型的版本。还引入了比无套利更弱的“有限最优套利利润”概念。值得注意的是，我们的方法涵盖了一大类Deltaconstraint和Gamma约束。关键词模型独立定价·稳健超边际·限制指令簿·资产定价基本定理·投资组合约束·Monge Kantorovichophimal运输数学学科分类（2010）91G20·91G80JEL分类C61·G13A。佛罗里达州立大学法希姆数学系邮件：fahim@math.fsu.eduY.-都柏林城市大学数学科学学院。huang@dcu.ieWe感谢皮埃尔·亨利·拉伯德·厄尔、康斯坦丁诺斯·卡达拉斯和扬·奥博伊提出的深思熟虑的建议。我们也要感谢匿名推荐人的详细评论，这有助于提高这项工作的质量。A.法希姆得到佛罗里达州立大学CRC FYAP（315-81000-2424）和NSF（DMS-1209519）的部分支持。Y-J。

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2022-5-5 18:29:29

Huang部分得到了SFI（07/MI/008和08/SRC/FMC1389）和ERC（278295）的支持。2 Arash Fahim，Yu-Jui Huang简介为避免模型规格错误，可以选择只考虑市场的“必须真实”影响。Dupire[16]提出的标准方法利用了流动交易的普通看涨期权的市场价格：一种方法无法指定适当的实物度量，但将所有与普通看涨期权的市场价格一致的度量视为合理的定价度量。这些度量随后为非流动性奇异期权的价格提供了独立于模型的界限，并激发了实际有用的半静态对冲，包括静态持有和动态风险资产交易。由霍布森[25]首创的这一研究思路引起了广泛关注；参见[8]、[6]、[27]、[26]、[30]、[11]、[12]、[5]和[14]。特别是，Beiglb¨ock、Henry Labord`ere&Penkner在[5]中建立了模型独立超边的一般对偶性，在离散时间设置下，到期日在T>0或之前的香草调用的市场价格都被考虑在内。事实上，我们可以依靠的不仅仅是普通的电话。例如，在大宗商品市场上，亚洲期权和日历价差期权大部分是交易的，它们的市场或经纪人报价很容易获得。在纽约证券交易所和芝加哥期权交易所，已经引入了标准化的数字期权和障碍期权，主要用于股票指数和交易所交易基金。

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2022-5-5 18:29:32

因此，我们可以利用的不仅包括普通看涨期权的市场价格，还包括某些可交易的奇异期权的市场价格。在本文中，我们采用了[5]中的模型独立框架，并打算在考虑除普通看涨期权之外的其他可交易期权以及风险资产中交易策略的投资组合约束的情况下，建立一个一般的超边缘对偶。更具体地说，我们的半静态超边缘产品组合由三部分组成：1。流动交易普通看涨期权的静态头寸，如稳健对冲的文献；2.额外可交易但流动性可能较低的外部期权的静态头寸；3.风险资产在一定约束条件下的动态交易策略。虽然可以交易，但就流动性而言，额外的奇异期权可能与vanillacalls有很大不同。与标的资产和相关的普通看涨期权相比，它们的限价指令簿通常很浅，且存在较大的买卖价差。因此，为了使交易成为可能，我们需要考虑每个附加期权的整个限额指令簿，而不是一个单一的市场报价。我们在第2.1节中制定了限价订单簿，并考虑了相应的非恒定单价函数。另一方面，在模型特定情况下，对风险资产交易策略的投资组合约束进行了广泛研究；参见[13]和[28]了解确定性凸约束，以及[19]、[9]、[32]和[33]了解随机约束和其他更一般的约束。我们的目标是将投资组合约束置于当前独立于模型的背景下，并研究其对半静态超边缘化的影响。我们特别考虑一类具有自适应凸性和连续逼近性质的一般约束（定义2.7）。

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2022-5-5 18:29:35

这已经涵盖了大量的增量约束，包括自适应凸约束；见备注2.9。对于不存在额外可交易期权的简单情况，我们利用最优运输理论推导出命题3.10中的超边对偶。在投资组合约束下的模型独立超边这尤其将[5]中的对偶推广到了具有投资组合约束的多维情况；见备注3.12和3.13。然后，利用非常数单价函数的凸性，我们可以将上述对偶性推广到存在额外可交易期权的一般情况；见定理3.14。请注意，Acciaio、Beiglb–ock、Penkner&Schachermayer[1]也适用于存在可交易的奇异期权时的模型独立超边际，同时假设每个期权都可以流动交易。因此，定理3.14可以被视为[1]的一般化，涉及不同的流动性水平；见备注3.16。第二部分研究了超边缘对偶性与资产定价基本定理（FTAP）之间的关系。众所周知，在经典模型的特殊情况下，FTAP产生了超边缘对偶性。[1]将这种关系推广到了模型独立案例中，在该案例中引入了模型独立套利的适当概念。本着与[1]中相同的精神，我们在定义4.1中定义了独立套利模型，在当前设置下，附加可交易期权和投资组合约束。借助于定理3.14中的超边缘对偶，我们能够导出一个独立于模型的FTAP；见定理4.8。虽然定理本身没有区分风险资产套利和额外可交易期权套利，但引理4.4和4.6可以用来区分两者。

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2022-5-5 18:29:38

同样值得注意的是，我们推导FTAP是由于超边缘对偶性。这一论点在[15]中得到了证实，与标准论点相反，标准论点是由于FTAP而产生的超边缘二元性，该论点在模型具体案例和[1]中均使用。有了FTAP（定理4.8），我们从定理3.14和命题3.17中观察到，即使在一定程度上存在模型独立套利，也可以很好地解决超边际和风险度量问题。我们根据[10]的公式将其与最优套利联系起来，并表明，只要“最优套利利润是有限的”，就可以很好地定义超边际和风险度量，这是一个弱于无套利的概念；见提案4.15。我们还将定理4.8与[21，定理9.9]进行了比较，后者是投资组合约束下的经典模型专用FTAP，并观察到在当前设置下不再需要[21]中的封闭条件。第4.1节给出的一个例子表明，香草调用的可用性可以避免封闭条件的需要。最后，我们将范围扩展到Gamma约束。虽然Gamma约束在定义2.7（ii）中不满足自适应凸性，但它允许额外的有界性。利用这一点，我们可以修改之前的结果，得到命题6.3和6.6中相应的超边对偶和FTAP。本文的组织结构如下。在第2节中，我们规定了我们研究的设置。在第3节中，我们建立了超边缘对偶，并研究了它与文献中其他对偶和凸风险度量的关系。在第4节中，我们用额外的可交易期权对投资组合约束下的独立套利进行建模，并推导出相关的FTAP。还引入了比无套利弱的“有限最优套利”概念。

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2022-5-5 18:29:41

第5节给出了投资组合约束和额外可交易期权影响的具体例子。第6节讨论的约束不具有自适应凸性，但具有一定的有界性。附录A包含一个反例，该反例强调了定义2.7.4 Arash Fahim，Yu Jui Huang 2中要求的连续近似性质的必要性。我们考虑的是离散时间市场，具有有限的视野∈ N.有d个风险资产S={St}Tt=0={（St，…，Sdt）}Tt=0，其初始价格S=x∈ 给出了Rd+。还有一个无风险资产B={Bt}Tt=0，标准化为Bt≡ 1.具体地说，我们将S作为路径空间上的标准过程St（x，x，…，xT）=xOhm:= （Rd+）T，用F={Ft}Tt=0表示S.2.1普通看涨期权和其他可交易期权在时间0时产生的自然过滤，我们假设有回报的普通看涨期权（Snt-K） +可以以市场给定的价格Cn（t，K）进行流动交易，所有n=1，d、 t=1，。。。，T和K≥ 0.因此，与vanillacalls市场价格一致的定价措施集合为∏：=Q∈ P(Ohm) : 等式[（Snt）-K） +]=Cn（t，K），n=1，d、 t=1，T、和K≥ 0,（2.1）其中P(Ohm) 表示定义的所有概率度量的集合Ohm.鉴于[24，命题2.1]，对于每个n=1，。。。，d和t=1，。。。，T，只要k7→ Cn（t，K）是非负的、凸的和满足极限的↓0KCn（t，K）≥ -1.安德林克→∞Cn（t，K）=0，关系式EQ[（Snt- K） +]=Cn（t，K）K≥ 0已经规定了Snton R+的分布，将用unt表示。因此，通过将qntas设为Sntunder Q定律，我们得到∏={Q∈ P(Ohm) : Qnt=unt， n=1，。。。，d和t=1，T}。（2.2）注释2.1给出Q∈π，注意等式[Snt]<∞ 对于所有n=1，d和t=1，T（取（2.1）中的K=0即可看出）。注2.2从（2.2）来看，∏是非空的、凸的、弱紧的。

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2022-5-5 18:29:45

这是[29，命题1.2]的直接结果，一旦我们Ohm= （Rd+）是R+的（d×T）份数。备注2.3我们不认为t 7→ Cn（t，K）随着固定n和K的增加而增加。这个条件通常是文献中所要求的（参见[5，第481页]），它意味着鞅度量集m:={Q∈π：S={St}Tt=0是Q}（2.3）下的鞅是非空的，这是[5]中超边对偶的基础。相比之下，下面命题3.10中的超边缘二元性取决于包含QSM的不同集合（见定义3.4）。因为有可能我们的二元性在M=/0时成立，施加“t7”→ Cn（t，K）在增加，这是不必要的。除了普通看涨期权外，还有其他期权在0点时可以交易，但流动性较低。让我成为一个（可能是不可数的）索引集。每一次我∈ 一、假设ψI：Ohm7.→ Ris时间为0时可交易期权的支付函数。让η∈ R是在时间0时交易的ψi的单位数，η≥ 0表示采购订单，η<0表示组合约束下的模型独立超边缘5销售订单。设ci（η）∈\'-R:=R∪ {-∞,+∞} 表示交易η单位ψi的总成本。在本文中，我们施加以下条件：对于所有i∈ 一、地图η7→ ci（η）是凸的，ci（0）=0。（C）然后，我们可以定义交易η单位ψibypi（η）：=ci（η）η的单价pi（η）∈ R\\{0}，和pi（0）：=c′i（0+）。备注2.4条件（C）的动机是非负期权的限制订单的典型结构，如图2.1所示。也就是说，期权ψ只能以0的价格购买≤ A.≤ A.≤ · · · ≤ A.l单位数q，q，。。。，Ql> 分别为0，仅以b价出售≥ B≥ ··· ≥ bk≥ 0，单位数sr，r，。。。，rk分别大于0，其中b≤ 是否反映了买卖价差l 从kbelong到N∪ {+∞}. 可能l,k=∞ 允许在订单簿中输入许多买入/卖出价格。rk。bk。。

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2022-5-5 18:29:48

.RBQAQAQ。A.QlA.l出价要求价格。2.1ψiWe的限额订单簿记录Qm：=∑mj=1qj，在价格am以下可购买的单元总数，对于m=1，。。。，l. 同样，Rm：=∑mj=1rjis是指所有m=1，。。。，k、 ψiis的交易η单位的总成本ci（η）由ci（η）给出=∑U-1m=1amqm+au（η）- 曲-1) ≥ 0如果η∈ (曲)-1，Qu]，u=1，l + 1.0如果η=0，-∑U-1m=1bmrm+bu（η+Ru）-1) ≤ 0如果η∈ [-茹，-汝-1），u=0，。。。，k+1。我们把Q=R=0，Ql+1=Rk+1=∞, A.l+1= ∞, bk+1=0，并使用0·∞ = 0和∑m=1=0。如图2.2所示，η7→ ci（η）满足（C）。特别地，当且仅当b=A和q=R=∞; 这意味着ψi可以以a=b的价格进行流动交易，这是ci的斜率。备注2.5条件（C）捕捉到ψi价格的两个重要特征：（1）买卖价差，表示为[C′i（0）-),c′i（0+）；（2）非线性，即单价η7→ π（η）是非常数。该设置特别允许在c′i（0-) = c′i（0+），同时，限价订单可能会导致非线性定价。这种情况发生在流动性很高的资产上，其买卖价差为6阿拉什·法希姆，黄玉瑞∞斜率=a1a2b1b2slope=0Ql-Rk≈ηci（η）图2.2η7图→ ci（η）：a，a。b，b。放置在每个段上表示每个段的斜率，并与卷q、q、。而r，r，分别地可以忽略不计，但对于大交易量而言，交易成本变得非常重要。此外，ci是线性的当且仅当ψican可以以一个单一价格pi（即ci的斜率）以任何单位进行流动交易。请注意，[3]最近考虑了模型不确定性下对冲期权的买卖价差，但不是非线性定价。

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2022-5-5 18:29:53

在独立于模型的情况下，虽然[15]中使用了对冲期权的非线性定价算子，但非线性并不反映其限额订单中期权的非恒定单价（见[15，（2.3]）；相反，它捕捉到一个市场，其中期权组合的价格可能低于期权各自价格的总和（见[15，引理2.4]证明中的第二行）。2.2约束交易策略定义2.6（交易策略）= {t} t-1t=0是一种交易策略，如果∈ RDI是一个常数，并且t:（Rd+）t7→ Rdis Borel可测量所有t=1，。。。，T- 1.此外，还讨论了关于x=（x，…，xT）∈ （Rd+）斜纹布表示为(o x） t:=t-1.∑i=0xi（x），xi+1- xi），对于t=1，。。。，T、在上面的右手边，我=(我di），xi=（xi，…，xdi）和“·”表示Rd中的内积。我们将用H表示所有交易策略的集合。此外，对于任何系列J H，我们介绍子集合J∞:= {∈ J:t:（Rd+）t7→ 有界的， t=1，。。。，T- 1} ，J∞c:={∈ J∞:t：（Rd+）t7→ 这是连续的， t=1，。。。，T- 1}.（2.4）在本文中，我们要求交易策略位于H的子集合S中，如下所述。投资组合约束下的模型独立超边际定义2.7（自适应凸投资组合约束）是一组交易策略，例如（i）0∈ s（ii）任何,′∈ S和采用ht的适应过程h∈ [0,1]对于所有t=0，T-1，{htt+（1）- （ht）′t} t-1t=0∈ s（iii）任何∈ s∞, Q∈当ε>0时，存在一个闭集Dε （Rd+）和ε∈ s∞csuch thatQ（Dε）>1-ε和t=εt Dεt=0，。。。，T- 1.定义2.7中的备注2.8，（i）和（ii）是基于[21，第9.1节]，而（iii）是一个技术假设，允许我们在引理3.3中进行连续近似。

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2022-5-5 18:29:56

这种近似尤其使我们能够在命题3.10中建立超边缘对偶性。事实上，如果我们只有条件（i）和（ii），命题3.10中的对偶性通常可能会失败，如附录A所示。下文解释的定义2.7（iii）涵盖了一大类凸约束。备注2.9（自适应凸约束）让{Kt}T-1t=0是一个经过调整的设定值过程，使得对于每个t，kTMap（x，…，xt）∈ 闭凸集kt（x，…，xt）其中包含0。以交易策略集合为例：{∈ H:每个t≥ 0,t（x，…，xt）∈ Kt（x，…，xt），（x，…，xt）∈ （Rd+t}，这基本上满足了2.7（i）和（ii）的定义。为了获得第2.7（iii）条的定义，我们对每个t≥ 1，集值映射Kt：（Rd+）t7→ 2R是半连续的，在这个意义上，对于Rd中的任何V开口，集合{x∈ （Rd+）t:Kt（x）∩v6=/0}在（Rd+）t.（2.5）中打开，这相当于以下条件： Y∈ Kt（x）和{xn} （Rd+）tsuch表示xn→ 十、伊恩∈ Kt（xn）使yn→ Y（2.6）参见例如[2，定义1.4.2]及其下面的备注，以及[22，第2.5节]。为了检查（iii），让我们∈ s∞, Q∈π，ε>0。对于每个t=1，T- 1，byLusin定理，存在一个闭集Dε，t （Rd+）查克t | Dε，t:Dε，t7→ k连续与Q（Dε，t×（Rd+）t-t） >1-εT-1.在（2.5）中，我们可以应用连续选择理论（参见[31，定理3.2′]）来找到一个有界连续函数εt：（Rd+）t7→ 以致εt=t Dε，t.现在，开始ε=, 定义ε：=TtDε，t×（Rd+）t-t、定义为在RT+中关闭。我们看到了ε∈ s∞c、 Q（Dε）>1-ε、及t=εt Dε对于所有t=0，。。。，T- 1.这已经验证了定义2.7（iii）。请注意，对于{Kt}Tt=1是确定性的特殊情况，Kt是每个t的固定子集，因此（2.6）是微不足道的满足。

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2022-5-5 18:30:00

有关确定性和适应性凸约束的具体说明，请参见下面的示例5.2和5.3。8 Arash Fahim，Yu Jui Huang 3带支付函数Φ：（Rd+）T7的路径依赖奇异期权的超边对偶→ R、我们打算构造一个半静态的超边缘投资组合，它由三部分组成：普通调用中的静态头寸，{ψi}i中的静态头寸∈一、以及动态的交易策略∈ s更准确地说，考虑C：=ν：R7→ R:~n（x）=a+n∑i=1bi（x）- 用一个∈ R、 n∈ N、毕∈ R、 Ki>0,RI:={η=（ηi）i∈我∈ R：ηi6=0，表示很多i}。我们打算找到你∈ C:n=1，。。。，Dt=1，。。。，T}，η∈ 莉，还有∈ 例如ψu，η，（x）：=T∑t=1d∑n=1unt（xnt）+∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））+(o x） T≥Φ（x）十、∈ （Rd+）T，（3.1），其中我们假设·∞ = 0.在C的定义中，我们特别要求Kito绝对为正。这是因为Ki=0对应于风险资产的交易，而风险资产已经被纳入∈ 不应将其视为静态位置的一部分。通过将U设置为所有U={unt∈ C:n=1，。。。，d、 t=1，T}，我们定义了Φ比亚迪的超边际价格（Φ）：=infnT∑t=1d∑n=1ZR+untdunt:u∈ U，η∈ 里昂德∈ 满足ψu，η，≥Φ, 十、∈ （Rd+）至。（3.2）通过引入U:={U∈ U:∑Tt=1∑dn=1RR+untdunt=0}，我们可以表示（3.2）asD（Φ）=infA.∈ R:u∈ U、 η∈ 里昂德∈ S满足a+ψu，η，≥Φ,十、∈ （Rd+T）本节的目标是推导与D（Φ）相关的超边对偶。3.1上变异过程为了处理投资组合约束S，我们为每个Q引入了一个辅助过程∈π，如[21，第9.2节]所述。定义3.1给定Q∈π，AQS的上限变化过程由AQ:=0和AQt+1定义- AQt:=esssupQ∈锡t·（等式[St+1 | Ft]- St）o，t=0，。。。

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2022-5-5 18:30:03

T- 1.投资组合约束下的模型独立超边际9首先，请注意，由于备注2.1，AQ定义中的条件预期得到了很好的定义。其次，由于定义2.7（i）-（ii）意味着1{||≤n}∈ 无论何时∈ S，我们可以用S代替S∞在上述定义中。接下来是AQT+1- AQt=esssupQ∈s∞情商[t·（St+1）- St）| Ft]，t=0，T- 1.（3.3）因此，AQt=t∑i=1esssupQ∈s∞情商[我-1·（Si）- 硅-1） |Fi-1] ，t=1，T.（3.4）引理3.2对于任意Q∈π和t=1，T，我们有EQesssupQ∈s∞情商[t·（St+1）- St）|英尺]= 啜饮∈s∞情商[t·（St+1）- [圣路易斯]。这尤其意味着eq[AQt]=sup∈s∞情商[(o S） [t]。（3.5）证据。首先，请注意{EQ[t·（St+1）- St）| Ft]：∈ s∞} 是朝上的。事实上，考虑到,′∈ s∞, 定义s:=s{s6=t}+(sA+′sAc）1{s=t}，其中：={EQ[t·（St+1）- St）|英尺]≥ 情商[′t·（St+1）- St）| Ft]}∈ 那么，~∈ s∞根据定义2.7（ii），andEQt（St+1）- St）|Ft]=最大{EQ[t·（St+1）- St）| Ft]，EQ[′t·（St+1）- St）| Ft]}。因此，我们可以应用[21，定理A.33，第496页]和getEQesssupQ∈s∞情商[t·（St+1）- St）|英尺]= 啜饮∈s∞情商[t·（St+1）- [圣路易斯]。现在，考虑到（3.4），我们有eq[AQt]=t∑i=1sup∈s∞情商[我-1·（Si）- 硅-1） ]=sup∈s∞情商[(o S）定义2.7（ii）给出了最后一个等式。根据定义2.7（iii），我们实际上可以替换∞由S∞cin（3.5）。引理3.3对于每个t=1，。。。，T，EQ[AQt]=sup∈s∞cEQ[(o S） 10阿拉什·法希姆，于瑞黄。鉴于（3.5），有必要表明，对于每个固定的∈ s∞, 存在{ε}ε s∞C如此[(o S） T]=limε→0EQ[(εoS）T]。以M>0为例|t|≤ M表示所有t=1，。。。，T- 1.根据定义2.7（iii），对于任何ε>0，存在在RT+中闭合的Dε，并且ε∈ s∞使Q（Dε）>1-ε,ε=关于Dε，和|εt|≤ M对于所有t=1，T- 1.

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2022-5-5 18:30:07

因此情商[(o S） [T]- 情商[(εoS）T]≤ 情商|((-ε） oS）T | 1Dcε≤ EQh2MT-1.∑t=0 | St+1- St | 1Dcεi.由于备注2.1，随机变量2M∑T-1t=0 | St+1- St |是Q-可积的。然后，我们可以从上述不等式得出结论：[(εoS）T]→ 情商[(o S） [T]。定义3.4让QS成为Q的集合∈∏使EQ[AQT]<∞.备注3.5如果S中的策略一致有界，即。 c>0以至于|| ≤ 全体∈ 然后我们从（3.5）和备注2.1中推导出QS=∏。引理3.6给出任何∈ 是的，过程(o S） t-AQtis是一个本地的Q-supermartingale，适用于所有Q∈ QS。证据这个结果来源于[21，命题9.18]中的论点。我们在此提供完整性的证明。考虑停止时间τn:=inf{t≥ 0 : |t |>n或EQ[| St+1- 圣| |英尺]>n}∧ T、由于备注2.1，条件预期得到了明确定义。给定一个进程Vt，让我们用vntt表示停止的进程Vt∧τn.观察|(o S） nt+1- (o S）新界|≤ 1{τn≥t+1}|t | | St+1- 圣|。再次感谢备注2.1，这意味着(o S） ntis Q-可积。此外，情商[(o S） nt+1-(o S） nt | Ft]=1{τn≥t+1}t·（等式[St+1 | Ft]-（圣）≤ （AQ）nt+1-（AQ）nt，其中不平等性来自（3.3）。自EQ[AQT]<∞, 上述不平等表明(o S） nt公司- （AQ）NTI是一个超级艺术家。在终端时间T具有一定的可积性时，上述结果中的局部上鞅就变成了真正的上鞅。引理3.7修正∈ S和Q∈ QS。如果 Q-可积随机变量φ(o S） T≥那么，Q-a.s(o S） t-AQt≥ 等式[~n-AQT | Ft]Q-a.s.对于所有t=1，。。。，T这尤其意味着(o S） t- 这是一个真正的Q-超级艺术家。在投资组合约束下的模型独立超边。使用与引理3.6证明相同的符号，我们知道存在一个停止时间序列{τn}，使得τn↑ ∞ Q-a.s.和停止的过程(o S）新界- （AQ）NTI是一个Q-超级马丁格尔，每n∈ N

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2022-5-5 18:30:11

我们将证明这个引理。假设t=2，不是这样的(o S） t- AQt≥ 等式[~n- AQT | Ft]，我们从supermartingale地产获得≥ 1{t-1<τn}EQh(o S）新界- （AQ）新界-(o S）新界-1.- （AQ）新界-1.| 英尺-1i=EQh{t-1<τn}n(o S） t- AQt-(o S） t-1.- AQt-1.o |英尺-1i≥ EQh{t-1<τn}nEQ[~n- AQT |英尺]-(o S） t-1.- AQt-1.o |英尺-1i=1{t-1<τn}EQ[~n- AQT |英尺-1] - 1{t-1<τn}(o S） t-1.- AQt-1..发送n→ ∞, 我们的结论是(o S） t-1.-AQt-1.≥ 等式[~n-AQT |英尺-1] Q-a.s.现在，引理3.6(o S） t- AQtis是一个局部的Q-超鞅，从下方以阿马丁格尔为界，因此是一个真正的Q-超鞅（见例[21，命题9.6]）。3.2从{ψi}i的静态持有量看超边对偶的推导∈在（3.1）中，我们引入eqi:=supη∈里∑我∈I（ηiEQ[ψI]- ci（ηi））≥ 0代表Q∈Π. （3.6）集合F（I）：={J I:J是一个有限集。我们观察到eqi=supJ∈F（I）supη∈R|J|∑我∈J（ηiEQ[ψi]- ci（ηi））=supJ∈F（I）∑我∈Jsupη∈R（ηEQ[ψi]- ci（η））。（3.7）考虑度量的集合，I:={Q∈ QS:EQI<∞}. （3.8）备注3.8修正Q∈Π. 无论如何，我∈ 一、假设以下两个条件成立。（i） ci（η）=∞ 对于某些η>0或等式[ψi]<c′i(∞),（ii）ci（η）=∞ 对于某些η<0或等式[ψi]>c′i(-∞).通过η7的凸性→ ci（η），我们有supη∈R（ηEQ[ψi]-ci（η））<∞. 因此，从（3.7）的角度来看，如果I是一个有限集，并且（I）-（ii）满足上述所有I∈ 一、然后EQI<∞.我们将致力于推导（3.2）中定义的D（Φ）和p（Φ）：=supQ之间的对偶关系∈QS，I{EQ[Φ- [AQT]- EQI}。

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2022-5-5 18:30:15

（3.9）以下取自[34，推论2]的极小极大结果将是有用的。12 Arash Fahim，Yu-Jui HuangLemma 3.9设X是拓扑向量空间的紧凸子集，Y是向量空间的凸子集，f:X×Y 7→ R是一个满足（i）的函数∈ 十、地图y 7→ f（x，y）在y上是凸的。（ii）对于每个y∈ Y，地图X7→ f（x，y）在x上是上半连续且凹的。然后，英菲∈Ysupx∈Xf（x，y）=supx∈辛菲∈Yf（x，y）。让我们首先推导出I=/0情况下的超边缘对偶，即在时间0时，除普通调用外，没有期权可交易。（3.1）中的路径关系减少到ψu，（x）：=T∑t=1d∑n=1unt（xnt）+(o x） T≥Φ（x），十、∈ 根据一个空集上的和为0的约定，（3.2）中的D（Φ）变成了D/0（Φ）：=infnT∑t=1d∑n=1ZR+untdunt:u∈ U和∈ 这就是ψu，（十）≥Φ（x），十、∈ （Rd+）至。此外，由于I=/0意味着F（I）={/0}，我们从（3.7）中推断出EQI=0，因为它是一个空集上的求和。因此，（3.9）中的P（Φ）减少了toP/0（Φ）：=supQ∈QSEQ[Φ- AQT]。（3.10）提议3.10让我=/0。假设Φ：（Rd+）T7→ R是可测量的，且 K>0使得Φ（x，…，xT）≤ K1+T∑t=1d∑n=1xnt！，为了所有的x∈ 我们有P/0（Φ）≤ D/0（Φ）。（ii）如果Φ是上半连续的，那么P/0（Φ）=D/0（Φ）。（iii）如果Φ是上半连续且QS6=/0，则存在Q*∈ qsp/0（Φ）=EQ*[Φ- 逆商*T] 。证据首先，通过备注2.1、（3.11）和定义3.4，P/0确实得到了很好的定义。（i）拿你来说∈ U和∈ 这就是ψu，≥Φ. 任何问题∈ QS，注意(o S） T≥Φ（x）-T∑t=1d∑n=1unt（xnt）。如果等式[Φ-] < ∞, 那么Φ（x）-∑Tt=1∑由于（3.11），di=1uit（xt）是Q-可积的。我们从引理3.7得出结论(o S） t-这是一个真正的Q-超级艺术家。因此，EQ[Φ- [AQT]≤ EQ“T∑t=1d∑n=1unt（Snt）+(o S） T- AQT#≤T∑t=1d∑n=1ZR+untdunt。（3.12）投资组合约束下的模型独立超边际13If EQ[Φ-] = ∞, 然后（3.12）琐碎地成立。

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大多数88

2022-5-5 18:30:19

通过取Q的上确界∈ qsand利用u的任意性，我们从（3.12）得到期望的不等式。（ii）我们将使用类似于[5，等式（3.1）-（3.4）]的论点。首先，观察D/0（Φ）≤inf（T）∑t=1d∑n=1ZR+untduit:u∈ U和∈ s∞c例如ψu，（十）≥Φ（x））=inf∈s∞辛夫T∑t=1d∑n=1ZR+untdunt:u∈ 你就是这样∑t=1d∑n=1unt（xnt）≥Φ（x）- (o x） T= inf∈s∞csupQ∈πEQ[Φ（x）- (o x） [T]。（3.13）这里，（3.13）来自最优传输理论（参见[5，命题2.1]），该理论要求Φ的上半连续性。现在，我们打算应用Lemma3。9到（3.13），其中X=π，Y=S∞c、和f（Q，) = 等式[Φ（x）- (o x） [T]。引理3.9中唯一不明显的条件是q7的上半连续性→ f（Q，). 每人∈ s∞c、由于（3.11），上半连续函数Φ（x）- (o x）它由连续函数从上面限定l（x）：=K1+T∑t=1d∑n=1xnt！+||∞D∑n=1（xn+2（xn+·xnT-1） +xnT），（3.14）其中||∞:= || ∨ max{supz∈（Rd+t）|t（z）|：t=1，。。。，T- 1} < ∞. 取任意序列{Qn}n∈Nin∏弱收敛于某些Q*∈Π. 观察问题7→ 情商[l] 是∏上的一个常数函数，我们从[35，引理4.3]得出结论：→∞方程n[Φ（x）- (o x） [T]≤ 情商*[Φ（x）- (o x）它显示了q7的上半连续性→ f（Q，). 现在，将引理3.9应用到（3.13）yieldsD/0（Φ）≤ supQ∈πinf∈s∞cEQ[Φ（x）- (o x） T]=supQ∈Π等式[Φ]- 啜饮∈s∞cEQ[(o S） [T]= supQ∈πnEQ[Φ]- 等式[AQT]o=supQ∈QSnEQ[Φ]- 等式[AQT]o=P/0（Φ），其中第二行来自引理3.3。（iii）根据定义3.4，我们可以写出P/0（Φ）=supQ∈πEQ[Φ- AQT]用（3.10）中的∏代替QST。由于∏在弱收敛拓扑下是紧的（注2.2），因此可以证明Q 7→ =f（等式）：=Q- AQT]是上半连续的。因为第（二）部分的论点已经暗示了问题7→ EQ[Φ]是半连续的，仍然需要证明q7→ g（Q）：=EQ[AQT]是下半连续的。

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2022-5-5 18:30:22

与（3.14）相似，各∈ s∞c、我们有|(o x） T|≤ h（x）与h（x）定义的h:||∞∑dn=1（xn+2（xn+·xnT-1） +xnT]。对于任意序列{Qn}n∈Nin∏弱收敛于某些Q*∈π，将[35，引理4.3]应用于函数(o x）坦然-(o x） Tgivesliminfn→∞EQn[(o x） [T]≥ 情商*[(o x） [T]≥ 林尚→∞EQn[(o x） [T].14阿拉什·法希姆，于瑞黄，问题7→ G（Q）：=EQ[(o S） T]是连续的。由于引理3.3，我们得到了g（Q）=sup∈s∞cg（Q）是下半连续的，作为连续函数的上确界。备注3.11命题3.10（i）和（ii）不需要条件QS6=/0。的确，如果QS=/0，那么P（Φ）=-∞ 因此，第（一）部分的内容微不足道；此外，只要∏6=/0，第（ii）部分中的参数就成立，这由备注2.2保证。备注3.12命题3.10将[5，定理1.1]扩展到组合约束的情况。要了解这一点，请考虑无约束情况，即S=H。注意，S=H意味着QS=M，M的定义如（2.3）所示。而我 QS很明显，另一个包含在定义3.1中。事实上，考虑到Q∈ QS\\M，必须存在t∈ {0，…，T- 1} 这样等式[St+1 | Ft]6=St。因为S=H，我们有AQT+1- AQt=∞, 矛盾Q∈ QS。命题3.10中的对偶性减少了toD/0（Φ）=P/0（Φ）=supQ∈MEQ[Φ]，它恢复了[5，定理1.1]。备注3.13命题3.10还将[5，定理1.1]扩展到了多维S的情况。由于[5，定理1.1]依赖于一维Monge-Kantorovichdility，其作用于R+的T个副本的乘积（即[5，命题2.1]），人们可以期望通过作用于Rd+的T个副本的多维Monge-Kantorovichdility来证明命题3.10。虽然这种对偶确实存在（例如[29，定理2.14]），但应用它需要了解每个t=1，…，的（St，…，Sdt）的联合分布，。。。，T

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kedemingshi

2022-5-5 18:30:25

这实际上是不可行的，因为vanilla Calls仅规定了每个n和t的Snt分布。因此，在命题3.10中，我们仍然依赖于一维结果[5，命题2.1]。通过治疗Ohm= （Rd+）是R+的（d×T）份数的乘积（如备注2.2），[5，命题2.1]确实适用于Snt的分布unTo，对于每n=1，d和t=1，。。。，T是已知的。注意，在[23，定理2.1]中首次提到[5，定理1.1]可以推广到更高的维度。通过ci的凸性，命题3.10扩展到一般情况，其中I6=/0。定理3.14假设ψiis连续且|ψi |满足（3.11）所有i∈ I.然后，对于任何上半连续函数Φ：（Rd+）T7→ R满足（3.11），我们有D（Φ）=P（Φ），D和P的定义如（3.2）和（3.9）所示。此外，如果QS，I6=/0，则（3.9）中的supremum是在某个Q处获得的*∈ QS，I.证据。从（3.2）和命题3.10中观察D（Φ）=infη∈RID/0Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））！=infη∈RIsupQ∈πEQ“Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））- AQT#。（3.15）考虑函数f（Q，η）：=EQ[Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））- Q的AQT]∈π和η∈ 里。通过Φ的上半连续性、ψi的连续性和（3.11），我们可以在命题3.10（i）和（ii）中论证f在Q中是上半连续的∈Π.此外，通过η7的凸性→ ci（η）为所有i∈ 一、 f在η中是凸的∈ 里。因此，我们可以将引理3.9应用于（3.15）和getD（Φ）=supQ∈πinfη∈RIEQ“Φ-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））- AQT#=supQ∈QS，InEQ[Φ- [AQT]- EQIo=P（Φ）。鉴于命题3.10（iii）中的论证和ψi的连续性，我们得到了q7→ 等式[Φ- [AQT]- 紧集∏上的Eqi是上半连续的。因此，如果QS，I6=/0，则得到（3.9）中的上确界。

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2022-5-5 18:30:29

3.3与[1]中的无模型二元性的联系考虑这样一种情况，即每个期权ψican实际上在时间0时进行流动交易，就像普通期权一样。也就是说，对于每一个我∈ 一、 CII是线性的（见备注2.5），我们∈ R是ci的斜率。通过（3.6），当EQ[ψi]=Pi时，Eqi等于0∈ 一、及∞ 如果不是的话。它由（3.8）得出，I=QS，（pi）I∈I:={Q∈ QS:EQ[ψi]=pi，我∈ 一} 。（3.16）在（2.3）中定义的召回。让我们也考虑一下我：={Q∈ M:c′i（0）-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+），我∈ 一} 。（3.17）在电流设置下，它变为mMi=M（pi）i∈I:={Q∈ M:EQ[ψi]=pi，我∈ 一} 。（3.18）每个i的推论3.15∈ 一、假设ψiis连续，|ψI|satifies（3.11），ψI可以以π的价格进行流动交易∈ R.让Φ：（Rd+）T7→ R为上半连续且满足（3.11）。（i）我们有（Φ）=P（Φ）=supQ∈QS，（Pi）i∈IEQ[Φ- AQT]。（ii）此外，如果没有投资组合约束，即S=H，则D（Φ）=P（Φ）=supQ∈M（pi）i∈IEQ[Φ]。证据（i）简单地遵循定理3.14和（3.16）。对于（ii），从备注3.12中回顾S=H意味着QS=M，我们有QS，（pi）i∈I=M（pi）I∈I.然后，第（I）部分就变成了期望的结果。16 Arash Fahim，Yu Jui Huang评论3.16推论3.15（ii）指出，为了确定Φ的超边际价格，需要考虑鞅测度下Φ的预期，该鞅测度与普通看涨期权和其他期权的市场价格一致{ψi}i∈I.这尤其包括[1，定理1.4]，对于时间0的可交易期权至少包括所有到期日和行权的普通看涨期权的情况。3.4凸风险度量的连接设X为可度量函数Φ：（Rd+）T7的集合→ R满足线性生长条件（3.11）。

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能者818

2022-5-5 18:30:32

我们说ρ：x7→ R是一个凸风险度量，如果对于所有Φ，Φ′∈ 以下条件成立：–单调性：如果Φ≤Φ′，然后ρ（Φ）≥ρ(Φ′).– 平移不变性：如果m∈ R、那么ρ（Φ+m）=ρ（Φ）- m、 –凸度：如果为0≤λ≤ 1，然后ρ（λΦ+（1-λ)Φ′) ≤λρ(Φ) + (1 -λ)ρ(Φ′).考虑验收集：={Φ∈ X:u∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 因此Φ（x）+ψu，η，（十）≥ 0, 十、∈ （Rd）T}。然后，定义函数ρS:x7→ R乘以ρS（Φ）：=inf{m∈ R:m+Φ∈ AS}=D(-Φ).命题3.17如果QS，I6=/0，那么ρ是一个凸风险度量，并且允许双公式ρS（Φ）=supQ∈Π情商[-Φ] -α*（Q）, （3.19）其中惩罚函数α*由α给出*（Q）：=（等式[AQT]+等式Q∈ QS，我，∞, 否则此外，对于任何α：7→ R∪ {∞} 使（3.19）保持（α*替换为α），我们有α*（Q）≤所有Q的α（Q）∈Π.证据单调性和平移不变性很容易验证，而ρS的凸性来自于U、ria和S的凸性。现在，对偶性（3.19）是定理3.14的直接结果。由于QS，I6=/0，（3.19）表明ρ是实数，因此是凸风险度量。为了证明这一点*是最小惩罚函数，观察任何α∏7→ R∪ {∞} 满足（3.19），我们有α（Q）≥ supΦ∈十、情商[-Φ] -ρS（Φ）≥ supΦ∈像情商[-Φ] -ρS（Φ）≥ supΦ∈ASEQ[-Φ], Q∈Π.（3.20）通过引理3.3和（3.6）建立投资组合约束下的模型独立超边，α*（Q） =sup（EQ）(o S） T+∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））#∈ s∞,η∈ RI）对于所有Q∈Π. 自从-(o S） T-∑我∈I（ηIψI）- ci（ηi））∈ 至于所有∈ s∞和η∈ RI，我们从（3.20）得出结论，α*（Q）≤α（Q）。备注3.18命题3.17将[20]中的命题16和定理17推广到与模型无关的环境中。请注意[20]中规定了无套利条件（在给定的物理度量P下）。

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2022-5-5 18:30:35

这里，我们只需要QS，I6=/0，这比独立于模型的无套利条件弱；详见第4节。4二元论资产定价的基本定理遵循[1]中的公式，我们引入了强路径意义上的套利概念：定义4.1（模型独立套利）我们说，在约束S下存在模型独立的套利，如果存在∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 太好了∑t=1d∑n=1unt（xnt）+∑我∈I（ηIψI（x）- ci（ηi））+(o x） T>0，对于所有x∈ （Rd+）T.备注4.2根据上述定义，如果存在模型独立套利，则根据定义的任何概率测度P，该套利即为套利Ohm.请注意，在[7]中，作者没有使用路径公式，而是通过准确定分析引入了模型不确定性下的套利概念。它们在套利的定义中包含了更多的策略，并提供了无套利条件和超边缘对偶的不同特征。然而，我们不会在本文中探讨这个方向。考虑以下度量值集合：={Q∈Π: {(o S） t}Tt=0对于所有人来说都是一个局部Q-超马尔廷格尔∈ S}。备注4.3（M和PS）通过定义，我们看到 PS.给定α>0，如果‘α：={新界≡α} t，nand-α:= {新界≡ -α} t，n都属于S，那么PS=M。事实上，考虑到Q∈ PS，自从‘α，-α∈ s∞,αSt=（？αoS）tand-αSt=(-在Q条件下，将两个超级大分子去皮。因此我们得出结论，Q∈ M下面的引理提供了PS.引理4.4 Fix Q的一个特征∈Π. 然后，Q∈ 附言<==> AQT=0 Q-a.s.证明。这是[21，命题9.6]和引理3.6的结果。18 Arash Fahim，Yu-Jui Huang注释4.5（PSA和QS）引理4.4特别暗示PS QS。注意，如果∞由H中的所有非负有界交易策略组成，然后PS=QS。

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2022-5-5 18:30:38

的确，对于任何问题∈ QS，我们从（3.5）中看到，AQT=0 qa.s，然后是Q∈ PSby引理4.4。为了说明无套利的等价条件，我们考虑了p，I:={Q∈ PS:c′i（0-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+），尽管我∈ 一} 。回想EQIin（3.6）。很容易验证EQI=0的以下特征。引理4.6给定Q∈π，我们有c′i（0）-) ≤ 等式[ψi]≤ c′i（0+）代表所有i∈ 如果EQI=0，则I为andony。为了推导出独立于模型的FTAP，我们需要以下引理。引理4.7假设所有i的ψiis连续和|ψi |满足（3.11）∈ I.那么，PS，I=/0==> infQ∈π{EQ[AQT]+EQI}>0。证据相反，假设infQ∈π{EQ[AQT]+EQI}=0。对于任何ε>0，都存在Qε∈π使得0≤ EQε[AQεT]+EQεI<ε。由于∏是弱紧的（注2.2），Qε必须弱收敛到某个Q*∈Π. 每人∈ s∞c、我们可以用命题3.10（iii）来证明Q 7→ 情商[(o x）在弱收敛拓扑下，T]在∏上是连续的。而且，对于每一个我∈ 一、由于ψiis连续且|ψI |满足（3.11），我们可以在命题3.10（ii）中进行论证，以证明q 7→ 等式[ψi]在∏上是连续的。现在，使用引理3.3，0=limε→0EQε[AQεT]+EQεI=limε→0sup∈s∞cEQε[(o S） T]+supη∈里∑我∈I（ηiEQε[ψI]- ci（ηi））≥ 啜饮∈s∞克里姆ε→0EQε[(o S） T]+supη∈里里姆ε→0∑我∈I（ηiEQε[ψI]- ci（ηi））=sup∈s∞cEQ*[(o S） T]+supη∈里∑我∈I（ηiEQ）*[ψi]- ci（ηi））=EQ*[AQ]*T] +情商*一、因此*[AQ]*T] =EQ*I=0。通过引理4.4和4.6，我们得到了Q*∈ PS，I，矛盾的PS，I=/0。现在，我们准备好介绍本节的主要结果。定理4.8假设ψiis连续且|ψi |满足（3.11）所有i∈ I.那么，在S约束下不存在模型独立套利当且仅当PS，I6=/0。证据证明“<==”, 假设存在模型独立套利。

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2022-5-5 18:30:41

也就是说，存在着你∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 真是这样∑t=1d∑n=1unt（xnt）+∑我∈I（ηIψI（x）- ci（ηi））+(o x） T>0表示所有x∈ RT+。在投资组合约束下的模型独立超边缘化，对于任何Q∈ QS，I，T∑t=1d∑n=1unt（Snt）+∑我∈I（ηIψI（S）- ci（ηi））+(o S） T- AQT>-AQTQ-a.s.通过对两边的期望，我们从引理3.7中得到≥∑我∈I（ηiEQ[ψI]- ci（ηi））>-EQ[AQT]，适用于所有Q∈ QS，I.If Q∈ PS，I，由于引理4.4，上述不等式变成EQI>0。然而，根据引理4.6，这意味着等式[ψi]/∈ [c′i（0-),c′i（0+）]∈ I和Q/∈ PS，我，一个矛盾。因此，我们得出结论，PS，I=/0。展示“==>”, 相反，我们假设PS，I=/0，并打算发现模型独立套利。根据定理3.14和引理4.7，我们得到了（0）=supQ∈QS，I{EQ[-[AQT]- EQI}=- infQ∈QS，I{EQ[AQT]+EQI}<0，这已经导致模型独立套利。让我们回顾一下第3.3节中的设置：每个期权ψican实际上可以在时间0时进行流动交易；也就是说，对于每一个我∈ 一、 c′I（η）是常数pi∈ 因此，PS，I=PS，（pi）I∈I:={Q∈ PS:EQ[ψi]=pi，我∈ 一} 。推论4.9假设ψiis连续，|ψi|satifies（3.11），ψi可以以π的价格流动交易∈ R、尽管我∈ I.（I）S约束下的无模型独立套利当且仅当PS，（pi）I∈I6=/0。（ii）此外，假设不存在投资组合约束，即S=H。因此，不存在模型独立套利当且仅当M（pi）i∈I6=/0。备注4.10推论4.9（ii）恢复[1，定理1.3]，对于时间0的可交易期权至少包括所有到期日和行权的普通看涨期权的情况。备注4.11在资产定价基本定理（FTAP）的不同模型独立版本中，定理4.8和[1，定理1.3]在适应一般可交易期权集合的能力上是独一无二的。

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2022-5-5 18:30:45

虽然我们的框架除了流动交易的普通看涨期权外，还提供了广泛的可交易期权，[1]甚至没有假设普通看涨期权必须是可交易的。另一方面，虽然[1]隐含地假设任何可交易期权都是流动的，但我们考虑了流动性较低的期权的限制指令簿。还要注意，我们的方法与[1]中的方法有很大不同。函数分析技术包括使用哈恩-班纳赫定理，用于建立[1，定理1.3]；见[1，命题2.3]。在我们的例子中，我们首先通过最优传输推导出定理3.14中的超边对偶。利用这种对偶性，我们在定理4.8.20 Arash Fahim，Yu-Jui Huang 4中得到了所需的FTAP。1与经典理论的比较在经典理论中，物理测量P(Ohm,FT）是先验的。我们说，在约束为S的情况下，P下没有套利∈ S(o S） T≥ 0P-a.s.意味着(o S） T=0 P-a.S.考虑正锥K:={λ|∈ S，λ≥ 0}由S生成。对于allt=1，T，我们定义：{t|∈ S}，Kt:={t|∈ K}，和Introductent:={η∈ L(Ohm,英尺-1，P；Rd）：η·（St- 圣-1） =0 P-a.s.}，N⊥t:={ξ∈ L(Ohm,英尺-1，P；Rd）：ξ·η=所有η的0 P-a.s∈ Nt}。通过[21，引理1.66]，每ξ∈ L(Ohm,英尺-1，P；Rd）具有唯一的分解ξ=η+ξ⊥, 含η∈ n与ξ⊥∈ N⊥t、我们用^Stand^Kt分别表示L和K的闭包(Ohm,英尺-1，P；Rd）。P下无套利的以下特征取自[21，定理9.9]。命题4.12假设对于所有t=1，T，St=^St，^Kt∩L∞(Ohm,英尺-1，P；（右） Kt和ξ⊥∈ 对于任何ξ∈ St.（4.1）那么，当且仅当ifPS（P）满足以下条件时，在P下，不存在带约束S的套利：=Q≈ P:St∈ L（Q）和{(o S） t}Tt=0是一个局部的Q-超鞅，∈ s6= /0.定理4.8可被视为命题4.12的推广，适用于模型无关的环境。

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kedemingshi

2022-5-5 18:30:48

然而，有一个显著的差异：定理4.8不再需要封闭性假设（4.1）。在下文中，我们用一个简单的例子详细说明了这种差异。一个典型的例子表明，条件（4.1）对于命题4.12是必不可少的，它是一个包含两个风险资产（S，S）的单周期模型，集合了约束策略：{(,) ∈ R|()+ (- 1)≤ 1}.很容易看出（4.1）并不令人满意，正如^K∩ L∞(Ohm,F、 P）=K={≥ 0}不包含在K=K={（0,0）}∪{> 0}. 在时间0时，假设（S，S）=（1，1），通过分析市场数据，我们得到一个合理的定价度量Q应该是均匀分布在[1，2]上的，并且仅集中在{0}。（4.2）在经典框架下，物理测度P应满足（4.2），因此任何定价测度Q≈ P承认同样的财产。鉴于∈ 如果(· S） T=（S）- 1) -≥ 那么每年0美元== 因此，在约束为S的P下不存在套利。然而，正如在[4，示例2.1]中观察到的，PS（P）是空的。事实上，考虑到Q≈ P、因为EQ[S]-1] >0，通过∈ 她和谁在一起/< EQ[S- 1] 一个人得到了情商[(· S） [T]=EQ[S- 1] -> 0.投资组合约束下的模型独立超边际21在我们的模型独立框架下，（4.2）通过普通调用的市场价格反映出来- K） +和（S）- K） +，为了所有的K≥ 也就是说，（2.2）中的∏是{Q的集合∈ P(Ohm) : （4.2）满足}。给定Q∈因为等式[S]=3/2，所以取∈ 她和谁在一起/< 1/2，一个人得到EQ[(· S） [T]=EQ[S- 1] -> 0.这表明PS=/0。请注意，这并不违反定理4.8，因为存在模型独立套利。要了解这一点，请考虑与客户进行动态交易∈ 令人满意的<ε对于某些ε∈ （0,1），并通过-（S）-ε)++ (1 +ε)∈ C

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2022-5-5 18:30:51

观察初始财富需要isZR+u（x）du（x）=-(3/2 -ε) + (1 +ε)= (2ε- 1/2),而最终财富总是严格地为正：对于任何（S，S）∈ R+，u+(· S） =（ε）+（S）- 1) >ε-> 0，如果是≥ε,(ε-) + (S+S）如果S<ε，则大于0。（4.3）取ε∈ （0，1/4），我们所需的初始财富不大于0，并且thusobtain模型独立套利。备注4.13在模型独立设置中，我们可以在vanillacalls中持有静态头寸（Si-K） +就我所知∈ {1,2}和K>0，除了动态交易S=（S，S）。这种额外的灵活性，在经典框架下不可用，允许我们在（4.3）中构造套利。有趣的是，如果（4.1）在时间0时有足够多的可交易期权可用，那么在经典情况下是否可以放宽。最近，在附加可交易期权的情况下，[4]获得了一个类似于命题4.12的结果，先验地给出了一组可能的物理测度P。然而，由于他们的方法只考虑了大量可交易期权，因此仍然假设了类似于（4.1）的封闭性假设。4.2最优套利在一个独立于模型的框架下，从定理3.14和命题3.17的角度来看，只要QS，I6=/0弱于无风险条件PS，I6=/0，就可以很好地定义超边缘和风险度量问题。因此，有兴趣提供条件QS，I6=/0的特征。定义4.14考虑因素，I:=sup{a∈ R:u∈ U、 η∈ 莉，还有∈ 所以ψu，η，（x） >a，十、∈ （Rd+T}。（4.4）根据定义，GS，I≥ 0

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2022-5-5 18:30:55

如果GS，I>0，我们说它是（独立于模型的）最优套利利润。最优套利的概念可以追溯到[17]，作者研究了在扩散环境下相对于市值可以实现的最高回报。在[10]和[18]中，分别对半鞅模型和模型不确定性设置进行了推广。我们的上述定义与[10，第3节]中的公式类似。从D（0）和GS的定义来看，这很简单，I=-D（0）=infQ∈QS，I{EQ[AQT]+EQI}。这会立即产生以下结果。命题4.15（i）GS，i=0<==> PS，I6=/0。（ii）GS，I<∞ <==> QS，I6=/0.5示例在本节中，我们将提供几个约束交易策略集合的具体示例。还将给出一个例子，说明额外可交易但流动性较低的期权的效果。记住M的关系会很方便附言 QSπ，取自备注4.3和4.5。让我们进一步开始分析。提议5.1让我们∞包含H中的所有非负有界交易策略。（i）任何问题∈ QS，{St}Tt=0是一个Q-超鞅。（ii）此外，如果在S∞从下方一致有界，即sup∈Ssupx∈（RT+d）|-（x） |≤ 对于一些C>0，那么QS={Q∈π：{St}Tt=0是一个Q-超马氏体}。证据（i）给定Q∈ QS，如果{St}Tt=0不是Q-超鞅，则一定存在*∈ {1，…，d}和t*∈ {0，…，T- 1} 使得Q（EQ[Sn*T*+1 |英尺*] - 锡*T*> 0) > 0.然后我们从（3.3）推导出Q（AQt*+1.- AQt*= ∞) > 0.这意味着等式[AQT]=∞,与Q的矛盾∈ QS。（ii）让Q∈π使得{St}Tt=0是Q-超鞅。这很容易检查{(o S）对于任何非负有界交易策略，t}Tt=0是Q-超鞅∈ H

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2022-5-5 18:30:58

根据（3.5），等式[AQT]=sup∈s∞情商[(+o S） [T]- 情商[(-o S） [T]≤ 啜饮∈s∞情商[|(-o S） T |]≤ 2CT∑t=1d∑n=1（等式[Snt+1]+EQ[Snt]）<+∞,这意味着Q∈ QS。示例5.2（卖空约束）给定cnt≥ 每t=0，T- 1和n=1，。。。，d、我们从备注2.9（带Kt）中看到=∏n[-cnt，∞) 尽管如此，这是：{∈ H:新界≥ -cnt，t=0，T- n=1，。。。，d} 。投资组合约束下的模型独立超边际23满意度定义2.7。根据命题5.1，我们得到qs={Q∈π：{St}Tt=0是一个Q-超马氏体}。此外，如果所有t和n的cnt>0，则根据备注4.3，M=Ps。如果有∈ {1，…，d}使得cnt=0表示所有t，那么{Snt}Tt=0表示所有Q∈ 因此，如果所有t和n的cnt=0，那么PS=QS。例5.3（相对水位降限）当n=1时，让xn>0，。。。，d、每个人∈ （Rd+）T，T=1，。。。，T和n∈ {1，…，d}，考虑运行的最大值x*,ntgivenby max{xn，xn，…，xnt}。然后，用xt:=（xt/x）定义相对下降过程{xt:t=0，…，t}*,1t，。。。，xdt/x*,dt）。对于每个n=1，。。。，d、取两个连续函数san:[0,1]d7→ (-∞,0]和bn:[0,1]d7→ [0,∞), 并介绍：={∈ H:an（~xt）≤新界（xt）≤ bn（~xt），t=0，。。。，T- 1，n=1，。。。，d} ={∈ H:T∈ Kt，t=0，T- 1} ，其中Kt:=d∏i=1[an（~xt），bn（~xt）]。自KT满意度（2.6）以来，备注2.9表明，S满意度定义为2.7。感谢Remark 3.5，我们得到了QS=∏。例5.4（不可交易资产）假设某些风险资产不可交易。例如，在电力和外汇市场，人们交易写在不可交易基础上的期权。更准确地说，让d′来∈ {1，…，d}和集合：={∈ H:新界≡ 0，对于所有t=1。

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