希塞罗的财富取决于w:τ=r+hln的时间hbhb- （r+h）w.个人死亡时财富等于b的概率等于个人在时间τ或1之前死亡的概率- E-λτ，等于（3.23）中的表达式，如预期。推论3.15。如果λ≤ r、 然后，在“RBF”子区域上的预期死亡财富为0≤ D≤ 当个人遵循命题3.14中的最优人寿保险购买策略时，Dj（w）由以下表达式给出：=n（b）- D） h1+hr+hλr-λi-hDr-λh1-λr+hiorw-hDh（rbr+h）-D）λr+Dr+h-λr-λ-λwr-λ、 如果λ<r，rw-hDrlnh（rbr+h）-D） rw-高清+r+hrw，如果λ=r（3.30）如果λ≤ r、 然后，对于哪个Dj（w）<D的子区域，死亡时的预期财富≤ B- w由E（w，D）=b“1给出-血红蛋白- （r+h）whbλr+h#。（3.31）证据。根据备注3.12中的讨论，我们推断≤ D≤ Dj（w），\'E（w，D）=ZτhDr+rw- hDrert+Dλe-λtdt+b′φ（w，D），从中可以得到（3.30）中的表达式。获得Dj（w）<D<b的（3.31）- w、 回想一下，（w，D）立即跳到（w，b）- w） 然后保持在w′+D′=b线上。因此，我们可以使用推论3.6中的工作来推导出E（w，D）=Et（w），其中Etis由（3.16）中的第一个表达式给出。备注3.13。如果λ≤ r、 然后，在“RBF”子区域上的预期死亡财富为0≤ D≤ Dj（w）解决了以下BVP问题：λ（\'E）- （w+D））=（rw- hD）‘Ew，’Ehbr+h，D= b、 关于Dj（w）<D<b的子区域- w、 死亡时的预期财富解决了Remark 3.5中给出的第一个BVP。提案3.16。假设λ>r，在‘Rb={（w，D）：0≤ D<b- w、 0≤ W≤hbr+h}，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由‘（w，D）给出=rw-hDh（rbr+h）-D）λr，如果0≤ D≤ Dj（w）和w*≤ W≤hbr+h，1-血红蛋白-（r+h）whbλr+h，否则。（3.32）这里，w*是唯一的零吗0，hbr+h（3.9）中的表达式。

相关的最优保险购买策略如下：（a）如果0≤ D≤ Dj（w），则在财富达到安全水平HBR+h之前不要购买额外保险，此时，购买BRR+h的额外保险- D.（b）否则，立即为b购买额外保险- （w+D），然后继续购买额外保险，以确保财富和死亡福利的总和等于b证明。函数“φi”在w和D中是递增的，并且是分段可微分的，在w=hbr+h时它等于1。回想一下，当w=hbr+hand D=rbr+h时，我们将（3.25）中的“φ”定义为等于1。从dj（w）的定义来看，我们知道（3.32）中的“φ”在“Rb”中是连续的；它与（3.21）中给出的“φ”在w+D=b线上也是连续的。仍然需要证明“φ”满足变分不等式（3.17）。如果0≤ D≤ Dj（w）和w*≤ W≤hbr+h，然后（rw- hD）φw- λ′φ=0，由表达式（3.25）推导得出。命题3.14的pro向我们展示了不等式φD≤ 0在这个次区域有效。如果0≤ D≤ B- w和0≤ w<w*或者如果Dj（w）<D≤ B-w和w*≤ W≤hbr+h，那么明显的φD=0。不等式（rw）- hD）φw- λφ ≤ 0在这个子区域上保持当且仅当D≥ D（w），其中Dis在（3.29）中给出。因此，我们必须证明D（w）≤ 0换0≤ w<w*而D（w）≤ Dj（w）福鲁*≤ W≤hbr+h.等式u的性质D（w）≤ 0换0≤ w<w*相当于f（x）≥ 0换0≤ 十、≤ 十、*, 其中x=（r+h）whband fand x*如引理3.4所示。从引理3.4，我们知道f（x）≥ 0比0≤ 十、≤ 十、*, 所以我们证明了不等式（rw）- hD）φw- λφ ≤ 0在这个分区域上。接下来我们演示不等式D（w）≤ Dj（w）代表w*≤ W≤我们知道，在w=hbr+h时，质量与h相等；因此，我们只需要证明w*≤ w<hbr+h。

通过设置x=fj（w）并简化，这个不等式变成1-r+hrxλr-1+hrxλr≤ 0代表x*≤ x<1，这是成立的，因为当我们设置a=λ和c=λr+h时，左边是引理3.4。我们已经证明（3.32）中的φ满足引理3.8的条件。因此，“φ”是在毁灭前达到遗赠目标的最大可能性。对于λ>r的情况，命题3.16存在与λ<r的情况平行的注释和推论，即注释3.11和3.12以及推论3.15。唯一的变化是对等待和购买全额保险的最佳行为发生的区域的定义。为了空间的利益，我们省略了这些评论和推论。在下面的定理中，我们为读者提供了在不破坏本节问题的前提下实现遗赠目标的最大概率的摘要。在λ>r的情况下，我们还提供了一个描述最优保险策略的图；见图3.1。当λ≤ R那么w*将是0。出于空间的考虑，我们不包括死亡时预期财富的相应总结理论。定理3.17。

将区域R={（w，D）除以：0≤ W≤ w（D），D≥ 0}进入以下四个区域：\'\'R={（w，D）：0≤ W≤hDr，D≥ b} ，\'Ra={（w，D）：b- D≤ W≤hDr，rbr+h<D<b}，\'Rwb={（w，D）：0≤ D≤ Dj（w），0≤ W≤hbr+h}，\'Rjb=\'R-\'R∪“拉∪“Rwb.然后，在不破坏遗产的情况下达到遗产目标的最大概率由‘（w，D）给出=1.-高清-rwhDλr，if（w，D）∈R，1-（r+h）D-rbhbλr+h高清-rw（r+h）D-rbλr，if（w，D）∈“拉，rw-hDh（rbr+h）-D）λr，if（w，D）∈“Rwb，1-血红蛋白-（r+h）whbλr+h，如果（w，D）∈“Rjb。最优的保险购买策略如下：（a）如果（w，D）∈\'R，则不要购买任何额外的人寿保险。（b） If（w，D）∈“Ra，然后，只有当财富达到b时，才购买额外的人寿保险- D、 之后，继续购买人寿附加保险，以确保财富和死亡福利之和等于b.（c）如果（w，D）∈“Rwb，则在财富达到HBR+h的安全水平之前，不要购买额外的人寿保险，此时购买额外的人寿保险ofrbr+h- D.（D）如果（w，D）∈“Rjb，然后立即为b购买额外的人寿保险- （w+D），然后购买人寿保险，以确保财富和死亡之和等于b.4。总结与结论我们确定了购买人寿保险的最佳策略，以最大限度地提高达到最佳目标b的概率。当以单一保费购买保险时，如第2节所述，无论是否有现金价值，最好等到财富达到安全水平后再购买额外的人寿保险。当有现金价值时，如果财富不足，个人将放弃所有的人寿保险，然后按照无现金价值情况下的最佳策略购买人寿保险，即等待财富达到安全水平。

如果个人最初没有人寿保险，那么现金价值的存在对她来说无关紧要，因为她在财富达到安全水平之前不会购买任何人寿保险。当保险以连续支付的保费购买时，我们在第3节中考虑了两种情况：（1）瞬时定期人寿保险和（2）不可逆终身保险。可以说，由于标准的非破产法律，人寿保险并非不可逆转；然而，在我们的情况下，没有准备金，因此没有与整个人寿保险单相关的现金价值。因此，要么我们允许个人在任何时候完全自由购买人寿保险金额，如案例（1），要么我们不允许个人在决定购买人寿保险后撤销购买，如案例（2）。对于我们在第3.1节中考虑过的即时定期人寿保险，如果死亡率λ不大于无风险资产的回报率r，那么个人在财富达到安全水平之前不会购买任何额外的保险。如果死亡的力量λ大于无风险资产r的回报，如果财富足够大，她将遵循同样的等待策略；然而，如果财富w足够小，她会全额购买（D=b）- w） 在她的余生里。对于不可逆的终身保险，解决方案更复杂，但如果初始死亡人数少于- w、 然后我们看到了同样的最优寿险购买策略：如果财富足够接近安全水平，那么个人会等待；如果财富足够接近b- D、 然后个人将购买所谓的全额保险。

有趣的是，如果第三节中的个人。2最初没有人寿保险，那么她的最佳保险购买策略与第3.1节中相应的策略相同（取决于λ与r以及她的初始财富），因为第3.1节中的最佳人寿保险购买策略是非递减的。在未来的工作中，我们将考虑第3节中设置的各种延长，其中人寿保险费将持续支付。我们将（1）允许死亡的力量随着时间的推移而变化，以及保险成本的变化；因此，对于终身保险，保单将产生现金价值；（2） 最大化死亡时的预期财富，将可能性限制在一定的范围内，以防止不切实际的人寿保险购买策略；（3）假设该个人也从自己的财富中消费，并希望最大限度地提高在不破产的情况下实现遗赠目标的可能性，可能包括金融市场上的终身年金，以支付其部分或全部费用。我们预计这些问题的解决方案将非常重要，因为它们将直接适用于财务规划。附录A引理3.4（A）的证明。观察f（0）=f（1）=0。A l so，f′（x）=A xa-1.- c（1）- x） c-1，注意f′（0）=-c<0和limx→1f′（x）=-∞. 因此，FH是内部（0，1）的奇数个零，比如2k- 1，对于一些k=1，2。。这一事实意味着f′有2k个零；因此，为了证明k=1，证明f′在（0，1）中最多有两个零就足够了。f′的零点是解Xa的点X-1(1 - x） 一,-c=ca，如果我们定义g byg（x）=xa-1(1 - x） 一,-C-那么为了证明f′在（0，1）中最多有两个零，证明g′在（0，1）中有一个零就足够了，因为g（0）=g（1）=-ca<0。这个结果由g′（x）=xa得出-2(1 - 十）-c[（a）- 1) - （a）- c） 它在x=a处有一个uniq u e零-1a-C∈ (0, 1).

因此，我们证明了FH是（0，1）中唯一的零。（b）项的证明。观察f（0）=0和limx→1f（x）=-∞. 此外，f′（x）=ca（1）- x） c-2[（a）- 1) - （a）- c） x]；因此，fin在h0上增加，a-1a-C并且随着时间的推移而减少A.-1a-c、 一,. 表明fis在[0，x]上是非负的*), 因此，它足以证明f（x*) ≥ 0.为此，回想一下（1）- x） c≤ 1.- cx，因为这个不等式的左侧在x中是凹的（其切线下方的solies），而右侧是（1）的切线- x） 猫x=0。从（a）部分，我们知道- （十）*)a=（1）- 十、*)C因此，我们得出cx的结论*≤ （十）*)a、 不等式f（x）*) ≥ 0相当于a（1- 十、*)a（1）- 十、*) + cx*≥ (1 - 十、*)c、 （A.1）如果我们展示了更强的不平等性A（1），接下来会是什么- 十、*)a（1）- 十、*) + （十）*)A.≥ 1.- （十）*)a、 （a.2）我们在其中使用1- （十）*)a=（1）- 十、*)cand cx*≤ （十）*)a、 不等式（a.2）等价于（x*)a+a（1）- 十、*) - 1.≥ 0，它保持[0，1]，因为左侧相对于x减小*如果x等于0*= 1.因此，我们证明了fis在[0，x]上是非负的*).（c）的证明。观察f（0）=1和f（1）=0。A l so，f′（x）=acxa-2[-（a）- 1） +（a）- c） x]；因此，fDecreas on H0是一个-1a-C并且随着时间的推移而增加A.-1a-c、 一,. 表明fis在[x]上为非正*, 1] 因此，它足以证明f（x*) ≤ 0.不等式f（x）*) ≤ 0相当于tocx*a（1）- 十、*) + cx*≤ （十）*)a、 这相当于不等式（a.1），因为（x*)a=1- (1 - 十、*)c、 因此，我们证明了[x]上的fis是非正的*, 1].附录B.引理的证明3.13 a.Dj（w）的证明≤rwhif和仅ifw-hbr+hfj（w）1- fj（西）≤ w、 这相当于fj（w）=0，只有当w=0或fj（w）6=0且w≤hbr+h。接下来是Dj（w）≤rwhholds for 0≤ W≤hbr+h，仅在终点处相等。

这一结果证实了我们的假设，即线rw=hD位于跳跃区域。为了证明（b）和（c）部分，我们将使用D′j（w）与以下各项成正比的事实：D′j（w）∝ 1.-hr+hfj（w）-rr+hfj（w）1-λr.b.Ifλ的证明≤ r、 然后Dj（w）在h0、hbr+hiif和仅在if1上增加-hr+hx-rr+hx1-λr≥ 0，为0≤ 十、≤ 1.这个不等式成立，因为当x=1时，左边等于0，左边递减[0，1]。c.如果λ>r，首先注意Dj（w）在w=w时有唯一的零*因为Dj（w）=0if且仅当（3.9）中的表达式等于0。由于D′j（0）<0，我们得出结论Dj（w）≤ 0比0≤ W≤ W*. 另外，注意fj（w）在h0上增加，hbr+hian等于x*当w=w时*. 因此，dj（w）在hw上增加*,hbr+hiif和仅if1-hr+hx-rr+hx1-λr≥ 0代表x*≤ 十、≤ 1，相当于f（x）≤ 0代表x*≤ 十、≤ 1，我们从引理3.4知道这是真的。致谢第一和第三作者感谢精算师协会知识拓展和研究委员会对这项工作的财务支持。此外，第一作者的研究部分由美国国家科学基金会（National Science Foundation）在DMS-0955463、DMS-0906257和Susan M.Smith精算数学教授的资助下进行。第三作者的研究部分得到了Cecil J.和Ethel M.Nesbitt精算数学教授职位的支持。参考Bayraktar、Erhan和Virginia R。

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