购买人寿保险以实现遗赠目标

2022-5-5 19:55:32

购买人寿保险以达到遗赠目标美国密歇根州米希加南大学数学与计算机系，48109S。David Promislow加拿大安大略省多伦多约克联合国大学数学系，M3J 1P3Virginia R.Young美国密歇根州米希加南大学数学系，48109摘要：我们确定个人如何使用人寿保险来实现遗赠目标。我们假设个人的消费由工作、养老金、终身年金或社会保障的收入来满足。然后，我们考虑个人想要为继承人贡献的财富（与上述收入相关的任何财富分开），并找到购买人寿保险的最佳策略，以最大限度地提高达到给定遗赠目标的概率。我们认为人寿保险由单一保费购买，无论是否有现金价值。我们还考虑通过持续支付保费购买不可逆转和可逆的人寿保险；人们可以将后者视为（即时的）人寿保险。关键词：定期人寿保险，终身保险，遗赠动机，确定性控制。1.简介人寿保险有助于房地产规划，特别是为子女、孙辈或慈善组织提供最好的服务。考虑到这一点，我们决定个人如何使用人寿保险来实现遗赠目标。我们假设个人的消费由工作、养老金、终身年金或社会保障的收入来满足。然后，我们考虑个人想要为继承人贡献的财富（与上述收入相关的任何财富分开），并找到购买人寿保险的最佳策略，以最大限度地实现既定遗赠目标的可能性。在这篇论文中，我们将两个迄今为止尚未连接的文学流连接起来。

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2022-5-5 19:55:36

第一流是人寿保险的最佳购买，该领域的大多数研究都将消费、遗产或两者的效用最大化。这方面的开创性文章i s Richard（1975）；请参见Bayraktarand Young（2013），了解与通过使用人寿保险最大化家庭消费效用相关的一些最新参考文献。第二个流程是最大化到达局部目标的概率。这个问题已经在与赌博有关的概率问题中得到了研究，如Dubins和Savage（19651976）。关于Dubins和Savage工作的重要扩展，请参见Pestien和Suddert h（1985），他们在其中控制扩散过程，以在破坏之前达到目标。有关论文，请参见Sudderthand Weerasinghe（1989）、Kulldorff（1993）和Browne（1997、1999a、1999b）。我们不控制收入，而是最大化实现特定目标的概率，允许个人购买人寿保险以帮助实现该目标，同时增加随机期限（即死亡）。本文的其余部分组织如下：在第2.1节中，我们考虑了个人通过一个没有可用现金价值的单一保单购买终身保险的情况，而在第2节中。2.她可以以现金价值放弃任何或全部终身保险。在这两种情况下，我们都会计算她去世时的预期财富，因为她的目标是获得给定的遗产，所以死亡时的预期财富是相关的。第3节与第2节类似，适用于购买保险和持续支付保费的情况；然而，与第2节中的顺序相比，我们颠倒了主题的顺序。在第3.1节中，个人可以随时更改其保险金额；在我们这个时代，这相当于即时定期人寿保险。

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2022-5-5 19:55:39

相比之下，在第3节。2.我们不允许个人终止人寿保险，所以在她的余生中，她必须支付她购买的任何人寿保险。解决办法！第3.1 i节中的问题比第3.2节中的问题更简单，并形成了问题的解决方案，因此我们首先提出了更简单的问题。第四节总结了本文。2.单一保费人寿保险本节开始时，我们先说明个人面临的优化问题。在第2.1节中，我们考虑了这样一种情况，即个人通过一个无现金价值的单一保单购买终身保险，因此她从不放弃自己的寿险保单；她可能只会买更多。在第二部分。2.我们采用非零现金价值，并在这种情况下找到最佳的保险购买和退保政策。在第2.1节和第2.2节的末尾，我们计算了她死亡时的预期财富。2.1. 没有可用的现金价值我们假设该个人有一个投资账户，她用这个账户来达到给定的遗赠目标。这个账户与她用来支付生活费用的钱是分开的。独立投资者可以按连续利率r>0投资无风险资产收益利息，精算师称之为利息，或购买终身保险。用τd表示个体未来的生命周期随机变量。我们假设τd服从均值λ的指数分布。（换句话说，个体受到恒定的重力或危险率λ的影响。）个人购买在时间τd支付的人寿保险。该保险作为实现遗赠动机的手段。在这个时间齐次模型中，我们假设在任何时候，在时间tτd支付的adollar死亡福利都是H。将单项保费写为：H=（1+θ）¨Ax=（1+θ）λr+λ，其中θ≥ 0是固有风险负荷。

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2022-5-5 19:55:43

假设θ足够小，使得H<1；否则，如果H≥ 1，则买方不会为一美元的死亡赔偿金支付一美元或更多。在本节和第2.2节中，我们建议在签订合同时支付保险费；如上所述，H是每美元死亡抚恤金的单一保费。在第3节中，我们考虑了连续支付保险费的情况。让W（t）表示时间t时该独立投资账户中的财富≥ 0.设D（t）表示在时间τD购买时或之前应付的死亡金额≥ 因此，在单一保费保险中，财富遵循动态（dW（t）=rW（t-) dt- H dD（t），0≤ t<τd，W（τd）=W（τd-) + D（τD）-).一种新的采购策略D={D（t）}t≥如果（i）D是一个非负的、非减损的过程，独立于τD，并且（ii）如果该过程下的财富对于所有t都是非负的，则0是可容许的≥ 0.我们将后一种情况包括在内，以防止个人根据其人寿保险借款。备注2.1。通过要求D不随时间减少，我们有效地假设个人一旦购买了任何人寿保险就不能退保。在现实世界中，终身保险有一个个人可以撤回的相关价值，在第2.2节中，我们将该特征包括在内。我们假设个体寻求最大化W（τd）的概率≥ b、通过优化容许控制D，相应的值函数由φ（w，D）=supDPw，D（w（τD）给出≥ b），（2.1），其中Pw，Ddenotes条件概率给定W（0-) = W≥ 0和D（0-) = D≥ 0.我们称φ为达到遗赠目标的最大概率。如果D≥ b、那么，个人已经达到了自己的目标；因此，从今往后，在本节中，我们假设D<b。

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2022-5-5 19:55:47

如果财富等于H（b）- D），即所谓的安全水平，那么，个人将其全部财富用于购买b的人寿保险是非常必要的- D，使总死亡受益变为b=（b- D） +D。因此φ（w，D）=1表示w≥ H（b）- D） and0≤ 因此，它只剩下确定到达边界的最大概率r={（w，D）：0≤ W≤ H（b）- D），0≤ D<b}。接下来，我们给出一个验证引理，该引理表明（2.1）中与最大化问题相关的变分不等式的“好”解是值函数φ。因此，我们可以把问题化为求解一个变分不等式。我们在没有证据的情况下陈述了验证引理，因为它的证据与文献中的其他证据相同；例如，参见Wang和Young（2012a，2012b）在包含风险资产的金融市场中的相关证据。引理2.1。设Φ=Φ（w，D）是一个关于R={（w，D）：0上的w和D都是不递减且可微分的函数≤ W≤ H（b）- D），0≤ D<b}，除了Φ在w=0时可能对w有明确的竞争。假设Φ满足R上的以下变分不等式，除非w=0:max（rwΦw- λΦw，ΦD- HΦw=0。（2.2）此外，假设Φ（H（b- D），D）=1。那么，在R上，φ=Φ。区域R={（w，D）∈ R：φD（w，D）- Hφw（w，D）<0}被称为延续区，因为当财富和人寿保险收益位于R的内部时，个人不购买额外的人寿保险；相反，她继续保持目前的收益，将自己的财富投资于无风险资产。事实上，φD<Hφw意味着在苏丹购买更多生命的主要好处（φD）小于购买的边际成本（Hφw）。

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2022-5-5 19:55:50

关于R中该区域的闭包，writencl（R），λφ=rwφwholds上的等式i。为了帮助我们解决变分不等式（2.2），我们回顾了在类似的问题中（例如，如Milevsky等人（2006）所述，购买终身年金以最小化终身破产的概率），最佳策略是仅在安全水平下“采取行动”。在我们的例子中，只有当财富达到H（b）时，这才转化为购买glife保险-D），所以φ解决了以下关于0的边值问题≤ W≤ H（b）- D）和0≤ D<b：（rwφw）- λφ=0，φ（H（b- D），D）=1。（2.3）只有当财富达到H（b）时才购买人寿保险- D）确实是最优的，正如我们在下面的命题中所证明的。提议2.2。在R={（w，D）上达到遗赠目标的最大概率：0≤ W≤H（b）- D），0≤ D<b}由φ（w，D）给出=wH（b）- D）λr.（2.4）相关的最优人寿保险购买策略是在财富达到安全水平H（b）之前不购买额外的人寿保险- D），此时，最好购买b的额外人寿保险- D.证据。我们用引理2.1来证明这个命题。首先，请注意（2.4）中的φ相对于R上的w和D都在增加和可区分，除了w=0时。因为φ解决了有界ary值问题（2.3），所以我们有rwφw- λφ=0。接下来，我们证明φD- Hφw≤ R上的0：φD（w，D）- Hφw（w，D）=λrHwH（b）- D）λr-1.w（b）- D）-血红蛋白- D∝ W- H（b）- D）≤ 因此，对于变分不等式（φ2.4），我们已经证明了。连续区域等于R={（w，D）：0≤ w<H（b）- D），D<b}；因此，最佳的保险购买策略是购买b的附加保险- 当财富达到安全水平时- D）。例2.1。对于数值示例，取以下参数值：b=1，r=0.03，λ=0.08，θ=0.2。

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2022-5-5 19:55:55

假设一个人的财富为0.4，现有保险额为0.3。最佳策略是等到财富达到0.60909的安全水平后再购买。遗赠目标实现的概率为0.11198。备注2.2。我们完全预计，当考虑其他模型时，本节的结果将成立，例如更一般的财务和死亡率模型，包括那些时间不均匀的模型。具体而言，我们预计，当保险以单一保费购买，且没有可用现金价值时，最好等到财富达到安全水平后再购买额外的人寿保险。备注2.3。最优控制的财富投资于无风险资产，直到其达到H（b）- D） )；因此，对于给定的初始财富W<H（b），在达到安全水平之前，时间t的财富等于W（t）=wert- D）。财富达到安全水平的时间，用τH（b）表示-D），由τH（b）给出-D）=rlnH（b）- D） w.如果个人在时间τH（b）后死亡，则其达到遗赠动机-D）；这很有可能发生-λτH（b）-D），与（2.4）中给出的表达式相同。因为我们正在最大化死亡时财富等于b的概率，所以确定死亡时的预期财富很有意义。死亡时的预期财富等式E（w，D）=Ew，D（w（τD-) + D（τD）-));因此，根据备注2.3中的讨论，我们得到了e（w，D）=ZτH（b）-D）（wert+D）λe-λtdt+bφ（w，D），下面的推论如下。推论2.3。对于遵循命题2.2中最优人寿保险购买策略的个人，在deat h，E（w，D）=Ew，D（w（τD））时的预期财富由（w，D）给出=（b）- D） h1-λHλ-里wH（b）-D）λr+λwλ-r+D，如果λ6=r，whH+lnH（b）-D）wi+D，如果λ=r.（2.5）备注2.4。Ew，D（W（τD））等期望满足带边界条件的微分方程。

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2022-5-5 19:55:58

事实上，通过一个标准的验证引理，我们可以证明Ew，D（W（τD））唯一地解以下的边值问题（BVP）为0≤ W≤ H（b）- D）和0≤ D<b：（λ（E）- （w+D））=rw-Ew，E（H（b）- D），D）=b。因为方程（2.5）中的表达式解决了这个BVP，我们确认它是正确的表达式，D（W（τD））。2.2。现金价值可用标准的非破产法确保持有终身保单的个人可以用保单的现金价值交换保单。在本节中，我们将整个人寿保险的这一特点纳入第2.1节的模型中。因此，我们允许过程D减小，尽管它仍然要求为非负。我们假设，当该个人放弃其死亡抚恤金时，她会收到一定比例的购买价格。（如果现金价值是根据其他方法确定的，比如准备金的比例，那么人们仍然可以将其表示为购买价格的比例。）让ρ∈ [0，1]是部分退保费用，以便个人收到（1- ρ）她交出的每一美元死亡抚恤金。ρ=1的情况相当于没有现金价值的情况，如第2.1节所述。写出φs，以了解在可以提供终身保险的情况下，死亡时财富达到遗产b的最大概率。（我们用上标s表示可以放弃保险。）相应的验证引理如下所示。引理2.4。设Φs=Φs（w，D）是一个函数，它对于R={（w，D）：0上的w和D都是非递减的、连续的、分段可微的≤ W≤ H（b）- D），0≤ D<b}。假设Φs在R:max（rwΦsw）上满足以下变分不等式- λΦs，ΦsD- HΦsw，（1- ρ） HΦsw- ΦsD）=0，（2.6），其中我们使用单边导数，如果需要的话。另外，假设Φs（H（b- D），D）=1。

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2022-5-5 19:56:02

然后，onR，φs=Φs。区域R={（w，D）∈ R：φsD（w，D）-Hφsw（w，D）<0和（1）-ρ） Hφsw（w，D）-φsD（w，D）<0}是延续区域，因为当财富和人寿保险收益位于R的内部时，个人不会购买或放弃人寿保险；在引理2.1之后，我们讨论了不等式φsD<Hφsw；综上所述，这意味着购买更多人寿保险的边际收益（φsD）小于购买更多人寿保险的边际成本（Hφsw）。同样，不平等性（1- ρ） Hφsw<φsda意味着放弃人寿保险的边际收益（（1- ρ） Hφsw）小于这样做的边际成本（φsD）。关于R中该区域的闭包，写为cl（R），方程λφs=rwφsw成立。为了确定φs，我们假设最优采购策略与第2节中的相同。1.具体而言，个人在财富达到安全水平H（b）之前不会购买额外保险- D）。此外，我们假设，为获得足够小的财富而放弃人寿保险是最佳的，这样个人就可以清算自己的资产，以利用无风险回报。结果证明这个假设是正确的，我们在下面的命题中证明了这个断言。提议2.5。在R={（w，D）上达到遗赠目标的最大概率：0≤ W≤H（b）- D），0≤ D<b}由φs（w，D）给出=w+（1）-ρ） H DHbλr，如果0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D） ,，wH（b）-D）λr，if（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D）。（2.7）相关的最优寿险放弃和购买策略如下：（a）如果wealt h小于（1-ρ） H（b）- D），然后放弃所有人寿保险。

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2022-5-5 19:56:05

此后，将所有财富投资于无风险资产，直到财富达到安全水平Hb，此时，如果财富大于或等于（1），最好购买b.（b）的人寿保险- ρ） H（b）- D），然后将所有财富投资于无风险资产，直到财富达到安全水平H（b- D），此时，最好购买b的额外人寿保险- D.证据。我们用引理2.4来证明这个命题。首先，不是e，φsin（2.7）是递增的、连续的，并且对于R上的w和D是分段可微的。当0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D），rwφsw- λφs=-λ(1 - ρ）分贝w+（1）- ρ） HDHbλr-1.≤ 0.事实上，这种不平等是严格意义上的，除非D=0，在这种情况下，个人没有死亡利益可以放弃。对于（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D），φs解（2.3）中的微分方程；因此，rwφsw- λφs≤ 0在右侧。接下来，观察（1- ρ） Hφsw- φsD≤ R上为0。事实上，当0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D），它们的内在品质是相等的，而rwφsw- λφs<0，d6=0；因此，当财富低于（1）时，最好放弃allone的人寿保险- ρ） H（b）- D）。什么时候- ρ） H（b）- D） <w≤ H（b）- D）这种不平等严格地存在；因此，我们推断，当健康度大于（1）时，投保任何人寿保险都不是最优的- ρ） H（b）- D）。当w=（1）时- ρ） H（b）- D），个人在放弃所有的人寿保险和不放弃任何一项保险之间没有区别，只要最大限度地提高她将在财富相等的情况下死亡的可能性。我们假设当w=（1）时，她不参加任何人寿保险- ρ） H（b）- D）因为，对于那笔财富来说，如果她不以保险来维持生命，那么死亡时的预期财富会更大；见推论2。下文第6段。最后，观察φsD（w，D）- Hφsw（w，D）≤ 右0。

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2022-5-5 19:56:09

事实上，当0≤ w<H（b）- D）严格把关；因此，我们推断，在健康达到安全水平之前购买额外的人寿保险不是最优的。因此，我们已经证明φsin（2.7）的表达式满足变分不等式（2.6）。备注2.5。我们预计，当我们考虑其他模型时，本节的结果将成立，例如更多的一般财务和死亡率模型，包括那些时间不均匀的模型。具体而言，我们预计，当通过单一保费和现金价值购买保险时，最好等到财富达到安全水平后再购买额外的人寿保险，当财富足够低时，可以选择放弃人寿保险。例2.2。再次考虑示例2.1中的数据，只是现在假设允许投降。如果ρ=0.5，则最优策略的成功概率上升至0.24487。如果ρ=0.3，则进一步上升至0。31703.如第2.1节所述，对于被允许放弃人寿保险以换取其现金价值的人，确定死亡时的预期财富是有意义的。计算以下推论中的表达式很简单，所以我们把这个工作留给感兴趣的读者。推论2.6。对于遵循命题2.5中最优人寿保险购买和放弃策略的个人，死亡时的预期财富Es（w，D）=Ew，D（w（τD）），如果λ6=r:Es（w，D）=bh1-λHλ-里w+（1）-ρ） H DHbλr+λ（w+（1）-ρ） HD）λ-r、如果0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D），（b）- D） h1-λHλ-里wH（b）-D）λr+λwλ-r+D，如果（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D）。（2.8）如果λ=r，则死亡时的预期财富为是（w，D）=（w+（1）- ρ） HD）hH+lnHbw+（1）-ρ） HDi、如果0≤ w<（1）- ρ） H（b）- D），whH+lnH（b）-D）wi+D，如果（1）- ρ） H（b）- D）≤ W≤ H（b）- D）。（2.9）备注2.6。

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2022-5-5 19:56:13

注：Esin（2.8）和（2.9）处的t h在w=（1）处不连续- ρ） H（b）- D），这是指个人为了财富小于或大于（1）的最优放弃策略之间的差异- ρ） H（b）- D）。可以证明Es（（1）- ρ） H（b）- D）-, D）≤ Es（（1）- ρ） H（b）- D） +，D）；因此，从死亡时预期财富的角度来看，当w=（1）时，个人最好不要放弃人寿保险- ρ） H（b）- D），即使达到b的概率是相同的，不管她是放弃了所有的人寿保险，还是没有放弃那一水平的财富。3.通过连续支付的保费购买的保险第3节与第2节平行，适用于通过连续支付的保费购买保险的情况；然而，我们颠倒了小节的顺序。在第3.1节中，允许个人随时更改其保险金额；在我们的时代背景下，这相当于即时定期人寿保险。相比之下，在第3.2节中，我们不允许个人终止人寿保险，因此在她的余生中，她必须支付购买的任何人寿保险。第3.1节中的问题解决方案比第3.2节中的问题解决方案更简单，因此我们首先介绍更简单的问题。3.1在本节中，我们假设个人通过连续支付的保费购买人寿保险，保险费率为h=（1+’θ）λ每一美元保险中的某些‘’θ≥ 0.此外，我们假设个人可以随时更改其保险金额。按比例加载包括费用、利润和风险保证金；因此，我们假设没有储备积累。因此，本节中的设置等同于个人定期人寿保险。

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2022-5-5 19:56:16

随着即时定期人寿保险不断支付保费，财富遵循动态（dW（t）=（rW（t）- hD（t））dt，0≤ t<τd，W（τd）=W（τd-) + D（τD）-) .（3.1）对于本节，可接受的保险策略D={D（t）}t≥0是任何非负过程。我们不坚持允许的策略是W（t）≥ 0代表所有t≥ 0，概率为1，因为负漂移项不断消耗财富-hD（t）。因此，如果个人死亡前财富达到0，我们通过有效结束游戏，修改了达到最佳财富的最大概率的定义。定义τ=inf{t≥ 0:W（t）≤ 0}，并通过φt（w）=supDPw（w（τd）定义值函数∧ τ) ≥ b），（3.2）其中，我们最大化了超容许策略D。（我们使用一个条表示保费是可连续支付的，我们使用上标t表示保险是定期人寿保险。）我们指的是在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率。为了激发这个问题的验证引理，我们进行以下非正式讨论。因为D是一个瞬时控制，我们预计‘φt解决以下控制方程：λ‘φt=rw‘φtw+maxDλ1{w+D≥b}- hD′φtw, （3.3）其中指示器功能为1{w+D≥b} 如果w+D等于1≥ 否则等于0。我们没有在第2节的问题中计算这个指示符函数，因为对于0≤ W≤ H（b）- D） and0≤ D<b，我们自动得到w+D<b。在（3.3）中，指示函数等于0或1，对应于这些值中的每一个，我们选择作为（受限）最小值，因为-hD′φtw，即由w+D<bor w+D构成≥ b、分别。具体来说，如果指标等于0，则最佳保险为D=0；如果它等于1，那么最佳保险是D=b- W

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2022-5-5 19:56:19

因此，我们可以用等价表达式替换方程（3.3）：λ′φt=rw′φtw+maxλ - h（b）- w） φtw，0.用“wt”表示该问题的安全水平。我们通过以下论证得出：收入r可以为死亡福利提供资金，我们要求死亡福利和现有财富之和等于目标b；也就是说，r’wth+’wt=b，或者等效地，’wt=hbr+h。当定价中使用的风险率为h时，不等于购买b的终身保险的单一保费。这些观察结果导致了以下验证引理。引理3.1。设“Φt=”Φt（w）是一个在[0，\'wt]上不递减、连续且分段可微分的函数，其中，\'wt=hbr+h，但“Φt”在0处可能不可微分。假设Φs满足以下变分不等式on（0，\'wt]：λ′Φt=rw′Φtw+maxλ - h（b）- w） Φtw，0, （3.4）如果需要，我们使用单边衍生品。此外，假设Φt（\'wt）=1。n，在[0，\'wt]，\'φt=\'Φt.因此，在接下来的情况下，似乎不像是“数学魔术”，我们讨论如何获得最大化问题的解决方案。因为我们在w=`wt有一个边界条件，所以我们从这一点开始反向工作。在任何财富水平w，个人选择购买B的保险- 我们不买保险。首先，假设在“wt”附近，个人购买了b的全额保险- W表示λ（°φt）的结果解- 1) = -（hb）- （r+h）w）φtw，其中φt（\'wt）=1，乘以φtf。那么，φtf由φtf（w）=1给出- K血红蛋白- （r+h）whbλr+h，对于w，接近¨wt。这里，k>0是一些（未知）常数。接下来，假设在“wt”附近，个人购买了n-o保险；用φt表示λ′φt=rw′φtw的结果解，其中φt（\'wt）=1，则φt由φt（w）给出=（r+h）whbλr，对于w近wt。为了确定w近wt时φ和φtf中哪一个更大，比较它们在wt时的导数。

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2022-5-5 19:56:23

因为λr+h<1，limw→ \'wt（\'φtf）w（w）=∞, 虽然（\'φt）w（\'wt）是正的，但是是有限的。因此，对于“wt”附近的财富，φt≥\'\'φtf。这可能是因为在财富的某个区间，我们有≤\'\'φtf。然而，suchan区间的存在取决于λ≤ r或λ>r.如果λ≤ r、然后“φt”≥\'\'对于所有0≤ W≤ “wt；在第3.2点中，我们证明了‘φt=’φt。如果λ>r，则存在财富水平w*∈ （0，\'wt）使得\'φt≤\'\'φtfon[0，w*) 和φt≥\'\'φtfon[w*, “wt]；在命题3.5中，我们证明了“φt=”φtfon[0，w*)和“φt=”φ吨[w*, “\'wt]，选择常数k，使“φt”在w处连续*.提议3.2。如果λ≤ r、然后，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由φt（w）给出=（r+h）whbλr，（3.5）对于初始财富w∈ [0，\'wt]。相关的最佳人寿保险购买策略是，在财富达到安全水平“wt”之前，不购买任何人寿保险，此时购买b的人寿保险是最佳选择- (R)wt=rbr+h证明。我们用引理3.1来证明这个命题。首先，请注意，\'φtin（3.5）在[0，\'wt]上是连续的，并且在[0，\'wt]上是递增的，\'φtis在（0，\'wt]上是可区分的，\'φt（\'wt）=1。接下来，注意λ′φt=rw′φtw，在（0，\'wt.）上。不等式λ- h（b）- w） φtw≤ 0仅当且仅当1-r+hrxλr-1+hrxλr≤ 0，（3.6）表示所有0<x≤ 其中x=（r+h）whb。对于λ=r，不等式（3.6）显然是正确的。为了显示λ<r的不等式（3.6），定义（0,1]byf（x）=1- （xa+1）-1+cxa，其中c:=hr>0，a:=λr∈ （0，1），我们希望展示f（x）≤ （0，1）上的0。为此，请观察limx→0+f（x）=-∞, f（1）=0，这就足以证明f在（0，1）上增加了- a） xa-2+caxa-当且仅当（c+1）（1）- （a）≥ 0，这是真的。因此，我们证明了φtin（3.5）满足变分不等式（3.4）。

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2022-5-5 19:56:27

选择保险策略源于“φt”用D解决变分不等式这一事实≡ 0.备注3.1。当死亡的力量小于或等于关注的力量时，他们会觉得自己有时间达到安全水平；因此，对于个人来说，最好是投资于无风险资产，等到达到安全水平后再购买任何人寿保险。对于初始财富w，t i m e t等于w（t）=wert，财富达到安全水平的时间等于τ＠wt=rln血红蛋白（r+h）w.死亡前达到安全水平的概率等于e-λτwt等于φtin（3.5），如预期。从备注3.1中的讨论中，我们得出以下推论。推论3.3。如果λ≤ r、然后，对于遵循命题3.2中最优人寿保险购买策略的个人，死亡时的预期财富，\'Et（w）=Ew（w（τd）），由\'Et（w）给出=bh1+hr+hλr-λi（r+h）whbλr-λwr-λ、如果λ<r，whr+hh+ln血红蛋白（r+h）wi、如果λ=r.（3.7），则备注3.2。注意，\'Etin（3.7）在（0，\'wt]上唯一地解出以下BVP:（λ（\'Et- w） =rw¨Etw，¨Et（¨wt）=b.接下来，我们考虑λ>r的稍微复杂的情况，并给出一个有用的引理，我们将其归入附录a。引理3.4。假设c和a是常数，使得0<c<1<a。n，以下三个语句成立：（a）函数f[0，1]由f（x）=xa+（1）定义- x） c- 1具有唯一的零x*在内部（0,1）。此外，f（x）≤ 0换0≤ 十、≤ 十、*, 和f（x）≥ 0代表x*≤ 十、≤ 1.（b）函数fon[0，1）由f（x）=1定义-ca（1）- x） c-1.-1.-ca(1 - x） [0，x]上的cis非负*].（c）函数fon[0，1]由f（x）=1定义-acxa-1+交流电- 1.x在[x]上为非正*, 1].我们用引理3.4来证明下面的命题。提案3.5。

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2022-5-5 19:56:30

如果λ>r，那么在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率m由φt（w）给出=1.-血红蛋白-（r+h）whbλr+h，如果0≤ w<w*,（r+h）whbλr，如果w*≤ W≤ 对于初始财富w，wt=hbr+h，（3.8）∈ [0，\'wt]。给，w*是以下表达式（0，`wt）中唯一的零：（r+h）whbλr+血红蛋白- （r+h）whbλr+h- 1.（3.9）相关的最优寿险购买策略如下：（a）如果财富w小于w*, 然后购买b的人寿保险- w、（b）如果财富大于或等于w*, 然后，在财富达到安全水平“wt”之前不要购买人寿保险，此时最好购买b的人寿保险- (R)wt=rbr+h证明。首先，使用引理3.4（a）证明（3.9）中的表达式在（0，`wt）中有唯一的零。为此，设a=λr>1，c=λr+h∈ （0,1）和x=（r+h）whb；然后，（3.9）中的表达式变成finLemma 3.4（a）。我们知道FH是一个不完整的零x*in（0,1）；因此，w*=hbx*r+his是（0，`wt）中（3.9）的唯一零。接下来，请注意，\'φt（\'wt）=1时，\'φt n在[0，\'wt]上是递减的、连续的和分段可微的。在[0，w]上*),(λ - 1） \'\'φt=（（r+h）w- b） φtw，（3.10）和等式λ- h（b）- w） φtw≥ 0（3.11）当且仅当1-B- wb1.-（r+h）whbλr+h-1.≥ 0.（3.12）在不等式（3.12）中，设a=λr>1，c=λr+h∈ （0,1）和x=（r+h）whb，如前所述；然后，（3.12）变成≥ [0，x]上的0*), 从引理3.4（b）中我们知道这是正确的。因此，我们证明了[0，w]上的不等式（3.11）*). 从方程（3.10）和不等式（3.11）可以看出，“‘φt’是引理3.1中关于[0，w]的变量不等式（3.4）*). 因为“φtsatis fies（3.3）与D（w）=b-w当0≤ w<w*,我们推断，对于财富少于w*, 为了达到遗赠目标，最好购买保险。在[w]上*, \'wt]、λ′φt=rw′φtw，（3.13）和等式λ- h（b）- w） φtw≤ 0（3.14）当且仅当1-r+hr·b- wb（r+h）whbλr-1.≤ 0

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2022-5-5 19:56:33

（3.15）在不等式（3.15）中，设a=λr>1，c=λr+h∈ （0,1）和x=（r+h）whb，如前所述；然后，（3.15）变成≤ [x]上的0*, 1] ，我们从引理3.4（c）知道这是真的。因此，我们证明了[w]上的不等式（3.14）*, “wt]。从方程（3.13）和不等式（3.14）可以看出，“‘φt’是引理3.1中关于[w]的变量不等式（3.4）*, “wt]。因为当w时，D（w）=0的φtsatis fies（3.3）*≤ W≤ 1，我们推断，对于财富大于或等于w*, 我选择不买保险。相反，最好等到财富达到安全水平“wt=hbr+h”，此时个人将购买BRR+h保险。备注3.3。财富等于w*, 当个人购买全额保险D（w）=b时，财富死亡的概率等于b- 直到财富达到0，或者直到财富达到安全水平，她才购买保险。因此，她在这两种策略之间是不同的，我们选择了不买保险策略，因为在这种策略下，她在死亡时的预期财富更大；见下文推论3.6。备注3.4。当λ>r且处于i-w时∈ [0，w*), 最佳控制时间tequalsW（t）=hbr+h时的财富-hbr+h- We（r+h）t，它不断减小，在个体死亡之前可能达到零。hitszero财富的时间由τ=r+hln给出hbhb- （r+h）w.个人死亡时财富（包括死亡福利）等于b的概率等于个人在时间τ或1之前死亡的概率- E-λτ，与预期的一样，等于φt。当最初的财富∈ [w]*, “\'wt]，然后该个人将其所有财富投资于无风险资产，使得时间t时的财富等于wert，并且在财富达到安全水平之前，她不会购买保险。\'wt=hbr+h。根据备注3.4中的讨论，我们得出以下推论。推论3.6。

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2022-5-5 19:56:39

如果λ>r，则遵循命题3.4中最优人寿保险购买策略的个人的预期死亡财富，\'Et（w）=Ew（w（τd）），由\'Et（w）给出=B1.-血红蛋白-（r+h）whbλr+h, 如果0≤ w<w*,bh1-hr+hλ-里（r+h）whbλr+λwλ-r、如果w*≤ W≤ 此外，重量（3.16）和重量（w*-) <\'Et（w*+).备注3.5。在[0，w]上*), 我们可以证明，Etin（3.16）唯一地解决了以下BVP：（λ（\'Et- b） =（（r+h）w- hb）\'Etw，\'Et（0）=0。在[w]上*, \'wt]，\'Etin（3.16）唯一地解出以下BVP，如备注3.2所示：（λ（\'Et- w） =rw¨Etw，¨Et（¨wt）=b.接下来，我们给出了分界点w的性质*. 出于对空间的兴趣，我们省略了这个推论的证明，但请感兴趣的读者提供它。推论3.7。当λ>r时，分界点w*在全额保险D（w）=b之间- w代表w<w*没有保险D（w）=0代表w≥ W*满足以下特性：（a）w*与遗产目标b成比例增加。（b） w*随着λ的增加，死亡率增加。（c） w*与无风险回报率r相关的减少。备注3.6。（a）很明显，w*与b成比例变化。实际上，x*=（r+h）w*HBs1- （十）*)λr=（1）- 十、*)λr+h。这个方程依赖于b，所以x*不随b变化；因此，w*双常数。（b） λ对w有相互竞争的影响*. 对于固定的保险费率，w*随着λ的增加而增加，因为个体在达到安全水平之前死亡的可能性更大，wt=hbr+h。因此，对于h fixed，Shei更可能希望现在购买全额保险，而不是等待达到安全水平。然而，保险费率h随着λ的增加而增加，因此我们必须考虑w*安全水平随h而增加，这使得个体不太愿意等待达到安全水平。但是，随着h的增加，Premium变得更加昂贵；因此，个人购买全额保险的愿望减弱了。

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2022-5-5 19:56:42

这些影响的净值是w*随λ增加；也就是说，Premium的额外成本不足以完全消除个人购买su rancenow的更大意愿。（c） r对w有两种影响*. 首先，安全水平HBR+HDR随着r的降低而降低，因此个人不必等待太久才能达到安全水平。第二，如果r增加，那么个人的钱会以更快的速度增加（即r），并更快地达到任何水平。因此，w*随着r降低，因为个体更愿意等待达到安全水平。（d）我们发现了一些例子，证明w*可能随θ而减小，也可能随θ而增大。θ对w有两种相互竞争的影响*如上文第（b）部分所述：增加安全水平，而不是增加排放量。如果提高保险费的效果大于提高安全水平的效果，那么w*随θ减小，反之亦然。例3.1。为了演示备注3.6中的讨论，我们给出了一个数值例子。对于我们的基本方案，取以下参数值：b=1、r=0.03、λ=0.08和h=（1+0.25）λ=0.10。因此，安全水平等于0.7692，w*= 0.6949.（a）首先，我们从数值上证明了w*相对于λ增加，同时保持θ=0.25。写w*（λ）表示w*’在这个例子中，s依赖于λ。我们有w*（0.04）=0.0873，w*（0.05）=0.3323，w*（0.06）=0.5118，w*(0.08) = 0.6949.（b）接下来，我们用数值方法证明w*相对于r减小。写入w*（r）表示w*’在这个例子中，s依赖于r。回想一下r<λ，所以我们将考虑r∈ [0,0.08）。我们有*（0.00）=1.0000，w*（0.01）=0.9091，w*（0.02）=0.8333，w*（0.03）=0.6949，w*（0.04）=0.5118，w*（0.05）=0.2864，w*（0.06）=0.0873，w*(0.07) = 0.0030.（c）最后，我们从数值上证明了w*在保持λfix–th不变的情况下，可能会相对于h减少或增加，也就是说，我们改变了θ。

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2022-5-5 19:56:45

写w*（h）表示w*’在这个例子中，s依赖于h。首先，w*（0.08）=0.7054，w*（0.10）=0.6949，w*(0.15) = 0.6197. 那么，w*当λ=0.08时，随h减小。Nex t，设λ=0.12；然后，w*（0.12）=0.7992，w*（0.15）=0.8193，w*（0.20）=0.8101，和W*(0.25) = 0.7838. 那么，w*当λ=0.12时，随着h的增加，第一次增加，然后减少。备注3.7。现在，我们总结一下在本节中所学到的知识，并澄清一些结果。假设个人决定开始购买财富水平低于安全水平的全额保险。如果她在时间τ之前去世，这是一个成功的举动，时间τ是她的财富耗尽到零的时间；另一方面，如果她活到时间τwt，等到达到安全水平后再购买是成功之举。因此，让p（t）=e-λt如果生存到时间t的概率为1，最好的策略是购买全额保险- p（τ）≥ p（τwt），即p（τ）+p（τwt）≤ 1.而赌注策略是等待不平等性的恶化。因此，我们看到*正是r得出的财富水平inp（τ）+p（τ¨wt）=1。从这个方程中我们可以看出，任何导致τ和τw增加的变化都会使概率降低，而t h则会增加w*, 而导致这两个时间减少的变化（例如r的增加）将减少w*. 对于导致两个温度向不同方向移动的变化，其影响可能是不确定的，正如我们在上文中注意到的，h的增加导致τwt增加，但τ减小。3.2终身不可撤销在本节中，我们假设，一旦个人购买了给定金额的保险D，那么她必须在其余生中以hD的费率支付保费。她无法逆转这次购买。财富遵循（3.1）中给出的过程。

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2022-5-5 19:56:50

表示至少在毁灭前死亡的最大概率为‘φ；其定义如（3.2）所示，但本案中可接受战略差异的定义除外。事实上，一个不安全的采购策略D={D（t）}t≥如果D是一个非负且非递减的过程，则0是允许的。对于连续支付保费的不可逆人寿保险，安全水平取决于现有的人寿保险金额D。实际上，对于给定的财富水平w，个人可以安全地将其投资于无风险资产，并以rw的比率获得投资收益。由于该个人已经拥有D的死亡福利，在安全水平上，该收入必须足以覆盖保险费；是的，rw≥ hD，或相当于w≥hDr。此外，如果D小于RBR+h，则我们得到了第3.1节中的安全水平，即HBR+h。因此，当人寿保险为ir可逆时，安全水平由¨w（D）=max给出hbr+h，hDr=（hbr+h，如果是D≤rbr+h，hDr，如果D>rbr+h。φ的验证引理如下。引理3.8。对于R={（w，D）：0，t\'Φ=\'Φ（w，D）是一个关于w和D的非递减、连续且分段可微的函数≤ W≤ w（D），D≥ 0}. 假设“Φ满足”R:max上的下列变分不等式（rw）- hD）Φw- λΦ - 1{w+D≥b},ΦD= 0，（3.17），如果需要，我们使用单边导数。此外，假设Φ（w（D），D）=1。然后，在R上，φ=Φ。当D≥ b、最佳的人寿保险购买策略是不购买任何额外的人寿保险，因为D已经满足了目标遗赠。个人的目标不是在支付保险费率的同时毁掉自己。

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2022-5-5 19:56:53

因此，在这种情况下，“φ”解决了以下BVP：λφ - 1.= （rw）- hD）‘φw，’φhDr，D= 1.我们在下一个命题中给出了该BVP的解决方案；我们留给读者去证明它满足引理3.8的变分不等式（3.17）。提案3.9。关于R={（w，D）：0≤ W≤hDr，D≥ b} ，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由φ（w，D）=1给出-高清- rwhDλr.（3.18）相关的最佳保险购买策略是不购买任何额外保险。备注3.8。当D≥ 当最初的财富w在0，hDr, 最优控制的财富时间t等于（t）=hDr-hDr- Wert，随时间减少。因此，财富永远不会达到安全水平，相关的命中时间是零财富的命中时间τ，等于τ=rln高清- rw.个人死亡时财富至少等于b的概率是她在t i m eτ或1之前死亡的概率- E-λτ等于（3.18），如预期。D的情况之间有一个有趣的类比≥ b和第3.1节中的情况，其中λ>r和初始值w∈ [0，w*). 事实上，通过用注释3.4中给出的表达式检查上述W（t），我们可以看出，我们可以通过分别用b和r+h替换D和r，从后者中得到前者。0的命中时间和财富达到0之前死亡的概率是一致的。换句话说，我们可以从（3.8）中的第一个表达式得到（3.18），分别用D和r替换b和r+h。从备注3.8中的讨论中，我们得出以下推论。推论3.10。

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2022-5-5 19:56:56

如果D≥ b、然后，对于遵循命题3.9中最优人寿保险购买策略的个人，死亡时的预期财富，\'E（w，D）=Ew，D（w（τD）），由\'E（w，D）给出=D1.-hλ-R1.-高清-rwhDλr+λwλ-r、如果λ6=r，hD-rwrln高清-rwhD+（r+h）wh，如果λ=r.（3.19）备注3.9。如果D≥ b、然后（3.19）中的“E”唯一地解出以下0的BVP≤ W≤hDr：（λ（\'E）- （w+D））=（rw- hD）\'Ew，\'E（0，D）=0。从今往后，我们假设D<b，并且我们将要求“φ”在D=b之间是连续的。我们提出了以下最佳购买人寿保险的方法，其中w和D分别是初始财富和死亡福利：（a）支持b- D≤ W≤hDrandrbr+h<D<b；然后，假设如果w>b，个人将不购买额外的人寿保险- D.如果财富达到b值- D、然后，通过对死亡福利的即时控制，财富和死亡福利将保持在w′+D′=b线上，向点（w′，D′）=（0，b）移动。（b）假设0≤ D<b- w和0≤ W≤hbr+h.（i）假设t h在（w，D）距离线w′+D′=b“足够近”，则个人将购买b的额外人寿保险- 在这条线上，我们希望“D+w”和“D+w”在这条线上跳跃；否则，根据（3.17）中的微分方程，我们得到沿rw′=hD′的φ=0，这是不正确的。（ii）假设如果w“足够接近”安全水平HBR+h，则个人不会购买额外保险，直到其财富达到安全水平。在这部分ansatz中，D<rbr+h是固有的，因此安全水平下的t h等于w=hbr+h。我们将（稍微）滥用下面的符号，将t o′φ作为上述ansatz产生的各种边界值问题的解决方案。

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2022-5-5 19:56:59

然而，随着我们的进步，我们将证明“φwe-thusobain”确实是在破坏区域“Ra={（w，D）：b之前达到遗产目标的最大概率- D≤ W≤hDr、rbr+h<D<b}：根据安萨兹法案（a）部分，在破产前获得遗产的最大概率解决了以下BVP：λ(φ - 1） =（rw）- hD）‘φw，’φD（b）- D、 D）=0，\'φhDr，D= 1，limD→B-φ（w，D）=1-血红蛋白- rwhbλr.（3.20）w=b时φD=0的条件- D ari从安萨茨杂志上得知，个人购买的保险将沿着这条线持续下去。最后一个条件是D=b时需要连续性；或者，我们可以简单地要求lim（w，D）→（0+，b）-)？（w，D）=0，然后检查D=b处的连续性。（3.20）的解由φ（w，D）=1给出-（r+h）D- rbhbλr+h高清- rw（r+h）D- rbλr.（3.21）在下一个命题中，我们声明‘（3.21）中的φ等于达到遗赠目标的最大概率；我们可以通过引理3.8证明这个命题。提案3.11。关于`Ra={（w，D）：b- D≤ W≤hDr，rbr+h<D<b}，在毁灭前达到遗赠目标的最大概率由‘φin（3.21）决定。相关的最佳保险购买策略是，当财富达到b时，在ly上购买额外的保险-D、之后继续购买额外保险，以确保财富和死亡福利之和等于b。备注3.10。对于“Ra”内部的初始财富和死亡收益，时间t等于W（t）=hDr时的最优控制财富-hDr- Wert，随时间减少。因此，财富永远不会达到安全水平，第一个相关的搭便车时间是财富达到b的时间- D、 τb-D、等于τb-D=rln（r+h）D- rbhD- rw.财富到达b之后- D、个人持续购买人寿保险，以保持财富加死亡福利等于b。

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2022-5-5 19:57:03

从备注3.4可知，在时间t=τb时-D+s代表s≥ 0，最优控制财富等式W（t）=hbr+h-D-rbr+he（r+h）s，随时间减小。因此，第二个相关命中时间是零的命中时间，τ=r+hln血红蛋白（r+h）D- rb,我们从时间τb开始测量-D.个人死亡时财富至少为b的概率等于她在时间τb之前死亡的概率-Dplus她在时间τ之前死亡的概率，假设她在时间τb之后死亡-D、或者1.- E-λτb-D+ E-λτb-D1.- E-λτ= 1.- E-λ（τ+τb）-D），与（3.21）中的表达式相同，如预期。从备注3.10中的讨论中，我们得出以下推论。推论3.12。对于（w，D）∈“\'Ra，遵循第3.11条建议的最佳人寿保险购买策略的个人死亡时的预期财富由”\'E（w，D）给出=高清-rw（r+h）D-rbλr（r+h）Dλ-R- Brλ-r+（r+h）D-rbhbλr+h+ Dh1-hλ-ri+λwλ-r、如果λ6=r，w+D-高清-rwrln（r+h）D-rbhD-rw-高清-rwh血红蛋白（r+h）D-rbhr+h，如果λ=r.（3.22）备注3.11。对于（w，D）∈（3.22）中的‘Ra，’E唯一地解出了以下BVP：（λ（’E）- （w+D））=（rw- hD）Ew，ED（b）- D、 D）=0，\'E（w，b）=\'E（w），其中\'E（w）=B1.-hλ-R1.-血红蛋白-rwhbλr+λwλ-r、如果λ6=r，hb-rwrln血红蛋白-rwhb+（r+h）wh，如果λ=r。D=b处的边界条件来自于E穿过D=b的连续性；因此，\'e是通过（2.22a）中D=b的表达式获得的。或者，我们可以简单地要求lim（w，D）→（0+，b）-)E（w，D）=0，然后检查D=b的连续性是否保持。区域Rb={（w，D）：0≤ D<b- w、 0≤ W≤hbr+h}：根据《安萨茨法案》第（b）（i）部分，对于（w，D）“足够接近”新的w′+D′=b，个人立即购买额外的人寿保险- （w+D）。Thu s，φ由φ（w，D）=φ（w，b）给出- w），其中右侧sid e由（3.21）给出。因此，φ（w，D）=1-血红蛋白- （r+h）whbλr+h。

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2022-5-5 19:57:07

（3.23）根据安萨茨第（b）（ii）部分，对于w“足够接近”安全水平HBR+h，假设D<rbr+h，“φ”解决以下BVP：λ′φ=（rw）- hD）‘φw，’φhbr+h，D= 1.（3.24）（3.24）的溶质由φ（w，D）给出=rw- hDhrbr+h- Dλr.（3.25）为了得到（3.25），我们假设rw- 当w<hbr+h时，hD>0；否则，如果线rw=hD位于连续区域，则（3.24）中的微分方程意味着沿rw=hD的¨φ=0，这是不正确的。此外，在书面形式（3.25）中，我们的意思是，如果w=hbr+hand D=rbr+hb，则φ=1，因为该点位于安全区域。接下来，我们找到（3.23）中表达的跳跃区域和（3.25）中表达的持续区域之间的边界。事实证明，我们可以将这个边界表示为函数D=Dj（w）；下标j表示跳跃。我们要求φ沿该边界是连续的；也就是说，我们需要e1-血红蛋白- （r+h）whbλr+h=rw- hDj（w）hrbr+h- Dj（西）λr.求解dj的方程≤ w<hbr+HYIELDSDDJ（w）=rhw-hbr+hfj（w）1- fj（w），（3.26），其中fj（w）=“1-血红蛋白- （r+h）whbλr+h#rλ。（3.27）因为fjhbr+h= 1.我们定义Djhbr+h通过连续性；具体来说，设置Djhbr+h=rbr+h。对于后面的情况，理解Djonh0、hbr+hi的图形很重要。下面引理的证明见附录B。引理3.13。

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2022-5-5 19:57:10

让函数D=Dj（w）由方程（3.26）和（3.27）定义为0≤ w<hbr+h，以及定义Djhbr+h=rbr+h.（a）Dj（w）≤rwh，仅在w=0和w=hbr+h时相等。（b）如果λ≤ r、那么Dj（w）从0增加到br+has w从0增加到hbr+h。（c）如果λ>r，那么Dj（w）≤ 0换0≤ W≤ W*, Dj（w）从0增加到br+从w增加到w*tohbr+h，其中w*是命题3.4中（3.9）表达式的唯一零。从引理3.13中，我们看到有两种情况需要考虑：λ≤ r和λ>r，如第3.1节中的问题。在接下来的两个命题中，我们证明了（3.23）和（3.25）中给出的“φ”沿D=Dj（w）拼接在一起，满足引理3.8的条件。首先，我们考虑λ≤ R第二，λ>r.命题3.14。假设λ≤ r、关于Rb={（w，D）：0≤ D<b- w、 0≤ W≤hbr+h}，在毁灭之前达到遗赠目标的最大概率由‘（w，D）给出=rw-hDh（rbr+h）-D）λr，如果0≤ D≤ Dj（w），1-血红蛋白-（r+h）whbλr+h，如果Dj（w）<D≤ B- w、（3.28）相关的最优保险购买策略如下：（a）如果0≤ D≤ Dj（w），则在财富达到安全水平HBR+h之前不要购买额外保险，此时，购买BRR+h的额外保险- D.（b）如果Dj（w）<D≤ B- w、然后立即购买b的附加保险- （w+D）然后继续购买额外的保险，以确保财富和死亡福利的总和等于b。函数“φi”在w和D中是递增的，并且是分段可微分的，在w=hbr+h时它等于1。回想一下，当w=hbr+hand D=rbr+h时，我们将（3.25）中的“φ”定义为等于1。从dj（w）的定义，我们知道（3.28）中的“φ”在“Rb”中是连续的；它也与（3.21）中给出的穿过线w+D=b的“φ”连续。

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