这个过程计算的lmax的值被称为LUMax，其中上标U代表“unhedged”。本小节的主要目的是在数值示例中说明，在流动市场上存在可用于对冲的不同CDS到期日的情况下，与给定的初始投资组合αold相对应的对冲投资组合可以显示出比相应的未对冲投资组合低得多的最大可能损失LMax。通过套期保值减少LMAX取决于初始投资组合。为了避免批评，即所研究的初始投资组合被选为那些表现出预期效果的投资组合，将随机生成初始投资组合。此外，以下定义的累积分布函数F（LHMax/LUMax）得到的结果比研究几个选定的初始投资组合得到的结果更一般，因此具有更大的适用性。为了实施刚才描述的程序，初始投资组合是通过给每个终止时间Tm，m=1，2，…，的净名义αOldmcorres提供一个值来定义的，N从区间[-1,1]上的均匀分布中画出N个伪随机数序列生成的αOldmare g的N值。然后计算LHMax（H表示对冲）和LUMax（U表示“未对冲”），并将LHMax/LUMax比率存储在c计算机内存中。该过程被重复多次，给出了一组与随机生成的初始投资组合相关的LHMax/lumax的nT变量值。可从计算机存储器中的数据存储器d（见上一段）中，对toLHMax/LUMax对应的随机变量的累积分布函数F（LHMax/LUMax）进行评级。

分布函数F（LHMax/LUMax）是对应于LHMax/LUMax的rando m变量的值小于LHMax/LUMax的概率。图2显示了三个不同的CDS流动性市场的分布函数，即基础na市场，流动性市场a），其到期日分别为1年、2年、3年、4年和5年，流动性市场b，其到期日分别为1年、3年和5年，以及流动性市场c，其单一到期日为5年。同一组随机生成的初始投资组合用于所有三个市场的计算。用于这些到期日的预付价格如表2所示，计算所需的其他参数如A节所示。首先要注意的是，从图2以及用于获得它的数据中，没有一个试验给出的LHMax/lumax值大于1。此外，例如，对于c ase a），LHMax/lumax的100%生成值小于0.725，50%生成值小于0.23 5。对于情况a）0.244，情况b）0.333，情况c）0.683，LHMax/lumax的预期值为。因此，由于对冲，预期的最大可能损失显著减少。在所考虑的情况下，液体市场上可用的到期日越多，减少的幅度就越大。4.3概率密度本小节描述了概率密度Γ的n个计算示例() 对于, 或者，相当于概率密度，即概率密度和损失ψ（自 并以图形方式显示结果。该计算是针对（20）给出的随机g e ne额定启动投资组合的一个示例进行的。

概率密度Γ的连续部分() 对于, 哪里 是（4）中给出的随机变量，在图2的图3中绘制了对冲和“非对冲”投资组合。（关于计算Γ的方法，请参见Walker（2012年）().) 标题中还描述了概率密度的离散部分。“未对冲”和对冲投资组合的地块都有相当大的结构。此外，从平均值来看，它们都是非常不对称的, 无论这些平均值是多少。因此，这些概率密度的特点是，只有少数几个参数参数化的简单描述无法充分捕捉。然而，在图3中可以很清楚地看到 这对投资组合做出了有意义的贡献，“未对冲”投资组合的总收益率显著高于对冲投资组合。换句话说，“未对冲”投资组合的风险明显高于对冲投资组合。（7）中定义的利润和损失变量ψ（τ，ρ）的概率密度很容易从（τ，ρ）将后者（如图3所示）向负方向平移 λ.对概率密度Γ某些特征的定性理解() 可以从函数图中获得（τ，ρ），如图4所示。从第（4）条可以看出(τ, ρ) = (τ, ρ = 1) + (1 - ρ) ((τ, ρ = 0) - (τ, ρ = 1)) . (17)0 100 200 300 4000123456Γ()  使用CDS对冲不使用CDS对冲图3：对于等式（20）定义的“未对冲”投资组合，LUmax=185.9%，而对于在到期日为1、2、3、4、a和5的市场上使用CDS对冲的投资组合，LHmax=42.4%。图中仅显示概率密度Γ的连续部分() 对于这两个案例。

概率密度中也有一个具体的部分 = = 224.4%，概率S=15.4%（对于“未对冲”的ca se），以及 = = 0.0%，对冲案例的概率S=15.4%。1 2 3 4 5 6-50050100150200τ（年）（τ，ρ）对冲投资组合-1000100200300400500未对冲投资组合τ（年）（τ，ρ）rho=0rho=1rho=0rho=1图4:（τ，ρ）用于对冲和“未对冲”（即仅用β对冲）投资组合。宽度 对于τ在一个季度（一年中）的变化，在固定ρ下，对冲案例的平均值约为1.1%，而“未对冲”案例的平均值约为1.6%。台词（τ，ρ=0）和（τ，ρ=1）如图所示，由（17）可知，给定τ，（τ，ρ）可以通过在（τ，ρ=0）和(τ, ρ = 1). 函数（τ，ρ）在τ从τ=Tm到τ=Tm+时具有不连续性，其中Tm是投资组合中一个CDS的终止日期，是一个正整数。其原因是终止时间为*****的CD对（τ，ρ）由于洛森违约。这一贡献与（1）成正比- ρ） 对于τ≤ Tm，但τ>Tm为零。请注意图3中的图Γ() 对 对于用来自流动市场的CDS对冲的投资组合而言，在Γ() 对于 接近 = 0.图4中也没有关于对冲投资组合的te，对于区间（1,1]、（2,2]、（2,3]、（4,4]和（4,4]年）内的τ（τ，ρ=0）和（τ，ρ=1）非常接近，也非常接近 = 这意味着，对于τ的这些范围，ρ的所有值∈ [0,1]加权其概率，贡献了近似相同的 ≈ 0，以及 在这个小范围内，接近零的值非常高。另一方面，对于τ∈ （0，]），ρ从1到0的变化导致（τ，ρ）在15%到160%之间变化。

这就产生了一个比附近的强峰低得多的更宽的高度分布 = 0描述了耳李r，其大部分重量发生在 = 110%至160%，其中概率密度γ（ρ）的权重最大。因此，Γ() 展示了相当大的结构，当它是一个由大量不同组件组成的位置时，就像刚才讨论的那样。此外，例如，了解（τ，ρ）到Γ() 对于τ和ρ的特定值，将有助于了解在默认时间为τ且恢复率为ρ的情况下会发生什么。本次讨论的重点是要注意，在评估与特定NCDS头寸相关的风险时，在检查各种情况时，可能会发现（τ，ρ）在某个局部区域内会出现最严重的风险。该区域将给出相应范围内的损失,（或相当于相应的利润和损失范围，ψ）。了解概率密度的一般特征很重要（τ，ρ），一个随机变量，给出了一个单一名称CDS投资组合的支付流的现值，作为路径（τ，ρ）的函数。它将通过发现如何捕捉Γ的特征来实现() 这对于确定CDS的价格变动至关重要，因为任何人都将开始在此类投资组合的风险管理方面取得进展。4.4概率密度 对于固定的回收率，虽然人们普遍认为回收率最好描述为一个随机变量，其值仅在违约后才显示，但文献中关于CDS估值的许多论文使用市场标准方法，将回收率视为常数，不计算Γ().

因此，研究Γ可能发生的变化是很有意义的() 如前一节所计算，在假设回收率为常数的情况下，如ρc。如前一节所述，对（20）中给出的投资组合进行数值计算。当回收率ρ=ρc时（τ，ρc）可从（17）中找到。从这个结果和图4中可以清楚地看出，在任何给定的季度，都可以用kth表示，其中τ∈ （Tk）-1，Tk]，（τ，ρc）是一个近似常数，可以用k==(（Tk）-1+，ρc）+（Tk，ρc）），（18），其中是一个正整数。当τ的概率密度用恒定危险率h来描述时，如A节所述，在k季度发生违约的概率为Nbypk=exp(-hTk-1) - 经验(-hTk）。（19） 因此 可以通过图5所示的离散谱精确近似，绘制了第k季度违约概率Pk与在那个季度，k、 将回收率作为一个随机变量的效果是平滑离散光谱，然后离散光谱变成图3.0 50 100 15000.020.040.060.080.10.120.140.16中或多或少平滑的光谱概率（十进制）保值投资组合100 200 300 40000.020.040.060.080.10.120.140.16图5中的概率（十进制）“未对冲”组合：当回收率取一个常数值，ρ=ρc，并且当考虑到CDS的单名组合，其合同到期日几乎每季度末一次时 很好且简单地近似为具有离散谱的随机变量。5总结和结论1。Walker（2012）引入了一个旨在处理非流动性CDS的不完整市场模型。因为非流动性CDS不可销售（即。

风险中性定价理论表明，这些衍生品没有唯一的价值，但在无套利边界的一侧有一系列公平价格。界限有一个无偏好值。风险中性原则不确定无套利范围内价格的确定值。这必须由买卖双方在平衡流动性衍生产品的风险与回报的同时，考虑到他们的投资目标和谈判成功结果的能力来确定。因此，对非流动性CDS进行估值是一项综合的风险管理任务（例如，见Rosen（2011）和Nedeljkovic等人（2011））：本文几乎只讨论了这项工作的第一部分。2.不完全市场技术被用于评估市场标准模型中所遵循方法的合理性（O’Kane和Turnbull，2003）。非流动性CDS被证明是不可销售的。这种缺乏市场性意味着市场标准估值过程中使用的风险中性估值原则不适用。此外，不完全市场理念的正确应用表明，尽管市场标准模型为非流动性CDS确定了唯一价格，但正确的结果是存在无套利的可能价格范围。因此，建议在估值过程中采用组合建模和风险管理方法。3.一个被称为“香草”套期保值的简单套期保值，可以分析得出无套利界限与非流动性CDS到期日的曲线图的原理特征。它以一种基本的、令人信服的和直观的方式准确地描述了这个情节的特征，是理解无套利界限的理想工具。

对于给定的成熟度，将边界的结果与通过市场价格之间的线性插值获得的每个非流动到期日的价格进行比较。关于插值线，买卖价格的界限可以非常不对称地设置，以便给定非流动到期日的买卖界限的平均值不必接近插值线。不完全市场法最初是为了研究单一CDS而发展起来的，后来扩展到了对单一CDS投资组合的研究。对由到期的CDS组成的单一名称CDS投资组合进行套期保值效果的研究已经完成，这些CDS不包含任何αm，m=1,2，···，Nare。这些用可用的液体CDS进行对冲。投资组合的组成部分CDS的概念是随机生成的，其结果以确定最大可能损失为特征，该损失被用作风险度量。这些概念的随机性是为了模仿某个给定名称的交易桌中可能存在的随机性。套期保值在降低持有套期保值头寸的风险方面非常有效。此外，流动市场上到期的CDS数量越多，风险降低的幅度就越大。5.概率密度Γ(), 哪里 是对应于（τ，ρ），对应于路径（τ，ρ）的排水流的额定压力值，绘制为 对于前一个示例随机生成的一个单名CD投资组合。该函数具有显著的结构，套期保值头寸的利差远小于未套期保值头寸，从定性上表明套期保值降低了风险。6.

概率密度Γ() 对于恢复率被认为是恒定的（实践者经常做出的一种假设）的情况来说，这是有意义的，并且通过圆盘网光谱可以很好地描述。这与恢复率ρ的概率密度被视为ρ7的光滑函数的情况在性质上有所不同。朝着普遍使用基础健全的不完全市场方法的方向发展是可取的。本文和前一篇文章只研究了最简单的静态对冲，还有很多工作要做。约翰·比尤梅；布里戈，达米亚诺；丹尼尔·希默特；斯托伊尔，加雷斯；2009年，“在CD《大爆炸》中绘制一条路线”，可供选择athttp://papers.ss注册护士。com/sol3/papers。cfm？abstractid=1374407ISDA 20 09，ISDA标准型号，可在www.cdsmodel上获得。comMarkit Group Limited，2009，“CDS大爆炸：理解全球CDS合同和北美ican公约的变化”，可供查阅athttp://www.马克。com/cds/announces/resource/cdsbig bang。pdfNedeljkovic，Jovan；罗森，丹；还有桑德斯，大卫；2011年，“利用隐含因子模型评估结构性金融产品”，信贷风险前沿：次贷危机、定价和对冲、CVA、MBS、评级和流动性第9章，T.Bielecki，D.Brigo，F。

帕特拉斯（编辑），威利，2011年。O\'Kane，Dominic和Stuart Turnbull，2003，“信用违约掉期的估值”，雷曼兄弟固定收益和定量信用研究。多米尼克·O’Kane，2008，“为单名和多名信用衍生产品建模”，约翰·威利父子有限公司，奇切斯特。普利斯卡，S R，1997数学金融导论，牛津布莱克威尔。Dan Rosen，“重新思考估值：信贷危机、非流动性市场和模型风险”，可供查阅http://www.r2-财务方面。com/wp content/uploads/2011/06/bocker ch33rev2。pdf。SSG 20 08，“近期市场动荡期间的风险管理实践观察”，可在http://www.newyorkfed.org/newsevents/news/banking/2008/SSG风险管理文件终稿。所有CDS的PDFQ数量值运行价差w=500 bp/年市场CDS的名义到期日，以及1年、2年、3年、4年和5年相应的前期价格5.25、12.47、18.08、21.56和24.05%无风险利率rF=2%1年内违约的物理概率Pd=30%有风险资本预期收益RT=25%CDS合同在t=0时签订；T（第一次保费支付时间）和一个季度之间的差异表2：数值示例中使用的参数值（除非另有说明）。Staum，Jeremy，2008，“不完全市场”，载于《OR和MS手册》，第15卷，第12章，J.R.Birge和V.Linetsky（编辑），爱思唯尔。Walker，Michael B，2012，“非流动性CDS的买入和卖出价格建模”，《理论与应用金融国际期刊》，第15卷，第1期。

6, 1250045.ParametersTable 2的数值列出了本文所述数值计算中使用的某些参数的数值。此外，为了确定感兴趣的投资组合的统计特性，有必要指定违约时间τ（称为Υ（τ））的物理概率密度，以及给定特定违约时间τ（称为γ（ρ|τ））的恢复率ρ的物理概率密度。本文的一个简化假设是τ和ρ是独立的随机变量，因此γ（ρ|τ）=γ（ρ）。概率密度γ（ρ）被视为ρ的正态概率密度平均值u=0.15，标准偏差σ=0.16∈ [0, 1]. 故障时间的概率密度Υ（τ）是以恒定的危险率h表示的，因此Υ（τ）=h exp(-hτ），0≤τ ≤ TN。此外，风险率h仅根据一年内违约概率P D估算，使用h=- 日志（1）- P（D）。原则上，不难在数值上指定Υ（τ）和γ（ρ|τ）具有任何指定形式。一个随机生成的投资组合示例，其概率密度Γ() 实现的现值 上述计算了支付流的百分比。αOld=[0.2190 0.9513 0.0744 0.3669 0.2543- 0.2179 0.7840 0.38940.1945 0.6885 0.7642 - 0.9360- 0.8572 0.5786 - 0.18190.7254 0.1285 - 0.8874- 零点零七一二- 0.7 650 0.0290]. (20)