信用违约互换模型：市场标准与不完全市场

2022-5-5 23:45:10

沃克，多伦多大学物理系，多伦多，M5S 1A7；电子邮件：walker@physics.utoronto.caThe感谢加拿大自然科学和工程研究委员会的支持。1简介本文描述了信用违约掉期（CDS）市场的不完整性对其建模、套期保值和估值的影响。虽然学术界已经广泛讨论了不完全市场中偶然性的一般性质（例如，见thereview Staum（2008）），但在应用文献和学术文献中，适当考虑CDS市场不完全性的讨论很少，如果确实存在的话。最近一项关于非流动性CDS的研究（Walker，2012）是一个例外。本文的目的是继续探讨上一篇文章中开始的问题，这些问题与不完全市场方法对提高我们对非流动性CDS及其关联r-isk的理解的贡献有关。此外，不仅讨论了单一CDS，还将考虑的问题类别扩展到包括单一名称CDS投资组合。本文详细讨论了市场标准方法（O’Kane和Turnbull，2003）的不足之处，不完全市场模型的介绍描述了它如何改变我们对信用违约掉期性质的看法。例如，第3.2子节定义了适销性，表明非流动性CDS不适销，并指出，因此，非流动性CDS（在市场标准实践中使用风险中性估值原则对其进行估值）无法通过使用风险中性估值原则进行正确估值，因为它们不适销。其他相关项目可在同一小节中找到，更多细节见第5节“总结与结论”。

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2022-5-5 23:45:13

治疗这些受试者所需的背景材料并不新鲜，但可以在学术文献以及治疗不完全市场受试者的评论和教科书中找到（例如，见Staum（2008）和Pliska（1997））。新的是，下面的想法在将其应用于hedgingcredit-defa-ult掉期实用模型的上下文中呈现。本文的一个重要部分是通过数值例子来探讨非流动性单一CDS和非流动性单一名称CDS投资组合（仅引用单一名称的投资组合）的许多不同性质。第4.1.2子条款中讨论的第一个数字示例描述了一个事实，即由于市场不完全性，非流动性CDS没有唯一的价格，原因很简单，在以“错误”价格提供非流动性CDS的情况下，没有复制投资组合通过创建套利机会来强制执行该价格。另一方面，每个非流动性到期日都有一系列公平的价格。（公平价格是指既不允许买方也不允许卖方获得套利利润的价格）第4.1.2子条款引入了sa套期保值，称为香草套期保值。vanilla套期保值是Walker（2012）中详细描述的最佳套期保值的近似值，也是本文的一部分，目的是让很少接触不完全市场方法的人能够获得不完全市场想法的结果。它有一个吸引人的特点，那就是它允许人们用初等方法确定illiq uid CDS价格的无仲裁界限，并得出这些界限的解析公式。这使我们能够直观地理解无套利边界的构造，以及这些边界的行为作为非流动CDS到期日的函数。

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2022-5-5 23:45:16

图中显示了这些无套利界限行为的丰富细节，并伴随着解释。由于第4.1.2子节或多或少是独立的，读者可能希望在继续之前尝试跳过它。不幸的是，在无套利范围内选择pric e超出了风险中性定价的能力，并涉及评估风险和利润的可能性。因此，非流动性CDS的市值计价是一个综合建模和风险管理问题。有关CDS市场不完全性的性质的详细信息，请参见第2节。第3节发展了在不完全市场评估中使用的单名CDS投资组合套期保值和估值的基本方程。Walker（2012）对第2节和第3节的大部分内容进行了描述，但此处以更快的速度包含了部分内容，以使本文更加自我包容。第4节描述了几种数值计算，并给出了图表，说明了第3节中所得结果的使用。第3节和第4节有各自的介绍。作者特别推荐的资料来源包括：Staum（2008年）对完整市场的详细而彻底的回顾，Pliska（1997年）对风险中性定价的初步介绍，Rosen（2011年）的介绍；Nedeljkovic等人（2011年）总结了从2007年至2009年的信贷cr isis中吸取的经验教训，以及将重点放在组合建模和风险管理评估方法上的适当性。

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2022-5-5 23:45:19

在Walker（2012）中还可以找到其他有用的参考资料，以及希望开发数值实现的人以及希望检验对偶理论应用结果的人感兴趣的细节。2.CDS市场标准CDS合同目前的定价方式是设定保护买方向保护卖方支付的预付款金额（Markit，2009）。除支付预付款外，保护买方还按季度支付标准化价差（在北美市场，投资级名称为100 bp/年，高收益名称为500 bp/年），作为回报，在参考名称发行的公司债券违约时收到名义损失。CDS的标准终止日期以及标准保费支付日期为IMM日期3月20日、6月20日、9月20日和12月20日。如果合同在一个季度末（比如6月20日，即未来的整数年）终止，则在6月20日之前的一个季度内，市场上会出售合同。在本季度，具有其他三个标准终止日期之一的合同将不具有流动性。6月20日，终止日期为J une 20的合同将停止出售，终止日期为9月20日的合同将开始出售。此外，流动性的数量将取决于名称。例如，在未来1年、3年、5年、7年和10年终止的合同中可能只有流动性。

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2022-5-5 23:45:23

因此，在任何给定的时间，相对较少的现有合同中都会存在可信的流动性，并且不可能完美地对给定参考名称的现有CDS合同的任意组合进行分类。3完整市场中的单名CDS投资组合本节开发了单名CDS投资组合静态对冲中使用的基本公式。交易对手风险假定已通过水密性抵押品安排予以处理。启动投资组合可以由任意但给定概念的非流动和流动CDS组成。在初始阶段，将使用市场上的流动CDS对初始投资组合进行套期保值。套期保值是一种固定的保值方式，其产生的收益流的价值将被及时跟踪。为了简单起见，本文将仅明确处理所有到期日的利差相同的情况（通常是大爆炸后CDS合同的情况）。对于每个不同到期日的多个利差的情况，可以通过符号变化处理（见下文）。本节得出的结果代表了Walker（2012）的结果，从单一CDS案例扩展到了单名CDS投资组合，但演示的速度更快。此外，Walker（2012）中给出了如何处理各种技术问题的详细信息，例如有效分解连续路径（τ，ρ）的方法，以便将（5）的优化问题转化为可使用商用软件解决的线性规划问题。第3.1小节给出了一些初步定义和结果。第3.2小节显示，非流动性CDS不可销售。

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2022-5-5 23:45:28

这一结果表明，以市场标准使用风险中性估值原则对非流动性CDS进行估值，在数学金融理论中没有任何基础：只有在待估值债权可销售的情况下，使用风险中性估值原则对或有债权进行估值才是合理的。第3.3小节阐述了本节的主要结果。这些结果可以识别无套利和提供套利机会的投资组合价格范围。它们还显示了如何构建对冲头寸，以降低持有非流动CDS投资组合的风险。Nedeljkovic等人（2011年）提供了大量关于结构性信贷衍生品的参考文献，这是一个与CDS领域密切相关的研究领域。3.1初步定义和结果当前时间称为t=0。在本文中，t=0后的季度CDS预付款支付时间是，从最小的t开始，t。。。TN，N=21，因此在Tnl之前的季度签订的合同在TN的名义到期日为5年。此外，定义T=0（即时间T=0）。时间差异- t可以少于四分之一年，但随后的时间间隔正好是一年的四分之一。选择T- T=（0.25）- ε） yr是为下面的数字示例制作的。ε是一个正整数。考虑一个给定名称上的CDS，其默认时间为τ，恢复率为ρ。所有进一步的讨论都是关于同名CDS的。q值τ>0和ρ∈ [0,1]是随机变量，可以定义CDS的路径。沿着路径（τ，ρ）的终止时间Tm的长保护装置名义CDS的支付流的现值为m（τ，ρ）=-wTm（τ）+（1）- ρ） d（τ）U（τ）≤ Tm）。

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2022-5-5 23:45:31

（1） HereTm（τ）=I（τ）- 1Xk=1（Tk- Tk-1） dk+（τ）- TI（τ）- 1） d（τ），τ∈ （0，Tm]，Tm（τ）=Tm，0≡mXk=1（Tk- Tk-1） dk，τ>Tm。（2）此外，函数U（τ≤ Tm）是τ的统一∈ （0，Tm]和零否则，当τ∈ （Tk）-1，Tk]，贴现系数dk和d（τ）由dk=exp给出(-rTk）和d（τ）=exp(-rτ），其中r为无风险利率。在本说明中，所有合同都被视为具有相同的价差w。此外，还应考虑在每个终止日期具有多个不同价差的合同中彼此不同的情况：这是通过包括一个索引n来完成的，该索引n标记终止日期m发生的不同价差，如在wm中，n、据估计，有一个流动的市场，为数不多的K个不同的CDS合同。第p个液体合同对应于终止时间Tm（p），p=1。。。，K.3.2非流动性CDS合同不可销售考虑终止时间为TM0的CDS合同，其不等于流动性CDS市场K合同的终止时间Tm（p）中的任何一个。这种合同据说是非流动性的。（请注意，非流动性债券指的是未在CDS市场上明确列为b e的所有到期债券。这可能包括以下确定为可销售或不可销售的CDS。）如果流动市场上K个合同的支付流的线性组合可以这样构造，即该支付流的组合可以复制索赔X的支付流，则未定权益X称为可销售的。否则，未定权益不可销售。到期日为TMG的CDS合同的支付流由（1）决定。很明显，终止时间为TM0的非流动性CDS合同不可销售。

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2022-5-5 23:45:34

当τ与Tm，0的值交叉时，ρ的不连续性不能被市场上任何CDS合同的ρ不连续性复制。（注意，（1）中给出的到期日为Tm，0的非流动性合同的支付流的数学表达式包含不连续函数U（τ<Tm，0）。很明显，来自流动市场的CDS支付流的线性组合（在其他到期日具有不连续性）不能产生U（τ>Tm，0）的不连续性。另一种说法是，不能为非流动性CDS合约形成复制投资组合。同样，对于任何包含至少一张非流动性CDS的单名CDS投资组合，不可能形成复制投资组合；这样的投资组合据说是不适销对路的。在不完全市场中，既可以有可销售的合同，也可以有不可销售的合同。如果合同是可销售的，则存在与该合同相对应的复制投资组合。可销售合同的持有人将能够以构成复制投资组合的CDS的总市场价格（如MP）的市场回报做空复制合同。然后，合同持有人将能够组合可销售合同和短期复制合同，两者的组合没有净收益，因此价值为零。这样做的净结果将给可销售合同持有人留下MP的ca sh金额，这是可销售合同的唯一价值。如果合同不可销售，那么从定义上讲，就不存在可复制的投资组合，也没有办法为不可销售的合同建立独特的、无偏好的价值。然而，有可能阻止开采无套利价值范围，其中任何一个都被认为是合同的公平价格。

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2022-5-5 23:45:37

无套利价值范围的边界点称为无仲裁边界。CDS的市场标准模型具有风险中性度量Q，其特征是具有与市场上CDS（以及CDS价格）完全相同的参数数量。此外，回收率被视为一个给定的常数。然后，对市场价格的校准唯一地确定了风险中性度量值Q。一旦通过校准确定了唯一的风险中性度量值，市场标准做法是使用MTMQ=EQ计算非流动CDSof到期日TM0和名义单位的唯一市场价格M TMQ(m0），（3）式中，该等式的右侧是唯一市场标准风险中性度量Q下的预期值，即m0（τ），由（1）给出。风险中性定价理论的估值原则是，给定一个风险中性概率测度Q和一个可估计的或有权益X，时间t=0 V值X由表达式等式（X）给出。这里的一个重要条件是，为了正确使用这种风险中性估价原则，以这种方式估价的或有权益必须是可销售的。因此，使用（3）对非流动性CDS进行估值是对风险中性定价的误用，因为如上所示，非流动性CDS不可销售。因此，将（3）解释为按市值计价没有可靠的依据。（本文采用了广为接受的做法，即使用“风险中性度量”一词来描述通过前段程序获得的概率度量，本文采用了这种做法，尽管作者不清楚其适用性。）市场标准模型中还有另一个不一致的地方需要注意。

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大多数88

2022-5-5 23:45:40

如前一段所述，市场标准模型具有独特的风险中性度量。然而，正如Plis ka（1997年）所述，“当且仅当M恰好由一个风险中性概率度量组成时，模型才是完整的。”这里，M是所有风险中性概率度量的集合。由于市场标准模型中的风险中性测度是唯一的，该定理要求模型是完全的。然而，如果模式l是完整的，人们应该能够复制任何或有债权，并且，因为上面已经表明非流动性CDS不可销售，所以不能复制非流动性CDS。奥凯恩和特恩布尔（2003年）（关于市场标准模型）以及塞伊·普利斯卡（1997年）（关于不完全市场中未定权益的估值）的一些知识，将是阅读本部分的一大优势。O\'Kane和Turnbull（2003）并不声称自己创立了市场标准模型，而是说他们“介绍将信用违约掉期头寸标记为市场的市场标准定价模型。我们的目标是解释为什么信用违约掉期需要一个估值模型，然后解释标准模型——市场上使用最广泛的模型。在建立模型的过程中，我们注意解释并证明所做的各种建模假设。”学术文献（例如，参见Staum（2008））中已经知道，市场标准类型的论点可能存在严重不足，本节在非流动性CDS的市场标准模型的上下文中展示了其中一些不足之处。尽管存在缺陷（作者在信贷衍生品领域的金融从业者的文章中没有看到这一点），市场标准模型仍在继续被从业者使用（例如，见O’Kane（2008））。

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2022-5-5 23:45:43

最近，Beumee等人（2009）研究了“巴克莱资本、高盛、摩根大通、Markit（BFJM）/ISDA（2009）提出的一种方法”（ISDA（2013）提供了该方法的最新版本，用于在前期和运行期之间转换CDS报价），他们警告说，“提议的风险率（FHR）转换方法应被理解为单一合同报价机制的规则，而不是建模设备。”因此，虽然有人认为市场标准模型在其风险率管理中的实用性存在局限性，但尚未详细讨论困难的范围。因此，本小节的目标之一是：。3.3无套利界限、公平价格和非市场CDS和单名CDS组合的实际回报率本小节重新介绍了Walker（2012）开始的工作范围。除了在前一篇文章中考虑的单一CDS之外，还考虑了单名CDS投资组合，并添加了关于估值和风险的进一步评论。考虑一个现有的单一名称的CDS组合，由经销商提供，其中所有CDS都写在相同的参考名称上。在终止时间相同的现有投资组合中，所有CDSSi的名义净值称为αOldm，m=1，2。。。，N、其中t是考虑的最大终止时间。投资组合本身由具有N个不同时间的CDS组成，将被称为投资组合αOld（无下标m）。该投资组合将被假定包括至少一张非流动性CDS，因此不可销售。

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2022-5-5 23:45:46

（在流动性市场上，仅包含CDS的投资组合的价值只是组成CDS的市场价格之和。）交易商（也称卖方）可以通过将该头寸出售给买方来退出该头寸。潜在买家可以通过检查通过向αOld添加来自液体市场的CDS而构建的特定对冲头寸的属性，获得关于αOld作为投资的吸引力的信息。终止时间为Tm的流动市场中新增CDS的净名义值称为|αm，m=1,2。。。，N（读者们，请记住，tilde，如αm，在流动市场上识别CD。）如果在当前的流动性市场上没有终止时间为TMT的CDS，则定义的名义∧αm=0。此外，现金存款β将添加到经销商的头寸中。新增市场CDS的投资组合称为α，投资组合α+β称为对冲，投资组合称为对冲 = α+β，w这里α=αOld+~α被称为对冲头寸。值得注意的是，对冲头寸将使用程序（5）在下面构建，从而满足该程序中指示的约束条件。套期保值头寸支付流的现值当基础名称跟随路径（τ，ρ）时（τ，ρ）=β+α（τ，ρ）α（τ，ρ）=NXm=1αmm（τ，ρ），αm=αOldm+～αm，m=1,2。。。，N.（4）对于流动市场上的到期日，以及β的名义值αm，由优化程序rev=minβ、~αβ+NXm=1umαm确定！从属于：(τ, ρ) ≥ 0，对于所有τ>0和ρ∈ [0, 1]. （5）市场上CDS的数量umin（5）被定义为购买终止时间为Tm的CDS名义单位的前期成本。（回想一下，对于不在液体市场上的终止时间tM，定义的数量αm=0。）数量β+PNm=1μmα与将β+α添加到投资组合α中的成本不符。

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2022-5-5 23:45:50

通过程序（5）获得的该成本的最小值为V。请注意，必须至少有一个套期保值头寸的付息率am（τ，ρ）（τ，ρ）的值为零（约束（5）允许的最小值）。这可以通过支持执行程序（5）的结果给出一个函数来实现（τ，ρ）满足（τ，ρ）>=c，其中c>0，对于所有τ>0和ρ∈ [0, 1]. 然后通过降低β来降低（5）的量V；因此c必须是0。还请注意，对于所有可能的路径（τ，ρ），套期保值头寸的支付流都是非负的。因此，期望值对冲头寸（例如，在本文中，将使用附录A中描述的物理概率密度计算）也必须为负。对于当前液体市场上没有CDS的情况，可通过在（4）和（5）中取∧α=0获得适当的结果。现在，假设持有投资组合的交易商计划将投资组合出售给投资者。交易商还向投资者支付套期保值的成本V，投资者可以将其添加到αoldino中，以形成套期保值头寸. 因此，投资者可以以零成本获得该头寸只有非负回报流。在这一阶段，投资者能够获得套利收益。然而，由于套利收益，在这些条款下，对冲头寸将存在竞争，交易商将能够坚持要求投资者回报预期收益的部分λ、λ>0和λ有待确定. 这里的预期值是用物理概率密度确定的。以下数字样本中使用的简单物理概率密度详情见附录A。

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2022-5-5 23:45:53

经销商可以从该交易中获得的金额为thusF P（λ）=VGLB+λ, λ>0，（6），其中VGLB=-V是投资者可以购买的无套利价格范围的最大下限（GLB）。价格fp（λ），λ>0是一个公平的价格。λ>0对应的价格被称为公平价格，这一事实并不一定意味着这些价格代表了买方或卖方的好交易（见下文）。投资者可以通过以低于或等于VGLB的价格买入，从而获得套利收益，与负λ相关，并以高于VGLB的价格买入，从而获得潜在的有利但有风险的头寸。投资组合ψ=-λ + （7）投资者在收购和对冲α并支付金额λ后的净头寸给卖方。自从是非负性的，最小值为0，数量最大=λ （8）是投资者净头寸（也称为风险资本）的最大可能损失。最大可能损失发生在pa th（τ，ρ）为(τ, ρ) = 0. 方程（7）的一个有用解释是，头寸ψ是投资者以零现金开始并购买对冲头寸的结果以λ的价格. 对冲头寸, 如果持有至成分CDS的最大到期日，或违约时间τ，以较早者为准，则为（τ，ρ），投资者的已实现收益和损失的现值为ψ（τ，ρ）=-λ+(τ, ρ).购买该头寸的投资者, 风险资本的实际回报率为RT（τ，ρ），通常称为周转率，即isRT（τ，ρ）=(τ, ρ) - λλ, λ > 0. （9）收益率是一个随机变量，同时承担违约风险（通过其对违约时间τ的依赖）和恢复风险（通过其对恢复率ρ的依赖）。

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2022-5-5 23:45:56

投资者预期的回报率isRT=λ-1.- 1.（10）该等式将投资者的预期回报率Rt与价格λ联系起来为这个职位付钱. 由于无套利约束只要求λ为正，因此这些约束允许公平价格λ的大范围波动. 出售该职位的交易商, 购买它的投资者必须就价格λ达成一致或者，相当于投资者获得的一揽子计划的预期回报率。值得注意的是，不仅是预期回报率赋予了投资组合价值：预期回报率与回报标准差之间的关系，或交易对参与者的收益和风险的其他衡量标准，在公平价格范围内，他们应该在确定什么样的价格对他们有利方面发挥作用。对价值的理解，如对价值的理解，对价值的理解可能是唯一的，而对价值的理解可能不是唯一的。此外，重要的是要注意，缺乏可用于对冲的复制投资组合是一个重要的风险来源。鉴于风险中性定价理论仅确定非流动性CDS价格允许的无套利价值范围，而不是确定的价格，投资者可能希望利用一些开发的工具来衡量与对冲头寸相关的风险（τ，ρ），因此r isk与收益率相关。

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2022-5-5 23:45:59

第4节对这些工具进行了说明，其中描述了大量数值计算的结果，包括1）可能实现的数值的图形描述（τ，ρ），2）概率密度图（这也给出了收益和损失的概率密度ψ），以及3）一个图表，显示了由于流动市场上CDS数量减少而导致的流动性降低对非流动CDS风险的影响。第4节介绍了这些和其他数值结果。在A节中，为了进行示例计算，建议对P（τ，ρ）进行简化的表达式。在实践中，有必要对报价中的参考名称进行详细的信用分析，并探索一些最有可能影响待估值CDS性能的场景。应为每种情况构建适当的概率密度函数P（τ，ρ），并在最终评估中考虑被判断为最有可能影响CDS性能的不同原因的结果。对于这种情况，函数P（τ，ρ）c应扩展为包括τ相关危险率和τ相关函数γ（ρ|τ）。在2007-2009年金融危机期间发布的一份报告（高级监管机构集团，2008年）中，根据针对“专注于美国次级抵押贷款证券化”的大型企业的调查，确定了将sc e分析和完善的风险管理实践整合到估值过程中的好处虽然这些建议没有针对信用违约掉期，但CDS和结构化cr-edit公关产品都是cr-edit衍生品，而且这些建议似乎对这两个市场都有意义。

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2022-5-5 23:46:02

这为将金融信贷衍生品建模视为一个综合建模和风险管理问题提供了动力，例如，正如在《洛森》（2011）中所强调的那样。3.4购买名义αOld=-1.从投资者那里获得保护是指向投资者出售保护。当交易商购买该短期保护合同时，其中一个条件是投资者向交易商支付购买套期保值所需的金额VS，该金额与αOld相加后将产生S、与空头头寸的单位不相关的对冲头寸。因为这个职位S、信息投资者将坚持要求交易商返还预期收益的fr行动λ，S、因此，T hedealer收到预付款uS（λS）=uS，0- λSS、 0<λS（11）如上所述，对于满足给定不等式的λ，该支付是公平的价格。同样如上所述，交易各方必须平衡预期收益和风险，以确保公平价格范围内的最终商定价格与其公司的目标一致。数量uS，0=VS是AskPrice无套利范围的最小上界（LUB）。请注意，此处施加的无套利条件为λS>0，并要求S的ask价格始终低于其LUB。从投资者处购买αOld=+1长期保护合同的交易商有权从投资者处购买保护。与前一段类似的论点得出这样的结论：从投资者处购买保护的交易商将获得最低的VL- λL来自投资者，或同等地，使预付款uL（λL）=uL，0+λL五十、 0<λL（12）给投资者。预付款uL（λL）称为投标价格。

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2022-5-5 23:46:07

如上所述，该等式描述了公平价格的范围，在公平价格范围内确定最终售价需要进一步考虑。此外，uL，0=-VL，其中VL是与给定成熟度的名义αOld=+1的长期保护合同相关的套期保值成本。quantityuL，0是投标价格无套利范围的最大下界（GLB）。它已经被证明（沃克，20-12），通过应用对偶定理，thatuL，0≤ 美国，0。（13）如上所述，向投资者出售保护的交易商从投资者处收到付款uS（λS），而从投资者处购买保护的交易商向投资者支付付款uL（λL）。这些付款取决于经销商和客户的偏好，我们希望经销商在销售和购买同等名义价值的前提下协商净利润。因此，我们希望经销商设定买卖价格，使uS（λS）>uL（λL）。这是一个非合并偏好论证，而不是套利论证。下图1显示了无套利界限作为CDS到期日函数的数值计算结果。这些结果表明，随着成熟度的增加，有相当大的变异。这将在第4.1.1和4.1.2.4小节数值研究中详细解释。本节将使用不完全市场方法通过数值计算获得的数据进行分组，并说明单名CDS投资组合的各种风险和价值相关属性。这些图表描述了一些在使用市场标准方法计算时未发现的有趣行为。（事实上，市场标准方法甚至不表明存在无套利边界，这是不可市场化的衍生证券（如非流动性CDS）的核心特征。）。

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2022-5-5 23:46:09

第4.1小节描述了作为CDS到期日函数的流动性和非流动性单一CDS MTM价值的无套利界限的计算。第4.2小节描述了持有非流动CDS风险的降低，这是使用在流动市场上购买的CDS进行套期保值的结果，并给出了这种降低的幅度的信息。第4.3小节计算并在图表中显示了包含流动性和非流动性CDS的投资组合的收益和损失的概率密度。这是套期保值d头寸统计特性的一个重要变量，因为它可用于确定介于任意两个常量值ψ和ψ之间的利润和服务水平sψ的概率。这些信息在风险评估中很有用。当然，人们得到的信息只有在物理概率密度（τ，ρ）达到一定值时才有用。本小节还生成了一个显示（τ，ρ）对于包含随机评级概念CDS的单名CDS，从1吨到21吨的所有优质到期日。本文中的回收率被视为一个随机变量，而市场标准法中的回收率通常被视为一个事先已知的常数。第4.4小节计算了回收率为常数的情况下，收益和损失的概率密度，并发现结果在质量上与回收率为随机变量的结果截然不同。回收率为随机变量的情况更能反映真实情况。4.1 CDS无套利界限和无套利价格4。1.1优化程序的结果（5）第3.3小节描述了确定单个CDS的买入和卖出价格的无套利范围的过程。

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2022-5-5 23:46:12

本文给出了由A部分中的参数描述的单个CDS的出价和ASK价格的无套利价格范围的一些结果。图1中标记为0的圆圈给出了m=1到21个季度到期的CDS的无套利ask优先级（um，S，λS）范围的最小上界。（表示本次讨论中提交的CDS到期日的指数m，因此um，S，λS→ 对于给定的季度，任何价格，λS<uS，0代表可能的无套利要价。还有，任何价格，美国，λS≥ 在美国，0将为假定为保护卖方的经销商产生套利收益。另一方面，平方标的uL，0给出了投标价格无套利范围的最大下界，任何价格λL>uL，0表示可能的无套利投标价格。回想一下，第5、9、13、17和21个季度的到期日都在流动市场上（市场价格见A节）。对于这些到期日，无套利上限和下限与市场价格一致。0 5 10 15 20 25-5051015202530到期时间（季度）号-套利界限（百分比）uS，0uL，0uintFigure 1：标为uS，0（和uL，0）的买卖价格的无套利界限，以及插值的上浮价格（uInt），被绘制为季度到期时间的函数。买盘（和买盘）价格的无套利价值小于（和大于）无套利界限的价格。当给定季度的CDS在流动市场上（即第5、9、13、17和21季度）时，无套利边界、出价和ASK价格的相等性保持不变。

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2022-5-5 23:46:15

interpola ted额度不适用于5个季度以下的到期日，因为没有到期日少于5个季度的流动CDS。4.1.2 A本小节使用基本方法解释了图1所示的非流动性CDS与成熟度的无套利界限图的主要特征。本演示旨在让对量化金融感兴趣的广泛个人参与，他们可能对CDS的估值问题感兴趣。正因为如此，我们努力使子部分或多或少独立，并将详细的不完整营销技巧所需的知识降至最低。第3.2小节已经表明，不能为非流动性CDS建立复制投资组合，并且存在一个复制投资组合，如果价格偏离其唯一价值，则允许进行套利，因此需要存在唯一价格。因此，对于非流动性CDS，没有独特的政策。对于非流动性CDS（或其他不适用的或有债权），最好的办法是确定一系列公平价格。其基本思想是，对于称为αOld的非流动性CDS，建立一个称为αOld的对冲头寸这只有具有非负变现现值的支付流。因此，未套期非流动性CDS的买方将承担的所有未套期风险将在套期保值头寸中被冲销。当将套期保值成本与待估值的非流动CDS相加，形成套期保值d头寸时，该套期保值成本称为V。如果αOld的合同转让给买方时，αOld的所有者向买方支付了该现金金额V，则买方可以使用该金额V购买对冲。买方将有效地以零成本获得套期保值头寸。

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2022-5-5 23:46:19

由于套期保值头寸只有非负的支付流，如果没有进一步的支付，买方将进行一次rbitrage PROF。卖方会辩称这是一个不公平的价格，并且应该能够找到一个同意向卖方支付部分金额λ、λ的买方≥ 套利利润的0. 因此，买方对卖方的网上付款是V- λ.本小节将介绍一种普通的套期保值，该套期保值能够以一种非常简单的方式，仅使用市场上的一张CDS，对非流动CDS买家的所有未套期保值风险进行套期保值。然而，这不是最佳套期保值，因为最佳套期保值将略微便宜，并将使用第3.4小节所述的所有可用市场CDS。然而，最优套期保值更为复杂，这里描述的过程简单易懂，在所考虑的例子中，抓住了最优套期保值的基本特征，成本接近最优套期保值。现在再详细考虑一下这个过程。单位名义和到期TM的短期保护非流动性CDS合同的所有者ca lle dαOldshort在t=0时将其出售给买方。买方接受该短期保护合同，并立即（在时间t=0时）通过在流动市场上购买长期保护CDS合同（具有相同的参考名称）的名义单位对其进行套期保值，该长期保护CDS合同是最接近到期日的，如TM+，在到期日增加的方向上，对其进行套期保值。这立即降低了买方自现在以来的未对冲风险、因lo sseson违约而产生的所有风险，以及可变差价支付的风险，有时介于n t=0和t=t之间，由两个CDS组合而成。

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2022-5-5 23:46:22

此外，对于t和TM+之间的t，所有确实发生的损失违约都与长期保护CDS有关，代表买方的利益，而不是风险。在这段时间内，如果在这段时间内没有违约，买方将不得不支付与长期保护CDS相关的全部利差付款，这是负面的。到期的非流动性CDS合约的短期保护对冲总成本为（M）=u（TM+）+w（TM+，0- TM，0）（14），其中u（TM+）是到期的长期保护性液体CDS的upfr ont成本TM+，termw（TM+，0）- TM，0）是对对冲的现金贡献，以补偿潜在的负面支付。此外，对于m=m+，m在（1）中定义，而现金贡献比例拖入（14）在（Tm）中近似为线性+- TM）。刚才提到的现金支付是对（4）中β一词的解释。两个CDS和现金存款β构成了套期保值头寸只有非当前值才实现负的支付流。假设将要出售的非流动性合约αOldshort转让给买方，此外，卖方将套期保值的cos t v（M）交给买方。然后，买方以零成本获得一个只有非负收益的对冲头寸。这将允许买方进行套利，并有效地保证CDS的销售，因为预计会有对提供套利收益的证券的强劲需求。事实上，对此类证券的需求应导致买方愿意返还预期利润的某一部分（比如λ）从树篱的位置。

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2022-5-5 23:46:27

（重新返还给卖方的金额称为λ, 遵循第3.4小节）。现在考虑一个投资者（卖方），他在时间t=0时出售一种长期保护非流动性CDS，称为αOldlongof名义单位和到期日TM。通过构造一个对冲头寸，再次发现了这种情况下的无风险区间只有非负收益。要构建只有非负收益的对冲头寸，首先在流动市场上购买短期保护CDS合同的名义单位，这是最接近到期日的，比如TM-, 在降低到期日的方向上，到被套期保值的到期日。这立即减少了买方的未被忽视的风险，从现在起，由于违约损失以及t=0和t=t之间的时间差支付而产生的所有风险都是由两个CDS的组合完美设定的。此外，对于tbetween TM-而天猫违约造成的损失则代表了买家的利益，而非风险。仍然存在这样的风险，即买方必须在t=TM之间支付全额差价付款，即负差价-如果在这段时间内没有默认值，则t=tma。到期的长期保护非流动性CDS的对冲总成本TMisVL（M）=-u（TM）-) + w（TM，0- 商标- ,0）（15）在哪里- u（TM）-) 是到期的短期保护液体CDS TM的前期成本吗-, 与w成比例的条款是卖方向买方支付现金，以补偿潜在的负差价。两张CDS和现金存款β构成了头寸它的支付能力只有非负的实现压力值。请注意，要使（15）适用于到期日TM，市场上必须有一个比TM短的液体到期日。图1中M=5个季度以下的市场情况并非如此。

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2022-5-5 23:46:32

在这种情况下，要对冲的长期保护CDS违约损失为LwaySTM101141516US，0（Opt）20.5019.6918.8823.7022.9822.27uS，0（Van）21.6120.4319.2525.0223.8622.71uL，0（Opt）11.542510.61979.70117.278916.481715.6886uL，0（Van）11.2810.9216.9115.7514.60表1：无套利的普通（Van）价值与优化（Opt）的价值。代表非流动性合同持有人的非负报酬。只有在没有违约的情况下发生的差价支付才需要进行设置，以便买方以零风险接管只有非负支付的头寸。这些设置差价支付的成本为VL（M）=wTM，0，M=1，2，3或4个季度。（16）第3.4小节和图1中用于描述无套利界限的符号为US，0（M）=VS（M）和uL，0（M）=-VL（M），但图中M被抑制。。方程14、15和16中给出的VS（M）和VL（M）的分析表达式使我们能够理解图1中绘制的这些边界的主要定性特征。可用的流动性CDS的预付款价格可以从图1中读取到期日5、9、13、17和21个季度的预付款价格。例如，考虑到期日分别为14、15和16个季度的非流动性CDS，这些CDS由流动性到期日13和17个季度括起来。14、15和16个季度到期日的要价无套利界限大致位于一条直线上，由17个季度流动性到期日（TM+）CDS的市场价格确定。随着所讨论的非流动性到期日（16、15和14）进一步远离该锚定，对无套利价格区间的贡献随着到期日的减少而线性增长（例如，见（14））。

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2022-5-5 23:46:35

无套利界限的增加与非流动期限的减少的幅度，从给定的流动期限锚定点开始，几乎与作为锚定点的每个流动期限相同。（由于贴现因子的影响XP，在较低的液体成熟度锚定点，这种增长略有增加。）(-rFt）更大。）这种情况与买入-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出-卖出。值得注意的是，无套利界限的行为并不像是在流动性CDS的价格之间插入，而是在所考虑的例子中，非流动性的ask价格界限从最近的高到期流动性CDS市场价格转移到低到期，非流动性买入价格界限是从最接近的低流动性CDS市场价格推断出更高的到期日。表1给出了所选到期日的最佳无套利界限的大小，以及根据普通对冲计算的相应无套利界限的大小。它们以表格而非图表的形式呈现，因为在许多情况下，这些值非常接近，表明两个值位置的标记重叠。请注意，hedg e的成本（根据优化程序计算的美国，0（Opt））给出的无套利界限，始终低于使用普通套期保值计算的成本。这是意料之中的，因为优化程序旨在给出最低价格VS的套期保值，该最低价格VS是使用所有可用的流动性CDS构建的，而uS为0=VS。

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大多数88

2022-5-5 23:46:38

同样，最优无套利界uL，0=-VLon通过最小化所有可用市场CDS的套期保值成本VLon获得的投标价格大于使用普通套期保值计算的无a打点界限。所有这些都是意料之中的。图1显示了一条线，用钻石标记，称为插值线，即非流动性CDS的已知市场价格之间的线性插值。插值线在5个季度的到期时间结束，因为没有市场价格可以插值到少于5个季度的到期时间。请注意，关于这条线，买卖价格的无套利界限并非都是对称的。对于ma turity TM=15个季度，买价和买价的无ar比特率界限与插值线的距离相等。然而抛售价格的无套利界限大约是插值的0.2 0.4 0.6 0.8 100.20.40.60.81LMaxH/LMaxUF（LMaxH/LMaxU）a）以1,2,3,4,5年b）以1,3,5年c）以5年c）以1,3,5年c）以1,3,5年c）以5年c）以1,3,3,5年c）以1,3,5年c）以1,3,3,5年b）以1,3,5年b）以1,5年b）以1,5年b）年b）以1,3,3,5年b）年b）以1,3,5年b）为，如附录所示。线than是到期日TM=14个季度的买入价无套利界限，买入价无套利界限距离内插线than是到期日TM=14个季度的卖出价无套利界限的大约3倍。这些细节很可能会对sk和投标价格本身的确定产生重大影响。4.2最大可能损失是衡量头寸风险的重要指标（或ψ）由单一名称CDS投资组合的买家获得。

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